04. Energia de configuracion Conductores Capacitores
Clase anterior
πΈ π y π π reflejan propiedades de la distribuciΓ³n de cargas
Esta region tiene alto V porque tengo que hacer mucho trabajo contre Felec para acercar una carga a esta region del espacio (alta concentracion de cargas + cercanas)
EnergΓa de una configuraciΓ³n
π1β²
π2β²
π3β²
ππβ²
π4β²
Nota: Como siempre, vamos a pensar que, en su configuraciΓ³n final, las cargas se encuentran fijas gracias a la presencia (implΓcita) de fuerzas de carΓ‘cter no-electrostΓ‘tico que impiden que las mismas se muevan
CuΓ‘nto trabajo se tuvo que hacer para armar esta configuraciΓ³n?
EnergΓa de una configuraciΓ³n
Nota: Como siempre, vamos a pensar que, en su configuraciΓ³n final, las cargas se encuentran fijas gracias a la presencia (implΓcita) de fuerzas de carΓ‘cter no-electrostΓ‘tico que impiden que las mismas se muevan
CuΓ‘nto trabajo se tuvo que hacer para armar esta configuraciΓ³n?
π1β² La primer carga no me cuesta nada (no tengo
que hacer trabajo contra ningΓΊn campo externo)
EnergΓa de una configuraciΓ³n
Nota: Como siempre, vamos a pensar que, en su configuraciΓ³n final, las cargas se encuentran fijas gracias a la presencia (implΓcita) de fuerzas de carΓ‘cter no-electrostΓ‘tico que impiden que las mismas se muevan
CuΓ‘nto trabajo se tuvo que hacer para armar esta configuraciΓ³n?
π1β²
La primer carga no me cuesta nada
π2β²
Para traer la 2da carga tengo que hacer trabajo contra el campo generado por π1
β²
π21 = π2β² ππ1β² π 2Β΄ =
ππ2β²π1
β²
π21 π 1Β΄
π 2Β΄
π21
notaciΓ³n
= π2β² π21
EnergΓa de una configuraciΓ³n
Nota: Como siempre, vamos a pensar que, en su configuraciΓ³n final, las cargas se encuentran fijas gracias a la presencia (implΓcita) de fuerzas de carΓ‘cter no-electrostΓ‘tico que impiden que las mismas se muevan
CuΓ‘nto trabajo se tuvo que hacer para armar esta configuraciΓ³n?
π1β²
La primer carga no me cuesta nada
π2β²
Trabajo para traer la 2da carga: π2 = π21 = π2β² π21
π 1Β΄ π 2Β΄
π3β²
Trabajo para traer la 3ra carga:
π3 = π31+π32= π3β² ππ1β² π 3Β΄ + ππ2β² π 3Β΄
= π3β² π31 + π32
EnergΓa de una configuraciΓ³n
CuΓ‘nto trabajo se tuvo que hacer para armar esta configuraciΓ³n?
