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Ejercicios.

Ejercicio N1

Cada de un sistema computacional.

Se tiene la informacin de 80 semanas de operacin de un terminal de computacin conectado por va telefnica a un computador central, donde se registr el nmero de cadas del sistema por semanas. Los datos son los siguientes:

Tabule los datos y represente la distribucin mediante un grfico circular.

Comentarios pedaggicos.

Comentar con los alumnos que esta actividad involucra una variable discreta con apenas cuatro valores distintos. Por lo tanto, los alumnos comprendern que no conviene tabular la informacin considerando intervalos, ya que eso es adecuado, nicamente, en los casos de mayor variedad de valores de la variable.

La tabulacin apropiada para poder representar posteriormente la distribucin por medio de un grfico circular debe exhibir la frecuencia relativa o bien la frecuencia relativa porcentual que a continuacin se presenta:

As una forma de representar la situacin por medio de un grfico circular es la siguiente:

1 0 2 0 0 3 2 3 1 0 1 0 2 0 1 0 0 2 1 10 1 0 0 0 1 0 2 0 1 0 1 1 1 0 0 0 3 0 30 2 0 1 2 1 0 1 1 2 1 0 2 0 1 0 1 1 1 30 1 0 0 0 1 0 2 0 1 0 1 1 1 0 0 0 3 0 3

Cadas por semana Frecuencia

Frec. Relativa porcentual

0 36 45,00 1 27 33,75 2 10 12,50 3 7 8,75

Porcentajes de cadas del sistema computacional

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Ejercicio N2

Longitud de palabras.

Consideremos que la longitud de una palabra es la cantidad de letras que la forman. Por ejemplo la palabra mam tiene longitud 4. Elija una pgina no ilustrada de una novela que est leyendo y haga distintos tipos de grficos que exhiban la frecuencia con que aparecen las palabras segn sus longitudes.

Qu conclusiones puede obtener de la lectura de cada grfico?

Repita el experimento con otra pgina no ilustrada de la misma novela. Comparelosresultadosobtenidosenamboscasos.

Ejercicio N3

Los Gobernantes de Chile.

En la siguiente lista de gobernantes de Chile (desde 1920 en adelante) averige la duracin (en aos) de sus respectivos mandatos (sumando el tiempo en caso de repeticin)

A continuacin, resuma los datos (cantidad de gobernantes) en una tabla de frecuencias respecto al tiempo de duracin de mandatos. Luego, exhiba grficamente la informacin resumida.

Determine la moda A qu se debe su resultado?

Eduardo Frei Ruiz-Tagle Pedro Montt Patricio Aylwin Azcar German Riesco Augusto Pinochet Ugarte Federico Errzuriz Echaurren Salvador Allende Gossens Jorge Montt

Jos Joaqun Prez Pedro Aguirre Cerda Manuel Montt Torres Arturo Alessandri Palma Manuel Bulnes Juan Esteban Montero Rodrguez Joaqun Prieto Carlos Ibez del Campo



Comentariospedaggicos. Esta actividad se podra realizar en conexin con la asignatura de Ciencias Sociales.

Los alumnos debern buscar la informacin sobre la duracin de los mandatos de los gobernantes ya sea en textos ubicables en biblioteca del colegio o bien en Internet.

La representacin grfica ms adecuada es la dada por medio de un grfico de barra, en el cual la cantidad de aos de duracin de los mandatos se presentan en el eje horizontal y las frecuencias en el vertical.

Ejercicio N4

Encuesta sobre cantantes favoritos.

Producir una lista no muy larga de cantantes latinos populares, consultar a alumnos de su colegio con el fin de:

Comparar la preferencia para cada cantante entre ellos. Efectuar un ranking local sobre la popularidad de los cantantes. Exhibirelresultadopormediodeungrficocircular.


Este problema puede ser de inters para sus alumnos, cambiando eventualmente las caractersticas de los cantantes.

La seleccin de los cantantes latinos se podra efectuar, por ejemplo, por medio de una votacin realizada entre los estudiantes que abordaran la tarea.

Tanto la recopilacin de datos como la obtencin de informacin a partir de ellos se puede efectuar por medio de un trabajo cooperativo de los alumnos, socializando los resultados al final de cada actividad acordada.

Se podra pedir a los alumnos que exhiban los resultados en un afiche, as ellos reconocern las bondades de las representaciones visuales.

Una actividad similar se puede realizar considerando escritores o msicos conocidos por los alumnos, de novelas ledas por ellos, etc.

