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Universidad Nacional de San Cristbal deHuamangaEscuela: Ingeniera Civil Asignatura: Introduccin a loselementos Finitos
PRACTICA CALIFICADA DE ELEMENTOS FINITOS
I. Problema N 01 (Reerencia UPC !. "arate#$
Deducir la expresin del principio del principio de los trabajos Virtuales a
partir de las ecuaciones diferenciales de la barra a traccin Deducir laexpresin de la matri! de rigide! " el vector de fuer!as para el elementobarra de # nodos Comparar con la solucin analtica
a# %educcin de la &'resin del rinciio del rinciio de lostraba)os *irtuales a artir de las ecuaciones dierenciales de labarra a traccin.Solo nos iden +acer todos los c,lculos ero cuando la barra estea traccin- es or ello ue ara este roblema solo nos interesalas uer/as a'iales- anali/ando una euea orcin.
1
0 :
( ) 0
( ) 0 ( )
n
i
Fx
N N N b x x
N b x x I
=
=
+ + = + =
$ $ $ $ $
Aplicando la le" de %oo&e
.................( )
N u
E EA x
uN A E II
x
= = =
=
Donde u:Despla!amiento en el eje 'ori!ontal
derviando la Ec (II)
*+g ,
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2
2
uA E
N x
x x
uN A E xx
=
=
-eempla!ando en la Ec(I)
+ =
+ =
+ =
+ =
.
.
.
.
.
.
( ) /
( ) /
( ) /
( )/ (Ec Diferencial de 0obierno)
N b x x
uA E x b x x
x
uA E b x
x
u b x
A Ex
Integrando una ve! la ecuacin anterior:
0 0
( )
( )
( ) ( )
uL
x u b x
xx A E
u L b x
x A E
uA E L b x III
x
=
=
=
$ $ $ $ $
=
=
=
-e -e
-e -e
*or el principio de trabajos virtuales1 tenemos:
2ambi3nsecumple:
4i5u5eseldespla!amiento%ori!ont
Virtual Externo Virtual Interno
Virtuales ales Virtuales ales
ales Virtuales ales Virtuales
W W
F
F
alreal1entonces565ser+eldespla!amiento%ori!ontal
virtual
'allando el trabajo de las fuer!as reales:
*+g .
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=
=
=
= +
=
-e
/( )
Donde
/ *ara7uesecumplaelprincipiodecontinuidaddeuncampovirtualdefue
Virtual Externo ales Virtuales
L
Virtual Externo x L
x L
W F
W b x w x F w
w rza
= /
$uego:
( )L
Virtual ExternoW b x w x
'allando el trabajo de los esfuer!os reales:
Re0
0
V
Virtual Interno ales Virtuales
V
Virtual Interno
W V
N wW V
A x
=
=
Donde:
=
= Virtuales
uN A E
x
w
x
luego:
=
/L
Virtual Interno
u wW A E x
x x
4abemos:
0 0( )
( )
( ) ( )
Virtual Interno Virtual Externo
L L
W Wu w
A E x b x w xx x
uA E w b x w L
x
uA E b x L IV
x
=
=
=
=
$ $ $ $ $
Comparando las Ecs (III) " (IV)1 demostramos el *rincipio de 2rabajos Virtuales a
partir de las ED
*+g #
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( ) ( )
( ) ( )
uA E L b x III
x
uA E b x L IV
x
=
=
$ $ $ $ $
$ $ $ $ $
b) Utili/ando mtodos de elementos 2nitos ara resolver la ecuacin
dierencial- rimero de2nimos los elementos anali/ados$
A%ora proponemos un modelo matem+tico (una funcin de aproximacin) para
solucionar la ecuacin diferencial del problema:
Ec Diferencial (ED)
( )
( )
uA E b x L
x
u b x L
x A E
=
=
Escogemos una funcin de aproximacin
2
1 2 3( )u x c c x c x= + +
Formando la 8atri! de *andermonde
1
2
2 3 2 2
2
3 3 2 3
0 , 0, 0
2 , ,4 2
, ,
Para x u c
L LPara x L u u c c u
Para x L u u L c L c u
= = =
= = + =
= = + =
Formando el sistema de Ecs
*+g 9
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2
3 2 2
2
3 2 3
4 2
L Lc c u
L c L c u
+ =
+ =
8atricialmente
3 2
1
3 2
1
3 2
1
3 22
2
1
2
1
2
2
2
1
1
4
1
4 2
11
4 2
4 21
4 2
1
4
cL
c
c
c
c
c
Lu
uL
Lu
uLL
uL L
uL
c
cL L
u
L L u
=
= =
=
$uego:
2 2 1
3 2 12 2
2
4
4
u uc L
c u uL L
L=
= +
-eempla!ando:
( )
[ ]
2
2 1 2 12 2
1 22 2
2
1 2
2
4 2( )
2 4
4
4( )
2
( )
4 4
u x u u x u u xL L
u x u x x u x xL L
x xL
u x u u
L L
L L
L
x xL
L
= + +
= + +
+ =
4iendo los vectores ;
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=
+ = +
/
.
