1.- Estadística Descriptiva
– Ejercicios Resueltos –
Clasificación de variables
Gráficos estadísticos
Medidas de ubicación
Medidas de variabilidad poblacional y muestral
Aplicación de datos no agrupados y agrupados
1. Estadística Descriptiva – Ejercicios Resueltos
ANÁLISIS ESTADÍSTICO
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1.- La distribución de los 20.000 empleados de la empresa Alfa, según antigüedad (X) y sueldo
mensual (Y) se muestra en la siguiente tabla de proporciones (frecuencias relativas)
conjuntas:
X
Y ( en miles de $) (en años) 50 – 90 90 – 130 130 – 170 170 – 250
menos de 4 0,12 0,08 0,04 0,00
4 – 8 0,08 0,12 0,10 0,05
más de 8 0,00 0,12 0,18 0,11
1.1) Clasifique las variables del problema según tamaña del recorrido y nivel de medición
1.2) Grafique la distribución de los empleados según sueldo mensual
1.3) ¿En qué grupo son más homogéneos los sueldos de la empresa, en el de los
empleados más nuevos o en el de los más antiguos? Justifique su respuesta.
1.4) Si para las fiestas patrias la empresa otorgo un aguinaldo de $25.000 a los empleados
cuyo sueldo era inferior a los $120.000, mientras que para aquellos cuyo sueldo era
superior a esa cifra el aguinaldo fue de $15.500, ¿Cuántos de los empleados que tienen
más de 8 años de antigüedad en la empresa recibieron un aguinaldo de $15.500?
1.1) Solución:
Variable Según Tamaño del recorrido Según Nivel de Medición
𝑥 Discreta Ordinal
𝑦 Continua De Razón
1.2) Solución:
k = 40
𝑦 (en miles de $)
𝐶𝑖 ℎ𝑖 𝑛𝑖 𝑛𝑖 / 𝐶𝑖 𝑘 ∙ 𝑛𝑖/𝐶𝑖
50 - 90 40 0.2 4000 100 4000
90 - 130 40 0.32 6400 160 6400
130 - 170 40 0.32 6400 160 6400
170 - 250 80 0.16 3200 40 1600
1 n = 20.000
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1.3) Solución: Sean: 𝑍 = “Sueldo empleados más nuevos (menos de de 4 años)”
𝑊 = “Sueldo empleados más antiguos (más de 8 años)”
Obs: La desviación estándar que es calculada corresponde a la poblacional, ya que se trabaja con la
totalidad de datos.
𝑆(𝑍) = 29,8173
�̅� = 96,6666 𝐶𝑉(𝑍) =
𝑆(𝑍)
�̅�∙ 100 =
29,8173
96,6666∙ 100 = 30,8455%
𝑆(𝑊) = 37,6170
�̅� = 154,3902 𝐶𝑉(𝑊) =
𝑆(𝑊)
�̅�∙ 100 =
37,6170
154,3902∙ 100 = 24,3649%
Respuesta: Debido a que 𝐶𝑉(𝑍) > 𝐶𝑉(𝑊), la distribución de los sueldos de los empleados más
antiguos es más homogénea que la distribución de los sueldos de los empleados menos antiguos.
1.4) Solución:
𝑦 𝑛𝑖 𝑁𝑖
50 - 90 0 0
90 – 130 2400 2400
130 – 170 3600 6000
170 – 250 2200 8200
n = 8200
Utilizando la fórmula de percentil:
Pk = 𝑥′𝑖−1 + 𝐶i (
𝑝∙n
100− Ni−1
ni)
Obs: Recordar que el percentil toma los números menores o igual al número indicado, por lo tanto, en
esta ocasión son considerados los números contenidos que son menores o iguales a $120.000.
120 = 90 + 40 ∙(
𝑝 ∙ 8200
100− 0)
2400
𝑝 = 21,95% = 0,2195
Luego, como el ejercicio le solicita la cantidad de empleados con más de 8 años de antigüedad en la
empresa que recibieron un aguinaldo de $15.500, o sea , los empleados que tienen un sueldo
superior a los $120.000, por ende, tendremos que utilizar propiedades de complemento para poder
obtener lo que nos piden.
𝑃(𝑌 > 120) = 1 – 𝑃(𝑌 < 120) = 0,7805
Finalmente, se multiplica la probabilidad por la población considerada (n):
𝑛 ∙ 𝑃(𝑌 > 120) = 0,7805 ∙ 8.200 = 6400
Respuesta: El 78,05% de los empleados con más de 8 años de antigüedad ganan más de $120.000,
o sea, reciben un aguinaldo de $15.500, lo que corresponde a 6400 empleados.
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2.- Una empresa que se dedica a la fabricación de mallas de acero para hormigón armado, ha
tomado una muestra de las mallas que compró una constructora en un mes determinado,
registrando por cada unidad el peso de la mañana (en kg.), X, el tipo de malla, Y, (con borde: C,
sin borde: S) y el diámetro de las barras (en mm.), Z. Los resultados obtenidos fueron los
siguientes:
X
Z Y (15 – 28] (28 – 4] (41 – 54] (54 – 67] más de 67
menos de 5 C 10 6 4 2 0
S 8 4 2 0 0
(5,0 – 7,0] C 2 8 3 11 4
S 2 6 5 11 0
más de 7 C 0 4 4 20 7
S 0 2 5 15 5
2.1) Clasifique las variables según escala de medición y tamaño de recorrido.
