Y DE LA ETTI ('1 · 2018. 3. 19. · modelo CIR, que supone que la ETTI viene determinada en cada momen- to por el tipo de interés a corto plazo, ... frente al modelo unifactorial

REVISTA ESPAÑOLA DE FINANCIACIÓN Y CONTABILIDAD Vol. XXX, n." 110 octubre-diciembre 2001 pp. 1167-1199

Marco Leber

Javier F. Navas Iizstituto de Ei~zp~esa

José Antonio Soler BSCH

VALORACION DE BONOS EN EL MERCADO DE DEUDA DEL ESTADO CON MODELOS ESTADÍSTICOS Y DINÁMICOS DE LA ETTI ('1

Resunzen.-Palabras clave.-Abstract.-Key WOY~S. - l . Intr0d~cciÓn.- 2. Los modelos de valoración: 2.1. Nociones previas.

2.2. El modelo de McCulloch [1971]. 2.3. La curva ~ e ~ o - ~ w a ~ . 2.4. El modelo de una variable de Cox, Ingersoll y Ross [1985].-

3. Valoración de bonos del Estado español: 3.1. Datos. 3.2. Implementación de los modelos. 3.3. Errores de valoración.-

4. Resumen y conc2usiones.-Referencias bibliográficas.

E STE trabajo estudia la valoración de bonos en el mercado español de deuda pública con modelos estáticos y dinámicos de la ETTI. Por una parte se utiliza la curva de tipos cupón cero construida con la metodología de McCulloch [1971] a partir de precios de bonos, y . la obtenida con depósitos interbancarios y swaps de tipos de interés

. (IRSs). Por la otra se utiliza el modelo de una variable de Cox, Imgersoll, y Ross [1985] (CIR).

(*) Agradecemos los comentarios y sugerencias de dos evaluadores anónimos que han contribuido a mejorar significativamente este artículo.

Recibido 29-02-00 Aceptado 0 1-02-01 Copyright O 2001 Asociación Española de Contabilidad y ~dniinistración de Empresas ISSN 0210-2412

Marco Lcber, Javici- F. Navas y Jos6 Antonio Soler artícdos doctrinales

Por constr-ucción, es de esperar que los errores de valoración de los modelos estáticos sean muy pequeños, por lo que estos modelos suelen utilizarse, entre otras cosas, para valorar bonos, IRSs, y FRAs. Sin embargo, al no incorporar dinámica alguna de los tipos de interés, no se pueden utilizar para valorar opciones. Por ello se desarrollan los modelos dinámicos. Antes de valorar opciones, resulta de interés conocer el eri-or que estos modelos pueden cometer en la valoración de instrumentos bá- sicos. Nuestros resultados indican que los modelos estáticos valoran los bonos con mayor precisión que el modelo CIR. No obstante, este último valora razonableil~ente bien los bonos a corto y i~ledio plazo. Sin embargo, como es sabido, esta es una condicióii necesaria pero no suficiente para valorar correctamente opciones de tipos de interés a corto plazo.

1 PALABRAS CLAVE Estructura temporal de tipos de interés; Curva cupón cero; Valoración

de bonos.

1 ABSTRACT This paper compares the performance of «static» and «dynamic» term

structure models, when pricing government bonds in the Spanish mar- ket. On the one hand, we price bonds using the yield curve constructed with the cubic spline method of McCulloch [1971], as well as the curve based on short-term interbank deposits and interest rate swaps. On the other hand, we implement the Cox, Ingersoll, and Ross E19851 (CIR) one- factor mod'el of the term structure of interest rates.

By construction, static term structure models should price bonds more accurately. However, these models are not suitable for pricing options, since they do not model the evolution of interest rates through time. This is precisely what dynamic models do. Before pricing options, it is interesting to know whether dynamic term structure models are useful for pricing simple securities. Our results indicate that, as expected, static models price bonds more accurately than the CIR model. Nonetheless, the CIR model prices reasonably well short- and medium-term bonds (up to 4 years). However, as is well known, this is a necessary but not sufficient condition to price correctly short term interest rate options.

artículos Marco Leber, Javier F. Navas y José Antonio Soler VALORACIÓN DE BONOS EN EL MERCADO DE DEUDA DEL ESTADO

1169 doctrinales

KEY WORDS

Term structure of interest rates; Yield curve; Bond pricing. ~ I

1. INTRODUCCI~N

Pocos dudan de la importancia que tiene una adecuada modelización de la estructura temporal de los tipos de interés (ETTI) para la correcta valora- ción de instrumentos financieros cuyos flujos de dinero se distribuyen a lo largo del tiempo. Aunque existen un sinnúmero de modelos, los podemos clasificar en dos grandes gnipos: modelos estáticos y modelos dinámicos. I

Los modelos estáticos parten de los datos del mercado para construir la función de descuento (o la curva de tipos cupón cero) en cada momento. l

La construcción de la curva se puede hacer de múltiples formas depen- diendo de los datos utilizados. Así podemos citar los métodos que emplean 1 1 técnicas de bootstrapping a partir de bonos o de los tipos de interés de las ramas fijas de los IRSs (ver Fabozzi [1993]). Existen otros métodos que estiman directamente la función de descuento (para luego obtener la correspondiente curva cupón cero), o una curva teórica con bonos a la par. Como ejemplo podemos mencionar los modelos de los esplines cuadráticos, cúbi- cos, o exponenciales de McCulloch 11971 y 19751. Estos modelos han sido aplicados en el mercado español por Contreras y Navarro [1993], Ezquiaga y Gómez [1995] y Núñez [1995], entre otros. Finalmente, Nelson y Siegel 119871 y Svensson [1994] proponen modelos más sofisticados que utilizan tipos de interés forward en cada período de estimación.

Una vez construida la función de descuento (l), para valorar un ins- trumento financiero con pagos conocidos de antemano, se descuenta cada flujo de dinero al tipo de interés correspondiente. De esta forma podemos valorar instrumeiltos como bonos, IRSs, y FRAs. Sin embargo, para valorar opciones, hay que tener en cuenta la evolución estocástica del 1 subyacente, en nuestro caso el tipo de interés. Por ello se desarrollan modelos teóricos que incorporan la dinámica de los tipos de interés.

Los modelos dinámicos más simples son los que utilizan una sola variable para definir la ETTI en cada momento. La sencillez de estos modelos unifactoriales y su aceptable éxito en determinados casos los hacen

(1) Para un nivel de riesgo de crédito determinado.

1170 Marco Leber, Javier F. Navas y Josk Antonio Soler s ~ r t í ~ ~ l o s VALORACIÓN DE BONOS EN EL MERCADO DE DEUDA DEL ESTADO doctrinales

muy atractivos para un gran número de aplicaciones. Uno de los ejem- plos más conocidos de estos modelos, y el utilizado en este trabajo, es el modelo CIR, que supone que la ETTI viene determinada en cada momen- to por el tipo de interés a corto plazo, que se mueve siguiendo el proceso raíz cuadrada (con reversión a la media). Por tanto, en este modelo (y en todos los unifactoriales tradicionales) se supone que las rentabilidades de los bonos con distinto vencimiento están perfectamente correlacionadas, lo cual no se cumple en la realidad (como más tarde veremos).

Los modelos de una variable suelen fallar cuando se valoran instrumentos más complejos cuyo valor depende, por ejemplo, de la evolución de los tipos de interés a corto y largo plazo. Es entonces cuando surgen modelos bifactoriales o trifactoriales de la ETTI. Entre los primeros se encuentra el modelo de Brennan y Schwartz [1979], que emplea los tipos de interés a corto y largo plazo, y el de Schaefer y Schwartz [1984], que utiliza el tipo de interés a perpetuidad y el diferencial entre el tipo a cor- to plazo y el tipo a perpetuidad. Moreno [1996] desarrolla una versión distinta del modelo anterior, en la que los factores son el tipo a largo y el diferencial entre el tipo a corto y a largo plazo, proporcionando fórmulas cerradas de valoración. Por otra parte, Longstaff y Schwartz [1992] pre- sentan un modelo bifactorial basado en el tipo de interés a corto y la volatilidad del tipo a corto.

Desde el punto de vista de valoración, parece lógico suponer que los modelos bifactoriales van a ser siempre superiores a los unifactoriales. Navas [2000] muestra que eso no es necesariamente cierto. El autor estudia la habilidad de los modelos bifactoriales de Longstaff y Schwartz [1992] y Schaefer y Schwartz [1984] frente al modelo unifactorial CIR para valorar bonos del tesoro estadounidense. Los resultados muestran que, sorprendentemente, los modelos bifactoriales valoran las letras del tesoro a un mes peor que el modelo CIR. Este hecho unido a la mayor sencillez de implementación justifica el haber utilizado el modelo CIR como representativo de los modelos dinámicos en nuestro trabajo.

