INTRODUCCIÓN
Las técnicas de factorización juegan un papel muy importante en el álgebra, porque
permiten descomponer o reescribir una expresión algebraica, como el producto de dos
o más factores.
Ello resulta muy útil en situaciones donde se requiera simplificar una fracción, la cual
posea expresiones algebraicas, entre otras situaciones.
El manejo y comprensión adecuada de las técnicas de factorización es fundamental en
temas concernientes del Cálculo Diferencial e Integral, como Límites, Derivadas e
Integrales.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
Al finalizar el objetivo el estudiante estará en capacidad de:
1. Identificar una expresión algebraica factorizada.
2. Identificar las diversas causas de factorización.
3. Resolver ejercicios donde se empleen las técnicas de factorización.
CONOCIMIENTOS PREVIOS
Se requiere por parte de estudiante el manejo de los siguientes tópicos:
Expresiones Algebraicas: nomenclatura, clasificación, reducción de términos
semejantes.
Polinomios: elementos, clasificación, operaciones.
Productos Notables: reglas, tipos.
Propiedades de la Potenciación: potencia de un producto, potencia de un
producto de la misma base, potencia de una potencia.
Propiedades de la Radicación.
DEFINICIÓN DE FACTORES:
Se denomina factores de una expresión algebraica, a las expresiones que
multipl icadas entre sí generan la expresión algebraica original.
´ ´
Ejemplo:
Expresión Algebraica Factores Número de
Factores
x x+ 2 x 3 x, x + 2, x - 3 3
3 4 7a a +2 a +1 4 7a, a, a, a +2, a +1 5
2 32 2y y +1 y-7
2 2y, y, y +1,y 1, y-7, y-7, y-7 7
2z , 2z 2
Los factores de una expresión algebraica pueden estar repetidos. Es así, como y – 7, es un
factor repetido en la tercera expresión algebraica de la tabla anterior.
FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO
Es descomponer un pol inomio en dos o más factores distintos de 1.
Importante resaltar, que no todo pol inomio admite factorización. Este
tipo de pol inomio se denomina pol inomio primo. Los pol inomios que se
pueden reescribir como el producto de dos o más factores se l laman
compuestos.
Ejemplo:
Polinomio Factores Primo Compuesto
1 2 3w w w 3 No Si
2p 1 Si No
Los siguientes casos de factorización tienen relación con polinomios compuestos o
expresiones algebraicas que es el producto de dos o más factores distintos de 1.
IMPORTANTE:
Todo polinomio es una expresión algebraica pero no toda expresión algebraica es un
polinomio.
CONTENIDOS MATEMÁTICOS RELACIONADOS CON LA
FACTORIZACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
El proceso de factorizar una expresión algebraica es el inverso al proceso de aplicar
una regla o fórmula de un producto notable.
2 2 22( ) x xx
CASOS DE FACTORIZACIÓN
1. FACTOR COMÚN
Si una expresión algebraica o polinomio tiene un factor común, éste factor
común está contenido o aparece en cada uno de los términos de la expresión
algebraica.
Factorización
Producto Notable
Productos
Notables
Potenciación
Factorización
Radicación
Polinomios
Expresiones Algebraicas
Para identificar o determinar este factor común, se considera el dígito que es
divisor común de menor exponente de todos los términos y la variable o
variables de menor exponente.
Es decir:
En este caso en particular, el factor común es un término, el cual se denomina
monomio si es un polinomio.
De esta forma, la expresión algebraica factorizada es descompuesta en término
de dos factores, el primero de ellos el factor común y el segundo es una
expresión algebraica que multiplicada por el factor común es igual a la
expresión algebraica original.