π1β² La primer carga no me cuesta nada
π2β²
Trabajo para traer la 2da carga: π2 = π21 = π2β² π21 π 1Β΄
π 2Β΄
π3β²
Trabajo para traer la 3ra carga:
π4β²
π3 = π31 +π32
Trabajo para traer la 4ta carga: π4 = π41 +π42 +π43
Para traer todas las cargas (armar la configuraciΓ³n)
ππβ²
ππππ‘ = π21 + π31 +π32 +π41 +π42 +π43 +β―
ππππ‘ = ππππ>π
=1
2 ππππ,πβ π
=1
2 ππ
β²ππππ,πβ π
=1
2 ππ
β²
π
ππππβ π
ππ
=1
2 ππ
β²
π
ππ
ππππ‘ =1
2 ππ
β²
π
ππ Potencial total del resto de las cargas sobre la carga-i
ππππ‘ =1
2 ππ ππ£
Para distr. continua
Materiales
β’ Dielectricos: materiales en
los que los electrones se encuentran localizados junto a sus centros atΓ³micos
β’ Conductores: materiales
que poseen cargas capaz de desplazarse distancias macroscΓ³picas
https://youtu.be/ZgDIX2GOaxQ Kahn Academy
Atomos en los nodos de la estructura molecular del material. Cada Γ‘tomo tiene carga positiva en su nΓΊcleo rodeada por idΓ©ntica carga negativa (nube electrΓ³nica)
e-
e-
Materiales
β’ Dielectricos: materiales en
los que los electrones se encuentran localizados junto a sus centros atΓ³micos
β’ Conductores: materiales
que poseen cargas capaz de desplazarse distancias macroscΓ³picas
https://youtu.be/ZgDIX2GOaxQ Kahn Academy
+
+
+
+
+
+
+
+
Nubes electrΓ³nicas se deforman
Electrones mΓ‘s externos pueden saltar de Γ³rbitas y desplazarse distancias macroscΓ³picas
Conductores en equilibrio
En el equilibrio (cuando ya nada se mueve) siempre tiene que suceder que el
campo π¬ dentro del conductor debe ser nulo (de otra forma habrΓa cargas moviendose, i.e. estarΓa en una situaciΓ³n fuera de equilibrio)
Las cargas se redistribuyen cuando hay campos externos
https://youtu.be/-Rb9guSEeVE?start=211&end=254
+
En el equilibrio el campo total (externo + cargas conductor) dentro del conductor debe ser nulo.
Conductores en equilibrio
En el equilibrio (cuando ya nada se mueve) siempre tiene que suceder que el
campo π¬ dentro del conductor debe ser nulo (de otra forma habrΓa cargas moviendose, i.e. estarΓa en una situaciΓ³n fuera de equilibrio)
Las cargas se redistribuyen para anular el campo dentro del conductor
Para conductores cargados, el exceso de carga se encuentra en la superficie
ππ = πΈ. π ππ
π
= 4ππ ππππππππππ
0
πΈ = 0 πΈ = 0
πΈ = 0
Uso ley de Gauss:
Cilindro infinitesimal de tapas muy cercanas a la sup
ππ
ππ
Campo fuera del conductor
En el equilibrio, el campo dentro del conductor debe ser nuloβ¦.
β¦pero quΓ© sucede sobre la superficie?
πΈ//π π’π
= 0
πΈβ₯π π’π
=?
de otra forma las cargas libres se moverΓan sobre la superficie
Conductor cargado
ππ = πΈ. π ππ
π
= 4ππ ππππππππππ
πΈβ₯π π’π
π‘πππ π’π π . π ππ = 4πππππ
Entonces sobre la sup: πΈπ π’π = πΈβ₯π π’π
π πΈβ₯π π’π
= 4πππ
πΈ = 0
Potencial en un conductor
πΈπ π’π = 4ππππ
Cuanto cambia el potencial cuando paso del punto A al punto B?
A
B
πΈ = 0 πΈ = 0
A
B
En todo punto de la trayectoria roja πΈπ π’π es perpendicular al desplazamiento
ππ = βπΈπ π’π. ππ = 0 Ξ: Ξ: ππ = βπΈ. ππ = 0
Notar que si elijo un camino como el azul encuentro tambien que el potencial no cambia (era obvioβ¦no?)
