Matemtica 1

MatemticaA matemtica (do grego , transl. mthma, "cincia"/"conhecimento"/"aprendizagem"; e ,transl. mathmatiks, "apreciador do conhecimento") a cincia do raciocnio lgico e abstrato. A matemtica estudaquantidades, medidas, espaos, estruturas e variaes. Um trabalho matemtico consiste em procurar por padres,formular conjecturas e, por meio de dedues rigorosas a partir de axiomas e definies, estabelecer novosresultados.A matemtica vem sendo construda ao longo de muitos anos. Resultados e teorias milenares se mantm vlidos eteis e ainda assim a matemtica continua a desenvolver-se permanentemente.Registros arqueolgicos mostram que a matemtica sempre foi parte da atividade humana. Ela evoluiu a partir decontagens, medies, clculos e do estudo sistemtico de formas geomtricas e movimentos de objetos fsicos.Raciocnios mais abstratos que envolvem argumentao lgica surgiram com os matemticos gregosaproximadamente em 300 a.C., notadamente com a obra Os Elementos de Euclides. A necessidade de maior rigor foipercebida e estabelecida por volta do sculo XIX.A matemtica se desenvolveu principalmente na Mesopotmia, no Egito, na Grcia, na ndia, no Oriente Mdio. Apartir da Renascena o desenvolvimento da matemtica intensificou-se na Europa, quando novas descobertascientficas levaram a um crescimento acelerado que dura at os dias de hoje.H muito tempo busca-se um consenso quanto definio do que a matemtica. No entanto, nas ltimas dcadasdo sculo XX tomou forma uma definio que tem ampla aceitao entre os matemticos: matemtica a cinciadas regularidades (padres). Segundo esta definio, o trabalho do matemtico consiste em examinar padresabstratos, tanto reais como imaginrios, visuais ou mentais. Ou seja, os matemticos procuram regularidades nosnmeros, no espao, na cincia e na imaginao e formulam teorias com as quais tentam explicar as relaesobservadas. Uma outra definio seria que matemtica a investigao de estruturas abstratas definidasaxiomaticamente, usando a lgica formal como estrutura comum. As estruturas especficas geralmente tm suaorigem nas cincias naturais, mais comumente na fsica, mas os matemticos tambm definem e investigamestruturas por razes puramente internas matemtica (matemtica pura), por exemplo, ao perceberem que asestruturas fornecem uma generalizao unificante de vrios subcampos ou uma ferramenta til em clculos comuns.A matemtica usada como uma ferramenta essencial em muitas reas do conhecimento, tais como engenharia,medicina, fsica, qumica, biologia, e cincias sociais. Matemtica aplicada, ramo da matemtica que se ocupa deaplicaes do conhecimento matemtico em outras reas do conhecimento, s vezes leva ao desenvolvimento de umnovo ramo, como aconteceu com Estatstica ou teoria dos jogos. O estudo de matemtica pura, ou seja, damatemtica pela matemtica, sem a preocupao com sua aplicabilidade, muitas vezes mostrou-se til anos ousculos adiante, como aconteceu com os estudos das cnicas ou de teoria dos nmeros feitos pelos gregos, teis,respectivamente, em descobertas sobre astronomia feitas por Kepler no sculo XVII, ou para o desenvolvimento desegurana em computadores nos dias de hoje.

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Histria

Papiro de Rhind do Antigo Egipto, cercade 1.650 a.C.

Alm de reconhecer quantidades de objetos, o homem pr-histrico aprendeua contar quantidades abstratas como o tempo: dias, estaes, anos. Aaritmtica elementar (adio, subtrao, multiplicao e diviso) tambm foiconquistada naturalmente. Acredita-se que esse conhecimento anterior escrita e, por isso, no h registros histricos.

O primeiro objeto conhecido que atesta a habilidade de clculo o osso deIshango, uma fbula de babuno com riscos que indicam uma contagem, quedata de 20 000 anos atrs.

Muitos sistemas de numerao existiram. O Papiro de Rhind um documentoque resistiu ao tempo e mostra os numerais escritos no Antigo Egito.

