CADENAS DE MARKOV Juan Carlos Aldana Bernal
Objetivo
Entender los procesos estocsticos en donde los
resultados de una etapa dependen solamente de los
resultados de la etapa anterior
Procesos estocsticos
Tambin llamado proceso
aleatorio, sucede cuando
los resultados de una
etapa de un proceso o
sucesin de eventos que
se desarrollan en el
tiempo, contienen algn
elemento que depende
del azar.
Definicin de Cadenas de Markov
Etapa 1 NA
Etapa 2 Depende
de la etapa 1
Etapa n Depende
de la etapa n-1
Una cadena de Markov es
una sucesin de ensayos
similares u observaciones,
en la cual cada ensayo
tiene el mismo nmero
finito de resultados
posibles y en donde la
probabilidad de cada
resultado para un ensayo
dado, depende slo del
resultado del ensayo
inmediatamente
precedente y no de
cualquier resultado previo
Antecedentes
Reciben su nombre del matemtico ruso Andrei Andreevitch Markov (1856-1922), quien las desarroll.
Son cadenas que tienen memoria, recuerdan el ltimo evento y eso condiciona las posibilidades de los eventos futuros.
Las probabilidades de transicin permanecen constantes.
Este tipo de proceso presenta una forma de dependencia simple, pero muy til en muchos modelos: Una mquina que est funcionando bien en un perodo siga
funcionando as en el siguiente perodo.
Describir la probabilidad que un cliente que compra la marca A en un perodo compre la marca B en el siguiente.
Si un grupo de personas estn saludables en un ao la probabilidad que sigan as en el siguiente ao.
Ejemplo Cadena de Markov
La sucesin del poder en un pas en el cual slo existen dos partidos polticos, el A y B, se puede presentar como: A-B-A-A-B-B
Si el partido A esta en el poder y existe una probabilidad de de que el partido A siga en el poder y que lo haga B.
Si el partido B est en el poder y existe una probabilidad de 1/3 de que el partido A gan la eleccin y 2/3 que lo haga B.
La sucesin de elecciones forman una cadena de Markov, dado que las probabilidades de los dos resultados de cada eleccin estn determinadas por el resultado de la eleccin precedente.
Se puede representar como:
A B 3/4
1/3
1/4 2/3
A
B
A B
1/4 3/4
1/3 2/3
Anlisis de Cuota de mercado
Se utiliza para analizar el comportamiento de los clientes
respecto a las diferentes opciones de compra en los
supermercados.
Ensayos del proceso
Son los perodos semanales o eventos de compra del cliente
Estado del Sistema
La opcin o tienda seleccionada en cada compra
Estado 1: Compra en xito
Estado 2: compra en Carrefour
Probabilidades de transicin
Indican la probabilidad que un cliente realiza una transicin de un estado en un perodo, a cada estado en el perodo siguiente
Probabilidades de transicin
Las probabilidades de transicin son las mismas para
cualquier cliente y no cambian con el tiempo.
P: Probabilidad de realizar una transicin del estado i en un perodo dado al estado j en el siguiente perodo
Matriz de probabilidades de transicin
P =
P11 P12
P21 P22
La suma de probabilidades de una fila es 1 Probabilidad de estado: : probabilidad que el sistema este en el estado i en el perodo n Si 1(0) = 1 y 2(0) = 0, representa que al inicio el cliente compr en la tienda
1
[1(0) 2(0)] = [ 1 0]
Probabilidad de estado
El vector de probabilidades de estado en el perodo n (n) = [1(n) 2(n)]
Las probabilidades de estado en el perodo n+1 es igual al producto de las probabilidades de estado del perodo n por la matriz de probabilidades de transicin (n+1) = (n)P
Entonces
(1) = (0)P [1(1) 2(1)] = [1(0) 2(0)]
Cuando se hace un gran nmero de transiciones, las probabilidades de que el sistema este en un estado en particular es independiente de su estado inicial, se conocen como probabilidades de estado estacionario o cuotas de mercado
P11 P12
P21 P22
Ejemplo Cuota de mercado (1)
En un mercado cerrado slo existe la opcin de comprar
en el xito o en Carrefour, con los siguientes estados:
Estado 1: el cliente compra en el xito
Estado 2: el cliente compra el Carrefour
Las probabilidades de transicin estn dadas de la
siguiente forma:
Perodo de
compras
semana actual
Perodo de compras semana
siguiente
Exito Carrefour
Exito 0,9 0,1
Carrefour 0,2 0,8
Ejemplo Cuota de mercado (2)
La matriz de probabilidades es:
P =
P11 P12
P21 P22
0,9 0,1
0,2 0,8 =
Semana 2
Semana 1
Semana 0
Cliente compra en el
xito
Compra en el Exito
Compra en el Exito
Compra en Carrefour
Compra en Carrefour
Compra en el Exito
Compra en Carrefour
0,9
0,1
0,9
0,2
0,1
0,8
Probabilidades
luego de dos
semanas
(0,9*0,9) = 0,81
(0,9*0,1) = 0,09
(0,1*0,2) = 0,02
(0,1*0,8) = 0,08
(1) = (0)P
[1(1) 2(1)] = [1(0) 2(0)] = [0,9 0,1]
[1(2) 2(2)] = [0,9 0,1] = [0,83 0,17]
Probabilidades de estado durante perodos futuros
comenzando con un cliente que compra en el xito
Ejemplo Cuota de mercado (2)
0,9 0,1
0,2 0,8
0,9 0,1
0,2 0,8
Prob
estado
Perodo (n)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1(n) 1 0,9 0,83 0,78 0,74 0,72 0,70 0,69 0,68 0,68 0,67
2(n) 0 0,1 0,17 0,21 0,25 0,27 0,29 0,30 0,31 0,32 0,32
Probabilidades de estado durante perodos futuros
comenzando con un cliente que compra en Carrefour
Ejemplo Cuota de mercado (2)
Prob
estado
Perodo (n)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1(n) 0 0,2 0,34 0,43 0,50 0,55 0,58 0,61 0,62 0,64 0,64
2(n) 1 0,8 0,66 0,56 0,49 0,44 0,41 0,38 0,37 0,36 0,35
Con n suficientemente grande la diferencia entre (n+1) y (n) es insignificante y se esta en estado estacionario 1(n+1) = 1(n) = 1.
