DISEO CON TRES FACTORES
En esta ocasin se considera un experimento con tres factores A, B y C en
niveles a, b y c, respectivamente en un diseo experimental completamente
aleatorizado.
Supngase de nuevo que se tienen n observaciones para cada una de las
abc combinaciones de tratamiento. Se proceder a esbozar las pruebas de
significancia para los tres efectos principales y las interacciones involucradas.
Se espera entonces se pueda utilizar la descripcin dada aqu para
generalizar el anlisis a k>3 factores.
El modelo para el experimento de tres factores est dado por:
Xijkl= + i + j + k + ()ij+ ()ik + ()jk + ()ijk + ijkl
i=1,2,,a; j=1,2,,b; k=1,2,,c; y l=1,2,.,n;
Dnde:
i, j,k son los factores principales;
()ij, ()ik , ( )jkson los efectos de la interaccin de dos factores que
tienen la misma interpretacin que en el experimento de dos factores.
El termino ()ijk recibe el nombre de efecto de interaccin de tres
factores, un trmino que representa la no actividad de las ()ij sobre
los diferentes niveles de factor C.
Igual que antes, la suma de todos los efectos principales es cero y la suma de
cualquier subndice de los efectos de interaccin de dos y tres factores es
cero. En muchas situaciones experimentales estas interacciones de orden
ms alto son insignificantes y sus cuadrados medio reflejan nicamente
variacin aleatoria, pero el anlisis se har en forma general.
De nuevo, con objeto de que se puedan realizar pruebas vlidas de
significancia, se debe asumir que los errores son valores de variables
aleatorias independientes y con distribucin normal, cada una con media
cero y varianza 2.
La filosofa general del anlisis es la misma que utilizada para los
experimentos de uno y dos factores. La suma de cuadrados se particiona en
ocho trminos, cada uno representa una fuente de variacin de las cuales se
obtienen estimaciones independientes de 2 cuando todos efectos
principales y los efectos de interaccin son cero. Si los efectos de cualquier
factor o interaccin dados no todos son cero, entonces el cuadrado medio
estimara la variancia del error ms una componente debida el efecto
sistemtico en cuestin.
Ahora se procede directamente a la parte de clculo para obtener las sumas
de cuadrados en el anlisis de varianza de tres factores se requiere la
siguiente notacin:
T.= promedio de todas las abcn observaciones.
Ti...= promedio de las observaciones para el nivel i-simo del factor A.
T.j..=promedio de las observaciones para el nivel j-simo del factor B.
T..k.= promedio de las observaciones para el nivel k-simo del factor C.
Tij..= promedio de las observaciones para el nivel i-simo de A y el nivel
j-simo de B
Ti.k.= promedio de las observaciones para el nivel i-simo de A y el nivel
k-simo nivel de C
T.jk.= promedio de las observaciones para el nivel j-simo de B y el nivel
k-simo de C.
Las sumas de los cuadrados se calculan:
( )
( )
( )
( )
Anlisis de varianza para un experimento de tres factores de n rplicas
Fuente de Variacin Suma de Cuadrados Grados de Libertad Cuadrado Medio Razn de Varianza
Efectos principales
A SCA a-1
F1=
B SCB b-1
F2=
C SCC c-1 F3=
Interaccin de dos factores
AB SC(AB) (a-1)(b-1)
F4=
AC SC(AC) (a-1)(c-1) F5=
BC SC(BC) (b-1)(c-1) F6=
Interaccin de tres factores
ABC SC(ABC) (a-1)(b-1)(c-1)
F7=
Error SCE abc(n-1)
Total SCT abcn-1
Y SCE, como es usual, se obtiene por sustraccin.
Para el experimento de tres factores con una sola replica se puede utilizar el
anlisis de la tabla haciendo n=1 y utilizando la suma de cuadrados de la
interaccin ABC para SCE. En este caso se estar asumiendo que los efectos
de interacin()ijkson todos iguales a cero de tal forma que:
[ ( )
( )( )( )]
( )
( )( )( )
Esto es, SC(ABC) representa la variacin debida nicamente al error experimental. Su cuadrado
medio por tanto proporciona una estimacin insesgada de la varianza del error. Con n=1 y
SCE=SC(ABC), la suma de cuadrados del error se encuentra de las efectos principales y las
interacciones de dos factores de la suma total de cuadrados.
Ejemplo 1
El departamento de control de calidad de una planta de acabados textiles
estudia el efecto de varios factores sobre el teido de una tela de algodn y
fibras sintticas utilizada para fabricar camisas para caballero. Se
seleccionaron tres operadores, tres duraciones del ciclo y dos temperaturas,
y se tieron tres ejemplares pequeos de la tela bajo cada conjunto de
condiciones. La tela terminada se compar con un patrn, y se le asign una
evaluacin numrica. Los datos se presentan enseguida. Analizar los datos y
sacar conclusiones.
Duracin del ciclo
Temperatura
350 350
Operador Operador
1 2 3 1 2 3
23 27 31 24 38 34
40 24 28 32 23 36 36
25 26 29 28 35 39
36 34 33 37 34 34
50 35 38 34 39 38 36
36 39 35 35 36 31
28 35 26 26 36 28
60 24 35 27 29 37 26
27 34 25 25 34 24
1) Modelo
2) Suposiciones
a) Todas las muestras provienen de poblaciones con distribucin
normal
b) Las ab muestras tienen igual variante
c) Las abc muestras son independientes
3) Hiptesis
a) Para la Temperatura
H0: 1= 2
H1: No todos los k son iguales
b) Para la Duracin del Ciclo
H0:1= 2= 3
H1: 1 2 3
c) Para los Operadores
H0: 1= 2=3
H1: No todos los j son iguales
d) Para la Interaccin Duracin de Ciclo-Operador
H0: ()11=()12=()13=()21=()22=()23
H1: No todos los ()ijson iguales
e) Para la Interaccin Duracin de Ciclo-Temperatura
H0: ()11=()12=()13=()21=()22=()23
H1: No todos los ()ikson iguales
Xijkl=+ i+ j+k+()ij+ ()ik+ ()jk+ ()ijk+Eijkl
i=1,2,3 j=1,2,3 k=1,2 l=1,2,3
f) Para la Interaccin Operador-Temperatura
H0:()11=()12=()13=()21=()22=()23
H1:No todos los ()jk son iguales
g) Para la Interaccin Duracin de Ciclo-Temperatura
H0: ()111=()121=()131=()211=()221=()231=()311=
()321=()331=()112=()122=()132=()212=()222=
()232=()312=()322=()332=
H1: No todos los ()ijk son iguales
4) Clculos
Duracin del ciclo
Temperatura
350 350
Operador Operador
1 2 3 1 2 3
23 27 31 81 24 38 34 96
40 24 28 32 84 23 36 36 95
25 26 29 80 28 35 39 102
72 81 92 245 75 109 109 293
36 34 33 103 37 34 34 105
50 35 38 34 107 39 38 36 113
36 39 35 110 35 36 31 102
107 111 102 320 111 108 101 320
28 35 26 89 26 36 28 90
60 24 35 27 86 29 37 26 92
27 34 25 86 25 34 24 83
79 104 78 261 80 107 78 265
SCT=55128 53770.67=1757.33
( ) ( ) ( )
53770.67=435.44
( ) ( ) ( )
53770.67=261.28
( ) ( )
53770.67=50.07
( )
356.23
( )
79.37
( )
11.26
( )
54823.67 54335.56 54
093.33 54206.11 54032 53820.74 53770.67=45.63
SCE=1757.33 435.44 261.33 50.07 356.23 79.37 11.26 45.63
=518
5) Anlisis de Varianza
NOTA: Si la F calculada es mayor que la F tabla entonces rechazamos
H0 y aceptamos H1 de donde obtenemos un nivel de significancia F0,05
la prueba del efecto principal del factor C es significativa al igual que la
interaccin de 2 factores AC,BC y la interaccin de 3 factores.
