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VECTORFUERZAMYRMA
ING.JIMMYFERNANDEZDIAZCIP77446 1
VECTOR FUERZA.MECANICA Y RESISTENCIA DE MATERIALES.
ING.JIMMYFERNANDEZDIAZ
2
Es cualquier cantidad fsica la cual puede especificarse completamente
mediante su magnitud.
Por ejemplo: la longitud, la masa, el volumen
ESCALARES Y VECTORES
ESCALAR:
Es cualquier cantidad fsica la cual puede
especificarse completamente a travs de
su magnitud, direccin y sentido.
Por ejemplo: fuerzas, vector posicin,
momentos
VECTOR:
Sentido
Direccin
Magnitud
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3
Si se multiplica un vector por un escalar positivo su magnitud se
incrementa en esa cantidad y si se multiplica por un escalar negativo
adems, cambiar el sentido de la direccin de dicho vector.
OPERACIONES VECTORIALES
MULTIPLICACION Y DIVISIN DE UN VECTOR POR UN ESCALAR:
Multiplicacin y Divisin Escalar Vector A y su contraparte negativa
4
SUMA DE VECTORES:
Suma de Vectores Colineales:
METODOS GRFICOS:
LEY DEL PARALELOGRAMO: REGLA DEL TRIANGULO:
Si A y B son dos vectores que tienen la misma lnea de accin entonces la
resultanteR = A + Bse reduce a una suma algebraica.
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5
RESTA DE VECTORES:
Ley del Paralelogramo
R = A B = A + (-B)
METODO GRFICO:
Regla del Tringulo
6
SUMA VECTORIAL DE FUERZAS
DETERMINACION DE LA FUERZA RESULTANTE:
Sean F1 y F2 dos fuerzas que actan sobre el pasador mostrado. La
Fuerza ResultanteFR= F1+ F2obedece a la Ley del Paralelogramo y a
la Regla del Tringulo, tal como se muestra:
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7
DETERMINACION DE LAS COMPONENTES DE UNA FUERZA:
Sea la Fuerza F la cual se descompone a lo largo de dos direcciones
especficas, las cuales estn definidas por los ejes u y v.
Para determinar las componentes debemos construir un paralelogramo
con lneas que pasan por la punta de la fuerzaFy que son paralelas a los
ejes u y v.
8
SUMA DE VARIAS FUERZAS:
Si se suman mas de dos fuerzas debe
aplicarse de manera sucesiva la Ley del
paralelogramos para obtener la resultanteR.
LEYES TRIGONIMTRICAS APL ICADAS A VECTORES
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EJEMPLO 01:
Determine la magnitud de la fuerza componente F y la magnitud de la
fuerza resultanteFR, siFResta dirigida a lo largo del eje y positivo.
10
Solucin:
LEY DELPARALELOGRAMO
REGLA DELTRIANGULO
Aplicamos la Ley de Senos:
45
200
60 sen
lb
sen
F= F = 245 lb
FR = 273 lb
(Resp.)
(Resp.)45
200
75 sen
lb
sen
FR =
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11
EJEMPLO 02:
Descomponer la fuerza horizontal de 600 lb que se muestra en la figura,
en componentes que actan a los largo de los ejes u y v y determine
las magnitudes de dichas componentes.
12
Solucin:
Se construye el paralelogramo trazando paralelas a cada eje u y v que
pasan por la punta de la fuerza de 600 lb.
En el Tringulo generado aplicamos la Ley de senos.
30
600
120 sen
lb
sen
Fu = Fu = 1039 lb (Resp.)
30
600
30 sen
lb
sen
Fv = Fv = 600 lb (Resp.)
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13
SUMA DE UN SISTEMA DE FUERZAS COPLANARES
NOTACIN ESCALAR
Cuando una fuerza F se descompone en dos componentes a lo largo de
los ejes x y y, dichas componentes se llaman componentes
rectangulares y pueden representarse mediante notacin escalar y
notacin vectorial cartesiana.
Fx
Fy
F = Fx + Fy
Donde:
Fx=Fcos
Fy=Fsen
14
NOTACIN VECTORIAL
Cuando una fuerzaF se descompone en dos componentes a lo largo de
los ejes x y y, dichas componentes se llaman componentes
rectangulares y pueden representarse mediante notacin escalar y
notacin vectorial cartesiana.
F =Fx i +Fyj
NOTA:
i y j son vectores unitarios cartesianos en
direcciones de los ejes x y y
respect ivamente, y cuya magnitud
adimensional es uno.