Entonces: [1 2] = [1 2] = [1 2]
1 = 0,9 1 + 0,22 (1) 2 = 0,1 1 + 0,82 (2)
P11 P12
P21 P22
0,9 0,1
0,2 0,8
Ejemplo Cuota de mercado (3)
Si tambin se conoce que 1 + 2 = 1 (3)
Y reemplazando en (1) se obtiene:
1 = 0,9 1 + 0,2(1 1)
Entonces 1 = 2/3 y reemplazando en (3) 2 = 1/3
Si se tiene un mercado de 1000 clientes, identifica que a
la larga con probabilidades de estado estacionario de 1 = 2/3 y 2 = 1/3, 667 clientes (1000*2/3) sern del xito y el resto (333) sern de Carrefour.
Ejercicio Cuota de mercado
Los patrones de compra de dos marcas de pasta dental pueden expresarse como un proceso de Markov con las probabilidades de transicin presentadas en la tabla.
Qu marca parece tener mayor lealtad de los clientes, explique?
Cules son las cuotas de mercado proyectadas de cada marca, si se inicia con Special B (1,0)?
Se plantea una campaa de publicidad para MDA, a fin de atraer clientes de SpecialD. La gerencia cree que la nueva campaa incrementar la probabilidad a 0,2 de que un cliente cambie de SpecialD a MDA. Cul es el efecto proyectado de la campaa publicitaria en las cuotas de mercado?
A
DE Special D MDA
Special B 0,9 0,1
MDA 0,05 0,95
Anlisis de cuentas por cobrar
Las cadenas de Markov tienen tambin aplicacin en las
provisiones de cuotas de dudoso recaudo de las
empresas.
Se establecen los perodos de cobro de acuerdo a las
polticas de las empresas, ej:
CXC de 0-30 das de edad
CxC de 30-90 das de edad
Se identifican los estados, ej:
Estado 1: Categora de CXC pagadas
Estado 2: Categora de CXC incobrable
Estado 3: Categora de CXC de 0-30 das de edad
Estado 4: Categora de CxC de 30-90 das de edad
Probabilidades en CXC
Pij: probabilidad que un peso que esta en el estado i en
una semana cambie al estado j en la siguiente
Con esto y en base a datos histricos se construye la
matriz de probabilidades de transicin:
P =
P11 P12 P13 P14
P21 P22 P23 P24
P31 P32 P33 P34
P41 P42 P43 P44
Estado absorbente: cuando un peso hace transicin al estado 1 o al estado 2, la probabilidad de hacer transicin
a cualquier otro estado es cero.
Cada unidad siempre termina en un estado absorbente
Matriz fundamental
Se divide la matriz de probabilidades de transicin en
cuatro partes
P =
P11 P12 P13 P14
P21 P22 P23 P24
P31 P32 P33 P34
P41 P42 P43 P44
=
1,0 0 0 0
0 1,0 0 0
R
Q
La matriz fundamental N se calcula como:
N = ( )1 En donde I es la matriz identidad
Si A = y 1 = A11 A12
A21 A22
A22/d -A12/d
-A21/d A11/d
Donde d = A11*A22 A21*A12
Resultados de cobros de dudoso recaudo
NR = NR11 NR12
NR21 NR22
La primera fila establece la probabilidad que una unidad en el estado
3 (cxc de 0-30 das) termine en los estados absorbentes 1 NR11 (sea
pagado) 2 NR12 (deuda incobrable).
