1ESTRUCTURAS IV
E.T.S. ARQUITECTURA DE A CORUA DEPARTAMENTO DE TECNOLOGA DE LA CONSTRUCCIN Juan Prez Valcrcel
INTRODUCCIN AL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
INTRODUCCIN AL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOSJUAN PREZ VALCRCEL
Catedrtico de Estructuras
E.T.S.A. de La Corua
2ESTRUCTURAS IV
E.T.S. ARQUITECTURA DE A CORUA DEPARTAMENTO DE TECNOLOGA DE LA CONSTRUCCIN Juan Prez Valcrcel
INTRODUCCIN AL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
APLICACIONES ARQUITECTNICAS9
GENERACIN DE MALLAS 8
ELEMENTOS FINITOS RECTANGULARES7
ELEMENTOS FINITOS TRIANGULARES6
ELASTICIDAD PLANA5
FORMULACIONES ISOPARAMTRICAS4
ELEMENTOS UNIDIRECCIONALES3
FUNCIONES DE FORMA2
INTRODUCCIN1
INDICE DE CONTENIDOS
3ESTRUCTURAS IV
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INTRODUCCIN AL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
JUSTIFICACIN DEL TEMA
No calculamos estructuras, sino modelos matemticos que las idealizan como resultado de una determinada discretizacin.Barras [matricial], elementos [M.E.F.]
La realidad es tridimensional.Bsqueda de un modelo que aproxime ms la realidad construida.
El M.E.F es de reciente implantacin en arquitectura, pero es ampliamente usado en todas las ingenieras.Las impresionantes prestaciones actuales se basan en recursos de clculo disponibles desde hace medio siglo.
Enorme importancia en la actividad profesional.Los programas de M.E.F son imprescindibles en el anlisis de estructuras complejas de edificacin y en el anlisis de edificios histricos.
4ESTRUCTURAS IV
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INTRODUCCIN AL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
CLCULO DE ESTRUCTURAS: MTODOS NUMRICOS
Estructura Modelo Matemtico
Discretizacin
Sistema de Ecuaciones
Resolucin
Lineal
No lineal
Elementos (M.E.F.)
Barras (clculo matricial)
Val
idac
in
Mtodo de Elementos Finitos
Mtodo Matriciales de barras
5ESTRUCTURAS IV
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INTRODUCCIN AL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
IDEALIZACIN DE LA ESTRUCTURA
Estructura real Modelo matemtico
Discretizacin Elementos conectados pornudos
ELEMENTOS LINEALES PrticosEmparrilladosCelosas
SUPERFICIALES PantallasLosasLminas
VOLUMTRICOS Losas gruesasMacizosPresas
Elementos lineales - Discretizacin en barras (matricial)
Elementos superficiales - Discretizacin en elementos finitosy volumtricos
ESQUEMA DE LOS MTODOS NUMRICOS DE CLCULO
6ESTRUCTURAS IV
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INTRODUCCIN AL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
SISTEMAS DISCRETOS Clculo matricial
SISTEMAS CONTINUOS Mtodo de elementos finitos
Dos formas de Clculo Anlisis del elemento
estudiarlos infinitesimal infinitesimal
Integracin
M.E.F. Anlisis del elemento finito
Ensamblaje de matrices
7ESTRUCTURAS IV
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INTRODUCCIN AL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
BASES DEL MTODO DE ELEMENTOS FINITOS.
En estructuras la relacin determinista CAUSA EFECTO
se establece como
FUERZA MOVIMIENTO
Es una relacin biunvoca que debe satisfacer:
1.- Ecuaciones constitutivas del material Ley de Hooke
2.- Ecuaciones de compatibilidad
3.- Ecuaciones de equilibrio
ESTRUCTURAS ISOSTTICAS Ecuacin 3
ESTRUCTURAS HIPERESTTICAS Ecuaciones 1,2, 3
8ESTRUCTURAS IV
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INTRODUCCIN AL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
MTODO DE RIGIDEZ. (Igual clculo matricial)
INCGNITAS BSICAS MOVIMIENTOS EN LOS NUDOS
DATOS FUERZAS EN LOS NUDOS
APLICACIN DEL MTODO
1.- Expresar las esfuerzos en los extremos de las barras en funcin de los movimientos en dichos extremos. (Ecuacin constitutiva).
2.- Aplicar las ecuaciones de compatibilidad de las deformaciones. Se ponen los movimientos de los extremos de las barras (coordenadas locales) en funcin de los movimientos de los nudos (coordenadas globales). (Ecuacin de compatibilidad).
3.- Aplicar las ecuaciones de equilibrio de nudos. (Ecuacin de equilibrio).
SE GENERA UN SISTEMA LINEAL DE ECUACIONES
L = matriz de cargas en los nudos
S = matriz de rigidez en coordenadas globales
X = matriz incgnita (desplazamientos en los nudos)
RESOLUCIN X = S-1.L Desplazamientos en coord. globales
Se aplica 2 Desplazamientos en coord. locales
Se aplica 1 Esfuerzos
L = S X
9ESTRUCTURAS IV
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INTRODUCCIN AL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
SUPUESTOS PREVIOS
LINEARIDAD
Los movimientos y esfuerzos son funciones lineales de las cargas aplicadas.
Ventajas Simplifica el anlisisPermite la superposicin de soluciones
Condiciones Materiales elsticosDesplazamientos pequeos
f
P.l4 4
P.l
P
n.P
n.
n.f
+
+SUPERPOSICIN
Los esfuerzos y movimientos que produce unconjunto de sistemas de carga actuando a la vez es igual a la suma de los que produciran actuando por separado.
En clculo matricial es fundamental este principio de superposicin, puesto que en general hemos de superponer dos estados:
Estado de empotramiento perfectoEstado final de clculo.
