Contenidos del bloqueLos contenidos del bloque comienzan con una exposición del lenguaje algebraico y su uso. Se
estudian las operaciones con monomios y polinomios, y se trabajan las igualdades notables. El blo-que prosigue con el estudio de las ecuaciones de 1er y 2º grado y finaliza con el estudio de los sis-temas de ecuaciones lineales.
Los programas Wiris y Derive mejoran el aprendizaje de los contenidos del bloque. Por estarazón, se facilita su empleo como herramientas para el estudio.
Pinceladas de historiaEn la Antigüedad, el álgebra era una parte inseparable de la
aritmética, aunque con el paso del tiempo esta disciplina se fuedefiniendo y separando del área de estudio de la aritmética.
En las culturas egipcia y babilónica ya resolvían ecuaciones deprimer grado y sistemas con dos incógnitas.
En Grecia destaca Diofanto de Alejandría, que era consideradoel gran calculador y que encontró soluciones a más de cincuentaclases diferentes de ecuaciones, generalmente de segundo grado,denominadas «ecuaciones diofánticas».
Durante el Imperio musulmán, se fundaron escuelas por todo suterritorio. De ellas destaca la Bait Al-Hikma (Casa de la Sabiduría).Entre los miembros de esta escuela destacó Muhammad Ibn-MusaAl-Khwarizmi, que escribió más de media docena de obras mate-máticas y astronómicas. El origen de la palabra «álgebra» pareceencontrarse en parte del título de su obra más importante, Hisabal-jabr wa’l-muqabala («El libro de restaurar e igualar, o el arte deresolver ecuaciones»).
En el continente europeo sobresalen Niccolò Tartaglia (1500-1557), Antonio Fiore y Scipione del Ferro (1465-1526), que desa-rrollaron fórmulas para la solución de ecuaciones de tercer grado.Sin embargo, fue Girolamo Cardano (1501-1576) quien introdujoun método regular de resolución de ecuaciones de tercer y cuartogrado en su obra Ars Magna.
La expresión, mediante fórmulas generales, de las ecuaciones ysus propiedades resultó posible por primera vez gracias a FrançoisViète (1540-1603), quien propuso un sistema único de símbolosalgebraicos organizado.
A comienzos del siglo XVIII, cuando vio la luz la obra de NewtonAritmética universal (1707), el álgebra se separaba ya claramentede otras partes de la Matemática.
En el siglo XIX destacan los trabajos de Abel (1802-1829) yGalois (1811-1832), que dan lugar al nacimiento del álgebramoderna. Esta materia estudia operaciones algebraicas que repre-sentan abstracciones lejanas de las operaciones del álgebra ele-mental.
Dentro del álgebra moderna destaca Marjorie Lee Brown (1914-1977, EE.UU.), quien aportó numerosos trabajos a esta dis-ciplina desde que escribió su tesis doctoral en 1943.
Al-Khwarizmi(780-850)
Marjorie Lee Brown(1914-1977)
127
ORGANIZA TUS IDEAS
E l tema comienza introduciendo la relación entre el len-guaje coloquial y el lenguaje algebraico. Se estudian los
monomios y sus operaciones, el producto de un polinomiopor un monomio y, como paso inverso, se ve la extracciónde factores comunes.Se estudian los polinomios como suma de monomios y secalcula el valor numérico de un polinomio. Se trabajan condetalle las operaciones de suma, resta y multiplicación depolinomios, y, como casos muy especiales, se tratan lasigualdades notables, el cuadrado de un binomio y el pro-ducto de una suma por una diferencia.Se establecen las diferencias entre fórmula, ecuación eidentidad y se calculan los primeros números poligonales:los triangulares y los cuadrangulares.Los polinomios tienen aplicación en el mundo de la cienciay del arte. Se emplean para calcular áreas y volúmenes demateriales, como, por ejemplo, los de la pirámide de la pla-za de la fotografía.
POLINOMIOS
monomios
factorización
lenguajecoloquial
expresionesalgebraicas
igualdades notables:(x + a)2
(x – a)2
(x + a)(x – a)
lenguajealgebraico
operaciones:• suma• resta• multiplicación• división• potencia
operaciones:• suma• resta• multiplicación
permiten pasar del
al formadas por
entre los cuales sepueden realizar
se estudian las
como caso particularse estudian las
son
1.1. Lenguaje coloquial y algebraico
Ejemplo
1.2. Expresiones algebraicas
Los elementos de una expresión algebraica son:
Términos: cada uno de los sumandos.
Término independiente: el que solo tiene parte numérica.
Variables: las cantidades desconocidas. Se representan habitualmente por lasletras x, y, zCoeficiente: la parte numérica que multiplica a las variables. Si en un térmi-no el coeficiente no está expresado, éste vale 1
Ejemplo
1.3. Monomio
Coeficiente de un monomio
Grado de un monomioEl grado de un monomio es el exponente de la variable. Si tiene más deuna variable, se suman los exponentes.
El coeficiente de un monomio es el número que está generalmentedelante y multiplica a la parte literal.
Un monomio es una expresión algebraica en la que las letras o variablessolo tienen las operaciones de producto y potencia de exponente natural.
Una expresión algebraica es una combinación de números, letras yparéntesis, relacionados con operaciones.
El lenguaje coloquial es el que se emplea habitualmente para comunicarse.
El lenguaje algebraico es el que emplea números, letras y paréntesis rela-cionados con operaciones.
128 BLOQUE II: ÁLGEBRA
1. Lenguaje algebraico
Dado el cubo de la figura siguiente, halla su área y su volumen en función de x
P I E N S A Y C A L C U L A
Casos particulares
• Si un monomio no tieneparte literal, su grado escero.
EjemploEl grado del monomio 4 escero, porque 4 = 4x0
• Si una variable de un mo-nomio no tiene exponente,su grado es 1
EjemploEl grado del monomio 7x esuno, porque 7x = 7x1
Ejemplo
x
x
x
Lenguaje natural Lenguaje algebraico
El volumen de un cubo de arista x x3
El cuadrado de un número menos el triple de dicho número x2 – 3x
Un número par 2x
Un número impar 2x + 1
Expresión algebraica
5x3y – 4x2y2 + 9
Términos
5x3y, – 4x2y2, 9
Término independiente
9
Variables
x, y
Coeficientes
5, – 4, 9
Monomio
Coeficiente
5x3
5
Grado 3
3x2y5z
3
8
36 : 0,79
Carné calculista
Monomios semejantes
Ejemploa) 5x, – 2x, 7x b) – 4x3, 7x3 c) 3x2y3, – 5x2y3
1.4. Polinomios
Ejemplo
1.5. Valor numérico de un polinomio
EjemploHalla el valor numérico de P(x) = x3 + 5x2 – 7x – 4 para x = 2
P(2) = 23 + 5 · 22 – 7 · 2 – 4 = 8 + 20 – 14 – 4 = 28 – 18 = 10
El valor numérico de un polinomio es el valor que se obtiene al susti-tuir la variable por un número y efectuar las operaciones.