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15
RESULTADO DE FUERZAS COPLANARES
F1 =F1x i +F1yj
F2 = -F2x i +F2yj
F3 =F3x i -F3yj
La resultante vectorial es:
FR= F1 + F2 + F3
=F1x i +F1yj -F2x i +F2yj +F3x i -F3yj
= (F1x - F2x + F3x) i + (F1y + F2y - F3y)j
=FRx i +FRyj
16
Si se utiliza notacin escalar, tenemos:
FRx =F1x - F2x + F3x
FRy =F1y + F2y - F3y
FRx = Fx
FRy = Fy
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17
EJEMPLO 03:
La armella mostrada en la figura est sometida a dos fuerzas F1 yF2.
Determine la magnitud y la direccin de la fuerza resultante.
18
Solucin:
Separamos cada fuerza en sus componentes ortogonales x y y y las sumamosde manera algebraica.
(Resp.)
(Resp.)
FRx = Fx: FRx = 600 cos30 - 400 sen45
= 236.8 N
FRy = Fy: FRy = 600 sen30 + 400 cos45= 582.8 N
Clculo de la magnitud de la resultante:
)8.582()8.236( 22
+=FR
Clculo de la Direccin de la resultante:
=
8.236
8.582tan
1
FR= 629N
= 67.9
NOTACION
ESCALAR
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19
Solucin:
Expresamos cada fuerza como un vectorcartesiano:
(Resp.)
F1 = 600 cos30 i+ 600 sen30j
F2 = -400 sen45 i+ 400 cos45j
Clculo de la magnitud de la resultante:
NOTACION
VECTORIAL
FR= F1 + F2
FR = (600 cos30 - 400 sen45 )i+ (600 sen30 + 400 cos45 )jFR = {236.8 i+ 582.8j} N.
La magnitud y direccin de la fuerza resultante FRse determina de manera similar almtodo escalar:
20
VECTORES CARTESIANOS
COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR:
Un vectorA puede tener dos o tres componentes rectangulares a lo largo
de los ejes coordenadosx, y, z, dependiendo de su orientacin.
Aplicando la ley del paralelogramo podemos dividir el vector en las
siguientes componentes:
A = A + Az
A = Ax + Ay
Por lo tanto A se representa mediante la suma
vectorial de sus tres componentes rectangulares:
A = Ax + Ay + Az
Tenemos
Donde:
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21
VECTORES UNITARIOS CARTESIANOS:
Los vectores unitarios cartesianos i , j , k se utilizan
para designar las direcciones de los ejes x, y, z
respectivamente
REPRESENTACION DE UN VECTOR CARTESIANO:
El vector A podemos representarlo en forma de
vector cartesiano, de la siguiente manera:
A =Ax i +Ayj +Azk
22
MAGNITUD DE UN VECTOR CARTESIANO:
AA zA 22
' +=
AAA zyxA 222
++=
AA yXA 22
' +=
Tenemos
Donde:
Porlotanto:
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23
DIRECCION DE UN VECTOR CARTESIANO:
La direccin de A est definido por los ngulos
directores coordenados ,,, medidos entre el
origen deAy los ejesx, y, zpositivos.
Ax=cosA
Ay=cosA
Az=cos
Cosenos Directoresdel vectorA
Los ngulos Directores Coordenados,, pueden determinarse a partir
de loscosenos inversos.
24
Un manera prctica de hallar los cosenos directores es encontrando el
vector unitariouAen la direccin del vectorA
AAA
u =
Como la magnitud deuAes uno, podemos encontrar la siguiente relacin
trigonomtrica:
kjiuAAA
AAA zyxA
++=
Por lo tanto: uA=cosi+cosj +cosk
cos2+cos2+cos2=1
Adems podemos expresar el vector A en forma de vector cartesiano
como:
AAA
u =A=AuA
A=Acosi +Acosj+Acosk
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25
EJEMPLO 04:
Determine la magnitud y los ngulos directores coordenados de la fuerza
resultante que acta sobre el anillo en la figura.
26
Solucin:
Como cada fuerza est expresada en forma de vector cartesiano, hallamos
la fuerza resultante a travs de la suma algebraica de sus componentes:
FR=F=F1+F2= (60j+ 80k) + (50i 100j+ 100k)
FR= 50i 40j+ 180k
La magnitud de la fuerza resultante es:
)180()40()50( 222
++= FR FR=191lb (Resp.)
Los ngulos directores , , : se determinan a partir del vector unitario en
la direccin de laFR
FRFRF
uR=
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(Resp.)
Los ngulos directores , , : se determinan a partir del vector unitario en
la direccin de laFR
kjiu191
180
191
40
191
50+=
FR
kjiu 9422.02094.02617.0 +=FR
Por lo tanto:
cos= 0.2617cos= -0.2094
cos= 0.9422
= 74.8= 102
= 19.6
(Resp.)
(Resp.)