El problema con los modelos dinámicos anteriores (considerados como tradicionales) es que no son consistentes con la curva de tipos del mercado, es decir, la curva de tipos implícita en los mismos suele ser muy distinta de la curva de tipos del mercado. Las consecuencias que esto tiene en la valoración de bonos y derivados de tipos de interés son drásticas, y han sido analizadas en el mercado español por Navas [1999]. consecuentemente, se han desarrollado modelos dinámicos más complicados que incorporan la evolución estocástica de todala curva de tipos de interés, como son, por ejemplo, los de Ho y Lee [1986], Heath, Jarrow y Morton [1992], Hull y White [1990], Black, Deman y Toy [1990] o Santa-Clara y Sornette [1999].

~ & ~ C U ~ O S Marco Leber, Javier F. Navas y José Antonio Soler

doctrinales VALORACI~N DE BONOS EN EL MERCADO DE DEUDA DEL ESTADO 1171

Estos modelos son consistentes con la curva de tipos del mercado por constn~cción, por lo que valorarán perfectamente los bonos. Sin embargo, para valorar adecuadamente derivados también es necesario que los modelos describan correctamente la estnictura temporal de volatilidades.

La utilización de modelos estáticos o dinámicos para la valoración de instnimentos financieros depende, pues, de la naturaleza de los propios instrumentos y de la filosofía de la entidad financiera que los utilice. Es frecuente encontrar entidades que utilizan modelos distintos para valorar y cubrir diferentes instrumentos. Por ejemplo, es habitual valorar caps y opciones sobre bonos ad 110~ adaptando convenientemente el modelo de Black [1976]. Sin embargo, actuando de esta forma se pierden las sinergias que se podrían alcanzar consolidando los libros de negociación , de distintos instrumentos. Esto lleva a algunas entidades a valorar bonos y derivados de tipos de interés de forma unificada, empleando una meto- dología general, como, por ejemplo, el modelo de equilibrio general de Cox, Ingersoll y Ross [1985].

En este trabajo medimos el error que el modelo CIR comete en la va- loración de bonos en el mercado español de deuda pública, y lo compa- ramos con el cometido por modelos estáticos de la ETTI. Dado que los modelos estáticos se construyen a partir de los precios de mercado de un conjunto de instrumentos en cada instante, es de esperar que sus errores de valoración sean menores que los del modelo CIR. En este artículo confirmamos esa hipótesis, aunque el modelo CIR valora razonablemen- te bien bonos a corto y medio plazo.

Navas [1999] muestra que una correcta valoración de bonos es condi- ción necesaria, pero no suficiente para una correcta valoración de derivados de tipos de interés. Por tanto, nuestros resultados parecen desa- consejar la utilización del modelo CIR para valorar opciones de tipos de interés a largo plazo. Su idoneidad para valorar opciones de tipos a corto plazo dependerá de otros factores, como la capacidad del modelo de describir adecuadamente la estructura temporal de volatilidades. En cualquier caso, la valoración de derivados de tipos de interés con modelos di- námicos de la ETTI queda fuera del alcance de este trabajo, y ya ha sido analizada por otros autores en el mercado español (2).

La estructura del trabajo es la siguiente. La sección 2 presenta la ter- minología seguida y los modelos de valoración de bonos utilizados. En la sección 3, se describen los datos empleados, se comenta la implementa- ción de los modelos, y se estudian los resultados obtenidos. Finalmente, la sección 4 resume y concluye el artículo.

1 ( 2 ) Véase, por ejemplo, Moreno [1996] y Navas [1999].

1172 M a r c o L e b e i , Javicr F. Navas y J o s é A n t o n i o S o l e r artículos VALORACIÓN DE BONOS EN EL MERCADO DE DEUDA DEL ESTADO doctrinales

Si denotamos por P(z) al precio en el instante t de un bono cupón cero que vence en el instante T = t + z, cuyo valor nominal es 1 euro, y def'ini- mos r(z) como la rentabilidad del bono hasta vencimiento, tendremos que se ha de cumplir la siguiente ecuación:

~ ( 2 ) = 1 . e-r(T)r [ 11 donde r(z) se puede interpretar como la tasa de crecimiento de P(z), o el tipo de interés al contado para el plazo z que va desde el t hasta T. A partir de la expresión anterior, podemos expresar r(z) como:

La ETTI es la función que relaciona el tipo de interés al contado para el plazo z, r(z), con el plazo. Se puede definir con los tipos de interés al contado, con la función de descuento P(z) o con los tipos de interés forward implícitos en la misma.

El valor, en el instante t, de un bono que paga n cupones C,, en los ins- tantes t i , i = 1,2, ..., 12, vendrá dado por:

donde zi son los plazos de cada uno de los cupones, es decir, T~ = t, - t . Los modelos estáticos de la ETTI, generalmente introducen en la ex-

presión anterior los precios de mercado de los bonos para estimar una función dada (la función de descuento, la curva de tipos al contado, o la curva de tipos forward), mientras que en los modelos dinámicos P(T) se obtiene teóricamente.

Este modelo utiliza los precios de los bonos cotizados para estimar la función de descuento. Como se dispone de un menor número de bonos que plazos en los que éstos generan sus pagos, a la función de descuento se le impone una forma funcional con un número reducido de paráme-

artículos Marco Leber, Javier F. Navas y José Antonio Soler 1173 , doctrinales VALORACI~N DE BONOS EN EL MERCADO DE DEUDA DEL ESTADO I

tros. En concreto, McCulloch [1971, 197.51 utiliza polinomios y esplines cuadráticos y cúbicos para ajustar P(T) empíricamente.

La metodología de los esplines cúbicos de McCulloch [1971], emplea- da en nuestro trabajo, consiste en dividir el espacio temporal correspondiente a los vencimientos de los bonos en una serie de intervalos, en cada uno de los cuales aproxima la función de descuento, P(T), mediante un polinomio de tercer orden. Estos polinomios se unen en los extremos (vértices) de los intervalos, forzándolos a que tengan continuidad en las primeras y segundas derivadas.

De esta forma, la ecuación [3] se puede expresar como:

donde 1c-2 es el número de intervalos en que se divide el horizonte temporal (que contiene k-1 vértices), $(ti) son funciones de tercer orden con- tinuas y diferenciables y b, son los parámetros del modelo, que se estiman por regresión lineal.

Una forma más explícita de la expresión anterior es:

II 11

donde Y = B(C,) = C, y y = Cd(t,). Obviamente, tanto Y como 3 han i=1 i=1

de ser calculados para cada bono existente en el mercado. En este modelo, los vértices son elegidos de forma que hay el mismo

número de bonos en cada intervalo. Con el método de los esplines cúbi- cos, McCulloch consigue una gran flexibilidad para ajustar la curva de descuento. Esta flexibilidad puede conducir, sin embargo, a curvas con formas no racionales (tipos forward implícitos negativos).

Esta curva se construye a partir de las cotizaciones de depósitos bancarios para plazos inferiores a 1 año, y de los tipos de interés de las ramas fijas de los IRSs. Por tanto, la curva incorporará la estructura temporal de primas por riesgo de contrapartida existente en el mercado interbancario. Sin embargo la curva estará libre de las distorsiones provocadas por efec- tos fiscales y por el hecho de que un bono sea entregable o no en los vencimientos de los contratos de futuros sobre el bono nocional. Por otra parte,

1174 Marco Lcbei.. Javier F. N~ivas y Josk Antonio Soler ~ ~ ~ ~ c u I o s V A L O R A C I ~ N DE BONOS EN EL MERCADO D E DEUDA DEL ESTADO doctrinales

al emplear los IRSs se evitan posibles distorsiones debidas a la escasa liquidez con que se negocian algunas de las referencias de la deuda pública. En este sentido, existen trabajos (3) que muestran como la diferencia entre la curvas cupón cero construida a partir de depósitos interbancarios e IRSs y la formada a partir de repos y bonos negociados en el mercado de deuda pública español está en torno a los 25 puntos básicos.

Utilizamos depósitos bancarios en lugar de repos para la parte dc la curva a corto plazo para mantener una cierta homogeneidad en la mag- nitud del riesgo crediticio a lo largo de la curva.

Para la estimación de la curva resolvemos, de forma recursiva, un sis- tema de 12 ecuaciones con 1.1 incógnitas, donde n es el número de nodos con los que se desea construir la curva. Para calcular los tipos de interés correspondientes a plazos que se encuentran entre dos nodos de la cuiva, interpelamos linealmente. Obsérvese que al existir tantas observaciones disponibles como plazos en los que se calculan los tipos cupón cero, esta curva de tipos coincidirá en los plazos estándar con los tipos de interés existentes en el mercado.

