Transcript
Page 1: 04 Energia de configuracion Conductores Capacitores

04. Energia de configuracion Conductores Capacitores

Page 2: 04 Energia de configuracion Conductores Capacitores

Clase anterior

𝐸 π‘Ÿ y 𝑉 π‘Ÿ reflejan propiedades de la distribuciΓ³n de cargas

Esta region tiene alto V porque tengo que hacer mucho trabajo contre Felec para acercar una carga a esta region del espacio (alta concentracion de cargas + cercanas)

Page 3: 04 Energia de configuracion Conductores Capacitores

EnergΓ­a de una configuraciΓ³n

π‘ž1β€²

π‘ž2β€²

π‘ž3β€²

π‘žπ‘›β€²

π‘ž4β€²

Nota: Como siempre, vamos a pensar que, en su configuraciΓ³n final, las cargas se encuentran fijas gracias a la presencia (implΓ­cita) de fuerzas de carΓ‘cter no-electrostΓ‘tico que impiden que las mismas se muevan

CuΓ‘nto trabajo se tuvo que hacer para armar esta configuraciΓ³n?

Page 4: 04 Energia de configuracion Conductores Capacitores

EnergΓ­a de una configuraciΓ³n

Nota: Como siempre, vamos a pensar que, en su configuraciΓ³n final, las cargas se encuentran fijas gracias a la presencia (implΓ­cita) de fuerzas de carΓ‘cter no-electrostΓ‘tico que impiden que las mismas se muevan

CuΓ‘nto trabajo se tuvo que hacer para armar esta configuraciΓ³n?

π‘ž1β€² La primer carga no me cuesta nada (no tengo

que hacer trabajo contra ningΓΊn campo externo)

Page 5: 04 Energia de configuracion Conductores Capacitores

EnergΓ­a de una configuraciΓ³n

Nota: Como siempre, vamos a pensar que, en su configuraciΓ³n final, las cargas se encuentran fijas gracias a la presencia (implΓ­cita) de fuerzas de carΓ‘cter no-electrostΓ‘tico que impiden que las mismas se muevan

CuΓ‘nto trabajo se tuvo que hacer para armar esta configuraciΓ³n?

π‘ž1β€²

La primer carga no me cuesta nada

π‘ž2β€²

Para traer la 2da carga tengo que hacer trabajo contra el campo generado por π‘ž1

β€²

π‘ˆ21 = π‘ž2β€² π‘‰π‘ž1β€² π‘Ÿ 2Β΄ =

π‘˜π‘ž2β€²π‘ž1

β€²

π‘Ÿ21 π‘Ÿ 1Β΄

π‘Ÿ 2Β΄

𝑉21

notaciΓ³n

= π‘ž2β€² 𝑉21

Page 6: 04 Energia de configuracion Conductores Capacitores

EnergΓ­a de una configuraciΓ³n

Nota: Como siempre, vamos a pensar que, en su configuraciΓ³n final, las cargas se encuentran fijas gracias a la presencia (implΓ­cita) de fuerzas de carΓ‘cter no-electrostΓ‘tico que impiden que las mismas se muevan

CuΓ‘nto trabajo se tuvo que hacer para armar esta configuraciΓ³n?

π‘ž1β€²

La primer carga no me cuesta nada

π‘ž2β€²

Trabajo para traer la 2da carga: π‘ˆ2 = π‘ˆ21 = π‘ž2β€² 𝑉21

π‘Ÿ 1Β΄ π‘Ÿ 2Β΄

π‘ž3β€²

Trabajo para traer la 3ra carga:

π‘ˆ3 = π‘ˆ31+π‘ˆ32= π‘ž3β€² π‘‰π‘ž1β€² π‘Ÿ 3Β΄ + π‘‰π‘ž2β€² π‘Ÿ 3Β΄

= π‘ž3β€² 𝑉31 + 𝑉32

Page 7: 04 Energia de configuracion Conductores Capacitores

EnergΓ­a de una configuraciΓ³n

CuΓ‘nto trabajo se tuvo que hacer para armar esta configuraciΓ³n?

