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Elementos del movimiento
Unidad 11
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Contenidos (1)1.- Introduccin.
2.- Magnitudes escalares y vectoriales.
3.- Sistemas de referencia. Concepto de
movimiento.
4.- Operaciones con vectores.
5.- Trayectoria,posicin y desplazamiento.
6.- Velocidad media e instantnea (introduccin
al concepto de derivada).
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Contenidos (2)7.- Aceleracin media e instantnea.
8.-Componentes intrnsecas de la aceleracin:tangencial y normal..
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Magnitudes escalares y
vectoriales Escalares:Escalares: quedan perfectamente definidas
con una cantidad (nmero) y una unidad
Ejemplo: el tiempo 3 s; la masa 8 kg. Vectoriales (vectores):Vectoriales (vectores): Se caracterizan por:
Mdulo: (cantidad y unidad). Se representa por
la longitud del vector. Es la parte escalar.
Direccin: es la recta que contiene el vector.
Sentido: indicado por la punta de la flecha.
Punto de aplicacin: origen de la flecha.
Ejemplo: la posicin, velocidad, fuerza...
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Sistema de referencia y movimiento
Es un punto del espacio respecto al cual
describimos el movimiento.
Un objeto se encuentra en movimientomovimiento sicambia su posicin respecto al sistema de
referencia.
Los sistemas de referencia cuentan a su vez conuno (x), dos (x,y) o tres ejes (x,y,z),
perpendiculares entre s, segn trabajemos en
una recta, en un plano, o en el espacio.
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Representacin de un sistema de
referencia tridimensional. Sobre cada eje se
toma como unidad de
medida los vectores
unitarios
(mdulo igual a 1):
i sobre el eje x j sobre el eje y
k sobre el eje z
j
x
y
zi
k
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Vectores
Se representan con una flecha encima de la letraque utilizada para dicha magnitud.
Se suelen expresar en forma cartesiana en donde
ax, ay y az son sus componentes cartesianas: p p p pa = ax i + ay j + az k
A partir de ahora, los vectores los escribiremos en
negrita y diferente color para mayor comodidad: a = ax i + ay j + az k
en donde i,j y krepresentan los vectores unitarios
sobre los ejes x, y, z.
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Sean dos vectores: a = ax i + ay j + az ky b = bx i + by j + bz k
El vector suma vendr dado por:
a + b = (ax + bx) i + (ay + by) j + (az + bz) k Ejemplo: Sean
a = 3 i + 2j
y b = 2 i3ja + b = (3+2) i + (2 3)j
= 5 ij
y
x
5
Suma de vectores
a
b
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Clculo del mdulo de un vector.
Sean un vector: a = ax i + ay j + az k
El mdulo de a, que se representa como |a| se
calcula aplicando el teorema de Pitgoras:
____________ |a| = ax
2 + ay2 + az
2
Ejemplo: En el vector anteriorc = a + b= 5 ij
____________ ____________ ___|a| = ax
2 + ay2 + az
2 = 52 + (1)2 + 02 = 26
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Vector Posicin ( r = r) .
Para un punto P de coordenadas (x,y,z)
el vector posicin viene dado por:
r = x i + y j + z k
r = 2 i + 2j
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v = x i + y j
v = x i + y j + z k
Representacin de vectores posicin
En dos
dimensiones
En tres
dimensiones
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Ecuacin del movimiento La ecuacin que proporciona la posicin de
un objeto con respecto al tiempo se llama
ecuacin del movimientoecuacin del movimiento:
r(t) = x(t) i + y(t) j +z(t) k
Ejemplo:Ejemplo: r(t) = [2t i + (1t) j + (3t2+4) k] m
En el S.I. la unidad ser el m.
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10
y
x
5
5 10
Ejercicio: Sea el movimiento definido por la si-guiente ecuacin r = 2t i + 8j en unidades del S.I.
Dibujar los vectores posicin en los instantes 0, 2,4 y 6 segundos.
t (s) r (m)
0 8j (0,8) 2 4 i + 8j (4,8)
4 8 i + 8j (8,8)
6 12 i + 8j (12,8)
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Ecuaciones paramtricas. Son las ecuaciones que relacionan cada
componente cartesiana con el tiempo.
x = f(t); y = g(t); z = h(t)
Son ecuaciones escalares (no vectores).
