Carlos Ivorra Castillo

LOGICA Y TEORIA DECONJUNTOS

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UserCuadro de textoMaterial compilado con fines acadmicos, se prohbe su reproduccin total o parcial sin la autorizacin de cada autor.

UserCuadro de texto01) Ivorra, C. (2012). Introduccin a la lgica matemtica. En Lgica y Teora de Conjuntos. (pp. 3-16). Valencia: Universidad de Valencia.

Introduccion a la logicamatematica

La logica y su historia Tradicionalmente se ha dicho que la logica se ocupadel estudio del razonamiento. Esto hoy en da puede considerarse desbordadopor la enorme extension y diversidad que ha alcanzado esta disciplina, peropuede servirnos como primera aproximacion a su contenido.

Un matematico competente distingue sin dificultad una demostracion co-rrecta de una incorrecta, o mejor dicho, una demostracion de otra cosa queaparenta serlo pero que no lo es. Sin embargo, no le pregunteis que es lo que en-tiende por demostracion, pues a menos que ademas sepa logica no os sabraresponder, ni falta que le hace. El matematico se las arregla para reconocer lavalidez de un argumento o sus defectos posibles de una forma improvisada pero,al menos en principio, de total fiabilidad. No necesita para su tarea contar conun concepto preciso de demostracion. Eso es en cambio lo que ocupa al logico:El matematico demuestra, el logico estudia lo que hace el matematico cuandodemuestra.

Aqu se vuelve obligada la pregunta de hasta que punto tiene esto interesy hasta que punto es una perdida de tiempo. Hemos dicho que el matematicose las arregla solo sin necesidad de que nadie le vigile los pasos, pero entonces,que hace ah el logico? Posiblemente la mejor forma de justificar el estudio dela logica sea dar una vision, aunque breve, de las causas historicas que han dadoa la logica actual tal grado de prosperidad.

En el sentido mas general de la palabra, el estudio de la logica se remontaal siglo IV a.C., cuando Aristoteles la puso a la cabeza de su sistema filosoficocomo materia indispensable para cualquier otra ciencia. La logica aristotelicaera bastante rgida y estrecha de miras, pero con todo pervivio casi inalterada,paralelamente al resto de su doctrina, hasta el siglo XVI. A partir de aqu,mientras su fsica fue sustituida por la nueva fsica de Galileo y Newton, lalogica simplemente fue ignorada. Se mantuvo, pero en manos de filosofos y enparte de los matematicos con inclinaciones filosoficas, aunque sin jugar ningunpapel relevante en el desarrollo de las ciencias. Leibniz le dio cierto impulso,pero sin abandonar una postura conservadora. A principios del siglo XIX, lostrabajos de Boole y algunos otros empezaron a relacionarla mas directamentecon la matematica, pero sin obtener nada que la hiciera especialmente relevante

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4(aunque los trabajos de Boole cobraran importancia mas tarde por motivosquiza distintos de los que el mismo tena in mente).

As pues, tenemos que, hasta mediados del siglo XIX, la logica era poco masque una curiosidad que interesaba a quienes sentan alguna inquietud por lafilosofa de la matematica o del pensamiento en general. La logica como hoy laentendemos surgio basicamente con los trabajos de Frege y Peano. En principioestos eran, al igual que los anteriores, nuevos ensayos sobre el razonamiento,si bien mas complejos y ambiciosos. Lo que les dio importancia fue que noaparecieron como productos de mentes inquietas, sino como culminacion delproceso de formalizacion que la matematica vena experimentando desde lostiempos de Newton y Leibniz.

En efecto, el calculo infinitesimal que estos trazaron con tanta imaginaciony que despues desarrollaron Cauchy, Gauss y otros, tuvo que ser precisado amedida que se manejaban conceptos mas generales y abstractos. Dedekind,Riemann, Weierstrass, fueron sistematizando la matematica hasta el punto dedejarla construida esencialmente a partir de los numeros naturales y de las pro-piedades elementales sobre los conjuntos. La obra de Frege y de Peano pretendaser el ultimo eslabon de esta cadena. Trataron de dar reglas precisas que de-terminaran completamente la labor del matematico, explicitando los puntos departida que haba que suponer as como los metodos usados para deducir nuevosresultados a partir de ellos.

Si solo fuera por esto, probablemente este trabajo habra acabado como unacuriosidad de presencia obligada en las primeras paginas de cada libro introduc-torio a la matematica y que continuara interesando tan solo a los matematicoscon inclinaciones filosoficas. Pero sucedieron hechos que confirmaron la necesi-dad de la logica como herramienta matematica. A finales del siglo XIX, GeorgCantor creo y desarrollo la parte mas general y mas abstracta de la matematicamoderna: la teora de conjuntos. No paso mucho tiempo sin que el propio Can-tor, junto con otros muchos, descubriera descaradas contradicciones en la teora,es decir, se obtenan demostraciones de ciertos hechos y de sus contrarios, perode tal forma que burlaban el ojo crtico del matematico, tan de fiar hasta enton-ces. Se obtenan pares de pruebas de forma que cada una por separado parecairreprochable pero que ambas juntas eran inadmisibles.