En este modelo, la ETTI se describe por una sola variable, el tipo de interés instantáneo, r. CIR asumen que la dinámica del tipo de interés a corto viene dada por el proceso «raíz cuadrada)) siguiente:

donde K, 0, y o son constantes, y z es un proceso estándar de Wiener. En este proceso, el tipo de interés, que se mueve aleatoriamente, es empuja- do elásticamente hacia su nivel medio a largo plazo 8. El parámetro K de- termina la velocidad con la que el tipo de interés se desplaza hacia su valor medio.

Este modelo es un caso particular de la familia de modelos dada por el proceso:

dr = ~ ( 0 - r)dt + orSdz i7I donde d = ' 12 . El parámetro 6 mide la sensibilidad de la volatilidad del tipo de interés a corto plazo en relación al nivel del mismo. Haciendo 6 = 0, obtenemos el modelo de Vasicek [1977], que, como el modelo CIR, ofrece fórmulas cerradas de valoración de bonos y de opciones sobre bonos.

(3) Véase el artículo «Un estudio sobre la estructura temporal de tipos cupón cero. Aproximación práctica al caso español)), Delta Investigación Financiera, 1995.

artículos Marco Leber, Javier F. Navas y José Antonio Soler VALORACI~N DE BONOS EN EL MERCADO DE DEUDA DEL ESTADO

1175 doctrinales

El proceso [7] ha sido utilizado por Chan et al. [1992] y Nowman [1997] para estudiar las rentabilidades de las letras del tesoro estadounidense a un mes, por Uhrig y Walter [1996] para depósitos interbancarios en el mercado alemán y por Navas [1999] para depósitos interbancarios en el mercado español. En todos los casos se encuentra que el valor estimado de 6 es mayor que uno (4), indicando que la volatilidad del tipo a corto es muy sensible al nivel del mismo. Como muestra Navas [1999], esto provoca que el modelo CIR valore mejor los bonos que el modelo de Vasicek [1977], y apoya nuestra elección del mismo en este trabajo. Un inconveniente añadi- do del modelo de Vasicek [1977] es que admite tipos de interés negativos, lo cual carece de significado económico para tipos de interés nominales.

Los parámetros de la ecuación diferencial estocástica [6] pueden ser estimados utilizando la siguiente aproximación en tiempo discreto:

Lo cual corresponde a un proceso autoregresivo heteroscedástico de primer orden y puede ser estimado por el método de máxima verosimilitud. En realidad, el término de error tiene una distribución X* no centra- da, aunque si el intervalo de tiempo entre observaciones no es muy gran- de, se puede utilizar la aproximación propuesta (ver Brown, Stephen, y Schaefer [1996]).

Si denotamos por P(I; 2) el precio en el instante t, cuando el tipo de inte- rés a corto es I; de un bono cupón cero (5) que vence en el instante T = t + 2, CIR [1985] muestran que P debe satisfacer la siguiente ecuación diferencial en derivadas parciales:

con la condición terminal: P(r,O) = 1

En esta ecuación, P, y P, representan las derivadas parciales de P con respecto a r y t respectivamente, y P,, denota la derivada segunda del pre-

(4) Para una muestra diaria de tipos MIBOR a un mes entre las fechas 02/01/1996 y 09/02/1998, Navas [1999] encuentra que el valor estimado de 6 es 1,77.

(5) Utilizamos ahora P(~,T) en lugar de P(T) para resaltar que en e1 modelo CIR el valor del bono depende no solo del plazo sino también del valor actual del tipo de interés instantáneo.

1176 Marco Leber, Javier F. Navas y José Antonio Solei- artículos VALORACI~N DE BONOS EN EL MERCADO DE DEUDA DEL ESTADO doctrinales

cio del bono con respecto a r. La rentabilidad esperada del bono cupón p, cero viene dada por r + hr-, por lo que la prima por riesgo de tipo de D 1

pr interés a corto viene dada por hr-. El paráinetro h lo podemos definir P

como la priina por unidad de riesgo de tipo de interés a corto plazo para una cartera de bonos cuya rentabilidad instantánea estc? perfectamente correlacionada con los cambios en el tipo de interés a corto. Es decir, h es el precio que el mercado pone al riesgo de tipo de interés. Dado que P, < O, tendremos primas de riesgo positivas siempre que h < 0.

La solución a esta ecuación viene dada por:

P(r, 7) = A(T)~-~( ' ) ' [lo]

donde:

2 ( e - 1) B(T) =

( y + ~ + h ) ( e ' - 1 ) + 2 y

La expresión anterior nos da el precio de los bonos cupón cero de cualquier plazo, a partir de ellos podemos inferir la ETTI completa. La ETTI en cualquier momento dependerá del valor de la variable de estado r. Los precios de un bono que paga un cupón distinto de cero lo podemos obtener fácilmente descomponiendo el bono en una cartera de bonos cu- pón cero.

Finalmente, la TIR hasta el vencimiento del bono puede ser fácilmen- te calculada como sigue:

3. VALORACIÓN DE BONOS DEL ESTADO ESPAÑOL

Los datos utilizados en este trabajo corresponden a series diarias de precios y tires de depósitos interbancarios a un mes y de los bonos y obli-

artículos Marco Leber, Javier F. Navas y José Antonio Soler doctrinales VALORACI~N DE BONOS EN EL MERCADO DE DEUDA DEL ESTADO

1177

gaciones del mercado español de deuda pública durante el período que va desde el 31/10/1994 hasta el 27/03/1996 (345 observaciones). Los tipos de interés de los depósitos interbancarios son tomados al cierre del mercado según lo publicado en el Boletín de la Central de Anotaciones en Cuenta del Banco de España. Los precios de los bonos son precios medios de oferta y demanda tomados de la información que a las 14:OO ho- ras suministra la agencia Reuters.

En la Tabla 1 se describen las características básicas de los bonos utilizados: cupón, fecha de vencimiento, y días hasta vencimiento. Se puede observar como los plazos de los instrumentos oscilan entre los 669 días para el bono 11,85 por 100 hasta los 5.234 días para la obligación 8,20 por 100.

TABLA 1 INSTRUMENTOS DE DEUDA PÚBLICA UTILIZADOS

Por otra parte, en la Tabla 2 se muestran algunas estadísticas de estos datos. Las referencias están ordenadas de menor a mayor plazo. Se apre-

Plazo (días desde 31/10/94 hasta Vto.)

669 761 807 851 958

1 .O03 1.399 1.491 1.506 1.733 1.972 2.633 2.784 3.225 3.286 3.499 3.773 5.234

Referencia

B1185 B1055 B1160 B0900 BllOO B0730 B1145 B1025 B0830 B0740 01225 01130 01030 01090 01050 00800 01000 00820

Vencimiento

30/08/96 3011 1/96 15/01/97 28/02/97 15/06/97 30/07/97 30/08/98 3011 1/98 15/12/98 30/07/99 25/03/00 15/01/02 15/06/02 30/08/03 30/10/03 30/05/04 28/02/05 28/02/09

1178 Marco Leber, Javier F. Navas y José Antonio Soler artículos VALORACI~N DE BONOS EN EL MERCADO DE DEUDA DEL ESTADO doctrinales

cia como las tires medias aumentan, en general, con el número de días hasta vencimiento. También es notorio como la volatilidad de las tires (medida por su desviación típica) primero crece con el plazo, hasta los 4 años aproximadamente, y luego decrece.

TABLA 2 ESTAD~STICAS SIMPLES DE LOS DATOS (%)

En la Tabla 3 aparecen las correlaciones entre las TIRes de las distintas referencias. Podemos observar como las TIRes de los bonos están bastante correlacionadas, aunque esta correlación disminuye a medida que la diferencia de plazos entre los bonos es mayor. Así tenemos que la correla- ción entre las rentabilidades del bono con menor plazo (el 11,85 por 100) y la obligación con mayor plazo (la 8,20 por 100) en nuestra muestra es 0,9525. También se aprecia como el tipo del DEPO a 1 mes está negativa- mente correlacionado con las TIRes de los bonos. Si bien algunas de estas correlaciones (las de los bonos 11,85 y 7,30 por 100) no son estadística- mente distintas de cero con un nivel de confianza del 90 por 100.

