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diego-espinosa
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Transformada z
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𝑌(𝑧) =𝑧3 + 2𝑧2 + 1
𝑧3 − 1.5𝑧2 + 0.5𝑧
a) División larga
Para aplicar el método de división larga, se debe dividir todos los términos entre el término con el
exponente mayor:
𝑌(𝑧) =(𝑧3 + 2𝑧2 + 1) ∗
1𝑧3
(𝑧3 − 1.5𝑧2 + 0.5𝑧) ∗1𝑧3
𝑌(𝑧) =1 + 2𝑧−1 + 𝑧−3
1 − 1.5𝑧−1 + 0.5𝑧−2
Luego se divide el numerador entre el denominador, para obtener:
−1 + 2𝑧−1 + 0 + 𝑧−3 ÷ 1 − 1.5𝑧−1 + 0.5𝑧−2 = 1+3.5𝑧−1 + 4.75𝑧−2 + 6.375𝑧−3
−1 + 1.5𝑧−1 − 0.5𝑧−2
3.5𝑧−1 − 0.50𝑧−2 + 𝑧−3
−3.5𝑧−1 + 5.25𝑧−2 − 1.75−3
4.75𝑧−2 − 0.750𝑧−3
−4.75𝑧−2 + 7.125𝑧−3 − 2.375𝑧−4
6.375𝑧−3 − 2.375𝑧−4
−6.375𝑧−3 + 9.5625𝑧−4 − 3.1875𝑧−5
7.1875𝑧−4 − 3.1875𝑧−5
Al realizar este método, los coeficientes del resultados serán los primeros 4 valores de la secuencia.
K y(k)
0 1
1 3.5
2 4.75
3 6.375
De esta manera el resultado de la secuencia, de los primeros 4 valores, es:
{𝑦(𝑘)} = {1; 3.5; 4.75; 6.375; … }
𝐹(𝑧) = ∑ 𝑓(𝑘)𝑧−𝑘 = 𝑓(0) + 𝑓(1)𝑧−1 + ⋯ + 𝑓(𝑛)𝑧−𝑛 + ⋯
∞
𝑘=0
b) Por el método de fracciones parciales.
𝑌(𝑧) =𝑧3 + 2𝑧2 + 1
𝑧3 − 1.5𝑧2 + 0.5𝑧
Para obtener la secuencia de salida, se debe primero expandir Y(z)/z en fracciones parciales.
𝑌(𝑧)
𝑧=
𝑧3 + 2𝑧2 + 1
𝑧4 − 1.5𝑧3 + 0.5𝑧1=
𝐴
𝑧+
𝐵
𝑧2+
𝐶
𝑧 − 0.5+
𝐷
𝑧 − 1
Para obtener los coeficientes A, B, C y D aplicare las siguientes formulas:
𝐵 = [(𝑧 − 𝑝𝑖)2
𝑌(𝑧)
𝑧]
𝑧=𝑝𝑖
𝐴 = {𝑑
𝑑𝑧[(𝑧 − 𝑝𝑖)
2𝑌(𝑧)
𝑧]}
𝑧=𝑝𝑖
𝐶 = 𝐷 = [(𝑧 − 𝑝𝑖)𝑌(𝑧)
𝑧]
𝑧=𝑝𝑖
Entonces:
𝐴 = [(𝑧)2𝑌(𝑧)
𝑧]
𝑧=0
= 2
𝐵 = {𝑑
𝑑𝑧[(𝑧)2
𝑌(𝑧)
𝑧]}
𝑧=0
= 6
𝐶 = [(𝑧 − 0.5)𝑌(𝑧)
𝑧]
𝑧=0.5
= −13
𝐷 = [(𝑧 − 1)𝑌(𝑧)
𝑧]
𝑧=1
= 8
𝑌(𝑧)
𝑧=
𝑧3 + 2𝑧2 + 1
𝑧4 − 1.5𝑧3 + 0.5𝑧1=
6
𝑧+
2
𝑧2+
−13
𝑧 − 0.5+
8
𝑧 − 1
Luego, volvemos a Y(z), multiplicando z por el numerador, luego se aplica la transformada z inversa.