. ./
.
9
9 @
@ 99
LT
LL
L L
K B E B x
xL
K E x x x L LL x
L
Integrando obtenemos :
+ +
= + +
B ? # 9 .
9
9 . 9 .
9 ?#### ,. ,. #.
#
,. ,. #. 9@ C 9
# #
L L L L L
LLK EL L L L
L L
II. Problema N 03 (Reerencia UPC !. "arate#$
-esolver la ecuacin utili!ando una malla de . elementos de . nodos
05
''
=+ Q
IO= 5 2 Cal/m
F O= 3q1= 2 Cal
2 m
Calcular " dibujar la distribucin de " comparar la ecuacin analtica
Solucin$
8odelacin del problema4uponiendo 7ue el sentido de la lnea de ujo de calor es de la siguientemanera:G 7ue la temperatura en el centro es de @Hc
K = 5 2 Cal/m
F O= 3
q1= 2 Calq1= 2 Cal
F O= 3
a# anal4tica$ sabemos 7ue:
*+g
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x
F O= 3
q1= 2 Cal
0 m 1 m
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0)(2
2
= TTKA
h
dX
Td
c
p
02
2
=+ TKA
hT
KA
h
dX
Td
c
p
c
p
055
1'' =+
Q
055
12
2
=+ Q
dX
d
4i comparamos estas dos ecuaciones veremos 7ue:
5
1
*=
c
p
AK
h
1=c
p
A
h
QTAK
h
c
p=
*
Q=5
3
$uego:
025
3
5
12
2
=+
dX
d
Ecuacin diferencial asolucionar
Aplicando m3todos de solucin de las ecuaciones diferencial
d
d
xd
d ''2
2
=
025
3
5
'' =+
d
d
03525'
' =+
d
d
= 0)35(25
'' dd
Integrando " ordenando:
1
2' )3
2
5(
25
2c+=
Integrando por segunda ve!:
*+g B
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=+
x
dx
c
d
031
2 55
65
Jbtenemos:
x!
!=
++
++
1
1
2
55/1895/12
55/6)5/3(ln5
*ara x K ,1
K @Hc
C, K .//
$uego tenemos la ecuacin buscada:
+ + =
.( #L ?) L ? ,//9?? ln
,. x
MMMM (I)
b# &mleando mtodos de elementos 2nitos$
Discreti!aremos en una malla de dos elementos de dos nodos:
F O= 3 F O= 3
0 m
F O= 8
1 m
2 m
4upondremos una ecuacin parablica:
2
321 X!X!! ++=
*ara N K / 1
K #2
321 )0()0(3 !!! ++=
1!
K #
*ara N K , 1
K @2
321 )1()1(8 !!! ++=
532 =+!!
*ara N K . 1
K #
*+g @
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2
321 )2()2(3 !!! ++=
042 32 =+ !!
31=!
102=!
53 =!
$a ecuacin buscada es:
25103 XX+=
2abulando para diferentes puntos:
5 S.6nal4tica
S.7&!