2.2) Encuentre la medida de posición más adecuada para el peso de la malla.
2.3) ¿Qué porcentaje de las mallas con bordes tienen un diámetro de barras superiores a 5,5
mm.?
2.4) ¿Cuál es la variabilidad del peso de las mallas sin bordes que tienen diámetro de barras
menores a 5,0 mm.?
2.1) Solución:
Variable Según escala de Medición Según Tamaño de Recorrido
X Ordinal Discreta
Y Nominal Binaria o Discreta
Z Ordinal Discreta
2.2) Solución: Notemos que el peso de la malla (X), corresponde a una variable ordinal y asimétrica,
por lo que la medida de posición central más adecuada es la Mediana (Me = 54 Kg.)
2.3) Solución: Lo primero será hacer una tabla con los datos que vamos a ocupar, para poder trabajar
de una manera más clara.
Luego utilizando la fórmula de percentil, tenemos:
𝑃𝑘 = 𝑥′𝑖−1 + 𝐶𝑖 (
𝑝∙𝑛
100− 𝑁𝑖−1
𝑛𝑖)
5,5 = 5,0 + 2,0 (
𝑝∙85
100− 22
28)
𝑝 = 34,12% = 𝑃(𝑍 ≤ 5,5)
Luego por propiedad de complemento obtenemos el porcentaje que es requerido:
𝑃(𝑍 > 5,5) = 100% − 𝑝 = 65,88%
Z 𝑛𝐶 𝑁𝐶
Menos de 5 22 22
(5,0 - 7,0] 28 50
Más de 7 35 85
n = 85
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Respuesta: El porcentaje de las mallas con bordes que tienen un diámetro de barras superiores a 5,5
mm es 65,88%
2.4) Solución: Para empezar distribuimos los datos que utilizaremos, los que serás nuestra
herramienta para poder determinar el Coeficiente de Variación, que corresponde a un indicador de
variabilidad.
𝑆𝑥 = 9,8270
�̅� = 28,9286
𝐶𝑉(𝑥) =𝑠𝑥
�̅�∙ 100 =
9,8270
28,9286∙ 100 = 33,9698%
Respuesta: La variabilidad del peso de las mallas sin bordes que tienen diámetros de barras
menores de 5,0 mm es del 33,97%
3. Los siguientes datos corresponden a las cantidades máximas de emisión diarias de óxido
de azufre (en toneladas) registrada según planta de emisión, en cierta zona industrial.
Cantidad de óxido (ton.) Planta A Planta B Planta C
5 – 10 50 40 20
10 – 15 30 30 40
15 – 20 60 0 70
20 – 25 20 10 15
25 – 30 40 20 5
3.1) Indique la unidad de información y clasifique las variables según escala de medición y
tamaño de recorrido
3.2) Entre las plantas B y C, ¿Cuál presenta mayor variabilidad relativa su promedio de
óxido de azufre emitido?
3.3) ¿Qué porcentaje de las emisiones producidas por la planta C, supera las 28 toneladas?
3.1) Solución: Unidad de información: La planta de emisión
Variable Según Escala de medición Según Tamaño de recorrido
Planta de Emisión Nominal Discreta
Cantidad de Oxido De Razón Continua
𝑥 𝑥𝑖 𝑛𝑆
(15 - 28] 21,5 8
(28 - 41] 34,5 4
(41 - 54] 47,5 2
(54 - 67] 60,5 0
más de 67 0
n = 14
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3.2) Solución: Sea: 𝑥 = “Cantidades máximas de emisión diarias de óxido de azufre (en ton.)”
𝑥 𝑥𝑖 Planta B Planta C
5 – 10 7,5 40 20
10 – 15 12,5 30 40
15 – 20 17,5 0 70
20 – 25 22,5 10 15
25 – 30 27,5 20 5
𝑆𝐵 = 7,8102
�̅� = 14,5 𝐶𝑉(𝐶) =
7,8102
14,5∙ 100 = 53,8634%
𝑆𝐶 = 4,7404
𝐶̅ = 15,6666 𝐶𝑉(𝐶) =
4,7404
15,6666∙ 100 = 30,258%
Respuesta: Comparando ambas plantas, podemos llegar a la conclusión que la planta que presenta
mayor variabilidad relativa en su promedio de óxido de azufre emitido corresponde a la Planta B.
3.3) Solución: Exponemos la información de la Planta C
Luego, por formula de Percentil, tenemos:
28 = 25 + 5 (
𝑝∙150
100− 145
5)
𝑝 = 98,67%
Luego por propiedad de complemento, obtenemos que el porcentaje que nos piden es 1,33%
Respuesta: El porcentaje de las emisiones producidas por la Planta C que supera las 28 toneladas
corresponden al 1,33%.