Referencia

Depo 1 mes B1185 B1055 B1160 B0900 BllOO B0730 B1145 B1025 B0830 B0740 01225 0 1 130 01030 01090 01050 O0800 O 1 O00 00820

Rentabilidad media

8,9406 9,9278 9,9198

10,1208 10,1002 10,2012 10,2201 10,5356 10,5942 10,5826 10,6608 10,7639 10,9358 10,9554 11,0103 1 1,0072 10,9784 1 1,0035 10,9976

Desviación típica

0,6074 0,879 1 0,8780 0,9518 0,9323 0,9960 0,9955 1,0476 1,0555 1,0627 1,0458 1,0086 0,9594 0,9539 0,9006 0,8950 0,8640 0,8237 0,7828

Rentabilidad intnima

7,5200 8,2500 8,2 1 O0 8,2400 8,2 1 O0 8,3100 8,3400 8,5900 8,6300 8,5900 8,6600 8,7600 9,O 1 O0 9,0300 9,2000 9,2 1 O0 9,2 1 O0 9,3000 9,3700

Rentabilidad mdxinza

9,7000 1 1,4380 1 1,3990 11,6130 11,7100 1 1,7700 1 1,7900 12,1900 12,2500 12,3000 12,3200 12,3500 12,4800 12,5800 12,5900 12,5700 12,5000 12,4700 12,3800

artículos Marco Leber, Javier F. Navas y José Antonio Soler doctrinales VALORACI~N DE BONOS E N EL MERCADO DE DEUDA DEL ESTADO

1179

TABLA 3 CORRELACIONES DE LAS TIRes DE LOS BONOS

DIMES B1185 B1055 B1160 B0900 BllOO B0730 B1145 B1025 B0830 B0740 01225 01130 01030 01090 01050 O0800 O1000 00820

DlMES B1185 B1055 B1160 B0900 BllOO B0730 B1145 B1025 B0830 B0740 01225 01130 01030 01090 01050 O0800 O1000 00820

DlMES

1 -0,0660 -0,0930 -0,0923 -0,1047 -0,1091 -0,0742 -0,1403 -0,1436 -0,1442 -0,0941 -0,1563 -0,1546 -0,1513 -0,1383 -0,1378 -0,1315 -0,1060 -0,0973

B0830

-0,1442 0,9848 0,9898 0,9921 0,9936 0,9942 0,9946 0,9994 0,9995

1 0,9972 0,9972 0,9936 0,9931 0,9899 0,9895 0,9858 0,9825 0,9806

B1185

-0,0660 1

0,9934 0,9905 0,9906 0,9913 0,9931 0,9866 0,9843 0,9848 0,9823 0,9751 0,9673 0,9677 0,9638 0,9633 0,9578 0,9544 0,9520

B0740

-0,0942 0,9823 0,9862 0,9892 0,9896 0,9921 0,9940 0,9967 0,9973 0,9972

1 0,9968 0,9944 0,9946 0,9929 0,9927 0,9902 0,9888 0,9874

B1055

-0,0930 0,9934

1 0,9947 0,9958 0,9942 0,9943 0,9918 0,9898 0,9898 0,9862 0,9827 0,9753 0,9746 0,9696 0,9699 0,9652 0,9607 0,9591

01225

-0,1563 0,9751 0,9827 0,9848 0,9860 0,9888 0,9883 0,9966 0,9976 0,9972 0,9968

1 0,9975 0,9972 0,9953 0,9954 0,9929 0,9899 0,9890

B1160

-0,0923 0,9905 0,9947

1 0,9961 0,9957 0,9959 0,9932 0,9918 0,9921 0,9892 0,9848 0,9793 0,9783 0,9730 0,9725 0,9678 0,9639 0,9617

01130

-0,1546 0,9673 0,9753 0,9793 0,9804 0,9842 0,9834 0,9924 0,9942 0,9936 0,9944 0,9975

1 0,9983 0,9967 0,9970 0,9952 0,9931 0,9916

B0900

-0,1047 0,9906 0,9958 0,9961

1 0,9954 0,9963 0,9943 0,9931 0,9936 0,9896 0,9860 0,9804 0,9794 0,9746 0,9742 0,9703 0,9660 0,9626

01030

-0,1514 0,9677 0,9746 0,9783 0,9794 0,9836 0,9830 0,9916 0,9937 0,9931 0,9946 0,9972 0,9983

1 0,9981 0,9983 0,9968 0,9949 0,9925

BllOO

-0,1091 0,9913 0,9942 0,9957 0,9954

1 0,9963 0,9949 0,9942 0,9942 0,9921 0,9888 0,9842 0,9836 0,9794 0,9793 0,9750 0,9712 0,9681

01090

-0,1383 0,9638 0,9696 0,9730 0,9746 0,9794 0,9793 0,9881 0,9906 0,9899 0,9929 0,9953 0,9967 0,9981

1 0,9988 0,9978 0,9970 0,9951

B0730

-0,0742 0,9931 0,9943 0,9959 0,9963 0,9963

1 0,9952 0,9942 0,9946 0,9940 0,9883 0,9834 0,9830 0,9793 0,9788 0,9748 0,9723 0,9702

01050

-0,1378 0,9633 0,9699 0,9725 0,9742 0,9793 0,9788 0,9878 0,9902 0,9895 0,9927 0,9954 0,9970 0,9983 0,9988

1 0,9984 0,9973 0,9956

B1145

-0,1403 0,9866 0,9918 0,9932 0,9943 0,9949 0,9952

1 0,9993 0,9994 0,9967 0,9966 0,9924 0,9916 0,9881 0,9878 0,9840 0,9805 0,9791

B1025

-0,1436 0,9843 0,9898 0,9918 0,9931 0,9942 0,9942 0,9993

1 0,9995 0,9973 0,9976 0,9942 0,9937 0,9906 0,9902 0,9866 0,9833 0,9818

00800

-0,1315 0,9578 0,9652 0,9678 0,9703 0,9750 0,9748 0,9840 0,9866 0,9858 0,9902 0,9929 0,9952 0,9968 0,9978 0,9984

1 0,9985 0,9955

01000

-0,1060 0,9544 0,9607 0,9639 0,9660 0,9712 0,9723 0,9805 0,9833 0,9825 0,9888 0,9899 0,9931 0,9949 0,9970 0,9973 0,9985

1 0,9966

00820

-0,0974 0,9525 0,9591 0,9617 0,9626 0,9681 0,9702 0,9791 0,9818 0,9806 0,9874 0,9890 0,9916 0,9925 0,9951 0,9956 0,9955 0,9966

1

1180 Marco Leber, Javier F. Navas y JosB Antonio Soler artículos VALORACI~N DE BONOS EN EL MERCADO DE DEUDA DEL ESTADO doctrinales

Finalmente, en el Gráfico 1 se muestran las rentabilidades del depósito a 1 mes, del bono de menor plazo (el 11,85 por 100) y de la obligación de mayor plazo (la 8,20 por 100) a lo largo de los 345 días del espacio muestral. Podemos apreciar como el diferencial entre las respectivas TIRes se ha ido reduciendo desde noviembre de 1994 hasta marzo de 1996.

GRAFICO 1 TIRes

o 31/10/94 17/01/85 28/03/95 12/06/95 21/08/95 3011 O195 16/01/96 26/03/96

Fecha

1-Depo 1 mes -81 185 . . . . . .O0820 1

3.2. IMPLEMENTACI~N DE LOS MODELOS

La metodología de McCulloch [1971] la implementamos, siguiendo en parte el trabajo de Ezquiaga y Gómez [1995], utilizando depósitos interbancarios a 1 día, 1 mes, 3 meses y 6 meses para cubrir el corto plazo, y las referencias del mercado de deuda que se indican en la Tabla 4 para el medio y largo plazo (6). Somos conscientes de que al utilizar DEPOs es-

(6) Dado el limitado número de referencias existentes en el mercado de deuda públi- ca español, utilizamos sólo 5 vértices para implementar el modelo.


1181

TABLA 4 INSTRUMENTOS UTILIZADOS PARA LA CONSTRUCCIÓN

DE LA FUNCIÓN DE DESCUENTO SIGUIENDO LA METODOLOGÍA DE McCULLOCH

tamos introduciendo primas por riesgo crediticio en el tramo corto de la curva, mientras que el tramo largo se encuentra libre de dicho riesgo. Sin embargo, creemos que las distorsiones provocadas por la utilización de DEPOs son inferiores a las que se producirían si empleásemos REPOs, pues, aunque se eliminarían las primas por riesgo, se producirían otra serie de distorsiones debidas al impacto que la política monetaria del Banco de España tiene en las cotizaciones de los REPOs. Por otra parte, como indican Ezquiaga y Gómez [1995], también se pueden producir distorsiones en la curva por la desigual liquidez que ofrecen las distintas referencias del mercado de deuda. Esto lo hemos tenido en cuenta (aunque no de forma exhaustiva por no disponer de los volúmenes de contra- tación de los bonos) al utilizar las mismas referencias que utilizaron di- chos autores con las siguientes correcciones. En primer lugar, añadimos

Referencia

Depo 1 día Depo 1 mes Depo 3 meses Depo 6 meses

B0730 B1145 B0990 B1025 B0830 B0940 B0740 B1225 B0840 B1130 01030 01090 01050 00800 O1000 01015 00820

Vencimie~zto

30/07/97 30/08/98 . 31/10/98 3011 1/98 15/12/98 30104199 30/07/99 25/03/00 30/04/01 1510 1/02 15/06/02 30/08/03 3011 O103 30/05/04 28/02/05 3 1/01/06 28/02/09

1182 Marco Leber, Javier F. Navas y José Antonio Soler artíc~los VALORACIÓN DE BONOS EN EL MERCADO DE DEUDA DEL ESTADO doctrinales

las nuevas referencias que han ido saliendo al mercado (su período muestra1 acaba en noviembre de 1994, mientras que el nuestro lo hace en marzo de 1996). En segundo lugar, eliminamos las referencias con menos de 6 meses hasta vencimiento para evitar las distorsiones que por tal motivo se pudieran producir en las curvas. Por último, eliminamos aque- llas referencias que en dos o más ocasiones no hayan mostrado cambios en sus cotizaciones durante más de cuatro días laborables. Como señala- mos anteriormente, las referencias resultantes se muestran en la Tabla 4.