/./?/B/,/
###?#@9/B9@///
9@B?B??B?@//
/, /. /# /9 /? / /B /@ / , ,,/
.
9
@
,/
8R6!IC9 C97P6R6:I*9
Analitica FE8
5
;
III. PR9 (R&!&R&NCI6 UNI. H. SC6=&::I#$
*ara la viga en voladi!o de longitud $ " reaccin constante empotrada en elextremo xK/ " sometido a una carga cual7uiera *1 la energa *otencial es:
= ./ /
,( ) (I)
.
L LIIEI V dx V Pdx
*+g
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Con la comparacin
. #, .VKO x PO x
determine
1y
2
usando el m3todo
de -a"leig% Q-it! " obtengaV(L) G V
'
(L)
a) 4egRn la teora d vigas:
=
.
( ). #
x
Px xL
EIV
Compare " comente
;ota: Considere el caso particular de cara concentrada en el extremo " unafuer!a uniformemente repartida ?@A.
q
L
i# Cuando la carga es distribuida uniorme en toda la barra.
Sabemos ue- la uncin de aro'imacin B sus derivadas$
. # I II, . , . , .
.VKO x PO x VK.O xP #O x V K. O P O x
SustituBendo en la &c. (I#
( )
=
= + + + +
.
. #( ) , . , .
/ /
# 9. . . , .
, , . .
,.O PO x ( ) (O x PO x ).
O O. (O # O O # O ) ( )
# 9
L L
v EI dx q wdx
L LEI L L q
*+g ,/
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= => + =
= => + =
=
=
..
, .
,
.
., .
.
.,
.
.
,
/ ,. ,@ (,)
/ .9 9@ (.)
De las Ecs , " . obtenemos las matrices
,. ,@ ,
.9 9@ ,
-esolviendo el sistema de Ecs
?
.9
d qL
d EI
d qLd EI
L qL
L EI
qL
EI =
= + = +
= =
.
. .. # .
# .
.
,.
? ?( ) " ( )
.9 ,. ,. 9
$a solucion Analitica para xK$ " *KS7
( ) ( 9 ) " ( ) (.9
I
I
qLy
EI
qL qL qL qLV x x x V x x x
EI EI EI EI
Px Px V x x L x V x x EI EI
= =
=
9 9
#
# )
'aciendo la comparacion para xK$ " *KS7
-a"leig%Srit! Analitica
( ) ( )@ @
( )
I
L
qL qLV L V L
EI EI
qLV L
EI=
#
( )
I qLV LEI
*+g ,,
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= =
=
# #
.
'aciendo la comparacion para xK$ " *KS7
-a"leig%Srit! Analitica
( ) ( )
( ).
I
qL qLV L V L
EI EI
qLV L
EI=
.
( ).
I qLV LEI
I*. PR9
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$a funcin 7ue se Aproximada " sus respectivas derivadas ser+n:
= = =
= =
.
# 9
Ux U Ux U Uxsin cos sin
$ $ $ $ $
U Ux U Ux cos sin
$ $ $ $
I II
III Iv
V A V A V A
V A V A
Entonces - lo denimos de la siguiente manera:
= +
9Ux Ux
sin$ $
b! EI K A P
a# 6licando Colocacin
-K/
= +
9Ux Ux
sin$ $
b
PA
EI K
b# 6licando 8alerD4n
4abemos 7ue:
*+g ,9
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=
+ =
+ + =
=
+
9
.
/
9
9
/
Ux Ux Ux
sin sin /$ $ $
Uxsin .
Ux x Ux$cos , /
Ux$U $9
$
Ux
cos ,U $
Ux x
.$
.
x
b
b
b
"!dy
EI K A P dx
LPEI K A
LP
A
EI K
Uxsin .
$
Ux9
$
( )( )
= = = + +
99
CJ$JCACIJ; 0A$E-G; 'E2E;EII
.
U U x
.U
$b
b
PP LPA A A
EI KEI K
( )( )
++
sin sin( )
. cos% cos( )b
L L
K L L
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