EJEMPLOS ILUSTRADOS
Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:
4 3 8 614 16x y x y
Por lo cual:
4 3 8 6 4 3 4 314 16 2 7 8x y x y x y x y
15 10 57 3 9p p p
Por lo cual;
15 10 5 5 10 57 3 9 7 3 9p p p p p p
Factor
Común
Máximo
Común
Divisor
Factores Comunes
de
Menor Exponente
es es
decir
Divisor común de
menor exponente: 2
Variables de
menor exponente:
Factor
Común:
Variable de
menor exponente: 5p
EJEMPLOS ILUSTRADOS
EJERCICIOS PROPUESTOS
Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:
Respuestas
1. 3 2 315 60q v qv 2 215 4qv q v
2. 3 2 2 3 2 211 33 99a b c a b c a b 2 2 211 3 9a b abc b c
3. 13101 303w wz 12101 3w w z
4. 50 41 17 1340 36 18 12m m m m 13 37 28 42 20 18 9 6m m m m
5. 11 182 43 5 7x y x y x y
31 18 8 83 2 5x y x x y y
6. 2 1 1n n a na a a 1 1n na a a
7. 2 4 3 25 7m n m n n 3 2 35 7 1n n m nm
8. 3 4 4 6 5 34 8m n m n m n 3 3 3 24 8m n n n m m
2. FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS
Es un caso particular de la factorización por factor común. En el agrupamiento
de términos el factor común no es un monomio sino un binomio o una
expresión algebraica que contiene dos términos.
Como primer caso se agrupan términos semejantes y luego se extrae el factor
común que puede contener dos términos o más.
Factorizar las siguientes operaciones algebraicas:
a) py q qy p
py q qy p py qy p q Se agrupan términos semejantes
y p q p q
1p q y Se extrae el factor binomio común
Se extrae el factor común en cada término respectivamente
b) 4 3 3 2 3 2m m n m mn n n
4 3 3 2 3 2 4 3 3 2 3 2m m n m mn n n m m n m mn n n
3 21 1m m n n m n
3 21 1m m n n m n
3 21m n m n Se extrae el factor trinomio
común
EJERCICIOS PROPUESTOS
Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:
Respuestas
1. 2 2 2l l lp p 21l l p
2. 3 2 1j j j 21 1j j
3. 2 2 2w w w 21w w
4. 2 3 6 1y e ey 1 3 2 1e y
5. 1 3 3q qk k 1 1 3q k
6. 6 4 3 2am ac bm bc 3 2 2m c a b
3. DIFERENCIA DE CUADRADO
El caso de factorización de diferencia de cuadrados es el proceso inverso de la regla
de producto notable del mismo nombre.
Esto es:
2 2x y x y x y
Como se observa la factorización contiene dos factores donde los términos
correspondientes son iguales, sin embargo, el signo de la mitad se intercala.
Se asocian los tres primeros
y los tres últimos términos
Se extrae el factor común
en cada paréntesis
Se extrae el “factor común” del
signo en el segundo paréntesis
Factorización
Producto Notable
EJEMPLOS ILUSTRADOS
Los dos términos que aparecen en la expresión algebraica original son cuadrados
perfectos. Una cantidad es cuadrado perfecto, cuando es el cuadrado de otra
cantidad o si se le puede extraer la raíz cuadrada exacta.
Por ejemplo: 2 2yx y son cuadrados perfectos, porque son los cuadrados de “x” y
de “y” respectivamente. Además:
2 si x 0x x
2 si y 0y y
Recordando que 2 si x<0x x , es decir, si x es negativo; por la definición de valor
absoluto.
Factorizar las siguientes expresiones algebraicas
a) 2 4 6 6 4 1036 25x y z a b c
Se extrae la raíz cuadrada de cada término
2 4 6 2 4 6 2 336 36 6x y z x y z xy z
6 4 10 6 4 10 3 2 525 25 5a b c a b c a b c
Por lo cual 2 4 6 6 4 10 2 3 3 2 5 2 3 3 2 536 25 6 5 6 5x y x a b c xy z a b c xy z a b c
b)
4 10
6 8 4 2
16 100
49 9
p m
q r n k
Se extrae la raíz cuadrada de cada término para verificar que son cuadrados
perfectos
44 2
6 8 3 46 8
1616 4
49 749
pp p
q r q rq r
10 10 5
4 2 24 2
100 100 10
9 39
m m m
n k n kn k
En consecuencia:
4 10 2 5 2 5
6 8 4 2 3 4 2 3 4 2
16 100 4 10 4 10
49 9 7 3 7 3
p m p m p m
q r n k q r n k q r n k
EJERCICIOS PROPUESTOS
Factorizar las siguientes expresiones algebraicas
Respuestas
1.
