Upload
truonglien
View
218
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
Universidad Diego Portales CALCULO II
1
Aplicaciones prácticas de la antiderivacióny la Integral Definida
Universidad Diego Portales CALCULO II
2
Aplicaciones prácticas
A continuación se presentan algunos problemas en que se conoce la razón de cambio de una cantidad y el objetivo es hallar una expresión para la cantidad misma.
Como la razón de cambio es la derivada de la cantidad, la expresión
para la cantidad misma se hallamediante la antiderivación
Ejemplo: Un fabricante descubrió que el costo marginal cuando se producen q unidades es 3q2 -60q+400 dólares por unidad.Si el costo total de producción de las 2 primeras unidades es U$900, ¿Cuál es el costo total de producción de las 5 primeras unidades?
Universidad Diego Portales CALCULO II
3
Solución;Recuerde que el costo marginal es la derivada de la función de costo total C(q). Así
C`(q)=3q2-60q+400y por tanto C(q) debe ser la antiderivada
KqqqdqqqdqqCqC ++−=+−== ∫ ∫ 40030)400603()`()( 232
Para alguna constante K.El valor de K está determinado por el hecho de que C(2)=900.En particular
212K donde de )2(400)2(302900 23 =++−= K
Por tanto 21240030)( 23 ++−= qqqqC
Universidad Diego Portales CALCULO II
4
Y el costo de producción de las 5 primeras unidades es
1587$212)5(400)5(305)5( 23 UC =++−=
Ejercicio: Se estima que dentro de x meses la población de cierto pueblo cambiará a una razón de personas por mes. Si la población actual es 5000 personas, ¿cuál será la población dentro de 9 meses?
x62 +
Compruebe con la calculadora el resultado de dqqq )400603( 2 +−∫
Universidad Diego Portales CALCULO II
5
Ejercicio:Después de aplicar los frenos, la aceleración de cierto automóvil disminuye a una razón constante de 22 pies por segundo. Si en elmomento de aplicar los frenos el automóvil viaja a 45 millas porhora ( 66 pies por segundo) ¿cuánto recorre el automóvil antes de detenerse por completo?
Utilizar una calculadora gráfica para representar s(x). Plantear una hipótesis acerca de qué efecto tendría en la gráfica y en s(3) el hecho de que la velocidad inicial fuera 50 millas por hora. Verificar mediante la representación gráfica.
Nota: Recuerde que si un objeto se mueve en línea recta con desplazamiento s(t), su velocidad está dada por v=ds/dt y su aceleración por a = dv/dt .
Universidad Diego Portales CALCULO II
6
Ecuaciones diferenciales
Toda ecuación que contenga una derivada se denomina ecuación diferencial. Por ejemplo
son ecuaciones diferenciales. Muchas situaciones prácticas se expresan mediante ecuaciones diferenciales.La clase más sencilla de ecuaciones diferenciales tiene la forma
en la que la derivada de la cantidad en cuestión está dada explícitamente como una función de la variable independiente. Tal ecuación diferencial se calcula al hallar la integral indefinida de g(x).
xeydxdykPx
dxdy =++
=+= 23dxdy
dtdP 53
22
)(xgdxdy =
Universidad Diego Portales CALCULO II
7
Por ejemplo la ecuación diferencial
tiene la solución general
xxdxdy 32 +=
Cxxdxxxy ++=+= ∫232
23
31)3(
Una ecuación diferencial puede aparecer junto con una condición inicial de la forma y(x0)=y0
Esta condición específica el valor y=y0 que la función solución y(x) debe tener en x= x0.. Una vez que hemos determinado la solución general de la ecuación podemos encontrar el valor de la constante C sustituyendo y=y0 cuando x= x0
Ejercicio: Resuelva el problema con condición inicial
2y(1) 32 =+= xdxdy
Universidad Diego Portales CALCULO II
8
Introducción a la integral definida
Supóngase que se conoce la razón f(x)=F(x)/dx a la que cambia cierta cantidad F y se desea encontrar la cantidad en la cual cambiará la cantidad F entre x=a y x=b.Veremos que si hallamos F mediante la antiderivación y luego calculamos la diferencia
Cambio de F entre x=a y x=b = F(b)-F(a)
el resultado numérico de este tipo de cálculo se llama integral definida de la función f y se representa por el símbolo
∫b
a
dxxf )(
Universidad Diego Portales CALCULO II
9
Veremos que la integral definida de f desde a hasta b es la diferencia
∫ −=b
a
aFbFdxxf )()()(
Donde F es una antiderivada de f. Es decir la integral definida es el cambio neto producido en la antiderivadaentre x=a y x=b
∫b
a
dxxf )(
Límite superior de integración
Límite inferior de integración
Integral de f de a ba
La función es el integrando
x es la variable de integración
Signo de integral
Universidad Diego Portales CALCULO II
10
La integral definida como el límite de una suma
Ejercicio: Considere . Aproxime el área bajo la curva para 0≤x ≤2 dividiendo el intervalo en cuatro subintervalos. El comienzo de cada subintervalo será 0, 0.5, 1 y 1.5. Hallar la altura de la función en cada uno de estos valores. Luego, aproximar el valor de al hallar la suma del área de los rectángulos formados.