4.- En una Empresa constructora se ha registrado información respecto: ingreso mensual (Y),
especialidad (X) y permanencia (Z) en la empresa (en que A = antiguo; N = recién ingresado),
de sus trabajadores, obteniendo lo siguiente:
Ingreso mensual, en miles de pesos
Especialidad Z 100 - 150 150 - 200 200 - 300 más de 300
Albañil A 6 9 5 0
N 9 11 1 0
Carpintero A 1 6 7 9
N 1 2 3 3
Electricista A 3 5 8 1
N 1 5 4 0
Pintor A 2 20 2 0
N 1 10 5 0
𝑥 𝑥𝑖 𝑛𝐶 𝑁𝐶
5 – 10 7,5 20 20
10 – 15 12,5 40 60
15 – 20 17,5 70 130
20 – 25 22,5 15 145
25 – 30 27,5 5 150
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4.1) Clasifique las variables involucradas según nivel de medición. Calcule la medida de
posición más adecuada en cada caso. Indique unidad de información.
4.2) Construya un gráfico que permita mostrar la distribución de los trabajadores según
especialidad
4.3) Construya un gráfico que permita comparar los ingresos de los pintores según
permanencia en la empresa.
4.4) Si entre carpinteros y electricistas tienen un sueldo promedio de $225.000 ¿Cuál es el
sueldo promedio de los trabajadores en la Empresa?
4.5) Si la empresa decide mejorar los sueldos de los trabajadores con ingresos inferiores a
$180.000 ¿Qué porcentaje de los trabajadores se beneficiará con esta medida?
4.6) Si a los albañiles se les otorga una bonificación de $20.000. Compare la dispersión de
los ingresos de los albañiles después de la bonificación con la de los ingresos de los
pintores.
4.1) Solución:
Variable Según Nivel de Medición Medida de posición más adecuada
Especialidad Nominal Mo: Albañil
Permanencia Nominal Mo: Antiguo
Ingreso Mensual Ordinal Me = $183.832,5
Unidad de información: El Trabajador
4.2) Solución:
Especialidad 𝑛𝑖
Albañil 41
Carpintero 32
Electricista 27
Pintor 40
n = 140
Gráfico de barras separadas
Gráfico Circular o de Torta
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4.3) Solución:
Ingreso Pintores
𝑛𝑖 Antiguo
𝑛𝑖 Recien llegado
ℎ𝑖 Antiguo
ℎ𝑖 Recien llegado
Total
100 – 150 2 1 2 1 3
150 – 200 20 10 20 10 30
200 – 300 2 5 1 2,5 3,5
Más de 300 0 0 01 0 0
Para comparar los ingresos de los pintores según permanencia en la empresa utilizaremos un
Histograma rectificado.
4.4) Solución:
En este ejercicio nos otorgan los sueldos promedios entre carpinteros y electricistas, el que es
$225.000, por lo tanto, trabajaremos con los datos entregados para poder encontrar el sueldo
promedio del total de los empleados de la Empresa, para esto utilizaremos la fórmula de promedio o
media para datos tabulados, la que es:
�̅� =∑ 𝑛𝑖 𝑥𝑖
𝑛
Empleando la formula en los albañiles y pintores, respectivamente.
�̅�𝑎𝑙𝑏𝑎ñ𝑖𝑙 =125 ∙ 15 + 175 ∙ 20 + 250 ∙ 6
41=
6875
41= 167,6829 (𝑚𝑖𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 $)
𝑦 𝑦𝑖 𝑛𝑖
(Albañil)
𝑛𝑖
(Pintor)
100 - 150 125 15 3
150 - 200 175 20 30
200 - 300 250 6 7
Más de 300
0 0
41 40
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�̅�𝑃𝑖𝑛𝑡𝑜𝑟 =125 ∙ 3 + 175 ∙ 30 + 250 ∙ 7
40=
7375
40= 184,375 (𝑚𝑖𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 $)
Finalmente, para obtener el promedio de los sueldos, se multiplica el promedio por la cantidad de
personas, y por último, se divide por el total (n), de la siguiente manera:
�̅� =
6875
41∙ 41 +
7375
40∙ 40 + 225 ∙ 59
140= 196,607 (𝑚𝑖𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 $)
Respuesta: El sueldo promedio de los trabajadores de la Empresa es $196.607
4.5) Solución: Utilizando formula de percentil, tenemos que:
180 = 150 + 50 (
𝑝∙140
100− 24
68)
𝑝 = 46,286%
Respuesta: El porcentaje de los trabajadores que se beneficiarán con la medida será el 46,286%
4.6) Solución: P = “Pintores”; A = “Albañiles”; A* = “Albañiles con bonificación”
𝑆𝑃 = 32,9239
�̅� = 184,375 𝐶𝑉(𝑃) = 0,1786 ∙ 100 = 17,86%
Por propiedad: 𝑆𝐴∗ = 𝑆𝐴; 𝐴∗̅̅ ̅ = �̅� + 20
𝑆𝐴 = 41,0398
�̅� = 167,6829
𝑆𝐴∗ = 41,0398
𝐴∗̅̅ ̅ = 187,6829 𝐶𝑉(𝐴∗) = 0,2186 ∙ 100 = 21,86%
Respuesta: La distribución del sueldo de los pintores tiene menos dispersión (menos variabilidad, es
más homogénea) que la de los albañiles bonificados, o de otra forma, La distribución del sueldo de
los albañiles bonificados tiene mayor dispersión (mayor variabilidad, más heterogénea) que la de los
pintores.