O desenvolvimento da matemtica permeou as primeiras civilizaes, etornou possvel o desenvolvimento de aplicaes concretas: o comrcio, omanejo de plantaes, a medio de terra, a previso de eventosastronmicos, e por vezes, a realizao de rituais religiosos.

A matemtica comeou a ser desenvolvida motivada pelo comrcio, medies de terras para a agricultura, registro dotempo, astronomia. A partir de 3000 a.C., quando Babilnios e Egpcios comearam a usar aritmtica e geometriaem construes, astronomia e alguns clculos financeiros, a matemtica comeou a se tornar um pouco maissofisticada. O estudo de estruturas matemticas comeou com a aritmtica dos nmeros naturais, seguiu com aextrao de razes quadradas e cbicas, resoluo de algumas equaes polinomiais de grau 2, trigonometria, fraes,entre outros tpicos.

Euclides: painel em mrmore, Museudell'Opera del Duomo.

Tais desenvolvimentos so creditados s civilizaes acadiana, babilnica,egpcia, chinesa, ou ainda, quelas do vale dos hindus. Por volta de 600 a.C.,na civilizao grega, a matemtica, influenciada por trabalhos anteriores epela filosofia, tornou-se mais abstrata. Dois ramos se distinguiram: aaritmtica e a geometria. Formalizaram-se as generalizaes, por meio dedefinies axiomticas dos objetos de estudo, e as demonstraes. A obra OsElementos de Euclides um registro importante do conhecimento matemticona Grcia do sculo III a.C.

A civilizao muulmana permitiu que a herana grega fosse conservada, epropiciou seu confronto com as descobertas chinesas e hindus, notadamentena questo da representao numrica [carecede fontes?]. Os trabalhosmatemticos desenvolveram-se consideravelmente tanto na trigonometria,com a introduo das funes trigonomtricas, quanto na aritmtica.Desenvolveu-se ainda a anlise combinatria, a anlise numrica e a lgebra de polinmios.

Na poca do Renascentismo, uma parte dos textos rabes foi estudada e traduzida para o latim. A pesquisamatemtica se concentrou ento na Europa. O clculo algbrico desenvolveu-se rapidamente com os trabalhos dosfranceses Franois Vite e Ren Descartes. Nessa poca tambm foram criadas as tabelas de logaritmos, que foramextremamente importantes para o avano cientfico dos sculos XVI a XX, sendo substitudas apenas aps a criaode computadores. A percepo de que os nmeros reais no so suficientes para resoluo de certas equaestambm data do sculo XVI. J nessa poca comeou o desenvolvimento dos chamados nmeros complexos, apenascom uma definio e quatro operaes. Uma compreenso mais profunda dos nmeros complexos s foi conquistadano sculo XVIII com Euler.

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No incio do sculo XVII, Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz descobriram a noo de clculo infinitesimal eintroduziram a noo de fluxor (vocbulo abandonado posteriormente). Ao longo dos sculos XVIII e XIX, amatemtica se desenvolveu fortemente com a introduo de novas estruturas abstratas, notadamente os grupos(graas aos trabalhos de variste Galois) sobre a resolubilidade de equaes polinomiais, e os anis definidos nostrabalhos de Richard Dedekind.O rigor em matemtica variou ao longo do tempo: os gregos antigos foram bastante rigorosos em suasargumentaes; j no tempo da criao do Clculo Diferencial e Integral, como as definies envolviam a noo delimite que, pelo conhecimento da poca, s poderia ser tratada intuitivamente, o rigor foi menos intenso e muitosresultados eram estabelecidos com base na intuio. Isso levou a contradies e "falsos teoremas". Com isso, porvolta do sculo XIX, alguns matemticos, tais como Bolzano, Karl Weierstrass e Cauchy dedicaram-se a criardefinies e demonstraes mais rigorosas.A matemtica ainda continua a se desenvolver intensamente por todo o mundo nos dias de hoje.O ensino da matemtica e, na verdade, de outras matrias, desde o descobrimento do Brasil, era ministrado pelosjesutas at a expulso deles em 1759. Desta data at 1808 os ex-alunos dos jesutas ficaram encarregados peloensino. De 1808 a 1834 a matria era ministrada nas escolas do Exrcito e da Marinha e a partir de 1873 tambm nasescolas de Engenharia. Em 1874 criada a Escola Politcnica a partir da Escola Central, ex-Escola Militar. A Escolade Minas de Ouro Preto criada em 1875 e a Escola Politcnica de So Paulo em 1893. Assim, o ensino dematemtica passa tambm a ser oferecido em escolas no militares.[1]