¿cómo calcular el área bajola curva entre
x=0 y x=2 ? 13)( 2 += xxf
13)( 2 += xxf
A
dxx )13(2
0
2 +∫
Universidad Diego Portales CALCULO II
11
Supóngase que f(x) es no negativa y continua en el intervalo [a,b]. El área bajo la gráfica de f entre x=a y x=b puede aproximarse como sigue: primero se divide el intervalo [a,b] en n subintervalos iguales de ancho ∆x, y se toma xj como el comienzo del j-ésimo subintervalo; luego se dibujan n rectángulos tales que la base del j-ésimo rectángulo sea el j-ésimo subintervalo y la altura del j-ésimo rectángulo sea f(xj)
Universidad Diego Portales CALCULO II
12
El área del j-ésimo rectángulo es f(xj) ∆x y es una aproximación al área bajo la curva desde x=xj hasta x=xj+1 . La suma de las áreas de todos los rectángulos es
xxfxxfxxfxxf n ∆+∆+∆+∆ )(.......)()()( 321
Esta suma es una aproximación al área total bajo la curva entre x=a y x=b y por tanto, es una aproximación a la integral definida correspondiente
∫b
adxxf )(
Es decir:
∫≈∆+∆+∆+∆b
an dxxfxxfxxfxxfxxf )()(....+...)()()( 321
Y como se muestra en las figuras, la aproximación mejora a medida que n crece.
Universidad Diego Portales CALCULO II
13
Si el proceso continúa indefinidamente, la suma de las áreas rectangulares se aproxima al área real bajo la curva. Es decir cuando n ∞ se tiene que
∫→∆+∆+∆+∆b
an dxxfxxfxxfxxfxxf )()(.......)()()( 321
Esta es una versión un poco restringida de una caracterización más general de las integrales definidas.
En general no necesitamos rectángulos de igual anchura.Comenzamos subdividiendo el intervalo [a,b] en n subintervalos menores, eligiendo puntos de división x0, x1, x2, ....., xn de modo que
bxxxxa n =<<<<= −1210 ........
Universidad Diego Portales CALCULO II
14
Entonces los n subintervalos son
] , [,........, ] , [ ], , [ , ] , [ 1322110 nn xxxxxxxx −
Esta subdivisión se llama partición de [a,b] y la representamos por P
Sean la longitud de i-ésimo subintervalo1−−=∆ iii xxx
{ } , ,, ,máx 321 nxxxxP ∆∆∆∆= la longitud del subintervalo más largo ( la norma de P)
Consideremos un número en cada subintervalo [xi-1,xi] y formemos un rectángulo Ri cuya base es ∆xi , y su altura es
*ix
)( *ixf
Universidad Diego Portales CALCULO II
15
*ix
a b1−ix
ix
Cada punto puede estar en cualquier lugar de su subintervalo: En el extremo derecho, en el extremo izquierdo o en algún lugar intermedio
*ix
El área del i-ésimo rectángulo es iii xxfA ∆= )( *
Universidad Diego Portales CALCULO II
16
Los n rectángulos R1, R2, .....,Rn, forman una aproximación poligonal a la región S.Aproximamos la idea intuitiva de un área S sumando las áreas de esos rectángulos;la cual es
nni
n
ii
n
ii xxfxxfxxfxxfA ∆++∆+∆=∆=∑∑
==)(...)()()( *
2*21
*1
1
*
1
Ejercicio:a) Si se divide el intervalo [0,3] en subintervalos mediante la partición P y el conjunto de puntos de partición es {0, 0.6, 1.2, 1.6, 2, 2.5, 3 }determine II P IIb) Si f(x)=x2 -4x+5 y se elige como el extremo izquierdo de i-ésimo subintervalo, encuentre la suma de las áreas de los rectangulos de aproximaciónc) Trace los rectangulos de aproximación
*ix
Universidad Diego Portales CALCULO II
17
Ejercicio: Considere las figurasa) Estime el área de la región achuradab) Estime una aproximación del área considerando las áreas de los rectángulos que se aprecian en la figura
Estime con la calculadora el valor de ∫ +3
1)12( dxx
Universidad Diego Portales CALCULO II
18
El área de la región se define como el valor límite (si existe)de las áreas de los polígonos de aproximación
i
n
iiP
xxflimA ∆= ∑=→
)(1
*
0
El límite en la ecuación anterior puede existir o no. Veremos que si f es continua este límite si existe. El significado preciso de límite en la definición anterior es que por cada ε>0, hay un número correspondiente, δ>0, tal que
En otras palabras, se puede aproximar el área mediante una suma de áreas de rectángulos hasta alcanzar un grado arbitrario de exactitud ( ε ) si se toma la norma de la partición lo suficientemente pequeña
δε <<∆−∑=
P que siempre )(1
*i
n
ii xxfA
Universidad Diego Portales CALCULO II
19
Ejemplo: Calculemos el área bajo la parábola y=x2+1, de 0 a 2
Como f(x)= x2+1 es continua existe el límite que define el área, para todas las particiones posibles del intervalo [0,2], siempreque IIPII 0 A fin de simplificar el cálculo, consideremos la partición P quedivide a [0,2] en n subintervalos de igual longitud. Entonces, los puntos de partición son
n
nnx
nix
nx
nxx ni
2x.....x.....xxx
y 22 ...., ,2 ......, ,4 ,2 ,0
ni321
210
=∆==∆==∆=∆=∆
======
Así que la norma de P es { }n
xP i2máx =∆=
Universidad Diego Portales CALCULO II
20
Se puede escoger el punto en cualquier lugar dentro del i-ésimo subintervalo. Elegiremos el extremo derecho
*ix
nixx ii
2* ==
Como IIPII =2/n, la condición IIPII 0 equivale a n ∞Por lo tanto
3142)2(
3421211
34
26
)12)(1(8128
28212
2)2()(
31 1
23
1
2
31
2
11
*
0
=+=
+
+
+=
+++=
+=
+=
+
=
=∆=
∞←
∞←= =∞←
=∞←=∞←
=∞←=→
∑ ∑
∑∑
∑∑
nnlim
nn
nnnn
limn
in
lim
nnilim
nnilim
nniflimxxflimA
n
n
n
i
n
in
n
in
n
in
n
ini
n
iiP
Universidad Diego Portales CALCULO II
21
De igual forma podemos designar al extremo izquierdo; es decir xi-1=2(i-1)/n. Con esta elección verifique que A=14/3
*ix
Nota; Observa que se obtiene la misma respuesta con las distintas opciones para De hecho, habríamos llegado a la misma respuesta si estuviera en el punto medio de [xi-1, xi] o en cualquier otro punto del intervalo.
*ix
Ejercicio: Verifica con la calculadora que
2
1)n(n i 6
)12)(1( 2
1)n(n i 2n
1i
3
1
2n
1i
+=++=+= ∑∑∑===
nnnin
i
*ix
Universidad Diego Portales CALCULO II
22
Definición de una integral definida
Si f es una función definida en un intervalo cerrado [a,b], sea P una partición de [a,b] cuyos puntos de partición sonx0, x1, x2, ....., xn , en donde
Se eligen puntos en [xi-1,xi] y se define y Entonces, la integral definida de f, de a a b es
si existe ese límite. Si lo hay, entonces se dice que f es integrable en el intervalo [a,b]
bxxxxa n =<<<<= −1210 ........*
ix 1−−=∆ iii xxx{ } , ,, ,máx 321 nxxxxP ∆∆∆∆=
i
n
iiP
b
axxflimdxxf ∆= ∑∫
=→)()(
1
*
0
Universidad Diego Portales CALCULO II
23
Ejercicio. Exprese cada uno de los límites que siguen como una integral definida en el intervalo dado.
( ) [ ]
[ ]1,4 ,
0,1 , )52(
*
10
*
1
2*
0
ii
n
iP
ii
n
iiP
xxlim
xxxlim
∆
∆−
∑
∑
=→
=→
OBS: La suma se llama suma de Riemann. La integral definida se conoce como integral de Riemann en honor al matemático alemán Bernhard Riemann (1826-1866)
i
n
ii xxf ∆∑
=)(
1
*
Universidad Diego Portales CALCULO II
24
Debemos distinguir que:una integral definida es un número, en tanto que una integral indefinida
es una función
Ejercicio: Sea f(x)=1+5x y sea la partición P del intervalo [-2,1] definida por los puntos de partición {-2, -1.5, -1, -0.3, 0.2, 1}Suponga que elige Estime la suma de Riemann
7.0 ,0 ,3.0 ,2.1 ,8.1 *5
*4
*3
*2
*1 ==−=−=−= xxxxx
Universidad Diego Portales CALCULO II
25
En el ejercicio anterior f no esuna función positiva
¿la integral sigue representando área?