Ejemplo:Ejemplo: En el vector:
r(t) = [2ti + (1t) j + (3t2+4)k] m
las ecuaciones paramtricas seran:
x = 2t ; y = 1 t ; z = 3t2 + 4
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Trayectoria Es la lnea que sigue
el movimiento.
Los diferentes
puntos de dicha
lnea se obtienen
dando valores a ten la ecuacin del
movimiento
(paramtricas).
x
y
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Ecuaciones de la trayectoria.
Se obtienen despejando el parmetro (tiempo) en
una ecuacin y sustituyendo el valor en la otra.
Son ecuaciones escalares (no vectores).
Ejemplo:Ejemplo: r(t) = [2ti + (1t) j + (3t2+4)k] m
x = 2t ; y = 1 t ; z = 3t2 + 4
t = x/2
y = 1 x/2 ; z = 3x
2
/4 + 4 En el caso del espacio bidimensional, nicamente
existe una ecuacin de la trayectoria: y = f(x).
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Ejercicio: Determinar las ecuaciones paramtricasy de la trayectoria del siguiente movimiento
expresado por la ecuacin:r(t) = [(t 2)i + (2t2 + 4t 3 )j] m
Ecuaciones paramtricas:
x = t 2 ; y = 2t2 + 4t 3
Despejando tde la 1 ecuacin: t = x + 2
Y sustituyendo en la segunda:
y = 2 (x + 2)2 + 4(x + 2) 3
y = 2 (x 2 + 4x + 4) + 4(x + 2) 3
y = 2 x 2 + 8x + 8 + 4x + 8 3
Ecuacin de la trayectoria: y = 2 x 2 + 12x + 13
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18Ejercicio: Determina el valor del vector posicin delvector : r(t) = [3t i + (2t2 6) j] m en los
instantes de tiempo t = 0, 2, 4, 6 s y calcula elmdulo de dichos vectores y la ecuacin de la
trayectoria.
Ejercicio: Determina el valor del vector posicin delvector : r(t) = [3t i + (2t2 6) j] m en los
instantes de tiempo t = 0, 2, 4, 6 s y calcula elmdulo de dichos vectores y la ecuacin de la
trayectoria.t (s) r(t) (m) r(t) (m)
0 6j (6)2 = 6,00
2 6 i + 2j 62 + 22 = 6,32
4 12 i + 26j 122 + 262 = 28,646 18 i + 66j 182 + 662 = 68,41
Despejando t de x = 3 t t = x/3, ysustituyendo en y = 2 t2 6 queda:
y = 2(x/3)2
6; y = 2xy = 2x22
/9/9 66
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19Ejercicio: Representa grficamente la ecuacinanterior: (0,6); (6,2); (12,26); (18,66).
50
y
x
25
5 10 15
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Vector desplazamiento ((r = (r)Vector desplazamiento ((r = (r) Es el vector diferencia de dos vectores de
posicin en dos momentos distintos.
Sean r0 = x0 i + y0j + z0 k
y r1 = x1 i + y1j + z1 kdos vectores posicin.
(r = r1r0 == (x1x0) i + (y1y0)j + (z1z0) k=
= (x i + ( yj + (z k
En el S.I. la unidad ser el m.
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21Ejercicio: Cul ser el vector desplazamiento ycunto valdr su mdulo en la ecuacin anterior:
r(t) = 3t i + (2t2
6) j en unidades del S.I entrelos instantes t = 2 s y t = 4 s.
Ejercicio: Cul ser el vector desplazamiento ycunto valdr su mdulo en la ecuacin anterior:
r(t) = 3t i + (2t2
6) j en unidades del S.I entrelos instantes t = 2 s y t = 4 s.
r1 (t =2 s) = (6 i + 2j) mr2(t= 4 s) = (12 i + 26j) m
(r = r2r1 = (x i + ( yj + (z k= [(12 6) i + (26 2)j] m
(r = (6 i + 24j) m
(r= 62 + 242 m = 36 + 576 m = 24,74 m24,74 m
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Espacio recorrido ((s)Espacio recorrido ((s) Es una magnitud escalar que mide la longitud de
trayectoria recorrida.