De forma análoga, la curva construida a partir de las cotizaciones de las ramas fijas de los IRSs, la completamos en el corto plazo con DEPOs, por lo que, además de evitar distorsiones relacionadas con la política monetaria del banco emisor, obtenemos una curva con una prima de riesgo homogénea (7) en todos sus nodos.

Los Gráficos 2 y 3 muestran las curvas cupón cero obtenidas a partir de los bonos y obligaciones del mercado de deuda y a partir de los IRSs

GRAFICO 2 COMPARACIÓN CURVAS CUPÓN CERO (1 5/06/95)

Tiempo I+Cuwa Swaps -Curva Deuda 1

(7) Es decir, que los tipos de interés a distintos plazos reflejan el riesgo crediticio de un mismo mercado (el interbancario). Nótese que esto no quiere decir que la prima de riesgo sea independiente del plazo.

artículos Marco Leber, Javier F. Navas y José Antonio Soler VALORACIÓN DE BONOS EN EL MERCADO DE DEUDA DEL ESTADO

1183 doctrinales

GRAFICO 3 COMPARACIÓN CURVAS CUPÓN CERO (30106195)

Tiempo

[-o-curva Swaps -Curva Deuda (

para los días 15/06/1995 y 30106/1995. Como era de esperar, debido a la existencia de riesgo crediticio, la curva basada en los swaps se sitúa por encima de curva de McCulloch para casi todos los plazos (8).

La Tabla 5 muestra los tipos de interés medios y sus desviaciones tí- picas para todos los nodos de las curvas cupón cero con el método de McCulloch. Podemos apreciar como la EETI media es creciente hasta los 8 años donde comienza a decrecer suavemente. En la Tabla 6 aparecen las correlaciones entre los tipos de interés a cada plazo. Vemos como ahora todas las correlaciones son positivas. Para plazos superiores a 1 año, las correlaciones decrecen con el plazo aunque siguen siendo altas. Por ejemplo, la correlación entre el tipo de interés a 1 año y el tipo a 12 años es 0,7936. Sin embargo, las correlaciones entre los tipos a

(8) Obsérvese que, a pesar de utilizar los mismos datos en el corto plazo, la diferencia entre ambas curvas es significativa. Una posible explicación es que la curva de McCu- lloch la obtenemos a partir de cinco parámetros, que se estiman teniendo en cuenta todo el horizonte temporal, mientras que la curva depo-swap coincide con los tipos de interés del mercado en los nodos utilizados.

1184 Marco Leber, Javier F. Navas y Jose Antonio Soler artículos VALORACI~N DE BONOS EN EL MERCADO DE DEUDA DEL ESTADO doctrinales

corto plazo (menos de 1 año) y el resto son bastante inferiores y no decrecen monótonamente con la diferencia de plazos. Por ejemplo, la co- rrelación del tipo de interés a l día con los restantes tipos decrece con el plazo hasta llegar a 0,2172 en el vértice de los 7 años, para luego su- bir hasta 0,3034 en los 12 años. Similarmente las correlaciones de los tipos a 1 semana, 1 mes, 3 meses, 6 meses, y 1 año tienen un punto de inflexión en los 7 u 8 años.

TABLA 5 ESTAD~STICAS SIMPLES DE LOS NODOS DE LAS CURVAS

DE McCULLOCH

1 día 1 semana 1 mes 3 meses 6 meses 1 año 2 años 3 años 4 años 5 años 6 años 7 años 8 años 9 años

10 años 11 años 12 años

Tipo d i o ( %

8,8468 8,8658 8,9392 9,1230 9,3794 9,8166

10,3495 10,5795 10,7277

, 10,8631 10,9844 11,0779 11,1295 11,1233 11,0420 10,8680 10,5865

Desviación típica (%)

0,3490 0.3502 0,3577 0,3930 0,4723 0,6500 0,9035 0,9944 1,0095 0,9904 0,9566 0,9149 0,8697 0,8262 0,7919 0,7807 0,8137


1185

TABLA 6 CORRELACIONES DE LOS TIPOS DE INTERÉS E N LOS NODOS

DE LAS CURVAS DE McCULLOCH



1 día lsemana 1 mes 3 meses 6 meses 1 año 2 años 3 años 4 años 5 años 6 años 7 años 8 años 9 años


1 día

1 0,9996 0,9902 0,9256 0,7952 0,5971 0,3913 0,3009 0,2561 0,2329 0,2210 0,2172 0,2211 0,2334 0,2544 0,2807 0,3034

4 años

0,2561 0,2811 0,3731 0,5646 0,7367 0,8821 0,9768

,0,9969 1

0,9989 0,9966 0,9938 0,9905 0,9867 0,9793 0,9589 0,9108

1 semana

0,9996 1

0,9939 0,9363 0,8126 0,6201 0,4166 0,3262 0,2811 0,2576 0,2455 0,2415 0,2452 0,2573 0,2777 0,3030 0,3238

1 mes

0,9902 0,9939

1 0,9693 0,8719 0,7020 0,5091 0,4191 0,3731 0,3488 0,3362 0,3317 0,3346 0,3455 0,3638 0,3850 0,3986

5 años

0,2329 0,2576 0,3488 0,5400 0,7137 0,8636 0,9668 0,9923 0,9989

1 0,9993 0,9976 0,9950 0,9915 0,9838 0,9623 0,9124

6 años

0,2210 0,2455 0,3362 0,5268 0,7009 0,8528 0,9599 0,9881 0,9966 0,9993

1 0,9994 0,9978 0,9946 0,9865 0,9635 0,9109

3 meses

0,9256 0,9363 0,9693

1 0,9654 0,8541 0,6945 0,6104 0,5646 0,5400 0,5268 0,5212 0,5224 0,5301 0,5428 0,5539 0,5510

7 años

0,2172 0,2415 0,3317 0,5212 0,6947 0,8467 0,9548 0,9841 0,9938 0,9976 0,9994

1 0,9994 0,9969 0,9890 0,9652 0,9107

8 años

0,2211 0,2452 0,3346 0,5224 0,6940 0,8439 0,9509 0,9803 0,9905 0,9950 0,9978 0,9994

1 0,9989 0,9923 0,9696 0,9155

6 meses

0,7952 0,8126 0,8719 0,9654

1 0,9594 0,8489 0,7783 0,7367 0,7137 0,7009 0,6947 0,6940 0,6978 0,7038 0,7036 0,6833

12 años

0,3034 0,3238 0,3986 0,5510 0,6833 0,7936 0,8751 0,9010 0,9108 0,9124 0,9109 0,9107 0,9155 0,9296 0,9550 0,9849

1

9 años

0,2334 0,2573 0,3455 0,5301 0,6978 0,8435 0,9474 0,9763 0,9867 0,9915 0,9946 0,9969 0,9989

1 0,9968 0,9787 0,9296

1 año

0,5971 0,6201 0,7020 0,8541 0,9594

1 0,9593 0,9134 0,8821 0,8636 0,8528 0,8467 0,8439 0,8435 0,8422 0,8304 0,7936

10 años

0,2544 0,2777 0,3638 0,5428 0,7038 0,8422 0,9410 0,9689 0,9793 0,9838 0,9865 0,9890 0,9923 0,9968

1 0,9917 0,9550

11 años

0,2807 0,3030 0,3850 0,5539 0,7036 0,8304 0,9218 0,9488 0,9589 0,9623 0,9635 0,9652 0,9696 0,9787 0,9917

1 0,9849

2 años

0,3913 0,4166 0,5091 0,6945 0,8489 0,9593

1 0,9904 0,9768 0,9668 0,9599 0,9548 0,9509 , 0,9474 0,9410 0,9218 0,8751

3 años

0,3009 0,3262 0,4191 0,6104 0,7783 0,9134 0,9904

1 0,9969 0,9923 0,9881 0,9841

. 0,9803 '' 0,9763

0,9689 0,9488 0,9010

1186 Marco Leber, Javier F. Navas y José Antonio Soler ~ I - ~ ~ C U ~ O S VALORACI~N DE BONOS EN EL MERCADO DE DEUDA DEL ESTADO doctrinales