π‘ž1β€² La primer carga no me cuesta nada

π‘ž2β€²

Trabajo para traer la 2da carga: π‘ˆ2 = π‘ˆ21 = π‘ž2β€² 𝑉21 π‘Ÿ 1Β΄

π‘Ÿ 2Β΄

π‘ž3β€²

Trabajo para traer la 3ra carga:

π‘ž4β€²

π‘ˆ3 = π‘ˆ31 +π‘ˆ32

Trabajo para traer la 4ta carga: π‘ˆ4 = π‘ˆ41 +π‘ˆ42 +π‘ˆ43

Para traer todas las cargas (armar la configuraciΓ³n)

π‘žπ‘›β€²

π‘ˆπ‘‡π‘œπ‘‘ = π‘ˆ21 + π‘ˆ31 +π‘ˆ32 +π‘ˆ41 +π‘ˆ42 +π‘ˆ43 +β‹―

π‘ˆπ‘‡π‘œπ‘‘ = π‘ˆπ‘–π‘—π‘–>𝑗

=1

2 π‘ˆπ‘–π‘—π‘–,𝑗≠𝑖

=1

2 π‘žπ‘–

′𝑉𝑖𝑗𝑖,𝑗≠𝑖

=1

2 π‘žπ‘–

β€²

𝑖

𝑉𝑖𝑗𝑗≠𝑖

𝑉𝑖

=1

2 π‘žπ‘–

β€²

𝑖

𝑉𝑖

π‘ˆπ‘‡π‘œπ‘‘ =1

2 π‘žπ‘–

β€²

𝑖

𝑉𝑖 Potencial total del resto de las cargas sobre la carga-i

π‘ˆπ‘‡π‘œπ‘‘ =1

2 πœŒπ‘‰ 𝑑𝑣

Para distr. continua

Page 8: 04 Energia de configuracion Conductores Capacitores

Materiales

β€’ Dielectricos: materiales en

los que los electrones se encuentran localizados junto a sus centros atΓ³micos

β€’ Conductores: materiales

que poseen cargas capaz de desplazarse distancias macroscΓ³picas

https://youtu.be/ZgDIX2GOaxQ Kahn Academy

Atomos en los nodos de la estructura molecular del material. Cada Γ‘tomo tiene carga positiva en su nΓΊcleo rodeada por idΓ©ntica carga negativa (nube electrΓ³nica)

e-

e-

Page 9: 04 Energia de configuracion Conductores Capacitores

Materiales

β€’ Dielectricos: materiales en

los que los electrones se encuentran localizados junto a sus centros atΓ³micos

β€’ Conductores: materiales

que poseen cargas capaz de desplazarse distancias macroscΓ³picas

https://youtu.be/ZgDIX2GOaxQ Kahn Academy

+

+

+

+

+

+

+

+

Nubes electrΓ³nicas se deforman

Electrones mΓ‘s externos pueden saltar de Γ³rbitas y desplazarse distancias macroscΓ³picas

Page 10: 04 Energia de configuracion Conductores Capacitores

Conductores en equilibrio

En el equilibrio (cuando ya nada se mueve) siempre tiene que suceder que el

campo 𝑬 dentro del conductor debe ser nulo (de otra forma habrΓ­a cargas moviendose, i.e. estarΓ­a en una situaciΓ³n fuera de equilibrio)

Las cargas se redistribuyen cuando hay campos externos

https://youtu.be/-Rb9guSEeVE?start=211&end=254

+

En el equilibrio el campo total (externo + cargas conductor) dentro del conductor debe ser nulo.

Page 11: 04 Energia de configuracion Conductores Capacitores

Conductores en equilibrio

En el equilibrio (cuando ya nada se mueve) siempre tiene que suceder que el

campo 𝑬 dentro del conductor debe ser nulo (de otra forma habrΓ­a cargas moviendose, i.e. estarΓ­a en una situaciΓ³n fuera de equilibrio)

Las cargas se redistribuyen para anular el campo dentro del conductor

Para conductores cargados, el exceso de carga se encuentra en la superficie

πœ™π‘† = 𝐸. 𝑛 𝑑𝑆

𝑆

= 4πœ‹π‘˜ π‘„π‘’π‘›π‘π‘’π‘Ÿπ‘Ÿπ‘Žπ‘‘π‘Ž

0

𝐸 = 0 𝐸 = 0

𝐸 = 0

Page 12: 04 Energia de configuracion Conductores Capacitores

Uso ley de Gauss:

Cilindro infinitesimal de tapas muy cercanas a la sup

𝑑𝑆

𝑑𝑆

Campo fuera del conductor

En el equilibrio, el campo dentro del conductor debe ser nulo….