En ese caso la suma de Riemann no representa la suma de las áreas de los rectángulos. Pero sí denota la suma de las áreas de los rectángulos arriba del eje x menos las áreas de los rectángulos abajo del eje
1-1-2
y=1+5x
Universidad Diego Portales CALCULO II
26
Una integral no necesita representarun área, pero cuando las funcionesson positivas, se puede interpretar
como un área
Si f(x) ≥ 0,
ba dxxfb
a a de f, de gráfica la bajo área el )( =∫
En general, una integral definida se puede interpretar como una diferencia de áreas
donde A1 es el área de la región sobre el eje de las x y bajo la gráfica de f, y A2 es el área de la región bajo el eje de las x y sobre la gráfica de f
21)( AAxfb
a−=∫
+ +
-
Universidad Diego Portales CALCULO II
27
El significado preciso de límite, que define la integral es:
para todas las particiones P de [a,b], donde IIPII<δ para todas las elecciones posibles de
( )( )
<∆−>∃>∀⇔= ∑∫=
)( 0 0)(1
* εδεn
iii
b
axxfIIdxxf
] , [ 1*
iii xxx −∈
Ejercicio: Evalúe las integrales interpretándolas en términos de áreas.
Ejercicio: Grafique en la calculadora la función f(x)=senx en el intervalo [0,2π] b) calcule el área bajo f entre 0 y πc) calcule la integral de f entre 0 y 2 π ¿ qué puede observar?
Ejercicio: Hallar el área de la región limitada por la recta y=2x, el eje x y la recta vertical x=2, y escriba en términos de integral
dxdxdx )x-(1 )x-9(1 x-42
2
0
3
22
2
2∫∫∫ −−−
+
Universidad Diego Portales CALCULO II
28
Propiedades:
0)( entonces ,
)( )( entonces ,
==
−=>
∫
∫∫
b
a
a
b
b
a
dxxfbaSi
dxxfdxxfbaSi
¿Cuáles funciones son integrables?
Teorema: Si f es continua o monótona en [a,b],
es integrable en [a,b]; esto es, existe la integral
definida ∫b
adxxf )(
Universidad Diego Portales CALCULO II
29
OBS; Si f es discontinua en ciertos puntos de [a,b], entonces podría existir o no. Si f sólo tiene una cantidad finita
de discontinuidades y todas son de salto, entonces f se llama continua en secciones y es integrable.Si f es integrable en [a,b], debe ser una función acotada en [a,b]. En particular, si f tiene una discontinuidad infinita en algún punto en [a,b], f no es acotada y, por lo tanto, no es integrable.
∫b
adxxf )(
Ejercicio: ¿Cuáles de las funciones siguientes son integrables en el intervalo [0,2]
( )
=≠−=
≤≤<≤+
=
==
1 xsi 11 xsi 1)( )
2x1 six -21x0 si 1
)( )
sec)( )sen)( )
2-
2
xxfd
xxfc
xxfbxxxfa
Universidad Diego Portales CALCULO II
30
Ejercicio: Sea
a) Demuestre que f no es continua en [0,1]b) Demuestre que f no es acotada en [0,1]c) Demuestre que f no es integrable en [0,1]
0 xsi 0
1x0 si 1)(
=
≤<= xxf
Ejercicio: Sea
Demuestre que f es acotada, pero no integrable en [a,b]
irracional es x si 1
racional es x si 0)(
=xf
Universidad Diego Portales CALCULO II
31
Con fines de cálculo, muchas veces conviene definir P como partición regular; es decir, que todos los subintervalos tengan la misma longitud, ∆x. En este caso,
Si definimos como el extremo derecho del i-ésimo subintervalo, entonces
Ya que vemos que IIPII 0 cuando n ∞y según la definición se tiene
xiaxaxaayn
abxxxx n
∆+=∆+=∆+==
−=∆==∆=∆=∆
i210
21
x...., ,2 x, x, x
.......