4 62 425
4
a bx y
2 3 2 32 25 5
2 2
a b a bxy xy
2.
2
4 42
4 62 2
169
100
w m
zx y
4 4 4 4
2 23 32 2 2 2
13 13
10 10
w m w m
z zx y x y
3. 4 2121 n nx a 2 211 11n n n nx a x a
4. 10 1025 13n mm n 5 5 5 55 13 5 13n m n mm n m n
5.
6 100
14 14
x y z a b c
x y
3 50 3 50
7 7 7 7
x y z a b c x y z a b c
x y x y
6. 50 666u 25 25666 666u u
7. 22 4a b m n 2 2ab m n ab m n
4. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
Es uno de los casos de factorización de mayor uso e importancia en el Álgebra y el
Cálculo.
Para identificar un trinomio cuadrado perfecto, dos términos son cuadrados
perfectos, generalmente el primer y tercer término; y segundo término es el doble
producto de las raíces cuadradas de los dos términos anteriores.
Una expresión es cuadrado perfecto, cuando es el cuadrado de otra cantidad.
Por ejemplo:
a) 29y es cuadrado perfecto, porque es el cuadrado de 3y
2 2
2 2
3 9 además
9 9 3 ; 0
y y
y y y y
b) 25x es cuadrado perfecto, porque es el cuadrado de 5x
22
2 2
5 5 además
5 5 5 ; 0
x x
x x x x
El trinomio cuadrado perfecto está relacionado con los productos notables llamados
cuadrado de una suma y cuadrado de una diferencia. Esto es,
22 22a ab b a b
22 22a ab b a b
Es decir, el caso de factorización del trinomio cuadrado perfecto, es el proceso inverso
del desarrollo de los productos notables cuadrado de una suma y cuadrado de una
diferencia.
La factorización contiene dos factores, en este caso, un factor repetido
22 22a ab b a b a b a b
IMPORTANTE
Todo Trinomio Cuadrado Perfecto es un Trinomio, pero no todo Trinomio es Trinomio
Cuadrado Perfecto
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:
a) 6 34 12 9x x
Se extraen las raíces cuadradas del primer y tercer término
626 6 34 4 2 2
9 3
x x x x
Factorización
Producto notable
Producto notable
Factorizar
PROBLEMAS PROPUESTOS
Luego, como el segundo término es el doble producto de los resultados
anteriores
3 32 2 3 12x x
El trinomio dado es un trinomio cuadrado perfecto. Como todos los términos
son positivos el signo de la mitad en la factorización es positivo. Considerando
(*) y (**) se tiene
26 3 3
2 3
4 12 9 2 3
2 3 2 3
x x x
x x
b) 4 2 225 40 16a a b b
Se extraen las raíces cuadradas del primer y tercer término:
424 4 2
2 2
25 25 5 5
16 16 4 ; 0
a a a a
b b b b
El término de la mitad, es el doble producto de los resultados anteriores
2 22 5 4 40a b a b
Por tanto, el término dado es un trinomio cuadrado perfecto. Considerando (*)
y (**) se tiene:
2
4 2 2 2 2 225 40 16 5 4 5 4 5 4a a b b a b a b a b
El signo del medio es negativo, porque el signo del segundo término del
trinomio es negativo.
Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:
Respuestas
1. 6 32 1m m 3 1m
2. 10 5 5 10100 180 81x x y y
25 510 9x y
3. 2 2
1 1 1
9 3 4x xy y
2
1 1
3 2x y
4. 2 2 4
1 2 1 2 2e e 2
21 2e
5.
4 2 4 8
100 50 100
z z w w
22 4
10 10
z w
6. 2 214 49x xy y
27x y
5. TRINOMIO DE LA FORMA 2x bx c
En este caso de factorización el coeficiente principal del trinomio es 1.
Recordando que el coeficiente principal de un polinomio es el coeficiente
correspondiente a la variable de mayor exponente.
Esto es:
2 3 111x x
1 es el coeficiente de 2x
Es importante destacar que no todo trinomio de la forma 2x bx c admite
factorización o descomposición factorial.
