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bachiller:Mota DianaGraterol WilmaryMedina Yrina
PROCESO DE NACIMIENTO Y
MUERTE(MODELOS POISSON)
República Bolivariana de VenezuelaMinisterio del Poder Popular para la Defensa Universidad Nacional Experimental Politécnica
de las Fuerza Armada Puerto Cabello-Edo Carabobo
Proceso De Poisson
También llamados procesos totalmente aleatorio, modelan de forma adecuada la llegada de usuarios a sistemas reales.
Probabilidad de llegada en un intervalo directamente proporcional a la longitud de este.
P(llegada de usuario en t)≠función de llegadas anteriores
Probabilidad de mas de una llegada en un intervalo lo suficientemente pequeño es despreciable.
Proceso De Poisson
Probabilidad de siguiente estado solo depende del estado actual y no de la historia
La llegada en un intervalo es independiente de llegadas pasadas o futuras .
Proceso De Poisson
Se pueden modelar muchos fenómenos como un proceso de Poisson.
El número de sucesos en un intervalo de tiempo dado es una variable aleatoria de distribución de Poisson donde es la media de números de sucesos en este intervalo.
La cantidad de clientes que entran a una tienda.
El numero de coches que pasan por una autopista.
Proceso De Poisson
Partículas emitidas por un material radiactivo.
La llegada de personas a una fila de espera.
El número de llamadas que llegan a una central telefónica.
Proceso De Poisson
La función de masa de la distribución de Poisson es:
k es el número de ocurrencias del evento o fenómeno (la función nos da la probabilidad de que el evento suceda precisamente k veces).
Donde:
Proceso De Poisson
Por ejemplo, si el suceso estudiado tiene lugar en promedio 4 veces por minuto y estamos interesados en la probabilidad de que ocurra k veces dentro de un intervalo de 10 minutos, usaremos un modelo de distribución de Poisson con λ = 10×4 = 40.
λ es un parámetro positivo que representa el número de veces que se espera que ocurra el fenómeno durante un intervalo dado.
e es la base de los logaritmos naturales (e = 2,71828...)
Proceso De Poisson
La distribución de Poisson se aplica a varios fenómenos discretos de la naturaleza (esto es, aquellos fenómenos que ocurren 0, 1, 2, 3,... veces durante un periodo definido de tiempo o en un área determinada) cuando la probabilidad de ocurrencia del fenómeno es constante en el tiempo o el espacio. Ejemplos de estos eventos que pueden ser modelados por la distribución de Poisson incluyen:
El número de errores de ortografía que uno comete al escribir una unica página.número de llamadas telefónicas en una central telefónica por minuto.
Proceso De Poisson
El número de animales muertos encontrados por unidad de longitud de ruta.
El número de autos que pasan a través de un cierto punto en una ruta (suficientemente distantes de los semáforos) durante un periodo definido de tiempo.
PROCESO DE NACIMIENTO Y MUERTE
La distribución exponencial juega un papel fundamental
en la teoría de las colas ,Esta teoría es ahora una
herramienta de valor en negocios debido a que un gran
número de problemas pueden caracterizarse, como
problemas de congestión llegada-salida. Esta representa
la distribución de los tiempos entre llegadas y de servicio,
ya que esta suposición permite representar un sistema de
colas como una cadena de Markov de tiempo continuo.
PROCESO DE NACIMIENTO Y MUERTE
En esta sección consideraremos dos procesos especiales. En el primer proceso, los clientes llegan y nunca parten y en el segundo proceso los clientes se retiran de un abasto inicial. En ambos casos los procesos de llegada y retiro ocurren de manera aleatoria. Las dos situaciones se denominan proceso de nacimiento puro y proceso de muerte pura.
15.3.1 MODELO DE NACIMIENTO PURO
Considere la situación de emitir actas de nacimiento para bebes recién nacidos. Estas actas se guardan normalmente en una oficina central de Registro Civil. Hay razones para creer que el nacimiento de bebes y, por ello, la emisión de las actas correspondientes es un proceso completamente aleatorio que se puede describir por medio de una distribución de Poisson.
!
)()(
n
ettp
tn
n
n = 0,1,2,3….(nacimiento puro)
Donde λ es la tasa de llegadas por unidad de tiempo, con el número esperado de llegadas durante t igual a λ t.
EJEMPLO
Ejemplo 15.3-1
Suponga que los nacimientos en un país están separados en el tiempo, de acuerdo con una distribución exponencial, presentándose un nacimiento cada 7 minutos en promedio.
