CLASIFICACIÓN Y PROPIEDADES DE LOS
TRIÁNGULOS
1.CONCEPTO:
Triangulo es la figura geométrica formada por la unión de tres puntos no coloniales mediante segmentos.
A
BC
Q
a
b
m
n
s
ELEMENTOS:
Vértices: A, B, C
Lados: AB, AC y BC
Ángulos interiores:
m BAC m ACB
m ABC
Ángulos exteriores:
M, N y S
2.CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS
a) De acuerdo a sus lados:
60°
60°
60°
Triángulo equilátero
a
b
a
Triángulo isósceles
a
b
q
Triángulo escaleno
b) De acuerdo a la medida de sus ángulos.
a
b
q
Triangulo obtusángulo
Triángulo acutángulo
a
Triángulo rectángulo
, , 90
a > 90°
3.PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LOS TRIÁNGULOS
a
b
q
180
La suma de los ángulos internos es igual a 180°.
a
b
qx
y
z
x y
z
Un ángulo exterior es igual a la suma de los ángulos exteriores no adyacentes a él.
x
y
z
X + y + z = 360°
La suma de loa ángulos exteriores es igual a 360°
Aplicaciones:
xa
b
q
x
a
b q
d
a
bx y
x y
Ejemplos
En los gráficos encuentra el valor de «x» indicando la propiedad.
46°
78° x
Desarrollo:
Por ángulo exterior
X = 78° + 46° = 124°
35°
20°
x
Desarrollo:
Por ángulo exterior
35° = 20° + x
X = 15°
50°x
Desarrollo:
X = 80°
El triángulo es isósceles
x
100°
Desarrollo:
50°
x
100°80° 80°
El triángulo es isósceles
X = 20°
40°x
A
B
CD
E
Desarrollo:
40°x
A
B
CD
E
El triángulo A, B, C es equilátero.
60° 120°
Suplemento de 60° = 120°
En el triángulo E , C, D
X + 40° + 120° = 180°
X = 20°
X + 30°
X + 20° X + 10°
Desarrollo:
X + 20 + x + 10 + x + 30 = 180
X = 40°
x
70°
40°30°
Desarrollo:
X = 30° + 70° + 40°
X = 140°
x70°
50°80°
X + 70° = 50° + 80°
X = 60°
Desarrollo:
x 60°
70°
50°
Desarrollo:
X + 60° = 70° + 50°
X = 60°
LÍNAEAS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO
LÍNEAS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO
a) Bisectriz interior.
q
q
La bisectriz interior divide al ángulo en dos ángulos congruentes.
bb
mmI
Todo triángulo tres bisectrices interiores que concurren en un punto llamado incentro ( I )
a) Bisectriz exterior
a
a
bb
aa
Dos bisectrices exteriores y una interior concurren en un punto llamado ex centro ( E )
E
b) Altura.
A
B
CH
La altura es el segmento trazado desde un vértice, perpendicular al lado opuesto. BH es la altura.
A B
C
H
Q
La altura puede caer en prolongación del lado.
A
B
C
O
H
MN
Todo triángulo tiene tres alturas que concurren en un punto llamado orto centro ( O )
d) Mediana
A B
C
MLa mediana es un segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. AM es la mediana.
G
Las tres medianas concurren en un punto llamado baricentro ( G )
e) Ceviana
A
B
C
Q
La ceviana es un segmento que une un vértice con su lado opuesto.
f) mediatriz
A B
CLa mediatriz es una recta que divide a uno de los lados de un triángulo en partes iguales formando un ángulo recto.
Los tres mediatrices concurren en el circuncentro ( M )
M
Ejemplos:
1.Encuentra el valor de «x»
A
B
C
R70°
30°xa
a
Desarrollo:
A
B
C
R70°
30°x40°
40°
En el triángulo ABC
80m BAC AR es bisectriz, por lo Tanto: a = 40°
X = 110°
2.Encuentra el valor de «x» . Si AH es altura.
A
B
C
H
70°
x
Desarrollo:
AHB es un triángulo rectángulo por lo tanto:
X + 70° = 90°
X = 20°
3.En la figura encuentra el valor de «x»
CA
B
R
20° X
50°
Desarrollo:
BRA es un triángulo rectángulo.
70m BAR
Suplemento de 70° =110°
Del triángulo ABC
X = 20°
4.Halla el valor de «x» si AB = 20m.
A
BC
X + 5m
M
Desarrollo:
MB = X + 5m
AB = X + 5m + x + 5m
20m = 2x + 10m X = 5m
5.En la figura, halla el valor de «x». Si AM es mediana.
A
B
C
M
15cm
X + 2cm
Desarrollo:
15cm = x + 2cm
X = 13cm
PROPIEDADES DE LAS LÍ
NEAS
NOTABLE
S
PROPIEDAD DE LA BISECTRIZ
1.Ángulo formado por dos bisectrices interiores.
A B
C
aa b
b
q
X
902
x
2.Ángulo formado por una bisectriz interior y exterior.