La razón es porque las soluciones o raíces del polinomio son números
irracionales (expresiones decimales no periódicas infinitas) o son números imaginarios
(no son números reales).
Por ejemplo:
Polinomio Soluciones Tipo de Solución Comentario
2 11 17x x 1
2
1,859
9,14
x
x
Irracional
El Polinomio no
admite
Factorización
2 2 2x x 1
2
1
1
x i
x i
Imaginaria
: Unidad imaginariai
El Polinomio no
admite
Factorización
El trinomio de la forma 2x b c , es una de las cosas más emblemáticas de la
factorización de polinomios.
EJEMPLOS ILUSTRATIVAS
Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:
1) 2 78 77x x
En este trinomio el coeficiente principal es 1.
Paso 1:
El trinomio se escribe como el producto de dos factores
2 78 77x x x x
El primer término de cada factor es x.
Factorización del Trinomio de la forma
Es igual a factorizar el trinomio de la forma
Por determinar los números
Es decir, por determinar dos números cuya
suma algebraica sea igual al coeficiente de x
y que el producto de ambos sea igual al
termino independiente del trinomio
Paso 2:
Se determinan dos números, cuya suma algebraica sea igual a 78 y que el
producto de ambas sea igual a 77.
Estos números se ubican por separado como el segundo término en los factores
de la descomposición. Entonces:
77 1 78
77 1 77
En consecuencia la factorización del polinomio es:
77 . 1 77
2 78 77 77 1x x x x
77 1 78
El orden de los factores es indistinto.
Los números a determinar se obtienen por tanteo numérico o en algunas
situaciones efectuando la descomposición en factores primos del término
independiente del trinomio 2x bx c (si es posible).
2) 2 7 1
6 2x x
Paso 1:
El trinomio se expresa como el producto de dos factores, donde el primer
término de cada factor es x
2 7 1
6 2x x x x
Paso 2:
Se determina en este caso, dos números racionales (fracciones) cuya suma
algebraica sea igual a 7
6 y que el producto de ambos sea igual a
1
2
3 1 7
2 3 6
3 1 3 1
2 3 6 2
EJERCICIOS PROPUESTOS
En consecuencia: 3 1 1
2 3 2
2 7 1 3 1
6 2 2 3x x x x
3 1 7
2 3 6
Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:
Respuestas
1. 2 14 13x x 13 1x x
2. 2 16 80x x 4 20x x
3. 2 1 1
2 2y y
11
2y y
4. 2
1 5 1 36z z 1 9 1 4z x
5. 2 35 250p p 10 25p p
6. 2 99 100m m 1 100m m
7. 2 667 666k k 1 666k k
6. TRINOMIO DE LA FORMA 2ax bx c
Es un caso particular del trinomio de la forma 2x bx c . Se caracterizan
porque el coeficiente principal a es distinto de la unidad. Esto es:
2ax bx c
1a
Si se maneja adecuadamente la descomposición factorial de un trinomio de la
forma 2x bx c , no resulta una tarea complicada factorizar un trinomio de la forma
2ax bx c .
Recuerda: el coeficiente principal
de un polinomio es el coeficiente de
la variable de mayor exponente
IMPORTANTE
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
Cualquier trinomio de la forma 2ax bx c , con 1a no siempre admite
factorización, porque las soluciones del polinomio pueden ser números irracionales
(expresiones decimales no periódicas infinitas) o números imaginarios.
Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:
1) 213 10 3x x
En este trinomio cuadrático, el coeficiente principal es 13 1a
Paso 1:
Se multiplica cada término por el coeficiente de 2x en este caso es 13.
