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Universidad Federico Santa Mara
Departamento de Obras Civiles
Dinmica de Estructuras (CIV235)
H. Jensen & M. Valdebenito
Respuesta de Sistemas de 1
Grado de Libertad Sometidos a
Fuerzas Generales Parte 1
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Introduccin
Hasta este punto se ha estudiado la solucin de la ecuacin demovimiento para sistemas de 1 grado de libertad para 2 situaciones
particulares
Caso de vibraciones libres
Caso de vibraciones debido a fuerzas armnicas
El objetivo de este captulo es estudiar la solucin de la ecuacin de
movimiento de sistemas de 1 grado de libertad para casos ms
generales de fuerzas
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Objetivos
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Introduccin
Casos a estudiar en este captulo Sistema sometido a la accin de una fuerza constante
Sistema sometido a una fuerza arbitraria
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Objetivos
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Caso de Fuerza Constante
Considere un sistema estructural caracterizado mediante un grado delibertad
En una primera etapa, se asume amortiguamiento nulo ( = 0)
Se asume sistema inicialmente en reposo. Es decir, 0 = 0 = 0
Sbitamente, una fuerza constante de magnitud se aplica sobre la
estructura
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Formulacin Caso sin amortiguamiento
k
m
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Caso de Fuerza Constante
La ecuacin diferencial de movimiento de este sistema es la siguiente(para >0)
La solucin de esta ecuacin diferencial ()puede ser expresada en
como la suma de las soluciones homognea ()y particular ()
Luego, la ecuacin que describe el movimiento de la estructura es:
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Solucin Caso sin amortiguamiento
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Caso de Fuerza Constante
Al imponer las condiciones iniciales, es posible determinar el valor delas constantesy de la solucin de la ecuacin de movimiento. En
particular, para condiciones 0 = 0 = 0, es posible demostrar que:
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Solucin Caso sin amortiguamiento
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Caso de Fuerza Constante
Grfico (adimensional) de la funcin de desplazamiento ()
Note que la respuesta dinmica mxima de la estructura es el dob lede
la respuesta esttica asociada
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Solucin Caso sin amortiguamiento
0
0.5
1
1.5
2
2.5
T 2T
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Caso de Fuerza Constante
Asuma nuevamente un sistema estructural caracterizado mediante ungrado de libertad, sin amortiguamiento ( = 0) e inicialmente en reposo.
Es decir, 0 = 0 = 0
Sbitamente, una fuerza constante de magnitud se aplica sobre la
estructura durante un tiempo 0 < <
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Formulacin Caso = 0y duracin de la carga
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Caso de Fuerza Constante
La ecuacin diferencial de movimiento para tiempo menor que es:
Y su respectiva solucin es:
Para > 0, la ecuacin diferencial de movimiento es:
Claramente, la solucin de la ecuacin de movimiento para tiemposmayores que tiene la forma:
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Solucin Caso = 0y duracin de la carga
Caso de vibraciones libres
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Caso de Fuerza Constante
Para determinar las constantesy de la solucin para , seimpone con t inuidad de desplazam iento y velocidadentre la solucin
para < y . Dichas condiciones son:
Considerando estas condiciones, se puede demostrar que la solucin
de la ecuacin de movimiento para tiempos mayores que es:
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Solucin Caso = 0y duracin de la carga
Condiciones para
determinary
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Caso de Fuerza Constante
Caso particular 1 Asuma que la
duracin de aplicacin
de la fuerza constante
es igual al perodo
natural de laestructura. Es decir,
= 2/=
Se puede verificar
fcilmente que en
este caso
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Solucin Caso = 0y duracin de la carga
Tiempo
Esto implica que la solucin para tiempo mayor que es nula
( = 0, > )
2
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Tiem o
Forzado
Libre
Caso de Fuerza Constante
Caso particular 2 Asuma que la
duracin de aplicacin
de la fuerza constante
es igual a la mitad del
perodo natural de laestructura. Es decir,
= /= /2
Se puede verificar
fcilmente que en
este caso
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Solucin Caso = 0y duracin de la carga
Esto implica que la solucin para tiempo mayor que posee una
amplitud de oscilacin igual a 2/
2
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Caso de Fuerza Constante
Considere un sistema estructural caracterizado mediante un grado delibertad, subamortiguado (0 < < 1) e inicialmente en reposo. Es
decir, 0 = 0 = 0
Sbitamente, una fuerza constante de magnitud se aplica sobre la
estructura
La ecuacin diferencial de movimiento del sistema es:
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Formulacin Caso 0
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Caso de Fuerza Constante
Tomando en cuenta las condiciones iniciales, es posible demostrar quela solucin de la ecuacin de movimiento es:
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Solucin Caso 0
Donde
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Caso de Fuerza Constante
Al graficar lasolucin, se puede
apreciar que
funcin de
desplazamiento
tiende al valor de larespuesta esttica
para tiempos muy
grandes. O sea,
lim
() = /
(solucin esttica)
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Solucin Caso 0
0Tiempo
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Caso de Fuerza Arbitraria
Considere un sistemaestructural caracterizado