El ejemplo mas simple de estos resultados fue descubierto por BertrandRussell al despojar de contenido matematico a otro debido a Cantor: En lateora cantoriana se puede hablar de cualquier conjunto de objetos con tal de quese especifiquen sus elementos sin ambiguedad alguna. En particular podemosconsiderar el conjunto R cuyos elementos son exactamente aquellos conjuntosque no son elementos de s mismos. Es facil ver que si R es un elemento des mismo, entonces por definicion no debera serlo, y viceversa. En definitivaresulta que R no puede ni pertenecerse como elemento ni no hacerlo. Estocontradice a la logica mas elemental.

El lector puede pensar que esto es una tontera y que basta no preocuparsede estas cosas para librarnos de tales problemas, sin embargo sucede que contra-dicciones similares surgen continuamente en la teora pero afectando a conjuntosno tan artificiales y rebuscados como pueda parecer el conjunto R, sino a otros

5que aparecen de forma natural al trabajar en la materia. En cualquier casoestos hechos mostraban que el criterio que confiadamente han venido usandodesde siempre los matematicos no es inmune a errores difciles por no decirimposibles de detectar, al menos al enfrentarse a la teora de conjuntos.

La primera muestra de la importancia de la logica fue un estrepitoso fracaso.Frege haba creado (tras mucho tiempo de cuidadosa reflexion) un sistema quepretenda regular todo el razonamiento matematico, de manera que cualquierresultado que un matematico pudiera demostrar, debera poder demostrarse si-guiendo las reglas que con tanto detalle haba descrito. Russell observo que laparadoja antes citada poda probarse en el sistema de Frege y que, a consecuen-cia de esto, cualquier afirmacion, fuera la que fuera, poda ser demostrada segunestas reglas, que se volvan, por tanto, completamente inutiles.

Este desastre, no obstante, mostraba que la laboriosa tarea de Frege no eraen modo alguno trivial, y urga encontrar una sustituta a su fallida teora. Con eltiempo surgieron varias opciones. La primera fueron los Principia Mathematicade Whitehead y Russell, de una terrible complejidad logica, a la que siguieronmuchas teoras bastante mas simples aunque quiza menos naturales. Destacanentre ellas las teoras de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF) y de von Neumann-Bernays-Godel (NBG). Ambas constan de unos principios basicos (axiomas) yunas reglas precisas de demostracion que permiten deducir de ellos todos losteoremas matematicos y hasta donde hoy se sabe ninguna contradiccion.

De esta forma la logica ha probado ser indispensable a la hora de trabajaren teora de conjuntos, hasta el punto de que es inconcebible el estudio de estasin un buen conocimiento de aquella.

El contenido de la logica matematica En el apartado anterior hemosmostrado una de las funciones principales de la logica matematica: servir defundamento al razonamiento matematico, evitando ambiguedades y contradic-ciones mediante la determinacion absolutamente precisa y rigurosa de lo que esun razonamiento matematico valido. Pero cuando la necesidad obliga al estudiode un determinado campo, el esfuerzo pronto es premiado con nuevos resultadosinesperados:

Si uno tiene paciencia o un libro de geometra a mano, puede coger una reglay un compas y dibujar un pentagono regular. Si ahora prueba suerte con unheptagono no encontrara ningun libro de ayuda y la paciencia servira de muypoco. Puede probarse que es imposible construir un heptagono regular sin masayuda que una regla (no graduada) y un compas, pero, para demostrarlo nobasta con coger una regla y un compas y terminar no construyendolo. Es nece-sario reflexionar sobre que es construir con regla y compas, dar una definicionprecisa, comprobar que esta se corresponde con lo que usualmente se entiendepor construir con regla y compas y, finalmente, ver que eso es imposible para elcaso del heptagono regular.

Igualmente, el tener una nocion precisa de demostracion nos permite com-prender y resolver problemas que de otro modo seran inabordables: cuandoun matematico hace una conjetura, puede meditar sobre ella y, si tiene suerte,la demostrara o la refutara. Pero tambien puede ser que no tenga suerte y no

6consiga ni lo uno ni lo otro. Esto ultimo puede significar dos cosas: que no eslo suficientemente buen matematico o que pretenda un imposible. Cantor llegoa la locura en gran parte por la frustracion que le produca el no lograr decidirla verdad o falsedad de una de sus conjeturas, la llamada hipotesis del conti-nuo. Con ayuda de la nueva logica se ha probado que esta no puede probarseni refutarse, y no se trata de un caso aislado. Sucede que estas afirmaciones nosurgen solo en teora de conjuntos, donde son el pan de cada da, sino que sontambien abundantes en el analisis y la topologa, incluso hay casos en algebra.Por ello el matematico necesita en ocasiones de la logica para determinar suspropias posibilidades y limitaciones. El establecer este tipo de resultados deindependencia es una de las partes mas importantes de la logica aplicada a lateora de conjuntos.