10ESTRUCTURAS IV
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INTRODUCCIN AL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
FUNDAMENTOS PRCTICOS DEL MATRICIAL
y los tres conjuntos de ecuaciones que intervienen:
PAP ~~~ t =
dAd = ~~~dKP~~~
=
Ecuaciones de equilibrio ..[Matriz de equilibrio]
Ecuaciones de compatibilidad .[Matriz de transformacin]
Ecuaciones constitutivas del material.[Matriz de barra en ejes locales]
La combinacin de las ecuaciones anteriores nos conduce a la ecuacin matricial formulada en coordenadas globales:
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
~~ ~~
~ ~ ~ ~
P = K d P = K A d'
At PP'
= At K AS
d'
P' = S d'
11ESTRUCTURAS IV
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INTRODUCCIN AL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
FUNDAMENTOS PRCTICOS DEL MATRICIAL
=
j
i
jjji
ijii
j
i
dd
SSSS
PP
~~
~~~~
~~
El clculo matricial de una simple cercha plana o de un complejo entramado espacial de nudos rgidos no entraa diferencias conceptuales, sino simplemente volumen de datos que se manejan.
que para un elemento de nudo inicial iy nudo final j, adopta la forma
12ESTRUCTURAS IV
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INTRODUCCIN AL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
ECUACIN CONSTITUTIVA
C Expresa la relacin entre los esfuerzos sobre un elemento ylos desplazamientos de dicho elemento. Para materialeselsticos es la ley de Hooke.
C Al referirse a cada elemento se formula en coordenadaslocales.
C Su grado de complejidad depende del nmero de esfuerzosque definan el estado de la barra.
13ESTRUCTURAS IV
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INTRODUCCIN AL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
Pxi Pxji j
dxi xjd
( )
P = - P
l = d - d = P l E A
P = - P = E Al
d - d
xi xj
xj xixj
xj xi xj xi
N NPP
P
= E A
l- E A
l- E A
lE A
lK
dd
d
xi
xj
xi
xj
~ ~ ~
ji xjxi PP
yjPPyi mjmi
ESTRUCTURAS ARTICULADAS ESTRUCTURAS RETICULADAS
PPmPPm
= K
dd
dd
xi
yi
i
xj
yj
j
xi
yi
i
xj
yj
j
~
14ESTRUCTURAS IV
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INTRODUCCIN AL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
ECUACIN DE COMPATIBILIDAD.Los esfuerzos internos llevan la direccin de los ejes locales.
Las fuerzas externas llevan la direccin de los ejes globales.
Las leyes de cambio de coordenadas son las mismas que para ejes.
Se trata de una rotacin de ejes de ngulo a
Esfuerzos Desplazamientos
m
xi
yi
P
P
y'
x'
i
jyj mP
xjPy
x
N N
xyzx
= cos sen 0-sen cos 0
0 0 1
A
x'y'z'x'
~ ~ ~
N N
PPm
P
= cos sen 0-sen cos 0
0 0 1
A
P 'P 'm'
P'
x
y
x
y
~ ~ ~
N
dd
d
= cos sen 0-sen cos 0
0 0 1
A
d 'd '
'
d'
x
y
x
y
~ ~ ~
15ESTRUCTURAS IV
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INTRODUCCIN AL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
ECUACIN DE EQUILIBRIO
Los esfuerzos internos llevan la direccin de los ejes locales.
Las fuerzas externas llevan la direccin de los ejes globales.
Las leyes de cambio de coordenadas son las mismas que para ejes.
Se trata de una rotacin de ejes de ngulo a
m'
x2x1 P'P' 1 2
1m'y2y1P' P'
2
3 4
Estructura cualquiera con cargas en los nudos
Fuerzas exteriores Fuerzas interioresse equilibran
Aplicando el principio de trabajos virtualesN N
Fuerzas P' PDesplazamientos d' d
exteriores internas
~ ~
~ ~
12
P' d' = 12
P di ii
j jj
trabajo fuerzasexternas
trabajo fuerzasinternas
~ ~ ~ ~P' d' = P dt t ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~P' d' = P A d P' = P At t t t ~ ~ ~P' = A P
16ESTRUCTURAS IV
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INTRODUCCIN AL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
PLANTEAMIENTO GENERAL DEL CLCULO MATRICIAL
Ecuacin constitutiva
Ecuacin de compatibilidad
Ecuacin de equilibrio
~ ~ ~
~ ~
~ ~ ~
P = K d d = A d' P' = A P t
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
~~ ~~
~ ~ ~ ~
P = K d P = K A d'multiplicando a la izquierda por AA P
P' = A K A
Sd' P' = S d'
t
t t
s s s ... ss s s ... ss s s ... s: : : ... :
s s s ... s
xxx:
x
=
ppp:
p
11 12 13 1n
21 22 23 2n
31 32 33 3n
n1 n2 n3 nn
1
2
3
n
1
2
3
n
Una vez resuelto el sistema se conocen los desplazamientos de los nudos en coordenadas globales.
Sistema lineal de ecuaciones
n datos - Fuerzas en los nudosn incgnitas - Desplazamientos en los nudosEl problema se reduce a resolver un sistema lineal de n ecuaciones con n incgnitas, por cualquiera de los mtodos matemticos disponibles.
17ESTRUCTURAS IV
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INTRODUCCIN AL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
ENSAMBLAJE POR BLOQUESMatriz de un elemento Coordenadas globales
~~
~ ~~ ~
~~
P'P '
= S SS S
d 'd '
i
j
ii ij
ji jj
i
j
Situacin en la matriz de rigidez de la totalidad de la estructura
+S +S
+S +S
fila i
fila j
columna i
columna j
ii ij
ji jj
18ESTRUCTURAS IV
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INTRODUCCIN AL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
EJEMPLO DE ENSAMBLAJE POR BLOQUES
En los nudos 5 y 6 los tres desplazamientos son nulos al tratarse de empotramientos. Pueden eliminarse del sistema de ecuaciones.
El nudo 4 tiene dos desplazamientos nulos (articulaciones). Las filas correspondientes a esos desplazamientos tambin pueden eliminarse.
5
21
6
3
4
1 2
3 4 5
P'12P'
3P'
4P'
5P'
6P'
11S1 3
11S+112S
+ 222S122S +
422S
+ 533S233S
S143
425S
121S
S322
0
536S
S344
566S
455S
635S
452S
0
0
0
0
0
0
0
41S3 0
0
0
0
0 0
0
0 0
0
0
0
6
5
4
3
2
d'd'd'd'd'
1d'
= .