5.- Una empresa constructora de parques y plazas, ha ganado una propuesta para construir
áreas verdes en plazas de una determinada región. Las superficies sembradas, en metros
cuadrados, en 80 plazas y la mezcla de semilla de pasto utilizadas, se resumen en la siguiente
tabla:
Superficie sembrada
Mezcla 200 - 1180 1180 - 3140 3140 - 5100 5100 - 6080 más de 6080
Manquehue 7 4 6 2 0
Estadio 3 6 8 4 3
Ray-grass 0 7 9 5 4
Long Grass-Trevol 2 5 4 1 0
Total 12 22 27 12 7
𝑌 𝑛𝑖 Ni
100 – 150 24 24
150 – 200 68 92
200 – 300 35 127
Más de 300 13 140
n = 140
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5.1) Clasificación las variables involucradas según nivel de medición y tamaño de recorrido.
5.2) Calcule las medidas marginales de posición más adecuadas para cada variable e
indique las correspondientes medidas de dispersión.
5.3) Construya un gráfico que muestre la distribución de las plazas sembradas según
mezcla de semilla utilizada.
5.4) Compare la dispersión de las superficies sembradas con mezclas de Manquehue con la
dispersión de las superficies sembradas con mezcla Long Grass-Trevol.
5.1) Solución:
Variable Según Nivel de Medición Según Tamaño de Recorrido
Mezcla Nominal Discreta
Superficie Sembrada Ordinal Discreta
5.2) Solución:
Variable Medida Marginal de Posición Medida de Dispersión
Mezcla Moda No existe
Superficie Sembrada Mediana Recorrido intercuartílico
Como ya sabemos que la moda corresponde a él valor con mayor frecuencia en una distribución de
datos, por lo que sólo basta reconocer cual es el que más se repite, sin necesidad de realizar algún
cálculo para determinarlo. En cambio, para poder determinar la Mediana de la Superficie Sembrada,
es necesario aplicar la fórmula de Mediana para datos tabulados:
𝑀𝑒 = 𝑥′𝑖−1 + 𝐶𝑖 [
𝑛
2− 𝑁𝑖−1
𝑛𝑖]
Lo primero será identificar el intervalo en el cual trabajaremos, para ello debemos encontrar donde se
encuentra la mitad, para ello dividimos el tamaño muestral en dos, lo que da un resultado de 40, el
que se encuentra en el intervalo: [3140 – 5100[, por lo que este intervalo utilizaremos para poder
conseguir los datos necesarios para obtener la mediana.
Reemplazando:
𝑀𝑒 = 3140 + 1960 ∙ [
80
2 − 34
27] = 3.575,56 𝑚2
Respuesta: La Moda es semilla de pasto Ray- grass, y la Mediana es igual a 3.575,56 m2
Sup. Sembrada
𝑥𝑖−1 − 𝑥𝑖 𝑛𝑖 𝑁𝑖
Mezcla 𝑛𝑖 200 – 1180 12 12
Manquehue 19 1180 – 3140 22 34
Estadio 24 3140 – 5100 27 61
Ray- grass 25 5100 – 6080 12 73
Long grass Trevol 12 Más de 6080 7 80
Tabla (i) n = 80
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5.3) Solución: Graficaremos los datos de la Tabla (i) para poder representar la distribución de las
plazas sembradas según mezcla de semilla utilizada
5.4) Solución:
𝑆𝑀 = 1747,9860
�̅� = 2598,4210 𝐶𝑉(𝑀) =
1747,9860
2598,4210∙ 100 = 67,27%
𝑆𝐿𝑔𝑇 = 1462,6087
𝐿𝑔𝑇̅̅ ̅̅ ̅ = 2854,1666 𝐶𝑉(𝐿𝑔𝑇) =
1462,6087
2854,1666∙ 100 = 51,24%
Respuesta: Como 𝐶𝑉(𝑀) > 𝐶𝑉(𝐿𝑔𝑇) , la dispersión de las superficies sembradas con mezcla de
Manquehue es más heterogénea que la de las superficies sembradas con mezcla de Long grass
Trevol.
6.- La empresa de telecomunicaciones “E-Box” dispone de la siguiente información
correspondiente a ingresos (en miles de pesos) y antigüedad, de todos sus empleados (en
años), separados por género. Los datos se resumen en el siguiente cuadro:
𝑥 = Sup. Sembrada 𝑥𝑖 Manquehue Long grass Trevol
200 – 1180 690 7 2
1180 – 3140 2160 4 5
3140 – 5100 4120 6 4
5100 – 6080 5590 2 1
Más de 6080
0 0
I: Ingreso Miles de $
A: Antigüedad (años) Menos de 2 2 a 4 4 a 6 6 a 8 Total
H M H M H M H M
200 a 300 6 10 7 3 4 1 1 0 32
300 a 400 2 4 7 5 2 1 1 2 24
400 a 500 0 2 3 0 5 3 2 1 16
500 a 600 0 0 0 0 4 0 3 1 8
Total 8 16 17 8 15 5 7 4 80
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6.1) Construya un gráfico que permita comparar la distribución porcentual de los hombres y
de las mujeres según antigüedad.
