CAPITULO ICAPITULO IFunciones
CAPITULO IICAPITULO IIIntegrales
CAPITULO IIICAPITULO IIIEcuaciones diferenciales
CAPITULO IVCAPITULO IVMétodo para resolver una ecuación diferencial
FuncionesFunciones
1.1 Exponenciales y Logarítmicas
1.2 Diferenciación de una Función Exponencial
1.3 Diferenciación de una Función Logarítmica 1.3.1 Diferenciación Logarítmica
IntegralesIntegrales
2.1 Integral Indefinida
2.2 Integración de Funciones Trigonométricas
2.3 Teorema Fundamental del Cálculo
2.4 Método de Sustitución 2.4.1 Sustitución para integrales definidas
2.5 Integración por partes
Ecuaciones DiferencialesEcuaciones Diferenciales
3.1 Introducción
3.2 Solución de una Ecuación Diferencial 3.2.1 Comprobación de la solución de una ED
3.3 Obtención de una Ecuación Diferencial a partir de la solución general.
Métodos Para Resolver una EDMétodos Para Resolver una ED
4.1 Introducción 4.1.1 Objetivo de los métodos para la obtención de la solución general.
4.2 Ecuaciones de Variables Separables
4.3 Ecuaciones Homogéneas
4.4 Ecuaciones Exactas
Cálculo con Geometría AnalíticaR. E. Larson y R. P. HostetlerMc. Graw-Hill, 2000
Cálculo con Geometría
L. LeiitholdHarla, 1992
Cálculo, Concepto y ContextosJ. StewartInternacional Thompson, 1999
Ecuaciones DiferencialesE. D. RainvilleNueva Editorial Interamericana, 1987
Cálculo
Frnakes Ayres Jr., Elliot MendelsonMc. Graw-Hill, 2001
Matemáticas Superiores para IngenieríaC. Ray WyleMc. Graw-Hill, 1994
DefiniciónDefinición
La función denota una regla que asigna a cada elemento de x del conjunto A, exactamente un elemento, denotados por f(x) del conjunto B.
BAf :f Función
A y B Conjuntos
x
a
f(x)
f(a)BA
Considerando que los conjuntos A y B son conjuntos de números reales:
Dominio es el conjunto A de la función, denotado por D(f).
Rango es el conjunto de todos los valores posibles f(x) conforme varía en todo el dominio A.
El número f(x) es el valor de f en x.
RBA
y=f(x)
Rango
Dominio
x
y
AxxffR :)()(
EjemploEjemplo
Encuentre el dominio y rango de cada función:1. f(x)=2x-12. g(x)=x2
SoluciónSolución1. La ecuación de la gráfica es y=2x-1, la cual es la ecuación de una recta con pendiente y ordenada en el origen de -1. La expresión esta definida por todos los números reales, de manera que D(f)=R y su rango es también R(f)=R.
-1-1
1
1/2 1
SoluciónSolución2. La ecuación de la gráfica g(x)=x2, la cual representa una parábola. La función g esta definida para cualquier número real, así D(g)=R y su rango es positivo.
1
2
3
4
1 2-1-2
Funciones PotenciaFunciones Potencia
Funciones donde la base es una variable y la potencia es una constante, tiene la siguiente forma:
Ejemplos:
xa
xf )( Ra
1
2
xxh
xxg
xxf
)(
)(
)(
Función ExponencialFunción Exponencial
Función donde la base es una constante y la potencia es una variable, es la función exponencial de base a, tiene la siguiente forma:
Ejemplos:
ax
xf )(R
x
a 0
x
x
xg
xf23)(
2)(
x
xh
21
)(
Propiedades de la Función ExponencialPropiedades de la Función Exponencial
Siendo:
1. 4.
2. 5.
3. 6.
10 a
yxyx aaa
yxy
x
aaa
xxx baab
yxyx aa
x
xx
ba
ba
0, ba Ryx,
En cálculo se decide trabajar como base el número irracional e que tiene un valor aproximado de 2.718281828.
DefiniciónDefiniciónLa función exponencial para cualquier x є R se define como:
Cuenta con las mismas propiedades que cualquier función exponencial de base a.