*ix
nabiaxiaxx ii
−+=∆+==*
nabxP −=∆=
nab
nabiaflim
xxflimdxxf
n
in
i
n
iiP
b
a
−−+=
∆=
∑
∑∫
=∞→
=→
)(
)()(
1
1
*
0
Universidad Diego Portales CALCULO II
32
Teorema: Si f es integrable en [a,b], entonces
Ejercicio: Evalúe las siguientes integrales aplicando el teorema anterior
Ejercicio: Demuestre
)()(1∑∫
=∞→
−+−=n
in
b
a nabiaf
nablimdxxf
( )dxdxcdxb
a∫∫ ∫−
−7
2
4
1
2 2x-6 )2(x
3
2
332
22 abdxxabxdxb
a
b
a
−=−= ∫∫
Ejercicio: Evaluar el límite).....(1 /3/6/3 nnnn
neee
nlim +++
∞→
Universidad Diego Portales CALCULO II
33
Regla del punto medio
Ejercicio: Use la regla del punto medio, con n=5, para aproximar
∫2
1
1 dxx
[ ]ii
n
n
i
b
a
xxy
xfxxfxfxxfdxxf
,x de medio punto )(x 21 x
na-bx dondeen
))(...)()( ( ) x ()(
1-i1-ii
211
i
=+=
=∆
++∆+∆=∆≈ ∑∫=
Universidad Diego Portales CALCULO II
34
Propiedades de la integralSupongamos que existen todas las integrales siguientes, entonces
Ejercicio: Demuestre las propiedades y luego calcule
[ ]
[ ]
∫∫∫
∫∫∫
∫∫
∫∫∫
∫
+=
−=
=
+=+
−=
b
c
c
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
f(x)dx f(x)dxf(x)dx.
g(x)dxf(x)dx dxf(x)-g(x).
constante c f(x)dxccf(x)dx.
g(x)dxf(x)dx dxg(x)f(x).
constante c a) c(bcdx
5
4
3
2
.1
dxx∫ −3
053
Universidad Diego Portales CALCULO II
35
Propiedades de orden de la integral
Supongamos que existen las integrales siguientes, y que a≤b
∫∫
∫
∫∫
∫
≤
≤≤
≤≤≤≤
≥≤≤≥
≥≤≤≥
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
dxf(x) f(x)dx .
M(b-a)f(x)dxa) m(b-
ces b, entonxdo aM cuanf(x). Si m
g(x)dx f(x)dxces b, entonxcuando ag(x) (x). Si f
f(x)dxes b , entoncx a cuando (x). Si f
9
8
7
006
Ejercicio: Demuestre las propiedades y luego aplique la propiedad 8 para estimar el valor de la integral
dxx∫ +2
0
3 1
Universidad Diego Portales CALCULO II
36
Ejercicio:Escribe cada una de las sumas o restas que siguen como una integral de la forma ∫
b
adxxf )(
∫∫
∫∫
−
+
7
2
10
2
5
0
8
5
)()(
)()(
dxxfdxxf
dxxfdxxf
EjercicioEmplear las propiedades de las integrales para comprobar cada una de las desigualdades siguientes
2212
3sen
6
15
1
1
2
2/
6/
2
1
2
1
≤+≤
≤≤
+≥−
∫
∫
∫∫
−dxx
xdx
dxxdxx
ππ π
π
Universidad Diego Portales CALCULO II
37
Teorema fundamental del cálculoEl teorema fundamental del cálculo establece una conexión entre las dos ramas del cálculo: el cálculo diferencial y el cálculo integral. El teorema fundamental del cálculo proporciona la relación inversa precisa entre la derivada y la integral.
Teorema fundamental del cálculo ( Primera Parte):Si f es continua en [a,b], la función g, definida por
es continua en [a,b] y diferenciable en (a,b) y g´(x) = f(x)
bxa f(t)dtg(x)x
a≤≤= ∫
Con la notación de Leibniz para las derivadas, podemos escribir )()( xfdttf
dxd x
a=∫
Universidad Diego Portales CALCULO II
38
x1
1 )cos53(
2
0
1
0 2∫ ∫ ++
πdxdxxx
Ejercicio: Aplique la primera parte del teorema fundamental para determinar la derivada de las siguientes funciones
dt 2 g(x) dt )1()(1
x
1-
3253∫ ∫ +=−=x
ttxg
Teorema fundamental del cálculo ( Segunda Parte):Si f es continua en [a,b],entonces
en donde F es cualquier antiderivada de f, esto es, F´=f
F(a)-F(b) f(x)dxb
a=∫
Ejercicio: Calcular las siguientes integrales
Universidad Diego Portales CALCULO II
39
¿Cuál es el error en elsiguiente cálculo?