NO hay que confundir
con el vector desplaza-
miento, aunque en tra-
yectorias rectilneas y
que no cambien de sen-tido el movimiento
(s = (r
En el S.I. la unidad ser el m.
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p
Velocidad media (vm = vm)
p
Velocidad media (vm = vm) (r (x i + ( yj + (z kvm = = (t (t
(x (y (zvm = i + j + k(t (t (t
vm = vmx i + vmyj + vmz k
El mdulo del vector vm toma el valor:
v
m= v
mx
2 + vmy
2 + vmz
2
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Velocidad media (continuacin) La direccin y el sentido son los mismos que los del
vector desplazamiento (r ya que (t es un escalar.
NO hay que confundirvm con el escalar (s/(t que, en
Fsica, llamaremos rapidez o celeridad media.
Ni siquiera vmtiene porqu coincidir con la rapidez oceleridad media.
Ejemplo: un corredorque da una vuelta completa a un circuitotendr vm = 0 ya que (r = 0. Sin embargo tiene una rapidez queviene determinada por la longitud de la pista ((s) dividido porel tiempo empleado en cubrir la vuelta ((t).
En el S.I. la unidad ser el m/s.
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Ejercicio: Calcular la velocidad media entre losinstantes t = 2s y t = 5, as como su mdulo en el
movimiento: r(t) = [(2t2 4) i + (1 4t) j] m
r1 (t =2 s) = (4 i 7j) m
r2(t =5 s) = (46 i 19j) m
(r (2sp5s) = r2r1 = (42 i 12j) m(r (42 i 12j) m
vm (2sp5s) = = = (14 i 4j) m/s(t 5 s 2 s
vm (2sp5s)= (14 m/s)2 + ( 4 m/s)2 = 14,56 m/s
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pVelocidad instantnea (v = v)
pVelocidad instantnea (v = v)
Es el valor lmite que toma la velocidad media cuando
los intervalos de tiempo (t van aproximndose a 0.
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Ejemplo: Calcular la velocidad instantnea aproxima-da (( t = 0,1 s) en el instante t = 2s, as como su
mdulo en el movimiento: r(t) = [3t i + (2t26)j] m
Sea ( t = 0,1 s, suficientemente pequeo:deberemos conocer la posicin en r1 (t =2 s) y en
r2(t =2,1 s) r1 (t =2 s) = (6 i + 2j) m
r2(t =2,1 s) = (6,3i + 2,82j) m
(r = r2
r1
= (0,3 i + 0,82j) m
(r (0,3 i + 0,82j) mvaprox (t=2 s) = = = (3 i + 8,2j) m/s
(t 0,1 s
vaprox (t=2 s)= 32 + 8,22 m/s = 8,73 m/s
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Ejercicio: Calcular la velocidad instantnea msaproximada en el instante t = 2s, as como su mdulo
en el movimiento: r(t) = [3t i + (2t2 6) j] m Si queremos calcularv (t=2 s) de forma ms aproximada
deberemos tomar un ( t an menor, por ejemplo 0,01 s,y conocer la posicin en r1 (t =2 s) y en r3 (t =2,01 s).
r1 (t =2 s) = (6 i + 2j) m
r3 (t =2,01 s) = (6,03i + 2,0802j) m
(r = r3r1 = (0,03 i + 0,0802j) m (r (0,03 i + 0,0802j) mvaprox (t=2 s) = = = (3 i + 8,02j) m/s
(t 0,01 s
vaprox (t=2 s)= 32 + 8,022 m/s = 8,56 m/s
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Componentes cartesianas de la
velocidad instantnea v
Componentes cartesianas de la
velocidad instantnea v (r (x i + ( yj + (z k
v = lim = lim (tp0 (t (tp0 (t
dr dx dy dzv = = i + j + k
dt dt dt dt
v = vx i + vyj + vz k
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Velocidad instantnea (cont.)
La direccin de v es tangente a la trayectoria en
el instante en el que calculemos la velocidad.
El sentido es el del movimiento.
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Ejemplo: Calcular la expresin del vectorvelocidad del movimiento anterior:
r(t) = [3t i + (2t2
6) j] m y la velocidad enlos instantes 0, 2, 4 y 6 s as como su mdulo.
