1
Teórico 8• Hoy:
– Modelos con estructura de edades (MEE), matrices de proyección
– Tabla de vida matriz de Leslie
• Semana proxima:– MEE: matriz de Leslie, aplicaciones.– Modelos con estadios, matriz de Usher y
Lefkovitch
2
Tablas de vida
x l (x) l (x) b (x)
0 1 0 0.0
1 0.8 2 1.6
2 0.4 3 1.2
3 0.1 1 0.1
4 0.0 0 0.0
b (x) ó m (x)
3
Tablas de vida
S(x) l(x) g(x) b(x) l(x) b(x) l(x) b(x) x500 1 0,8 0 0 0400 0,8 0,5 2 1,6 1,6200 0,4 0,25 3 1,2 2,450 0,1 0 1 0,1 0,30 0 0 0 0
9.2)()(0
k
xo xbxlR
Tasa reproductiva neta (Ro) y tiempo generacional (G)
48.1
)()(
)()(
0
0
k
x
k
x
xbxl
xxbxl
G
Número promedio de hembras producido por hembra a lo largo de su vida
Edad promedio de las madres de las hembras producidas por una cohorte
4
La tabla de vida completa
Ro 2,900G 1,483
r (aprox) 0,718r (Euler) 0,776
2,173
S(x) l(x) g(x) b(x) l(x) b(x) l(x) b(x) x exp(-rx) l(x) b(x) exp(-rx) l(x) c(x) exp(-ry) l(y) b(y) v(x)500 1 0,8 0 0 0 0,000 1,000 0,684 1,000 1,000400 0,8 0,5 2 1,6 1,6 0,736 0,368 0,252 1,000 2,717200 0,4 0,25 3 1,2 2,4 0,254 0,085 0,058 0,264 3,11550 0,1 0 1 0,1 0,3 0,010 0,010 0,007 0,010 1,0000 0 0 0 0 0,000 0,000 0,000 0,000
1,000 1,463 1
DEERo, G, r y r Euler Valor reproductivo
k
x
rx xbxle0
)()(1
5
Supervivencia
• A partir de estructura de edades (vertical):
6
Supervivencia• Sesgos por reclutamiento no constante:
7
Modelos con estructura de edad
3
F4
F2
S3
S2
S1
4
2
1
4
3
2
1
Tiempo t Tiempo t +1
Ed
ad
es
F3
POBLACIÓN
Emigración
Mortalidad
Inmigración
Nacimientos o
“reclutamiento”
8
MODELO CONCEPTUAL con estructura de edades (4 edades)
3
F4
F2
S3
S2
S1
4
2
1
4
3
2
1
Tiempo t Tiempo t +1
Ed
ad
es
F3
Representación más común con tiempo implícito
3
F4F2
S2S1421
F3
S3
Modelos con estructura de edad
9
Un modelo matemático para este sistema
N
N
N
N
F N F N F N
S N
S N
S N
t
t
t
t
t t t
t
t
t
1 1
2 1
3 1
4 1
2 2 3 3 4 4
1 1
2 2
3 3
,
,
,
,
, , ,
,
,
,
3
F4
F2
S3
S2
S1
4
2
1
4
3
2
1
Tiempo t Tiempo t +1
Ed
ad
es
F3
Modelos con estructura de edad
10
21
21
2
1
2
1
212
211
dxcx
bxax
x
x
dc
ba
y
y
dxcxy
bxaxy
Sistemas de ecuaciones y multiplicación matricial
11
N
N
N
N
F N F N F N
S N
S N
S N
t
t
t
t
t t t
t
t
t
1 1
2 1
3 1
4 1
2 2 3 3 4 4
1 1
2 2
3 3
,
,
,
,
, , ,
,
,
,
t
t
t
t
t
t
t
t
N
N
N
N
S
S
S
FFF
N
N
NN
,4
,3
,2
,1
3
2
1
432
1,4
1,3
1,2
1,1
000
000
000
0
Sistemas de ecuaciones y multiplicación matricial
12
N
N
N
N
F N F N F N
S N
S N
S N
t
t
t
t
t t t
t
t
t
1 1
2 1
3 1
4 1
2 2 3 3 4 4
1 1
2 2
3 3
,
,
,
,
, , ,
,
,
,
t
t
t
t
t
t
t
t
N
N
N
N
S
S
S
FFF
N
N
NN
,4
,3
,2
,1
3
2
1
432
1,4
1,3
1,2
1,1
000
000
000
0
3
F4
F2
S3
S2
S1
4
2
1
4
3
2
1
Tiempo t Tiempo t +1
Ed
ad
es
F3
Cuatro expresiones para el mismo modelo
3
F4F2
S2S1421
F3
S3
13
tN
t
t
t
t
AtN
t
t
t
t
N
N
N
N
S
S
S
FFF
N
N
NN
,4
,3
,2
,1
3
2
1
432
1
1,4
1,3
1,2
1,1
000
000
000
0
Matriz de Leslie
Lineal
Encapsula las características dinámicas de la especie
14
Modelo no lineal
t
t
t
t
edadtedad
edadtedad
edadtedad
t
t
t
t
N
N
N
N
S
S
S
Nc
b
Nc
b