Igualmente se divide por este coeficiente para que no se altere el trinomio original
213 13 13 10 13 3
13
x x
2 2
213 13 10 39
13 13.1313
x x
2
22 213 13 10 39
13 1313
x xx x
213 10 13 39
13 10 10 1313
x xx x
El primer y segundo término del numerador se expresa en términos de 13x
Paso 2:
El trinomio que aparece en el numerador de la última expresión se descompone
en dos factores, donde en cada factor el primer término es 13x , es decir:
2
13 10 13 39 13 13
13 13
x x x x
Paso 3:
Para determinar los segundos términos de cada factor, se hallan dos números
cuya suma algebraica sea igual a -10 y que el producto de ambos sea igual a -39; los
cuales son -13 y 3, es decir:
2
13 10 13 39 13 13 13 3
13 13
x x x x
Paso 4:
Se extrae el factor común en el primer factor del numerador que es 13
13 13 13 3 13 1 13 3
13 13
x x x x
Paso 5:
Existe un factor de cancelación que es 13, el cual se simplifica, en consecuencia
213 10 3 1 13 3x x x x
2) 4 23 4 1p p
Es un caso particular o especial de la factorización de un trinomio de la forma
2ax bx c , con 0a .
En virtud, que 2
4 2p p , por lo cual el trinomio se puede expresar como:
2
4 2 2 23 4 1 3 4 1p p p p
Sin embargo la técnica de factorización sigue el mismo esquema del ejemplo
ilustrativo anterior.
Paso 1:
Se multiplica cada término del trinomio por el coeficiente de 4p que es 3.
También se divide por 3, para que la expresión no se altere algebraicamente.
4 23 3 3 4 3 1
3
p p
2 4 2
23 3 4 3
3.3 33
p p
13 3 10
13 3 39
13 3 se
obtienen por tanteo
y
22 2
22 4 2
22 4
3 3 4 33 . 3
3
p pp p
p p
22 2
2 23 4 3 3
3 4 4 33
p pp p
El primer y segundo término del numerador se expresan en términos de 23p
Paso 2:
El término que aparece en el numerador de la última expresión se descompone
en dos factores, donde en cada factor es 23p , es decir:
2
2 2 2 23 4 3 3 3 3
3 3
p p p p
Paso 3:
Para determinar los siguientes términos de cada factor se hallan dos números
cuya suma algebraica sea igual a -4 y el producto de ambos números sea igual a 3, es
decir:
2
2 2 2 23 4 3 3 3 1 3 3
3 3
p p p p
1 3 4
1 3 3
Paso 4:
Se extrae el factor común en el segundo factor del numerador, el cual es 3
2 2 2 23 1 3 3 3 1 3 1
3 3
p p p p
Paso 5:
Existe un factor de cancelación que es 3, el cual se simplifica, en consecuencia
4 2 2 23 4 1 3 1 1p p p p
Por último, el factor 2 1p admite factorización, por ser una diferencia de
cuadrados, por tanto
4 2 23 4 1 3 1 1 1p p p p p
EJEMPLOS PROPUESTOS
Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:
Respuestas
1. 25 2 13x x 5 3 1x x
2. 24 3 1x x 4 1 1x x
3. 2
1 10 1 1x x 2 9 10x x
4. 212 14 6y y 2 3 1 2 3y y
5. 215 6n np p 5 3 3 2n np p
6. 5 4 320m m m 3 4 1 5 1m m m
7. 22 3 2x x 2 2 1x x
8. 4 210 11 3u u 2 22 1 5 3u u
7. SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS
La expresión algebraica a factorizar es un binomio que es una suma o diferencia
de cubos perfectos.
Una expresión algebraica es cubo perfecto, si es el cubo de otra expresión
algebraica.