Eduardo Frei Montalva Jos Manuel Balmaceda Jorge Alessandri Rodrguez DomingoSantaMara Carlos Ibez del Campo Anibal Pinto Garmendia Gabriel Gonzlez Videla Federico Errzuriz Zaartu Juan Antonio Ros Morales

Francisco Antonio Pinto Emiliano Figueroa Ramn Freire Arturo Alessandri Palma Manuel Blanco Encalada Juan Luis Sanfuentes Ramn Freire Ramn Barros Luco



Ejercicio N5

Cambio de escala de notas.

A continuacin se da la tabla de frecuencia correspondiente a las notas finales de un curso en Ciencias Naturales, expresadas en la escala de 1 a 7:

Confeccione el histograma correspondiente a estos datos.

La Direccin del Colegio tambin pide dar otro histograma que separe a los alumnos en las tres categoras siguientes:

Reprobado: Alumno con nota en el intervalo [1,4[.

Aprobado: Alumno con nota en el intervalo [4,6[.

Distinguido: Alumno con nota en el intervalo [6,7].

Confeccione este nuevo Histograma.


El diseo del primer histograma se basa en la siguiente tabla:

Por lo tanto se tiene:

Intervalo Frecuencia [ 1 , 2 [ 2 [ 2 , 3 [ 3 [ 3 , 4 [ 7 [ 4 , 5 [ 18 [ 5 , 6 [ 7 [ 6 , 7 ] 3

Intervalo Frecuencia Long. intervalo Altura [ 1 , 2 [ 2 1 2 [ 2 , 3 [ 3 1 3 [ 3 , 4 [ 7 1 7 [ 4 , 5 [ 18 1 18 [ 5 , 6 [ 7 1 7 [ 6 , 7 ] 3 1 3

Distribucin de notas finales en Ciencias Naturales.



A continuacin se disea el segundo histograma, el cual da cuenta de los alumnos reprobado, los aprobados y los que se destacan por tener nota 6,0 o superior.

Al trmino del ejercicio, se puede preguntar a los alumnos cmo se podra construir el segundo histograma a partir del primero sin pasar por la lectura de la tabla. Ellos tendran que transformar geomtricamente los tres primeros rectngulos ( de reas 2, 3 y 7 unidades ) en otro de rea 12, cuya base mida 3 unidades; y los dos siguientes ( de reas 18 y 7 unidades ) en un rectngulo de rea 25, cuya base mida 2 unidades.

Intervalo Frecuencia Long. intervalo Altura [ 1 , 4 [ 12 3 4 [ 4 , 6 [ 25 2 12,5 [ 6 , 7 ] 3 1 3

Distribucin de notas finales en Ciencias Naturales.



Ejercicio N6

Actividad en torno al nmero

A continuacin usted tiene las 100 primeras cifras decimales del nmero (3,1415926535897932384626433.....):

Confeccione una tabla en la que se registre la cantidad de apariciones de cada dgito.

Cul es la frecuencia con que aparece una cifra par?

Cul es la frecuencia con que aparece una cifra impar?


Esta actividad se puede naturalmente conectar con geometra: desde una perspectiva histrica en la matemtica, su relacin con el permetro y rea de un crculo, etc.

Aparicin de cada dgito:

Aqu el alumno o la alumna podr observar que en la secuencia dada de cifras de ningn dgito se destaca por su ocurrencia o aparicin (frecuencia). Por lo tanto, la moda es irrelevante.

Paridad de las cifras:

En la siguiente tabla el alumno o alumna podr observar que las frecuencias de cifras pares y de cifras impares son prcticamente equiparables.

Ejercicio N7

1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7 9 3 2 3 8 4 6 2 6 4 3 3 8 3 2 7 9 5 0 2 6 6 4 1 9 7 1 6 9 3 9 9 3 7 5 1 0 5 8 2 0 9 7 4 9 4 4 5 9 2 3 0 7 8 1 6 4 0 6 2 8 6 2 0 8 9 9 8 6 2 8 0 3 4 8 2 5 3 4 2 1 1 7 0 6 7 9

Dgito 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Frecuencia 8 8 12 11 10 8 11 8 10 14

Cifra par Cifra impar

Frecuencia 51 49



Concentracin de ozono.

Uno de los indicadores ms importante de la contaminacin en grandes ciudades es la concentracin, medida en ppb, de ozono en la atmsfera.

En cierto sector de una ciudad se obtuvo informacin sobre ese contaminante, por medio de una medicin efectuada diariamente a las 13:00 hrs. Esta se resumi en la siguiente tabla:

Compare las frecuencias por medio de un histograma.


