CONTROL DIGITAL
Universidad de Cuenca Departamento de Ingeniería Eléctrica,
Electrónica y Telecomunicaciones
SESIÓN 2 TRANSFORMADA Z
Ismael Minchala Avila
AGENDA
• Introducción • Definición Transformada Z • Transformada de Funciones Elementales • Propiedades de la Transformada Z • Transformada Z Inversa
– División Directa – Método Computacional – Fracciones Parciales – Integración Compleja
• Tarea 02 2
INTRODUCCIÓN(1)
• En un sistema de control en tiempo discreto, una ecuación en diferencias lineal caracteriza la dinámica del sistema. Para determinar la respuesta del sistema a una entrada dada, se debe resolver dicha ecuación en diferencias.
• Señales en Tiempo Discreto. Las señales en tiempo discreto surgen si el sistema involucra la operación de muestreo de señales en tiempo continuo. La señal muestreada es x(0), x(T), x(2T), ... , donde T es el período de muestreo.
3
TRANSFORMADA Z(1)
• Tren de pulsos (señal portadora)
• Señal continua (moduladora), x(t)
• Señal muestreada, x*(t):
5
( )∑∞
=
−=0k
T kTtδδ
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∑
∑∞
=
∞
=
∞
=
−=−=
−==
00
0
*
*
kk
kT
kTtkTxkTttxtx
kTttxttxtx
δδ
δδ
TRANSFORMADA Z(2)
6
( ){ } ( ){ } ( )
( ) ( )∫∞
∞−
−=
=⇒
dtetxzX
zXkTxZtxL
st*
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑ ∫∑∫∞
=
∞−
∞
=
−∞
−=−=0 00 0 k
st
k
st dtekTtkTxdtekTtkTxzX δδ
( ) ( )∑∞
=
−=0k
kTsekTxzX
TRANSFORMADA Z(3)
• Considerando eTs como un adelanto temporal y e-Ts como un operador de retardo:
7
z
ezez
Ts
Ts
lnT1s
RetrasodeOperadorAdelantodeOperador
1
=
∴
→=
→=−−
X z( ) = x kT( ) z−kk=0
∞
∑
FUNCIONES ELEMENTALES(1)
• Delta de Kronecker
8
( )⎩⎨⎧
≠
==
0001
0 kk
kδ
( ){ } ( ) k
k
k zzzzkkZ −−−∞
=
− +++==∑ 0...01 10
000 δδ
( ) 10 =Δ z
FUNCIONES ELEMENTALES(2) • Escalón Unitario
9
( )⎩⎨⎧
<
≥=
0001
kTkT
kTx
( ){ } ( ) k
k
k zzzzkTxkTxZ −−−∞
=
− ++++==∑ ...1 21
0
Considerando que la serie: 1 + r + r2 + r3 + … + rk = (1 – r)-1, siempre que |r| > 1, entonces:
( )11
11 −=
−=
− zz
zzX
FUNCIONES ELEMENTALES(3) • Rampa Unitaria
10
( )⎩⎨⎧
<
≥=
000
kTkTkT
kTx
( ){ } ( )
( ) ( )kk
k
k
k
k
k
kzzzzTzX
kzTkTzzkTxkTxZ
−−−−
∞
=
−∞
=
−∞
=
−
+++=
=== ∑∑∑
...32 321000
( )( ) ( )221
1
11 −=
−=
−
−
zTz
zTzzX
PROPIEDADES(1)
• Linealidad
• Prueba
13
( ){ } ( )( ){ } ( )( ) ( ){ } ( ) ( )zGzFkgkfZ
zGkgZzFkfZ
βαβα +=+
=
=
( ) ( ){ } ( ) ( ){ }
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )
( ) ( ){ } ( ){ }( ) ( ) ( )zGzFzX
kgZkfZzX
zkgzkfzkgkfzX
kgkfZkxZzX
k
k
k
k
k
k
βα
βα
βαβα
βα
+=
+=
+=+=
+==
∑∑∑∞
=
−∞
=
−∞
=
−
000
PROPIEDADES(2)
• Multiplicación por ak
• Prueba
• Ejemplo:
14
( ){ } ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=azFkfaZ k
( ) ( ){ } ( ) ( )( ) ( )∑ ∑∞
=
∞
=
−−−− ====0 0
11
k k
kkkk zaXzakxzkxakxaZzX
{ } ( ){ }( ){ }
( ){ }( ) az
zazza
kaZ
zkZ
kaZaZ
k
kk
−=
−=
−=∴
−=
=
−−−
−
111
1
11
111
111
1
PROPIEDADES(3) • Traslación Real
• Ejemplo
15
( ){ } ( )
( ){ } ( ) ( ) ( ) ( )
( ){ } ( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=+
−=−−=−=−=+
=−
∑−
=
−
−
−
1
0
1 1...10n
k
kn
nnn
n
zkxzXznkfZ
nkzfkfzkfzzFznkfZ
zFznkfZ
( ) ( ) ( )( ){ } ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( ){ } ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )010
1
11
11
zxzzXzXzxzzXkxZkxkxkx
zzXzXzzXkxZkxkxkx
−−=−−=∇
−+=∇
−=−=∇
−−=∇−−
PROPIEDADES(4) • Traslación Compleja
• Ejemplo
16
( ){ } ( ) ( )( ) ( )∑ ∑∞
=
∞
=
−−−− ===0 0k k
aTkaTkakTat zeXzekTxzekTxtfeZ
{ } ( ){ }( ){ }
( ) ( ) aTaTaT
atat
ezz
ezzeFzF
zkZ
keZeZ
−−−
−
−−
−=
−==
−=
=
1
1
11
111
1
EJERCICIO
• Hallar la transformada z de la función sin(ωt).
17
( ){ }
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( ) 1cos2
sin1cos2
sin221
21
21
2sin
2
2
2
22
+−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
++−
+−−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−−
=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ −
=
−−
−
−
−
TzzTzzF
TzzzTj
jzF
ezeezzezzez
jezz
ezz
jzF
jeeZtZ
TjTjTjTj
TjTj
TjTj
tjtj
ωω
ωω
ω
ωωωω
ωω
ωω
ωω
PROPIEDADES(5) • Valor Inicial
• Ejemplo
18
( ) ( )zFtfzt ∞→→
= limlim0
( )
( ) 11
1lim0
11
1
1
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
=
−=
−−∞→
− −
zex
ezX
aTz
aTz
PROPIEDADES(6) • Valor Final
• Ejemplo
19
( ) ( ) ( )[ ]zFztfzt
1
11limlim −
→∞→−=
( )
( ) ( ) 01
11lim
11
11
1
1
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=∞→
−=
−−−
→
− −
zeztx
ezX
aTz
aTz
PROPIEDADES(7) • Diferenciación Compleja
• Ejemplo
20
( ){ } ( ){ } ( )dzzdFzTkTkTfZttfZ −==
{} ( ){ }
( )( )21
1
1
1
111
−
−
−
−=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
−==
zTzzF
zdzdzTkTkTZtZ
TRANSFORMADA Z INVERSA(1)
• Método de División Directa – Numerador y denominador en potencias ascendentes de z-1
– El método no produce una expresión en forma cerrada para x(k), excepto en casos especiales.