6.2) Como la empresa ha tenido utilidades significativas, quiere compartir sus excedentes
con los empleados para lo cual entrega las siguientes propuestas:
- Propuesta A: Un reajuste del 10% de sus ingresos más un bono de 25 mil
pesos por empleado.
- Propuesta B: Un reajuste del 8% de sus ingresos más un bono de 32 mil pesos
por empleado.
6.2.1) ¿Cuál de estas dos propuestas generará una distribución de los ingresos más
homogénea?
6.2.2) Suponga que cada empleado elige libremente cualquiera de las dos opciones,
tomando en consideración aquella que le reporta mayor ingreso. ¿Qué
porcentaje de los empleados elegirán la propuesta A?
6.3) Todo empleado que se encuentre sobre el segundo quintil de la variable antigüedad
serán beneficiados con 5 días adicionales de vacaciones. Calcule la antigüedad mínima
que debe tener un trabajador para optar a este beneficio.
6.4) Para los hombres con una antigüedad de al menos dos años, con un sueldo de por lo
menos $400.000 ¿Cuál es la antigüedad media en la empresa?
6.1) Solución:
M H %ℎ𝑀 %ℎ𝐻 Menos de 2 8 16 17,02 48,49
2 a 4 17 8 36,17 24,24
4 a 6 15 5 31,91 15,15
6 a 8 7 4 14,90 12,12
Total 33 47
0
10
20
30
40
50
60
Menos de 2 2 a 4 4 a 6 6 a 8
Po
rcen
taje
Antigüedad
Distribución de la antigüedad por sexo
% de Hombre
% de Mujeres
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6.2.1) Solución:
𝑆𝑥 = 100�̅� = 350
Definimos las variables a utilizar:
𝑤 = "Propuesta A" = 1,1 𝑥 + 25
𝑡 = "Propuesta B" = 1,1 𝑥 + 32
Luego, por propiedades obtenemos los resultados correspondientes.
𝑆𝑤 = 1,1 𝑆𝑥 = 110�̅� = 1,1 �̅� + 25 = 410
𝑆𝑡 = 1,1 𝑆𝑥 = 110
𝑡̅ = 1,1 �̅� + 32 = 417
𝐶𝑉(𝑤) = 26,82% 𝐶𝑉(𝑡) = 26,37%
Respuesta: Al comparar ambos coeficientes de variabilidad obtenidos, concluimos que la propuesta
B entrega una distribución levemente más homogénea que la propuesta A.
6.2.2) Solución: Tenemos que:
𝑤 = "Propuesta A" = 1,1 𝑥 + 25
𝑡 = "Propuesta B" = 1,1 𝑥 + 32
Luego, si 𝑤 = 𝑡, ambas opciones entregan el mismo ingreso, por lo tanto, tenemos la siguiente
igualdad:
1,1 𝑥 + 25 = 1,08 𝑥 + 32 → 𝑥 = 350
En seguida buscamos un 𝑝, por medio de la formula de percentil, tal que:
350 = 300 +100 ∙ (
80∙ 𝑝
100− 32)
24 → 𝑝 = 55%
Respuesta: El porcentaje de los empleados que elegirán la propuesta A corresponde a 55%, que
equivale a 36 empleados.
6.3) Solución: Sabemos por definición que el segundo Quintil, es lo mismo que decir el percentil
cuarenta, por lo que utilizaremos la fórmula de percentil, donde tenemos:
𝑃40 = 2 +2 ∙ (
80∙40
100− 24)
25= 2,64 𝑎ñ𝑜𝑠
Respuesta: La antigüedad mínima que debe tener un trabajador para poder optar al beneficio de los
cinco días adicionales de vacaciones es 2,64 años.
𝑥 = 𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜 𝑀𝑖𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 $
𝑥𝑖 𝑛𝑖
200 a 300 250 32
300 a 400 350 24
400 a 500 450 16
500 a 600 550 8
n = 80
1. Estadística Descriptiva – Ejercicios Resueltos
ANÁLISIS ESTADÍSTICO
Página 14 Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas
7.- El número de llamadas telefónicas de larga distancia nacional, registradas por una empresa
distribuidora durante una hora de un día determinado, se resumen en la siguiente tabla. Los
registros se realizaron en horarios normales y se consideraron llamadas de, lo más, 3 minutos
de duración
Carrier Región Valor de la llamada (u.m)
[5 - 6] (6 - 8] (8 - 10] (10 - 20] Total
II 3 8 10 4 25
188 IV 7 9 10 4 30
X 3 7 5 5 20
II 4 3 9 6 22
171 IV 5 5 8 3 21
X 2 4 7 7 20
II 3 4 7 8 22
123 IV 7 4 4 5 20
X 6 7 4 3 20
Total 40 51 64 45 200
7.1) Clasifique las variables involucradas según nivel de medición y tamaño de recorrido e
indique la medida marginal de tendencia central más adecuada para el valor de la
llamada y para el carrier en la IV región.