= 0
= 0
223S
19ESTRUCTURAS IV
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INTRODUCCIN AL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
RESOLUCIN DE SISTEMAS DE ECUACIONES
Mtodos directos.- Son algoritmos que proporcionan una solucin exacta del sistema tras un nmero finito de operaciones.
Mtodo de Gauss
Mtodo de Gauss-Jordan
Mtodo frontal
Mtodo de Cholesky
Mtodo iterativos.- Son algoritmos que suponen una solucin inicial inexacta que va convergiendo a la solucin exacta por aproximaciones sucesivas.
C Mtodo de JacobiC Mtodo de Gauss-SeidelC Mtodo de gradientes conjugados
El problema principal de los mtodos iterativos es asegurar la convergencia de la solucin en un nmero finito de pasos.
20ESTRUCTURAS IV
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INTRODUCCIN AL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
CLCULO DE ESFUERZOSSe obtienen los desplazamientos en los nudos , pero interesa conocer los esfuerzos en la barras.
~ ~ ~P' = S d'
xjyiP P
xiP
m i
x'
x
y'mPyj j
y~ ~ ~d = A d'
~ ~ ~P = K d
Ecuacin compatibilidad
Ecuacin equilibrio
Al afectar a las barras una por una no es necesario recurrir a las matrices completas de la estructura, sino slo a las de cada barra, lo que supone una gran simplificacin de clculo.
21ESTRUCTURAS IV
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INTRODUCCIN AL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
ESTRUCTURAS PLANAS DE NUDOS ARTICULADOS
Ecuacin de la barra
Puesto en forma matricial
x'
yy'
xij
Pxi Pxji j
dxi xjd
( )
P = - P
l = d - d = P l E A
P = - P = E Al
d - d
xi xj
xj xixj
xj xi xj xi
N NPP
P
= E A
l- E A
l- E A
lE A
lK
dd
d
xi
xj
xi
xj
~ ~ ~
~ ~ ~ ~ ~
~ ~ ~ ~ ~P = K d + K d
P = K d + K di ii i ij j
j ji i jj j
22ESTRUCTURAS IV
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INTRODUCCIN AL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
ESTRUCTURAS PLANAS DE NUDOS ARTICULADOS: PRINCIPIO DE TRABAJOS VIRTUALES.
En forma matricial
Aplicando el P.T.V.
x'
yy'
xij
xi xje e
e e1 2R R1 2
e
e i iiV dV - x R = 0 ~x = xxe 1e2e = =
ee e1 2e
e e1 2e
l 1= = ( x - x )l l
1E E ( x - x ) l
e e
e e e T1 2
e e
e1 e
e e e ee2
1 1 l l= ( x x ) = ( x ) 1 1- - l l
x1 1 1 1 = E - = E - x l l l lx
e
eel 1e e e e e e e T1 1 2 2e e e0
2e
1 R1 1 l( x ) EA - x dx = x R + x R = ( x ) l l1 R-
l
23ESTRUCTURAS IV
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INTRODUCCIN AL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
ESTRUCTURAS PLANAS DE NUDOS ARTICULADOS: PRINCIPIO DE TRABAJOS VIRTUALES.
Integrando nos queda:
e igualando los operadores
Que es exactamente la misma expresin obtenida en el clculo matricial.
x'
yy'
xij
xi xje e
e e1 2R R1 2
e
N( ~ ) ( ~ )
~
~
x EAl
EAl
EAl
EAl
xx
= x RR
e Te e
e e
K
1e
2e
d
e T 1e
2e
Pe
eee
N
EAl
EAl
EAl
EAl
xx
= RR
e e
e e
K
1e
2e
d
1e
2e
Pe
eee
~
~
24ESTRUCTURAS IV
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INTRODUCCIN AL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
DISCRETIZACIN DEL CONTINUO: SISTEMAS UNIDIRECCIONALES.
l
R1 b(x) 2R
A A (x)
,
=
(x) = u (x) ( u) x x
(x) = E (x) = E (u(x) ) x
=
Aplicando el P.T.V.l
iiv 0Superficie Interior del cuerpo
dv = u R + u b(x) dx
l l
i i0 0
u ( u) EA dx - u b dx = u R x x
El problema est en la obtencin de los desplazamientos por lo que se recurre a aproximaciones.
25ESTRUCTURAS IV
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INTRODUCCIN AL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
APROXIMACIN POR FUNCIONES DE FORMA ni i i
1
u (x) = N (x) u
l
R1 b(x) 2R
R1 R2b(x)
1u u2R1e e e e2R
lee1 2
Parmetros del elemento:
desplazamientos en nudos
26ESTRUCTURAS IV
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INTRODUCCIN AL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
APROXIMACIN POR FUNCIONES DE FORMA
e1
eN1
e
N2e
2 1 2
Aproximacin lineal
ue = N1e (x) u1e + N2e (x) u2e X=0 ue = u1e
X= le ue = u2e
Para que la aproximacin sea coherente es necesario que se cumpla la condicin de desplazamiento del slido rgido.
up pu
u = up = N1 up + N2 up
N1 + N2 = 1
27ESTRUCTURAS IV
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INTRODUCCIN AL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
APROXIMACIN POR FUNCIONES DE FORMA
Definido en forma matricial
Siendo: Vector de funciones de forma
Vector de parmetros nodales: En este caso slo los desplazamientos u.
Las definiciones de la tensin y deformacin sern
e1e e e e e e e e e
1 1 2 2 1 2 e2
uu N u + N u = (N N ) N a
u
= =
eNea
Nee
ee e e e1e e e e e1 2 1 1
1 2 e2
B a
u N N N N u ( u + u ) ( ) B a x x x x x u
= = = =
e e e E E B a = =
28ESTRUCTURAS IV
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INTRODUCCIN AL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
INTEGRACIN NUMRICA: MTODO DE LAS CUADRATURAS DE GAUSS.
. Integra exactamente funciones polinmicas
. Es sencillo y de fcil implementacin en ordenador.
. Slo integra en el intervalo (-1,1) Es necesario hacer cambios de variables.