mediante un grado de
libertad, sub
amortiguado (0 < < 1)
El sistema es sometido a
la accin de una fuerza
completamente arbitraria
El objetivo es determinar
la funcin de
desplazamiento ()
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Formulacin
k
c
m
0
tiempo
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Caso de Fuerza Arbitraria
Ciertamente, el tratamiento de una cargaarbitraria es complejo
Simplificacin
En primera instancia, se analiza la
carga arbitraria en un perodo muy
breve entre y (note que= + )
Durante dicho perodo tan corto, la
carga es constante e igual a (es
decir, la carga corresponde a un
pulso) Para el instante de tiempo , se
asume desplazamiento y velocidades
nulas ( = = 0)
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Solucin Paso 1: Simplificacin
El objetivoes resolver
la ecuacin de
movimiento para >
tiempo
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Caso de Fuerza Arbitraria
De acuerdo a la segunda ley de Newton, si una carga acta sobreuna masa , la razn de cambio del momentum es:
Integrando dicha ecuacin entre y (donde t< < ), es posible
determinar el valor de la velocidad de la masa en un instante
En particular, es posible evaluar la velocidad en el instante
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Solucin Paso 1: Simplificacin
(): velocidad
0
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Caso de Fuerza Arbitraria
Adicionalmente, es posible integrar la expresin de la velocidad paradeterminar la posicin
En particular, es posible evaluar la posicin en el instante
Note que el problema de determinar la solucin de la ecuacin de
movimiento para > se reduce a:
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Solucin Paso 1: Simplificacin
0
Ecuacin diferencialde movimiento
Condiciones iniciales
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Caso de Fuerza Arbitraria
Note que la condicin inicial de posicin es una funcin cuadrticarespecto del intervalo de tiempo (trmino de segundo orden se
puede despreciar en el anlisis)
Por lo tanto, la solucin de la ecuacin de movimiento considerando
= 0y = /es:
Se introduce la definicin de func in impulso (o alternativamente
funcin de Green) ()
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Solucin Paso 1: Simplificacin
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Caso de Fuerza Arbitraria
Considerando laltima definicin, la
solucin de la
ecuacin de
movimiento es:
Note la forma
cualitativa de dicha
solucin
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Solucin Paso 1: Simplificacin
0
t1
()
tiempo
Solucin de la ecuacin
de movimiento para una
excitacin tipo pulso
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Caso de Fuerza Arbitraria
Asuma que en vez deexistir un nico pulso
actuando sobre la
estructura, existe una
familia de pulsos
actuando sobre laestructura, cada uno en
un tiempo , , , , con
magnitud , , , y de
duracin , , , ,
respectivamente
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Solucin Paso 2: Superposicin
tiempo
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Caso de Fuerza Arbitraria
Dado que el sistema en anlisis es lineal, el principio de superposicinpuede ser aplicado
Por lo tanto, la solucin de la ecuacin de movimiento es:
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Solucin Paso 2: Superposicin
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Caso de Fuerza Arbitraria
El caso continuo(fuerza arbitraria
aplicada en el
tiempo) puede ser
interpretado como
la aplicacin deuna serie de
infinitos pulsos.
Es decir, el
nmero de pulsos
es tal que ,
cada uno de
duracin 0
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Solucin Paso 3: Caso Continuo
F(t)
Tiempo
Caso Continuo
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Caso de Fuerza Arbitraria
En este caso lmite, la respuesta del sistema se calcula mediante unaintegral (superposic in)
O alternativamente:
Otra manera ms de representar la respuesta es mediante la expresin:
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Solucin Paso 3: Caso Continuo
Integral de convolucin o
integral de Duhamel
Indica convolucin
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Caso de Fuerza Arbitraria
Considere un sistema estructuralcaracterizado mediante un grado de libertad,
sin amortiguamiento ( = 0) e inicialmente
en reposo. Es decir, 0 = 0 = 0
Sbitamente, una fuerza constante de
magnitud se aplica sobre la estructura Solucin mediante integral de convolucin
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Ejemplo 1
Esta solucin es
idntica a la obtenida
con anterioridad
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Caso de Fuerza Arbitraria
Considere un sistema estructuralcaracterizado mediante un grado de libertad,
sin amortiguamiento ( = 0) e inicialmente
en reposo. Es decir, 0 = 0 = 0
Sbitamente, una fuerza constante de
magnitud se aplica sobre la estructuradurante un tiempo 0 < <
Solucin mediante integral de convolucin
Para <
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Ejemplo 2
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Caso de Fuerza Arbitraria
Considere un sistema estructuralcaracterizado mediante un grado de libertad,
sin amortiguamiento ( = 0) e inicialmente
en reposo. Es decir, 0 = 0 = 0
Sbitamente, una fuerza constante de
magnitud se aplica sobre la estructuradurante un tiempo 0 < <
Solucin mediante integral de convolucin
Para
USM Dinmica de Estructuras (CIV235) 28
Ejemplo 2
Esta solucin es
idntica a la obtenida
con anterioridad
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Caso de Fuerza Arbitraria
La solucin de la ecuacin de movimiento deducida anteriormente pormedio de la integral de convolucin supone condiciones iniciales nulas
0 = 0 = 0
En caso que dichas condiciones no s ean nu las, la solucin de la
ecuacin de movimiento mediante la integral de convolucin para
0 = y 0 = es:
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Caso de Condiciones Iniciales Diferentes de Cero