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XI CONGRESO INTERNACIONAL DE LA ACADEMIA DE CIENCIAS
ADMINISTRATIVAS A.C. (ACACIA)
DETERMINACIÓN DE LA UTILIDAD ECONÓMICA DEL CICLO PRODUCTIVO DE UNA PIARA MEDIANTE LA APLICACIÓN DE
UNA RED DE PETRI ESTOCÁSTICA
Mesa de Trabajo: Ingeniería y Gestión de Sistemas
Héctor Rivera Gómez 1 , Jaime Garnica Gonzalez 1
1 Centro de Investigación Avanzada en Ingeniería Industrial (CIAII), Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo
(UAEH), Pachuca Hidalgo, México Teléfono: (01 771) 7172000, extensión: 6745, fax: (01 771) 7172000 ext: 6733,
Email: [email protected]
22, 23, 24 y 25 de Mayo de 2007, Tlaquepaque, Jalisco México
Determinación de la Utilidad Económica del Ciclo Productivo de una Piara
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DETERMINACIÓN DE LA UTILIDAD ECONÓMICA DEL CICLO PRODUCTIVO DE UNA PIARA MEDIANTE LA APLICACIÓN DE
UNA RED DE PETRI ESTOCÁSTICA
Resumen: El objetivo del presente trabajo es presentar la aplicación de una Red de Petri Estocástica en la modelación del ciclo productivo de una piara, se busca determinar la utilidad económica y la productividad de una piara formada por cerdas en edad reproductiva. La técnica usada consiste en determinar las caracterısticas de la red de Petri asociada al problema y obtener soluciones óptimas del sistema en condiciones estado estable. Se reportan los resultados teóricos y se ejemplifica el modelo con datos reales obtenidos de reportes de investigaciones previas.
Palabras Clave Red de Petri Estocástica, Procesos semimarkovianos, Ergodicidad, Programación lineal, Productividad porcina, Utilidad Económica
Determinación de la Utilidad Económica del Ciclo Productivo de una Piara
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I. Introducción
El objetivo de este trabajo consiste en desarrollar técnicas alternas de modelación del
ciclo productivo de una piara representado por una Red de Petri Estocástica. Se
caracteriza la Red de Petri asociada al comportamiento del ciclo productivo de la piara
con el fin de evaluar su evolución en el tiempo. La hipótesis de la investigación
considera que el ciclo productivo de la piara puede ser modelado por una Red de Petri
Estocástica viva. En este trabajo se presenta una breve reseña sobre la situación que
guarda el sector porcino en México a fin de justificar esta investigación desde una
perspectiva económica. A manera de marco teórico, se discuten algunas técnicas y
autores relacionadas con el problema. Posteriormente, presentamos nuestra propuesta
en forma analítica y, finalmente, presentamos la solución de algunas instancias con
datos obtenidos en Plá et al. [1]
II. Antecedentes
A. Aspectos del sector porcino en México
La producción porcina en México presenta una tendencia de crecimiento a partir del
año 1996 hasta el año 2002, año en el cual se inicia un periodo de disminución en la
producción. Hacia el año 2005 se encuentra que la producción porcina asciende a
1,087,800 toneladas. La tendencia del sector para los próximos años señala que existir
´a un crecimiento. En conjunción con la tendencia mundial, también existen claros
indicios de que el consumo de cerdo seguirá creciendo al menos en las próximas dos
décadas [2]. Por lo anterior, existe a nivel mundial un marcado interés en profesionalizar
la crianza de este y otros mamíferos, como bovinos y caprinos (ver por ejemplo Plá et al
[1] y Kristensen [3]) para abastecer los mercados cada vez más demandantes de dichos
productos. Los objetivos se enmarcan en lograr mayor producción de carne a partir de
la crianza y conservación de hembras altamente rentables en la producción de
camadas (lechones para el caso de los cerdos).