Antes de abordar la actividad, se puede solicitar a los(as) estudiantes que se informen sobre el rol ecolgico de la capa de ozono a nivel mundial y su ingerencia en la contaminacin ambiental, as como tambin del significado de la unidad de medida (ppb) usada para medir la concentracin de ozono.

As se obtiene la tabla:

El/la estudiante obtendr el siguiente histograma, en el cual observar, por ejemplo, que los niveles registrados con mayor frecuencia se encuentran entre 4 y 8 ppb.

Concentracin de Ozono Frecuencias

Intervalos Absolutas [ 0, 2[ 8 [ 2, 4[ 23 [ 4, 6[ 53 [ 6, 8[ 42 [ 8, 10[ 22 [10, 12[ 12

Frecuencias Marcas de Frecuencias Frecuencias

Intervalos Absolutas Clase Acumuladas Relativas [ 0 , 2 [ 8 1 8 0,05 [ 2 , 4 [ 23 3 31 0,14375 [4 , 6 [ 53 5 84 0,33125 [ 6 , 8 [ 42 7 126 0,2625 [ 8 ,10 [ 22 9 148 0,1375 [10 ,12 ] 12 11 160 0,075

Concentracin de ozono.



Ejercicio N8

Clasificacin de melones.

Un agricultor obtuvo una gran cosecha de melones. De los 50 camiones que salieron cargados, l seleccion al azar un meln de cada uno y les midi el dimetro (en cm).Los resultados de esta muestra fueron los siguientes:

Los melones son considerados de primera clase si su dimetro es de a lo menos 17cm. El inters del agricultor, es conocer aproximadamente cul es la proporcin de melones de primera que viaja en los camiones.

Para responder a esta inquietud, se debe procesar la informacin contenida en la muestra.

El supuesto bsico que se hace aqu, es que la proporcin observada en la muestra representa de cerca la proporcin de los melones de primera del cargamento total.

El primer paso puede ser la construccin de un tabligrama como el siguiente

Observando los datos, se puede observar que hay 14 melones que pueden ser considerados de primera en la muestra. Luego, a partir de esta simple observacin, podemos decir que si en los 50 melones escogidos hay 14 de primera, esto corresponde al 28% de la muestra, y por lo tanto, podra extrapolarse que en el cargamento va aproximadamente un 28% de melones de primera.

16.9 16.4 13.4 15.9 13.9 15.2 21.3 17.4 19.3 15.8 15.7 12.6 19.8 14.0 11.3 16.2 11.8 22.3 21.4 16.6 10.2 18.3 18.8 14.7 12.5 19.5 12.1 17.8 11.2 16.8 12.5 11.6 12.3 11.5 13.0 13.6 16.9 13.6 12.8 13.5 11.1 18.8 15.6 17.9 20.5 14.6 12.6 14.4 20.4 12.9

10 211 1 2 3 5 6 812 1 3 5 5 6 6 8 913 0 4 5 6 6 914 0 4 6 715 2 6 7 8 916 2 4 6 8 9 917 4 8 918 3 8 819 3 5 820 4 521 3 422 3



Qu pasa si en vez del tabligrama se construye una tabla de frecuencias como la siguiente y, a partir de ella, se intenta dar respuesta al agricultor?

En esta tabla se observa que el valor de inters, (dimetro 17cm.) se encuentra al interior del cuarto intervalo y no en un extremo. Esto complica un poco las cosas porque no se puede contar directamente cuntos melones sobrepasan la marca de calidad.

Obsrvese de cerca el cuarto intervalo. Su ancho es 1.8 cm. y 17 se encuentra a 0.2 cm. del extremo superior. Adems, la frecuencia del intervalo es 10 melones.

Si se supone que en el intervalo los datos se reparten en forma pareja y continua, sobre 17 habr una proporcin de melones equivalente a la proporcin dada por el cuociente 0.2/1.8, equivalente a 1/9. Es decir, habr (1/9)*10 = 1.111 melones.

Si se observa que en los intervalos superiores hay 6+5+3 = 14 observaciones, tendramos que el total de melones de primera, segn la tabla de frecuencias, es 14+1.111 = 15.111 melones. Este valor representa un 30.222% de la muestra segn la tabla.

Obsrvese que, dependiendo de la eleccin de los intervalos, puede haber respuestas diferentes.

Ejercicio N 9

Prueba de Aptitud Acadmica.