6) Conclusin
Concluimos de este anlisis que la variacin de la temperatura, la
interaccin de duracin de ciclo-temperatura, operador-temperatura y
la interaccin de duracin del ciclo-operador-temperatura afectan al
teido del algodn y a las fibras sintticas para fabricar camisas para
caballeros
Fuente de Variacin
Suma de Cuadrados Grados de Libertad Cuadrado Medio Razn de Varianza F
Tabla
Efectos principales
A 435,44 2 217,72 15,13 3,29
B 261,33 2 130,665 9,09 3,29
C 50,07 1 50,07 3,48 4,14
Interaccin de dos factores
AB 356,23 4 89,06 6,19 2,66
AC 79,37 2 39,685 2,76 3,29
BC 11,26 2 5,63 0,39 3,29
Interaccin de tres factores
ABC 45,63 4 11,41 0,79 2,66
Error 518,00 36 14,39
Total 1757,33 53
Ejemplo 2:
En un experimento para investigar las propiedades de resistencia a la compresin de
mezclas de Cemento y Tierra, se utilizaron dos perodos (Edad A) diferentes de curado en
combinacin con dos Temperaturas(B) diferentes de curado y dos tierras(C) diferentes.
Se hicieron dos rplicas para cada combinacin de niveles de los tres factores, resultando
los siguientes datos:
Edad (A) Temperatura (B)
1 2
Tierra (C) Tierra (C)
1 2 1 2
1 471 413
385 434
485 552
530 593
2 712 637
770 705
712 789
741 806
1) Modelo :
2) Suposiciones : a) Todas las muestras provienen de poblacin con distribucin normal.
b) Las ab muestras tiene igual variante.
c) Las abc muestras son independientes.
3) Hiptesis:
Variable Respuesta: Resistencia a la compresin de la mezcla de Cemento y Tierra.
Forma Verbal
a) H0: La edad o perodos no influye significativamente en las propiedades de resistencia a la compresin de mezclas de Cemento y Tierra. H1: La edad o perodos influye significativamente en las propiedades de resistencia a la compresin de mezclas de Cemento y Tierra.
b) Ho: La Temperatura no influye significativamente en las propiedades de resistencia a la
compresin de mezclas de Cemento y Tierra. H1: La Temperatura influye significativamente en las propiedades de resistencia a la compresin de mezclas de Cemento y Tierra.
c) H0: Los tipos de tierra no influyen significativamente en las propiedades de resistencia
a la compresin de mezclas de Cemento y Tierra. H1: Los tipos de tierra influyen significativamente en las propiedades de resistencia a la compresin de mezclas de Cemento y Tierra.
d) H0: La edad y la temperatura no influyen significativamente en las propiedades de
resistencia a la compresin de mezclas de Cemento y Tierra. H1: La edad y la temperatura influyen significativamente en las propiedades de resistencia a la compresin de mezclas de Cemento y Tierra.
e) H0: La edad y los tipos de tierra no influyen significativamente en las propiedades de
resistencia a la compresin de mezclas de Cemento y Tierra. H1: La edad y los tipos de tierra influyen significativamente en las propiedades de resistencia a la compresin de mezclas de Cemento y Tierra.
f) H0: La temperatura y los tipos de tierra no influyen significativamente en las propiedades de resistencia a la compresin de mezclas de Cemento y Tierra. H1: La temperatura y los tipos de tierra influyen significativamente en las propiedades de resistencia a la compresin de mezclas de Cemento y Tierra.
g) H0: La edad, Temperatura y tipos de tierra no influyen significativamente en las
propiedades de resistencia a la compresin de mezclas de Cemento y Tierra. H1: La edad, Temperatura y tipos de tierra influyen significativamente en las propiedades de resistencia a la compresin de mezclas de Cemento y Tierra.
Datos
a = b = c =2 , n=2 N = abcn = 2x2x2x2= 16 , i=1,2 j=1,2 k=1,2
Como puede observarse en la tabla los datos obtenidos tienen valores grandes. A
continuacin se presentan la tabla de los datos codificados (divididos por 100); para llevar
a cabo de una manera mas fcil y eficiente los clculos matemticos.