7.2) ¿Qué porcentaje de llamadas son tales que superan al valor promedio de las llamadas
realizadas a través del carrier 171?
7.3) Al mes siguiente de haber efectuado este estudio, el valor de la llamada de larga
distancia del carrier 123, aumentó en un 2% más 1 u.m. por cada 3 minutos de duración.
¿En qué porcentaje disminuye (aumenta) la variabilidad del valor de la llamada al mes
siguiente?
7.1) Solución:
La medida marginal de tendencia central más adecuada para el valor de la llamada es Mediana,
debido a que la variable es Asimétrica.
𝑀𝑒 = 8 + 2 ∙ (
50∙200
100− 91
64) = 8,28 𝑢. 𝑚. 𝑀𝑜 = 𝐶𝑎𝑟𝑟𝑖𝑒𝑟 188
Variable Según Nivel de Medición Según Tamaño de Recorrido
Carrier Nominal Discreta
Región Nominal Discreta
Valor de llamada De Razón Continua
𝑦 = Valor de la llamada 𝑦𝑖 𝑛𝑖 𝑁𝑖 Carrier Región IV 𝑛𝑖
[5 – 6] 5,5 40 40 188 30
(6 – 8] 7 51 91 171 21
(8 – 10] 9 64 155 123 20
(10 – 20] 15 45 200
n = 200
1. Estadística Descriptiva – Ejercicios Resueltos
ANÁLISIS ESTADÍSTICO
Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas Página 15
7.2) Solución:
𝑡̅ = 9,53 𝑢. 𝑚.
Utilizando formula de percentil en la tabla de la pregunta a), tenemos:
9,53 = 8 + 2 ∙ (
𝑝∙200
100− 91
64) 𝑝 = 69,98% = 𝑃(𝑦 > 𝑡̅)
Por propiedad de complemento: 𝑃(𝑦 > 𝑡̅) = 100 − 𝑃(𝑦 ≤ 𝑡̅) = 30,02%
Respuesta: El porcentaje de llamadas que superan al valor promedio de las llamadas realizadas a
través del carrier 171 es igual al 30,02%
7.3) Solución:
𝑆𝑥 = 3,6596�̅� = 9,1612
𝐶𝑉(𝑥) = 0,3994
Sea: 𝑢 = “Valor de la llamada del Carrier 123 después del aumento del 2% más 1 u.m.”
𝑢 = 1,02 𝑥 + 1
Luego, para ahorrar cálculos utilizaremos propiedades:
�̅� = 1,02 �̅� + 1 → �̅� = 10,3444 𝑆𝑢 = 1,02 𝑆𝑥 → 𝑆𝑢 = 3,7327
→ 𝐶𝑉(𝑢) = 0,3608
Después, determinaremos el porcentaje con que disminuye o aumenta la variabilidad del valor de la
llamada del Carrier 123 después del aumento del 2% más una u.m.
% = (0,3994 − 0,3608) ∙ 100 = 3,86%
Respuesta: Luego del aumento del valor de la llamada del Carrier 123 correspondiente al 2% más
una unidad monetaria, el porcentaje con que DISMINUYÓ la variabilidad del valor de la llamada
corresponde al 3,86%.
𝑡 = Valor de la llamada del Carrier 171
𝑡𝑖 𝑛𝑖
[5 – 6] 5,5 11
(6 – 8] 7 12
(8 – 10] 9 24
(10 – 20] 15 16
n = 63
𝑥 = Valor de la llamada del Carrier 123
𝑥𝑖 𝑛𝑖
[5 – 6] 5,5 16
(6 – 8] 7 15
(8 – 10] 9 15
(10 – 20] 15 16
n = 62
1. Estadística Descriptiva – Ejercicios Resueltos
ANÁLISIS ESTADÍSTICO
Página 16 Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas
8.- Una gran empresa está constituida por tres sucursales: S1, S2 y S3. El Gerente General de
esta empresa solicita un estudio acerca de: el número de artículos defectuosos producidos
diariamente y cantidad diaria de materia prima elaborada, en cada una de estas sucursales.
Para cumplir lo solicitado por la gerencia general, se registró información en las tres
sucursales simultáneamente durante 90 días. La información resumida se presenta en la tabla
siguiente:
SUCURSAL N° ARTICULOS CANTIDAD DE MATERIA PRIMA ELABORADA (ton)
DEFECTUOSOS 5 – 15 15 - 25 25 - 35 35 - 45
S1
menos de 10 18 6 5 0
10 – 50 10 7 10 0
más de 50 5 7 22 0
S2
menos de 10 0 13 4 3
10 – 50 0 17 11 5
más de 50 0 8 19 10
S3
menos de 10 0 12 4 0
10 – 50 0 20 20 0
más de 50 0 5 29 0
8.1) Construya un gráfico que le permita comparar las cantidades diarias de materia prima
elaborada en las sucursales S1 y S3. ¿Qué puedes concluir?
8.2) La Gerencia de Producción de esta empresa, debe estar atenta a que no haya mucha
variabilidad en la cantidad diaria de materia prima elaborada (ya que si es mucha puede
haber problemas de almacenamiento y si es poca podría no satisfacer la demanda).