Cubos Perfectos Raíz Cúbica Comprobación
64 3 33 64 4 4
34 64
6125y 36 3 6 3 6 23 3 3125 5 5 5y y y y 3
2 65 125y y
Factorizar una suma o diferencia de cubos, es en la práctica aplicar fórmulas, esto es:
3 3 2 2a b a b a ab b
3 3 2 2a b a b a ab b
64 es un Cubo Perfecto
porque es el cubo de 4
IMPORTANTE
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
Los factores 2 2a ab b y
2 2a ab b no son trinomios cuadrados perfectos
Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:
1) 6 9n nx y
La expresión se puede escribir como
3 3
6 9 2 3 1n n n nx y x y
De esta forma se tiene una diferencia de cubos, por lo cual, se emplea la fórmula
3 3 2 2 2a b a b a ab b
Particularizando, se tiene que
2 3n na x y b y
Esto último representa las bases respectivas de las potencias cúbicas en (1). De
esta forma, empleando (2) resulta
3 3
6 9 2 3n n n nx y x y
Recuerda: los signos son importantes
En la suma de cubos, en el primer factor el signo
de la mitad es positivo y el signo del segundo
término del segundo factor es negativo
En la diferencia de cubos, en el primer factor el
signo de la mitad es negativo y todos los
signos de los términos del segundo factor son
positivos
EJERCICIOS PROPUESTOS
2 2
2 3 2 2 3 3n n n n n nx y x x y y
2 3 4 2 3 6n n n n n nx y x x y y
a) 3125 1000p
El binomio anterior se puede escribir como:
33 3125 1000 5 10 1p p
La expresión en (1) constituye una suma de cubos, por tanto, se emplea la
fórmula
3 3 2 2 2a b a b a ab b
Particularizando, se tiene que
35 10a y b p
De esta forma, empleando (2), resulta
33 3125 1000 5 10p p
225 10 5 5 10 10p p p
25 10 25 50 100p p p
25 1 2 25 1 2 4p p p
2125 1 2 1 2 4p p p
Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:
Respuestas
1. 9 1227m y 3 4 6 3 4 83 9 3m y m m y y
2. 4216x x 26 1 36 6 1x x x x
3. 3 3 6512x y x 2 2 2 2 48 64 8x yz x xyz y x
4. 6 6
a b c d 2 2 2 2 2 2 2 22 2 . 2 2a b c d ab cd a ab b ac ad bc bd c cd d
5. 3 6 9 12 15 18x y x u v z 2 3 4 5 6 2 2 6 2 3 4 5 6 8 10 12xy z u v z x y z xy z u v z u v z
Extrayendo el factor
común en ambos
factores
8. CUBO DE UN BINOMIO
Este caso de factorización tiene una relación directa con los productos notables de
3
a b y 3
a b , esto es:
33 2 2 33 3 1a a b ab b a b a b a b a b
33 2 2 33 3 2a a b ab b a b a b a b a b
En (1) y (2), cada expresión factorizada contiene tres factores del mismo tipo.
La expresión a factorizar como el cubo de un binomio presenta las siguientes
características:
Factorización
Producto Notable
Factorización
Producto Notable
Cubo de
un
Binomio Cubo de una
Diferencia
Cubo de una Suma
Posee cuatro términos:
Dos términos son cubos perfectos, generalmente, el primer y cuarto
término:
Generalmente, el segundo término es el triple del cuadrado de la raíz
cúbica del primer término, multiplicado por la raíz cúbica del cuarto
término:
EJEMPLOS ILUSTRADOS
Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:
1) 3 2 2 38 36 54 27x x y xy y
Características:
i La expresión tiene cuatro términos
33 3 33 3 3 338 8 2 2 *ii x x x x
33 3 3 333 3 327 27 3 3 **y y y y
El primer y cuarto término son cubos perfectos
2 2 23 2 3 3 4 3 36iii x y x y x y
Lo que representa el segundo término de la expresión algebraica
2 2 23 2 3 3 2 9 54iv x y x y xy
Lo que representa el tercer término de la expresión algebraica.
Como todos los términos son positivas y al considerar (*) y (**), en la fórmula
3,a b resulta:
33 2 2 3
33 2 2 3
8 36 54 27 2 3
3 3
x x y xy y x y
a a b ab b a b
2) 3 6 9 2 4 6 4 5 6 2 3 8 10 12 12 15 183 3m p q m p q k l r mp q k l r k l r
Generalmente, el tercer término es el triple de la raíz cúbica del
primer término, multiplicado por el cuadrado de la raíz cúbica del
cuarto término:
Si todos los términos son positivos es el cubo de una suma:
Si en signo de los términos son alternadamente positivas y negativas
es el cubo de una diferencia:
EJERCICIOS PROPUESTOS
Características:
i La expresión algebraica tiene cuatro términos
33 6 9 3 6 9 2 33 3 3 *ii m p q m p q mp q
33 3 312 15 18 12 15 18 4 5 6 **k l r k l r k l r
Por tanto, el primer y cuarto término de la expresión algebraica son cubos
perfectos.