Edad (A) Temperatura (B)
1 2
Tierra (C) Tierra (C)
1 2 1 2
1 4.71
4.13
3.85
4.34
4.85
5.52
5.30
5.93
2 7.12
6.37
7.70
7.05
7.12
7.89
7.41
8.06
4) Calculos :
Totales por celdas
y111. = 4.71 + 4.13 = 8.84 y211. = 7.12 + 6.37 = 13.49
y112. = 3.85 + 4.34 = 8.19 y212. = 7.70 + 7.05 = 14.75
y121. = 4.85 + 5.52 = 10.37 y221. = 7.12 + 7.89 = 15.01
y122. = 5.30 + 5.93 = 11.23 y222. = 7.41 + 8.06 = 15.47
Totales del factor A (yi = ) Totales del factor B (y.j.. = )
y1... = 8.84 + 8.19 + 10.37 + 11.23 = 38.63 y.1.. = 22.33 + 22.94 = 45.27
y2... = 13.49 + 14.75 + 15.01 + 15.47 = 58.72 y.2.. = 25.38 + 26.70 = 52.08
Totales del factor C (y..k. = )
y..1. = 22.33 + 25.38 = 47.71 y..2. = 22.94 + 26.70 = 49.64
Totales de la interaccin AxB (yij.. = )
y11.. = 8.84 + 8.19 = 17.03 y12.. = 10.37 + 11.23 = 21.60
y21.. = 13.49 + 14.75 = 28.24 y22.. = 15.01 + 15.47 = 30.48
Totales de la interaccin AxC (yi.k. = )
y1.1.= 8.84 + 10.37 = 19.21 y2.1.= 13.49 + 15.01 = 28.50
y1.2.= 8.19 + 11.23 = 19.42 y2.2.= 14.75 + 15.47 = 30.22
Totales de la interaccin BxC (y.jk. = )
y.11. = 8.84 + 13.49 = 22.33 y.21. = 10.37 + 15.01 = 25.38
y.12. = 8.19 + 14.75 = 22.94 y.22. = 11.23 + 15.47 = 26.70
Total general
y.= = 4.71 + 4.13 + 3.85 + 4.34 + 4.85 ++ 7.89 + 7.41 + 8.06 = 97.35
y. = = 38.63 + 58.72 = 97.35
y. = = 45.27 + 52.08 = 97.35
y. = = 47.71 + 49.64 = 97.35
y. = = 22.33 + 22.94 + 25.38 + 26.70 = 97.35
Ahora el siguiente cuadro con los datos
Edad (A) Temperatura (B)
yi 1 2
Tierra (C) Tierra (C)
1 2 1 2
1 8.84 8.19 10.37 11.23 38.63
2 13.49 14.75 15.01 15.47 58.72
Totales BXC (y.jk.) 22.33 22.94 25.38 26.70 y. = 97.35
y.j.. 45.27 52.08
Totales AxB ( yij..)
Edad (A) Temperatura (B)
1 2
1 17.03 21.60
2 28.24 30.48
Totales AxC (yi.k.)
Edad (A) Tierra (C)
1 2
1 19.21 19.42
2 28.50 30.22
Totales del factor C (y..k.)
Tierra (C)
1 2
47.71 49.64
Suma de Cuadrados :
= (4.71)2 + (4.73)2 + (3.85)2 +.+ (7.89)2 + (7.41)2 + (8.06)2
= 623.2289 - 592.3139063 = 30.91
Las sumas de cuadrados de los efectos principales se obtiene usando los totales de cada
uno de los factores de la siguiente manera:
=
= 617.5394125 - 592.3139063 = 25.2255062 25.23
=595.2124125 - 592.3139063=2.8985602 2.90
La suma de cuadrados del error se obtiene:
Restando a la suma total de cuadrados las sumas de cuadrados de los efectos principales, las sumas de las interacciones dobles y la suma de cuadrados de la interaccin triple.
SSE = SST - SSA - SSB - SSC - SSAB - SSAC - SSBC
= 30.91499-25.22550-2.89850-0.23280-0.33924-0.1425063-0.03150-0.33356
= 1.7113503
5) Analisis de Varianza :
Medias de Cuadrados :
Las Medias de Cuadrados se obtienen dividiendo las Sumas de Cuadrados por sus
grados de libertad respectivos, como se muestra a continuacin.
Los estadsticos para llevar a cabo la prueba de las hiptesis (F0) se obtienen dividiendo sus respectivas Medias de Cuadrados por la Media de Cuadrados del error, de la siguiente manera:
Para el factor Edad (A) Para el factor Temperatura (B)
Para el factor Tierra (C) Para la interaccin Edad-Temperatura
(AxB)
Para la interaccin Edad-Tierra (AxC) Para la interaccin Temperatura-Tierra
(BxC)
Para la interaccin Edad-Temperatura-Tierra (AxBxC)
Acontinuacin se presentara la tabla ANVA con los respectivos datos hallados
anteriormente.