Esta Gerencia declara “estado de alerta” siempre que el coeficiente de variación de la
cantidad de materia prima elaborada sea superior a un 30%. Basándose en la
información presentada, declararía Ud. “estado de alerta” en la sucursal S1.
8.3) En que % de los días, la cantidad de materia prima elaborada por S2 supera al percentil
75 de la cantidad de materia prima elaborada por S1?
8.1) Solución:
0
10
20
30
40
50
60
70
0 10 20 30 40
hi%
Cantidad de Materia Prima Elaborada (ton)
S1
S2
1. Estadística Descriptiva – Ejercicios Resueltos
ANÁLISIS ESTADÍSTICO
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Respuesta: A la conclusión que llegamos es que ambas distribuciones son asimétricas, ya que al
contraponerlas estas no coinciden.
8.2) Solución:
𝑆𝑥 = 8,81�̅� = 20,44
𝐶𝑉(𝑥) =8,81
20,44∙ 100 = 43,10%
Respuesta: Según los datos obtenidos concluimos que la Gerencia debería declarar “estado de
alerta”, ya que el coeficiente de variación de la cantidad de materia prima elaborada es igual a 43,1%,
lo que es superior al 30%.
8.3) Solución:
𝑥 = CMPE (ton)
𝑆1
𝑛𝑖
𝑆1
𝑁𝑖
𝑥 = CMPE (ton)
𝑆2
𝑛𝑖
𝑆2
𝑁𝑖
5 – 15 33 33 5 – 15 0 0
15 – 25 20 53 15 – 25 38 38
25 – 35 37 90 25 – 35 34 72
35 – 45 0 0 35 – 45 18 90
Lo primero es calcular 𝑃75 de S1, lo que se hace por medio de la fórmula de percentil:
𝑃75 = 25 +10 ∙ (
90∙75
100− 53)
37= 28,92
Luego, ese resultado es igualado a la fórmula de percentil aplicada a la sucursal S2, lo que queda de
la siguiente manera:
28,92 = 25 +10 ∙ (
90∙𝑝
100− 38)
34 𝑝 = 57%
Finalmente, por propiedad de complemento obtenemos que el resultado es el 43%.
Respuesta: En el 43% de los días, la cantidad de materia prima elaborada por S2 supera al percentil
75 de la cantidad de materia prima elaborada por S1.
𝑥 = CMPE (ton) 𝑆1
𝑛𝑖
𝑆3
𝑛𝑖
𝑆1
ℎ𝑖%
𝑆3
ℎ𝑖%
5 – 15 33 0 36,7 0
15 – 25 20 37 22,2 41,1
25 – 35 37 53 41,9 58,9
35 – 45 0 0 0 0
𝑥 = CMPE (ton)
𝑥𝑖 𝑆1
𝑛𝑖
5 – 15 10 33
15 – 25 20 20
25 – 35 30 37
35 – 45 40 0
1. Estadística Descriptiva – Ejercicios Resueltos
ANÁLISIS ESTADÍSTICO
Página 18 Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas
9.- El responsable en control industrial de la empresa “CLR”, somete a un control de fiabilidad
110 baterías idénticas de celulares y anota su duración (tiempo hasta que se descarga), en
horas. La información obtenida se presenta a continuación:
𝒙 ∶ Duración (en horas) N° de baterías
200 – 300 4
300 – 400 25
400 – 500 60
500 – 600 19
600 – 700 2
9.1) Si se quiere garantizar a las baterías que tengan una duración de a lo más: �̅� − 𝟏. 𝟓 𝑺(𝒙)
¿Qué porcentaje de las baterías serán garantizadas?
9.2) La empresa “ADA”, de la competencia tiene en el mercado baterías de similares
condiciones, al tomar una muestra de baterías de igual tamaño se obtuvo que la
duración media de 400 hrs y una varianza de 6400 (hrs)2. Para competir con la empresa
“CLR”, la empresa “ADA” decide utilizar una tecnología que permite aumentar la
duración de cada batería en 70 hrs.
Después de aplicada la nueva tecnología, ¿En cuál de estas empresas resulta más
homogénea la duración de las baterías?
9.1) Solución: Lo primero es determinar el valor de "�̅� − 1.5 𝑆(𝑥)", lo que se desprende de la tabla que
adjunta el ejercicio.
�̅� = 440,9091𝑆(𝑥) = 78,4546
→ �̅� − 1.5 𝑆(𝑥) = 440,9091 − 1.5 ∙ 78,4546 = 323,2272
Luego este valor es reemplazado en la fórmula de percentil, de la siguiente manera:
323,2272 = 300 + 100 ∙(
110∙𝑝
100− 4)
25 → 𝑝 = 8,9152
Respuesta: El porcentaje de las baterías que serán garantizadas es del 8,9153%
9.2) Con los datos que fueron expuestos en el enunciado, hemos creado una tabla para poder tener
una mejor visión de la información dada:
Empresa n �̅� 𝑆(𝑥) CV
CLR 110 440,9091 78,4546 0,1779
ADA (después de la modificación) 80 470 80 0,1702
Respuesta: Las baterías de la empresa ADA después de la modificación tienen duración más
homogénea que las baterías de la empresa CLR.