Por otra parte, toda teora suficientemente rica contiene resultados de in-teres interno, en s mismo. La logica moderna, principalmente de la mano deGodel, ha obtenido resultados sorprendentes e interesantsimos que nos permi-ten comprender mejor la capacidad y las limitaciones del razonamiento humano,resultados que justifican por s solos el estudio de la logica. Por ejemplo: Puedeun matematico probar que 2+2 = 5? El lector que responda: Claramente no,o No, porque es mentira, o No, porque 2+2 = 4, o similares, no tiene clarosciertos conceptos logicos. Esta claro que un matematico puede demostrar que2+2 = 4, mas aun, esta claro que 2+2 = 4, pero el problema es que la existenciade una demostracion de que 2 + 2 6= 5 o incluso de la falsedad de que 2 + 2 = 5no aportan la menor garanta de que no pueda traer alguien unos cuantos foliosescritos segun las costumbres de razonamiento de los matematicos, aun cum-pliendo todas las condiciones que estipulan los logicos, pero que termine conla conclusion 2 + 2 = 5. Por que no puede ser? No es un problema evidente,hasta el punto de que puede probarse como consecuencia del llamado segundoteorema de incompletitud de Godel que es imposible garantizar que no existatal catastrofica prueba. Lo demostraremos en su momento.

Sin animo de ser exhaustivos, podramos decir que la logica moderna sedivide en cuatro areas:

a) Teora de la demostracion.

b) Teora de modelos.

c) Teora de la recursion.

d) Teora de conjuntos.

En esta primera parte haremos especial hincapie en la teora de la demos-tracion, que es la parte mas clasica de la logica, y usaremos la teora de modelosy la teora de la recursion como auxiliares para el estudio de la primera. Final-mente aplicaremos los resultados que obtendremos a la teora de conjuntos comoejemplo mas significativo. Vamos a probar la mayora de los resultados clasicosde la teora de la demostracion, mientras que la teora de modelos y la teora dela recursion seran tocadas muy superficialmente, con la suficiente profundidadcomo para obtener resultados importantes que nos seran necesarios, pero no

7como para formarnos una idea del trabajo que se lleva a cabo en estos campos.Este planteamiento es el mas conveniente para los objetivos que perseguimos,que son dos: por una parte dotar al lector de un bagaje logico mas que sufi-ciente para abordar con comodidad el estudio de la teora de conjuntos, y porotra, tratar de explicar a traves de estos resultados la naturaleza del trabajo delmatematico.

Matematica y metamatematica Una gran parte de la logica moderna cons-tituye una rama mas de la matematica, como pueda serlo el algebra o el analisis,pero hay otra parte que no puede ser considerada del mismo modo, y es preci-samente la que mas nos va a interesar. Se trata de la parte que se ocupa de losfundamentos de la matematica. Para que un argumento matematico sea acep-table es necesario que satisfaga unas condiciones de rigor, condiciones que losmatematicos aplican inconscientemente y que ahora nos proponemos establecerexplcitamente, pero precisamente por eso sera absurdo pretender que los razo-namientos y discusiones que nos lleven a establecer el canon de rigor matematicodeban someterse a dicho canon, del que en nuestra peculiar situacion nodisponemos a priori. Esto plantea el problema de como ha de concebirse todocuanto digamos hasta que dispongamos de la nocion de rigor matematico.

Esto nos lleva a la distincion entre matematica y metamatematica. Ma-tematica es lo que hacen los matematicos. Cuando hayamos alcanzado nuestroobjetivo, podremos decir que es exactamente hacer matematicas. De momentopodemos describirlo grosso modo: Hacer matematicas consiste en demostrarafirmaciones, en un sentido de la palabra afirmacion que hemos de precisary en un sentido de la palabra demostrar que hemos de precisar, a partir deunas afirmaciones fijas que llamaremos axiomas y que tambien hemos de pre-cisar.1 Por otra parte, hacer metamatematicas es razonar sobre afirmaciones,demostraciones, axiomas y, en general, sobre todo aquello que necesitemos ra-zonar para establecer que es la matematica y cuales son sus posibilidades y suslmites.

Por ejemplo, una afirmacion matematica es los poliedros regulares soncinco, mientras que una afirmacion metamatematica es los axiomas de Peanoson cinco. Pese a su similitud formal, es crucial reconocer que son esencialmentedistintas. Cuando hayamos capturado la nocion de razonamiento matematico,podremos entender la primera de ellas como un teorema, una afirmacion cuyaverdad se funda en que puede ser demostrada matematicamente, mediante unrazonamiento que satisfara todas las exigencias de rigor que habremos impuesto.En cambio, la segunda no es un teorema demostrable a partir de ningunos axio-mas. Simplemente expresa que cuando escribimos en un papel los axiomas dePeano, escribimos cinco afirmaciones. Cuando contamos los axiomas de Peanohacemos lo mismo que cuando le contamos los pies a un gato. Podra discutirsesobre que es lo que hacemos, pero, ciertamente, no estamos demostrando unteorema formal.

1Ciertamente, esta concepcion radicalmente formalista de las matematicas es mas quecuestionable. En realidad no afirmo que las matematicas sean solo esto, sino tan solo que estees exactamente el significado que tendra el termino matematico a lo largo de este libro.

8Antes de continuar debo hacer una advertencia al lector: Los resultados quevamos a estudiar son todos hechos conocidos sobre la logica de primer orden,que merecen el respeto y la consideracion habituales para con los resultadosmatematicos, sin embargo, entre estos, hay interpretaciones subjetivas con lasque unos logicos y matematicos estaran de acuerdo mientras que otros podrandiscrepar. Mi intencion no ha sido la de exponer imparcialmente todos los pun-tos de vista posibles, sino la de decantarme en cada momento por lo que meparece mas adecuado, de modo que el lector es libre de estar de acuerdo o dis-crepar de lo que lea. Si el lector opta por lo segundo, debera tener presente quehay dos formas de discrepar: una destructiva y esteril, consistente unicamenteen discrepar, y otra constructiva y enriquecedora, consistente en proponer unaalternativa. Tengo la conviccion de que el lector que trate de discrepar cons-tructivamente no discrepara mucho.