Un polinomio es una suma de monomios.
Términos de un polinomio son cada uno de los monomios que lo forman.
Grado de un polinomio es el grado del monomio de mayor grado.
Coeficientes de un polinomio son los coeficientes de los monomiosque lo forman.
Coeficiente principal es el coeficiente del término de mayor grado.
Término independiente es el monomio que no tiene parte literal.
Monomios semejantes son los que tienen la misma parte literal.
1297. POLINOMIOS
Escribe en lenguaje algebraico las siguientes expre-siones coloquiales:
a) Un número x aumentado en 5 unidades.
b) El lado de un cuadrado mide x metros. ¿Cuántomide su área?
c) Los lados de un rectángulo miden x metros e ymetros. ¿Cuánto mide su perímetro?
En la expresión algebraica: 4xy – 5x + 6x – 3, hallalos términos, el término independiente, las varia-bles y los coeficientes.
Completa la siguiente tabla:
Halla cuáles de los siguientes monomios sonsemejantes: 5x3, 7x, – 7x2, – 9x3, 8x2, x3, 9x
Completa la tabla para P(x) = 7x3 – 9x – 2
Halla el valor numérico del polinomioP(x) = x2 – 7x + 6para los valores que se indican:a) x = 0 b) x = 1 c) x = 5 d) x = – 5
Halla el valor numérico de los siguientes polino-mios para los valores que se indican:a) P(x) = x3 + 3x – 1 para x = 2b) P(x) = x4 – 7x2 + 5 para x = – 3c) P(x) = 5x3 + 6x2 – 4x + 7 para x = 1
7
6
5
4
3
2
1
A P L I C A L A T E O R Í A
BinomioUn binomio es un polino-mio de dos términos.
Ejemplo3x + 7
TrinomioUn trinomio es un polino-mio de tres términos.
Ejemplo5x2 + 3x – 7
Significado de P(x)
P(x) se lee: “pe de equis”, ysignifica polinomio en lavariable x
Términos
P(x) = x4 – 5x2 + 7x – 3
x4, – 5x2, 7x, – 3
Grado
4
Término independiente
– 3
Coeficientes
1, – 5, 7, – 3
Coeficiente principal
1
MonomioCoeficiente
– 7x5 4x3y2z 5 – 6x
Grado
Términos Grado Coeficientes Coeficienteprincipal
Término independiente
2.1. Suma y resta de monomios
Ejemplo6x4 + 2x4 – 5x4 = 3x4
EjemploSuma los monomios 6x5, 7x3, y réstales 4x2 ⇒ 6x5 + 7x3 – 4x2
Opuesto de un monomio
Ejemploa) El opuesto de 7x3 es – 7x3 b) El opuesto de – 5x4 es 5x4
2.2. Producto de monomios
Ejemploa) 3x2 · 4x5 = 12x7 b) 5x4 · 2x5 · (– 3x) = – 30x10
2.3. Cociente de monomios
Ejemplo
a) = 2x5 es un monomio. b) = no es un monomio.
2.4. Potencia de un monomioPara elevar un monomio a una potencia, se eleva el coeficiente a lapotencia y se multiplican los exponentes.
3x2
6x4
2x66x7
3x2
El cociente de dos monomios tiene:
a) Por coeficiente, el cociente de los coeficientes.
b) Por parte literal, la misma, con exponente la diferencia de los expo-nentes. Para que el resultado sea un monomio, el grado del numeradortiene que ser mayor o igual que el grado del denominador.
El producto de dos o más monomios es otro monomio que tiene:
a) Por coeficiente, el producto de los coeficientes.
b) Por parte literal, la misma, con exponente la suma de los exponentes.
El opuesto de un monomio es el mismo monomio cambiado de signo.
b) Si los monomios no son semejantes, el resultado es un polinomiocuyos términos son los monomios dados.
a) Si los monomios son semejantes, se suman o restan los coeficientes yse pone la misma parte literal.
130 BLOQUE II: ÁLGEBRA
2. Operaciones con monomios
Aplicando las propiedades de las potencias, calcula: a) an · ap b) an : ap c) (an)p
P I E N S A Y C A L C U L A
6
+ 2
– 5
3
Propiedades de las potencias
xn · xp = xn + p
= xn – p
(xn)p = xn · p
(x · y)n = xn · yn
( )n= xn
ynxy
xn
xp
Evitar errores
= 4 es un monomio.
= es un monomio.x3
24x5
8x2
12x2
3x2
Ejemplo
(5x3)2 = 25x6
· + : 32
74
52
32
Carné calculista
2.5. Producto de un polinomio por un monomio
EjemploElimina los paréntesis y reduce la siguiente expresión:
5x – 3(8x2 – 4x – 7) – 9x – 2 =
= 5x – 24x2 + 12x + 21 – 9x – 2 =
= – 24x2 + 8x + 19
2.6. Extracción de factores comunes
Ejemploa) 5x – 5y = 5(x – y) b) 8x2 – 6x = 2x(4x – 3)
c) 15x2 + 3x = 3x(5x + 1) d) 2x2y + 6xy2 = 2xy(x + 3y)
e) x3 + 2x2 + x = x(x2 + 2x + 1) f ) 6x5 – 2x3 = 2x3(3x2 – 1)
Consiste en aplicar la propiedad distributiva en su forma inversa:
pa + pb + pc + … = p(a + b + c + …)
El monomio que se extrae tiene como coeficiente el M.C.D. de los coe-ficientes, y como parte literal, las variables comunes elevadas al menorexponente.
Consiste en aplicar la propiedad distributiva en su forma directa.
(a + b + c + …)p = ap + bp + cp + …
Para multiplicar un polinomio por un monomio, se multiplica cadatérmino del polinomio por el monomio.