. Los puntos de Gauss son las races de los polinomiosde Legendre.
p1
p i-11
I = F ( ) d I i F( ) w =
-1 +1
i i
0.5 10
1
-1
0.5
-0.5
0P1P
2P 3P 4P 5P
0
1
22
33
4 34
5 35
P (x)= 1P (x)= x
3 1P (x)= x - 2 25 3P (x)= x - x2 235 15 3P (x)= x - x 8 4 8
. .
63 35 35P (x)= x - x x8 4 8
. . .
+
+
29ESTRUCTURAS IV
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INTRODUCCIN AL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
INTEGRACIN NUMRICA: MTODO DE LAS CUADRATURAS DE GAUSS.
EJEMPLO
Es un polinomio de grado 2 Basta una cuadratura de orden 2
Integracin exacta
La precisin depende de la aproximacin de los puntos de Gauss.
En el clculo en elementos finitos la integracin se hace en el recinto (-1,1)
En caso contrario Transformacin de COORDENADAS.
1 12 2
1 -1
EA EA= (1-2 ) d = (1 - 4 + 4 d2l 2l
)
2 2EA EA (1,000 1 4(0,57735) 4(0,57735) +1,000 1 4(0,57735) 4(0,57735) ) 4,66666 2l 2l
= + + + + =
11 2 2 3
11
EA EA 4 EA 8 EA (1-4 +4 -2 (2+ = 4,66667 2l l 3 2l 3 2l
) )
= = + =
30ESTRUCTURAS IV
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INTRODUCCIN AL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
ERRORES EN LAS FUNCIONES DE FORMA
u = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + .... Valor exacto desarrollado
u = a0 + a1x Valor aproximado ( lineal)
u = a0 + a1x + a2x2 Valor aproximado ( cuadrtico)
El error cometido ser . hm+1 ( error de aproximacin)
Funcin de forma lineal Funcin de forma cuadrtica
1 1
solucin exacta
solucin aproximada error
(error discretizacin)
aproximacinErrores
Aproximacin Funciones de forma
Discretizacin N0 Elementos
31ESTRUCTURAS IV
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INTRODUCCIN AL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
ECUACIN DE LOS TRABAJOS VIRTUALES PARA UN ELEMENTO.
Dada su complejidad se aproxima por las funciones de forma
Siendo
La ecuacin resulta
e el le e e e e e e1 1 2 20 0
A dx - u b dx= u R u R + e e e e e e e T e T
e e e e T e T
e e e
u N a u N a ( a ) (N )
B a ( a ) (B )
E B a
= = = = = =
e e e1e e e e e 1 2
1 2e2
u N Na N ( N N ) B = x xu
= =
2 2 el l 1e T e T e e e T e T e Te0 02
R( a ) (B ) EA B a dx- ( a ) (N ) b dx= ( a )
R
e el le T e e e T e
0 0
e e e ev
(B ) EA B dx a (N ) b dx q
K a - f = q
=
e e e ev K a - f = q
32ESTRUCTURAS IV
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INTRODUCCIN AL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
EJEMPLO.- BARRA DE SECCIN CONSTANTE
Formulando desplazamientos Sustituyendo en la ecuacin anterior
En forma matricial Resolviendo
1
l
(x)b = cteR
2
P
2N = x/l
1l = l
N = 1- x/l1
1
1
1
= =
= = =
111 1 112
11 111 1 1 11 112
ux xu N a 1 l l u
u N N 1 1 B a a x x l l u
( )l l1 T 1 1 1 T 10 0l l1 1
0 0
(B ) EA B dx a (N ) b dx q
1 x 1-1 1l l EA dx a b dx ql l1 x
l l
=
=
1 11 11 12 2
1 1 1 1v
EA EA bl - u R Rl l 2 EA EA bl Pu R-
l l 2 K a - f = q
= =
1
2
R= - P - b l u 0b l( P+ ) l2 u =
EA
=
33ESTRUCTURAS IV
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INTRODUCCIN AL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
ELEMENTOS UNIDIMENSIONALES DE CLASE C(0)
Son los que garantizan la continuidad de la variable
Clase c(0) Continuidad de la variableClase c(1) Continuidad variable y 1a derivada
Desplazamiento del elemento unidimensional
u (x) = 0 + 1x + 2x2 + .... u (x) = 0 + 1x(Aproximacin Lineal)
Cambio de variable
Particularizando para los puntos 1 y 2
u (x1) = u1 = 0 + 1x1
u (x2) = u2 = 0 + 2x2
De donde
1 2
(x)N1 2(x)N
l(e)1x cx 2x
2N1N ()
=1 =0 =+1
()
c(e)
2 (x - x )l
=
2 11
1 2 2 10
u u l
u x u x l
=
=
1 2
1 2 2 1 2 1 2 1 11 1 2
N (x) N (x)
1 1 2 2
u x u x u u x x x xu (x)= x u ul l l l
u (x) = N (x) u + N (x) u
+ = +
34ESTRUCTURAS IV
E.T.S. ARQUITECTURA DE A CORUA DEPARTAMENTO DE TECNOLOGA DE LA CONSTRUCCIN Juan Prez Valcrcel
INTRODUCCIN AL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
ELEMENTOS UNIDIMENSIONALES DE CLASE C(0).- Funciones de forma.
Lo mismo se puede obtenerse con polinomios de LAGRANGE
Para el elemento de dos nodos
Haciendo la transformacin(coordenadas normalizadas) 1 = -1 ; 2 = +1
nj1 2 n
ij 1i 1 i 2 i n i jj i
x-x(x-x ) (x-x ) ....... (x-x )N (x)= (x -x ) (x -x ) ....... (x -x ) x x
=
=
2 2 1 11 2(e) (e)
1 2 2 1
x - x x - x x - x x - xN (x)= N (x)= x - x l x - x l
= =
c(e)
x - x = 2 l
ni
ij 1 i jj i
21
1 2
12
2 1
- N ( )=-
- 1N ( )= (1 - )- 2 - 1N ( )= (1 + )- 2
=
= =
35ESTRUCTURAS IV
E.T.S. ARQUITECTURA DE A CORUA DEPARTAMENTO DE TECNOLOGA DE LA CONSTRUCCIN Juan Prez Valcrcel
INTRODUCCIN AL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
ELEMENTOS UNIDIMENSIONALES DE CLASE C(0).- Funciones de forma.