341
31
11
3
1
13
12 −=−−=
−=
−
−
−∫
xdxx
Ejercicio: Trace el área representada por g(x). A continuación determine g´(x) con dos métodos.a) la primera parte del teorema fundamentalb) evalúe con la segunda parte y derive a continuación
cos2g(x) )1()(0
2∫∫ +=+=xx
tdtdttxgκ
Universidad Diego Portales CALCULO II
40
f, F´es decir
de f, derivada ier antis cualquonde F eF(a), dF(b)f(x)dx.
f(x)(x)nces g´, entof(t)dtg(x). Si
b
a
x
a
=
−=
==
∫
∫
2
1
Teorema fundamental del cálculo
Universidad Diego Portales CALCULO II
41
Ejercicio:Aplique la primera parte del teorema fundamental del cálculo para determinar la derivada de la función dada
( )
( ) ( )∫∫
∫∫
−==
=−=
x
tanx
x
x
dtdtt
dttdttxg
sen
5
317
4
22
1
202
ttcosy seny
cosF(x) )1()(
Ejercicio:Calcule el área de la región limitada por la curvay=-x2+4x-3 y el eje x.
Grafique en la calculadora verifique el cálculo del área achurada
Universidad Diego Portales CALCULO II
42
Ejercicio:Use la segunda parte del teorema fundamental del cálculo a fin de evaluar la integral, o determine cuando no exista
2x1 si x1x0 si x
f(x) donde )(
secxtanxdx sen
)x2-(x x 2
1 1
5
42
0
2/
3/
4/
2
1
2
46
3
2
22
1
2
≤≤
<≤=
−+
∫
∫∫
∫∫
∫∫
−−
−
dxxf
tdt
dxdx
dxxdxx
x
π
π
π
π
Universidad Diego Portales CALCULO II
43
Ejercicio: Hallar la derivada de cada una de las funciones siguientes
dtt
x
tanx∫
∫
+=
+=
2
4
3x
2x
2
1g(x)
du 1u1-ug(x)
Ejercicio: Si
Calcule F´´(2)
1 donde2
1
4
1 du
uu f(t) , f(t)dtF(x)
tx
∫∫+==
Universidad Diego Portales CALCULO II
44
Ejercicio: Calcular el área encerrada por las curvas de ecuacionesy=cosx, x=0, x=π, y=0
Ejercicio: Calcular
4x2 si 42x1 si 21x0 si
)(
por definidafunción la es f donde )(
2
4
0
≤≤−≤<≤≤
=
∫
x
xxf
dxxf
Ejercicio: Hallar el área de la región R, en el primer cuadrante, que se encuentra bajo la curva y=1/x y está limitada por esta curva y las rectas y=x, y=0, y x=2
Universidad Diego Portales CALCULO II
45
Regla de sustitución para integrales definidas
Si g´es continua en [a,b] y f es continua en el recorrido de g, entonces
∫∫ =)(
)()()´()((
bg
ag
b
aduufdxxgxgf
Ejercicio: Demuestre la regla de sustitución anterior
Ejercicio: Evalúe aplicando la regla de sustitución para integrales definidas
dxx∫ +5
172
Universidad Diego Portales CALCULO II
46
Integrales de funciones simétricas
Cuando f es continua en [-a,a]
∫
∫∫
−
−
==
==
a
a
aa
a
f(x)dx b
f(x)dxf(x)dxa
0 entonces -f(x),f(-x)impar es f Cuando )
2 entonces f(x),f(-x)par es f Si )0
Ejercicio:Demuestre las propiedades anteriores
Ejercicio:Calcule las siguientes integrales
1senx )1(
3
3
1
1-2
4∫ ∫− +
+ dxx
dxx
Universidad Diego Portales CALCULO II
47
Ejercicio:Si f es continua y calcule
Ejercicio:Si f es continua en IR, demuestre que
Trace un diagrama para el caso en que f(x)>0 a fin de interpretar geométricamente esta ecuación como una igualdad de áreas
∫ =9
04)( dxxf ∫
3
0
2 )( dxxxf
∫∫−
−=−
a
b
b
adxxfdxxf )()(
Ejercicio:Si a y b son números positivos, demuestre que
∫∫ −=−1
0
1
0)1()1( dxxxdxxx abba
Universidad Diego Portales CALCULO II
48
Ejercicio:Considere la sustitución u=π-x para demostrar que
Aplique el resultado anterior para evaluar la integral
∫∫ =ππ π00
)(sen2
)(sen dxxfdxxxf
dxx
xx∫ +
π
0 2cos1sen
Ejercicio:Sea f:[0,a] IR integrable. Demostrar que
∫ ∫
∫∫
=
=
a
a/2
a/2
0
a
0
a
0
x)dx-f(af(x)
x)dx-f(af(x)dx
Universidad Diego Portales CALCULO II
49
Integración Aproximada
Hay dos situaciones en que es imposible calcular el valor exacto de una integral definida.