Tabla ANVA:
Fuente de Variacin Sumas
de
Cuadrados
Grados
de Libertad
Medias
de
Cuadrados
F0
Edad (A) 25.23 1 25.23 117.95
Temperatura (B) 2.90 1 2.90 13.55
Tierra (C) 0.23 1 0.23 1.07
EdadxTemperatura (AxB) 0.34 1 0.34 1.59
EdadxTierra (AxC) 0.14 1 0.14 0.65
TemperturaxTierra(BxC) 0.03 1 0.03 0.14
EdadxTemperaturaxTierra (AxBxC) 0.33 1 0.33 1.54
Error 1.71 8 0.2139
Total 30.91 15
Tomando = 0.05, encontrando para cada hiptesis a probar sus respectivos FTablas,
se tiene: Ya que a = b = c = 2, entonces abc(n-1) = 2x2x2(2-1) = 8.
6) Conclusiones:
Respecto a la Hiptesis a (Factor A(Edad))
Se observa de la tabla de Anlisis de Varianza que el F0 > FTablas (117.95 > 5.32); por
lo tanto, se rechaza H0; es decir, la edad o perodos influye significativamente en las
propiedades de resistencia a la compresin de mezclas de Cemento y Tierra.
Respecto a la Hiptesis b (Factor B (Temperatura))
Se observa de la tabla de Anlisis de Varianza que el F0 > FTablas (13.55 > 5.32); por lo
tanto, se rechaza H0; es decir, la Temperatura influye significativamente en las
propiedades de resistencia a la compresin de mezclas de Cemento y Tierra.
Respecto a la Hiptesis c (Factor C (Tierra))
Se observa de la tabla de Anlisis de Varianza que el F0 < FTablas (1.07 < 5.32); por lo
tanto, se acepta H0; es decir, los tipos de tierra no influyen significativamente en las
propiedades de resistencia a la compresin de mezclas de Cemento y Tierra.
Respecto a la Hiptesis d (Interaccin(Edad y Temperatura))
Se observa de la tabla de Anlisis de Varianza que el F0 < FTablas (1.58 < 2.54); por lo
tanto, se acepta H0; es decir, la edad y la temperatura no influye significativamente en
las propiedades de resistencia a la compresin de mezclas de Cemento y Tierra.
Respecto a la Hiptesis e (Interaccin(Edad y Tierra))
Se observa de la tabla de Anlisis de Varianza que el F0 < FTablas (0.66 < 2.54); por lo
tanto, se acepta H0; es decir, la edad y los tipos de tierra no influyen significativamente
en las propiedades de resistencia a la compresin de mezclas de Cemento y Tierra.
Respecto a la Hiptesis f (Interaccin(Temperatura y Tierra))
Se observa de la tabla de Anlisis de Varianza que el F0 < FTablas (0.14 < 2.54); por lo
tanto, se acepta H0; es decir, la temperatura y los tipos de tierra no influyen
significativamente en las propiedades de resistencia a la compresin de mezclas de
Cemento y Tierra.
Respecto a la Hiptesis g (Interaccin(Edad,Temperatura y Tierra))
Se observa de la tabla de Anlisis de Varianza que el F0 < FTablas (0.55 < 2.54); por lo
tanto, se acepta H0; es decir, la edad, Temperatura y tipos de tierra no influyen
significativamente en las propiedades de resistencia a la compresin de mezclas de
Cemento y Tierra.
EJERCICIOS:
1. Los siguientes estudios datos se toman en un estudio que incluye tres
factores A, B y C, todos efectos fijos:
C1 C2 C3
B1 B2 B3 B1 B2 B3 B1 B2 B3
A1
15.0 14.8 15.9 16.8 14.2 13.2 15.8 15.5 19.2
18.5 13.6 14.8 15.4 12.9 11.6 14.3 13.7 13.5
22.1 12.2 13.6 14.3 13.0 10.1 13.0 12.6 11.1
A2
11.3 17.2 16.1 18.9 15.4 12.4 12.7 17.3 7.8
14.6 15.5 14.7 17.3 17.0 13.6 14.2 15.8 11.5
18.2 14.2 13.4 16.1 18.6 15.2 15.9 14.6 12.2
a) Realice pruebas de significancia sobre todas las interacciones al
nivel =0.05
b) Realice pruebas de significancia sobre los efectos principales en el
nivel =0.05
c) Proporcione una explicacin de cmo una interaccin significativa
encubre el efecto del factor C.