Para un elemento de tres nodos
1N1
e
1N2
e
1N3
e
=0 =1 =+11 2 3
1
2
3
1N ( )= ( - 1)2
N ( )= (1 + ) (1 - )1N ( )= (1 + )2
36ESTRUCTURAS IV
E.T.S. ARQUITECTURA DE A CORUA DEPARTAMENTO DE TECNOLOGA DE LA CONSTRUCCIN Juan Prez Valcrcel
INTRODUCCIN AL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
FORMULACIN PARAMTRICA
Se basa en INTERPOLAR la geometra del elemento a partir de coordenadas de puntos conocidos
Para calcular las derivadas hay que hacer un cambio de variable
Para calcular d/dx es preciso conocer una relacin explicita entre x y . En general lo que se conocen son datos de unos puntos Interpolacin Lineal
Estas funciones de interpolacin geomtrica NO tienen que coincidir con las funciones de forma. Se definen por el grado de polinomios utilizados.
Grado ( Ni ) > grado ( Ni ) Forma superparamtrica
Grado ( Ni ) = grado ( Ni ) Forma isoparamtrica
Grado ( Ni ) < grado ( Ni ) Forma subparamtrica
1 (e) (e)1 1 2 2 1 2
2
1 (e) (e)1 2 1 2 1 2
2
uu ( )= N ( ) u N ( ) u (N N ) N a
u
udu dN ( ) dN ( ) u u (B B ) B adx dx dx u
+ = =
= = + = =
1 1
2 2
d N ( ) d N ( ) d d 1 d 1 d dx d dx d 2 dx 2 dx
d N ( ) d N ( ) d d 1 d 1 d dx d dx d 2 dx 2 dx
= = =
+ = = = +
1 1 2 2 1 m x= N ( ) x N ( ) x ....... +N ( ) x + +
37ESTRUCTURAS IV
E.T.S. ARQUITECTURA DE A CORUA DEPARTAMENTO DE TECNOLOGA DE LA CONSTRUCCIN Juan Prez Valcrcel
INTRODUCCIN AL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
FORMULACIN ISOPARAMTRICA DEL ELEMENTO DE BARRA LINEAL.
Se define la variable x y su derivada respecto a
Con lo que
Aplicando estos valores a la ecuacin de la barra
Y haciendo el cambio de variable siendo
1 1 2 2(e)
1 2 2 11 2 1 2
x( )= N ( ) x N ( ) x
dx dN dN 1 1 x x l x x x xd d d 2 2 2 2
+
= + = + = = 1
(e)
2(e)
dN ( ) 1- dx l
dN ( ) 1 +dx l
=
=
1 1
2 2
d N ( ) d N ( ) d d 1 d 1 d dx d dx d 2 dx 2 dx
d N ( ) d N ( ) d d 1 d 1 d dx d dx d 2 dx 2 dx
= = =
+ = = = +
N2 21 1
x x(e) T (e) (e) T (e)
x xD
(B ) (E ) B dx a (N ) b dx q
=
(e) (e) (e)1 11 (e) (e) (e) (e) (e)1 2(e)1 1
2
1-B l l2D (B B ) d a b d q
2 21+B2
=
1(e) 1
1(e)v -1
1 1 -11 1 l EAlK D d =
l l 2 l1 -1 1 l
1- bll2 2f b d21- bl
2 2
=
= =
e e e ev K a - f = q
38ESTRUCTURAS IV
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INTRODUCCIN AL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
ELASTICIDAD PLANA
Las deformaciones sern funcin de los desplazamientos (u,v)
yz
x x
y
z
Tensin plana Deformacin plana
zz z
z
0 = 0
0 =
zz z
z
0 = 0
0 =
x
y
xy
u x v y u v y x
=
= = +
e
1 3
2
N
x
y
xy u
L
u 0 x x
u v 0 L u y y v
u v y x y x
= = = =
+
39ESTRUCTURAS IV
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INTRODUCCIN AL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
ELASTICIDAD PLANA
Suponiendo un elemento triangular
En resumen ponindolo en forma matricial
1
1
(e) (e) (e)1 2 3 2e (e) (e) (e)
(e) (e) (e)21 2 3
3
3
u 0 v x
N 0 N 0 N 0 u L u L N a 0
v y 0 N 0 N 0 N u
y x v
( )
= = =
# # # #
e( )
=
1 2 3
31 2
31 2
3 31 1 2 2
B B B
N N N 0 0 0 x x x
N N N 0 0 0 y y y
N N N N N N y x y x y x
=
# #
# #
# #
e
1
1
12 (e) (e) (e)
1 2 3 22
3
3
3
uv
au
( B B B a v
auv
( )
)
=
e (e) (e)B a( ) =
40ESTRUCTURAS IV
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INTRODUCCIN AL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
DEFORMACIONES Y TENSIONES INICIALES
Aplicando la ley de Hooke
Si existen tensiones iniciales
Aplicando estas ecuaciones al elemento
N N Nel el
0 0Total Elstica Inicial
+ = =
el0 D D ( - ) = =
N N Nel
0 0 0Total Elstica Inicial
D ( - ) = + = +
N
(e) (e) (e)
e (e) (e) e (e) (e) (e) (e)0 0
TensionesDeforminiciales0 0 iniciales
u N a B a D B a D +
D ( -
( ) ( )
.)