𝑌(𝑧) = 6(1) + 21
𝑧− 13
𝑧
𝑧 − 0.5+ 8
𝑧
𝑧 − 1
Luego, utilizo la tabla de transformadas y utilizo las siguientes formulas:
Ƶ−1 [𝑧
𝑧 − 𝑎] = 𝑎𝑘
Ƶ−1 [𝑧
𝑧 − 1] = 1(𝑘)
Ƶ−1 [1
𝑧𝑛] = 𝛿0(𝑘 − 𝑛)
Ƶ−1[1] = 𝛿0(𝑘)
𝑦(𝑘) = 6 ∗ Ƶ−1[1] + 2 ∗ Ƶ−1 [1
𝑧1] − 13 ∗ Ƶ−1 [
𝑧
𝑧 − 0.5] + 8 ∗ Ƶ−1 [
𝑧
𝑧 − 1]
𝑦(𝑘) = 6𝛿0(𝑘) + 2 ∗ 𝛿0(𝑘 − 1) − 13 ∗ 0.5𝑘 + 8 ∗ 1(𝑘)
Ahora se calcularan los 4 primeros términos de la sucesión.
𝑦(0) = 6𝛿0(0) + 2 ∗ 𝛿0(−1) − 13 ∗ 0.50 + 8 ∗ 1(0) = 1
𝑦(1) = 0 + 2 ∗ 𝛿0(0) − 13 ∗ 0.51 + 8 ∗ 1(1) = 3.5
𝑦(2) = 0 + 0 − 13 ∗ 0.52 + 8 ∗ 1 = 4.75
𝑦(3) = 0 + 0 − 13 ∗ 0.53 + 8 ∗ 1 = 6.375
k y(k)
0 1
1 3.5
2 4.75
3 6.375
De esta manera el resultado de la secuencia, de los primeros 4 valores, es:
{𝑦(𝑘)} = {1; 3.5; 4.75; 6.375; … 8}
c) Integral de inversión
Para realizar este método se utilizan las siguientes ecuaciones,
Polo simple:
𝐹(𝑧) =1
𝑧 − 𝑎→ 𝐾 = |(𝑧 − 𝑎) ∗ 𝐹(𝑧) ∗ 𝑧𝑘−1|𝑧=𝑎
Polo múltiple:
𝐹(𝑧) =1
(𝑧 − 𝑎)𝑛→ 𝐾 =
1
(𝑛 − 1)!|
𝑑𝑛−1
𝑑𝑧𝑛−1((𝑧 − 𝑎)𝑛 ∗ 𝐹(𝑧) ∗ 𝑧𝑘−1)|
𝑧=𝑎
Ahora, se procederá a obtener la transformada inversa de z, utilizando la integral de inversión
𝑌(𝑧) =𝑧3 + 2𝑧2 + 1
𝑧(𝑧 − 0.5)(𝑧 − 1)
Primero, se buscara la transformada inversa para k=0, es decir obtendremos y(0), ya que utilizando el concepto, de la
integral de inversión nos haría falta un término. Para ello se multiplicara en ambos lados de la ecuación por z(k-1).
𝑌(𝑧)𝑧𝑘−1 =(𝑧3 + 2𝑧2 + 1) ∗ 𝑧𝑘−1
𝑧(𝑧 − 0.5)(𝑧 − 1)
Para k=0, tenemos
𝑌(𝑧)𝑧𝑘−1 =(𝑧3 + 2𝑧2 + 1)
𝑧2(𝑧 − 0.5)(𝑧 − 1)
Por lo tanto para k=0, 𝑌(𝑧)𝑧𝑘−1 tiene 4 polos, en z1=z2=0, z3=0.5 y z4=1, pero Y(z) solo tiene 3 polos, por lo tanto
hay que considerar y(0) e y(k) para k=1,2,3,….. por separado como habíamos mencionado anteriormente. Se
toman tres residuos porque hay dos polos simples y uno multiple:
𝑦(0) = 𝑘1 + 𝑘2 + 𝑘3
Donde:
𝑘1 =1
(2 − 1)!|
𝑑2−1
𝑑𝑧2−1((𝑧)2 ∗
(𝑧3 + 2𝑧2 + 1)
𝑧2(𝑧 − 0.5)(𝑧 − 1))|
𝑧=0
𝑘1 = |𝑑
𝑑𝑧(
(𝑧3 + 2𝑧2 + 1)