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En materia de costos de producción, y con base en la información del sistema de
costeo, la alimentación del animal es el egreso más importante, seguido por los costos
financieros; le siguen las erogaciones en materia de energía eléctrica, combustibles,
transportes, impuestos y gastos de mantenimiento, entre otros. El cuarto concepto es el
de medicamentos. En la actualidad, el sistema semitecnificado de crianza en México
presenta importantes niveles de perdida, debido a que, independientemente de que se
hace un gran esfuerzo para la reducción de los costos en general y se tiene un precio
relativamente estable, la persistencia de la baja productividad, les confiere baja o nula
competitividad con respecto a los productores tecnificados e integrados orillando a los
pequeños y medianos productores a reorientar sus ventas a pequeños mercados
regionales o locales, en donde no enfrentan competencia con producto de granjas
tecnificadas ó de importación. [4]
Por lo anterior, resulta de gran importancia desarrollar técnicas modernas de crianza
altamente tecnificada, con el apoyo de capacitación y tecnología computacional para la
toma de decisiones relacionadas con las inversiones del proceso, las cantidades
óptimas de animales en las piaras y la optimización de cadenas de comercialización
entre otras.
B. Red de Petri Estocástica
Cuando los retrasos de tiempo son modelados como variables aleatorias, o cuando las
distribuciones de probabilidad son agregadas a los modelos de redes de Petri
determinísticos para la resolución de conflictos, los modelos de redes de tiempo
estocástico son una alternativa viable. En estos modelos, se ha convertido una
convención el asociar retrasos de tiempo solo con las transiciones. Cuando las
variables aleatorias son en general distribuciones o variables aleatorias, el modelo de
red resultante no puede ser resuelto analíticamente. Así que se utiliza la simulación o
métodos de aproximación. Las Redes de Petri Estocásticas son aquellas donde el
retraso de tiempo para cada transición se asume como aleatorio y exponencialmente
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distribuido (SPN). Los modelos SPN que tienen transiciones inmediatas, por ejemplo
con retrasos de tiempo de cero, se llaman Redes de Petri Estocásticas Generalizadas.
Ambos modelos, incluyendo extensiones tales como transiciones prioritarias, arcos
inhibidores, y arcos probabilísticos pueden ser convertidos en su equivalente Cadena
de Markov. Así que su análisis puede ser conducido al resolver un conjunto de
ecuaciones matemáticas.
Una Red de Petri Estocástica es (P, T, I, O, m0, Λ), donde + → = Λ R T es la función de
disparo asociando tasas de disparos positivos a todas las transiciones, Normalmente,
se utiliza λ i para denotar la tasa de disparo de t i.
Note que cada tasa de disparo de una transición puede ser de marcaje dependiente. El
siguiente teorema se debe a [Mohillo, 1982].
TEOREMA: Cualquier lugar finito, transiciones finitas, el marcaje de la Red de Petri
Estocástica es isomorfa a un proceso Markoviano de un espacio discreto de una
dimensión. Un Red de Petri Estocástica es isomorfa a un proceso Markoviano finito o
Cadena de Markov.
Note que un proceso de Markov de 1 dimensión solo tiene una variable aleatoria. En
una SPN equivalente a un Proceso Markoviano, el tiempo es la ´única variable
aleatoria.
C. Cadena de Markov
Un proceso estocástico se define como una colección de variables aleatorias Xt,
donde el índice t toma valores de un conjunto T dado. Con frecuencia T se toma como
el conjunto de enteros no negativos y Xt, representa una característica de interés
mensurable en el tiempo t. Los procesos estocásticos son de interés para describir el
comportamiento de un sistema en operación durante algunos periodos. Un proceso
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estocástico es una cadena de Markov si presenta la propiedad markoviana. Se dice que un proceso estocástico Xt tiene la propiedad markoviana si:
P Xt+1 = j | Xo = ko, X1 = k1, …, Xt1 = kt1, Xt = i = PXt+1 = j | Xt = i, para t=0, 1, … y toda sucesión i, j, k0, k1, …, kt1,
En palabras esta propiedad establece que la probabilidad condicional de cualquier
evento futuro dados cualquier evento pasado y el estado actual Xt = i, es independiente
de los eventos pasados y solo depende del estado actual del proceso.