La fila dos establece lo mismo pero para el estado 4 (cxc de 30-90
das)
Ejemplo: Anlisis de cuentas por cobrar
Una empresa clasifica sus cuentas por cobrar de la siguiente manera de : CXC de 0-30 das de edad
CxC de 30-90 das de edad
CxC de +90 das incobrable
El saldo de la cuenta de un cliente a 30 de septiembre es el siguiente:
Se identifican los estados, ej: Estado 1: Categoria de CXC pagadas
Estado 2: Categoria de CXC incobrable
Estado 3: Categora de CXC de 0-30 das de edad
Estado 4: Categora de CxC de 30-90 das de edad
Fecha de compra Cantidad cobrada
15 de agosto $25
18 de septiembre $10
28 de septiembre $50
Ejemplo: Probabilidades en CXC
Pij: probabilidad que un peso que esta en el estado i en
una semana cambie al estado j en la siguiente
De acuerdo con los datos recolectados por la empresa se
construye la matriz de probabilidades de transicin:
P =
P11 P12 P13 P14
P21 P22 P23 P24
P31 P32 P33 P34
P41 P42 P43 P44
Si se traslada a los primeros dos estados, no se puede salir de ellos y son estados terminales.
=
1 0 0 0
0 1 0 0
0,4 0 0,3 0,3
0,4 0,2 0,3 0,1
Ejemplo: Matriz fundamental
Se divide la matriz de probabilidades de transicin en
cuatro partes
P =
1 0 0 0
0 1 0 0
0,4 0 0,3 0,3
0,4 0,2 0,3 0,1
=
1 0 0 0
0 1 0 0
R
Q
La matriz fundamental N se calcula como:
N = ( )1
Con I =
I Q =
1 0
0 1
0,3 0,3
0,3 0,1
1 0
0 1
_ = 0,7 -0,3
-0,3 0,9
Ejemplo: Resultados de cobros de
dudoso recaudo
N = ( )1
NR =
1,67 0,56
0,56 1,30
La primera fila establece la probabilidad que una unidad
en el estado 3 (cxc de 0-30 das) termine en los estados
absorbentes 1 es 0,89 (sea pagado) 2 es 0,11 (deuda
incobrable).
La fila dos establece para el estado 4 (cxc de 30-90 das)
la probabilidad que termine en los estados absorbentes 1
es 0,74 (sea pagado) 2 es 0,26 (deuda incobrable).
=
1,67 0,56
0,56 1,30
0,4 0
0,4 0,2 =
0,89 0,11
0,74 0,26
Ejemplo: Resultados de cobros de
dudoso recaudo (2) Si B es un vector que establece B [b1 b2]
Dados por b1: deuda de 0-30 das, y b2 deuda de 31-90
das
Y el saldo de estas cuentas a 31 de diciembre es de b1
=1000 y b2 = 2000.
Se busca determinar de los 3000 cuantos ser cobrado y
cuanto se perder
BNP = [1000 2000]
BNR = [2370 630]
Lo cual quiere decir que $2370 se recuperarn y $630 no y habr de
provisionarlos.
0,89 0,11
0,74 0,26
Bibliografia
Anderson, Mtodos cuantitativos para negocios,
Ed CengageLearning.
Heizer Jay, Direccin de la produccin y de
operaciones, Ed Pearson.
Ejercicio La gerencia de una empresa cree que la probabilidad de un cliente que
compra su marca Red Pop o a la competencia ms importante de la empresa, Super Cola, est basada en la compra ms reciente del cliente. Suponga que las siguientes probabilidades de transicin son adecuadas:
Muestre el diagrama de rbol de los perodos para un cliente que por ltima vez compr Red Pop. Cul es la probabilidad que este cliente compre Red Pop por segunda vez?
Cul es la cuota de mercado de largo plazo para cada uno de estos productos?
Se plantea una campaa de publicidad para Red Pop, a fin de atraer clientes de Super Cola. La gerencia cree que la nueva campaa incrementar la probabilidad a 0,15 de que un cliente cambie de Super Cola a Red Pop. Cul es el efecto proyectado de la campaa publicitaria en las cuotas de mercado?
A
DE Red Pop Super Cola
Red Pop 0,9 0,1
Super Cola 0,1 0,9
Ejercicio: Probabilidades en CXC
Tome la informacin del ejemplo presentado de
Probabilidades en CxC, pero con las siguientes
probabilidades de transicin:
P = P11 P12 P13 P14
P21 P22 P23 P24
P31 P32 P33 P34
P41 P42 P43 P44
Si la empresa tiene $400 en la categora de 0-30 das y $5000 en la categora de 31-90 das, cul es la estimacin
de deudas incobrables que la empresa experimentar?
=
1 0 0 0
0 1 0 0
0,5 0 0,25 0,25
0,5 0,2 0,05 0,25
Ejercicio 2: Probabilidades en CXC
Dada la siguiente matriz de transicin con los estados 1 y
2 como estados absorbentes, cul es la probabilidad que
las unidades que estn en los estados 3 y 4 terminen en
los estados absorbentes:
P =
P11 P12 P13 P14
P21 P22 P23 P24
P31 P32 P33 P34
P41 P42 P43 P44
=
1 0 0 0
0 1 0 0
0,2 0,1 0,4 0,3
0,2 0,2 0,1 0,5
Lecturas
Agent-Based and Individual-Based Modeling, A prectical
introduction. Steven Railsback and Volker Grimn. Se
encuentran en la fotocopiadora de Edificio de Aulas de
Ingeniera, como documentos del profesor Astaiza.
Conforme una pareja con la cual realizar la presentacin
de un capitulo de este libro.
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