718281828.211
0
x
x
xxLime
Gráfica de la Función Exponencial “base Gráfica de la Función Exponencial “base e”e”
2
3
4
0.5
1 1.5
-1.5
-1 -0.5
1
Función LogarítmicaFunción LogarítmicaPara a>0 y a1 y x>0 denotamos la función logaritmo de base a por logax, y se define como:
Si x>0 entonces logax es el exponente al que debe elevarse la base a para dar x.
xabx ba log
Las funciones exponenciales y logarítmicas son funciones inversas una de otra, como se puede ver en los siguientes ejemplos:
Forma Logarítmica
Forma Exponencial
log28=3 23=8
loga1=0 a0=1
log10 0.1=-1 10-1=0.1
log10 1000=3 103=1000
Propiedades de la Función LogarítmicaPropiedades de la Función Logarítmica
Siendo: a, b 1 y x, y >0 se tienen las siguientes características:
1. 2.
3. 4. 5. 6.
7.
01log a1log aa
yxxy aaa logloglog yxyx
aaa logloglog
xnx an
a loglog ax
xb
ba log
loglog
ab
ba log
1log
Logaritmo NaturalLogaritmo Natural
Es la función para un x>0 se define como la función logaritmo cuya base es el número e y se denota por:
Esta función goza de las mismas características que la función logarítmica de base a, dados x, y > 0.
xx elogln
Función de Logaritmo NaturalFunción de Logaritmo Natural
-2
-1
-4
0.5
1 1.5
-3
2
Propiedades como Funciones InversasPropiedades como Funciones Inversas
1.Si a > 0 y a 1 se tiene:
2.Si a = e se tiene:
xaxa log
Rx
xa xa log
0x
xex lnRx
xe x ln
0x
Ejemplo:Ejemplo:
Desarrolla las siguientes expresiones:
910
log5 23ln x5
log2
xy 3
2
1
2ln
xx
x
Solución:Solución:
1. Aplicando la propiedad 4 de logaritmos:
9log10log910
log 555
ylogxlogyx
log aaa
Solución:Solución:
2. Aplicando la propiedad 5 de logaritmo natural:
23ln21
23ln xx
xnlogxlog an
a
Solución:Solución:
3. Aplicando la propiedad 3 y 4 de logaritmos:
5logloglog5
log 2222 yxxy
ylogxlogxylog aaa ylogxlogyx
log aaa
Solución:Solución:
4. Aplicando la propiedad 3, 4 y 5 de logaritmo natural:
1ln31
ln3ln21ln3ln1
2ln 32
3
2
xxxxxx
xx
x
ylogxlogxylog aaa
ylogxlogyx
log aaa
xnlogxlog an
a
Ejercicios para Resolver en Clase:Ejercicios para Resolver en Clase:
1. Escribir cada ecuación logarítmica mediante exponencial y viceversa: a) ln8.4 = 2.128 b) 491/2 = 7
2. Desarrolla cada una de las siguientes ecuaciones: a) log2x2y b) ln(z-1)2
Ejercicios de Tarea:Ejercicios de Tarea:
1. Desarrolla la siguiente expresión:
2. Despejar x de las siguientes expresión:
a) b) c)
3
3
2 1ln
x
x
1log3log 1010 xx 4ln xe 3ln xe
Funciones de Base ArbitrariaFunciones de Base Arbitraria
Para a>0 y a1 y u=u(x) una función diferencial en x donde xєR entonces la derivada de ax es:
y para la derivada de au es:
xx aaadxd
ln
dxdu
aaadxd uu ln
Ejemplo:Ejemplo:
1. Derivar las siguientes funciones:(a)y=2x (b) y=2senx
Solución:Solución:
(a) (b) xx
dxd
y 22ln2' senx
dxd
y 2'
senxxy 22lncos'
senxdxd
y senx22ln'
Funciones de Base Funciones de Base ee
Para a>0 y a1 y u=u(x) una función diferencial en x donde xєR entonces la derivada de ex es:
y para la derivada de eu es:
xx eedxd
dxdu
eedxd uu
Ejercicios para Realizar en Clase:Ejercicios para Realizar en Clase:
1.Calcular las derivadas de las siguientes expresiones: a) y=e3x+1
b) y=(ex+1)2
c) y=e3x
d) y=etan3x
Ejercicios de Tarea:Ejercicios de Tarea:
1.Calcular las derivadas de las siguientes expresiones: a) y=a5x-1
b) y=x2ex