= = = = +
41ESTRUCTURAS IV
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INTRODUCCIN AL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
ECUACIONES CONSTITUTIVAS
TENSIN PLANA F= ( Fx Fy Jxy)T g= ( g x g y (xy)T
x x y2 2
y x y2 2
xy xy2
D
E E 1- 1-
E E 1- 1-E (1- ) 2 (1- )
=
= +
= +
=
En forma matricial
N
x
y
xy
2
x
y
xy
E1-
0 1 0
0 0 (1- )2D
=
~ ~ ~
1
42ESTRUCTURAS IV
E.T.S. ARQUITECTURA DE A CORUA DEPARTAMENTO DE TECNOLOGA DE LA CONSTRUCCIN Juan Prez Valcrcel
INTRODUCCIN AL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
ECUACIONES CONSTITUTIVAS
DEFORMACIN PLANA F= ( Fx Fy Jxy)T g= ( g x g y (xy)T
En forma matricial
x x y
y x y
xy xy
E (1- ) E(1+ ) (1-2 ) (1+ ) (1-2 )
E E (1- )(1+ ) (1-2 ) (1+ ) (1-2 )
E 2 (1+ )
= +
= +
=
x x
y x
xyxy
1 0E 1 0
(1+ ) (1-2 )1-2 0 0
2
=
43ESTRUCTURAS IV
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INTRODUCCIN AL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
EQUILIBRIO DEL ELEMENTO
13
2
Ry2
Rx2
x3R
Ry3
x1R
Ry1xb
yb t x
yt
=
=
= =
(e) (e)
(e) (e)
(e) (e)
u N B D D B
h= espesor del elemento
(e)
(e)
(e) (e)
a
aa
Aplicando el teorema de trabajos virtuales(e)
(e) (e)
x x y y xy xyA
x y x yA s
1 x1 1 y1 2 x2 2 y2 3 x3 3 y3
h dA =
= u b v b h dA ( u t v t ds +
+ ( u R v R u R v R u R v R
( )
( ) )
)
+ +
+ + + + + + + +
v
Puesto en forma matricial(e) (e)
(e)
xx
x y xy yA Ay
xy
x1
y1
x2x1 1 2 2 3 3s
y2y
x3
y3
b h dA = u v h dA
b
RR
Rt ( u v ds +( u v u v u v
Rt
RR
( ) ( )
) )
+
+
v
44ESTRUCTURAS IV
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INTRODUCCIN AL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
EQUILIBRIO DEL ELEMENTO
Con lo que se obtiene
Y sustituyendo cada trmino por su valor
Con lo que se obtiene al fin
Siendo
(e) (e) e
(e) T (e) (e) T (e) T (e) T (e)
A s ( h dA- ( u ) b h dA ( u t ds= ( a q
( )) ) )
v
e e e
(e) T (e) T (e) (e) (e) T (e) T (e) T (e) T (e) T (e)
A A s ( a (B D B a h dA ( a (N b h d ( a (N t ds= ( a q
( ) ( ) ( )) ) ) ) ) ) ) v
e e e
(e) T (e) (e) (e) T (e) T (e)
A A s
e(e)
(B ) D B h dA a (N b h dA (N t ds = q
fK
( ) ( ) ( )
( )
) ) +
v
(e) (e) (e) (e)K a f q =
(e)
(e) (e)
(e) (e) T (e)
A
(e) (e) T (e) T
A s
K (B ) D B h dA
f (N ) b h dA (N ) t ds
=
= +
v
45ESTRUCTURAS IV
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INTRODUCCIN AL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
TENSIONES Y DEFORMACIONES INICIALES
En este caso
Sustituyendo en la expresin matricial del teorema de trabajos virtuales.
Desarrollando esta expresin se obtiene
Con lo que se obtiene
siendo
(e) (e) e
e (e) e
e (e) (e)0 0
u N a B a
D B a D
( )
( ) ( )
( )
=
=
= +
(e) (e) e
(e) T (e) (e) T (e) T (e) T (e)
A A s ( h dA- ( u b h dA ( u t ds = ( a q
( )) ) ) ) v
(e) (e) (e) (e)
0 0
(e) T (e) (e) (e) T (e) T (e) T0 0A A
e e eev
(B D B h dA a (B D h dA (B h dA (N b h dA
f (defor. inicial) f fK ( ) ( ) ( )( )
) ) ) )
+
(e) T (e)
s
es
(N t ds= q
f ( )
)
v
(e) (e) (e) (e)K a f q =
0 0
e e e e ev sf f f f f
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + +
46ESTRUCTURAS IV
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INTRODUCCIN AL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
ELEMENTOS FINITOS TRIANGULARES
x,u
y,v
i j
k
e
uv
ii v
ujj1 2
3
e
vu
kk
i j
k
Elemento Coordenadas locales Coordenadas globales
e u1 u2 u3 ui uj ukv1 v2 v3 v i vj vk1 2 3 i j k
Desplazamientos u(e) = N1(e) u1(e) + N2(e) u2(e) + N3(e) u3(e)
v(e) = N1(e) v1(e) + N2(e) v2(e) + N3(e) v3(e)
47ESTRUCTURAS IV
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INTRODUCCIN AL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
ELEMENTOS FINITOS TRIANGULARES
3
2
1
1
1
1
2
3
1
2
3N1(e) N2(e) N3(e)
1
(e) (e) (e) (e) (e) (e) (e)1 1 2 2 3 3
(e) (e) (e) (e) (e) (e) (e)1 1 2 2 3 3
e (e) (e) (e)1 2 3(e)
(e) (e) (e)1 2 3
u = N u + N u + N u
v = N v + N v + N v
N 0 N 0 N 0 uu
v 0 N 0 N 0 N
( )
= =
# # ## #
e1
1 (e)1
2 (e) (e) (e) (e) (e) e1 2 3 2
2 (e)3
3
3
uv
au
N N N ) a = N av
auv
( )
( )(
=
48ESTRUCTURAS IV
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INTRODUCCIN AL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
ELEMENTOS FINITOS TRIANGULARES
En forma matricial siendo
Sustituyendo en las ecuaciones anteriores
Que es la matriz de rigidez del elemento finito triangular.
(e) (e) e
e (e) e
e (e) e0 0
u N a B a
D B a D
( )
( ) ( )
( ) ( )
=
=
= +
(e)i(e) (e) (e) (e) (e)
1 2 3 i (e)i
(e)i
(e)(e) (e) (e) (e) i
1 2 3 i
(e) (e)i i
N 0N (N N N ; N
0 N
N 0 x
NB (B B B B 0 y
N N y x
)
);
= =
= =
(e) (e)
(e)1
(e) (e) T (e) (e) (e) (e) (e)2 1 2 3A A(6x6)(e)3
T T T1 1 1 2 1 3
T T T2 1 2 2 2 3
T T3 1 3 2
B
K (B D B h dA= B D (B B B h dA
B
B DB B DB B DB
h B DB B DB B DB
B DB B DB
) )
= =
=
(e)
(e) e11 12 13
21 22 23AT
31 32 33 3 3
K K KdA= K K K
K K K B DB
( )
49ESTRUCTURAS IV
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INTRODUCCIN AL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
ELEMENTOS FINITOS TRIANGULARES
En forma matricial siendo
Sustituyendo en las ecuaciones anteriores
Que es la matriz de rigidez del elemento finito triangular.