reas e metodologiaAs regras que governam as operaes aritmticas so as da lgebra elementar e as propriedades mais profundas dosnmeros inteiros so estudadas na teoria dos nmeros. A investigao de mtodos para resolver equaes leva aocampo da lgebra abstrata, que, entre outras coisas, estuda anis e corpos estruturas que generalizam aspropriedades possudas pelos nmeros. O conceito de vetor, importante para a fsica, generalizado no espaovetorial e estudado na lgebra linear, pertencendo aos dois ramos da estrutura e do espao.

O ensino da geometria.

O estudo do espao se originou com a geometria, primeiro com ageometria euclidiana e a trigonometria; mais tarde foram generalizadasnas geometrias no-euclidianas, as quais cumprem um papel central naformulao da teoria da relatividade. A teoria de Galois permitiuresolverem-se vrias questes sobre construes geomtricas comrgua e compasso. A geometria diferencial e a geometria algbricageneralizam a geometria em diferentes direes: a geometriadiferencial enfatiza o conceito de sistemas de coordenadas, equilbrio edireo, enquanto na geometria algbrica os objetos geomtricos sodescritos como conjuntos de soluo de equaes polinomiais. A teoriados grupos investiga o conceito de simetria de forma abstrata e forneceuma ligao entre os estudos do espao e da estrutura. A topologiaconecta o estudo do espao e o estudo das transformaes, focando-seno conceito de continuidade.

Entender e descrever as alteraes em quantidades mensurveis o tema comum das cincias naturais e o clculo foidesenvolvido como a ferramenta mais til para fazer isto. A descrio da variao de valor de uma grandeza obtidapor meio do conceito de funo. O campo das equaes diferenciais fornece mtodos para resolver problemas queenvolvem relaes entre uma grandeza e suas variaes. Os nmeros reais so usados para representar as

quantidades contnuas e o estudo detalhado das suas propriedades e das propriedades de suas funes consiste na anlise real, a qual foi generalizada para anlise complexa, abrangendo os nmeros complexos. A anlise funcional

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trata de funes definidas em espaos de dimenses tipicamente infinitas, constituindo a base para a formulao damecnica quntica, entre muitas outras coisas.Para esclarecer e investigar os fundamentos da matemtica, foram desenvolvidos os campos da teoria dos conjuntos,lgica matemtica e teoria dos modelos.Quando os computadores foram concebidos, vrias questes tericas levaram elaborao das teorias dacomputabilidade, complexidade computacional, informao e informao algortmica, as quais so investigadas nacincia da computao

O conjunto de Mandelbrot.

Uma teoria importante desenvolvida pelo ganhador do Prmio Nobel,John Nash, a teoria dos jogos, que possui atualmente aplicaes nosmais diversos campos, como no estudo de disputas comerciais.

Os computadores tambm contriburam para o desenvolvimento dateoria do caos, que trata do fato de que muitos sistemas dinmicosno-lineares possuem um comportamento que, na prtica, imprevisvel. A teoria do caos tem relaes estreitas com a geometriados fractais, como o conjunto de Mandelbrot e de Mary, descoberto porLorenz, conhecido pelo atrator que leva seu nome.

Um importante campo na matemtica aplicada a estatstica, quepermite a descrio, anlise e previso de fenmenos aleatrios e usada em todas as cincias. A anlise numrica investiga os mtodospara resolver numericamente e de forma eficiente vrios problemasusando computadores e levando em conta os erros de arredondamento. A matemtica discreta o nome comum paraestes campos da matemtica teis na cincia computacional.

Notao, linguagem e rigor

O smbolo do infinito em vrias formas.