c) y=e5x
Derivación con Base Arbitraria:Derivación con Base Arbitraria:
Si a>0, a1 y u=u(x), es una función diferenciable de x, donde x>0, entonces la derivada de logax es:
y la derivada de logau es:
xax
dxd
a ln1
log
dxdu
uau
dxd
a ln1
log
Ejemplo:Ejemplo:
1.Derivar las siguientes funciones:(a)y=log10cosx (b) y=log5(2+senx)
Solución:Solución:
(a) (b) xdxd
y coslog' 10
xdxd
xy cos
cos10ln1
'
10lntan
cos10ln'
xx
senxy
senxdxd
y 2log' 5
)2(5lncos
'senxx
y
senxdxd
senxy
2
)2(5ln1
'
Derivación con Base Derivación con Base ee
Si a>0, a1 y u=u(x), es una función diferenciable de x, donde x>0, entonces la derivada de lnx es:
y la derivada de lnu es:
xx
dxd 1
ln
dxdu
uu
dxd 1
ln
Ejemplo:Ejemplo:
1.Derivar las siguientes funciones:(a) (b)
Solución:Solución:
(a) (b) 1ln' 3 xdxd
y
2
1ln'
x
xdxd
y
1ln 3 xy2
1ln
x
xy
11
1' 3
3
x
dxd
xy
13
'3
2
xx
y
2
1
2
11
'x
xdxd
x
xy
2125
'
xxx
y
Ejercicios para Resolver en Clase:Ejercicios para Resolver en Clase:
1.Derivar las siguientes funciones: a)
b)
c)
coslnf
xaxa
xg
ln
xxxf ln
Ejercicios de Tarea:Ejercicios de Tarea:
1.Derivar las siguientes funciones: a)
b)
4log 23 xxf
xxf ln
El cálculo de derivadas de funciones complicadas que comprenden productos, cocientes o potencias se puede simplificar tomando logaritmos.
Método de la Derivación Logarítmica:Método de la Derivación Logarítmica:1. Tome logaritmos naturales en ambos miembros de una ecuación y=f(x) y aplique la propiedad de los logaritmos para simplificar.2. Derive con respecto a x.3. Resuelva la ecuación resultante para y’.
Ejemplo:Ejemplo:1. Derivar las siguiente ecuación:
Solución:Solución:
524
3
23
1
x
xxy
23ln51ln21
ln43
ln 2 xxxy
2315
1431
2
xxx
xdxdy
y
23x
151x
x4x3
23x
1xx25
243
2315
143
2 xxx
xy
dxdy
5
243
23
1lnln
x
xxy
Ejercicios para Resolver en Clases:Ejercicios para Resolver en Clases:
1. Aplique la derivación logarítmica para hallar la derivada de las siguientes funciones:
a) b) 324 1873 xxy senxxy
Ejercicios de Tarea:Ejercicios de Tarea:
1. Aplique la derivación logarítmica para hallar la derivada de las siguientes funciones:
a) b) 8
34
3
51
x
xxy xxy
DefiniciónDefiniciónUna función F se dice que es una primitiva o antiderivada de f en un intervalo I si F’(x)=f(x) para todo x є I.
EjemploEjemploSe necesita encontrar una función F que su derivada sea f(x)=4x3, por los conocimientos en diferenciación se diría que:
Por lo tanto F es una primitiva de f.
4)( xxF 34 4xxdxd
Familia de Primitivas:Familia de Primitivas:Si F es una primitiva de f en un intervalo I, entonces G es una primitiva de f en I si y solo si G es de la forma:
EjemploEjemploSabemos que la función F(x)=x4 es una primitiva de f(x)=4x3 así que las siguientes funciones:
G1(x)=x4+5 G2(x)=x4-123
también son primitivas de f(x).
CxFxG R
C
Ix
CxxG 4 Es la familia de primitivas de f(x)
Para denotar la primitiva de una función f se usa la notación:
DefiniciónDefiniciónEl proceso de calcular las primitivas de una función f se denomina integración, así que tenemos:
lo que significa que:
dxxf
CxFdxxf
xfxFCxFdxd
'
RC
Partes de la Integración:Partes de la Integración:
CxFdxxf
Variable de Integración
Integrando
Símbolo de la
Integración
Constante de
Integración
Reglas de la Integración:Reglas de la Integración:
1.