En la tabla siguiente se tiene los puntajes obtenidos en la Prueba de Aptitud Acadmica por 30 jvenes, provenientes de un mismo establecimiento educacional:

Dimetro Frecuencia [10.0, 11.8[ 6 [11.8, 13.6[ 12 [13.6, 15.4[ 8 [15.4, 17.2[ 10 [17.2, 19.0[ 6 [19.0, 20.8[ 5 [20.8, 22.6[ 3

Aptitud Verbal Aptitud Matemtica

Aptitud Verbal

Aptitud Matemtica

1 685 664 16 730 642 2 490 548 17 618 533 3 580 567 18 690 654 4 705 665 19 680 542 5 470 452 20 690 678 6 620 506 21 710 732 7 650 618 22 742 749 8 702 718 23 685 570 9 643 621 24 595 574



La Direccin del Colegio solicit hacer un estudio de estos resultados. En particular, le interesa:

Describir los puntajes obtenidos por los jvenes en la prueba de aptitud verbal.

Describir los puntajes obtenidos por los jvenes en la prueba de aptitud matemtica.

Comparar los puntajes obtenidos en cada prueba.

Desarrollo del estudio.

Estudio de los puntajes obtenidos en las pruebas de Aptitud Verbal y Matemtica.

Para cada prueba, complete una tabla con el siguiente formato usando intervalos de 50 puntos de longitud:

Haga una representacin grfica de las frecuencias por medio de sendos histogramas.

Compare los puntajes obtenidos en ambas pruebas.

Calcule los promedios y las desviaciones estndar correspondientes a partir de los datos originales y de los datos tabulados.

Qu observa al comparar sus resultados?

Postulacin a Ingeniera.

En cierta Universidad, para poder ingresar a la carrera de Ingeniera slo se considera la Prueba de Aptitud Acadmica ponderada como sigue:

40% la P. A. V. y 60% la P. A. M.

Se sabe que el puntaje mnimo de ingreso es de 620 puntos.

10 540 555 25 674 657 11 575 502 26 722 747 12 600 531 27 585 620 13 500 478 28 505 482 14 680 558 29 600 643 15 587 600 30 543 500

Clase Frecuencia Frecuencia relativa

[450,500[

[500,550[

...



Qu porcentaje de los 30 jvenes podra ingresar a esa carrera?


Sobre el estudio de los puntajes obtenidos en la Prueba de Aptitud Verbal y los puntajes obtenidos en la Prueba de Aptitud Matemtica:

El alumno podra considerar razonable elegir intervalos de igual longitud (50) y que, por lo tanto, en ambos casos el puntaje mximo se encontrara en el intervalo [700,750[.

Tabla de frecuencias de la P.A.V.

Tabla de frecuencias de la P.A.M.

Histogramas en que se describe la distribucin de puntajes:

Clase Frecuencia Frecuencia relativa [450,500[ 2 0,0666 [500,550[ 4 0,1333 [550,600[ 5 0,1666 [600,650[ 5 0,1666 [650,700[ 8 0,2666 [700,750[ 6 0,2000

Clase Frecuencia Frecuencia relativa [450,500[ 3 0,1000 [500,550[ 7 0,2333 [550,600[ 5 0,1666 [600,650 6 0,2000 [650,700[ 5 0,1666 [700,750[ 4 0,1333



En cuanto a promedio y desviacin estndar de los puntajes en cada prueba, se tiene:

Jvenes que podran ingresar a Ingeniera:

Aplicando la frmula:

Promedio ponderado = 0,4P.A.V. + 0,6 P.A.M.

Se obtiene la siguiente tabla.

De la observacin directa de los valores obtenidos, se puede ver que 13 jvenes podran ingresar a

P. A. V. P. A. M.

Promedio 626,533 596,866 Desviacin estndar 77,609 83,280

P.A.V. P.A.M. Promedio ponderado P.A.V. P.A.M. Promedio

ponderado 685 664 672,4 730 642 677,2 490 548 524,8 618 533 567,0 580 567 572,2 690 654 668,4 705 665 681,0 680 542 597,2 470 452 459,2 690 678 682,8 620 506 551,6 710 732 723,2 650 618 630,8 742 749 746,2 702 718 711,6 685 570 616,0 643 621 629,8 595 574 582,4 540 555 549,0 674 657 663,8 575 502 531,2 722 747 737,0 600 531 558,6 585 620 606,0 500 478 486,8 505 482 491,2 680 558 606,8 600 643 625,8 587 600 594,8 543 500 517,2



Ingeniera. Este valor equivale al 43,33% de la muestra.



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