A maior parte da notao matemtica em uso atualmente no haviasido inventada at o sculo XVI.[2] Antes disso, os matemticosescreviam tudo em palavras, um processo trabalhoso que limitava asdescobertas matemticas. No sculo XVIII, Euler foi responsvel pormuitas das notaes em uso atualmente. A notao moderna deixou amatemtica muito mais fcil para os profissionais, mas os iniciantesnormalmente acham isso desencorajador. Isso extremamentecompreensivo: alguns poucos smbolos contm uma grande quantidadede informao. Assim como a notao musical, a notao matemticamoderna tem uma sintaxe restrita e informaes que seriam difceis deescrever de outro modo.

A lngua matemtica pode tambm ser difcil para os iniciantes.Palavras como ou e apenas tm significados muito mais precisos doque a fala do dia-a-dia. Alm disso, palavras como aberto e campo tm

recebido um significado matemtico especfico. O jargo matemtico inclui termos tcnicos como homeomorfismo eintegral. Mas h uma razo para a notao especial e o jargo tcnico : matemtica requer mais preciso do que afala do dia-a-dia. Matemticos se referem a essa preciso da linguagem e lgica como "rigor".

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Matemtica como cincia

Conceitos e tpicos

Quantidades

O estudo de quantidades comea com os nmeros, primeiro os familiares nmeros naturais, depois os inteiros, e asoperaes aritmtica com eles, que chamada de aritmtica. As propriedades dos nmeros inteiros so estudadas nateoria dos nmeros, dentre eles o popular ltimo Teorema de Fermat. A teoria dos nmeros tambm inclui doisgrandes problemas que ainda no foram resolvidos: conjectura dos primos gmeos e conjectura de Goldbach.Conforme o sistema de nmeros foi sendo desenvolvido, os nmeros inteiros foram considerados como umsubconjunto dos nmeros racionais (fraes). Esses, por sua vez, esto contidos dentro dos nmeros reais, que sousados para representar quantidades contnuas. Nmeros reais so parte dos nmeros complexos. Esses so osprimeiros passos da hierarquia dos nmeros que segue incluindo quaternies e octonies.Consideraes sobre os nmeros naturais levaram aos nmeros transfinitos, que formalizam o conceito de contar ato infinito. Outra rea de estudo o tamanho, que levou aos nmeros cardinais e ento a outro conceito de infinito :os nmeros Aleph, que permitem uma comparao entre o tamanho de conjuntos infinitamente largos.

Nmeros naturais Nmeros inteiros Nmeros racionais Nmeros reais Nmeros complexos

Aritmtica Constante matemtica Nmero ordinal Nmero cardinal

Estrutura

Muitos objetos matemticos, tais como conjuntos de nmeros e funes matemticas, exibem uma estrutura interna.As propriedades estruturais desses objetos so investigadas atravs do estudo de grupos, anis, corpos e outrossistemas abstratos, que so eles mesmos tais objetos. Este o campo da lgebra abstrata. Um conceito importante anoo de vetor, que se generaliza quando so estudados os espao vetorial em lgebra linear. O estudo de vetorescombina trs das reas fundamentais da matemtica: quantidade, estrutura e espao.

lgebra abstrata lgebra linear Teoria da ordem Teoria dos grafos Teoria dos operadores

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Espao

O estudo do espao se originou com a geometria[3] - em particular, com a geometria euclidiana. Trigonometriacombina o espao e os nmeros, e contm o famoso teorema de Pitgoras. O estudo moderno do espao generalizaessas ideias para incluir geometria de dimenses maiores, geometria no-euclidiana (que tem papel central narelatividade geral) e topologia. Quantidade e espao juntos fazem a geometria analtica, geometria diferencial, egeometria algbrica.