La diferencia esencial entre una afirmacion o un razonamiento matematicoy una afirmacion o un razonamiento metamatematico es que los primeros seapoyan esencialmente en una teora axiomatica, y los segundos no. Cuandoafirmamos que los poliedros regulares son cinco, aunque literalmente estoes una afirmacion en castellano, si la consideramos como una afirmacion ma-tematica correcta es porque podramos enunciarla en el lenguaje de la teorade conjuntos y demostrarla segun la logica de la teora de conjuntos. Por elcontrario, la afirmacion los axiomas de Peano son cinco es una afirmacion encastellano, que podramos traducir al ingles o al frances, pero no tiene sentidoconsiderarla como un teorema integrante de un sistema axiomatico.2 Todo ma-tematico, tanto si conoce explcitamente la teora axiomatica en la que trabajacomo si no, entiende perfectamente que es razonar formalmente en el seno deuna teora y, aunque no sepa conscientemente mucha logica, entiende queeso es precisamente lo que hace y lo que da rigor a su trabajo. El problemaes, pues, explicar como puede razonarse de forma rigurosa fuera de toda teoraaxiomatica. Dedicaremos a este problema las secciones siguientes. Para acabaresta anadiremos unicamente la siguiente advertencia:

Un matematico puede encontrar esotericos e incomprensibles o naturales ysimples los resultados de los captulos siguientes, no en funcion de su inteligen-cia o de su capacidad como matematico, sino exclusivamente en funcion de sucapacidad de librarse de los prejuicios o de la deformacion profesional que leimpidan asumir que no esta leyendo un libro de matematicas. Si decide pres-cindir de las indicaciones que acompanan a los resultados, mas cercanas a lafilosofa que a la matematica en s, corre el riesgo de entender todos los pasosintermedios pero no entender ninguna de las conclusiones.

El formalismo radical Antes de esbozar una concepcion razonable para lametamatematica, sera conveniente que descartemos de antemano la alternativaa la que es proclive una buena parte de los matematicos no familiarizados con

2En realidad la metamatematica s puede formalizarse, como cualquier teora razonable,pero lo cierto es que en nuestro contexto no podemos hacerlo, por lo que es mas aproximado ala verdad decir que no tiene sentido considerar a sus afirmaciones como teoremas de ningunateora formal.

9la logica: el formalismo radical. Ya hemos comentado que las contradiccionesque achacaban a la matematica de finales del siglo XIX fueron desterradas es-tipulando unos axiomas y unas reglas de razonamiento logico cuidadosamenteseleccionadas para este fin. Mas alla de cubrir esta necesidad elemental de con-sistencia, el metodo axiomatico proporciona al matematico una seguridad sinprecedentes: decidir si un razonamiento es valido o no cuando la teora a la quepretende integrarse esta debidamente axiomatizada es mera cuestion de calculo,una tarea mecanica que, al menos en teora, puede realizar incluso un ordenadordebidamente programado.

Esto ha hecho que algunos matematicos, convencidos de que el metodoaxiomatico es todo lo que necesitan para su trabajo, no reconozcan otra formade razonamiento legtimo. Un formalista radical es alguien que no acepta unrazonamiento a no ser que venga precedido de una enumeracion de los conceptosque va a involucrar y de los axiomas que se van a aceptar sin prueba, y de modoque todo cuanto siga sean consecuencias logicas formales de los axiomas dados(sin perjuicio de que, en la mayora de los casos, estos principios se omitan porconsabidos).

Es importante destacar el significado del adjetivo formal en la expresionconsecuencias logicas formales. Una deduccion formal es una deduccion queno tiene en cuenta para nada el posible significado de las afirmaciones queinvolucra. Por ejemplo, de todo H es M y S es H se deduce formalmenteque S es M, sin que importe lo mas mnimo a que hagan referencia las letrasH, M y S. Si uno quiere ver ah el silogismo Todos los hombres son mortales,Socrates es un hombre, luego Socrates es mortal, es libre de pensarlo as,pero la validez del razonamiento no depende de esa interpretacion ni de ningunaotra.3

Hilbert fue el primero en concebir la posibilidad de reducir la totalidad dela matematica a una teora axiomatica formal, idea extremadamente fructferay poderosa. La falacia del formalista radical en la que, desde luego, Hilbertno cayo consiste en creer que no hay nada mas. En las secciones siguientesveremos que mas hay, pero en esta hemos de convencernos de que algo mas tieneque haber.

No es cierto que el formalismo radical baste para fundamentar la matematica.El problema es que establecer un lenguaje, unos axiomas y unas reglas de razo-namiento requiere ciertos razonamientos: hay que discutir cuales son los signosdel lenguaje, cuales son las combinaciones aceptables de esos signos, cuales deellas se toman concretamente como axiomas, hay que demostrar algunos hechosgenerales sobre demostrabilidad, etc. Como podran entenderse esos razona-mientos si no admitieramos razonamientos que no provengan de unos axiomasprefijados?, hemos de presentar axiomaticamente la metamatematica?, y comopresentamos los axiomas necesarios para axiomatizar la metamatematica?, He-mos de construir una metametamatematica?