• Ejemplo. Hallar la transformada z inversa de la siguiente función de transferencia:
21
( ) 321
21
027.02135.003533.01135.0
−−−
−−
+−−
+=
zzzzzzF
TRANSFORMADA Z INVERSA(3) • Método Computacional
– Numerador y denominador de X(z) en potencias de z-1
– X(z) = G(z) U(z), con U(z) = 1, u(kT) = δ0(kT) – Se obtiene una ecuación de diferencias para x(k), que
posteriormente se evalúa y luego a través de un programa en un computador se hallan los valores de x(k), para k = 0, 1, 2…
• Ejemplo
23
( )24.0
382 +−
+=
zzzzX
TRANSFORMADA Z INVERSA(4)
24
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( )( ) 112
8100
2318224.013824.0
24.0138
2121
21
21
=
=
=
−+−+−−−=
+=−−
+−
+=
−−−−
−−
−−
xxx
kukukxkxkxzUzzUzzXzzXzzX
zUzz
zzzX
TRANSFORMADA Z INVERSA(5) • Expansión en Fracciones Parciales
– Utilizar X(z)/z si X(z) posee al menos un cero en el origen. – Recuperar X(z) para relacionar cada término de la expansión
con una forma reportada en tablas, pe:
25
( )
( )1
21
1
11
1
1
1
1
1
11
111
−
−
−
−−
−
−
−
−
−
−
−
k
k
k
kaazz
aazz
aaz
kz
TRANSFORMADA Z INVERSA(6) • Ejemplo
26
( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )
( ) 1
1
1
14.0
2
6.01
212
4.0131
6.0139
4.031
6.039
314.06.0
384.0
394.06.0
386.0
4.06.04.06.038
24.038
−
−
−
−
=
=
−−
−=
−−
−=
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
+−=
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
+−=
−+
−=
−−
+=
+−
+=
zz
zz
zzzX
zzzzk
zzzzk
zk
zk
zzz
zzzzX
z
z
( ) ( ) ( ) 11 4.0316.039 −− −= kkkx
TRANSFORMADA Z INVERSA(7) • Método de Integración Compleja
• Si el polo zj es simple, el residuo Kj es:
• Si el polo zi es un polo múltiple de orden ni, el residuo Ki es:
27
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )[ ]∑
∫−−
−
=
===
11
1 ,...2,1,021
kkc
k
zzXdepolosenzzXderesiduoskx
kdzzzXj
kTxkxπ
( ) ( )[ ]1lim −
→−= k
jzzj zzXzzKj
Ki =1
ni −1( )!limz→zi
d ni−1
dzni−1z− zi( )ni X z( ) zk−1#
$%&
'()
*+,
TRANSFORMADA Z INVERSA(8) • Se recomienda aplicar este método cuando no hay polos
en el origen, de haberlos utilizar fracciones parciales.
• Ejemplo
28
( )( )( )
( ) ( ) ( )[ ]
( )( )( )
( )
( )( )( )
( )
( ) ( ) ( )kk
k
z
k
k
z
k
kk
KKkx
zzz
zzK
zzz
zzK
zzXpolosenzzXderesiduoskxzz
zzzzzX
4.05.776.065
4.05.774.06.0
384.0
6.0654.06.0
386.0
4.06.038
24.038
21
4.0
12
6.0
11
11
2
−=+=
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
+−=
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
+−=
=
−−
+=
+−
+=
=
−
=
−
−−∑
SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE DIFERENCIAS(1) • Obtener x(k) tal que:
29
x k + 2( )+3x k +1( )+ 2x k( ) = 0 x 0( ) = 0; x 1( ) =1z2X z( )− z2x 0( )− zx 1( )+3 zX z( )− zx 0( )"# $%+ 2X z( ) = 0
X z( ) = zz2 +3z+ 2
= z 1z+ 2( ) z+1( )
X z( ) = zz+1
−z
z+ 2
( ) ( ) ( )kkkx 21 −+−=
TAREA 02 • En grupos de dos personas, realizar los siguientes
ejercicios:
1. Resolver la siguiente ecuación de diferencias:
2. Encontrar la transformada Z de la curva que se presenta en la figura.
3. Utilizando los teoremas de valor inicial y final, encontrar los valores iniciales y finales de la función.
30
x k + 2( )− x k +1( )+ 0.25x k( ) = u k + 2( )x 0( ) =1; x 1( ) = 2u k( ) =1 k = 0,1, 2,....