2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
Cxdxx
ln1
dxxgdxxfdxxgxf
11
1
nCnx
dxxn
n
dxxfkdxxkf
Cedxe xx Ca
adxa
xx
ln
Cxsenxdx cos Csenxxdxcos
Reglas de la Integración:Reglas de la Integración:
9. 10.
11. 12.
13. 14.
Cxxdx tansec2 Cxxdx cotcsc2
Cxxdxx sectansec Cxxdxx csccotcsc
Cxdxx
12
tan1
1
Cxsendxx
1
2 1
1
Ejemplo:Ejemplo:
Encuentre las siguientes integrales indefinidas:
1. 2.
3. 4.
5.
dxx3
1 dxx
senxdx2 dxx 2
dxxxx 24 53
Solución:Solución:
C2x1
dxx1
23C
xdxx
2
23
Cx32
dxx 3 CxCx
dxx 232
3
2/1
32
23
C2cosx2senxdx Cxdxsenx cos22
1.
2.
3.
Solución:Solución:
C2x2x
dx2x2
dxdxx 2
xdxdxxdxx 24 53dxx5x3x 24
Cx21
x35
x53 235
C
xxx23
55
3235
4.
5.
Ejercicios para resolver en Clase:Ejercicios para resolver en Clase:
Encuentre las siguientes integrales indefinidas:
1.
2.
3.
dxxx 24 sec210
dxxx 63
dx
xxx
13
622
3
Ejercicios de Tarea:Ejercicios de Tarea:
Encuentre las siguientes integrales indefinidas:
1.
2.
3.
dxxx 122/3
dxxsenx cos32
dxx
xx 12
Identidades Fundamentales:Identidades Fundamentales:
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
senxx
1csc
xx
cos1
sec
xsenx
xcos
tan xsenxx coscot
xx
tan1
cot 1cos22 xxsen
xx 22 sec1tan xx 22 csc1cot
Con las identidades mencionadas anteriormente se extienden las fórmulas básicas de integración:
15. 16.
17. 18.
Cxxdx coslntan Csenxxdx lncot
Cxxxdx tanseclnsec Cxxxdx cotcsclncsc
Ejemplo:Ejemplo:
Calcular la siguiente integral
Solución:Solución:
dyy 1tan2
Ctany ydydyy 22 sec1tan
Ejercicios para Resolver en Clases:Ejercicios para Resolver en Clases:
1. Resolver las siguientes integrales
a) b)
c)
dxxsenx cos32
dxxxcotcsc1
dxsenxx2sec
Entre ambas ramas existe una relación descubierta independientemente por Isaac Newton y Gottfried Leibniz, que se denomina Teorema Fundamental del Cálculo, el cual afirma que la diferenciación e integración son operaciones mutuamente inversas.
Teorema Fundamental de CálculoTeorema Fundamental de Cálculo
Si f(x) es una función continua en [a, b] y F es una primitiva de f en [a, b] entonces:
Para aplicarlo se va a utilizar la siguiente notación:
b
a
aFbFdxxf )()(
b
a
ba aFbFxFdxxf )()(
Propiedades de la Integral DefinidaPropiedades de la Integral Definida
Sea f(x) una función integrable en [a, b], entonces:
1. Si k es cualquier constante entonces:
2. Si g(x) es una función integrable en [a, b], entonces:
dxxfkdxxkfb
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxfb
a
b
a
b
a
Propiedades de la Integral DefinidaPropiedades de la Integral Definida
3. Sea c є [a, b], es decir, a<c<b. Entonces f es integrable en [a, b], si solo si f es integrable en [a, c] y en [c, b]:
4. La integral definida sobre un punto es cero, esto es:
dxxfdxxfdxxfb
c
c
a
b
a
0 dxxfa
a
Propiedades de la Integral DefinidaPropiedades de la Integral Definida
5. La integral definida de a a b de f es igual a menos la integral definida de b a a de f, es decir:
dxxfdxxfa
b
b
a
EjemploEjemplo
Resuelva las siguientes integrales:
1.
2.
dxx 1
2
2 3
dxx4
1
3
Solución:Solución:1. Geométricamente la integración de la función (1) en el intervalos [1, 2] es el área de la región sombreada:
1
2
1
2
2 3dxdxxdx3x1
2
2
121
2
3
33
xx
6338
31
32
Solución:Solución:2. Geométricamente la integración de la función (2) en el intervalos [1, 4] es el área de la región sombreada:
14
4
1
2/34
1
21
2/333
xdxx /dxx3
4
1
2/32/3 1242
Ejercicios para Resolver en ClaseEjercicios para Resolver en Clase
Resolver las siguientes integrales:
1.