1317. POLINOMIOS
Realiza las siguientes operaciones de monomios:
a) 4x5 – x5 + 8x5 b) – 9x3 · x3
c) (– 3x)4 d) – 7x3 : x3
Realiza las siguientes operaciones de monomios:
a) (7x5)2
b) – 9x3 + x3 + 5x3
c) – 15x4 : (– 3x)
d) – 7x2 · (– 5x) · x2
Realiza las siguientes operaciones de monomios:
a) 12x5 : 3x2
b) 7x3 · (– 7) · x5
c) (3x3)3
d) – 7x2 + 12x2 + 6x2 – x2
Realiza las siguientes operaciones de monomios:
a) 5x5 · (– 3x) b) (– 2x3)5
c) 2x – 7x + x – 15x d) 7x3 : 2x
Multiplica los siguientes polinomios por mono-mios:
a) (x4 – 5x3 + 4x + 1) · 2x4
b) (x6 – 3x4 + 6x2 – 9) · 3x5
c) (x4 + 4x3 – 9x + 5) · (– 4x)
d) (x4 – 7x3 + 2x – 12) · (– 5x2)
Elimina los paréntesis y reduce las siguientes ex-presiones:
a) 6x – (5x2 – 3 + 4x2) – 9x – 8
b) 5x2 – 6x – 2(3x + 8x2 – 9x – 4)
c) – (5x – 7 + 2x – 4x2 + 8) + 9x2
d) 9(3x2 – 5x + 7) – 5(4x – 8x2 + 1)
Extrae todos los factores que puedas como factorcomún:
a) 8x – 12y b) 4x5 – 6x3
c) 3x4 + 15x2 – 6x d) 4x2y + 6xy2 – 2xy
14
13
12
11
10
9
8
A P L I C A L A T E O R Í A
Evitar errores
Un menos delante de un paréntesis cambia todos lossignos que hay dentro delparéntesis:
Ejemplo5x – 2(7x2 – 8 + 3x) =
= 5x – 14x2 + 16 – 6x =
= – 14x2 – x + 16
3.1. Procedimiento para sumar polinomios
EjemploSuma los polinomios:
P(x) = 2x5 – 9x3 + 7x2 + 8
Q(x) = – 3x4 + 4x3 – 3x2 + 6x – 2
2x5 – 9x3 + 7x2 + 8
– 3x4 + 4x3 – 3x2 + 6x – 2
2x5 – 3x4 – 5x3 + 4x2 + 6x + 6
Opuesto de un polinomio
EjemploHalla el opuesto de P(x) = 5x4 – 6x2 – 7x + 3
El opuesto de P(x) es – P(x) = – 5x4 + 6x2 + 7x – 3
Comprobación:5x4 – 6x2 – 7x + 3
– 5x4 + 6x2 + 7x – 3
0
3.2. Procedimiento para restar polinomios
EjemploDados:
P(x) = x4 – 6x3 + 7x – 8
Q(x) = 2x3 – 3x2 + 5x – 1
halla P(x) – Q(x)
x4 – 6x3 + 7x – 8
– 2x3 + 3x2 – 5x + 1
x4 – 8x3 + 3x2 + 2x – 7
Para restar dos polinomios, se suma al primero el opuesto del segundo.
El opuesto de un polinomio es el que se obtiene al cambiar de signotodos sus monomios. Al sumar un polinomio y su opuesto se obtiene elpolinomio nulo.
a) Se colocan los polinomios, ordenados uno debajo del otro, de maneraque coincidan los monomios semejantes.
b) Se suman los coeficientes de los monomios semejantes y se pone lamisma parte literal.
132 BLOQUE II: ÁLGEBRA
3. Operaciones con polinomios
Halla el polinomio que calcula el área del siguiente rectángulo:
P I E N S A Y C A L C U L A
x + 5
x
62,4 : 9,7
Carné calculista
3.3. Procedimiento para multiplicar polinomios
Se debe comenzar a multiplicar por la izquierda. Así, lo primero que se mul-tiplica son los signos; luego, los coeficientes; y, por último, se suman losexponentes. De este modo es menos probable equivocarse.
EjemploMultiplica los polinomios:
P(x) = 2x3 – 3x2 + 5
Q(x) = x2 – 4x + 6
2x3 – 3x2 + 5
x2 – 4x + 6
2x5 – 3x4 + 5x2
– 8x4 + 12x3 – 20x
12x3 – 18x2 + 30
2x5 – 11x4 + 24x3 – 13x2 – 20x + 30
Observando el ejemplo, se puede afirmar que el grado del producto de dospolinomios es la suma de los grados de los factores.
gr(P(x) · Q(x)) = gr(P(x)) + gr(Q(x))
a) Se colocan los polinomios, ordenados uno debajo del otro, de maneraque coincidan los monomios semejantes. Si falta un grado, se deja unhueco para que sea más fácil colocar los productos parciales.
b) Para multiplicar polinomios, se empieza por la izquierda y se multipli-ca el 1er monomio del 2º polinomio por todos los monomios del1er polinomio; los coeficientes se multiplican, y los exponentes sesuman. Si falta el término de algún grado, se deja un hueco.
c) Se continúa multiplicando los demás monomios del 2º polinomio.
d) Se suman todos los polinomios obtenidos.
1337. POLINOMIOS
Dados los siguientes polinomios:
P(x) = 5x3 – 6x + 9
Q(x) = – 7x4 + 5x3 + 6x – 12
calcula:
a) P(x) + Q(x) b) P(x) – Q(x)
Dados los siguientes polinomios:
P(x) = 3x5 – 7x4 + 9x2 – 13
Q(x) = 5x4 – 9x2 + 7x – 1
calcula:
a) P(x) + Q(x) b) P(x) – Q(x)
Dado el siguiente polinomio:
P(x) = – 8x5 + 5x4 – 9x2 + 2
a) halla su opuesto: – P(x)
b) suma P(x) con –P(x). ¿Qué polinomio se obtiene?
Multiplica los siguientes polinomios:
P(x) = x2 – 7x + 2 Q(x) = 3x + 1
halla el grado del producto.
Multiplica los siguientes polinomios:
P(x) = x4 – 5x3 – 3x + 1
Q(x) = 2x2 – x + 7
halla el grado del producto.
Multiplica los siguientes polinomios:
P(x) = x3 – 2x2 – 4 Q(x) = – 3x2 + x – 5
halla el grado del producto.
Multiplica los siguientes polinomios:
P(x) = x2 + x + 1 Q(x) = x – 1
halla el grado del producto.