Nc
b
N
N
N
N
,4
,3
,2
,1
3
2
1
,,,
1,4
1,3
1,2
1,1
x
000
000
000
1110
15
Matriz de Leslie, características dinámicas
Proyección en el tiempo de un modelo lineal con estructuras de edades
N A N
N A N A N
N A N
t t
t t t
t nn
t
1
2 12
16
Matriz de Leslie, características dinámicas
Tiempo
ln (
Nu
me
ros
)
Edad 1
Edad 2
Edad 3
Tiempo
ln (
Nu
me
ros
)
Tiempo
ln (
Nu
me
ros
)
A
N
0 1 4
0 7 0 0
0 0 5 0
1
0
00
.
.
N 0
0
1
1
A
N
0 0 5
0 7 0 0
0 0 5 0
1
0
00
.
.Matriz cíclica
Matriz primitiva
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Matriz de LesliePropiedades matemáticas de la matriz de proyección.Para toda matriz de transición nxn:
A w wi i i
Los autovalores y los autovectores se obtienen resolviendo:
det( )
( )
A I
A I w
0
0
Los autovalores y autovectores nos proveen un sumario del comportamiento dinámico del sistema: λ1=crecimiento poblacionalw = estructura estable de edadesv = valor reproductivo
v A viT
i iT
18
Matrices primitivas 3 421
Tamaño de los loops = 2, 3, 4.Máximo común divisor (m.c.d.) = 1
3 421
Tamaño de los loops = 3, 4.Máximo común divisor (m.c.d.) = 1
i) Existe un autovalor dominante (1>0) estrictamente mayor que el resto de los
autovalores.ii) Independientemente de las condiciones iniciales, la población alcanza un estado en el cual cambia de tamaño geométricamente (crecimiento exponencial)
N N e Nt tr
t 1 1
19
Matrices imprimitivas
3 421
Tamaño de los loops = 4.Máximo común divisor (m.c.d.) = 4
3 421
Tamaño de los loops = 2, 4.Máximo común divisor (m.c.d.) = 2
i) No existe un autovalor dominanteii) La población alcanza un estado cíclico, con crecimiento promedio λ1
20
Análisis de “perturbación”
¿Qué tan sensible es a cambios en las tasas vitales?Evaluación de estrategias de manejoExploración de factores de impactoEvolución de estrategias de vida
Sensibilidad de la tasa de crecimiento poblacional
1 1 1
1 1a
i j
ijij
w
w vS
,
Elasticidad o sensibilidad proporcional o
ae e
ij
aij ij
jiij
1
1 1 ;
21
Fortalezas y debilidades de modelos lineales
Algunos puntos débiles de los modelos lineales: •Supuesto de tasas vitales constantes• , v, w, y elasticidades tienen sentido sólo cuando la población está en la DEE.
Algunos puntos fuertes de los modelos lineales •Son muy útiles para proyección poblacional. •Importante distinguir predicción de proyección.
Predicción: ¿Qué pasará con la población en el tiempo t? Proyección: ¿Qué pasaría con la población si se mantuvieran
las condiciones actuales? •Provéen información acerca de la condición actual de la población,
no de la dinámica o los estados futuros.•Muy utilizados en problemas de conservación y evolución
de historias de vida, aunque captura relativa óptima por edad es independiente del modelo de reclutamiento
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Tablas de vida y matrices
Clase de edad (i)
Edad (x)
23
Censos post-reproductivos
24
Censos post-reproductivos
3
F4
F2
S3
S2
S1
4
2
1
4
3
2
1
Tiempo t Tiempo t +1E
da
de
s
F3
25