TRANSFORMADA DE TRANSFORMADA DE LAPLACELAPLACELAPLACELAPLACE
Definición
Relaciona funciones dependientes del tiempo con funciones dependientes de unavariable compleja s. Permite resolver ecuaciones diferenc iales, convirtiéndolas enecuaciones algebraicas de sencilla resolución .
( )[ ] ( ) ( )L f t F s f t e dtst≡ =+
∞−∫
0
ecuaciones algebraicas de sencilla resolución .
[ ] ( ) ( )L e e e dt e dt
se
s
t t st s t s t− − −∞
− +∞
− +∞
= = = −+
=++ + +∫ ∫
0
1
0
1
0
1
1
1
1
Generalmente no será necesario resolver la integral, dadoque las transformadas más usadas aparecen en tablas.
Ejemplo: La transformada de f(t)=e -t será:
Propiedades
)0()()(
FsFstdf
L −=
[ ] [ ] [ ])()()()( tgbLtfaLtbgtafL +=+ [ ] [ ])()( tfLeTtfL Ts−=−
[ ] [ ] [ ])()())(())((1 tgbtfatgbLtfaLL +=+− [ ] )()( asFtfeL at +=−
)()( asaFt
fL =)0()()(
FsFsdt
tdfL −=
)0´()0()()( 2
2
2
FsFsFsdt
tfdL −−=
( ) ( ) ( )s
ttf
s
sFttfL 0
d
d ∫
∫ +=
( ) ( )
s
sFttfL =
∫ d
t
0
)()( asaFa
tfL =
)()(1 atafa
sFL =
−
Teorema de la convolución
Sean F1(s), F2(s) y sus respectivas f1(t) y f2(t) conocidas. Para conocer latransformada inversa de F1(s)*F2(s) que no figura en tabla, se puedeaplicar el teorema de la convolución, que establece la sigui ente relación:
( ) ( )[ ] ( ) ( ) τττ d
0 2121
1
∫ −=− t
tFFsFsFL
Teorema del Valor Inicial
[ ] [ ])(lim)(lim 0 sFstf st ∞→→ =
• Permite usar la transformada de Laplace de una función
para determinar el valor inicial de esa función.
Teorema del Valor Final
[ ] [ ])(lim)(lim 0 sFstf st →∞→ =
• Permite usar la transformada de Laplace de una
función para determinar el valor final de estado
estacionario de esa función.
Ejemplo de aplicación de TVF y TVI
• Transformada de
Laplace de la función.
• Aplicar TVF
)4()2(
2)(
++=
ssssY
• Aplicar TVF
• Aplicar TVI
[ ]4
1
)40()20()0(
)0(2)(lim =
++=∞→ tft
[ ] 0)4()2()(
)(2)(lim 0 =
+∞+∞∞∞=→ tft
Transformada inversa
( )[ ] ( ) ( )L F s f tj
F s e dsc j
c jst−
− ∞
+ ∞≡ = ∫1 1
2 π
Igual que en la transformada directa, en la mayoría de los cas os no
será necessrio resolver la integral, bastará con consultar las tablas.
Ls j s
e ds ec j
c jst t−
− ∞
+ ∞−
+
=
+=∫1 1
1
1
2
1
1π
Ejemplo: La transformada inversa de 1/(s+1) será:
Método para resolver EDO’s Lineales usando
Transformada de Laplace
sY(s) - y(0) =
F(s,Y)Y(s) = H(s)
Laplace Domain
Time Domain
dy/dt = f(t,y) y(t) = h(t)
Campo temporal
Campo de Laplace
Expansión en fracciones simples
• Se utiliza para facilitar el cálculo de la transformada inver sa, descomponiendo lafunción en componentes más sencillos.
Condiciones:
• Grado de R(s) > Grado de Q(s)
( ) ( )( )
( )( ) ( )( )( ) ( )n
mn
n
mm
pspsps
cscscs
rsrsr
qsqsq
sR
sQsF
−−−−−−=
++++++==
L
L
L
L
21
21
01
01
• Grado de R(s) > Grado de Q(s)
• rn=1
R(s): Polinomio característico del sistema.
c1 ... cm: Ceros de la función.
p1 … pn: Polos de la ecuación característica.
a1 … an: Residuos de F(s). a i es el residuo en p i.