…pero quΓ© sucede sobre la superficie?

𝐸//𝑠𝑒𝑝

= 0

𝐸βŠ₯𝑠𝑒𝑝

=?

de otra forma las cargas libres se moverΓ­an sobre la superficie

Conductor cargado

πœ™π‘† = 𝐸. 𝑛 𝑑𝑆

𝑆

= 4πœ‹π‘˜ π‘„π‘’π‘›π‘π‘’π‘Ÿπ‘Ÿπ‘Žπ‘‘π‘Ž

𝐸βŠ₯𝑠𝑒𝑝

π‘‘π‘Žπ‘π‘Ž 𝑒𝑝 𝑛 . 𝑛 𝑑𝑆 = 4πœ‹π‘˜πœŽπ‘‘π‘†

Entonces sobre la sup: 𝐸𝑠𝑒𝑝 = 𝐸βŠ₯𝑠𝑒𝑝

𝑛 𝐸βŠ₯𝑠𝑒𝑝

= 4πœ‹π‘˜πœŽ

𝐸 = 0

Page 13: 04 Energia de configuracion Conductores Capacitores

Potencial en un conductor

𝐸𝑠𝑒𝑝 = 4πœ‹π‘˜πœŽπ‘›

Cuanto cambia el potencial cuando paso del punto A al punto B?

A

B

𝐸 = 0 𝐸 = 0

A

B

En todo punto de la trayectoria roja 𝐸𝑠𝑒𝑝 es perpendicular al desplazamiento

𝑑𝑉 = βˆ’πΈπ‘ π‘’π‘. 𝑑𝑙 = 0 Ξ“: Ξ“: 𝑑𝑉 = βˆ’πΈ. 𝑑𝑙 = 0

Notar que si elijo un camino como el azul encuentro tambien que el potencial no cambia (era obvio…no?)

Todos los puntos de un conductor estan al mismo potencial

Page 14: 04 Energia de configuracion Conductores Capacitores

Resumiendo: conductores en equilibrio

Conductores: materiales que poseen cargas capaz de desplazarse distancias macroscΓ³picas

Para conductores cargados, el exceso de carga se encuentra en la superficie

En el equilibrio las cargas se redistribuyen para anular el campo

dentro del conductor: πΈπ‘–π‘›π‘‘π‘’π‘Ÿπ‘–π‘œπ‘Ÿ = 0

V es constante para todo punto del conductor

En presencia de campo externo

Conducto cargado

𝐸𝑠𝑒𝑝 = 𝐸βŠ₯𝑠𝑒𝑝

𝑛 𝐸βŠ₯𝑠𝑒𝑝

= 4πœ‹π‘˜πœŽ

𝐸 = 0

𝐸 = 0

𝐸 = 0

𝐸 = 0

Page 15: 04 Energia de configuracion Conductores Capacitores

Ejemplo: Potencial de un conductor esfΓ©rico cargado Q: carga en exceso sobre la superficie

(usando Gauss) 𝐸 =

0 π‘Ÿ < π‘…π‘˜π‘„

π‘Ÿ2π‘Ÿ π‘Ÿ > 𝑅

𝑑𝑉 = βˆ’πΈ. 𝑑𝑙 = 0 π‘Ÿ < 𝑅

βˆ’π‘˜π‘„

π‘Ÿ2π‘Ÿ . 𝑑𝑙 π‘Ÿ > 𝑅

Recordemos lo que vimos la clase pasada en este ejemplo para r>R

=π‘˜π‘„

π‘Ÿπ΅βˆ’π‘˜π‘„

π‘Ÿπ΄ = βˆ’

