2
1. Sumar y restar polinomios2. Multiplicar un monomio por un monomio.3. Multiplicar un monomio por un polinomio.4. Multiplicar un polinomio por un polinomio.5. Multiplicar polinomios usando los
productos especiales: la diferencia de cuadrados y la expansión de binomios.
Objetivos:
3
DefiniciónDefinición
Dos Dos términos términos son son semejantessemejantes si tienen las si tienen las mismas variables con los mismos exponentes.mismas variables con los mismos exponentes.
2 5 2 51) 3 y 4x y x y
2) y 2ab ba
Ejemplos:
4
La suma y la resta de polinomiosLa suma y la resta de polinomios
DefiniciónDefinición
Para sumar polinomios, se suman losPara sumar polinomios, se suman los
coeficientes de los términos semejantescoeficientes de los términos semejantes
de los dos polinomiosde los dos polinomios..
Aclaración:Aclaración: Lo que nos permite definir la suma de Lo que nos permite definir la suma de
términos semejantes es la propiedad términos semejantes es la propiedad distributiva de los números reales.distributiva de los números reales.
5
Efectúe la operación indicada.Efectúe la operación indicada.
3 2 21) 3 5 4 5 5 2x x x x x
3 2 23 5 4 5 5 2x x x x x 3 23 4 3x x x
4 2 4 22) 3 7 8 3 3 6 x x x x x x
4 4 2 28 3 3 3 7 6x x x x x x
4 29 4 6 13 x x x
6
La resta de polinomiosLa resta de polinomios
DefiniciónDefiniciónLa resta de dos polinómios se define comoLa resta de dos polinómios se define comola suma del opuesto del pololinomiola suma del opuesto del pololinomiosustraendo.sustraendo.
7
Efectúe la operación indicada.Efectúe la operación indicada.
3 2 21) 3 5 4 5 5 2 x x x x x
3 2 23 5 4 5 5 2 x x x x x3 23 6 9 7 x x x
4 2 4 22) 3 7 8 3 3 6 x x x x x x
4 4 2 28 3 3 3 7 6x x x x x x 4 27 2 1 x x
4 2 4 23 7 8 3 3 6 x x x x x x
9
La multiplicación de polinomiosLa multiplicación de polinomios
Aclaración:Aclaración: Para multiplicar polinomios, se necesita Para multiplicar polinomios, se necesita
conocer las conocer las reglas de los exponentes reglas de los exponentes enterosenteros y la y la propiedad distributiva de la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma.multiplicación con respecto a la suma.
10La multiplicación de monomiosLa multiplicación de monomios
La La multiplicación de dos monomiosmultiplicación de dos monomios se lleva a se lleva a cabo usando las leyes de exponentes y las cabo usando las leyes de exponentes y las propiedades de los números reales.propiedades de los números reales.
3 51) 4 5x x 820x
2 32 3 4 22) 5 2y x y x 4 6 12 625 8y x y x
16 12200y x
11La multiplicación de un monomio por un La multiplicación de un monomio por un polinomiopolinomio
La La multiplicación de un monomio por un multiplicación de un monomio por un polinomiopolinomio se lleva a cabo multiplicando el se lleva a cabo multiplicando el monomio por cada término del polinomio monomio por cada término del polinomio mediante la propiedad distributiva de los mediante la propiedad distributiva de los números reales.números reales.
2 41) 3 6 5 7x x x 618x 315x 221x
3 10 52) 4 7 2w z w z 1328w z 3 68w z
12La multiplicación de un polinomio La multiplicación de un polinomio por otro polinomiopor otro polinomio
La La multiplicación de un polinomio por multiplicación de un polinomio por otro polinomiootro polinomio se lleva a cabo se lleva a cabo multiplicando el cada término del primer multiplicando el cada término del primer polinomio por polinomio por cada términocada término del segundo del segundo polinomio mediante la propiedad polinomio mediante la propiedad distributiva de los números reales.distributiva de los números reales.
13
1) 2 1 4 3 x x 28x 6x 4x 3
28x 10x 3
2 2 22) 4 6 2 x y x xy y
44x 34x y 2 24x y 26x y 26xy 36y 2 22 2 2 x xy y
2 2 23) 2 4 2 x y x xy y
42 x 32 x y 2 24 x y 2 x y 2 xy 32y 2 24 4 8 x xy y
14
4) 3 2 4 1 x x 212x 3 x 8 x 2
212 x 11 x 2
2 2 25) 2 4 3 2 x y x xy y
43 x 32 x y 2 2 x y 26x y 24 xy 32 y 2 212 8 4 x xy y
2 2 26) 2 3 4 2 2 x y x xy y
42x 34 x y 2 24 x y 23 x y 26 xy 36y 2 24 8 8 x xy y
15
baba
5353 xx 259 2 x
4747 xx 1649 2 x
2 2a b
1. Diferencia de Cuadrados
Productos especiales
EjemplosEjemplos:
1)
2)
2 2a ab ba b
17
2. La expansión de un binomio al2. La expansión de un binomio al cuadrado cuadrado
a b a b
2a
a b a b
2ba
2ba
ab2 2b
25x2x x10 251)
Ejemplos:Ejemplos:
ab2 2b2a
22
Aclaración:Aclaración:
Para dividir polinomios éstos deben estar Para dividir polinomios éstos deben estar expresados en expresados en forma decendenteforma decendente. Esto es. Esto es;; las potencias deben aparecer en orden de las potencias deben aparecer en orden de mayor a menor.mayor a menor.
De faltar alguna potencia se añadirá con De faltar alguna potencia se añadirá con coeficiente cerocoeficiente cero..
División de PolinómiosDivisión de Polinómios
23Teorema: Algoritmo de DivisiónSi dividimos un polinomio ( ) por otro
polinomio ( ) llamado el divisor, entonces
existen polinomios ( ) llamado el cociente y
( ) llamado el residuo ,con el grado de ( )
menor que el grado de (
P x
D x
Q x
R x R x
D x), tal que
( ) ( ). ( ) ( )P x D x Q x R x
1
6
372Ejemplo:
7 2(3) 1
P(x) D(x) Q(x) R(x)
24Procedimiento para le división de polinomios
1. Colocar el dividendo dentro del símbolo ( la casita ) de división en forma descendente de acuerdo con los exponentes.
2. Si alguna potencia no aparece añádala con coeficiente cero.
3. Divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor para obtener el primer término cociente.
4. Multiplica el término del cociente por cada uno de los términos del divisor.
5. Resta el dividendo menos el polinomio obtenido al multiplicar el paso anterior.
6. Repite los pasos 3,4 y 5 hasta que el grado del residuo sea menor que el grado del divisor.
25
Ejemplo 1Ejemplo 1Usa la división larga para Usa la división larga para ddividir los polinomios.ividir los polinomios.
2865 3 xxx
Primero expresamos los polinomios
en forma decendente.
2x
ojo
8605 23 xxx
28605 23 xxxx
27
Resultado:
26105 2 xx 2
44
x
25 10 26x x 2
44
x
35 6 8
2
x x
x
3 2
Usando el algoritmo de división t
5 6 8 2 5 10 26
enemos
4
,
4x x x x x