2.
3.
dxx1
0
2
dxx
0
1
2
dxxx
1
0 3
Ejercicios de TareaEjercicios de Tarea
Resolver las siguientes integrales:
1.
2.
3.
dxx
2
12
13
dxx
1
1
3 2
dxx
x4
1
2
Método de SustituciónMétodo de SustituciónSea g una función cuyo rango es un intervalo I, y sea f una función continua en I. Si g es diferenciable en su dominio y F es una primitiva de f en I, entonces:
Si hacemos el cambio de variable u=g(x) entonces du=g’(x)dx y:
Este método es comparable a la regla de la cadena en la diferenciación.
CxgFdxxgxgf '
CuFduuf
Ejemplo:Ejemplo:
1. Resolver la integral:
Solución:Solución:
dxxx 13 32
duuduudxxx 2/132 13
dxxdu
xu2
3
3
1
CuCu
2/32/3
32
23
C1x32 33 cx
2/33 132
Ejercicios para Resolver en ClasesEjercicios para Resolver en Clases
1. Resuelva las siguientes ecuaciones:
a)
b)
c)
dxxx 42 12
dxxx 22 1
dxxx 5cos5
Existen dos métodos para evaluar una integral definida por sustitución.
Uno de ellos es evaluar primero la integral indefinida y en seguida aplicar el TFC, por ejemplo:
4
0
2/34
0
4
0 2/312
21
21221
12
xdxxdxx
326
12731
131
931
1231 2/32/3
4
0
2/3x
El otro método suele ser el mas adecuado, en este se cambian los límites de integración cuando se cambie la variable, como se explica a continuación:
Si g’ es continua sobre el intervalo [a, b] y f lo es sobre el rango de u=g(x) entonces
duufdxxgxgfbg
ag
b
a
)(
)(
'
EjemploEjemplo
SoluciónSoluciónTomando la sustitución u=2x+1 tenemos que
Hallamos los nuevos límites de integración:
dxx 4
0
12
dxdu 2 dudx21
110200 ux
914244 ux
Por lo tanto:
duu 9
1
dx12x4
0
912/39
1
2/3
9
1
2/39
1
2/1
31
32
21
322
121
uuu
duu
326
2/32/3 1931
Ejemplo:Ejemplo:Evaluar la siguiente integral dxxx
1
0
32 1
xdxdu
xu
2
12
xdxdu
21 11000 2 ux
21111 2 ux
duuduu 2
1
32
1
3
21
21
815
44 1281 214
2
1
4
81
421
uu
Ejercicios para Resolver en ClaseEjercicios para Resolver en Clase
Evaluar las siguientes integrales:
1.
2.
3.
dxx
x
5
1 12
dxxxe
1
ln
dxx 7
3
3
Ejercicios de TareaEjercicios de Tarea
Calcular las siguientes integrales
1.
2.
3.
dxx
xx
732
dxxx
1
1
32 1
dxxx 292
Sea f y g funciones diferenciables en un intervalo I, entonces:
Se puede utilizar otra notación, que es más fácil de recordar, la cual se muestra a continuación:
dxxfxgxgxfdxxgxf ''
)(
)(
xgv
xfu
dxxgdv
dxxfdu
)('
)('
vduuvudv
EjemploEjemplo
SoluciónSolución
De manera que:
dxxsenxxudxdu
senxdvxv cos
dxxxxdxxxxdxxsenx coscoscoscos
Csenxxcosx
SoluciónSoluciónNotamos que si hubiéramos elegido u=senx y dv=xdx, entonces du=cosx y v=x2/2 por lo que:
es una integral mas difícil de calcular.
dxxsenx
dxxxsenxx
dxxsenx cos21
22
2
dxcosxx2
EjemploEjemplo
SoluciónSolución
De manera que:
La integral obtenida es mas sencilla que la inicial pero aun no es obvia, por lo cual hay que volver a aplicar la integración por partes.
dxex x 2
2xuxdxdu 2
dxedv xxev
dxxeexdxex xxx 222
dxxexxu dxdu dxedv x xev
Cexedxexedxxe xxxxx 2
Sustituyendo el resultado de la segunda ecuación tenemos que: Cexeexdxxeexdxex xxxxxx 22 222
1xxx2 C2e2xeex CC 21
Ejercicios para Resolver en ClaseEjercicios para Resolver en Clase
Resuelva las siguientes integrales:
1.