21
20
19
18
17
16
15
A P L I C A L A T E O R Í A
4.1. Cuadrado de una suma
a + b x + 5a + b x + 5
a2 + ab x2 + 5xab + b2 5x + 25
a2 + 2ab + b2 x2 + 10x + 25
Ejemplo(x + 5)2 = x2 + 10x + 25
4.2. Cuadrado de una diferencia
a – b x – 3a – b x – 3
a2 – ab x2 – 3x– ab + b2 – 3x + 9
a2 – 2ab + b2 x2 – 6x + 9
Ejemplo
(x – 3)2 = x2 – 6x + 9
4.3. Suma por diferencia
a + b x + 7a – b x – 7
a2 + ab x2 + 7x– ab – b2 – 7x – 49
a2 – b2 x2 – 49
Ejemplo(x + 7)(x – 7) = x2 – 49
Una suma por una diferencia es igual al cuadrado del primero menos elcuadrado del segundo:
(a + b)(a – b) = a2 – b2
El cuadrado de una diferencia es igual al cuadrado del primero, menosel doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo:
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primero, más el dobledel primero por el segundo, más el cuadrado del segundo:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
134 BLOQUE II: ÁLGEBRA
4. Igualdades notables
Sustituye los puntos suspensivos por el signo de igualdad = o de desigualdad ≠a) (3 + 4)2 … 32 + 42 b) (3 + 4)2 … 49 c) (5 – 3)2 … 4 d) (5 – 3)2 … 52 – 32
P I E N S A Y C A L C U L A
Evitar errores
(a + b)2 ≠ a2 + b2
Ejemplo(3 + 4)2 = 72 = 49
32 + 42 = 9 + 16 = 25
a2 a · b
b2a · b
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
a
b
a b
Evitar errores
(a – b)2 ≠ a2 – b2
Ejemplo(5 – 3)2 = 22 = 4
52 – 32 = 25 – 9 = 16
(a – b)2
b2a · b
a · b
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
b
a
( – )23
54
65
Carné calculista
4.4. Descomposición factorial
Cuando la descomposición factorial es sencilla, se puede hacer mentalmente,observando si se puede extraer un factor común y aplicando las igualdadesnotables.
Ejemploa) x2 + 5x = x(x + 5) b) x2 + 8x + 16 = (x + 4)2
c) x2 – 9 = (x + 3)(x – 3) d) 25x2 – 10x + 1 = (5x – 1)2
e) x2 + x + 1/4 = (x + 1/2)2 f ) x2 – 3 = (x + )(x – )g) x3 + 2x2 + x = x(x2 + 2x + 1) = x(x + 1)2
4.5. Números poligonales
Ejemplo
Números triangulares: t(n) = +
Números cuadrangulares: c(n) = n2
4.6. Diferencia entre fórmula, ecuación e identidadUna fórmula es una expresión algebraica en la que se obtienen valorescalculando el valor numérico para valores de las variables.Una ecuación es una expresión algebraica que solo se verifica para algu-nos valores.Una identidad es una expresión algebraica que se verifica para cualquiervalor de las variables.
n2
n2
2
Los números poligonales son series de números ordenados que estánasociados a un polígono, y reciben el nombre del polígono.
√3√3
La descomposición factorial de un polinomio es su expresión comoproducto de factores irreducibles.
1357. POLINOMIOS
Calcula mentalmente:
a) (x + 1)0 b) (x – 1)0 c) (x + 1)1 d) (x – 1)1
Calcula mentalmente:
a) (x + 1)2 b) (x – 1)2 c) (x + 1)(x – 1)
Calcula mentalmente:
a) (x + 4)2 b) (x – 4)2 c) (x + 4)(x – 4)
d) (x + 5)2 e) (x – 5)2 f) (x + )(x – )
Calcula:
a) (2x + 3)2 b) (2x – 3)2 c) (2x + 3)(2x – 3)
Halla mentalmente la descomposición factorial de:
a) x2 + 3x b) x2 – 3x c) x2 – 49
d) x2 + 4x + 4 e) x2 – 6x + 9
Calcula:
a) (3x + )2 b) (3x – )2
c) (3x + )(3x – )Halla mentalmente la descomposición factorial de:
a) 3x4 + 6x2 b) 6x3 – 8x c) x2 – 5
d) x2 – 2x + 1 e) x3 + 2x2 + x
Halla los cinco primeros números cuadrangularessabiendo que vienen dados por la fórmula:
C(n) = n2
Escribe una fórmula, una ecuación y una identidad.30
29
28
12
12
12
12
27
26
25
√5√5
24
23
22
A P L I C A L A T E O R Í A
Simplificación defracciones algebraicas
= =
= xx + 2
x(x – 2)(x + 2)(x – 2)
x2 – 2xx2 – 4
Ejemplo
Fórmula:
c(n) = n2
Ecuación:
2x + 3 = 9
Identidad:
(x + 1)2 = x2 + 2x + 1
Números triangulares
t1 = 1 t2 = 3 t3 = 6
Númeroscuadrangulares
c1 = 1 c2 = 4 c3 = 9
136 BLOQUE II: ÁLGEBRA
1. Lenguaje algebraico
Escribe en lenguaje algebraico las siguientesexpresiones coloquiales:
a) El triple de un número x disminuido en 7unidades.
b) Tenía x euros y me han dado 15 €. ¿Cuántotengo?
c) El lado de un cuadrado mide x metros.¿Cuánto mide su perímetro?
d) Los lados de un rectángulo miden x metrose y metros. ¿Cuánto mide su área?
En la expresión algebraica:
7x2y – 9xy2 + 5xy – 3x + 1
halla los términos, el término independiente, lasvariables y los coeficientes.
Completa la siguiente tabla:
Halla cuáles de los siguientes monomios sonsemejantes:
7x, – 5x3, – x, 5x3, 4x2, x, 9x2
Completa la siguiente tabla:
Halla el valor numérico del siguiente polinomio:
P(x) = – x3 + 5x – 1
para los valores que se indican:
a) x = 0 b) x = 1 c) x = 3 d) x = – 3
Halla el valor numérico de los siguientes poli-nomios para los valores que se indican:
a) P(x) = – x3 + 5x – 4 para x = – 2
b) P(x) = x4 + 7x – 12 para x = 3
c) P(x) = 2x5 – 8x3 + 5x + 3 para x = 1
d) P(x) = – 3x5 + 7x3 – 8x + 5 para x = – 1
2. Operaciones con monomios
Realiza las siguientes operaciones de mono-mios:
a) 7x5 – 4x5 + 9x5 b) – 5x2 · x
c) (– 2x5)3 d) – 6x3 : (– 3x)
Realiza las siguientes operaciones de mono-mios:
a) (3x4)3 b) – 5x3 + 2x3 + 4x3
c) – 12x2 : (– 4x) d) – 6x2 · (– 9x) · x3
Realiza las siguientes operaciones de mono-mios:
a) 56x5 : 8x b) 6x3 · (– 9x2)c) – 3x2 + 15x2 + 4x2 d) (2x5)2
Realiza las siguientes operaciones de mono-mios:
a) 6x4 · (– 9x3) b) (– 3x3)3
c) 5x – 9x + 7x – x d) 6x5 : 4x
Multiplica los siguientes polinomios por mono-mios:
a) (x5 – 7x3 + 6x – 1) · 8x2
b) (2x4 – 8x2 + 7x – 9) · 7x3
c) (6x4 + 5x3 – 8x + 7) · (– 9x)
d) (x4 – 9x3 + 7x – 6) · (– 6x4)
Reduce las siguientes expresiones:
a) 8x – 12x2 + 1 + 7x2 – 3x – 5
b) x2 – 6x – 5x2 + 7x2 – 5x – 9
c) – 7x – 8 + 9x – 11x2 + 6 + 8x2
d) 7x2 – 9x + 6 – 7x – 8x2 + 12
Elimina los paréntesis y reduce las siguientesexpresiones:
a) 7x – (8x2 + 9 + 5x2) – 7x – 2
b) 2x2 – 5x – 3 (2x2 + 4x2 – 5x – 6)c) – (3x – 5 + 9x – 7x2 + 4) + 10x2
d) 7 (x2 – 6x + 9) – 7 (3x – 7x2 + 9)
Extrae todos los factores que puedas comofactor común:
a) 6x – 8y b) 8x3 – 12x2
c) 4x4 + 10x3 – 6x2 d) 9x2y + 6xy2 – 3xy
45
44
43
42
41
40
39
38
37
36
35
34
33
32
31
Ejercicios y problemas
Monomio
9x3
– 7x2yz5
8x– 3
Coeficiente Grado
Términos
P(x) = – 9x4 + 5x2 – 17
Grado Coeficientes Coeficienteprincipal
Término independiente
1377. POLINOMIOS
3. Operaciones con polinomios
Dados los siguientes polinomios:
P(x) = 7x4 – 5x2 + 2
Q(x) = – 5x4 + 9x2 + 4x – 10
calcula:
a) P(x) + Q(x) b) P(x) – Q(x)
Dados los siguientes polinomios:
P(x) = – 2x4 + 5x3 + 12x2 – 9
Q(x) = 4x4 – 8x2 – 5x – 3
calcula:
a) P(x) + Q(x) b) P(x) – Q(x)
Dado el siguiente polinomio:
P(x) = 5x4 + 7x3 – 2x + 9
a) halla su opuesto: – P(x)
b) suma P(x) con – P(x). ¿Qué polinomio seobtiene?
Multiplica los siguientes polinomios:
P(x) = x2 + 4x – 3 Q(x) = 5x + 2
Halla el grado del producto.
Multiplica los siguientes polinomios:
P(x) = – 2x4 + 3x2 – 5x + 7
Q(x) = 4x2 – 2x + 6
Halla el grado del producto.
Multiplica los siguientes polinomios:
P(x) = 5x3 – 3x – 1 Q(x) = – x2 + 2x – 4
Halla el grado del producto.
Multiplica los siguientes polinomios:
P(x) = x3 – 2x2 + 4x – 8 Q(x) = x + 2
Halla el grado del producto.
Multiplica los siguientes polinomios:
P(x) = 2x3 + 5x2 – 7 Q(x) = 3x2 – 4x + 6
Halla el grado del producto.
Multiplica los siguientes polinomios:
P(x) = 7x3 – 4x – 1 Q(x) = – 2x2 + 5x – 3
Halla el grado del producto.
Multiplica los siguientes polinomios:
P(x) = x3 + 2x2 + 4x + 8
Q(x) = x – 2
Halla el grado del producto.
4. Igualdades notables
Calcula mentalmente:
a) (x + 2)0 b) (x – 2)0 c) (x + 2)1 d) (x – 2)1
Calcula mentalmente:
a) (x + 2)2 b) (x – 2)2 c) (x + 2)(x – 2)
Calcula mentalmente:
a) (x + 3)2 b) (x – 3)2 c) (x + )(x – )
Calcula mentalmente:
a) (x + 6)2 b) (x – 6)2 c) (x + 6)(x – 6)
Calcula:
a) (3x + 5)2 b) (3x – 5)2 c) (3x + 5)(3x – 5)
Calcula:
a) (2x + )2 b) (2x – )2
c) (2x + )(2x – )Sustituye los puntos suspensivos por uno delos signos = o ≠ :
a) (x – 3)2 … x2 – 6x + 9
b) (x + 2)2 … x2 + 4
c) (x – 3)2 … x2 – 9
d) (x + 2)2 … x2 + 4x + 4
Halla mentalmente la descomposición factorialde los siguientes polinomios:
a) x2 + 5x b) x2 – 5x c) x2 – 25
d) x2 + 2x + 1 e) x2 – 10x + 25
Halla mentalmente la descomposición factorialde los siguientes polinomios:
a) 6x3 + 9x2 b) 8x4 – 12x2 c) x2 – 3
d) x2 – 8x + 16 e) x3 – 2x2 + x
Halla los cinco primeros números triangulares,sabiendo que vienen dados por la fórmula:
t(n) = +
Identifica cada una de las siguientes igualdadescomo fórmula, identidad o ecuación:
a) 3x = 5 + 2x b) A(R) = πR2
c) (x + 2)(x – 2) = x2 – 4
66
n2
n2
2
65
64
63
62
12
12
12
12
61
60
59
√3√3
58
57
56
55
54
53
52
51
50
49
48
47
46
Ejercicios y problemas
138 BLOQUE II: ÁLGEBRA
Escribe en lenguaje algebraico las siguientesexpresiones coloquiales:
a) El año pasado me daban x € de paga y esteaño me dan un euro más. ¿Cuánto recibo depaga este año?
b) Ayer anduve x y hoy he andado el doble.¿Cuánto he recorrido hoy?
c) Un perro come x y un gato come la mitad.¿Cuánto come el gato?
d) La altura de un rectángulo mide x y la basemide el triple de la altura. ¿Cuánto mide labase?
Escribe la expresión algebraica de:
a) El siguiente de un número.
b) El anterior de un número.
Escribe la expresión algebraica de:
a) Un número par.
b) Un número impar.
c) Tres números pares consecutivos.
Escribe la expresión algebraica de:
a) Un cuadrado perfecto.
b) Un cubo perfecto.
Halla mentalmente el valor numérico de lossiguientes polinomios para x = 0:
a) x2 – 3x – 5
b) 7x3 + 4x2 – 6x + 1
c) x4 – 7x2 + x – 7
d) 2x5 + 9x3 – 12x + 23
Observando los resultados obtenidos, ¿cómoenunciarías una ley para hallar el valor numéri-co de un polinomio para x = 0?
Halla mentalmente el valor numérico de lossiguientes polinomios para x = 1:
a) 2x2 + 5x – 3
b) x3 – 3x2 + 5x + 2
c) 3x4 + 9x2 – 7x – 5
d) x5 – 2x3 + 13x + 8
Observando los resultados obtenidos, ¿cómoenunciarías una ley para hallar el valor numéri-co de un polinomio para x = 1?
Halla mentalmente los valores que anulan lossiguientes binomios:
a) x – 5 b) x + 3
c) 2x – 6 d) 3x + 15
Halla el valor numérico de los siguientes poli-nomios para los valores que se indican:
a) x2 + 6x – 1 para x = 2
b) 3x3 – 5x2 + 3x + 4 para x = – 2
c) x4 + 2x2 – 5x – 7 para x = 3
d) 2x5 – 5x3 + x + 1 para x = – 3
Dados el triángulo rectángulo y el cuadradosiguientes, halla sus áreas en función de x
Realiza las siguientes operaciones de mono-mios:
a) (5x3)2 b) 7x3 – x3 + 2x3
c) 12x3 : (– 3x2) d) x3 · (– 3x) · x2
Multiplica los siguientes polinomios por mono-mios:
a) (x3 – 3x2 + 6x + 2) · 3x
b) (x5 + 5x3 + 7x – 1) · 2x2
c) (x4 – 3x3 – 6x + 7) · (– 5x3)d) (– 3x4 – 9x3 + 7x – 6) · (– 8x4)
Extrae todos los factores que puedas comofactor común:
a) 8x2 – 12x b) 8x4 + 6x2
c) 2x4 + 4x3 – 6x2 d) 6x2y + 4xy2 – 8xy
Dados los siguientes polinomios:
P(x) = 7x3 – 5x + 1
Q(x) = – 4x4 – 9x2 + 4x – 7
R(x) = 5x4 – 7x3 + 5x + 6
calcula:
a) P(x) + Q(x) + R(x) b) P(x) + Q(x) – R(x)
c) P(x) – Q(x) – R(x)
79
78
77
76
2x +
2
2x
x +
5
75
74
73
72
71
70
69
68
67
Ejercicios y problemasPara ampliar
1397. POLINOMIOS
Dados el rombo y el romboide siguientes, hallasus áreas en función de x
Dado el ortoedro o paralelepípedo de la si-guiente figura, halla el volumen en función de x
x
x + 3x – 3
94
2x + 6
3x – 5
x2x – 6
93
Ejercicios y problemas
Problemas
Dados los siguientes polinomios:P(x) = 2x3 – 7x + 5 Q(x) = 3x2 + 6x – 1calcula: P(x) · Q(x)
Dados los siguientes polinomios:P(x) = x4 – 8x2 + 6 Q(x) = 5x3 + 7x – 9calcula: P(x) · Q(x)
Sustituye los puntos suspensivos por uno delos signos = o ≠ :a) (x + 5)2 … x2 + 25b) (x + 5)2 … x2 + 10x + 25c) (x – 4)2 … x2 – 8x + 16d) (x – 4)2 … x2 – 16
Calcula:a) (x + 1/3)2 b) (x – 1/2)2c) (x + )(x – )Calcula:a) (x + 3/2)2 b) (x – 2/3)2c) (x + )(x – )Halla mentalmente la descomposición factorialde los siguientes polinomios:a) 12x4 + 18x3 b) 18x5 – 24x4 c) x2 – 7d) x2 – x + 1/4 e) x3 + 2x2 + x
Halla mentalmente la descomposición factorialde los siguientes polinomios:a) 15x6 + 20x3 b) 20x6 – 30x4 c) x2 – 1/4d) x3 + 6x2 + 9x e) x5 – 10x4 + 25x3
Identifica cada una de las siguientes igualdadescomo fórmula, identidad o ecuación:a) 5 + 3x – 4 = 5x + 1 – 2x b) (x + 1/2)(x – 1/2) = x2 – 1/4c) V(x, y, z) = x y z
Las siguientes fórmulas corresponden a Geo-metría. Identifica cada una de ellas:
a) P(a) = 4a b) A(a) = a2
c) L(R) = 2πR d) A(R) = πR2
Calculadora
Dada la fórmula de Herón para el cálculo delárea de un triángulo:
A(a, b, c) =
p = semiperímetro
halla el área de un triángulo cuyos lados midena = 9 m, b = 8 m y c = 5 m. Redondea el resul-tado a dos decimales.
Dada la fórmula del área del rombo:
A(D, d) =
halla el área de uno cuyas diagonales midenD = 7,5 m y d = 3,8 m. Redondea el resultado ados decimales.
Dada la fórmula de la longitud del arco:
LArco = · n°
halla la longitud de uno que tiene 3,5 m deradio y un ángulo de 135°.Toma como valorde π el que da la calculadora y redondea elresultado a dos decimales.
Dada la fórmula del volumen de la esfera:
V(R) = πR3
halla el volumen de una que tiene 6,5 m deradio.Toma como valor de π el que da la calcu-ladora y redondea el resultado a dos decimales.
43
92
2πR360°
91
D · d2
90
√p(p – a)(p – b)(p – c)
89
88
87
86
85
√5√5
84
√2√2
83
82
81
80
140 BLOQUE II: ÁLGEBRA
El espacio que recorre un coche cuando arran-ca viene dado por la fórmula:
e = (7t – t2), donde e se mide en metros, y t,
en segundos.
Calcula el espacio que recorre en los 3 prime-ros segundos.
Dada la fórmula del área del triángulo:
A(b, a) =
halla el área de uno de 8 m de base y 9 m dealtura.
Dada la fórmula del área del círculo:A(R) = πR2
halla el área de uno que tiene 5 m de radio.Toma como valor de π = 3,14, y redondea elresultado a dos decimales.
Dada la fórmula del área del paralelepípedo uortoedro:
A(a, b, c) = 2(ab + ac + bc)halla el área de uno en el que a = 12 m, b = 7 my c = 3 m
Dada la fórmula del volumen del cubo:V(a) = a3
calcula el volumen de uno que tiene 5 m dearista.
Dada la fórmula del área de la esfera:A(R) = 4πR2
halla el área de una que tiene 8 m de radio.Toma como valor de π = 3,14 y redondea elresultado a dos decimales.
Dibuja y halla los cinco primeros númerostriangulares.
Dibuja y halla los cinco primeros números cua-drangulares.
Prueba que la suma de dos números imparesconsecutivos es siempre múltiplo de 4
El perímetro de un rectángulo mide 24 ma) ¿Cuánto mide la base más la altura?b) Si la base mide x, ¿cuánto mide la altura?c) Calcula el polinomio que halla el área del
rectángulo en función de x
d) Calcula el área del rectángulo cuando la basemide 5 m
El primer polinomio de los números primos deEuler es: P(x) = x2 + x + 41
Para x = 0, 1, 2, …, 39, P(x) es un número primo.
Halla los 5 primeros números primos que seobtienen aplicando dicho polinomio.
Para profundizar
Dados el trapecio y el círculo siguientes, hallasus áreas en función de x
Dibuja y halla los cinco primeros números pen-tagonales.
Dibuja y halla los cinco primeros númeroshexagonales.
Dado un número x:
a) Halla el siguiente.
b) Eleva este siguiente al cuadrado y desarrollael cuadrado.
c) Observa el resultado y escribe una ley quepermita calcular, a partir del cuadrado de unnúmero, el cuadrado del siguiente.
d) Pon un ejemplo.
Simplifica las siguientes fracciones algebraicas:
a) b)
Simplifica las siguientes fracciones algebraicas:
a) b)
El segundo polinomio de los números primosde Euler es:
P(x) = x2 – 79x + 1601
Para x = 0, 1, 2, …, 79, P(x) es un número primo.
Halla los 2 últimos números primos que seobtienen aplicando dicho polinomio.
112
x2 – 25x2 + 10x + 25
x2 – 2xx2 – 4
111
x2 + 2x + 1x2 – 1
x2 + 3xx2 + 6x + 9
110
109
108
107
x + 5
x – 5
xx – 3
106
105
104
103
102
101
100
99
98
97
b · a2
96
14
95
Ejercicios y problemas
1417. POLINOMIOS
Longitudes, áreas y volúmenesEn el cálculo de longitudes aparecen siempre variables lineales; en el de áreas, variables cuadradas; y en el devolúmenes, variables cúbicas, porque se miden en unidades lineales, cuadradas y cúbicas, respectivamente.
Halla la fórmula del perímetro de un cuadrado de lado x. Aplica la fórmula al caso en que x = 5 m
Halla la fórmula de la longitud de una circunferencia de radio x. Aplica la fórmula al caso en quex = 5 m. Utiliza como valor de π el que trae la calculadora, y redondea el resultado a dos decimales.
Halla la fórmula del área de un cuadrado de lado x. Aplica la fórmula al caso en que x = 6 m
Halla la fórmula del área de un círculo de radio x. Aplica la fórmula al caso en que x = 7 m. Utilizacomo valor de π el que trae la calculadora, y redondea el resultado a dos decimales.
Halla la fórmula del área de un cubo de arista x. Aplica la fórmula al caso en que x = 8 m
Halla la fórmula del área de una esfera de radio x. Aplica la fórmula al caso en que x = 9 m. Utilizacomo valor de π el que trae la calculadora, y redondea el resultado a dos decimales.
Halla la fórmula del volumen de un cubo de arista x. Aplica la fórmula al caso en que x = 10 m
Halla la fórmula del volumen de una esfera de radio x. Aplica la fórmula al caso en que x = 11 m.Utiliza como valor de π el que trae la calculadora, y redondea el resultado a dos decimales.
120
119
118
117
116
115
114
113
Aplica tus competencias
Define qué es el valor numérico de un polinomio. Pon un ejemplo.
Escribe en lenguaje algebraico las siguientes expresiones coloquiales:
a) El triple de un número x disminuido en 7 unidades.
b) Dos números impares consecutivos.
Realiza las siguientes operaciones de monomios:
a) 4x5 · (– 8x2) b) (– 5x2)3 c) x2 – 7x2 + 5x2 – 3x2 d) 12x5 : 18x3
Dados los polinomios: P(x) = 2x5 – 8x4 + 7x2 – 3; Q(x) = 6x4 – 5x2 + 9x – 4
calcula: a) P(x) + Q(x) b) P(x) – Q(x)
Multiplica los siguientes polinomios:
P(x) = 3x3 – 7x – 6; Q(x) = 5x2 – 9x + 1. Halla el grado del producto.
Calcula:
a) (2x + 1/2)2 b) (2x + 3)(2x – 3) c) (x – 5)2
El espacio que recorre un coche cuando arranca viene dado por la fórmula:
e = (7t – t2), donde e se mide en metros, y t, en segundos.
Calcula el espacio que recorre en los 3 primeros segundos.
Halla la descomposición factorial de los siguientes polinomios:
a) 6x3 + 9x2 b) x2 – 49 c) x2 + 10x + 25 d) x2 – 8x + 16
8
14
7
6
5
4
3
2
1
Comprueba lo que sabes
142 BLOQUE II: ÁLGEBRA
Calcula el valor numérico del polinomio:
P(x) = x3 + 5x2 – 7x – 4
para x = 2
Solución:
a) Introduce el polinomio.
b) Escribe P(2)
c) Pulsa Calcular
Dados los siguientes polinomios:
P(x) = x4 – 6x3 + 7x – 8
Q(x) = 2x3 – 3x2 + 5x – 1
calcula:
P(x) – Q(x)
Solución:
a) Introduce los polinomios.
b) Escribe P(x) – Q(x)
c) Pulsa Calcular
Multiplica los siguientes polinomios:
P(x) = 2x3 – 3x2 + 5
Q(x) = x2 – 4x + 6
Solución:
Desarrolla:
(x + 5)2
Solución:
a) Escribe
(x + 5)2
b) Pulsa Calcular
Factoriza:
x3 + 2x2 + x
Solución:
a) Escribe
factorizar(x3 + 2x2 + x)
b) Pulsa Calcular
Plantea el siguiente problema y resuélvelo con ayudade Wiris:
Halla el décimo número triangular, sabiendoque la fórmula de los números triangulares es:
t(n) = +
Solución:
Consiste en hallar el valor numérico paran = 10
Internet. Abre: www.editorial-bruno.es yelige Matemáticas, curso y tema.