2. El mtodo de fluorescencia de rayos X es una herramienta analtica
importante para determinar la concentracin de material en los
propulsores slidos de misiles. En el artculo An X-
rayFluorescenceMethodforAnalyzingPolybutadieneAcrylicAcid(PBAA)
Propellants, QuarterlyReport, RK-TR-62-1
ArmyOrdinanceMissileCommand(1962), se postula que el proceso de
mezcla del propulsor y el tiempo del anlisis tienen una influencia en
la homogeniedad del material y por ello sobre la precisin de las
mediciones de la intensidad de rayos X. Se llev a cabo un
experimento con el uso de tres factores: A, condiciones de mezclado
(4 niveles); B, el tiempo del anlisis (2 niveles); y C, el mtodo de
carga del propulsor en los soportes de la muestra (caliente y
temperatura ambiente). Se registraron los siguientes datos, que
representan el anlisis en porcentaje de peso de perclorato de
amonio en un propulsor particular:
Mtodo de carga, C
Caliente Temperatura Ambiente
B1 B2 B1 B2
A1
38.62 38.45 39.82 39.82
37.20 38.64 39.15 40.26
38.02 38.75 39.78 39.72
A2
37.67 37.81 39.53 39.56
37.57 37.75 39.76 39.25
37.85 37.91 39.90 39.04
A3
37.51 37.21 39.34 39.74
37.74 37.42 39.60 39.49
37.58 37.79 39.62 39.45
A4
37.52 37.60 40.09 39.36
37.15 37.55 39.63 39.38
37.51 37.91 39.67 39.00
Realice un anlisis de varianza con =0.01 para probar la significancia de
los efectos principal y de interaccin.
UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE
GROHMANN
FACULTAD DE INGENIERIA
ESCUELA ACADEMICA PROFESIONAL DE
INGENIERIA EN INFORMATICA Y SISTEMAS
Diseo con 3 factores
INTEGRANTES :
Jorge Maquera Parihuana 2009-34080
Jhonatan Cabrera Jara 2010-35516
Alan Quispe Acho 2010-35524
Andre Valdivia Chipana 2010-35530
Herson Urbina 2010-35558
PROFESOR : Luis Solrzano
ASIGNATURA : Estadstica y Probabilidades
AO : 2 A
TACNA-PERU
2011
FACTOR A
FACTOR C
C1 Cc
FACTOR B FACTOR B
B1 B2 Bb TOTAL B1 B2 Bb TOTAL
A1
X1111 X1211 X1b11 1.11 X1121 X1221 X1b21 1.21
X1112 X1212 X1b12 1.12 X1122 X1222 X1b22 1.22
..
.. .. ..
..
.. .. ..
..
.. .. ..
..
.. .. ..
X111n X121n X1b1n 1.1n X112n X122n X1b2n 1.2n
TOTAL 111. 121. 1b1. 1.1. 112. 122. 1b2. 1.2.
Aa
X2111 X2211 X1b11 1.11 X1b22 X1b22 X1b22 1.21
X2112 X2212 X1b12 1.12 X1b22 X1b22 X1b22 1.22
..
.. .. ..
..
.. .. ..
..
.. .. ..
..
.. .. ..
X211n X121n X1b1n 1.1n X112n X122n X1b2n 1.2n
TOTAL a11. a21. ab1. i.k. a12. a22. ab2. i.k.
.11. .21. .b1. ..k. .12. .22. .b2. ..k.
FACTOR A
FACTOR B
TOTAL B1 B2 Bb
A1 11.. 12.. 1b.. 1...
A2 21.. 22.. 2b.. 2...
Aa a1.. a2.. ab.. 3...
TOTAL .1.. .2.. .3.. ....
FACTOR A
FACTOR C
TOTAL C1 C2 Cc
A1 1.1. 1.2. 1.c. 1...
A2 2.1. 2.2. 2.c. 2...
Aa a.1. a.2. a.c. 3...
TOTAL ..1. ..2. ..c. ....
FACTOR B
FACTOR C
TOTAL C1 C2 Cc
B1 .11. .12. .1c. .1..
B2 .21. .22. .2c. .2..
Bb .b1. .b2. .bc. .b..
TOTAL ..1. ..2. ..c. ....
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