2.
3.
4.
dxxln
dxsenxexdxxx ln2
dxx 3sec
Fórmula de Integración por Partes para Fórmula de Integración por Partes para Integrales DefinidasIntegrales Definidas
b
a
b
a
ba vduuvudv
EjemploEjemplo
De donde:
Por lo tanto:
dxxex1
0
dxdu
xu
x
x
ev
dxedv
101
0
1
0
1
0
1
0
xxxxx exedxexedxxe 1 10 ee
Ejercicios de TareaEjercicios de Tarea
Resuelva las siguientes integrales:
1. 5.
2. 6.
3. 7.
4.
dxxe x 2
dxxx cos
dxxsen 1
dxsen cos
dxxx2
0
2cos
dxx4
1
ln
dxxx 1
0
1tan
DefiniciónDefiniciónUna ecuación diferencial (ED) es una ecuación que involucra derivadas de una función desconocida de una o varias variables.
EjemploEjemploLas siguientes expresiones son ejemplos de ED’s:
0232
2
ydxdy
dxyd y
dtdy
Conocida como Ley de Crecimiento Exponencial
En basa a la definición anterior se tiene que:
a) Si la función desconocida depende de solo una variable la ecuación se llama Ecuación Diferencial Ordinaria.
b) Si la función desconocida depende de más de una variable la ecuación se llama Ecuación Diferencial Parcial.
xdxdy
2 yxy 2'
vyv
xv
2
2
2
2
2
Las ecuaciones diferenciales pueden clasificarse por su orden y grado.
OrdenOrdenEl orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada mas alta que aparece en la ecuación.
EjemploDeterminar el orden de las ecuaciones diferenciales:
87 53
xdxdy
xsendx
yd35
2
2
Solución
La ecuación diferencial:
Es de primer orden dado que la derivada mas alta que figura en la ecuación diferencial es la primera derivada.
La ecuación diferencial:
Es de segundo orden dado que la derivada más alta que figura en la ecuación diferencial es la de la segunda derivada.
87 53
xdxdy
xsendx
yd35
2
2
Ejercicios para resolver en clase
Determinar el orden de las siguientes ecuaciones:
a)
b)
735 25
2
22
4
4
x
dxdy
dxyd
dxyd
3
2
22
6
2
2
7
dxyd
xdxdy
xdx
yd
GradoGradoEl grado de una ecuación diferencial es el grado algebraico de su derivada de mayor orden, es decir, el grado de una ecuación diferencial es la potencia a la que esta elevada la deriva que nos dio el orden de la ecuación diferencial.
EjemploEl grado de la ecuación diferencial es:
de tercer grado, dado que la primera derivada está elevada cubo.
87 53
xxydxdy
Ejercicios para resolver en clase
Determinar el grado de las siguientes ecuaciones:
a)
b)
735 25
2
22
4
4
x
dxdy
dxyd
dxyd
3
2
22
6
2
2
7
dxyd
xdxdy
xdx
yd
NOTA: cuando alguna derivada este dentro de un radical o en polinomio, el cual este elevado a una potencia fraccionaria, tendremos que eliminar dicho radical para después determinar el grado de la ecuación diferencial.
Ejercicios para resolver en clases
Determinar el orden y grado de las siguientes ecuaciones diferenciales:
a)
b)
17 2 xdxdy
32
2
dxdy
xdx
yd
Ejercicios para resolver en clases
Determinar el orden y grado de las siguientes ecuaciones diferenciales:
a)
b)
17 2 xdxdy
32
2
dxdy
xdx
yd
Ejercicios de Tarea
Determinar el orden y grado de las siguientes ecuaciones diferenciales:
a) b)
c)
d)
ydxdy
xdx
yd53
3
3
5
3
33
3
3
818
dxyd
xdx
yddxdy
dxdy
xdx
yd85
3
3
53
3
2
2
3dx
ydx
dxyd
Una solución de una ED es cualquier función que satisface la ED, este es, la reduce a una identidad.