Por poner un ejemplo explcito: La teora de conjuntos de Zermelo-Fraenkeles el sistema axiomatico comunmente aceptado como fundamento de la ma-

3Por eso una buena definicion del formalista (radical) es la que lo caracteriza como alguienincapaz de entender algo a menos que carezca de significado.

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tematica. En efecto, a partir de sus axiomas se pueden demostrar todos losteoremas matematicos, en particular de ellos se deducen las propiedades de losconjuntos infinitos. Un formalista radical solo aceptara razonamientos que invo-lucren el concepto de infinitud a partir del momento en que las propiedades delos conjuntos infinitos se hayan demostrado a partir de los axiomas, pero sucedeque la teora de conjuntos de Zermelo-Fraenkel tiene infinitos axiomas. Por con-siguiente, el formalismo radical conduce a descalificar como falto de rigor a supropio canon de rigor. Por eso solo son formalistas radicales quienes, con inde-pendencia de su capacidad como matematicos, jamas han abordado con detalleno a nivel teorico general, sino a nivel tecnico el problema de fundamentarrigurosamente la matematica.

El finitismo No toda la matematica necesita una fundamentacion axiomaticaformal. Esta es necesaria solo porque la matematica trata con conjuntos infini-tos. Si un matematico trabaja exclusivamente con conjuntos finitos, por ejem-plo, grafos finitos, grupos finitos, etc., puede prescindir por completo de axiomasy reglas de razonamiento formal. Nadie ha encontrado jamas una paradoja queinvolucre exclusivamente conjuntos finitos4 ni error de razonamiento sobre con-juntos finitos que no sea detectable sin mas que prestar suficiente atencion aldiscurso. Esto vuelve remilgados y vanos en este contexto muchos de losescrupulos del formalista radical. Pongamos algunos ejemplos. Es facil calcular3 4 = 12 y 4 3 = 12, lo que nos convence de que 3 4 = 4 3. Hay, sinembargo, una forma de razonarlo que es especialmente fructfera. Pensemos enel rectangulo siguiente:

Podemos considerarlo formado por 3 veces 4 cuadrados o por 4 veces 3cuadrados, lo que muestra que, necesariamente 3 4 = 4 3. Esto ya losabamos, pero hay una diferencia: si calculamos 3 + 3 + 3 + 3 y 4 + 4 + 4y vemos que da lo mismo, sabemos eso y nada mas que eso, mientras que elargumento del rectangulo nos convence de que m n = n m para cualquierpar de numeros m y n (no nulos, en principio). En efecto, esta claro que, seanquienes sean m y n, siempre podremos construir un rectangulo formado porm filas de n cuadrados o, equivalentemente, por n columnas de m cuadrados.Vemos as que para desesperacion de un formalista radical la prueba de uncaso particular contiene la prueba del caso general.

Quien considere que de un caso particular o incluso de varios nunca eslcito inferir el caso general, esta generalizando ilcitamente a partir de uno o

4Podra objetarse que el menor numero natural no definible con menos de doce palabrases contradictorio, pero es que aqu la nocion de definible no esta bien definida.

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varios casos particulares. Por ejemplo, no es muy difcil probar que la ecuacionx3 + y3 = z3 no tiene soluciones enteras, pero la prueba no muestra mas queeso, de modo que no es lcito deducir de ella que la ecuacion xn + yn = zn notiene soluciones enteras para n > 2. El hecho de que los primeros numeros dela forma 22

n+ 1 sean primos no nos permite asegurar que todos ellos lo sean.

En ambos casos tenemos meras comprobaciones aisladas que no aportan nadasobre el caso general. Por el contrario, el argumento del rectangulo contiene unesquema uniforme de razonamiento, en el sentido de que cualquiera que com-prenda el argumento se sabe capacitado para generar razonamientos concretosque prueben la conmutatividad de cualquier par de factores.5

El argumento del rectangulo es un ejemplo de razonamiento finitista quenos proporciona una verdad sobre los numeros naturales. El formalista radicalpreguntara que debemos entender por numeros naturales y producto endicho razonamiento. No podemos permitirnos el lujo de responderle como a elle gustara: necesitamos los numeros naturales para fundamentar la matematica,es decir, mucho antes de estar en condiciones de responder a las exigencias delformalista. Eso no nos exime de responder:

Cojase a un nino que no sepa contar pero que este en edad de aprender.Ensenesele a contar. Con ello, el nino habra pasado de no saber contar a sabercontar. Algo habra aprendido. Lo que ha aprendido es lo que son los numerosnaturales. Sera inutil que repitiera aqu lo que no sera ni mas ni menos quelo que el lector aprendio en su infancia. Del mismo modo, multiplicar es esoque todos sabemos hacer cuando nos dan una expresion como 12 345 = ynos piden que la completemos. Es una operacion que nos lleva de dos numerosa otro numero de forma objetiva, en el sentido de que dos personas cualesquieraque sepan multiplicar llegaran siempre al mismo resultado y, de no ser as, serafacil sacar de su error a quien se haya equivocado.