Como el tiempo promedio entre arribos (entre nacimientos) es de 7 minutos, la tasa de nacimiento en el país se calcula como:
diasnacimientox
/7.2057
6024
El numero de nacimientos en el país por año esta dado por
λt = 205.7 x 365 = 75080 nacimientos/año
La probabilidad de ningún nacimiento en cualquier día es
0!0
)17.205( 17.2050
x
o
exp
Suponga que nos interesa la probabilidad de emitir 45 actas de nacimiento al final de un periodo de 3 horas, si se pudieron emitir 35 actas en las primeras 2 horas.
Observamos que debido a que los nacimientos ocurren según un proceso de Poisson, la probabilidad requeridas reduce a tener 45-35=10 nacimientos en una hora ( =3-2). Dado λ=60/7=8.57 nacimientos/hora, obtenemos
RESULTADO
11172.0!10
)157.8()19(
157.810
10 x
p
ex
15.3.2 MODELO DE MUERTE PURA
Considere la situación de almacenar N unidades de artículo al inicio de la semana, para satisfacer la demanda de los clientes durante la semana. Si suponemos que la demanda se presenta a una tasa de µ unidades por día y que el proceso de demanda es completamente aleatorio, la probabilidad asociada de tener n artículos en el almacén después de un tiempo t, la da la siguiente distribución truncada de Poisson:
)!(
)()(
nN
ettp
tnN
n
N
nn tptp
10 )(1)( MUERTE PURA
n= 1,2 ……N
EJEMPLO 15.3-2
Al inicio de la semana, se almacenan 15 unidades de un artículo de inventario para utilizarse durante la semana. Solo se hacen retiros del almacenamiento durante los primeros 6 días (la empresa esta cerrada los domingos) y sigue una distribución de Poisson con la media de 3 unidades/día. Cuando el nivel de existencia llega a 5 unidades, se coloca un nuevo pedido de 15 unidades para ser entregado al principio de la semana entrante. Debido a la naturaleza del artículo, se desechan todas las unidades que sobran al final de la semana
Podemos analizar esta situación en varias formas. Primero, reconocemos que la tasa de calculo es µ = 3 unidades por día. Supóngase que nos interesa determinar la probabilidad de tener 5 unidades (el nivel de nuevo pedido) al día t; es decir,
t= 1,2,…,6,
)!515(
)3()(
3515
5
tettp
Como ejemplo ilustrativo de los cálculos, tenemos los siguientes resultados utilizando el programa TORA µt=3,6,9…., y 18
Obsérvese que p5(t) representa la probabilidad de hacer un nuevo pedido el día t. Esta probabilidad llega a su nivel máximo en t=3 y después disminuye conforme transcurre la semana. Si nos interesa la probabilidad de hacer un nuevo pedido para el día t, debemos determinar la probabilidad de tener cinco unidades o menos el día t; esto es, Pn<=5 (t) = p0(t)+p1(t)+…..+p5(t)
t (días) 1 2 3 4 5 6
µt
p5(t)
3 6 9 12 15 18
0.0008 0.0413 0.1186 0.1048 0.0486 0.015
t (días) 1 2 3 4 5 6
µt
pn<=5(t)
3 6 9 12 15 18
0.0011 0.0839 0.4126 0.7576 0.9301 0.9847
Usando TORA nuevamente obtenemos
Podemos advertir en la tabla que la probabilidad de hacer el pedido para el día t aumente monótonamente con t.
Otra información, que es importante al analizar la situación, es determinar el número promedio de unidades de inventario que se desecharan el fin de semana.
= Esto se hace calculando el número esperado de unidades para el
día 6; es decir, La tabla que sigue presenta un resumen de las operaciones dado
µt=18
6tnE
15
0
)6(n
nnp
Esto se hace calculando el número esperado de unidades para el día 6; es decir, La tabla que sigue presenta un resumen de las operaciones dado µt=18
Y pn(6) ~= 0 para n = 12,13,14 y 15. Por lo tanto, al calcular el promedio, obtenemos
= 0.5537 unidad Esto indica que, en promedio, se desechará menos de una unidad al
término de cada semana.
N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
pn(6) 0.792 0.0655 0.0509 0.0368 0.0245 0.015 0.0083 0.0042 0.0018 0.0007 0.0002 0.0001
tarea
Pedidos de cerveza
La cantidad de vasos de cerveza ordenada por hora en la cantina de Dick sigue una distribución de poisson, con un promedio de 30 cervezas pedidas por hora
1.- estime la probabilidad de que se pidan exactamente 60 cervezas entre 10 y 12 de la noche
2.-encuntre la media y la desviación estándar de la cantidad de cervezas pedidas entre las 9 pm y la 1 am
3.-determine la probabilidad de que el tiempo entre dos pedidos consecutivos esta entre 1 y 3 minutos.
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