Topologia Geometria Trigonometria Geometria diferencial Geometria fractal

Transformaes

Entender e descrever uma transformao um tema comum na cincia natural e clculo foi desenvolvido como umapoderosa ferramenta para investigar isso. Ento as funes foram criadas, como um conceito central para descreveruma quantidade que muda com o passar do tempo. O rigoroso estudo dos nmeros reais e funes reais soconhecidos como anlise real, e a anlise complexa a equivalente para os nmeros complexos.A hiptese de Riemann, uma das mais fundamentais perguntas no respondidas da matemtica, baseada na anlisecomplexa. Anlise funcional se foca no espao das funes. Uma das muitas aplicaes da anlise funcional aMecnica quntica. Muitos problemas levaram naturalmente a relaes entre a quantidade e sua taxa de mudana, eesses problemas so estudados nas equaes diferenciais. Muitos fenmenos da natureza podem ser descritos pelossistemas dinmicos; a teoria do caos descreve com preciso os modos com que muitos sistemas exibem um padroimprevisvel, porm ainda assim determinstico.

Clculo Clculo vetorial Equaes diferenciais Sistema dinmico Teoria do caos

Fundaes e mtodos

Para clarificar as fundaes da matemtica, campos como a matemtica lgica e a teoria dos conjuntos foramdesenvolvidos, assim como a teoria das categorias que ainda est em desenvolvimento.

Matemtica lgica Teoria dos conjuntos Teoria das categorias

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Matemtica discretaMatemtica discreta o nome comum para o campo da matemtica mais geralmente usado na teoria da computao.Isso inclui a computabilidade, complexidade computacional e teoria da informao. Computabilidade examina aslimitaes dos vrios modelos tericos do computador, incluindo o mais poderoso modelo conhecido - a mquina deTuring.

Teoria de nmeros Combinatria Teoria da computao Criptografia Teoria de grafos

Matemtica aplicadaMatemtica aplicada considera o uso de ferramentas abstratas de matemtica para resolver problemas concretos nacincia, negcios e outras reas. Um importante campo na matemtica aplicada a estatstica, que usa a teoria dasprobabilidades como uma ferramenta e permite a descrio, anlise e predio de fenmenos onde as chances temum papel fundamental. Muitos estudos de experimentao, acompanhamento e observao requerem um uso deestatsticas.Anlise numrica investiga mtodos computacionais para resolver eficientemente uma grande variedade deproblemas matemticos que so tipicamente muito grandes para a capacidade numrica humana; isso inclui estudosde erro de arredondamento ou outras fontes de erros na computao.

Fsica matemtica Mecnica dos fluidos Anlise numrica Otimizao

Teoria das probabilidades Estatstica Matemtica financeira Teoria dos jogos

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Matemticos notveis

al-Khwarizmi dAlembert Arquimedes Boole

Brahmagupta Cantor Cauchy Dedekind

Descartes Euclides Euler Fermat

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Galois Gauss Gdel Hamilton

Hilbert Hiptia Jacobi Khayym

Klein Kolmogorov Lagrange Laplace

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Leibniz Lebesgue Nash Neumann

Newton Noether Pascal Peano

Pitgoras Poincar Pontryagin Ramanujan

Riemann Russell Steiner Weyl

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Zermelo

[1] Honig, Chain S. e Gomide, Elza F. Captulo 2: Cincias matemticas. Pp. 35-60. In: Histria das cincias no Brasil. Coordenao: Ferri,Mrio Guimares e Motoyama, Shozo. So Paulo: EPU: Ed. da Universidade de So Paulo, 1979. 390p.

[2] Earliest Uses of Various Mathematical Symbols (http:/ / jeff560. tripod. com/ mathsym. html) (Contains many further references)[3] NOVA ESCOLA. Direo e dimenso (http:/ / revistaescola. abril. com. br/ matematica/ pratica-pedagogica/ direcao-dimensao-428166.

shtml)

Bibliografia BOYER, Carl B. Histria da matemtica. 2 Edio. So Paulo: Edgard Blcher Ltda, 1996. ISBN 8521200234. COURANT, Richard; ROBBINS, Herbert. O que Matemtica?. Cincia Moderna, 2000. ISBN 8573930217. DEVLIN, Keith. Matemtica: a Cincia dos Padres. Editora Porto, 2003. ISBN 9720451335.