Para profundizar más en el análisis de las ETTI obtenidas, realiza- mos un estudio de los componentes principales de las mismas. En el Panel A de la Tabla 7 aparecen los seis primeros factores explicativos (autovalores) de las variaciones que se observan en las curvas a lo largo del tiempo. Podemos apreciar como los dos primeros factores explican el 97,7 por 100 de la variación de los datos, y añadiendo el tercer factor se llega a explicar el 99,3 por 100. Sin duda el primer factor es el más importante para describir la evolución de la ETTI a lo largo del tiempo, pues explica el 77,36 por 100 de la variación en los datos. Esto nos su- giere que los modelos de una variable pueden realizar un trabajo aceptable en la modelización de la ETTI, y que probablemente sea suficiente con un modelo de dos variables para obtener un ajuste óptimo de la curva. El Panel B de la Tabla 7 nos proporciona información para poder interpretar los tres factores determinantes de la evolución de la ET- TI. En ella tenemos las direcciones de los autovectores correspondientes a los datos suministrados. El primer factor lo podemos interpretar como movimientos paralelos (sin cruces o cambios de signo) de todos los nodos de la curva. Adicionalmente, los desplazamientos de los nodos a largo plazo parecen ser aproximadamente el doble que los desplazamientos de los nodos a corto. El segundo factor lo interpretamos como una rotación de la curva entre los nodos de l y 2 años. Finalmente el tercer factor se puede interpretar como cambios de la curvatura de la curva (twists) entre los nodos de 1 y 3 meses, y un nuevo cambio entre los 7 y 8 años.

Para implementar el modelo CIR, hemos de estimar previamente los parámetros del mismo. Como se comentó anteriormente, esto se realiza optimizando la función de máxima verosimilitud de la aproximación en tiempo discreto del proCeso estocástico que define la evolución del tipo de interés a corto plazo. Para ello utilizamos el algoritmo de Berndt-Hall- Hall-Hausman [l974].

El Panel A de la Tabla 8 muestra las estimaciones de los parámetros a,,, a,, y p,. Los tres parámetros estimados son significativos estadística- mente como lo demuestran sus altos estadísticos t asintóticos. El Panel B reporta el valor de los parámetros originales del proceso en tiempo continuo K, 0, y o. Según el modelo, la rentabilidad del depósito a 1 mes se mueve siguiendo un proceso de reversión a la media, en torno a un valor medio a largo plazo 8 = 9,11 por 100. A modo de comparación, el valor medio de las rentabilidades del depósito a 1 mes durante el período muestral fue 8,94 por 100 (ver Tabl-).

artículos Marco Leber, Javier F. Navas y .Tos6 Antonio Soler l VALORACI~N DE BONOS EN EL MERCADO DE DEUDA DEL ESTADO

1187 doctrinales l I

TABLA 7 ANÁLISIS DE COMPONENTES PRINCIPALES DE LA ETTI

ESTIMADA POR EL MÉTODO DE MCCULLOCH

PANEL A AUTOVALORES DE LA MATRIZ DE CORRELACIONES

PANEL B AUTOVECTORES DE LA MATRIZ DE CORRELACIONES

Factor Factor 2 Factor 3 Factor 4 Factor 5 Factor 6 Factor 7 Factor 8 Factor 9 Factor 10

Acui7zulado (%)

77,361 97,6730 99,3000 99,8550 99,9880 99,9990

100,0000 100,0000 100,0000 100,0000

Autovalor

13,1514 3,4530 0,2765 0,0943 0,0226 0,0020 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000

Factor 6

0,1568 0,1225

-0,0004 -0,2229 -0,3170 -0,0109

0,5777 0,2925

-0,1009 _ -0,3117 -0,3141 -0,1963 -0,0187

0,1564 0,2479 0,1567

-0,1868

Difereizcia

9,6983 3,1765 0,1821 0,0717 0,0206 0,0019 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

Factor 7

0,1949 0,1396

-0,0517 -0,3494 -0,3329

0,5909 0,1399

-0,4076 -0,2029

0,0844 0,1874 0,1656 0,0713

-0,0513 -0,1444 -0,1185

0,1354

Factor 4

0,2400 0,2134 0,1133

-0,1024 -0,2933 -0,3770 -0,1787 -0,0202

0,0880 0,1694 0,2338 0,2742 0,2757 0,2156 0,0662

-0,1910 -0,5320

Factor 3

0,2028 0,1801 0,0940

-0,0951 -0,2718 -0,3837 -0,3053 -0,1971 -0,1174 -0,0749 -0,0506 -0,0265

0,0126 0,0832 0,2021 0,3766 0,5851

Vértice



Proporción (%)

77,3612 20,3120

1,6265 0,5548 0,1331 0,0118 0,0005 0,0001 0,0000 0,0000

Factor 5

0,1441 0,1207 0,0350

-0,1365 -0,2572 -0,2054

0,1894 0,3662 0,3771 0,2787 0,1186

-0,0676 -0,2456 -0,3676 -0,3666 -0,1667

0,2636

Factor 1

0,1321 0,1384 0,1610 0,2051 0,2397 0,2624 0,2708 0,2692 0,2668 0,2651 0,2640 0,2634 0,2634 0,2641 0,2648 0,2627 0,2532

Factor 2

0,4669 0,4611 0,4355 0,3579 0,2489 0,1065

-0,0366 -0,0971 -0,1266 -0,1415 -0,1491 -0,1519 -0,1506 -0,1451 -0,1348 -0,1192 -0,0981

1188 Marco Leber, Javier F. Navas y Josk Antonio Soler artículos VALORACIÓN DE BONOS EN EL MERCADO DE DEUDA DEL ESTADO doctrinales

Estimación de los parámetros del modelo de una variable de Cox, Ingersoll y Ross [1985b] maximizando la hinción de verosimilitud para cl tipo de interés a corto. Los datos utilizados con medidas diarias de los tipos de interés de depósi- tos interbancarios a 1 mes durante el período 31/10/1994-27/03/1996 (345 observaciones). Los parámetros son estimados con el algoritmo de máxima verosimilitud de Berndt-Hall-Hall-Hausnian [1974] a partir de la siguiente aproximación en tiempo discreto:

Parámetro

0,00132426 -0,01452980 -3,112 0,00260929 125,235

Valores del modelo en tiempo continuo de Cox, Ingersoll y Ross [1985b]:


1189 doctrinales

Una vez que hemos constniido las curvas c~ipón cero por una parte, y que hemos estimado los parámetros del modelo CIR por otra, procedemos a la valoración de las referencias del mercado español de deuda pública. Previamente excluimos de la valoración los bonos 9,40 y 9,90 por 100 por detectar la existencia de corners (acaparamiento de las referencias por ope- radores del mercado), la obligación 8,40 por 100 por haber sido adquirida en gran parte por una institución financiera, y la obligación 10,15 por 100 (con vencimiento el 31/01/2006) por tener escasa liquidez durante 1995.

Para valorar bonos con el modelo CIR, necesitamos estimar previamente el parámetro L. Para ello, minimizamos, durante todo el período muestra1 (9), la suma de los cuadrados de los errores relativos de precios (en relación al mercado), resultando un valor de L en torno a -0,l. Esto quiere decir que la prima de riesgo de tipo de interés a corto plazo fue, en media, positiva durante el período muestral.

Los errores de valoración de cada uno de los métodos utilizados (curva cupón cero de McCulloch, curva depo-swap y modelo CIR) los resumi- mos calculando los errores relativos medios en cada caso y las desviaciones típicas correspondientes. Los resultados aparecen en la Tabla 9.

Como era de esperar (por constnicción), los errores cometidos al valorar los bonos con la curva de McCulloch y con la curva depo-swap son muy pequeños, superándose el 1 por 100 (en ambos casos) solo para el bono 7,30 por 100. Para las demás referencias, el error relativo medio con la curva de McCulloch no llega al 0,3 por 100, aunque a medida que aumenta el plazo hasta vencimiento la valoración de los bonos se vuelve más imprecisa pues la desviación típica tiende a aumentar. Con la curva depo-swap los errores son ligeramente mayores, superándose el 0,8 por 100 para la obligación 10,90 por 100 (además del bono 7,30 por 100 anteriormente señalado). Al igual que en la curva de McCulloch, la desviación típica tiende a aumentar con el número de días hasta vencimiento.

Un aspecto de interés que posponemos para otro trabajo sería analizar los errores de valoración en función de las características de los bonos (cupón, días hasta el pago del cupón, plazo, duración, volumen de contratación, bono utilizado para construir la curva, bono entregable, y bono cheapest).