Supongamos que hemos ensenado a contar a un nino de tal modo que estees capaz de decidir cual de dos numeros naturales dados (en forma decimal,por ejemplo) es mayor, as como de escribir el siguiente de un numero dado.En cuanto tenga esto debidamente asimilado, preguntesele cual es el mayor detodos los numeros. Sin duda respondera que no hay tal numero, pues el se sabecapaz de superar cualquier numero que le sea dado. A poco que se le explique ladiferencia entre lo finito y lo infinito, sabra ver ah la prueba de que el conjuntode los numeros naturales es infinito. Quiza no sepa si el conjunto de las estrellases finito o infinito, pero sabra que el conjunto de los dedos de su mano es finitoy el conjunto de los numeros es infinito.

El punto crucial es que estos conocimientos no son precarios y basados enla credulidad de los ninos, sino que son firmes y objetivos, en el sentido deque, en cuanto un nino ha comprendido adecuadamente el significado de losterminos numero, finito e infinito, tal vez podremos enganarle y hacerle

5La clave esta en que se sabe capacitado a priori. En realidad, cualquiera esta capacitadopara ello aunque pueda no saberlo: basta calcular m n y n m y comprobar que da lomismo. La diferencia es que quien conoce el argumento del rectangulo sabe de antemano quesu argumento va a funcionar con factores cualesquiera, mientras que quien hace las operacionesno tiene la seguridad en cada caso hasta que no acaba los calculos. Por eso no puede asegurarque la multiplicacion es conmutativa.

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creer cualquier cosa sobre el numero de estrellas, pero jamas conseguiremosque crea que tiene infinitos dedos en su mano o que hay una cantidad finitade numeros naturales. Las afirmaciones estrictamente matematicas sobre losnumeros nunca han generado ni pueden generar polemica sobre si son verdaderaso falsas.6

Estos ejemplos pretenden mostrar que es posible razonar con objetividad,seguridad, precision y, por consiguiente, rigurosamente, sobre algunos conceptossin depender de sistemas axiomaticos. De que conceptos, concretamente? Esmuy difcil, si no imposible, establecer fronteras precisas. El finitismo consisteen aceptar que el razonamiento humano no corre riesgos de extravo mientrasse limite a considerar conceptos y procesos finitos. As, Hilbert, en su pro-grama de fundamentacion de la matematica, propugno la busqueda de un sis-tema axiomatico adecuado para este fin, de modo que, tanto la construccion delsistema como la comprobacion de que satisfaca los requisitos necesarios paraconsiderarlo aceptable, tena que llevarse a cabo mediante argumentos finitistasque por consiguiente no requirieran la teora buscada y no nos llevaran asal callejon sin salida al que conduce inexorablemente el formalismo radical.

En definitiva, la propuesta de Hilbert era fundamentar la matematica, nofinitista en su mayor parte, con una metamatematica finitista, que carece delos problemas caractersticos de la matematica no finitista que el formalistaradical extrapola catastroficamente a toda la matematica y por consiguienteno requiere de una fundamentacion formal para justificar su solidez.

Esto no significa que no se pueda especular sobre la fundamentacion de lametamatematica, pero esta ya no corresponde al ambito de la matematica o dela logica, sino de la teora del conocimiento, y el matematico puede prescindirde tratar este problema ya que, en todo caso, la cuestion sera en que se fundanuestra capacidad de razonamiento basico, no si dicha capacidad es o no soliday fiable.7

Mas alla del finitismo Aunque la mayor parte de la metamatematica puededesarrollarse en el marco finitista que exiga Hilbert, lo cierto es que algunosresultados valiosos, como el teorema de completitud semantica de Godel, exigennuestra confianza en argumentos algo mas audaces. Por ello conviene cambiarla pregunta mas tmida de que tipo de razonamientos necesitamos sostenersin el apoyo de una teora axiomatica? por la mas ambiciosa de que tipo derazonamientos podemos sostener sin el apoyo de una teora axiomatica?

La tesis general que adoptaremos aqu es la siguiente: Para que un razona-miento sea aceptable metamatematicamente ha de cumplir dos condiciones:

a) Ha de ser convincente, en el sentido de que nadie que lo comprenda pueda

6Otra cosa es polemizar sobre si podemos asegurar que cualquier afirmacion sobre numeroses verdadera o falsa, especialmente cuando no sabemos como comprobarla, pero jamas queyo sepa ha habido dos personas que se creyeran con argumentos racionales que probarantesis opuestas sobre una propiedad de los numeros naturales o de conjuntos finitos en general.

7Evidentemente, se puede dudar de la fiabilidad de nuestra capacidad de razonamientofinitista como se puede dudar de si existe o no el mundo, pero eso es escepticismo, un mal quesolo afecta a los que hablan por hablar y a los que piensan por pensar.

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tener dudas serias8 sobre la verdad de su tesis.

b) Todas las afirmaciones involucradas han de tener un significado preciso yobjetivo independiente de los argumentos que las demuestren.