La primera es consecuencia de que para evaluar ∫b
a
dxxf )(
con el teorema fundamental del cálculo , necesitamos conocer una antiderivada de f ; sin embargo , a veces es difícil , o hasta imposible , encontrarla. Por ejemplo , es imposible evaluar con exactitud las integrales siguientes:
∫1
0
2
dxe x
dxx∫−
+1
1
31
La segunda situación se presenta cuando la función se determina con un experimento científico utilizando las indicaciones de instrumentos. Puede no haber fórmula para la función
Universidad Diego Portales CALCULO II
50
Recordaremos que la integral definida es el límite de las sumas de Riemann , así que cualquier suma de Riemann servirá como una aproximación . En especial definamos una partición de [a,b] en nsubintervalos de igual longitud , ∆ = (b – a)/n . Entonces,
( ) xxfdxxfb
a
n
ii ∆≈∫ ∑
=1
*)(
en donde es cualquier punto en el i-ésimo subintervalo ,*ix [ ]ii xx ,1−
de la partición .En caso de elegir como el punto medio del
Intervalo , tenemos que se aproxima a un
valor con la Regla Punto Medio.
*ix
[ ]ii xx ,1− ∫b
a
dxxf )(
Universidad Diego Portales CALCULO II
51
Regla del punto medio
∫
++
+
∆≈−−−b
anxfxfxfxdxxf ...)( 21
donde
nabx −=∆
( )iii xxx += −
−
121
y
Universidad Diego Portales CALCULO II
52
Ejercicio:
a) Emplee la regla del punto medio , con n = 5 , para calcular aproximadamente
∫2
1
1 dxx
Otra aproximación es consecuencia del promedio de las aproximaciones con extremos izquierdos y extremos derechos , representadas por:
( ) ( ) ( ) ( )( )
+∆=
∆+∆≈ ∑∫ ∑ ∑=
−= =
−
n
iii
b
a
n
i
n
iii xfxfxxxfxxfdxxf
11
1 11 22
1)(
Universidad Diego Portales CALCULO II
53
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )[ ]nn xfxfxfxfxfxfxfxfx ++++++++∆−1322110 ....
2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]nn xfxfxfxfxfx +++++∆
−1210 2.....222
Regla del trapecio
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]nn xfxfxfxfxfx +++++∆−1210 2.....22
2
donde
nabx −=∆ y xiaxi ∆+=
La causa del nombre de la regla del trapecio se puede ver en la figura 2 , que muestra el caso cuando f(x) ≥ 0. El área del trapecio sobre el í-ésimo subintervalo es:
Universidad Diego Portales CALCULO II
54
( ) ( )( )
+∆∑
=−
n
iii xfxfx
112
Y si sumamos las áreas , de esos trapecios obtenemos el lado derecho de la regla del trapecio
Ejercicio:
Emplee la regla del trapecio , con n = 5 , para calcular
aproximadamente
∫2
1
1 dxx
fig 2
Universidad Diego Portales CALCULO II
55
Aplicando el teorema fundamental del cálculo
en , se tiene,
∫2
1
1 dxx
El error al emplear una aproximación se define como la cantidad que se necesita sumar a la aproximación para volverla exacta.
El error cometido en la aproximación de la regla del trapecio ( ) se define:
( ) ( ) 693147,02lnln 2
1≈=x
TE
TE
n
b
a
Tdxxf −= ∫ )(
donde representa el valor obtenido al aproximar dicha integral por el método del trapecio .
nT
Universidad Diego Portales CALCULO II
56
El error cometido en la aproximación de la regla del punto medio ( ) , de define :
ME
n
b
aM MdxxfE −= ∫ )(
donde representa el valor obtenido al aproximar dicha integral por el método del trapecio .
nM
Ejercicio:
Para , verificar que los errores obtenidos en las
aproximaciones de la regla del trapecio y del punto medio ,
para n = 5 , son:
∫2
1
1 dxx
002488,0−≈TE y 001239,0≈ME
Universidad Diego Portales CALCULO II
57
Límites de error
Supongamos que cuando a ≤ x ≤ b. Si y son los errores en que se incurre con las reglas del trapecio y del punto medio , entonces
( ) Kxf ≤'' TE ME
( )2
3
12 nabKET
−≤ y ( )2
3
24nabKEM
−≤
Ejemplo: La estimación de error a la aproximación de es:
∫2
1
1 dxx ( ) 006667,0
1501
5121222
3
≈=⋅−≤TE
Nota: ( ) Kx
xf ==≤= 212233
''
Universidad Diego Portales CALCULO II
58
Ejercicio:
¿Qué valor debe tener n para garantizar que las aproximaciones a
, con las reglas del trapecio y del punto medio , tengan
0,0001 de exactitud ?
