Nome:___________________________________________________________ Utilizando la definición: Si ( )y f x= , la derivada de f se define como:

0

( ) ( )'( ) limx

dy f x x f xf xdx xΔ →

+Δ −= =Δ

 

donde '( )f x es la notación de Lagrange, y dydx

la notación de Leibniz.

1.- Encuentre las derivadas de las siguientes funciones, utilizando la definición dada, no las técnicas de derivación:

3 2 ( ) 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x xf x x f x Cos x f x Sen x x e f x e• = • = − • = − + • =

2.- Aplicando las técnicas.- A veces es conveniente manipular algebraicamente una función para evitar confusiones al aplicar las técnicas de derivación. Por ejemplo, la función

12xy += , se puede resolver con la fórmula para el cociente, pero eso tomaría más tiempo

del necesario. Si notamos que la misma se puede expresar como 1 12 2

y x= + , evitaríamos

perder el tiempo con la fórmula del cociente. En los siguientes problemas, reexpresar/simplificar la función antes de derivarla:

2 2

2 3/2 2

2 3 5 3 1/ 7 5

4 4 3(3 2 ) 2 7

x x x xy y yx x

x x x xy y yx x x

+ − −• = • = • =+

− − −• = • = • =+

 

3.- Funciones Algebraicas. Encuentre la derivada de las siguientes funciones, calculando dydx

, dydt

o dydz

, según sea el caso:

32/3 5/2 3 2 2

3 2 34

1 3 2 1

2 1 ln(2)2 1

m m nzy x x x y x x y y at btz

a bx a by y y yc dx x x xx x

π

− ++• = − + • = • = • = +−

+• = • = − • = − • = −+ −

4.- Funciones trigonométricas y trigonométricas inversas. Encuentre la derivada de las

siguientes funciones, calculando dydx

, dydt

o dydz

, según sea el caso:

• y = 5Sen(t)+ 3Cot(t) • y = Arctan(x)+ Arcsec(x) • y = zCot(z)

• y = Sen(x)+Cos(x)Sen(x)−Cos(x)

• y = 2tSen(t)− (t2 − 2)Cos(t) • y = xArcsen(x)  

 5.- Funciones hiperbólicas:

a) Deduzca expresiones para las derivadas de las funciones hiperbólicas ( )y Senh x= y ( )y Tanh x= .

b) Investigue y complete una lista de derivadas para las restantes funciones hiperbólicas y sus respectivas hiperbólicas inversas. Esta lista es para su uso personal, no incluir como parte del deber.

6.- Funciones exponenciales y logarítmicas. Encuentre la derivada de las siguientes

funciones, calculando dydx

, dydt

o dydz

, según sea el caso:

25 2 7 ( 2)

ln( )1 ln( ) ln( ) log( ) ln( ) log ( ) 2 ln( ) Arcsen( )

t t x

xa

xy y t e t e y x ex

xy z z a z y x y e xx x

−• = • = − − • =

• = − • = + − • =

Regla de la Cadena.- Permite hallar las derivadas de funciones compuestas. Si ( )y f u= donde ( )u g x= , entonces:

dy dy dudx du dx

=

Es decir, esta regla ayuda a resolver el problema de la composición ( ) ( ( ))f g x f g x=o . A veces, cuando no es fácil darse cuenta qué función está siendo compuesta con qué, uno o más cambios de variable del tipo ( )u g x= podrían aclarar la situación.

7.- Encuentre la derivada de las siguientes funciones, utilizando la regla de la cadena:

( )

( )( )( )( )( )

( )( )

3242 3

52/3

3 5

3 3

5

2 2 2

1 3 5

1 cos( ) 2 ( )

1 1 tan( ) tan ( ) tan ( )3 5

arctan( ) ( )

2 2 1 ln ( ) (3 ) tan

10 ln(1 )

x

a x x

x

ax by y x x xc

y x y x Sen x

y Cos Cos Cos Cos x y x x x

y x arcsen x y xe x

y e x y Sen x x

y x x

π+⎛ ⎞• = • = + − +⎜ ⎟⎝ ⎠

• = + • = −

• = • = − +

• = − • = +

• = − + + • = +

• = + − • ( )2 ln ( ) ln ln( )y x x= −

8.- Califique como Verdadero o Falso, justificando su respuesta (estos son temas de exámenes anteriores):

i) Si f es derivable en x=a, entonces 0

(a ) (a )lim '(a)( )h

f h f h fh

α β α β→

+ − + = − .

ii) 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

x x x

x

D Sen x Cos x D Sen x Sen x D Cos xD Cos x Cos x

−=

 

iii) Si (2) 1f = , '(2) 5f = , (2) 2g = y '(2) 3g = − , entonces 2 ( ) 15( )

d x f xdx g x

⎡ ⎤=⎢ ⎥

⎣ ⎦

cuando 2x = .

iv) Si [ ] 1( )d f udu u

= , entonces [ ] 10( 10 7)10 7

d f xdx x

−− + =− +

.

v) Si f es una función par y diferenciable para todo ( )x dom f∈ , entonces '( )f x  es una función impar.

vi) Si '( )f x existe, entonces el límite 0

( ) ( )lim2h

f x h f x hh→

+ − − existe.

vii) Si f es una función impar y diferenciable para todo ( )x dom f∈ , entonces '( )f x  es otra función impar.

9.- Encuentre la derivada de las siguientes funciones (compilación de problemas de Demidovich):

( )

2 2 2 2

2 2

2 22

2 2

2(3 )

( ) ( ) Arcsen( ) Arccos( )

1 1 Arcsen 3 Arctan (3 2 )2

ln( 2 ) ln

2 1 Arccos(3 ) Arcsen x

y Sen x Cos x y x x

b xy x y b b x bx xa b xb

x a xy a x ax x yx a x

y x

α β• = + • = +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞• = + • = − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞+ +• = + + + • = ⎜ ⎟⎜ ⎟+ −⎝ ⎠

• = + −

( )

( ) 3cos( )

3

2

2

1 ( ) 33 cos ( )

1 ( ) Arctan ln ln 11

sen axbx sen axy

bxxArcsen xy y x

x x

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠• = +

⎛ ⎞⎛ ⎞• = • = − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ −