7/17/2019 08-Programa de Produccion
http://slidepdf.com/reader/full/08-programa-de-produccion 1/103
Programa de Producción
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La Secuencia de Extracción
• Define donde comienzala mina y comoprogresa en el tiempo.
• Generalmente sediseña pensando en ladistribución de ley no lageomec!nica ni lageot"cnica.
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#$%
Definición de Secuencia
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Plan &inero
• Define el '(u") 'cu!ndo) y 'cómo) seextraer!n los recursos en cada uno de losper*odos del negocio minero Programade Producción
• Se cuantifican los recursos +umanos ymateriales a utilizar
• ,epresenta el plan de negocios de lacompañ*a
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Discretización de la En-ol-enteEconómica
• Gruesa /aserones /ruzado de producción en 0undimiento
por Paneles 1ases de ra2o
• 1ina 3nillos de perforación Puntos de extracción
4ntersección fase banco 5o banco6
• 3 mayor discretización mayor ser! el tiempo en
resol-er la secuencia operati-a a utilizar • Debe ser elegida en función de la selecti-idad
del m"todo de explotación
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Plan &inero
• Programa de preparación
• Programa de producción
• 1lu2o de ,ecursos E(uipos. Ser-icios. Personal.
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Programa de Producción
• 7b2eti-o8 &ax. 93:. &ax. -ida mina.
&ax. fino. &in /osto &in Des-iación
;.
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Programa de Producción ,a2o
• &aximizar el 93: en-iando a planta las leyes altas primero pol*ticade leyes de corte
• Pro-eer un balance en el tiempo de los productos cobre fierro etc.
• Pro-eer un balance en el mo-imiento de est"ril y mineral en el
tiempo y (ue sea acorde a las flotas de e(uipo• Definir las fases de modo de utilizar al m!ximo la infraestructura
minera definida
• Definir el anc+o de explotación lo suficientemente amplio paracumplir con la meta de producción y los e(uipos (ue la sostienen
• 4dentificar las aperturas de banco en el plan de producción de modode cuantificar confiablemente la meta de producción
• &ane2o de pilas y ra2os m<ltiples de modo de maximizar lautilización de la en-ol-ente económica.
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Programas de Producción =tilizandoProgramación &atem!tica
• 1unción ob2eti-o Par!metros económicos Par!metros no deseados
9ariables reales como tonela2e 9ariables enteras acciones cuando abrir el caseróncuando cerrarlo
• ,estricciones
&"todo de explotación secuencia Producción por unidades mineras /ontaminantes otros
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,estricciones de extracción
9el. Desarrollo.
9ariables producti-as del m"todo deexplotación.
Secuencia. >onela2e procesamiento.
/ontaminantes.
/ostos. ;
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Diagrama conceptual de laprogramación de la producción
UBM 1
UBM 2
UBM n
?
@AA
#AAA
#@AA
$AAA
$@AA
%AAA
%@AA
A .
#
A . $
A .
%
A . B
A .
@
A . C
A .
D
A . E
A .
F #
# .
#
# . $
# .
%
# . B
Lc
T o n e l a j e ( m t )
A.AAA.$A
A.BA
A.CA
A.A
#.AA
#.$A#.BA
#.CA#.A
L e y M e d i a
3u5ppm6
/u
?
@AA
#AAA
#@AA
$AAA
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A . #
A .
$
A . %
A .
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# . #
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# .
B
Lc
T o n e l a j e ( m t )
A.AAA.$A
A.BA
A.CA
A.A
#.AA
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#.CA#.A
L e y M e d i a
3u5ppm6
/u
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@AA
#AAA
#@AA
$AAA
$@AA
%AAA
%@AA
A .
#
A . $
A .
%
A . B
A .
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A . C
A .
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F #
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#
# . $
# .
%
# . B
Lc
T o n e l a j e ( m t )
A.AAA.$A
A.BAA.CA
A.A#.AA
#.$A#.BA
#.CA
#.A
L e y M e d i a
3u5ppm6
/u
Recursos
T1, l1
T2, l2
Tn, ln
Recursos
EconómicosSecuencia
1
2
n
Método de
Expl.
Rajo
BC
CR
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Diagrama conceptual de laprogramación de la producción
UBM 1
UBM 2
UBM n
!1 !2 !T
"orcentajes de extracción de
Cada UBM en di#erentes
per$odos de tiempo
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Programa de Producción de un4n-entario de ,ecursos
( )cl v 9alorización del in-entario de recursos
( )
∑
=
N
t
cc
t
t l ut l ul vq MAX
c 1%,&
%,&1unción 7b2eti-o
( )t l u c , Proporción del in-entario de recursos(ue es extra*do en periodo t
q 1actor de actualización anual
1%,&' ≤≤ t l u c
( ) ( ) N t T t l ul v t
l
cc
T
c
..1, =∀=∑
,estricciones
1%,&1
≤∑=
N
t
c t l u
Proporción
/onser-ación de masa
>onela2e meta
( ) ( ) N t t Lmt l ul vcl
cc
lm ..1%&, =∀≥∑ ,estricción de Leyes
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E2emplo de Programación de4n-entario de ,ecursos
/ #$/& %.@/P B.@,e- 1actor #a A.#
Lc > 5&t6 >i /uHi - 5&I6
A.# %%$A $% A.#%@ 5#$.A6 A.$ %$F $C@ A.$FA 5%F.%6 A.% %A%$ #$#C A.%BC 5$#@$.C6
A.B ##C CB@ A.BB@ #.@ A.@ ### %$ A.@BC CFC.B A.C F $C$ A.CB F@.% A. @$ ## A.BC F$C.A A. %@C #AF A.BC FA. A.F $B B A.FB@ CC.B
# #% @A #.AB @BB.@ #.# #$$ %@ #.#BC BB.F #.$ $C #.$B %B.C #.% C# #F #.%BF %A.$ #.B B$ B$ #.CCB F$B.$
Lc - 5&I6 3# 3$ 3% 3B 3@ 3C 3 3 3F 3#A
A.# 5#$.A6 A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.AA.$ 5%F.%6 A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.AA.% 5$#@$.C6 A.# A.# A.# A.# A.# A.# A.# A.# A.# A.#A.B #.@ A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.AA.@ CFC.B A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.AA.C F@.% A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.AA. F$C.A A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.AA. FA. A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.AA.F CC.B A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.A
# @BB.@ A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.A#.# BB.F A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.A#.$ %B.C A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.$ A.# A.A A.#.% %A.$ A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.% A.% A.B A.A#.B F$B.$ A.$ A.$ A.$ A.$ A.$ A.$ A.A A.A A.A A.A
9aloración del 4n-entario&atriz de Decisiones
- 5&I6 3# 3$ 3% 3B 3@ 3C 3 3 3F 3#A
> #AA.A #AA.A #@A.A #@A.A #A.A #A.A #A.A #A.A #A.A #A.Alm #.$$ #.$A #.## #.AF #.A #.A@ #.A #.A #.AC #.A/ #AA #AA #@A #@A #A #A #A #A #A #A-i #BA# #%C #FF #%@ #F$% #@B #F@$ #F$C #@ #F@A
93: I#AC$
,estricciones Producti-as y ,esultado
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Programa de Producción de&<ltiples =J&s
iv 9alorización de =J& i
( )( ) ( )
∑
=
N
t
i
t
t ibt iut ibt iuvq MAX
1,%,,&
,,1unción 7b2eti-o
( )t iu , Proporción de la =J& i (ue es extra*do en periodo t
q 1actor de actualización anual
1%,&' ≤≤ t iu
( ) N t T t iuv t
i
iT ..1, =∀=∑
,estricciones
( ) ( ) 1..Mi1,,1 =∀≤∑=
t ibt iu
N
t
Proporción
/onser-ación de masa
>onela2e meta
( ) N t t Lmt iuv ilm
i
..1%&, =∀≥∑ ,estricción de Leyes
( )t ib , 9ariable o par!metros binarios (ue permitenasignar o definir secuencia
1%,&' ≤≤ t ib
( ) ( ) ..N ..M, t it ib z t ib 11,1,1 ==∀≤−− Secuencia &inera
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E2emplo Secuencia @ ,a2os
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Programar @ ,a2os
• C$ &tKa de cobre fino
• B$ &tKa de cobre de sulfuros
• $A &tKa de cobre en óxidos• /+ancado #B.$ &tKa
• &o- mina max %C &tKa
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/omponentes
=J& Pus+bac &o- >otal 7re >otal Maste >otal 1ino >otal
&# # $CBA$C% #AFBB #@B$B$ CC&# $ #@@#BF#$ @$AA C$##$ @%#%&$ # #%$BC #AF@BB CB$FB$F @A$&$ $ $@B$$% #C$AA%@ #$%%B$A$ @BF%&% # #@##@ B#A@A% #BBAAC@% $FFA&B # $BB$A@F% #$FA@@# C#%AAB# AF#
&B $ $@AFF @CB%F #C@%@BF B%FBA&B % %%@FA #B#C@F CF@C#BC CFA&B @ %$@$BB @%#@B$ $$CCCAB @A&B C #$@%%$%C @%%CF#A #FC%$C B@B$&B $#@A$@ BC@@## #B$BCB BFB&B %%%F@$$ @FA@F $BF$F% B$$&B F CB$@% #$FB$$$@ @#%B%C#$ F@B$A&B #A ##F@F%# ##AC%$ @%#@$F BBAA#&B ## %BFBA##@ F$$AF@ $@#F#@C B@#
&@ # %BA@#CCA ##$BA% $$C@C @ACB%
/ubicación de diferentes unidades b!sicas mineras de acuerdoa alg<n ni-el de discretización ad?+oc para aplicar el m"todo deexplotación
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,estricciones de Secuencia
=J& Pus+bacL N# N$ N% NB N@ NC N NE NF N#A N## N#$
&# # # # # # # # # # # # # #&# $ # # # # # # # # # # # #&$ # # # # # # # # # # # # #&$ $ A # # # # # # # # # # #&% # A A # # # # # # # # # #
&B # A A A # # # # # # # # #&B $ A A A # # # # # # # # #&B % A A A A # # # # # # # #&B @ A A A A # # # # # # # #&B C A A A A A # # # # # # #&B A A A A A # # # # # # #&B E A A A A A A A # # # # #
&B F A A A A A A A # # # # #&B #A A A A A A A A A # # # #&B ## A A A A A A A A # # # #&@ # A A A A A A A A # # # #
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&atriz de Decisiones
N# N$ N% NB N@ NC N N NF N#A N## N#$ sum pond&# A.%% A.@A A.# ? ? ? ? ? ? ? ? ? #.AA&# A.B# ? A.@F ? ? ? ? ? ? ? ? ? #.AA&$ A.A@ ? ? ? A.$C A.%@ A.%% ? A.A# ? ? ? #.AA&$ ? A.@A A.%@ ? A.AA ? ? A.AB ? ? A.## ? #.AA&% ? ? ? ? ? ? ? ? ? A.CA ? A.%$ A.F$&B ? ? ? A.B@ ? ? ? A.$ A.$ ? A.A# ? #.AA&B ? ? ? A.@$ A.B ? ? ? ? ? ? ? #.AA&B A.#B ? ? ? A.AB A.$A A.$F A.#% A.$A ? ? ? #.AA&B ? ? ? ? A.B A.A@ ? ? A.%# A.# ? ? #.AA&B ? ? ? ? ? ? A.B ? ? A.A A.$% A.$% #.AA&B ? ? ? ? ? A.@% A.A# ? ? ? ? ? A.@B&B ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?&B A.#F ? ? ? ? ? ? A.$C ? A.$# A.#C A.# #.AA&B ? ? ? ? ? ? ? ? A.#% A.$ ? A.A A.B&B ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
&@ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? A.@ A.B% #.AA
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&atriz de ,estriccionesProducti-as
N# N$ N% NB N@ NCProd 1ino BAAA C$AAA C$AAA C$AAA C$AAA C$AAA&eta 1ino BAAA C$AAA C$AAA C$AAA C$AAA C$AAAProd 1ino 7x @AAA %#$@@ $A%B %$AAA $AAAA $AAAA&eta 1ino 7x C$AAA C$AAA C$AAA %$AAA $AAAA $AAAAProd 1ino Sulf B$AAA %AB@ B#C$C %AAAA B$AAA B$AAA
&eta 1ino Sulf B$AAA B$AAA B$AAA B$AAA B$AAA B$AAA7re Sulf Prod C$AAAAA BC$A%A% CAF@A@ @$%A% @%FCA@% C$AAAAA7re Sulf &eta O C$AAAAA C$AAAAA C$AAAAA C$AAAAA C$AAAAA C$AAAAA7re Sulf &eta ?7re 7x Prod ##%CC$ FAAAAAA @F%F$# @A@##% BF#@#@ BCCAF@B7re 7x &eta O FAAAAAA FAAAAAA FAAAAAA FAAAAAA FAAAAAA FAAAAAA7re 7x &eta ?&ine Prod #@F$FCC% $@$#@B@ $%BFACB $B#C%%% %CAAAAAA %CAAAAAA
&ine Prod O %CAAAAAA %CAAAAAA %CAAAAAA %CAAAAAA %CAAAAAA %CAAAAAA&ine Prod ?
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Programa de Producción
?
@
#A
#@
$A
$@
%A
%@
BA
N# N$ N% NB N@ NC N N NF N#A N## N#$
M i l l i o n s
M
o v
i m i e n
t o M i n a
( t o n
s )
&# &$ &% &B &@
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Programa de Producción deSulfuros
?
#.A
$.A
%.A
B.A
@.A
C.A
.A
N# N$ N% NB N@ NC N NE NF N#A N## N#$
M i l l i o n s
P r o d .
S u l f . ( t o n s )
&# &$ &% &B &@
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Programa de Producción
?
@
#A
#@
$A
$@
%A
%@
BA
N# N$ N% NB N@ NC N N NF N#A N## N#$
M i l l i o n s
M
o v
i m i e n
t o M i n a
( t o n
s )
&# &$ &% &B &@ Year
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Programa de Producción
Reser(as mineras
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/ategorización de ,eser-as
• De acuerdo a su ni-el de confiabilidad en laextracción de la reser-a Ley.
1actores económico financieros. Sistema minero.
Proceso metal<rgico.
Sistema sustentable.
• Se di-iden en Probadas.
Probables.
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4n-entario de ,ecursos N,eser-as
?
$AA
BAA
CAA
EAA
#AAA
#$AA
#BAA
A . $
E
A . @
B
A . E
A
# . A
D
# . %
%
# . C
A
# . E
C
$ . #
$
$ . %
F
M i l l i o n s
Ley De Corte (%Cu)
T o n e l a j e ( t )
A.AA
A.@A
#.AA
#.@A
$.AA
$.@A
%.AA
L e y M e d i a
( % C u )
0.! C"#
#$AA &tA.@ /u
@.$ &t /u
CAA &tA.@@ /u$. &t /u
B$A &tA. /u
$.@ &t /u
$ecursos %& $eservas
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9444 Pol*tica de Leyes de /orte
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/oncepto
• /onsiste en definir un perfil de leyes decorte en el tiempo (ue permiten conducirel programa de producción al ob2eti-o
deseado.• El max 93: &in /osto etc.
• En este contexto la ley de corte no esconstante y es función del tiempo
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&etodolog*a
• Simular un programa de produccióncompleto
• Estimar el costo de oportunidad periodo a
periodo en función de los flu2os de ca2afuturos del programa de producción
• /argar el -ector de costos de oportunidad
en la estructura de costo• Simular el programa de producción con lanue-a estructura de costo
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&"todo iterati-o para laoptimización del 93:
)e*
!cti(e
T, $
Closed dptst, +, i
Remaining Value
Vi
• 3brir nue-os recursos.
• /alcular reser-as utilizando leyes de corte.
• /errar reser-as (ue no pagan ley de corte.
• Simular la extracción del per*odo.• /alcular el -alor remanente del depósito.
• Pasar al próximo per*odo del plan.
• 3l final calcular -ector de costos deoportunidad.
• 3d+erir costos de oportunidad a laestructura de costos.
• ,epetir el programa de producción.
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4teración #Ste' Current tons ()alue Cu *sed+ne $evenue Profit -t "ct
# #%A@A #@.F #.FFC % $F#F%C@ $F#F%C@ #A%A$B @.C$ #%A@A #C.A #.FF A $F$#@#$ $F$#@#$ $$@ B.@% #%A@A .C #.%AA A #%F#B#@ #%F#B#@ %FAFF B.@B #%A@A $.@ A. # BC$%F BC$%F @BC#A B.@ #%A@A @. #.#@% # #AC%$$ #AC%$$ @C$BF B.CC #%A@A .F #.%$ # #B@#%@ #B@#%@ FCCBF B.%@ #%A@A .@ #.$ A #%CB$%@ #%CB$%@ BAA#F B.AB
#%A@A B.B #.A%A A FFA@@ FFA@@ %B##B$ B.A#F #%A@A %.A A.F#% A @BA@ @BA@ @%BBF B.#$#A #%A@A @.# #.AF$ $ F%BCBA F%BCBA %@%%A B.A$## #%A@A . #.%# A #B%A#F #B%A#F CC@BB$ %.CB#$ $AAAA #B.B#@F #.% $ %F#AA$F %F#AA$F %B#B$@ #.#% $AAAA ##.# #.C A $FF#A@ $FF#A@ CB@F A.B$#B $%ABFB $.BB@A@ A.FAB A C@@CB% C@@CB% #@B#@ A.#A#@ #C$@ $.BFCF A.@ A $A%F@ $A%F@ A A.AA
a A.#D9 A/ap #%A@A:P9 #$BAF##:et D9 costs IC.AA
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4teración $Ste' Current tons ()alue Cu *sed+ne $evenue Profit -t "ct
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4teración BSte' Current tons ()alue Cu sed+ne, $evenue Profit -t "ct
# #%A@A #@.F #.FFC % $F#F%C@ $F#F%C@ #$##F%$ C.C$$ #%A@A #C.A #.FF A $F$#@#$ $F$#@#$ #ABAFAF @.CF% #%A@A #$. #.%B $ $%B%C $%B%C F#AAA% B.FB #%A@A .F #.%$ # #B@#%@ #B@#%@ @CC%$ B.C@ #%A@A .@ #.$F$ A #%B% #%B% AB@B B.BAC #%A@A .@ #.$F% # #%@#$$ #%@#$$ B%$A B.AF #%A@A #A.$ #.@$A # #B@C #B@C C%@#%FC %.B #%A@A #%.F #.$@ # $@B%AC $@B%AC BBB$%A $.B%
F #%A@A #A.% #.@$ A #F$@#% #F$@#% $FFBCAA #.CB#A #AFA ##.# #.@FB # #FA#AB% #FA#AB% #%F%A#C A.C## ##@CA ##.$ #.CAA A #$FBFCF #$FBFCF $%%BF A.#%#$ BC#$ $.FFFFF A.FAA A $AF#B $AF#B @$#A A.A%#% $ABF@ $. A.F A @% @% A A.AA
$A$FA$ #.@ A A A A A.AAA A A A A.AA
a A.#D9 A/ap #%A@A:P9 #%C#@:et D9 costs IC.B
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Extracción de recursos basados enpol*ticas de leyes de corte
A
$
B
C
E
#A
#$
E#:# E$:# E%:# EB:# E@:# EC:# E:# E:# EF:# E#A:#
Dra, Point Se.uence
/ " D + S l i c e s
Sc+edulingH7/ ,eser-esH7/ J07D
#%.&I
#B.&I
##.F&I
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/osto de oportunidad para distintasiteraciones
A.A
#.A
$.A
%.A
B.A
@.A
C.A
.A
# $ % B @ C E F #A ## #$ #% #B #@
Period 0
"
' ' o r t u n i t y C o s t
( 1 t )
7/H# 7/H$ 7/H% 7/HB
7ptimum S+ut 7ff
9alue Policy
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Programas de producciónresultantes
A.AA
A.@A
#.AA
#.@A
$.AA
$.@A
# $ % B @ C E F #A ## #$ #% #B #@
Period 0
#
r a d e + S c
2 e
d u
l e d
% C u
Grades Cu_1 Grades Cu_2 Grades Cu_3 Grades Cu_4
&<ltiples iteraciones y su influencia en el programa de producción
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4ncorporación del componented9Kd>
)t -t d) d)1dT "ct
#$$#A$% #$BB@#% #$$#A$ ?$BC@#A .%AFFF#B #AA@#A#A FFF# ##FC @.AC#A%$@ ##CA# #A%$ %#C B.AAA$BAA@ @C@%@B A$BA# @B#%B A.C%#A#%% CFA@C#C C%#A#% @F@B% A.#F
@A@ CC%$F@ @AC #A@B@% ?$.@FCABB@ $A% CAB@ ##@FFF# ?%.A%CCC#FA AA#@ CCC#F #BA%@ ?B.A@$%%%% F$$@@ $%%% #@BF$$% ?B.$B$$C F$A@$A $% #AB%$FB ?#.BA%F$A @%C%A %F$# ##BC$% ?$.$%BBCA%F$ BAB# BBCA%F %B%BF A.@B#%%@#$ #%%@#$ #%%@# A A.%
%CB$% %CB$% %CB$ A A.$AA A A A A.AA
E-al<a recursosremanentesutilizando preciosdel periodo tO#
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Efecto de -ariación de precios enuna pol*tica de leyes de corte
A$
B
C
#A
#$
#B
#C
# $ % B @ C F #A ## #$ #% #B #@
Period
$ e v e n u e
3 a c
t o r
1 % C u
A.AA.@
#.A
#.@
$.A
$.@
%.A
%.@
B.A
# r a
d e + %
C u
,e-enue 1actor
7/5it+out ?d9Kdt6HGrade
7/5it+ ?d9Kd>6?Grade
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Programación lineal
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Programación lineal
• Es un m"todo para resol-er problemas deoptimización.
• Las relaciones entre las cantidades a sermaximizadas o minimizadas y las-ariables del problema deben ser lineales.
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Problema tipo de PL
&aximizar 5o minimizar6 la función lineal
∑=
=+++=n
j
j jnn xc xc xc xc Z 1
2211
Su2eto a las restricciones
n j x
mib x A
j
i
n
j
jij
≤≤≥
≤≤=≥≤∑=
1'
1%o&1
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Definiciones b!sicas
• Q es la 1=:/4R: 7JE>497 es su -alor el (ue sedesea maximizar o minimizar.
• T2 son las 93,43JLES DE DE/4S4R: cuyo -alor debe
buscarse en -irtud de obtener el -alor deseado 5m*nimoo m!ximo6 de la función ob2eti-o.
• El producto /2T2 se conoce como :49EL DE 3/>494D3D
de la -ariable T2.
• 3i2 bi y /2 son los P3,U&E>,7S del modelo.
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3lgunos detalles
• La función ob2eti-o y las restricciones deben serfunciones lineales de las -ariables de decisiónen otro caso deben utilizarse t"cnicas deprogramación no lineal para resol-er elproblema.
• Se asume (ue las -ariables de decisión son
n<meros reales sin embargo existen casos en(ue "stas deben ser sólo enteros o bienbinarios.
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Supuestos de la programaciónlineal
• Proporcionalidad
• 3diti-idad
• Di-isibilidad
• /erteza
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Proporcionalidad
• La contribución de cada -ariable dedecisión al -alor de la función ob2eti-o esproporcional a /2 y (ueda representado
por su ni-el de acti-idad /2T2.
• Lo anterior de2a afuera a cual(uierexponente distinto de # para las -ariablesde decisión.
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3diti-idad
• /ada función en un modelo de PL es lasuma de las contribuciones indi-idualesde las -ariables de decisión.
• Lo anterior de2a fuera t"rminos cruzadosentre las -ariables de decisión en las
funciones.
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/erteza
• El -alor asignado a cada par!metros seasume como una constante conocida.
• Esta suposición se cumple rara -ez en lapr!ctica por lo (ue los efectos en laincertidumbre de los par!metros del
problema debe estudiarse con un an!lisisde sensibilidad.
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Problema gen"rico de PL
'
-
-2
/
0suject to
2Maximi3e
≥
≤+−
≤
≤+
≤
+=
A,B
B A
B
B A
A
B A Z
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Solución gr!fica
A # $ % B @ C A
#
$
%
B
@
C
B
A
AVC
AOBV
$BVF? AO%BVF
optimo
region factible
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9alores en los puntos extremos
Punto A B Z
# A A A
$ A % F
% % B #
B C # #@
@ C A #$
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&icrosoft Excel Sol-er
• &icrosoft ExcelW posee una +erramienta pararesol-er los siguientes tipos de problema5Sol-er68
linear integer mixed?integer programming non?linear programming
• Limitado a $AA -ariables de decisión.
• :<mero ilimitado de restricciones.
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E2emplo sencillo
'
-
-2
/
0suject to
2Maximi3e
≥
≤+−
≤
≤+
≤
+=
A,B
B A
B
B A
A
B A Z
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4mplementación del problema
VS=&3P,7D=/>75J%8/%XJB8/B6
VS=&3P,7D=/>75JF8/FXIJIB8I/IB6
VS=&3P,7D=/>75J#A8/#AXIJIB8I/IB6VS=&3P,7D=/>75J##8/##XIJIB8I/IB6
VS=&3P,7D=/>75J#$8/#$XIJIB8I/IB6
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4mplementación del problema
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Problema aplicado
Qone # $ % B @
/opper grade %.$A B.AA %.$A %.%A B.$A
/apacity 5tKday6 @AA @AA BAA BAA BAA
:S, 5IKt6 %@ B$A B@A BBA %A
i
i
iT NSR Z ∑=
=4
1
max
Su2eto a las restricciones de ley y producción porzona.
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1ormulación matem!tica
i
i
iT NSR Z ∑=
=4
1
max
4,5,,5''4''4''
2'''
21
4
1
=≤≤≤
≤
∑=k T T T
T
k
i
i
( ) rade lended'0. =−∑ i
i
i T g
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4mplementación del problemaVJB?I/I#A V/B?I/I#A VDB?I/I#A VEB?I/I#A V1B?I/I#A
VS=&3P,7D=/>75J@81@XJC81C6
VS=&3P,7D=/>75J#%81#%XIJIC8I1IC6
VS=&3P,7D=/>75J#F81#FXIJIC8I1IC6
7/17/2019 08-Programa de Produccion
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4mplementación del problema
7/17/2019 08-Programa de Produccion
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&odelos de red
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>ipos de problemas de red
• Problema de transporte• Problema de trasbordo
• Problema de flu2o de red a costo m*nimo
• Problema de asignación
• Problema de la ruta m!s corta
• Problema de flu2o m!ximo
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El problema b!sico de transporte
n
$
#
%
$
c 12
c mn
c 11
d n
d 2
d 1
sm
s3
s2
s1
n nodos dedemanda
m nodos desuministro
#
m
ci2 costo unitario entrelos nodos i y j
1ormulación del problema de
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1ormulación del problema detransporte
demanda%denesrestriccio&1
%suministrodenesrestriccio&1asujeto
Minimi3ar
1
1
1 1
n jd x
mi s x
xc Z
j
m
i
ij
i
n
jij
m
i
n
j
ijij
≤≥≥
≤≤≤
=
∑∑
∑∑
=
=
= =
7/17/2019 08-Programa de Produccion
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Problema de transporte e(uilibrado
Dd sS n
j
j
m
i
i === ∑∑== 11
El problema es un problema de transporte e(uilibrado si
El problema es factible si S 6 D
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E2emplo de problema de transporte
&3
&J
P#
&/
P$
P%
PB
IAA
I#$AA
#AA
BA
A
Suministro total V $#A
&inas de+ierro
Demanda total V #A
$A
CA
$A
A
Plantasde acero
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/ostos unitarios
Planta # Planta $ Planta % Planta B
&ina 3 IAA IAA IAA I#$AA
&ina J IAA IAA IFAA I#%AA
&ina / I#AAA ICAA IAA I#$AA
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4mplementación del problema