(r (x i + ( yj + (z kv = lim = lim
(tp0 (t (tp0 (t
3(t+(t) 3t [2(t+(t)26 [2t26]v = i + j =
(t (t
3t + 3(t 3t [2t2
+ 4t (t + 2((t)2
6][2t2
6]= i + j =(t (t
v = dr/dt = 3i + 4tj Ecuacin de laya que (t p 0 velocidad
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32Ejemplo (continuacin): Calcular la expresindel vector velocidad del movimiento anterior
r(t) = [3t i + (2t2
6) j] m y la velocidad en losinstantes 0, 2, 4 y 6 s as como su mdulo.
Ecuacin de la velocidad: v = 3i + 4tj
t (s) v(t) (m/s) v(t) (m/s)0 3 i 32 = 3
2 3i + 8j 32 + 82 = 854
4 3 i + 16j 32 + 162 = 1628
6 3i + 24j 32 + 242 = 2419
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Aceleracin media (am = am) La definicin es similar a la de la velocidad,
si bien tiene un significado totalmentedistinto, pues indica la variacin de velocidad
con el tiempo.
(v (vx i + ( vyj + (vz kam = =
(t (t
am = amx i + amyj + amz k
En el S.I. la unidad ser el m/s2.
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Aceleracin instantnea (a = a). (v (vx i + (vyj + (vz ka = lim = lim
(tp0 (t (tp0 (t
dv dvx dvy dvza = = i + j + kdt dt dt dt
a = ax i + ayj + az k
La direccin y el sentido de a son los mismosque los del vector incremento de velocidad(v ya que (t es un escalar.
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35Ejemplo: Calcular la expresin del vector acelera-cin del movimiento anteriorr(t) = 3ti + (2t26)j,
cuyo vector velocidad era v = 3i + 4tj en los
instantes 0, 2, 4 y 6 s as como su mdulo.
Ecuacin del movimiento(de la posicin): r(t) = 3ti + (2t26)j
Ecuacin de la velocidad: v = 3 i + 4tj
Ecuac. de la aceleracin: a = dv/dt = 4j
Para todos los valores de tiempoa = 4j m/s2, ya que se observa que a nodepende de t.
a
(m/s2
) =
42
m/s2
= 4 m/s2
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Componentes intrnsecas de la
aceleracin nicamente en los movi-mientos rectilneos a tiene
la misma direccin y sen-
tido que v. En general, atiene una direccin y sen-
tido hacia dentro de la
curva, con lo que normal-mente se descompone en
dos vectores at (acel. tangencial) y an (acel.
normal) tangente y perpendicular a la
trayectoria.
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Componentes intrnsecas de la
aceleracin (at
y an
) a = at + an = at ut + anun
siendo ut y un los vectores unitarios tangente yperpendicular a la trayectoria en el punto en el
que calculamos la aceleracin. (v dv v2
at=at= lim = ; an=an= (tp0 (t dt R
siendo Rel radio de curvatura de la trayectoria.
Suele llamarse v = v at= dv/dt ; an= v2/R
Igualmente llamamos a = a= at2
+ an2
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38Ejemplo: Un coche de carreras toma la salida en una pistacircular de 1 km de radio. El mdulo de la velocidad
aumenta segn la ecuacin: v(t) = 7 t, en unidades del SI.
Calcula: a)a) la aceleracin tangencial; b)b) la aceleracin
normal y el mdulo del vectora a los 6 s.a)a)
dv 7(t+(t) 7t 7t + 7 (t 7t 7 (tat = = = = = 7 m/s
2
dt (t (t (t
aatt = 7 ut m/s2
b)b)v2 49 t2 m2s-2
an = = = 0,049 t2 m/s2R 1000 m
an (t= 6 s) = 0,049 62 m/s2 = 1,76 m/s2 ; aann = 1,76 un m/s
2
a (t= 6) = at2
+ an2
= 72
+ 1,7642
m/s2
= 7,2 m/s2
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Mtodo prctico de derivacin de
polinomios Ejemplo:Ejemplo:
x = 5 t3+ 4 t23 t + 2
dx/dt = 15 t2 + 8t 3
En general, sea y = a xn + b xn1 + ... + f x + g
La derivada dy/dx se obtiene:
dy/dx = na xn1 + (n 1)b xn2 + ... + f