D. Estado del arte
El área dominante de modelos de reemplazo en sistemas de producción animal ha sido
estudiada más bien, en conexión con problemas de inseminación y tratamiento médico.
No obstante, existen avances muy significativos en materia de modelación de manadas
(ver por ejemplo Kristensen y Jorgensen, [3]). Los inicios de la modelación de ciclos de
producción animal se refieren a problemas de reemplazo en atos de vacas publicada
por Jenkins y Halter en 1963. Aquí, se aborda de manera formal esta instancia desde
una perspectiva de la programación matemática. Su modelo incluyó solamente la
variable relacionada con el número de lactaciones.
A mediados de los ochentas Giaver [5] desarrolló una metodología relacionada con la
aplicación de las cadenas de Markov a problemas de reemplazo en rebaños de
animales. En la actualidad este problema tiene un problema de dimensionalidad de la
cadena, en cuanto al número de estados que conforman a la cadena. Lo anterior, en
razón que el proceso de solución es altamente prohibitivo aun usando computadoras
modernas. En los años 2003 y 2004, Plá y Pomar [5] realizaron un modelo para el
reemplazo de cerdos basado en las cadenas markovianas, donde utilizan una función
de ganancia esperada promedio por unidad de tiempo como función de eficiencia, pero
no incorporaron aspectos de diferencia genética de los animales. En esta propuesta
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retomamos la idea de Plá [5] para caracterizar con su propia información, las cadenas
asociadas con los ciclos reproductivos de cerdas dentro de una piara.
III. Metodología
En este trabajo se contemplan los estados y condiciones más representativas de la
piara. Se tomo como base el diagrama de flujo modelo de una granja dedicada a la
producción de cerdos propuesto por la Secretaria de Agricultura, Ganadería, Desarrollo
Rural, Pesca y Alimentación (SAGARPA) [3], el cual se presenta en la figura 3.
Bajo el supuesto de que el comportamiento del ciclo reproductivo de las cerdas de la
granja porcina puede ser representado como una cadena de Markov ergódica, se
procede a modelar ésta utilizando como políticas, las de conservar a las cerdas en la
piara, o bien, sacarlas de la misma si ´estas no son productivas. Las probabilidades de
transición son estimadas a partir de datos observados en un periodo de tiempo fijo
(Billingsley, 1961). Así, las probabilidades de máxima verosimilitud para cada transición
están dadas por la ecuación (1):
i
ij
n n
a i j p = ) , / (
Donde ij n es el n´umero de cerdas que pasan del estado i al estado j, cuando es
tomada la acción a y ∑ ∈ =
S k ik i n n es el número total de cerdas reproductivas que han
pasado a través del estado i durante el periodo considerado. Las acciones representadas son aquellas relacionadas a mantener las cerdas. La acción de
reemplazar significa que una cerda es trasladada al estado cero con probabilidad uno.
El diagrama de flujo de la figura 1, se considera como un ciclo productivo real. A fin de
reducir el espacio de estados y tener una cadena de Markov manejable, en este trabajo
se considerarán los siguientes estados reportados en Plá et al [5]: Cubrición (cubre la
(1)
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etapa de inseminación o monta), Gestación, Lactación (implica la actividad de
maternidad y destete), Aborto (abarca la etapa de Desechos y Bioseguridad), Muerte.