A B
C
a
a
b
b
xq
2x
3.Angulo formado por dos bisectrices exteriores.
q
a
a
bb
x
ÁNGULO ENTRE LA ALTURA Y UNABISECTRIZ EXTERIOR.
A
B
C
H M
a aq
b m
2
902
x
PROPIEDAD DE LAS MEDIANAS
AB
C
M
P
G
AM, CP medianas
AG = 2 GM
CG = 2 GP
PROPIEDAD DE LA MEDIATRIZ
A
B
D
L
M
N
a a
b
b q
q
C
AC = BC = CD
L, M,N son mediatrices
Ejemplos.
1.Halla e l valor de «x»
aa
bb
20° x
Desarrollo:
2010
2x
2.Halla el valor de «x»
aa
b b
25°
x
Desarrollo:
25 502
xx
2x
3.Encuentra el valor de «x»
a
a b
b
70°
x
Desarrollo:
902
x
7090
2x
125x
4.Encuentra el valor de «x»
a°
a b°b°135°
135 902
x
135 902
x
90° = x
5.Halla el valor de «x»
150°
X°
902
x
Desarrollo:
a
a
bb
15090
2x
90 75 15x
6.Halla el valor de «x»
a°a° b°
b°
80°
x
Desarrollo:
80 902
x
80 902
x
102
x
20° = x
Ejercicios de reforzamiento
1.Del gráfico encuentra el valor de «x»
30°
xaa
bb
150°
Desarrollo:
Por:
150 2 2 30
60
Nuevamente aplicando
30x
Reemplazando:
X = 60° + 30°
X = 90°
2.En la figura, halla «x»
x
2a
a
q2 q
70°
Desarrollo:
Por suma de los ángulos exteriores en un triángulo se tiene:
3 3 180 360x
3 360 180x
3( 70°) – x = 180°
- X = 180° - 210°
X = 30°
3.En el triángulo ABC, 40m A m C Halla la medida que forman la altura y la bisectriz interior que parte de B.
Desarrollo:
A
B
CH M
aa
q
Por propiedad
2
m A m C
4020
2
4.En la figura , halla HP, 120m ABH m BHP Y BC = 20 m
A
B
CH
P
40° 20°
Desarrollo:
A
B
CH
P
40° 20°
50° 70°
Por dato:
120m ABH m BHP
70m BHP
70°
20m
20°
Se observa: BP = PC = HPLos dos triángulos son isósceles.
HP = 10 cm
5.En un triángulo isósceles ABC ( AB = BC ), se traza la ceviana CN y sobre ella se ubica el punto R. sí BN = BR y , halla 36m RBC m NCADesarrollo:
A
B
C
N
Ra
a36°
q x
q- x
Triángulo BNR isósceles.
m BAC
m BCA
Por dato
Entonces:
m BCN x
Por ángulo exterior del triángulo BCR y ACN se observa:
36 x
x
Igualando las ecuaciones se tiene:
36 x x
X = 18°
6.En un triángulo ABC, . Sobre AC y BC se ubicaLos puntos R y S, respectivamente. Sí AB = BS = SR y , halla
20m ACB 40m CRS m ABC
Desarrollo:
A
B
C20°
R
S
40°60°80°
60°
80°
20°60°
Por ángulo exterior: 60m BSR Triángulo BRS es equilátero.
Triángulo ABR isósceles
80m ABS
7.En la figura ABC es equilátero. Halla «x»
A
B
C
x
x
x40°
Desarrollo:
A
B
C
x
x
x40°
60°60°
100°- x
80°Por ángulo exterior:
X = 100° - x + 60°X = 80°
8.Halla el valor de «x»
Desarrollo:
a q
a + q+ 40°
A
B
C
En el triángulo ABC:
50° + X + a + q+ 40° = 180°
X = 170° - ( a- q)
9.En la figura, halla m PIR
R
P
Q
2
40°2
I
Desarrollo:
R
P
Q
2
40°2
I
A
Por ángulos formado por bisectrices exteriores 70m A
En el triángulo APR:
2 2 70 180 55
El ángulo pedido es:180m PIR
125m PIR
10.Halla «x»
Desarrollo:
X +b
A
B C
D
Por ángulo exterior:
m A x
2b
En el triángulo DBC
2 2 2 180
90
Por
4x x
Resolviendo:
X = 30°
11.Halla
Desarrollo:
A
B
C
DE
90° - Q
Por ángulo formado de las bisectrices exteriores ( ver fig )
4q
q
90°- q
Resolviendo:
q = 22,5°
12.Halla «x»
Desarrollo:
A
B
C
D
x
Por ángulo formado por una bisectriz interior y exterior:m D x
E
4x
4x
x
Resolviendo:
X = 20°
13.Halla el valor de «x»
Desarrollo:
X + q
150 360x
a
X + q
150°
Se observa que:
180
Resolviendo:
X = 30°
Luego:
14.Halla «x», si PQ = PR Desarrollo:
50° 50°q
120° - qEntonces:
120 180x X = 60°
15.Halla «a» si . 32m A m C
Desarrollo:
90°- ( a + q )
90° + a - q
De la condición:
32m A m C
90 2 90 32
a = 32°