7/21/2019 10.Transformadas de Laplace solamente.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/10transformadas-de-laplace-solamentepdf 1/32
‣ Linealidad:
7/21/2019 10.Transformadas de Laplace solamente.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/10transformadas-de-laplace-solamentepdf 2/32
Sea x(t) = x 1(t)-x 2(t) con
21
1)(
1
1)( 21
sss X
ss X
21
1
1
1)()()( 21
ssss X s X s X
2
1
21
1
sss
s
7/21/2019 10.Transformadas de Laplace solamente.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/10transformadas-de-laplace-solamentepdf 3/32
1
1)(1
s
s X
2
1)(
s
s X
21
1)(2 sss X
7/21/2019 10.Transformadas de Laplace solamente.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/10transformadas-de-laplace-solamentepdf 4/32
esplazamiento en tiempo
7/21/2019 10.Transformadas de Laplace solamente.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/10transformadas-de-laplace-solamentepdf 5/32
esplazamiento en s
La ROC depende únicamente de la parte realdel parámetro s
Si el corrimiento es puramente imaginario, laROC no cambia
7/21/2019 10.Transformadas de Laplace solamente.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/10transformadas-de-laplace-solamentepdf 6/32
a
R
a
s X
asY at x t y
1R ROC
1
‣ Si a>1, la ROC se comprime.‣ Si 0<a<1, la ROC se expande.
‣ Si a<0, la ROC sufrirá una reflexión, apartede la correspondiente escalización. En
particular:
Rs X t x 1R ROC
7/21/2019 10.Transformadas de Laplace solamente.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/10transformadas-de-laplace-solamentepdf 7/32
Si la señal x(t) es real X(s) = X * (s* )
Si x(t) es real y tiene un polo o cero en s 0 ,entonces también tendrá un polo o cero ens o
*
x
s X t x R ROC
7/21/2019 10.Transformadas de Laplace solamente.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/10transformadas-de-laplace-solamentepdf 8/32
y x R ROC,R ROC, sY t ys X t x
Convolución
y xz R R R ROC
)()()()()(
sY s X s Z t yt x t z
7/21/2019 10.Transformadas de Laplace solamente.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/10transformadas-de-laplace-solamentepdf 9/32
x RssX dt
t dx t y y R ROC),(
)(
x s X t x R ROC
7/21/2019 10.Transformadas de Laplace solamente.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/10transformadas-de-laplace-solamentepdf 10/32
erivación en s
x Rds
sdX t tx t y y R ROC,)()(
7/21/2019 10.Transformadas de Laplace solamente.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/10transformadas-de-laplace-solamentepdf 11/32
Por derivación en s
)()( t utet x at
asas
t ue at
}Re{1
)( L
as
asasds
d t ute at
}Re{
11)(
2
L
‣ En general
as
ast ue
n
t n
at n
}Re{1
)(!1
1L
7/21/2019 10.Transformadas de Laplace solamente.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/10transformadas-de-laplace-solamentepdf 12/32
Integración en Tiempo
0R ROC
1)(
y
s R
s X s
sY d x t y
x
t
e
7/21/2019 10.Transformadas de Laplace solamente.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/10transformadas-de-laplace-solamentepdf 13/32
Sea x(t) = 0 para t<0
Si x(t) no contiene impulsos u otras
singularidades en el origen se tiene que:
)(lim)(lim
)(lim0
0ssX t x
ssX x
st
s
7/21/2019 10.Transformadas de Laplace solamente.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/10transformadas-de-laplace-solamentepdf 14/32
Por la propiedad de convolución, la relaciónentrada-salida de un SLTI se puede escribircomo:
H(s) , es función de transferencia de lossistemas.
Evaluando H(s) en s = j se obtiene larespuesta en frecuencia del sistema.
)()()( s X s H sY
7/21/2019 10.Transformadas de Laplace solamente.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/10transformadas-de-laplace-solamentepdf 15/32
La ROC de H(s) nos pueden dar información
sobre algunas propiedades del sistema. Causalidad:
◦ En sistemas causales h(t) es una función derecha.
◦ Las ROC de su transformada es
Semiplanos derechos en el plano s.
7/21/2019 10.Transformadas de Laplace solamente.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/10transformadas-de-laplace-solamentepdf 16/32
El sistema es causal (h(t) = 0, t<0) y la ROC es
un semiplano derecho que comienza en elúnico polo del sistema.
1}{,1
1)()()(
ss
s H t uet h t Re L
1}{1,
1
2)()(
2
||
s
s
s H et h t Re L
‣ El sistema es no causal (h(t) ≠ 0, t<0) y la ROCno es un semiplano derecho.
7/21/2019 10.Transformadas de Laplace solamente.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/10transformadas-de-laplace-solamentepdf 17/32
La ROC de este sistema es un semiplanoderecho
H(s) no es racional, la causalidad del sistema
no se puede determinar inmediatamente Se debe calcular h(t)
1}{,1
)(
ss
es H
s
Re
‣ es indica un corrimiento en tiempo
1}{,1
1)()()(
ss
s H t uet h t Re L
)1()( 1 t uet h t
‣ h(t)≠0 para -1<t<0, el sistema es no causal
7/21/2019 10.Transformadas de Laplace solamente.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/10transformadas-de-laplace-solamentepdf 18/32
Si un sistema es estable, su respuestaimpulso debe ser absolutamenteintegrable/sumable.