(e) (e) e
e (e) e
e (e) e0 0
u N a B a
D B a D
( )
( ) ( )
( ) ( )
=
=
= +
(e)i(e) (e) (e) (e) (e)
1 2 3 i (e)i
(e)i
(e)(e) (e) (e) (e) i
1 2 3 i
(e) (e)i i
N 0N (N N N ; N
0 N
N 0 x
NB (B B B B 0 y
N N y x
)
);
= =
= =
(e) (e)
(e)1
(e) (e) T (e) (e) (e) (e) (e)2 1 2 3A A(6x6)(e)3
T T T1 1 1 2 1 3
T T T2 1 2 2 2 3
T T3 1 3 2
B
K (B D B h dA= B D (B B B h dA
B
B DB B DB B DB
h B DB B DB B DB
B DB B DB
) )
= =
=
(e)
(e) e11 12 13
21 22 23AT
31 32 33 3 3
K K KdA= K K K
K K K B DB
( )
50ESTRUCTURAS IV
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INTRODUCCIN AL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
ELEMENTOS FINITOS TRIANGULARES
Cada una de las submatrices ser
(e) (e)
j
i i11 12 13
(e) T (e)ij i j 21 22 23 A A
(2x2) i i 31 32 33
N 0
N N xd d d 0 x y
K (B D B h dA h d d d 0 N N 0 d d d y x
)
= =
jj j
N h dA
y N N
y x
51ESTRUCTURAS IV
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INTRODUCCIN AL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
ELEMENTOS FINITOS TRIANGULARES
Fuerzas internas del elemento
Fuerzas de volumen: fv(e)
Siendo
Fuerzas de superficie: fs(e)
e e e
0 0
(e) (e) T (e) T (e) T (e) T0 0A A A
(e) (e) (e)(e)sv
f = (N b h dA (N t ds (B D h dA (B h dA
ff f f
( ) ( ) ( )) ) ) )
+ + v
(e) (e)
e e ttv1 11
t t(e)v2 2 2A A
t t6x13 3v3
f N bN
f N b h dA = N b h dAv
N N bff
( ) ( ) = =
ix
(e) (e) (e)
iy
e
(e) x i xv i (e) TiA A A
i y i yi v2x1
b N bf N 0 N ) b h dA h dA h dAv b N b0 Nf
f( )
(
= = = =
ix
iy
e t ts1 1 1
t t(e)s2 2 2
t t6x13 3s3
xs i(e) T(e)i
i yis2x1
f N N
f N ds = N dssN N f
tf N 0 N t ds = ds =
s t0 N f
f
f
( )t
t tt
( )
= =
= =
v v
v v i xi y
N t ds
N t v
52ESTRUCTURAS IV
E.T.S. ARQUITECTURA DE A CORUA DEPARTAMENTO DE TECNOLOGA DE LA CONSTRUCCIN Juan Prez Valcrcel
INTRODUCCIN AL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
ELEMENTOS FINITOS TRIANGULARES
Fuerzas de deformaciones iniciales: fg0(e)
Fuerzas de tensiones iniciales: fF0(e)
(e) (e)
(e)e tt1 001 1
t t(e)2 0 2 002 A A0t6x1 t303 3 0
B D f B
f B D h dA = B D h dA
Bf B D f
( ) = =
0ix
(e)
0iy
(e)i i
11 12 13 x0(e) T(e)i 0 21 22 23 y0A0i i i 2x1
31 32 33 xy0
N N d d d 0 f x y
B ) D h dA d d d N Nf 0 d d d y x
f ( = =
=
(e)A h dA
(e) (e)
(e)e tt01 1 01
t t(e)2 0 2 002 A A0t t6x13 3 003
f B B
f B h dA = B
B B ff
( ) = =
0ix
(e)
0iy
(e)
(e) T(e)i 0A0i
2x1
(e) (e) (e)i ii i
x0 xy0x0
y0Ai i
xy0
f B ) h dA
f
N N N N h + 0 x y x y h dA
N N0 y x
f (
= = =
= =
(e) (e) (e)Ai i
y0 xy0
dA N Nh +
y x
53ESTRUCTURAS IV
E.T.S. ARQUITECTURA DE A CORUA DEPARTAMENTO DE TECNOLOGA DE LA CONSTRUCCIN Juan Prez Valcrcel
INTRODUCCIN AL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
ELEMENTOS FINITOS TRIANGULARES
Clculo de las funciones de forma: Parmetros nodales
u(e) = f 1(x,y) = "1 + "2 x + "3 yv(e) = f 2(x,y) = "4 + "5 x + "6 y
(e)1
(e) (e)2(e)3
(e)i(e)
i (e)i
a
a a
a
ua
v
=
=
e
3
1
1
y
x 1
2
nodo 1: u1(e) = "1 + "2 x1 + "3 y1 ; v1(e) = "4 + "5 x1 + "6 y1nodo 2: u2(e) = "1 + "2 x2 + "3 y2 ; v2(e) = "4 + "5 x2 + "6 y2nodo 3: u3(e) = "1 + "2 x3 + "3 y3 ; v3(e) = "4 + "5 x3 + "6 y3Resolviendo
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
(e) (e) (e)1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3
(e) (e) (e)1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3
1u= a b x c y u a b x c y u a b x c y u2A
1v= a b x c y v a b x c y v a b x c y v2A
+ + + + + + + +
+ + + + + + + +
54ESTRUCTURAS IV
E.T.S. ARQUITECTURA DE A CORUA DEPARTAMENTO DE TECNOLOGA DE LA CONSTRUCCIN Juan Prez Valcrcel
INTRODUCCIN AL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
ELEMENTOS FINITOS TRIANGULARES
Clculo de las funciones de forma.