2
2 3 4 5 6 2 4 6 4 5 63 3iii mp q k l r m p q k l r
2
2 3 4 5 6 2 3 8 10 123 3iv mp q k l r mp q k l r
Como en la expresión algebraica a factorizar los signos positivos y negativos se
alternan y al considerar (*) y (**) en la fórmula de 3
a b resulta
3 6 9 2 4 6 4 5 6 2 3 8 10 12 12 15 18 2 3 4 5 63 3m p q m p q k l r mp q k l r k l r mp q k l r
Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:
Respuestas
1. 2 4 6216 756 882 343a a a
326 7a
2. 2 3 4 6 6 91 18 108 216a b a b a b
32 31 6a b
3. 9 6 5 3 10 1518 108 216a a b a b b
33 56a b
4. 6 4 2 2 38 12 6x x y x y y
322x y
5. 2 3 427 27 9x x x x
33x x
6.
3 2 1 1 2 3
3 3 ; , 0n n m n m mx x y x y y m n
31 1
n mx y
9. SUMA DE CUADRADOS PERFECTOS
Es un caso de factorización muy particular. No toda expresión algebraica que sea
una suma de cuadrados admite factorización o una descomposición factorial.
EJEMPLOS ILUSTRADOS
Si la expresión es una suma de cuadrados perfectos, es posible descomponerla,
generalmente como el producto de dos factores, que contienen un trinomio (el cual no
es cuadrado perfecto).
La suma de cuadrados perfectos involucra:
y
Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:
1) 2 416x y
Los dos términos del binomio son cuadrados perfectos, por lo cual:
2 216 16 4 * ; 0x x x x
41
4 4 222 **y y y y
Recuerda: 2 0x x si x
Luego, se genera un nuevo término que es el doble producto de (*) y (**):
2 22 4 8x y xy
De esta forma:
2 4 2 4 2 216 16 8 8x y x y xy xy
2 2 4 216 8 8x xy y xy
2
2 24 8x y xy
Para factorizar una Suma de Cuadrados Perfectos se suma
y resta una misma cantidad a la expresión original Clave:
Factorizar un Trinomio Cuadrado Perfecto
Factorizar una Diferencia de Cuadrados
Se suma y resta 8xy2
Se asocian términos para crear una
diferencia
Trinomio Cuadrado Perfecto
2 4 216 4x x y y y
22
24 8x y x y
2 24 8 4 8x y x y x y x y
2 24 8 4 8x y x y x y x y
Nota: los términos en cada factor no son trinomios cuadrados perfectos
2) 836 4u
Los dos términos del binomio son cuadrados perfectos, por lo cual:
36 6 *
81
8 5 8 4224 4 2 2 2 *u u u u u
Ahora bien, se genera un nuevo término, que es el doble producto de (*) y (**):
4 42 6 2 24u u
De esta forma:
8 8 4 236 4 36 4 24 24u u u u
4 8 436 24 4 24u u u
2
4 46 2 24u u
22
4 26 2 24u u
4 2 4 26 2 24 6 2 24u u u u
4 2 4 26 2 4 6 6 2 4 6 24 4 6u u u u
4 2 4 26 2 4 6 6 2 4 6 4 6 4 6u u u u
Se factoriza el Trinomio Cuadrado
Perfecto
Se crea una diferencia de Cuadrados
Se factoriza la diferencia de
Cuadrados
Por propiedad de los radicales
Se suma y resta
Se asocian términos para crear una diferencia
Trinomio Cuadrado Perfecto
Se factoriza el Trinomio Cuadrado Perfecto
Se crea una diferencia de cuadrados
Se factoriza la diferencia de cuadrados
EJERCICIOS PROPUERSTOS
4 2 4 26 2 2 6 6 2 2 6 4 2u u u u
4 2 4 22 3 6 2 3 6u u u u
4 2 4 24 3 6 3 6u u u u
Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:
Respuestas
1. 44 1x 2 22 2 1 2 2 1x x x x
2. 1364m m 3 6 3 68 4 8 4m m m m m
3. 2 2x y 2 2x y xy x y xy
4. 4 4x y 2 2 2 22 2x y xy x y xy
5. 2 2
1 1x y 2 2 1 1 2 2 1 1x y x y x y x y
Se extrae el factor común en ambos
factores
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