Todos los puntos de un conductor estan al mismo potencial
Resumiendo: conductores en equilibrio
Conductores: materiales que poseen cargas capaz de desplazarse distancias macroscΓ³picas
Para conductores cargados, el exceso de carga se encuentra en la superficie
En el equilibrio las cargas se redistribuyen para anular el campo
dentro del conductor: πΈπππ‘πππππ = 0
V es constante para todo punto del conductor
En presencia de campo externo
Conducto cargado
πΈπ π’π = πΈβ₯π π’π
π πΈβ₯π π’π
= 4πππ
πΈ = 0
πΈ = 0
πΈ = 0
πΈ = 0
Ejemplo: Potencial de un conductor esfΓ©rico cargado Q: carga en exceso sobre la superficie
(usando Gauss) πΈ =
0 π < π ππ
π2π π > π
ππ = βπΈ. ππ = 0 π < π
βππ
π2π . ππ π > π
Recordemos lo que vimos la clase pasada en este ejemplo para r>R
=ππ
ππ΅βππ
ππ΄ = β
ππ
π2ππ
π΅
π΄
A
B
πππ΅
π΄
= β ππ
π2π . ππ
π΅
π΄
ππ΅ β ππ΄
ππ΅ =ππ
ππ΅βππ
ππ΄+ ππ΄
Si elijo A como referencia asumo π΄ β β y tomo ππ΄ = 0
ππ΅ =ππ
ππ΅
Potencial de un conductor esfΓ©rico cargado Q: carga en exceso sobre la superficie
(usando Gauss) πΈ =
0 π < π ππ
π2π π > π
ππ = βπΈ. ππ = 0 π < π
βππ
π2π . ππ π > π
Recordemos lo que vimos la clase pasada en este ejemplo para r>R:
B
ππ΅ =ππ
ππ΅
π(π ) =
ππ
π π > π
ππ
π π > π
π
ππ
π
π(π) ππ
π
π π΄ ~ππ1π 1
π π΅ ~ππ2π 2
π 2 π 1 A
B
Pero como ambas esferas estΓ‘n en contacto via un conductor (i.e. forman parte de un mismo conductor)
=
π1 =π 1π 2
π2
CΓ³mo es la densidad de carga en ambas esferas?
π1 =π1
4ππ 12 =
π 1π 2
π2
4ππ 12 =
π24ππ 1π 2
π2 =π2
4ππ 22
π1π2
=π 2π 1
π1<<π2
AdemΓ‘s como πΈβ₯π π’π
= 4πππ
En nuestro ejemplo π 1>>π 2
πΈβ₯π π’π
π΅ β« πΈβ₯π π’π
π΄
Efecto de punta
π π΄ ~ππ1π 1
π π΅ ~ππ2π 2
π 2 π 1 A
B
π1 =π 1π 2
π2
π2β«π1
AdemΓ‘s como πΈβ₯π π’π
= 4πππ
En nuestro ejemplo π 1>>π 2
πΈβ₯π π’π
π΅ β« πΈβ₯π π’π
π΄
Efecto de punta
Las densidades de carga y los campos electricos son mayores en las puntas de los conductores (zonas de bajo radio de curvatura)
EnergΓa electrostΓ‘tica de un conductor
CuΓ‘nto trabajo (i.e. energΓa) cuesta cargar a este conductor?
Dado un conductor con carga π cuanto cuesta agregarle una carga πΏπ?
πΏπ
Ahoraβ¦en general vale que π = πΌπ
π
ππ = ππΏπ ππ = πΌππΏπ
Para cargarlo desde 0 hasta Q
βπ = πΌ π ππ
π
0
= πΌπ2
2 =
1
2ππ
Notar: cargar a un conductor implica almacenar energΓa (en el mismo sentido que comprimir un resorte)
Capacidad de un conductor
Al cargar a un conductor habΓamos visto que
π π = πΌπ
La constante de proporcionalidad depende de la geometrica del conductor
Ejemplo: conductor esfΓ©rico
π =ππ
π =
π
π
πΌ
π
πΆ =π
π
Se define como capacidad de un conductor a
πΆ =π
π
Cuanta carga tiene por unidad de voltaje
=1
2πΆπ2
La energΓa almacenada en el conductor cargado
π =1
2ππ =
π2
2πΆ
πΆ =π
π= πΉ(Faradios)
Capacitores
Dos conductores cualesquiera, aislados uno del otro, forman un capacitor
En general vamos a considerar situaciones donde inicialmente cada conductor tienen carga nula y electrones de uno de ellos son transferidos al otroβ¦de esta manera quedan cargados con carga +Q y -Q