VS=&3P,7D=/>75E@8E#CXJ@8J#C6VS=&3,.S45IDI@8IDI#CXG@XIJI@8IJI#C6?S=&3,.S45I/I@8I/I#CXG@XIJI@8IJI#C6
VS=&3,.S45IDI@8IDI#CXG##XIJI@8IJI#C6?S=&3,.S45I/I@8I/I#CXG##XIJI@8IJI#C6
7/17/2019 08-Programa de Produccion
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4mplementación del problema
7/17/2019 08-Programa de Produccion
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La solución
&3
&J
P#
&/
P$
P%
PB
#AA
BA
A
$A
CA
$A
A
$A
$A
CA
CA
#A
#A
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Problema de trasbordo
:odos desuminstro
:odos dedemanda:odos de
transbordo
1ormulación del problema de
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Donde
N j es la colección de nodos unidos al nodo j
j
es el re(uisito neto al nodo j
El problema es factible si Σ j j 6 '
1ormulación del problema detrasbordo
j
N i
ji
N i
ij
N i j
ijij
x x
xc Z
j j
j
=−
=
∑∑
∑∑
∈∈
∈
asujeto
Minimi3ar
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E2emplo de problema de trasbordo
&3
&J
P#
&/
P$
P%
PB
#AA
BA
A
$A
CA
$A
A
Jarco
>ren
7/17/2019 08-Programa de Produccion
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/ostos unitarios
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4mplementación del problema
VS=&3P,7D=/>75J@8J#XE@8E#6
VS=&3,.S45IDI@8IDI#XG@XIJI@8IJI#6?S=&3,.S45I/I@8I/I#XG@XIJI@8IJI#6
VS=&3,.S45IDI@8IDI#XG#%XIJI@8IJI#6?S=&3,.S45I/I@8I/I#XG#%XIJI@8IJI#6
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4mplementación del problema
7/17/2019 08-Programa de Produccion
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La solución
&3
&J
P#
&/
P$
P%
PB
#AA
BA
A
$A
CA
$A
A
Jarco
>ren
#AA
$A
$A
BA
$A
$A
A
CA
Problema de flu2o de red a costo
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Problema de flu2o de red a costom*nimo
#
$
% i
2 n
c#$5L#$ =#$6
ci25Li2 =i26
%&arct7rou7#lo*on oundupper
%&arct7rou7#lo*on oundlo*er
nodeatin#lo*%8&out#lo*supplnet
%&arcalonnodetonode#romtransporto# costunit
%&arcinnodetonode#rom#lo*
i,j!
i,j L
i
i,j jic
i,j ji x
ij
ij
i
ij
ij
=
=
=
=
=
1ormulación del problema de flu2o de
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1ormulación del problema de flu2o dered a costo minimo
ijijij
i
N i
ji
N i
ij
N i j
ijij
! x L
x x
xc Z
j j
j
≤≤
=−
=
∑∑
∑∑
∈∈
∈
asujeto
Minimi3ar
N j es la collección de nodos conectados al nodo j
j es el re9uisito neto al nodo j
j : ' suministro j ; ' demanda
Problemas de flu2o de red a costo
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Problemas de flu2o de red a costom*nimo en miner*a
• Sistemas de distribución 5concentradora afundición por e2emplo6.
• Planificación de la producción mina a planta.
• Sistemas de -entilación.
• Determinación del pit final.
E2emplo de problema de flu2o de
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E2emplo de problema de flu2o dered a costo m*nimo
&inas Planta
/lientes
7fertas capacidades ydemandas en toneladas
#A
$A
$AA5A#@A6
$5A$AA6
5A#AAA6
@5A#AAA6
P$
P#
%CA
$FA
&$
&#
/#
/$
/%
C5A#AAA6#A5A#@A6
5A#AAA6
$5A$AA6
4 l t ió d l bl
7/17/2019 08-Programa de Produccion
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4mplementación del problema
VS=&3P,7D=/>75J@8J#$XE@8E#$6
VS=&3,.S45IDI@8IDI#$X4@XIJI@8IJI#$6?S=&3,.S45I/I@8I/I#$X4@XIJI@8IJI#$6
VS=&3,.S45IDI@8IDI#$X4##XIJI@8IJI#$6?S=&3,.S45I/I@8I/I#$X4##XIJI@8IJI#$6
4 l t ió d l bl
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4mplementación del problema
L S l ió
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La Solución
/%
/$
/#
P$
P#
#A
$A
$AA
#A
$A##A
FA
$AA
%CA
FA
%CA
$FA
&$
&#
P bl d i ió
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Problemas de asignación
• Son un caso especial del problema detransporte donde se asignan personas o cosasa tareas espec*ficas.
• ,e(uiere la definición de una -ariable binaria Ti2definida como sigue8
=ij x# si la persona i es asignada a la tarea 2
A en caso contrario
1ormulación del problema de
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1ormulación del problema deasignación
∑∑= ==
m
i
n
j
ijij xc Z 1 1
ij
ij
ij
x
x
x
∑
∑
≥
≤
1
1
&inimizar
Su2eto a
# YV i YV m capacidad
# ZV 2 ZV m capacidad
binaria
Donde existen m personas a asignar a n tareas y /i2 es la medida delcosto de asignar a la persona i a la tarea 2.