En una situación real, estos estados siguen el ciclo de vida natural de las cerdas. Note
que cada ciclo productivo está formado sólo por 5 estados. En general se contemplan 8
ciclos productivos para las cerdas dentro de la piara, esto implica que las cerdas
pueden tener un máximo de 8 camadas en la granja, después de esto serán
reemplazadas por un nuevo animal. Así, la cadena de Markov propuesta está formada
por 40 estados. El diagrama de transición para los estados de los 8 ciclos productivos
se muestra en la figura 2. Las variables representativas de los estados que caracterizan
a cada ciclo i son las siguientes:
i C ~ cubrición en el iciclo
i G ~ gestación en el iciclo
i L ~ lactación en el iciclo
i A ~ aborto en el iciclo
i M ~ muerte en el iciclo
Para el conjunto de estados y transiciones definidos se establece una serie de
consideraciones posibles, si un animal aborta se reemplaza. El reemplazo se considera
inmediato, por lo que los animales que se eliminan se cambian por otros los cuales
inician en el estado 0 (C1).
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Figura 1: Diagrama de flujo de una granja dedicada a la producción de cerdos en confinamiento
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Figura 2: Diagrama de transición de estados
La cadena de Markov desarrollada se presenta en la figura 5:
Matriz de transición para los 15 estados del proceso
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La metodología que se desarrollo en este trabajo, esta conformada por las siguientes
actividades:
1) Modelación de la piara mediante una Red de Petri Estocástica.
2) Generación del grafo de alcanzabilidad R(m0).
3) Análisis del proceso markoviano
IV. Resultados
A. Modelación de la piara mediante una Red de Petri Estocástica.
Con las probabilidades de transición de la matriz de transición de estados de la Cadena
de Markov asociada al ciclo de producción de la piara, es posible construir la Red de
Petri Estocástica isomorfa a la Cadena, en este caso se utilizó el software Petri Net
Tool, el cual funciona en la plataforma de Matlab y permite simular redes de Petri
estocásticas, La RdP generada es la de la figura 2, observe como esta RdP es similar a
la figura 4. En este caso fueron necesarios 15 lugares y 29 transiciones para la
construcción de la RdP. Se utilizó solo una marca en el lugar C1.
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Figura 3: Red de Petri Estocástica del ciclo productivo de la piara
Al analizar detalladamente la Red de Petri Estocástica generada, se encontró que esta
red cuenta con las siguientes características:
• Vivacidad
• Conservativa
• Repetitiva
• Limitada
La matriz de incidencia de la RdP es la siguiente:
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Matriz de incidencia de la RdP
B. Generación del grafo de alcanzabilidad R(m0).
Por la naturaleza de la Red de Petri Estocástica del problema solo tiene 14 diferentes
marcajes, en donde el grafo de alcanzabilidad es el mostrado en la figura 4. La relación
completa de marcajes de la RdP es el mostrado en la figura 5:
Mi = [C1, A1,G1, M1, L1, C2, A2, G2, M2, L2, C3, A3, G3, M3, L3]
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Figura 4: Grafo de alcanzabilidad de la RdP
Figura 5: Listado de Marcajes de la RdP
C. Análisis del proceso markoviano a. Determinación de arribos En este caso al utilizar el software PNTOOL fue posible determinar los arribos a los 15
diferentes lugares que conforman a la RdP, en este caso se realizaron dos corridas con
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1000 y 10,000 eventos, estos arribos se comparan con las probabilidades estado
estable de la Cadena de Markov las cuales se calcularon al resolver las ecuaciones (2):
Los valores de i significan que la probabilidad de encontrar al proceso en cierto
estado, después de un número grande de transiciones tiende al valor i y es
independiente de la distribución de probabilidad inicial definida por los estados.
Tabla I: Probabilidades de transición estadoestable
Para todo j = 0, 1, …, M
(2)
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En la tabla 2, se muestra la fracción de veces que el sistema estará por ciclo productivo,
en este caso se sumo la fracción de veces de cada uno de los 5 estados que conforman
a los 3 ciclos productivos.
Tabla II: Fracción de veces que el sistema esta en el Cicloi
c. Cálculo del costo promedio esperado bajo la decisión de mantener a las cerdas en la piara
El cálculo del costo promedio a largo plazo por unidad de tiempo asociado a una
cadena de Markov está dado por la ecuación (3):
En la tabla III se muestra el detalle de los costos e ingresos asociados a los 15 lugares
de la RdP, la forma de definir estas cifras fue el considerar los diversos gastos e
ingresos generados por la alimentación, gastos financieros, medicamentos, costos fijos,
venta de animales.