( ) ( )( ) F s
Q s
R s
a
s p
a
s p
a
s p
a
s pn
n
= =−
+−
+−
+ +−
1
1
2
2
3
3
L
Ejemplo de expansión en fracciones simples
32)3()2(
1
++
+=
+++
s
B
s
A
ss
s Expandir en un término para cada factor en el denominador.
Reescribir usando común denominador.( )
)3()2(
2)3(
)3()2(
1
+++++=
+++
ss
sBsA
ss
s
Igualar los términos en s y las constantes. Resolver.
Expresar cada término de tal forma que puede aplicarse la antitransformada de Laplace.
)3()2()3()2( ++++ ssss
3
2
2
1
)3()2(
1
++
+−=
+++
ssss
s
1=+ BA 123 =+ BA
Ejemplo de resolución de una EDO
0)0(')0(2862
2
===++ yyydt
dy
dt
yd EDO con condiciones iniciales
Aplicar transformada de Laplace a cada término.ssYsYssYs /2)(8)(6)(2 =++
Resolver para Y(s)
Aplicar expansión en fracciones simples
Aplicar antitrasformada de Laplace a cada término.
)4()2(
2)(
++=
ssssY
)4(4
1
)2(2
1
4
1)(
++
+−+=
ssssY
424
1)(
42 tt eety
−−
+−=
Polos reales simples
( ) ( ) naaasQ +++== 21
( ) ( )( ) ( )npspspssR −−−= L21 ( ) ( )( )sRsQ
sF =
( ) ( )( ) n
n
ps
a
ps
a
ps
a
sR
sQsF
−++
−+
−== L
2
2
1
1
( )( )[ ]ipsii pssFa =−=
Polos reales múltiples
( ) ( )( )sRsQ
sF = ( ) ( ) ( ) ( )nkpspspssR −−−= L21
( ) ( )( ) ( ) ( )
nk
kk
k
ps
a
ps
a
ps
a
ps
b
ps
b
ps
b
sR
sQsF
−++
−+
−+
−++
−+
−== −
−LL
3211
1
( )( )( )1
1!
1
ps
k
i
i
ik pssFds
d
ib
=−
−=
( ) ( ) ( ) nkk pspspspspspssR −−−−−− −
3211
11
( )( )[ ]ipsii pssFa =−=
( ) ( )( )sRsQ
sF =
Polos complejos conjugados
( ) ( )( )( ) ( )npspspspssR −−−−= ∗∗L321
( ) ( )( ) ( )( )
naassQsF ++++== L
3βα
( )( )[ ]ipsii pssFa =−=
( ) ( )( ) ( )( ) n
n
ps
a
ps
a
psps
s
sR
sQsF
−++
−+
−−+== ∗∗ L
3
3
21
βα
[ ] ( )( )( )[ ]11 21 psps pspssFs == −−=+ βα
Resolución de ecuaciones diferenciales
Condiciones que debe cumplir la ecuación diferencial:
• Lineal.
• Invariable en el tiempo.
Pasos a seguir para resolver la ecuación diferencial:
• Convertir la ecuación diferencial en una ecuación en términ os de Laplace.
• Despejar la variable dependiente.
• Hallar la transformada inversa.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0
1
10
0
1
12
0
0
01
=−
−
=
−
=
− −−−−=
t
n
n
t
n
t
nn
n
n
tfdt
dstf
dt
dstf
dt
dssFstf
dt
dL LL
Respuesta de sistemas en frecuencia
( )tAsenr ω= ( ) ( )φωω += tsenjFAcF(s)
( ) ( )( )ωφ
ωωjFdeángulo
jFdemódulojF
==
F(s)
Transformadas codificadas
xy.zwk
X: exponente de s que puede ser factoreado del numerador
Y: orden de s en el numerador
Z: exponente de s que puede ser factoreado del denominador
W: número de raíces reales del denominador (excepto 0)
K: pares de raíces complejas conjugadas del denominador
)3()4(
2)(
++=
ssssG 00.120
)2()1()(
++=
sss
ssG 11.120
Transformadas más usadas
Transformadas más usadas