(9) Una alternativa seguida en otros trabajos (véase Navas [1999] y Navas [2000]) es estimar h dinámicamente, minimizando errores de valoración diarios. Sin embargo, esto suele provocar una alta inestabilidad en el parámetro. Esto, unido al mayor coste computacional, nos ha llevado a estimar h globalmente en este estudio.

1190 Marco Leber, Javier F. Navas y José Antonio Soler artículos VALORACI6N DE BONOS EN EL MERCADO DE DEUDA DEL ESTADO doctrinales

PANEL A MEDIA DE LOS ERRORES RELATIVOS DE VALORACI~N (%)

CIR MC SW

B1185 B1055 B1160 B0900 BllOO B0730 B1145 B1025 B0830

CIR 1,003 1,547 1,475 2,396 2,175 3,064 3,542 4,207 4,958 MC 0,154 0,099 0,151 0,104 0,182 0,537 0,184 0,147 0,133 SW 0,210 0,180 0,297 0,267 0,298 0,608 0,316 0,329 0,339

CIR MC SW

B0740 01225 01130 01030 01090 01050 00800 01000 00820

CIR 5,890 4,920 6,891 7,652 8,318 8,589 10,286 9,526 12,969 MC 0,187 0,162 0,184 0,146 0,185 0,172 0,197 0,907 SW 0,391 0,425 0,551 0,565 0,616 0,612 0,662 0,730 1,099

B1185

0,836 0,167 0,011

B0740

-6,235 0,034 0,321

B1055

-0,227 -0,088 -0,194

01225

-4,816 0,249 0,534

B1160

0,414 0,084 0,012

01130

-10,896 0,225 0,680

E0900

-1,293 -0,056 -0,080

01030

-13,268 0,218 0,711

B0730

-1,366 1,216 1,380

BllOO

-0,406 -0,014 0,090

01090

-17,501 0,271 0,824

B1145

-1,729 0,119 0,415

01050

-18,602 0,200 0,754

E1025

-2,797 0,121 0,411

B0830

-4,135 0,026 0,324

00800

-25,231 -0,054 0,434

01000

-25,545 -0,126 0,511

00820

-47,416

0,385

artículos Marco Leber, Javier F. Navas y José Antonio Soler VALORACI~N DE BONOS E N EL MERCADO DE DEUDA DEL ESTADO

1191 doctrinales

Como comentamos anteriormente, para valorar los bonos con el modelo CIR los descomponemos previamente en carteras de bonos cupón cero y aplicamos la fórmula de valoración a cada uno de ellos. Obviamente, cada día hay que tener en cuenta que el tiempo hasta vencimiento de cada uno de los bonos disminuye. Los resultados indican que, como era previ- sible, la valoración con el modelo CIR produce mayores errores que con los métodos anteriores. Sin embargo estos son pequeños (menos del 2 por 100 de media) para bonos con vencimiento inferior a 4 años. Para plazos superiores, el error crece sustancialmente, indicando que no es un modelo adecuado para valorar bonos a largo plazo. Estos resultados se muestran en los Gráficos 4 y 5, donde se comparan los precios de mercado del bono 11,85 por 100 (con un plazo de 669 días) y de la obligación 10,OO por 100 (con un plazo de 3.773 días) con los respectivos precios teóricos de los tres modelos. Podemos ver como en modelo CIR valora razonable- mente bien el bono y bastante mal la obligación. Esto no es sorprendente si tenemos en cuenta que el modelo asume que los tipos de interés a cualquier plazo son función de la evolución de un solo tipo de interés, el tipo a corto.

VALORACIÓN DEL BONO 11,85%

100 J J 31/10/94 17/01/95 28103195 12/06/95 21/08/95 30/10/95 16/01/96 26/03/86

Fecha

M e r c a d o ... .CIR - McCulloch -Swaps ---z

1192 Marco Leber, Javier F. Navas y José Antonio Soler artículos VALORACIÓN DE BONOS EN EL MERCADO DE DEUDA DEL ESTADO doctrinales

31110104 17/01/95 28103lQ5 12/08/95 21108195 3011 0195 161011~6 26/03/96 Fecha

1-Mercado . . . . . .CIR -McCulloch -Swaps -3

Los resultados obtenidos dependen en gran medida de la estimación del parámetro h (marlcet pvice of risk). El efecto de h en la valoración de los bonos se puede ver con claridad en los Gráficos 6- 1 1, donde se inues- tra la «estructura temporal (10) de precios)) de los bonos utilizados en este trabajo para los días 31/10/1994 y 27/03/1996 (principio y fin respectivamente de nuestro período muestral). Para h = -0,l (el valor de h estimado en este trabajo), en los Gráficos 6 y 7 se puede ver cómo el 31/10/94 el modelo sobrevalora ligeramente los bonos a corto y medio plazo e infravalora los bonos a largo plazo y, sin embargo, el 27/03/96 el modelo infravalora claramente todas las referencias. Para 3\. = 0, en los Gráficos 8 y 9 vemos que el modelo sobrevalora los bonos el 31/10/94, y que esta sobrevaloración disminuye el 27/03/96. Finalmente para h = 0,l podemos observar en los Gráficos 10 y 11 que el modelo sobrevalora am- pliamente los bonos el 3 1/10/94, y como la sobrevaloración disminuye de nuevo en el día 27/03/96.

(10) Nótese que aquí estamos abusando de la expresión ((estructura temporal», pues los precios de los bonos no dependen exclusivamente del plazo de los mismos.


1193

GRAFICO 6 ESTRUCTURA TEMPORAL DE PRECIOS (3 1110194)

O 0 O 1,000 2,000 3,000 4,000 5,000 6,000

Dias hasta vencimiento

1-Mercado . . . . . .CiR (lambdaz-0.1) 1

GRAFICO 7 ESTRUCTURA TEMPORAL DE PRECIOS (27103196)

1,000 2,000 3,000 4,000 5.000 6 Dias hasta vencimiento

1-lyercado . . . . . .CIR (lambda=-0.1) 1

1194 Marco Leber, Javier F. Navas y José Antonio Soler artículos VALORACIÓN DE BONOS EN EL MERCADO DE DEUDA DEL ESTADO doctrinales

GRAFICO 8 ESTRUCTURA TEMPORAL DE PRECIOS (3 111 0194)

O O 1,000 2,000 3.000 4.000 5.000

Dlas hasta venclmlento

I M e r c a d o . . . . . .CIR (lambda-O) /

GRAFICO 9 ESTRUCTURA TEMPORAL DE PRECIOS (27103196)

120

100

80

o .- y 60. - 0.

40

20

O, O 1,000 2,000 3,000 4.000 6,000 6,000

Dlas hasta venclmlento

(-Mercado . . . -. .CIR (lambda.0) 1

.-

..

.


1195 doctrinales

GRÁFICO 10 ESTRUCTURA TEMPORAL DE PRECIOS (3 111 0194)

GRÁFICO 11 ESTRUCTURA TEMPORAL DE PRECIOS (27103196)

140

120 ..

100

80 O - E a

60

40

20

o

,.-?, ,.' ....-.----- .... _._.__..._ ,_.__.. .-.-. .' . . ,.. . h . . , 8 ..- . 8 . . . a . , ....

-.

..

-.

..

..

O 1,000 2.000 3,000 4,000 5,000 6.000


\-Mercado . . . . . -CIR (lambda=O,l) 1

140

120

100 --

80 .. O .- U e P

60

40

20

o ,

...-,, ,.."""" ---- ..... __..- .... .' . . ..__.' , . -

. , a . a S a

.-

..

-

O 1,000 2,000 3,000 4,000 5,000 6,000


)-Mercado . . . . . .CIR (lambda=O,l) 1

1196 Marco Leber, Javier F. Navas y Jos6 Antonio Soler artículos VALORACI~N DE BONOS EN EL MERCADO DE DEUDA DEL ESTADO doctrinales

Estos resultados apuntan a la conveniencia de que alguno de los pará- metros del modelo dependa explícitamente del tiempo. De esta forma se puede hacer que el modelo sea completamente consistente con la ETTI actual, esto es, que valore sin error alguno los bonos existentes en el mercado. Esto es lo que, por ejemplo, Hull y White [1990] hacen, extendien- do el modelo unifactorial de Vasicek [1977] para hacerlo consistente con la curva de tipos del mercado.

4. RESUMEN Y CONCLUSIONES

Un bono es un conjunto de flujos de dinero distribuidos a lo largo del tiempo, por lo que para su valoración basta con conocer la ETTI (fun- ción de descuento o curva de tipos cupón cero) y descontar cada f l ~ ~ j o al tipo de interés correspondiente a su plazo.