EjemploLa función definida por es una solución de la ecuación diferencial:
puesto que:
y al sustituir en la ED se obtiene una identidad
2x9y
yx
y'
2
21
2
929
21
x
xxx
y'
22 99 x
x
x
x
33 x
Una solución particular de una ED es toda solución obtenida asignando valores específicos a las constantes que intervienen en la solución general.
EjemploVerificar que y=Cx3 es solución de la ecuación diferencial
Hallar la solución particular sujeta a la condición inicial:
03' yxy
2)3( y
SoluciónDerivando y=Cx3 tenemos que y’=3Cx2, luego, sustituyendo en la ED:
de esta manera y=Cx3 es solución de la ED.
Para obtener la solución particular, apliquemos la condición inicial y(-3)=2 en la solución general esto es:
La solución particular es:
033 32 CxCxx
CC 2732 3
272
C 3x272
y
Para comprobar que una ecuación es o no la solución de una ecuación dada, se aplica el siguiente método:
Método1.Observemos que derivada o derivadas aparecen en la ecuación diferencial.2.Estas derivas las encontramos al derivar la ecuación que se supone solución.3.La ecuación será solución cuando al sustituir el valor de las derivadas encontradas (paso 2) dentro de la ecuación diferencial, aparezca una identidad a=a (donde aєR) al reducir la ecuación ya sustituida.
EjemploComprobar que la y=x2+C no es solución de la ecuación diferencial
Solución1.Observando la ecuación diferencial vemos que aparece una derivada por lo tanto, encontramos su valor derivando la supuesta solución.2.Derivando y=x2+C tenemos
xdxdy
xdxdy
2
Solución3.Sustituyendo el valor de la derivada encontrada en la ecuación diferencial tenemos:
Por lo tanto y=x2+C si es solución de la ecuación diferencial
12
2
xx
xdxdy
Ejercicios para resolver en claseDetermine si cada ecuación es solución o no de la ecuación diferencial dada:
1.
2.
3.
yxdxdy
xCxxy
22 ;
025);5cos()5(2
2
ydx
ydxBxAseny
084; 23
2
y
dxdy
xydxdy
CxCy
Ejercicios de tareaDetermine si cada ecuación es solución o no de la ecuación diferencial dada:
1.
2.
3.
2412 ''; yxxyyCxCy
senxysenxdxdy
senyCye x
cos;cos1cos
32
225 1606;38 x
dxyd
Cxxy
Para obtener la ED a partir de su solución general, aplicaremos el siguiente método:
1.Observemos el número de constantes de integración que aparecen en la solución general dada.
2.Derivemos la solución general tantas veces como el número de constantes de integración aparezcan en ella. En otras palabra, si la solución general tienen n constantes de integración diferentes, entonces derivaremos n veces tal solución.
3. Tomando en cuenta el resultado de la última derivada obtenida, se nos pueden presentar los siguientes casos:a) Si en la última derivada ya no aparecen
constantes de integración, esta será la ED que de la solución general dada.
b) Si la última derivada contiene constantes de integración, habrá que eliminarlas, pudiendo utilizar para esto, las ecuaciones de las derivadas encontradas, asó como también la solución general dada. En la ED NO deben aparecer constantes de integración.
EjemploEncuentre la ED cuya solución general es y=x2+C
SoluciónObservemos que sólo aparece una constante de integración, de manera que derivamos una sola vez la solución general y=x2+C. Así
Como en esta derivada no aparecen constantes de integración, quiere decir que esta es la ED de la solución general presentada al inicio.
xdxdy
2
EjemploEncuentre la ED cuya solución general es y=Cx2
SoluciónObservemos que sólo aparece una constante de integración, de manera que derivamos una sola vez la solución general y=Cx2. Así
Se va a despejar C de la solución general y se sustituye el valor encontrado en la ED.
Cxdxdy
2
xxy
dxdy
22
2xy
C
SoluciónPor lo tanto:
Es la ED de la solución general puesto que ya no aparecen constantes de integración.
ydxdy
x 2
Ejercicios para resolver en claseEncuentre la ED de las siguientes soluciones generales
1.
2.
;21xx eCeCy
)2cos()2( 213 xCxsenCey x
Ejercicios de tareaEncuentre la ED de las siguientes soluciones generales
1.
2.
)3tan( Cxy
22
221 CyCx