@ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 1
MÉTRICA PLANA
U.D. 8 * 3º ESO E.AC.
@ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 2
TEOREMA DE THALES
U.D. 8.6 * 3º ESO E.AC.
@ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 3
FIGURAS SEMEJANTES
• Dos figuras son semejantes si presentan la misma forma pero distinto tamaño.
• Ejemplos: Un árbol en la realidad y una fotografía impresa del mismo árbol. O un edificio y la maqueta de dicho edificio.
• Al reducir o ampliar una figura obtenemos otra figura semejante.• Las dimensiones de las figuras semejantes son proporcionales.
• La constante que permite pasar de las dimensiones de una figura a las dimensiones de la figura semejante se llama razón de semejanza.
• Para ampliar, la razón de semejanza es mayor que la unidad.• Ejemplo: Al dibujar un virus o una bacteria visto por microscopio.• Para reducir la razón de semejanza es menor que la unidad.• Ejemplo: Al dibujar el plano callejero de mi ciudad.
@ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 4
Teorema de Tales
• Si dos rectas secantes (en rojo en la figura) son cortadas por rectas paralelas entre sí (en azul en la figura), los segmentos que determinan en las rectas secantes son proporcionales.
• Podemos poner:• AB’ AC’ B’C’• ----- = ----- = ------ = r• AB AC BC• Y también:• AB” AC” B”C”• ----- = ----- = ------ = r’• AB AC BC• Los triángulos ABC, AB’C’ y
AB”C” son semejantes.
A
B C
B’
B”
C’
C”
@ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 5
• Ejemplo:
• Sea el triángulo ABC tal que,• AB=10, BC=6, CA = 8• Trazamos una recta paralela al
lado BC.• Los triángulos ABC y AB’C’ son
semejantes.• Se cumple que:• AB’ AC’ B’C’• ----- = ----- = ------ = r• AB AC BC
• 5 4 3• --- = ---- = ---- = 0,5• 10 8 6
• La razón de semejanza es r=0,5
A
B C
B’ C’
@ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 6
Triángulos en posición de Tales• Dos o más triángulos están en
posición de Tales si comparten un ángulo y los lados opuestos a dicho ángulo son paralelos.
• En la figura comparten el ángulo A y los lados a, a’, a’’ son paralelos.
• Si dos o más triángulos están en posición de Tales, entonces son semejantes y se cumple:
• a b c• ----- = ----- = ------ = r• a’ b’ c’
• Siendo a, b y c los lados de un triángulo; y a’, b’ y c’ los lados homólogos del otro triángulo.
A
B C
B’
B”
C’
C”
a
a’
a’’
b
b’
b’’
c
c’
c’’
@ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 7
Problema
• Para medir la altura de un edificio hemos empleado el método de la sombra por el Teorema de Tales, utilizando una varilla de 1 m de longitud. Hallar la altura del edificio si sabemos que las sombras de la varilla y del edificio son de 0,5 m y de 8,4 m respectivamente.
1 m
Como los rayos del sol se consideran paralelos, los dos triángulos rectángulos formados son semejantes:
1 0,5
--- = ------ 0,5. h = 8,4 h = 16,8 m
H 8,4
s S
H
@ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 8
Problema_2
• Para medir la altura de un edificio hemos empleado el método de la sombra por el Teorema de Tales, utilizando una varilla de 1 m de longitud. Hallar la altura del edificio si sabemos que las sombras de la varilla y del edificio suman 10 m y la sombra del edifico, en ese instante, es la cuarta parte de su altura.
1 m
Como los rayos del sol se consideran paralelos, los dos triángulos rectángulos formados son semejantes:
1 s 1 10 - S
--- = ------ ------ = --------
H S 4.S S
1 = 40 – 4.S 4.S = 39 S = 9,75 m
Luego H = 4.S = 4.9,75 = 39 m
s S
H
@ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 9
Problema_3
• En la siguiente figura, hallar la medida de los segmentos x, y y z.
• Se sabe que las dos líneas rojas son paralelas al lado a , de valor desconocido.
• Las líneas paralelas a la base a forman triángulos en posición de Tales.
• Al ser triángulos semejantes se cumplirá:
• r = x / 4 = 9 / 3 = y / 2• Luego r = 3• Y por tanto:• x = 4.r = 4.3 =12 cm• y = 2.r = 2.3 = 6 cm
2 cm
3 cm
4 cm
x 9 cm y
a
@ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 10
Problema_4
• Veamos de otra manera:• r = 27 / (4+2+x) = (y+z) / (4+2)• r = 27 / (4+2+x) = (27 – 9) / (4+2)• O sea: 27 /(6+x) = 18 / 6• 27 /(6+x) = 3 ; 27 = 18+3.x ; 3.x = 9 ; x = 3• Como r = 9 / x r = 9 / 3 = 3• Y ya podemos hallar y y z:• y = 4.r = 4.3 = 12 ; z = 2.r = 2.3 = 6
2 cm
x
4 cm
y 9 cm z
27 cm
a
• En la siguiente figura, hallar la medida de los segmentos x, y y z.
• Se sabe que las dos líneas rojas son paralelas al lado a , de valor desconocido.
• Las líneas paralelas a la base a forman triángulos en posición de Tales.• Al ser triángulos semejantes se cumplirá:• r = y / 4 = 9 / x = z / 2 = (9+y+z)/(4+x+2)• Pero no podemos obtener r.
@ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 11
Aplicación de Thales
• Dividir un segmento AB en 7 partes iguales.
• 1.- Se traza una recta desde A• con una inclinación cualquiera • respecto al segmento AB.
A B
@ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 12
• Dividir un segmento AB en 7 partes iguales.
• 2.- Sobre dicha recta se llevan siete veces consecutivas una distancia d cualquiera.
d
d
d
d
d
d
d
A B
@ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 13
• Dividir un segmento AB en 7 partes iguales.
• 3.- Se une el extremo resultante de la recta con el punto B del segmento a dividir. Se trazan paralelas a la línea trazada anteriormente que pasen por las divisiones de la recta.
d
d
d
d
d
d
d
A B
@ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 14
• Dividir un segmento AB en 7 partes iguales.
• 4.- Los cortes de las paralelas así trazadas con el segmento AB nos determinarán las 7 partes en que queda dividido el segmento AB.
d
d
d
d
d
d
d
A B