π‘˜π‘„

π‘Ÿ2π‘‘π‘Ÿ

𝐡

𝐴

A

B

𝑑𝑉𝐡

𝐴

= βˆ’ π‘˜π‘„

π‘Ÿ2π‘Ÿ . 𝑑𝑙

𝐡

𝐴

𝑉𝐡 βˆ’ 𝑉𝐴

𝑉𝐡 =π‘˜π‘„

π‘Ÿπ΅βˆ’π‘˜π‘„

π‘Ÿπ΄+ 𝑉𝐴

Si elijo A como referencia asumo 𝐴 β†’ ∞ y tomo 𝑉𝐴 = 0

𝑉𝐡 =π‘˜π‘„

π‘Ÿπ΅

Page 16: 04 Energia de configuracion Conductores Capacitores

Potencial de un conductor esfΓ©rico cargado Q: carga en exceso sobre la superficie

(usando Gauss) 𝐸 =

0 π‘Ÿ < π‘…π‘˜π‘„

π‘Ÿ2π‘Ÿ π‘Ÿ > 𝑅

𝑑𝑉 = βˆ’πΈ. 𝑑𝑙 = 0 π‘Ÿ < 𝑅

βˆ’π‘˜π‘„

π‘Ÿ2π‘Ÿ . 𝑑𝑙 π‘Ÿ > 𝑅

Recordemos lo que vimos la clase pasada en este ejemplo para r>R:

B

𝑉𝐡 =π‘˜π‘„

π‘Ÿπ΅

𝑉(π‘Ÿ ) =

π‘˜π‘„

𝑅 π‘Ÿ > 𝑅

π‘˜π‘„

π‘Ÿ π‘Ÿ > 𝑅

𝑅

π‘˜π‘„

π‘Ÿ

𝑉(π‘Ÿ) π‘˜π‘„

𝑅

Page 17: 04 Energia de configuracion Conductores Capacitores

𝑉 𝐴 ~π‘˜π‘„1𝑅1

𝑉 𝐡 ~π‘˜π‘„2𝑅2

𝑅2 𝑅1 A

B

Pero como ambas esferas estΓ‘n en contacto via un conductor (i.e. forman parte de un mismo conductor)

=

𝑄1 =𝑅1𝑅2

𝑄2

CΓ³mo es la densidad de carga en ambas esferas?

𝜎1 =𝑄1

4πœ‹π‘…12 =

𝑅1𝑅2

𝑄2

4πœ‹π‘…12 =

𝑄24πœ‹π‘…1𝑅2

𝜎2 =𝑄2

4πœ‹π‘…22

𝜎1𝜎2

=𝑅2𝑅1

𝜎1<<𝜎2

AdemΓ‘s como 𝐸βŠ₯𝑠𝑒𝑝

= 4πœ‹π‘˜πœŽ

En nuestro ejemplo 𝑅1>>𝑅2

𝐸βŠ₯𝑠𝑒𝑝

𝐡 ≫ 𝐸βŠ₯𝑠𝑒𝑝

𝐴

Efecto de punta

Page 18: 04 Energia de configuracion Conductores Capacitores

𝑉 𝐴 ~π‘˜π‘„1𝑅1

𝑉 𝐡 ~π‘˜π‘„2𝑅2

𝑅2 𝑅1 A

B

𝑄1 =𝑅1𝑅2

𝑄2

𝜎2β‰«πœŽ1

AdemΓ‘s como 𝐸βŠ₯𝑠𝑒𝑝

= 4πœ‹π‘˜πœŽ

En nuestro ejemplo 𝑅1>>𝑅2

𝐸βŠ₯𝑠𝑒𝑝

𝐡 ≫ 𝐸βŠ₯𝑠𝑒𝑝

𝐴

Efecto de punta

Las densidades de carga y los campos electricos son mayores en las puntas de los conductores (zonas de bajo radio de curvatura)

Page 19: 04 Energia de configuracion Conductores Capacitores

EnergΓ­a electrostΓ‘tica de un conductor

CuΓ‘nto trabajo (i.e. energΓ­a) cuesta cargar a este conductor?

Dado un conductor con carga π‘ž cuanto cuesta agregarle una carga π›Ώπ‘ž?