Nos encontramos aqu con un fenomeno omnipresente en la metamatematica:mientras el matematico esta acostumbrado a ir de lo general a lo particular (aspor ejemplo, solo despues de definir la nocion general de continuidad de unafuncion es cuando se plantea si una funcion dada es o no continua) esta actitudrara vez es posible en la metamatematica. De este modo, aunque no tene-mos ninguna definicion general, objetiva y precisa de que es un razonamientoconvincente y por consiguiente el enunciado de la condicion a) es obviamenteambiguo e impreciso, afortunadamente, no necesitamos tenerla para reconocerun argumento objetivo y preciso (en particular convincente) cuando lo tenemosdelante. Por ejemplo, el argumento del rectangulo demuestra la conmutatividaddel producto de numeros naturales sin dejar lugar a dudas. Su poder de con-viccion es objetivo en el sentido de que no depende de la capacidad de sugestiono de dejarse enganar de quien lo escucha, sino que, por el contrario, nadie que loconozca puede albergar ya el menor recelo de encontrarse con un par de numerosque al multiplicarlos en uno y otro orden produzcan resultados distintos.

La segunda condicion esta relacionada con la diferencia fundamental entrematematica y metamatematica: cuando un matematico trabaja en el seno deuna teora axiomatica formal, no esta legitimado a hablar de la verdad o falsedadde las afirmaciones que demuestra. Para el solo hay afirmaciones demostrablesy no demostrables o, si se quiere hilar mas fino, afirmaciones demostrables,refutables e independientes de sus axiomas (las que no se pueden demostrar orefutar). En cambio, en metamatematica no podemos hacer esta distincion yaque no tenemos una nocion precisa de lo que es ser (metamatematicamente)demostrable. Nuestra unica posibilidad, pues, de distinguir afirmaciones como2+2 = 4, 2+2 = 5 y 20 = 1 es decir que la primera es verdadera, la segundaes falsa y la tercera no tiene significado metamatematico porque no cumple lacondicion b). Una vez mas, no tenemos una definicion general de que quieredecir que una afirmacion sea verdadera, pero s sabemos lo que quiere decirque algunas afirmaciones sean verdaderas, y esas afirmaciones son las unicasque podemos permitirnos el lujo de manejar metamatematicamente. Pongamosalgunos ejemplos.

Sabemos demostrar que el producto de numeros naturales es conmutativo,pero, independientemente de cualquier razonamiento que nos convenza de ello,sabemos lo que eso significa: significa que si tomamos dos numeros cualesquieray hacemos lo que sabemos que hay que hacer para calcular su producto, elresultado es el mismo independientemente del orden en que los tomemos. Apriori habra dos posibilidades: que hubiera pares de numeros para los que estofuera falso o que no los hubiera. Tenemos un razonamiento que nos convencede que la primera posibilidad es, de hecho, imposible, pero es esencial que antesde tal razonamiento ya sabamos lo que significaban ambas opciones.

8Esto excluye a las dudas que tengan su origen en un escepticismo sistematico.

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Un ejemplo mas sofisticado: En el captulo VII definiremos una propiedadde numeros naturales a la que de momento podemos llamar ser simpatico.9Existe un procedimiento para saber si un numero dado es simpatico o no, exac-tamente de la misma naturaleza que el que nos permite saber si es primo o no.Pero suceden los siguientes hechos:

a) No es posible probar que todo natural es simpatico.

b) Hasta la fecha nadie ha encontrado un natural antipatico y es muy dudosoque exista alguno.

Tiene sentido afirmar que todo natural es simpatico. Significa que 0 essimpatico, 1 es simpatico, 2 es simpatico . . . etc. o sea, que por mucho que unoavance en el examen de numeros mas y mas grandes nunca se encuentra unaexcepcion.

La afirmacion Todos los naturales son simpaticos es metamatematicamen-te aceptable porque tiene sentido decir que es verdadera o falsa independien-temente de lo que podra hacerse por justificarla (lo que, segun lo dicho, esimposible). No sabemos si es verdadera o falsa, pero sabemos lo que es que seaverdadera o falsa.

El concepto de numero simpatico es finitista, pues comprobar si un numeroes o no simpatico se reduce a un numero finito de calculos. No obstante, podemosdefinir tambien un numero supersimpatico como un numero tal que todos losnumeros mayores que el son simpaticos. Esta nocion ya no es finitista. De hechono tenemos manera de saber si 3 es supersimpatico o no, pero lo importante esque tiene sentido: o lo es o no lo es, o hay un numero antipatico mayor que 3 ono lo hay.

Pensemos ahora en el conjunto A de todos los conjuntos cuyos elementosson numeros naturales. No podemos asignar un contenido metamatematico aesta definicion. Una vez mas nos encontramos con el mismo fenomeno: sabemoslo que es el conjunto de los numeros pares, el de los numeros primos, el de laspotencias de dos, e infinitos mas, pero no tenemos ninguna definicion precisade lo que es un conjunto de numeros naturales en abstracto, ni tenemos, enparticular, representacion alguna de la totalidad de tales conjuntos. Todas lascontradicciones de la teora de conjuntos surgen de la pretension de hablar decolecciones de objetos en sentido abstracto como si supieramos de que estamoshablando.