El problema es balanceado si mVn. en este caso las restricciones puedenser igualdades o desigualdades la solución es la misma.
Problema de asignación de
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Problema de asignación deempleos
>area # >area $ >area % >area BEmpleado # $$ # %A #
Empleado $ # ? $ $$
Empleado % $C $A $ $
Empleado B #C $$ ? #BEmpleado @ $# ? $@ $
/ada n<mero indica el tiempo del empleado espec*fico enrealizar la tarea respecti-a.
[?\ indice (ue el empleado no puede +acer el empleo
4 l t ió d l bl
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4mplementación del problema
VS=&3P,7D=/>75/@81FX/##81#@6
VS=&35/##81##6
VS=&35/#$81#$6
VS=&35/#%81#%6
VS=&35/#B81#B6
VS=&35/#@81#@6
4 l t ió d l bl
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4mplementación del problema
L l ió
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La solución
&atriz de asignación8
ob # ob $ ob % ob BEmployee # A # A AEmployee $ # A A AEmployee % A A A AEmployee B A A A #Employee @ A A # A
P bl d l t ! t
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Problema de la ruta m!s corta
• /ada arco de la red tiene una [longitud\ asociada.
• Esta longitud puede ser una distancia f*sica o bien el costoasociado de ir desde un nodo +asta otro por un arco determinado.
• La idea es encontrar la ruta m!s corta (ue permita comunicar elnodo # con el nodo n.
• Es esencialmente es un problema de transbordo donde una unidades [empu2ada\ a tra-"s de la red desde el nodo # al nodo n. la-ariable de decisión Ti2 es # si el el arco 5i26 pertenece a la ruta m!s
corta y A en caso contrario.
1ormulación del problema de la
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pruta m!s corta
∑∑∈
= j N i j
ijij xc Z
∑∑∈∈
=− j j N i
ji
N i
ij x x
ij
x
&inimizar
Su2eto a
binaria
# En el nodo #
A $ YV 2 YV n?#
# En el nodo n
:2 es el con2unto de nodos conectados al nodo 2
Ti2 V # si el arco 5i26 pertenece a la ruta m!s corta y A en caso contrario.
E2emplo de problema de la ruta
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2 p pm!s corta 5reemplazo de e(uipos6
4duisici5n Costo total 'or a6os en o'eraci5n# $ %
#FF BAAA @BAA FAA#FFF B%AA C$AA AA
$AAA BAA #AA ?$AA# BFAA ? ?
AA
#AA@BAA
000070007888788!
BFAABAAB%AABAAA
C$AA
FAA
4mplementación del problema
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4mplementación del problema
VS=&3P,7D=/>75J@8J#%XE@8E#%6
VS=&3,.S45>oXG@XSelectH3rc6?S=&3,.S451romXG@XSelectH3rc6
VS=&3,.S45>oXGFXSelectH3rc6?S=&3,.S451romXGFXSelectH3rc6
4mplementación del problema
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4mplementación del problema
La solución
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La solución
#AA@BAA
000070007888788!
/osto total8 I#$@AA
1lu2o m!ximo
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1lu2o m!ximo
x 0
Sumidero1uente
En algunas situaciones se re(uiere transportar la m!xima cantidad de material a
tra-"s de una red desde un nodo fuente +asta un nodo sumidero su2eto arestricciones de capacidad.
=na buena aplicación es el diseño del sistema de -entilación de una minasubterr!nea.
Para resol-er este tipo de problemas debe crearse un arco artificial To (ueconecte el nodo fuente con el nodo sumidero.
1ormulación del problema de flu2o
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p 2m!ximo
ijijij
N i
ji
N i
ij
! x L
x x
x
j j
≤≤
=− ∑∑∈∈
'suject to
Maximi3e '
:2 es el con2unto de nodos conectados al nodo 2
To debe incluirse en el balance de flu2os para resol-er el problema
Li2 y =i2 son las capacidades m*nima y m!xima respecti-amente del arcorespecti-o 5(ue conecta a los nodos i y 26
E2emplo de problema de flu2o
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2 p p 2m!ximo
B$
C
B
%C
,ef
PB
P#
M1
P%
P$@
$
/ampo petrolero Estación de bomba
,efiner*a
4mplementación del problema
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4mplementación del problema
VS=&3,.S45IDI@8IDI#%XG@XIJI@8IJI#%6?S=&3,.S45I/I@8I/I#%XG@XIJI@8IJI#%6
VS=&3,.S45IDI@8IDI#%XG#AXIJI@8IJI#%6?S=&3,.S45I/I@8I/I#%XG#AXIJI@8IJI#%6
4mplementación del problema
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4mplementación del problema
La solución