π›Ώπ‘ž

Ahora…en general vale que 𝑉 = π›Όπ‘ž

𝑉

π‘‘π‘ˆ = π‘‰π›Ώπ‘ž π‘‘π‘ˆ = π›Όπ‘žπ›Ώπ‘ž

Para cargarlo desde 0 hasta Q

βˆ†π‘ˆ = 𝛼 π‘ž π‘‘π‘ž

𝑄

0

= 𝛼𝑄2

2 =

1

2𝑉𝑄

Notar: cargar a un conductor implica almacenar energΓ­a (en el mismo sentido que comprimir un resorte)

Page 20: 04 Energia de configuracion Conductores Capacitores

Capacidad de un conductor

Al cargar a un conductor habΓ­amos visto que

𝑉 𝑉 = 𝛼𝑄

La constante de proporcionalidad depende de la geometrica del conductor

Ejemplo: conductor esfΓ©rico

𝑉 =π‘˜π‘„

𝑅 =

π‘˜

𝑅

𝛼

𝑄

𝐢 =𝑅

π‘˜

Se define como capacidad de un conductor a

𝐢 =𝑄

𝑉

Cuanta carga tiene por unidad de voltaje

=1

2𝐢𝑉2

La energΓ­a almacenada en el conductor cargado

π‘ˆ =1

2𝑉𝑄 =

𝑄2

2𝐢

𝐢 =𝑄

𝑉= 𝐹(Faradios)

Page 21: 04 Energia de configuracion Conductores Capacitores

Capacitores

Dos conductores cualesquiera, aislados uno del otro, forman un capacitor

En general vamos a considerar situaciones donde inicialmente cada conductor tienen carga nula y electrones de uno de ellos son transferidos al otro…de esta manera quedan cargados con carga +Q y -Q

Q : carga almacenada en el capacitor

Va a existir ahra una diferencia de potencial π‘‰π‘Žπ‘ entre los conductores cargados

La capacitancia del capacitor resulta: 𝐢 =𝑄

π‘‰π‘Žπ‘

Cuanto mayor C, mΓ‘s carga (o sea mΓ‘s energΓ­a) voy a poder acumular para una dada diferencia de potencial

Page 22: 04 Energia de configuracion Conductores Capacitores

Ξ±

Capacitor de placas paralelas

a

b

Q

-Q

𝐸 = 0 π‘“π‘’π‘’π‘Ÿπ‘Ž

βˆ’4πœ‹π‘˜πœŽπ‘¦ π‘’π‘›π‘‘π‘Ÿπ‘’ π‘π‘™π‘Žπ‘π‘Žπ‘ 

βˆ†π‘‰ = π‘‰π‘Ž βˆ’ 𝑉𝑏 = βˆ’ 𝐸. 𝑑𝑙

𝐴

𝐡

= βˆ’ βˆ’4πœ‹π‘˜πœŽπ‘¦ . 𝑦 𝑑𝑦

𝐴

𝐡

= 4πœ‹π‘˜πœŽ 𝑑𝑦

𝐴

𝐡

π‘‰π‘Ž βˆ’ 𝑉𝑏 = 4πœ‹π‘˜πœŽ 𝑑

d

βˆ†π‘‰ =4πœ‹π‘˜π‘‘

𝐴 𝑄

𝐴

𝑄 =𝐴

4πœ‹π‘˜ π‘‘βˆ†π‘‰

C

Notar: Ξ± y C dependen de la geometria del arreglo de conductores y del medio

NotaciΓ³n:

βˆ†π‘‰ ↔ 𝑉

Page 23: 04 Energia de configuracion Conductores Capacitores

EnergΓ­a almacenada en un capacitor

a

b

Q

-Q

d

𝐴

Habiamos dicho que en general vamos a considerar situaciones donde inicialmente cada conductor tiene carga nula y electrones de uno de ellos son transferidos al otro…de esta manera quedan cargados con carga +Q y -Q

Cuanta energΓ­a necesitamos para hacer esto? (repito lo que ya hicimos nates para un conductor)

En una etapa intermedia supongamos que las placas estΓ‘n cargadas con q a una dif de potencial βˆ†π‘£ ≑ 𝑣

π‘ž = 𝐢𝑣

π‘‘π‘ˆ = 𝑣 π›Ώπ‘ž =π‘žπ›Ώπ‘ž

𝐢 Para incrementar la carga en un π›Ώπ‘ž necesito hacer un trabajo:

π‘ˆ = π‘žπ›Ώπ‘ž

𝐢

𝑄

0

=𝑄2

2𝐢 =

1

2𝐢𝑉2 =

1

2𝑉𝑄

Page 24: 04 Energia de configuracion Conductores Capacitores

Capacitores aislados vs no-aislados

Q esta dado. 𝑉 =1

𝐢𝑄

βˆ†π‘‰ fijado por la pila 𝑄 = 𝐢𝑉

Dispositivo que fija la diferencia de potencial entre las placas a un valor fijo νœ€

π‘ˆ =𝑄2

2𝐢 π‘ˆ =

1

2𝐢𝑉2

π‘ˆ =1

2𝑉𝑄 Para capacitores que se

cargan a V constante, un incremento de C da un incremento de Q y de la energΓ­a almacenada

Si un capacitor se carga transfiriendo carga de una placa a otra, un incremento de C provoca una disminuciΓ³n y de la energΓ­a almacenada. SerΓ‘ mΓ‘s facil darle una carga dada.

βˆ†π‘‰ = νœ€

Conductor 1: Todo al mismo

potencial

Conductor 2: todo al mismo potencial

Page 25: 04 Energia de configuracion Conductores Capacitores

Capacitores aislados vs no-aislados

𝑄 =𝐴

4πœ‹π‘˜ 𝑑𝑉

C C

C C

𝑉 =4πœ‹π‘˜ 𝑑

𝐴𝑄

Page 26: 04 Energia de configuracion Conductores Capacitores

Por que son ΓΊtiles los capacitores de placas paralelas?

Conductor esfΓ©rico

𝑉 =π‘˜π‘„

𝑅

𝑄 =𝑅

π‘˜ 𝑉

𝑄 =𝐴

4πœ‹π‘˜ π‘‘βˆ†π‘‰

𝐢

𝐢

C crece con el radio C crece como 1/d

Con esta geometria de conductores puedo construir dispositivos con alta capacitancia en espacios muy reducidos

π‘ˆ =1

2𝐢𝑉2

Page 27: 04 Energia de configuracion Conductores Capacitores

Capacitores en paralelo

Todo al mismo potencial

Todo al mismo potencial

βˆ†π‘‰1 = βˆ†π‘‰2 = νœ€ νœ€ = 1.5𝑉

𝑄 = 𝐢𝑉 Para cada capacitor

𝑄1 = 𝐢1𝑉1 = 𝐢1νœ€

𝑄2 = 𝐢2𝑉2 = 𝐢2νœ€

La carga total que reparte la pila a las placas : 𝑄 = 𝑄1 + 𝑄2

𝑄 = (𝐢1 + 𝐢2)νœ€ Si hubiese utilizado un unico capacitor de capacidad 𝐢𝑝 la

pila lo hubiera cargado con identica cantidad de carga Q

𝐢𝑝 Capacidad equivalente

Page 28: 04 Energia de configuracion Conductores Capacitores

Capacitores en serie Hay tres conductores, cada uno a un potencial diferente

νœ€=1.5𝑉

𝑄1

βˆ’π‘„1

𝑄2

βˆ’π‘„2

𝑄2 = 𝑄1 = 𝑄

El conductor central estaba inicialmente descargado, por lo que:

βˆ†π‘‰1=𝑄

𝐢1 βˆ†π‘‰2=

𝑄

𝐢2

A

B

C

βˆ†π‘‰π΄πΆ= νœ€

βˆ†π‘‰π΄π΅= βˆ†π‘‰1=𝑄

𝐢1

βˆ†π‘‰π΅πΆ= βˆ†π‘‰2=𝑄

𝐢2

βˆ†π‘‰π΄πΆ= βˆ†π‘‰π΄π΅+ βˆ†π‘‰π΅πΆ

νœ€ =𝑄

𝐢1+𝑄

𝐢2

νœ€ =1

𝐢1+1

𝐢2𝑄

νœ€ =1

𝐢𝑠𝑄

Si hubiese utilizado un unico capacitor de capacidad 𝐢𝑠 la pila lo hubiera cargado con identica cantidad de carga Q