Quiza el lector crea tener una representacion intuitiva del conjunto A, perodebera reconsiderarlo ante los hechos: los axiomas de la teora de conjuntos con-tienen todo lo que los matematicos saben decir sobre su presunta intuicion delos conjuntos abstractos. En particular, de ellos se deducen muchas propiedadesde A, tales como que no es numerable. Sin embargo, quedan muchas afirmacio-nes sobre A que no pueden ser demostradas o refutadas. La mas famosa es lahipotesis del continuo: Existe un conjunto infinito B A tal que B no puedabiyectarse con el conjunto de los numeros naturales y tampoco con A? Si el

9Se trata de no ser el numero de Godel de la demostracion de una contradiccion en ZFC.

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conjunto A tuviera un contenido intuitivo preciso, esta afirmacion tendra queser verdadera o falsa. Ahora bien, veremos que es posible construir modelosde la teora de conjuntos, es decir, podemos encontrar unos objetos a los que,si los llamamos conjuntos satisfacen todos los axiomas que los matematicospostulan sobre los conjuntos, de modo que la hipotesis del continuo, interpre-tada como una afirmacion sobre estos objetos, resulta ser verdadera, mientrasque es posible hacer lo mismo con otra interpretacion distinta de la nocion deconjunto y de tal modo que la hipotesis del continuo resulta ser falsa. Masprecisamente, interpretando de formas distintas esa nocion de conjunto dentrodel margen de libertad que nos concede el hecho de que los axiomas de la teorade conjuntos no la determinan por completo, podemos construir dos objetos A1y A2, ambos con el mismo derecho a ser llamados la totalidad de los conjuntosde numeros naturales (de acuerdo con distintas nociones de conjunto) y demodo que una cumpla la hipotesis del continuo y la otra no. Como se puededigerir esto?

Solo hay una posibilidad: reconocer que nuestro conocimiento de la nocionde conjunto es impreciso. Solo sabemos que los conjuntos han de cumplir unaspropiedades basicas, pero existen distintas interpretaciones posibles de la pala-bra conjunto que hacen que esas condiciones basicas sean satisfechas. Cuandodecimos que A no tiene un significado metamatematico preciso no queremos de-cir que A no signifique nada en absoluto, sino mas bien que puede significarinfinitas cosas distintas y no somos capaces de precisar a cual de todas que-remos referirnos. Por ello nuestra unica posibilidad para hablar de A sin caeren vaguedades o contradicciones es postular unos axiomas que recojan lo queestamos suponiendo que cumplen los conjuntos y, a partir de ah, podremostrabajar con seguridad.

Este es el origen de todos los temores y recelos del formalista radical. Estaclase de fenomenos son los que en ciertas situaciones hacen imposible razo-nar cabalmente sin el apoyo de una teora formal. Pero si queremos fundamentarlos razonamientos sobre conjuntos abstractos y entenderlos mejor, hemos de em-pezar por comprender que los problemas estan limitados a este terreno: al delos conjuntos abstractos, pues solo as comprenderemos que es posible una me-tamatematica basada no en la forma, sino en el contenido de las afirmacionesque involucra.

Este punto de vista nos permite ir un poco mas lejos que el finitismo estricto.As, por ejemplo, ya hemos visto que la afirmacion 3 es supersimpatico noes finitista pero s es aceptable. Notemos que involucra un infinito real, enel sentido de que, aunque aparentemente sea una afirmacion sobre el numero3, en realidad es una afirmacion sobre la totalidad de los numeros naturales,no sobre una cantidad finita de ellos. Es posible definir una propiedad masdebil que la de ser simpatico y supersimpatico10 de modo que, en este nuevosentido, s pueda probarse que 3 es supersimpatico, y sin que esto deje de seruna afirmacion sobre la totalidad de los numeros naturales. La prueba es unargumento que nos convence de que jamas encontraremos un numero natural queno sea (debilmente) simpatico e involucra esencialmente a los numeros naturales

10Por ejemplo, sin mas que sustituir ZFC por la aritmetica de primer orden.

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como conjunto infinito. De todos modos, los argumentos no finitistas apareceranen muy contadas ocasiones en la teora, bien sea porque no aparezcan en sentidoestricto, bien porque con pequenas modificaciones tecnicas podran eliminarsesin dificultad.

Platonismo En contra de lo que podra parecer, nada de lo que acabamosde discutir pretende negar la posibilidad de que s exista, despues de todo,una nocion objetiva de conjunto en sentido abstracto. Los matematicos quecreen que as es se llaman realistas o platonicos. No intentare defenderuna postura que no comparto, pero s es importante senalar que nada en estelibro contradice el platonismo. Lo unico que debemos tener presente es que, siexiste una interpretacion natural de la teora de conjuntos, la unica forma quetenemos de acercarnos a ella con seguridad y rigor es a traves de una sucesionde sistemas axiomaticos que vayan incorporando cada vez mas axiomas paracubrir los agujeros de los sistemas anteriores, pero nunca metamatematicamente.El problema, entonces, es decidir cual de las dos alternativas a que da lugaruna afirmacion indecidible en un sistema axiomatico es la verdadera en esapretendida interpretacion natural de la teora. As, si se concluye que la hipotesisdel continuo debe ser verdadera tendremos que anadirla como un nuevo axiomay entender que los resultados que se demuestran con la negacion de la hipotesisdel continuo tratan sobre unos objetos artificiales que no son los conjuntos enel sentido usual. Naturalmente tambien podra darse el caso contrario y elproblema es la falta de criterios para distinguir lo verdadero de lo falso a estenivel.