Ligaes externas Instituto Nacional de Matemtica Pura e Aplicada (IMPA), Brasil (http:/ / www. impa. br/ )

Fontes e Editores da Pgina 12

Fontes e Editores da PginaMatemtica Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=38116703 Contribuidores: !Silent, 14-BIS, 200.249.56.xxx, 333, 4you, Adailton, Alchimista, Alexanderps, AndreHahn,Andregeraldo, Andr Ra, Anonyjuice, Antero de Quintal, Antonio Prates, Armagedon, Askopaskopaskop', Belanidia, Beria, Betovisk, Bisbis, Bons, Brauliobezerra, Buenas, CLI, Caiodnh,Campani, Camponez, Cdang, ChristianH, Clarice Reis, Coalashisx, Colaborador Z, CommonsDelinker, Coquel, Cyberpunk, Ccero, Daimore, Damio Sampaio, Daniduc, Darwinius, Der kenner,Dpc01, Dreispt, E2m, E2mb0t, Ediel Alex, Edissom, Edonis, Eduardo P, Eduardoferreira, Epinheiro, Eric Duff, Eric3000x, Escriba, EuTuga, FSogumo, Faustino.F, Feliciomendes,FredericoBentoMarques, Fbio San Juan, Fsicos e Matemticos, GOE, GRS73, Gaf.arq, Galgani, Gbiten, Gean, Geberta, Get It, Gil Costa, Giro720, Glavagnoli, Glum, Gnomovich, Gonzalcg,Gunnex, Gustavob, HJS, HOOPJPGJIERQGHER, HVL, Heiligenfeld, Helder.wiki, Henrique Oliveira mesmo, Henrique1712, Hist2, Holdfz, Humberto.shiromoto, Ian2OO8, Igor Nunes,Indech, Inox, Israel77, J Daglees, J. A. S. Ferreira, JSSX, Jacir Jos Venturi, Jack Bauer00, Jashf, Jbribeiro1, Jeanfrank Sartori, Jess Rovira, Jml3, Jo Lorib, Joanna Lincoln,Joao.pimentel.ferreira, Joao4669, JoaoMiranda, Joaoantoniodeoliveira, Joaopchagas2, Joaotg, Jofra, Jonathan Malavolta, Jonex, Jorge, Joo Carvalho, Joosilvaafonso, Juan Romera, Juntas,Kaktus Kid, Kenchikka, Kleiner, LIGUI, Lechatjaune, Lemarlou, Leonardmax, LeonardoG, Leslie, Lgrave, Lichkinga, Ligia, Lijealso, Litrix Linuxer, Lorisratoloko, Lseixas, Luan, Luckas Blade,Lulusilva159, Lus Felipe Braga, Maan, Madruga da silva sauro, Manuel Anastcio, Manuel de Sousa, MarceloRenard2, Marcos Elias de Oliveira Jnior, Marcos Viana "Pinguim",MarcosLauro, Martha Salerno Monteiro, Mateus Hidalgo, Matheus Faria, Matheus-sma, Maurcio I, Maxtremus, MelM, Merrill, Messias s. cavalcante, Milieh, Mireidas, Missionary,Mschlindwein, Msmatematica, NH, Nevinho, Nicolebc, Nuno Tavares, OS2Warp, OffsBlink, Opraco, Ovdio, Ozzyana, P. S. F. Freitas, PBJP, PG, Pedro00, Philostrate, Pietro Roveri, Pjbgr,Plataformista, Pomonews, Prima.philosophia, Profcardy, RNetto046, RafaAzevedo, Rafamurad, Rebeca lopes, Renato Mello, Reporter, Reynaldo, Ricardo Carneiro Pires, Ricardo PereiraPacheco, Richard Melo da Silva, Rjclaudio, Roberto A. J., Ruy Pugliesi, RfahHudson, S3o3b3e3l, SHASTA190200.ig.com.br, Saguix, Salgueiro, SallesNeto BR, SaraOliveira, Scott MacLean,Sebastiao.rocha, Skhola, Spell checker, Spoladore, Stinky cat, Stuckkey, Sturm, Teles, Thepalerider2012, Tiago2325, Tijolo Eltrico, Tilgon, Tumnus, Viajantedoar, Vini 175, Viniciusmc,Vintecano, Vit95, Vitor Mazuco, Whooligan, Wiki fel, WikiGT, Xandi, Xpons, Yanguas, Zoldyick, 690 edies annimas

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