127
n2
n2
2
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125
124
123
122
121
Paso a paso
7. POLINOMIOS
1437. POLINOMIOS
Linux/Windows
Halla el valor numérico de los siguientes poli-nomios para los valores que se indican:
a) P(x) = x2 – 7x – 9 para x = – 2
b) P(x) = x3 + 6x2 – 15 para x = 3
Dados los siguientes polinomios:
P(x) = 9x4 – 6x2 + 3
Q(x) = – 7x4 + 8x2 + x – 19
calcula:
a) P(x) + Q(x) b) P(x) – Q(x)
Multiplica los siguientes polinomios:
P(x) = 5x3 – 7x2 – 9
Q(x) = – 6x4 + 4x2 – 3x + 8
Multiplica los siguientes polinomios:
P(x) = x3 + 2x2 + 4x + 8
Q(x) = x – 2
Calcula:
a) (5x + 7/2)2
b) (5x – 7/2)2
c) (5x + 7/2)(5x – 7/2)
Halla la descomposición factorial de:
a) x2 – 5x b) 4x2 – 49
c) x3 – 36x d) x3 – 2x2 + x
Plantea los siguientes problemas y resuélvelos conayuda de Wiris:
Dada la fórmula del volumen de la esfera:
V = πR3
halla el volumen de una con R = 7,25 m
El primer polinomio de los números primosde Euler es:
P(x) = x2 + x + 41
Para x = 0, 1, 2, …, 39, P(x) es un númeroprimo.
Halla los 3 últimos números primos que seobtienen aplicando dicho polinomio.
Dada la fórmula del área del triángulo:
A =
halla el área de uno que tiene 8,75 m de basey 15,42 m de altura.
b · a2
136
135
43
134
133
132
131
130
129
128
Así funciona
Calcular el valor numérico de un polinomio P(x) para x = aSe escribe el polinomio P(x) y en la línea siguiente se escribe P(a)
Sumar, restar y multiplicar polinomiosSe introducen los polinomios, P(x) y Q(x), uno en cada línea y, en la línea siguiente, se escribe la opera-ción indicada:
P(x) + Q(x)
P(x) – Q(x)
P(x) · Q(x)
Potencias de polinomiosSe introducen las potencias y se hace clic en Calcular
Factorizar un polinomioSe utiliza la función:
factorizar(polinomio)
Practica
144 BLOQUE II: ÁLGEBRA
Calcula el valor numérico del polinomio:
P(x) = x3 + 5x2 – 7x – 4
para x = 2
Solución:En la Entrada de Expresiones escribe:
x^3 + 5x^2 – 7x – 4
Elige Introducir Expresión
Elige Sustituir variables, escribe enNuevo Valor: 2 y pulsa el botón Simplificar
10
Dados los siguientes polinomios:
P(x) = x4 – 6x3 + 7x – 8
Q(x) = 2x3 – 3x2 + 5x – 1
calcula:
P(x) – Q(x)
Solución:En la Entrada de Expresiones escribe:
x^4 – 6x^3 + 7x – 8 – (2x^3 – 3x^2 + 5x – 1)
Elige Introducir y Simplificarx4 – 8x3 + 3x2 + 2x – 7
Multiplica los siguientes polinomios:
P(x) = 2x3 – 3x2 + 5
Q(x) = x2 – 4x + 6
Solución: En la Entrada de Expresiones escribe:
(2x^3 – 3x^2 + 5)(x^2 – 4x + 6)
Elige Introducir ExpresiónEn la barra de menús elige:
Simplificar/Expandir…/Expandir2x5 – 11x4 + 24x3 – 13x2 – 20x + 30
Desarrolla:
(x + 5)2
Solución: En la Entrada de Expresiones escribe:
(x + 5)^2
Elige Introducir ExpresiónEn la barra de menús elige:
Simplificar/Expandir…/Expandirx2 + 10x + 25
Factoriza:
x3 + 2x2 + x
Solución: En la Entrada de Expresiones escribe:
x^3 + 2x^2 + x
Elige Introducir ExpresiónEn la barra de menús elige:
Simplificar/Factorizar…/Factorizarx(x + 1)2
Plantea el siguiente problema y resuélvelo con ayudade DERIVE:
Halla el décimo número triangular, sabiendoque la fórmula de los números triangulares es:
t(n) = +
Solución: Planteamiento:Consiste en hallar el valor numérico paran = 10
En la Entrada de Expresiones escribe:
n^2/2 + n/2
Elige Introducir Expresión
Elige Sustituir variables, escribe enNuevo Valor: 10 y pulsa el botón Simpli-ficar
55
Internet. Abre: www.editorial-bruno.es yelige Matemáticas, curso y tema.
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n2
n2
2
126
125
124
123
122
121
Paso a paso
Ajusta la configuración: en la barra de menú elige Opciones/Ajustes de Modo…/Simplificación/Restablecer
7. POLINOMIOS
1457. POLINOMIOS
Halla el valor numérico de los siguientes poli-nomios para los valores que se indican:
a) P(x) = x2 – 7x – 9 para x = – 2
b) P(x) = x3 + 6x2 – 15 para x = 3
Dados los siguientes polinomios:
P(x) = 9x4 – 6x2 + 3
Q(x) = – 7x4 + 8x2 + x – 19
calcula:
a) P(x) + Q(x) b) P(x) – Q(x)
Multiplica los siguientes polinomios:
P(x) = 5x3 – 7x2 – 9
Q(x) = – 6x4 + 4x2 – 3x + 8
Multiplica los siguientes polinomios:
P(x) = x3 + 2x2 + 4x + 8
Q(x) = x – 2
Calcula:
a) (5x + 7/2)2
b) (5x – 7/2)2
c) (5x + 7/2)(5x – 7/2)
Halla la descomposición factorial de:
a) x2 – 5x b) 4x2 – 49
c) x3 – 36x d) x3 – 2x2 + x
Plantea los siguientes problemas y resuélvelos conayuda de DERIVE:
Dada la fórmula del volumen de la esfera:
V = πR3
halla el volumen de una con R = 7,25 m
El primer polinomio de los números primosde Euler es:
P(x) = x2 + x + 41
Para x = 0, 1, 2, …, 39, P(x) es un númeroprimo.
Halla los 3 últimos números primos que seobtienen aplicando dicho polinomio.
Dada la fórmula del área del triángulo:
A =
halla el área de uno que tiene 8,75 m de basey 15,42 m de altura.
b · a2
136
135
43
134
133
132
131
130
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128
Así funciona
Valor numérico de un polinomioSe selecciona el polinomio en la ventana Álgebra y en la barra de herramientas se elige Sustituir variables.En la ventana Sustitución de variables se escribe en Nuevo Valor: el valor y se pulsa el botón Simplificar
Suma y resta de polinomiosSe introducen los polinomios en la barra de Entrada de Expresiones con la operación indicada, y se eli-ge Introducir y Simplificar
Multiplicación y potencia de polinomiosSe introducen los polinomios en la barra de Entrada de Expresiones con la operación indicada.
Se elige en la barra de menús:
Simplificar/Expandir…/Expandir
Factorización de polinomiosSe introduce el polinomio en la barra de Entrada de Expresiones con la operación indicada.
Se elige en la barra de menús:
Simplificar/Factorizar…/Factorizar
Practica
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