3
2
1
1
1
1
2
3
1
2
3
N1(e)
N2(e)
N3(e)
1
(e) 1 1 11
a b x c yN2A
+ +=
(e) 2 2 22
a b x c yN2A
+ +=
(e) 3 3 33
a b x c yN2A
+ +=
Con
ai = xj ym - xm yjbi = yj - ymci = xm xj
Siendo
A = rea del triangulo
i, j, m ndices en permutacin cclica
55ESTRUCTURAS IV
E.T.S. ARQUITECTURA DE A CORUA DEPARTAMENTO DE TECNOLOGA DE LA CONSTRUCCIN Juan Prez Valcrcel
INTRODUCCIN AL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
ELEMENTOS FINITOS TRIANGULARES
Matriz de funciones de forma
Matriz de deformaciones
Matriz de rigidez
Siendo
(e)i(e) (e) (e) (e) (e)
1 2 3 i (e)i
(e) i i ii
N 0N (N N N ) ; N
0 Na b x c ySiendo N
2A
= =
+ +=
(e) (e) (e) (e)1 2 3
(e)i
i(e)(e) ii i
(e) (e) i ii i
B (B B B )
N 0 x b 0
N 1B 0 0 c x 2A
c b N N y x
=
= =
(e)
e
11 12 13
(e) (e) T (e)21 22 23A
31 32 33
K (B D B h dA
( )K K K
) K K K
K K K
= =
e
(e) (e) t (e)ij i jA
K (B D B h dA =( )
)=
e
j11 12i j 11 i j 33 i j 12 j i 33i i
21 22 jAi i i j 21 i j 33 i j 33 i j 22
33 j j
b 0d d 0 b b d c c d b c d b c db 0 c1 1 h d d 0 0 c h dA = 2A 2A 4A0 c b c b d b c d b b d c c d
0 0 d c b( )
+ +
= + +
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INTRODUCCIN AL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
ELEMENTOS FINITOS TRIANGULARES
Fuerzas de volumen:
Fuerzas de superficie:
Fuerzas de deformaciones iniciales:
Fuerzas de tensiones iniciales:
e
v1
ev v2
v3
f
f f
f
( )
( )
=
i
(e)x xie (e) t
v i (e)A Ay yi
b bN 0 Ahf (N b h dA= h dA=b b3 0 N
( ) )
=
e
s1
es s2
s3
f
f f
f
( )
( )
=
i i i xe (e) t
si ii i i y
(a b x c y) tf (N t ds= ds
(a b x c y) t( ) )
+ + =
+ + v v0
0 0
0
e
1
e2
3
f
f f
f
( )
( )
=
x011 12t i 11 x0 12 y0 i 33 xy0i i(e) (e)
0i i 0 11 22 y0Ai i i 12 x0 22 y0 i 3
33 xy0
d d 0 b (d + d )+ c d b 0 c h hf (B D h dA= d d 0 2 20 c b c (d + d )+ b d
0 0 d)
= =
3 xy0
0
0 0
0
e
1
e2
3
f
f f
f
( )
( )
=
x0i x0 i xy0i i(e) (e) t
i 0 y0A0ii i i y0 i xy0
xy0
b cb 0 c h hf (B h dA=
2 20 c b c b
)
+
= = +
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INTRODUCCIN AL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
ELEMENTOS RECTANGULARES
FUNCIONES DE FORMA
Nodos primarios
i = 1,2,3,4
Nodos medios de los lados
i = 5,6,7,8
4 1
23
7
8
5
6
a
b
b
a
=1
=1
=1 =1
=
=
0
0
x - xa
y - yb
= + + (e)i i i i i1N (1 ) (1+ ) ( 1)4
= + + +
2 2(e) 2 2i ii i iN (1 ) (1- ) (1 ) (1 )2 2
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INTRODUCCIN AL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
ELEMENTOS CURVOS
Coordenadas globales Coordenadas locales
Con esta transformacin puede aproximarse cualquier recinto.
La ecuacin general en elementos finitos ser
Siendo
4 1
23
7
8
5
6
a
b
b
a
=1
=1
=1 =1
x
y
4
8
5
1
3
7
62
n(e) (e)
i i i1
n(e) (e)
i i i1
x ( , )= N x
y ( , )= N y
(e) (e) (e) (e)K a f q = e (e) T (e)
A
(e) (e) T (e) T
A s
K (B D B h dx dy
f (N b h dx dy+ (N t ds
( ) )
) )
=
=
v
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INTRODUCCIN AL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
ELEMENTOS CURVOS
Haciendo el cambio de variables a coordenadas locales. Para hacerlo es necesario cambiar
N(e) B(e) dA
En forma matricial
dx dy = Det J(e) . d> d
i i i
i i i
N N x N y x y
N N x N y x y
= +
= +
i i
ii
(e)
ii
(e) 1
i i
N x y N x
N N x y y
J N N x (J
N N y
)
=
=
[ ] [ ]+1 +1(e) (e)A -1 -1
K F(x,y) h dx dy= G( , h J d d)=
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INTRODUCCIN AL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
GENERACIN DE MALLAS
CSe define el recinto por reas definidas por puntos (keypoints)
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INTRODUCCIN AL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
GENERACIN DE MALLAS
CSe plantea un sistema de coordenadas locales definidos por dichos puntos
CSe define una malla rectangular en coordenadas locales dividiendo el rectngulo en las divisiones que se quieran.
CPor medio de la transformacin de coordenadas se obtienen los nodos en coordenadas globales
CSe definen los elementos
8(e)
i i i1
8(e)
i i i1
x ( , )= N ( , ) x
y ( , )= N ( , ) y
62ESTRUCTURAS IV
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INTRODUCCIN AL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
GENERACIN DE MALLAS
Transformacin de coordenadas de malla
x
y
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INTRODUCCIN AL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
GENERACIN DE MALLAS
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INTRODUCCIN AL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
GENERACIN DE MALLAS.- MALLADO POR TAMAO.
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INTRODUCCIN AL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
GENERACIN DE MALLAS.- MALLADO POR DIVISIONES.
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INTRODUCCIN AL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
GENERACIN DE MALLAS
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INTRODUCCIN AL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
GENERACIN DE MALLAS
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INTRODUCCIN AL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
FININTRODUCCIN AL
MTODO DE ELEMENTOS FINITOS