En este trabajo hemos comparado metodologías alternativas de valo- ración de bonos. En primer lugar hemos analizado los que podemos cali- ficar como modelos estáticos de valoración, que estiman la curva cupón cero existente en el mercado en cada momento y a partir de ella valoran bonos u otros instrumentos como IRSs, y FRAs. Entre los inconvenientes de esta metodología podemos citar la necesidad de estimar la curva antes de valorar (con el consiguiente coste computacional) y, lo que es más importante, la imposibilidad de valorar instrumentos opciones sobre tipos de interés.

En segundo lugar, hemos estudiado la valoración de bonos con modelos dinámicos de la ETTI. Estos modelos presuponen, en general, que la forma de la curva de tipos de interés viene determinada en cada momen- to por un número limitado de variables de estado. De esta forma, para valorar un bono o una opción de tipo de interés solo es necesario conocer el valor de esas variables de estado (es decir, no se necesita conocer la curva de tipos completa). Aunque hemos visto que existen hasta tres factores que determinan la evolución de la ETTI en el mercado español, los modelos con uno o dos factores pueden ser lo suficientemente completos como para poder utilizarlos en la valoración. La gran ventaja de esta me- todología es que un único modelo puede ser utilizado para valorar una amplia gama de productos. Otra ventaja es el menor coste computacional, ya que para valorar no hay que re-estimar los modelos en cada momento. El inconveniente de estos métodos es que al determinar la ETTI en función de pocos parámetros, los modelos no suelen ser consistentes

artículos Marco Leber, Javier F. Navas y José Antonio Soler doctrinales VALORACIÓN DE BONOS EN EL MERCADO DE DEUDA DEL ESTADO

1197

con la estructura de tipos actual, por lo que, en principio, valorarán mal los bonos del mercado.

1 Las entidades financieras, en general, utilizan modelos estáticos de la

l

ETTI para valorar bonos, y modelos dinámicos para valorar derivados de ~ tipos de interés. Esto les puede provocar inconsistencias en la gestión de carteras de renta fija. Resulta, por tanto, de interés conocer hasta qué punto los modelos dinámicos se pueden emplear también en la valora- 1 ción de bonos. La contribución principal de este trabajo es analizar la ca- l pacidad real que un modelo dinámico (el modelo CIR) tiene para valorar I bonos, en relación a los modelos estáticos de la ETTI. I

Los resultados obtenidos indican que, efectivamente, los modelos es- I

táticos construidos con la metodología de McCulloch [1971] y con la curva depo-swap valoran los bonos con bastante mayor precisión que el modelo de una variable CIR. No obstante, el modelo CIR presenta un

~ error medio relativo en precios inferior al 2 por 100 para bonos con vencimiento inferior a 4 años, por lo que podría ser un modelo adecuado para valorar bonos a corto plazo. En cualquier caso, para conseguir

~ l

las ventajas de una valoración unificada de opciones de tipos de interés 1 y de bonos con modelos dinámicos, parece necesaria la utilización de modelos multifactoriales que se ajusten mejor a la curva de tipos del mercado, o modelos unifactoriales extendidos que sean consistentes con la misma. l

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BERNDT, E. R.; HALL, B. H.; HALL, R. E., y HAUSMAN, J. A. [1974]: ((Estimation and Inference in Nonlinear Structural Models», Annals o f Econornic and So- cial Measurernent 3, 653-665.

BLACK, F. [1976]: «The Pricing of Commodity Contractsn, The Jourwal of Firzan- cial Ecorzor~zics 3, 167-179.

BLACK, F.; DERMAN, E., y TOY, W. [1990]: «A One-Factor Model of Interest Rates and its Applications to Treasury Bond Optionsn, Financia1 Arzalysts JournaZ 1, 33-39.

BRENNAN, M. J., y SCHWARTZ, E. S. [1979]: «A Continuous Time Approach to the Pricing of Bonds», Jour-nal of Banking and Finance 3, 133-155.

BROWN, R.; STEPHEN, H. Y., y SCHAEFER, M. [1996]: «Ten Years of the Real Term Structure: 1984-1994», The Journal o f Fixed Incoulze 5,4, 6-22.

CHAN, K. C.; KAROLYI, G. A.; LONGSTAFF, F. A., y SANDERS, A. B. 119921: «An Empiii- cal Comparison of Alternative Models of the Short-Term Interest Rate», Jouu- rzal of Finance 47, 3, 1209-1227.

1198 Marco Leber, Javier F. Navas y José Antonio Soler artículos VALORACI~N DE BONOS EN EL MERCADO DE DEUDA DEL ESTADO doctrinales

CONTRERAS, D., y NAVARRO, E. [1993]: ((Estimación de la curva de tipos cupón cero en el mercado español de deuda pública», IV Congreso Hispano Francés La Recoizstruccidiz de la Einpresa en el Ntlevo Orden Económico, Universitat de Valencia, Universidad de Extremadura, Cáceres, junio 1993.

Cox, J.; INGERSOLL, J., y ROSS, S. A. [1985]: «A Theory of the Term Structure of In- terest Rates», Econometrica 53, 385-407.

EZQUIAGA, I., y GOMEZ, 1. [1995]: «La estimación de la curva de tipos cupón cero en el mercado de deuda del Estado», Los strips sobre deuda pública, 75-1 12, AFI, Madrid.

FABOZZI [1993]: Bond Marlcets. Analysis and Strategies, Price-Hall International. HEATH, D.; JARROW, R., y MORTON, A. 119921: «Bond Pricing and the Term Structu-

re of Interest Rates: A New Methodology for Contingent Claims Valuation)), Econonzetrica 60, 77-1 05.

Ho, T. S. Y., y LEE, S. B. [1986]: «Term Structure Movements and Pricing Inte- rest Rate Contingent Claims)), Joumal of Finance 4 1, 5, 10 1 1 - 1029.

HULL, J., y WHITE, A. [1990]: «Pricing Interest Rate Derivative Securities)), Review of Financia1 Studies 3, 4, 573-592.

LONGSTAFF, F. A., y SCHWARTZ, E. S. [1992]: ((Interest-rate Volatility and the Term Structure: A Two-Factor General Equilibrium Modeln, Journal of Finance 47, 4, 1259-1282.

MCCULLOCH, J. H. [1971]: ((Measuring the Term Structure of Interest Rates», Journal of Business 44, 19-3 1.

- 119751: «The Tax-Adjusted Yield Curve», Journal of Finance 30, 81 1-830. MORENO, M. [1996]: «A Two-Factor Mean-Reverting Model of the Term Structure

of Interest Ratesn, Documento de Trabajo n." 23, Finance and Banking Dis- cussion Papers Series, Universidad Pompeu Fabra, 1996.

NAVAS, J. F. [1999]: ((Consistent versus Non-Consistent Term Structure Models: Some Evidence from the Spanish Marltet~, Tke Jou~wal of Fixed Income 9, 3 , 42-60.

- [2000]: «Bond Pricing with Two-Factor Term Structure Models: An Empirical Comparison)), Documento de Trabajo, Instituto de Empresa, Madrid.

NOWMAN, IC. B. [1997]: ((Gaussian Estimation of Single-Factor Continuous Time Models of the Term Structure of Interest Ratesn, Journal of Finance 52, 4, 1695-1706.

NELSON, C. R., y SIEGEL, A. F. [1987]: «Parsimonious Modeling of Yield Curves for U.S. Treasury Bilis)), Jou~.nal of Business 60, 4,473-489.

NUÑEZ, S. [1995]: ((Comparación y elección entre métodos alternativos de estima- ción de la estructura temporal de los tipos de interés para el caso español)), 11 Jornadas de Economía Financiera, Bilbao.

SANTA-CLARA, P., y SORPJETTE, D. [1999]: «The Dynamics of the Fonvard Interest Rate Curve with Stochastic Strings Shocksx, Documento de Trabajo, Univer- sidad de California, Los Angeles.

SCHAEFER, S. M., y SCHWARTZ, E. S. [1984]: «A Two-Factor Model of the Term Structure: An Approximate Analytical Solution)), Journal of Financia1 and Quantitative Analysis 19, 4 13-424.


1199

SVENSSON, L. E. 0. [1994]: ((Estimating and Interpreting Forward Interest Rates: Sweden 1992-1994», I~zstitute for Intemational Econo~nic Studies, mimeo, junio 1994.

UHRIG, M., y WALTER, U. [1996]: «A New Numerical Approach for Fitting the Ini- tia1 Yield Curve)), The JoumaZ of Fixed Income 5,4, 82-90.

VASICEK, 0. [1977]: «An Equilibrium Characterization of the Term Structurex, Joumal o f Financia1 Economis 5, 177-188.

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Y DE LA ETTI ('1 · 2018. 3. 19. · modelo CIR, que supone que la ETTI viene determinada en cada momen- to por el tipo de interés a corto plazo, ... frente al modelo unifactorial