Q : carga almacenada en el capacitor
Va a existir ahra una diferencia de potencial πππ entre los conductores cargados
La capacitancia del capacitor resulta: πΆ =π
πππ
Cuanto mayor C, mΓ‘s carga (o sea mΓ‘s energΓa) voy a poder acumular para una dada diferencia de potencial
Ξ±
Capacitor de placas paralelas
a
b
Q
-Q
πΈ = 0 ππ’πππ
β4ππππ¦ πππ‘ππ ππππππ
βπ = ππ β ππ = β πΈ. ππ
π΄
π΅
= β β4ππππ¦ . π¦ ππ¦
π΄
π΅
= 4πππ ππ¦
π΄
π΅
ππ β ππ = 4πππ π
d
βπ =4πππ
π΄ π
π΄
π =π΄
4ππ πβπ
C
Notar: Ξ± y C dependen de la geometria del arreglo de conductores y del medio
NotaciΓ³n:
βπ β π
EnergΓa almacenada en un capacitor
a
b
Q
-Q
d
π΄
Habiamos dicho que en general vamos a considerar situaciones donde inicialmente cada conductor tiene carga nula y electrones de uno de ellos son transferidos al otroβ¦de esta manera quedan cargados con carga +Q y -Q
Cuanta energΓa necesitamos para hacer esto? (repito lo que ya hicimos nates para un conductor)
En una etapa intermedia supongamos que las placas estΓ‘n cargadas con q a una dif de potencial βπ£ β‘ π£
π = πΆπ£
ππ = π£ πΏπ =ππΏπ
πΆ Para incrementar la carga en un πΏπ necesito hacer un trabajo:
π = ππΏπ
πΆ
π
0
=π2
2πΆ =
1
2πΆπ2 =
1
2ππ
Capacitores aislados vs no-aislados
Q esta dado. π =1
πΆπ
βπ fijado por la pila π = πΆπ
Dispositivo que fija la diferencia de potencial entre las placas a un valor fijo ν
π =π2
2πΆ π =
1
2πΆπ2
π =1
2ππ Para capacitores que se
cargan a V constante, un incremento de C da un incremento de Q y de la energΓa almacenada
Si un capacitor se carga transfiriendo carga de una placa a otra, un incremento de C provoca una disminuciΓ³n y de la energΓa almacenada. SerΓ‘ mΓ‘s facil darle una carga dada.
βπ = ν
Conductor 1: Todo al mismo
potencial
Conductor 2: todo al mismo potencial
Capacitores aislados vs no-aislados
π =π΄
4ππ ππ
C C
C C
π =4ππ π
π΄π
Por que son ΓΊtiles los capacitores de placas paralelas?
Conductor esfΓ©rico
π =ππ
π
π =π
π π
π =π΄
4ππ πβπ
πΆ
πΆ
C crece con el radio C crece como 1/d
Con esta geometria de conductores puedo construir dispositivos con alta capacitancia en espacios muy reducidos
π =1
2πΆπ2
Capacitores en paralelo
Todo al mismo potencial
Todo al mismo potencial
βπ1 = βπ2 = ν ν = 1.5π
π = πΆπ Para cada capacitor
π1 = πΆ1π1 = πΆ1ν
π2 = πΆ2π2 = πΆ2ν
La carga total que reparte la pila a las placas : π = π1 + π2
π = (πΆ1 + πΆ2)ν Si hubiese utilizado un unico capacitor de capacidad πΆπ la
pila lo hubiera cargado con identica cantidad de carga Q
πΆπ Capacidad equivalente
Capacitores en serie Hay tres conductores, cada uno a un potencial diferente
ν=1.5π
π1
βπ1
π2
βπ2
π2 = π1 = π
El conductor central estaba inicialmente descargado, por lo que:
βπ1=π
πΆ1 βπ2=
π
πΆ2
A
B
C
βππ΄πΆ= ν
βππ΄π΅= βπ1=π
πΆ1
βππ΅πΆ= βπ2=π
πΆ2
βππ΄πΆ= βππ΄π΅+ βππ΅πΆ
ν =π
πΆ1+π
πΆ2
ν =1
πΆ1+1
πΆ2π
ν =1
πΆπ π
Si hubiese utilizado un unico capacitor de capacidad πΆπ la pila lo hubiera cargado con identica cantidad de carga Q