La transformada de Fourier H(j ) existen
El eje imaginario pertenece a la ROC de H(s)
7/21/2019 10.Transformadas de Laplace solamente.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/10transformadas-de-laplace-solamentepdf 19/32
La ROC no se haespecificado, pero larespuesta impulso se
puede determinar si setiene informaciónextra.
Si el sistema es causal,la ROC es unsemiplano derecho
21
1)(
ss
ss H
)(3
1
3
2)( 2 t ueet h t t
7/21/2019 10.Transformadas de Laplace solamente.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/10transformadas-de-laplace-solamentepdf 20/32
Si el sistema es estable,la ROC debe contener aleje imaginario.
La única opción posiblees que la ROC esté entrelos dos polos
21
1)(
ss
ss H
t uet uet h t t 2
3
1)(
3
2)(
7/21/2019 10.Transformadas de Laplace solamente.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/10transformadas-de-laplace-solamentepdf 21/32
Si la ROC es unsemiplano izquierdo
21
1)(
ss
ss H
)(3
1
3
2)( 2 t ueet h t t
7/21/2019 10.Transformadas de Laplace solamente.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/10transformadas-de-laplace-solamentepdf 22/32
Si el sistema es además causal, su ROC es:
◦ Semiplano derecho para t. continuo
La ROC no puede contener polos.
Todos los polos del sistema deben estar:◦ A la izquierda del eje imaginario para tiempo
continuo
◦ Al interior del círculo unitario para tiempo discreto
7/21/2019 10.Transformadas de Laplace solamente.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/10transformadas-de-laplace-solamentepdf 23/32
Objetivo: Determinar la función de transferenciadel sistema descrito por esta ecuación.
Un SLIT está caracterizado por la ecuación:
)()()(
00
M
k k
k
k
N
k k
k
k
dt
t x d b
dt
t yd a
)()()( s H s X sY
)(
)()(
s X
sY s H
7/21/2019 10.Transformadas de Laplace solamente.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/10transformadas-de-laplace-solamentepdf 24/32
La transformada de Laplace de (*) es:
M
kk
k
k
N
kk
k
kdt
t x d bdt
t yd a00
)()( L L
M
k
k
k
N
k
k
k sbs X sasY 00
N
k
k
k
M
k
kk
sa
sb
s X
sY s H
0
0
7/21/2019 10.Transformadas de Laplace solamente.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/10transformadas-de-laplace-solamentepdf 25/32
Aplicando la transformada de Laplace aambos lados:
)()(3)(
t x t ydt
t dy
)()(3)( s X sY ssY
3
1
)(
)()(
ss X
sY s H
‣
Si el sistema es causal:
‣ Si no lo es:
)()( 3 t uet h t
)()( 3t uet h
t
7/21/2019 10.Transformadas de Laplace solamente.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/10transformadas-de-laplace-solamentepdf 26/32
Suponga que la entrada y salida de un SLITson:
)()()()( 23 t ueet yt uet x t t t
1}{
21
1)(3}{
3
1)(
s
sssY s
ss X Re Re
‣ de donde:
‣ Sus transformadas de Laplace son
21
3
)(
)()(
ss
s
s X
sY s H
7/21/2019 10.Transformadas de Laplace solamente.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/10transformadas-de-laplace-solamentepdf 27/32
La propiedad deconvolución tambiénespecifica la ROC de
H(s):
RY R X R H
La única ROC que
cumple es elsemiplano derecho.
)(2)( 2 t ueet h t t
7/21/2019 10.Transformadas de Laplace solamente.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/10transformadas-de-laplace-solamentepdf 28/32
Hallar H(s) de un SLIT si:◦ El sistema es causal
◦ H(s) es racional y tiene polos en -2 y 4
◦ Si x(t) = 1, y(t) = 0
◦ h(o+ ) = 4
42
)()(
ss
s ps H
‣ x(t)=1=e0t y(t)=0=e0t H(0) = H(0) p(0)=0
7/21/2019 10.Transformadas de Laplace solamente.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/10transformadas-de-laplace-solamentepdf 29/32
p(0)=0 p(s) = sq(s)
Por el teorema del valor inicial:
4
42
)(lim)(lim
2
ss
sqsssH
ss
‣ Para que el límite exista, el grado delnumerador debe ser igual al del denominador
q(s) = K
K
ss
K ss
KsssH sss
2
2
2
821
lim82
lim)(lim
42
4)(
ss
ss H
7/21/2019 10.Transformadas de Laplace solamente.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/10transformadas-de-laplace-solamentepdf 30/32
Operaciones complejas en el dominio deltiempo se pueden reemplazar poroperaciones algebraicas en los dominios s y
z .
Conexión en paralelo
◦ h(t) = h1(t)+h2(t)
◦
H(s) = H 1(s)+H 2(s)◦ h[n] = h1 [n]+h2 [n]
◦ H(z) = H 1(z)+H 2(z)
h1(t)
h2(t)
+ x(t) y(t)
7/21/2019 10.Transformadas de Laplace solamente.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/10transformadas-de-laplace-solamentepdf 31/32
)()(3)(
t x t y
dt
t dy
dt t yt x t y )(3)()(
)()(1
)()(
21
1
s H s H
s H s H
3
1
31
1
s
s
s
3
x(t) y(t)dt +
-
3
X(s) Y(s)s
1+
-