28
VECTORES DE POSICIN
Un vector de posicinrse define como un vector fijo que ubica un punto
en el espacio en relacin con otro punto.
Por ejemplo: sirse extiende desde elorigen de coordenadas (0,0)hasta
el puntoP(x,y,z), entoncesrpuede expresarse como:
r= xi+ yj+ zk
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29
En el caso general, el vector de
posicin puede estar dirigido desde
el punto A hasta el punto B en el
espacio:
rA+ r= rB
Despejando el vectorrtenemos:
r= rBrA= (xBi+ yBj+ zBk) (xAi+ yAj+ zAk)
r= (xB- xA)i + (yB- yA)j + (zB- zA)k
30
EJEMPLO 05:
Una banda elstica de caucho est unida a los puntos A y B tal como se
muestra en la figura. Determine su longitud y su direccin medida de A
hacia B.
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31
Solucin:
Establecemos un vector posicin r desde A hacia B, para lo cual
necesitamos las coordenadas de los puntos A y B:
r= (-2 - 1)i+ (2 - 0)j+ (3 (-3))k
r= -3i+ 2j+ 6k
Tenemos:
)6()2()3( 222
++= r
(Resp.)
La magnitud del vector posicin res:
A (1,0,-3)
B (-2,2,3)
Entonces:
r=7m
32
El vector unitario en la direccin de res:
(Resp.)
r
ru= kjiu
7
6
7
2
7
3++=
Las componentes del vector unitarios nos dan los ngulos directores
coordenados:
1157
3cos
1=
=
4.737
2cos
1=
=
317
6cos
1=
=
(Resp.)
(Resp.)
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33
VECTORES FUERZA DIRIGIDO A LOLARGO DE UNA LINEA
Sea la fuerza Fdirigida a lo largo de la cuerda AB. La fuerza Fpuede
expresarse vectorialmente ya que tiene la misma direccin y sentido que
el vector posicinrdirigido desde el punto A hacia B.
Esta direccin la expresamos mediante el vector unitariou=r/r, de manera
que:
F=Fu
Pero:
=r
Fr
F
rru=
34
EJEMPLO 05:
El hombre que se muestra en la figura jala la cuerda con una
fuerza de 70 lb. Determine esta fuerza al actuar sobre el soporte A
como un vector cartesiano y determine su direccin.
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Solucin:
Determinamos el vector posicin r en la direccin AB, para lo cual
necesitamos las coordenadas de los puntos A y B.
La magnitud del vector posicinrnos da la longitud de la cuerda AB:
)24()8()12( 222
++=r
Tenemos: A (0,0,30)
B (12,-8,6)
Entonces:
kjir
u28
24
28
8
28
12==
r
r = 28 pies
El vector unitariouen direccin der:
r= (12-0)i+ (-8 - 0)j+ (6 30)k
r= 12i- 8j- 24k pies
36
(Resp.)
uF F=
= kjiF
28
24
28
8
28
1270
Expresamos la fuerzaFde manera vectorial, considerando su magnitud
de 70 lb y la direccin deu:
F= 30i- 20j- 60k lb
Los ngulos directores coordenados estn medidos en direccin deroF.
(Resp.)6.6428
12cos
1=
=
10728
8cos
1=
=
14928
24cos
1=
=
(Resp.)
(Resp.)
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37
PRODUCTO PUNTO
Elproducto puntode los vectoresAyBse escribeA.By se lee ApuntoB.
Se expresa por la siguiente ecuacin:
A.B=AB cos Donde: 0 180
El producto escalar de dos vectores da como resultado un escalary no un
vector
LEYES DE OPERACIN:
1. Ley conmutativa:A.B= B.A
2. Multiplicacin por un escalar: a(A.B) = (aA).B =A.(aB)
3. Ley distributiva:A.(B+ D) = (A.B) + (A.D)
38
FORMULACION VECTORIAL CARTESIANA:
A.B= (Axi+Ayj+Azk).(Bxi+ Byj+ Bzk)
El producto punto de dos vectoresA y B que se encuentran expresados
de manera vectorial, es:
Al operar de manera escalar debemos considerar que:
i.i = 1
j.j = 1
k.k= 1
i.j = 0
i.k= 0
j.k= 0
A.B=AxBx+AyBy+AzBz
El resultado siempre ser un escalar positivo o negativo
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APLICACIONES DEL PRODUCTO PUNTO:
El ngulo formado entre dos vectores o lneas que se intersecan
Donde: 0 180
=
AB
A.Bcos
1
Las componentes de un vector paralelo y perpendicular a una lnea
Si un vectorAes paralelo o colineal con la lnea aa, la componente se define por:
Aa= A cos =A.ua
De manera vectorial tenemos:
Aa=Aaua
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