(*) 10.- La siguiente tabla corresponde a la distribución de una muestra de cubos de cemento,
clasificados según: porcentaje de silicato dicálcico en el cemento (X), porcentaje de
aluminioferrito tetracálcico (Z) (ambos en relación con el peso total de la mezcla a partir de la
cual se preparó el cemento) y el calor desprendido en el fraguado (Y), en calorías por gramos
de cemento.
1. Estadística Descriptiva – Ejercicios Resueltos
ANÁLISIS ESTADÍSTICO
Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas Página 19
𝒙: Porcentaje silicato dicálcico
Y: Calor desprendido (cal/gr) 70 – 85
85 – 100
100 – 115
Z < 15% Z ≥ 15% Z < 15% Z ≥ 15% Z < 15% Z ≥ 15%
5 – 20 0 0 0 0 5 4
20 – 35 0 3 3 4 6 1
35 – 50 1 4 4 1 0 0
50 – 60 3 3 1 1 0 0
Total 4 10 8 6 11 5
10.1) Utilizando las distribuciones del calor desprendido en el fraguado, de las muestras con
aluminioferrito tetracálcico inferior al 15% y de las que tienen a lo menos un 15%.
10.1.1) Explique cual distribución es más homogénea.
10.1.2) Compare gráficamente las dos distribuciones de los cubos de cemento en
estudio, según calor desprendido en el fraguado. Interprete dicho gráfico.
10.2) Suponiendo que existe asociación, lineal entre el calor desprendido en el fraguado y el
porcentaje de silicato dicálcico, evalúe con la medida adecuada si ésta es fuerte o débil y
en qué sentido lo es.
10.3) En estas muestras de cemento, también se midió el porcentaje de silicato tricálcico (W)
encontrando que su vinculación con el calor desprendido tiene la siguiente relación:
𝐘𝐢 = 𝟓𝟓, 𝟖 + 𝟎, 𝟖 𝐖𝐢 . Determine el porcentaje de los cubos de cemento que en la muestra
tienen un porcentaje de silicato tricálcico superior a su promedio más una desviación
estándar (aproxime los cálculos al cuarto decimal)
10.1.1) Solución:
𝐶. 𝑉. (𝑌 𝑍 < 15)⁄ =11,4726
97,0652= 0,1182
𝐶. 𝑉. (𝑌 𝑍 ≥ 15)⁄ =12,4642
88,9286= 0,1402
Respuesta: Como C.V. (Y/ Z < 15) < C.V. (Y/ Z ≥ 15), la distribución del calor desprendido en el
fraguado de las muestras son alumioderrito tetracálcico inferior al 15% es más homogénea.
10.1.2) Solución:
𝑌𝑖 Z < 15 Z ≥ 15
62,5 0 0
77,5 17,39 47,62
92,5 34,78 28,57
107,5 47,83 23,81
122,5 0,00 0,00
𝑌𝑖 𝑁°/ 𝑍 < 15 𝑁° / 𝑍 ≥ 15
77,5 4 10
92,5 8 6
107,5 11 5
TOTAL 23 21
Po
rce
nta
jes
Mu
est
rale
s
Calor desprendido (cal/gr)
1. Estadística Descriptiva – Ejercicios Resueltos
ANÁLISIS ESTADÍSTICO
Página 20 Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas
Respuesta: Ambas distribuciones son asimétricas (contrapuestas) teniendo menor desprendimiento
de calor las con mayor porcentaje de aluminioferrito tetracálcico.
10.2) Solución: La medida más adecuada es el Coeficiente de correlación: r = - 0,7405, y los datos
utilizados fueron los siguientes:
𝑦
𝑥 77,5 92,5 107,5 TOTAL
12,5 0 0 9 9
27,5 3 7 7 17
42,5 5 5 0 10
55 6 2 0 8
TOTAL 14 14 16 44
Respuesta: La asociación lineal que tienen entre el calor desprendido en el fraguado y el porcentaje
de silicato dicálcico es inversa moderada, lo que se averiguo por medio del Coeficiente de correlación
de Pearson.
10.3) Solución: Utilizando la información que nos brinda el ejercicio podemos definir la siguiente expresión:
𝑌𝑖 = 55,8 + 0,8 𝑊𝑖 → 𝑊𝑖 =𝑌𝑖
0,8− 69,75
Luego de esto por medio de propiedades determinamos la media y desviación estándar
𝑀(𝑊) =93,1818
0,8− 69,75 = 46,7273 % 𝑆(𝑊) =
12,51
0,8= 15,6375 %
Reemplazando:
𝑊𝑖 = 𝑀(𝑊) + 𝑆(𝑊) = 62,3648 → 𝑌𝑖 = 55,8 + 0,8 ∙ 62,3648 = 105,6918 (𝑐𝑎𝑙/𝑔𝑟)
Finalmente, por fórmula de percentil, tenemos:
105,6918 = 100 +15
16(
𝑝 ∙ 44
100− 28) → 𝑝 = 77,4347%
Respuesta: El porcentaje de los cubos de cemento que en la muestra tienen un porcentaje de silicato
tricálcico superior a su promedio más una desviación estándar es igual al 22,5653%
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