Tabla III: Costo e ingresos de la piara
(3)
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Al aplicar la ecuación (3) a los datos de la tabla I se obtiene el costo promedio esperado
de mantener los cerdos dentro de la piara, note que en el sistema productivo se obtiene
una utilidad, la cual con una simulación de 10,000 eventos es de $761.75.
Ta
bla IV: Costo promedio esperado de la piara
Es interesante como el costo promedio esperado a largo plazo en este caso la utilidad
baja considerablemente a $739.66, esto se debe porque con las corridas de 1000 y
10,000 eventos los porcentajes de arribos a los lugares de la RdP aún no están en
condiciones estad estable, lo que conlleva a que se tengan variaciones en esta cifra.
IV Discusión
Los resultados de la tabla I y II son de gran interés en la planeación de una granja
porcina, puesto que estos datos son se utilidad al trabajar con la distribución en planta
de la granja y también para tener una herramienta para administrarla. De la tabla II
podemos observar que cerca del 80% de los cerdos de la granja estarán en los 2
primeros ciclos productivos, mientras que en el ciclo 3 menos del 22% de la población
de cerdos se encontrará en el. Con esta información se puede tener datos que permitan
prever acciones futuras. En cuanto al costo promedio esperado de la cadena de Markov
se espera que a la larga se tenga alrededor una utilidad de $739.66 por animal en la
granja. La RdP desarrollada está formada de tal manera que es: viva, conservativa,
repetitiva y limitada.
V Conclusión
La RdP desarrollada es isoforma a una Cadena de Markov formada por una clase
única aperiódica e irreducible, puesto que sus 15 estados comunican entre sí, además
no se encuentra en la cadena ningún estado absorbente de hecho, todos los estados
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son recurrentes, lo que implica que la cadena sea ergódica. Lo anterior demuestra la
hipótesis propuesta, por lo que es posible desarrollar la aplicación en futuros trabajos
de un proceso de decisión markoviano en la determinación de políticas optimas en el
problema de reemplazo de animal en una granja porcina.
Referencias
[1] Plá, L.M., Pomar, C., Pomar, J. (2003) , “A Markov decision sow model representing”, Agricultural systems, Elsevier.
[2] Gallardo, J. N. (2005), “Situación actual y perspectiva de la producción de carne de porcino en M´exico 2005”, SAGARPA.
[3] Kristensen, Anders R. (1996), “Dynamic programming and Markov decision processes”, Dept. of Animal Science and Animal Health, Royal Veterinary and Agricultural University, URL: ftp: //ftp.dina.kvl.dk/pub/Dina? reports/notatXX.ps
[4] Gallardo, J. N. (2006), “Situación actual y perspectiva de la producción de carne de porcino en M´exico 2006”, SAGARPA.
[5] Plá, L.M., Pomar, C., Pomar J.(2004), “A sow herd decision support system based on an embedded Markov model”, Computers and electronics in agriculture, Elsevier.
[6] Pinelli S. A.(2004), “Manual de Buenas Prácticas de producción en Granjas Porcicolas”, SENASICA.
[7] Kao E. P. C. (1997), “An Introduction to Stochastic Processes”, Duxbury Press, Belmont, CA.
[8] Karlin, S. y H. Taylor, (2003), “An Introduction to Stochastic Modeling”, 3a ed., Elsevier, Nueva York.
[9] Resnick, S. I. (1992), “Adventures in Stochastic Processes”, Birkháuser, Boston.
[10] Ross, S. (1995), “Stochastic Processes”, 2a ed., Wiley, Nueva York.
[11] Wu, B. (1992),“Manufacturing Systems Design and Analysis”, Chapman & Hall, London.
[12] Zhou, MengChu (1998), “Modeling simulation, and control of flexible manufacturing”, World Scientific Publishing, Singapore.