(𝑧 − 0.5)(𝑧 − 1))|
𝑧=0
= 6
𝑘2 = |(𝑧 − 0.5) ∗(𝑧3 + 2𝑧2 + 1)
𝑧2(𝑧 − 0.5)(𝑧 − 1)|
𝑧=0.5
𝑘2 = |(𝑧3 + 2𝑧2 + 1)
𝑧2(𝑧 − 1)|
𝑧=0.5
= −13
𝑘3 = |(𝑧 − 1) ∗(𝑧3 + 2𝑧2 + 1)
𝑧2(𝑧 − 0.5)(𝑧 − 1)|
𝑧=1
𝑘3 = |(𝑧3 + 2𝑧2 + 1)
𝑧2(𝑧 − 0.5)|
𝑧=1
= 8
𝑦(0) = 6 + 8 − 13 = 1
El resultado, fue el esperado, ahora el mismo procedimiento para k mayores que 0
𝑌(𝑧) =𝑧3 + 2𝑧2 + 1
𝑧(𝑧 − 0.5)(𝑧 − 1)
Por lo tanto para k=1,2,3, 𝑌(𝑧)tiene 3 polos, en z1 =0, z2=0.5 y z3=1, tres polos simples
𝑦(𝑘) = 𝑘1 + 𝑘2 + 𝑘3
𝑘1 = |(𝑧) ∗(𝑧3 + 2𝑧2 + 1)
𝑧(𝑧 − 0.5)(𝑧 − 1)∗ 𝑧𝑘−1|
𝑧=0
𝑘1 = |(𝑧3 + 2𝑧2 + 1)
(𝑧 − 0.5)(𝑧 − 1)∗ 𝑧𝑘−1|
𝑧=0
= 2𝛿0(𝑘 − 1)
𝑘2 = |(𝑧 − 0.5) ∗(𝑧3 + 2𝑧2 + 1)
𝑧(𝑧 − 0.5)(𝑧 − 1)∗ 𝑧𝑘−1|
𝑧=0.5
𝑘2 = |(𝑧3 + 2𝑧2 + 1)
𝑧(𝑧 − 1)∗ 𝑧𝑘−1|
𝑧=0.5
= 8 ∗ 1(𝑘)
𝑘2 = |(𝑧 − 1) ∗(𝑧3 + 2𝑧2 + 1)
𝑧(𝑧 − 0.5)(𝑧 − 1)∗ 𝑧𝑘−1|
𝑧=1
𝑘2 = |(𝑧3 + 2𝑧2 + 1)
𝑧(𝑧 − 0.5)∗ 𝑧𝑘−1|
𝑧=1
= 6.5 ∗ 0.5𝑘−1
La secuencia final para y(k) es:
𝑦(𝑘) = 2𝛿0(𝑘 − 1) + 8 ∗ 1(𝑘) + 6.5 ∗ 0.5𝑘−1
𝑦(𝑘) = {1 𝑘 = 0
2𝛿0(𝑘 − 1) + 8 ∗ 1(𝑘) + 6.5 ∗ 0.5𝑘−1 𝑘 > 0}
Igual que en los casos anteriores, se obtuvieron los 4 primeros términos:
k y(k)
0 1
1 3.5
2 4.75
3 6.375
1. Encontrar la transformada z de las gráficas de la Figura 2
Figura 2
Para, resolver este problema debemos obtener las ecuaciones del grafico mostrado, dichas ecuaciones se
encuentran en la figura 3, de manera que tenemos:
𝑦(𝑘) = {0 𝑘 = 0
𝑘 − 1𝑘
𝑘 = 1,2,3𝑘 = 4,5,6,7, …
}
Ahora aplico la definición de transformada
Ƶ{𝑦(𝑘)} = ∑ 𝑔(𝑘) ∗ 𝑧−𝑘
∞
𝑘=0
Ƶ{𝑦(𝑘)} = ∑(𝑘 − 1) ∗ 𝑧−𝑘
3
𝑘=1
+ ∑(𝑘) ∗ 𝑧−𝑘
∞
𝑘=4
0 1 2 3 4 5 6 7
7
6
5
4
y = k - 1
y = k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0 1 2 3 4 5 6 7 8
y(k)
k
Gráfico de la figura 2
Ƶ{𝑦(𝑘)} = 0 + 𝑧−2 + 2𝑧−3 + 3𝑧−4 + 5𝑧−5 + 6𝑧−6 + 7𝑧−7 + ⋯
La última parte de la sucesión converge a un rampa y dicha rampa tiene un corrimiento por lo tanto la
respuesta final es:
𝑌(𝑧) = 𝑧−2 + 2𝑧−3 + 3𝑧−4 +𝑧−1 ∗ 𝑧−5
(1 − 𝑧−1)2
𝑌(𝑧) = 𝑧−2 + 2𝑧−3 + 3𝑧−4 +𝑧−6
(1 − 𝑧−1)2