∫2
1
1 dxx
Ejercicio:
a) Aplique la regla del punto medio para ,con n = 10 para hallar aproximadamente , la integral
b) Establezca una cota superior para el error cometido en esta aproximación.
d xe x∫1
0
2
Ejercicio:a) Halle las aproximaciones para
b) Estime los errores en las aproximaciones del inciso (a).
c) ¿Qué tan grande tendrá que ser n para que las aproximaciones
y a la integral del inciso (a) tenga una exactitud del orden de 0,00001?
8T y 8M ( )dxx∫1
0
2cos
nT nM
Universidad Diego Portales CALCULO II
59
Regla de Simpson
Otra regla para aproximar resultados de integración emplea segmentos parabólicos en lugar de segmentos de recta . Como antes, tomaremos una partición de [a,b] en n subintervalos de igual longitud , h = ∆x = (b-a)/n; pero esta vez supondremos n par. Entonces , en cada par consecutivo de intervalos , aproximamos la curva y = f(x) ≥ 0 por medio de una parábola
Universidad Diego Portales CALCULO II
60
Si y1 = f(xi) , entonces P(xi,yi) es el punto de la curva que está arriba de xi . Una parábola característica pasa por tres puntos consecutivos Pi , Pi+1 y Pi+2.
Para simplificar cálculos , examinaremos el caso en que x0 = -h, xi=0 y x2 = h.
Sabemos que la ecuación de la parábola que pasa por P0 , P1 y P2 tiene la forma y = Ax2+Bx+ C; por consiguiente el área bajo la parábola , desde x = -h hasta x = h es:
( )dxCBxAxh
h∫−
++2
Universidad Diego Portales CALCULO II
61
( ) ( )dxCAxdxCBxAxhh
h∫∫ +=++
− 0
22 2
( )CAhhChhACxxA
h
6233
2 3
2 23
0
3
+=
+=
+=
Como la parábola pasa por P0 , P1 y P2 , tenemos ( )
CBhAhyCy
CBhAhChBhAy
++=
=+−=+−+−=
22
1
220 )(
asi CAhyyy 624 2210 +=++
El área bajo la parábola queda expresada como:
( )210 43
yyyh ++
Universidad Diego Portales CALCULO II
62
De igual forma , el área bajo la parábola pasa por P2 , P3 y P4 , desde x = x2 hasta x = x4 , es: ( )432 4
3yyyh ++
Si calculamos de este modo el área bajo todas las parábolas y sumamos los resultados, llegamos a
( ) ( ) ( ) ( )nnn
b
a
yyyhyyyhyyyhdxxf +++⋅⋅⋅⋅++++++= −−∫ 12432210 43
43
43
( )nnn yyyyyyyyh +++⋅⋅⋅+++++= −− 1243210 4224243
Regla de Simpson
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]nnnn
b
a
xfxfxfxfxfxfxfxSdxxf +++⋅⋅⋅++++∆=≈ −−∫ 123210 424243
En donde n es par y ∆x =(b-a)/n
Universidad Diego Portales CALCULO II
63
Ejercicio:
Aplique la regla de Simpson , con n = 10 , para hallar ,
aproximadamente
∫2
1
1 dxx
Límites de error para la regla de Simpson
Supongamos que cuando a ≤ x ≤ b. Si es el error cometido al aplicar la regla de Simpson
( ) ( ) Kxf ≤4SE
4
5
180)(
nabKES
−≤
Ejercicio: ¿Qué valor ha de tener n para garantizar que la
aproximación , mediante la regla de Simpson , de tenga una exactitud de 0,0001?
∫2
1
1 dxx
Universidad Diego Portales CALCULO II
64
Ejercicio:
a) Emplee la regla de Simpson , con n = 10 , a fin de aproximar la
integral
b) Estime el error cometido en esta aproximación.
dxe x
∫1
0
2
Ejercicio: use las reglas del trapecio , del punto medio y de Simpsonpara aproximar las siguientes integrales con n = 10.
a) b) c)
dxe x∫
−1
0
2
dxx∫ +
2
031
1 dx
xe x
∫4
2