1. Introducción a la Estadística
2. Descripción de los conjuntos de datos
3. Uso de la Estadística para sintetizar conjuntos de datos
4. Probabilidad
5. Variables aleatorias discretas
6. Variables aleatorias normales
4.1 Introducción
4.2 Espacio muestral y eventos de un experimento
4.3 Propiedades de la Probabilidad
4.4 Experimentos con resultados igualmente probables
4.5 Probabilidad condicionada e independencia
4.6 Teorema de Bayes
4.7 Principios de recuento
Resumen para la clase del martes 26 de enero de 2010 de 10:00 a 14:30
Un experimento es cualquier proceso que produzca una observación o resultado.
El conjunto de todos los posibles resultados de un experimento se denomina espacio muestral.
Un experimento es cualquier proceso que produzca una observación o resultado.
Cualquier conjunto de resultados de un experimento se denomina evento.
Cualquier conjunto de resultados de un experimento se denomina evento.
Los eventos son los subconjuntos del espacio muestral S.
Los eventos se denotarán mediante letras mayúsculas A, B, C, etc.
Cualquier conjunto de resultados de un experimento se denomina evento.
Se dice que un evento A ocurre si el resultado está contenido en A.
Un evento elemental o evento
atómico, es un subconjunto del
espacio muestral que
contiene solamente un elemento.
S
Un evento elemental, a pesar de
contener un sólo elemento, es un
conjunto, no es el elemento por
si mismo.
Un evento elemental o evento atómico,
es un subconjunto del espacio muestral
que contiene solamente un elemento.
S
Al lanzar un dado el espacio muestral
es el conjunto
1,2,3,4,5,6
Los eventos elementales son los conjuntos:
1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6
Si aventamos dos monedas, el espacio
muestral es el conjunto
a,a , a,s , s,a , s,s
Los eventos elementales son los conjuntos:
a,a , a,s , s,a , s,s
Sin embargo, cuando no hay ambigüedad,
cuando no hay posibilidad de confusión,
por simplificar, los eventos elementales
son escritos como elementos más que
como conjuntos.
Un evento elemental o evento atómico,
es un subconjunto del espacio muestral
que contiene solamente un elemento.
S
Un evento que no contenga
ningún resultado se denominará
evento nulo, y se designará por .
Dados dos eventos y ,
se define un nuevo evento ,
llamado unión de y , como
aquel que incluye todos los
resultados que están en , en ,
o en ambos.
A B
A B
A B
A B
Dados dos eventos y ,
se define un nuevo evento ,
llamado intersección de y , como
aquel que incluye todos los
resultados que están simultaneamente
en y en .
A B
A B
A B
A B
Si la intersección de y es el
evento nulo, se dirá que y
son disjuntos o mutuamente
excluyentes, puesto que ambos
eventos no pueden ocurrir
simultáneamente.
A B
A B
Para cualquier evento , se define el evento ,
llamado complementario de , a aquel que
contiene todos los resultados del espacio
muestral que no están en .
El evento ocurrirá cuando no ocurra ,
y v
c
c
A A
A
A
A A
iceversa
Consideremos un experimento cuyo espacio
muestral sea .
Supongamos que para cada evento existe
un número, denotado por y llamado
probabilidad del evento , que verifica las
tres propiedades siguiente
S
A
P A
A
s:
PROPIEDAD 1:
Para cualquier evento , 0 1
PROPIEDAD 2:
1
PROPIEDAD 3:
Si entonces
A P A
P S
A B P A B P A P B
1
0
cP A P A
P
P A B P A P B P A B
Fin del resumen para la clase del martes 26 de enero de 2010 de 10:00 a 14:30
4.1 Introducción
4.2 Espacio muestral y eventos de un experimento
4.3 Propiedades de la Probabilidad
4.4 Experimentos con resultados igualmente probables
4.5 Probabilidad condicionada e independencia
4.6 Teorema de Bayes
4.7 Principios de recuento
En algunos casos surge la necesidad de examinar varios eventos en correlación, por ejemplo, cuando hay que determinar cómo influye la aparición ó no aparición de un evento sobre la frecuencia del surgimiento de otro.
En este caso, además de la frecuencia del evento B, para toda la serie de experimentos realizados, se calcula también la frecuencia del evento B teniendo en cuenta sólo aquellas pruebas que han llevado a la producción de otro evento A que nos interesa.
Con otras palabras, antes de determinar la frecuencia del evento B se seleccionan sólo aquellos experimentos en los que ha sucedido el evento A, sin tomar en consideración los demás.
La frecuencia del evento B calculada sólo para aquellas pruebas en las que se ha producido el evento A se llama frecuencia condicional del evento B con respecto al evento A.
Si al efectuar experimentos el evento
ha sucedido veces y el acontecimiento
ha sucedido junto con el evento
veces, entonces la frecuencia condicional
del acontecimiento con respecto a es
ig
n A
l
B A
k
B A
ual a
kP B A
l
Puesto que las fracciones y
representan respectivamente la
frecuencia del evento y la de la
producción conjunta de los eventos
y , podemos escribir
/ ( )
/
l k
n n
A
B A
k k n P A BP B A
l l n P A
Es decir,
P A BP B A
P A
Se estima que un 30% de los adultos
de Estados Unidos están obesos,
un 3% de ellos padecen diabetes y
un 2% simultáneamente son obesos
y sufren diabetes.
Diabético
obeso
Diabético u obeso
Diabético y obeso
Diabético, dado que es obeso
Obeso porque es diabético
D
O
D O
D O
D O
O D
Se estima que un 30% de los adultos de Estados Unidos están obesos, un 3% de
ellos padecen diabetes y un 2% simultáneamente son obesos y sufren diabetes.
Se estima que un 30% de los adultos de Estados Unidos están obesos, un 3% de
ellos padecen diabetes y un 2% simultáneamente son obesos y sufren diabetes.
Diabético D
obeso
Diabético u obeso Diabético y obeso
Diabético, dado que es obeso Obeso porque es diabético
O
D O D O
D O O D
0.30 0.03 0.02
0.02 20.067
0.3 30
0.02 20.667
0.03 3
P O P D P D O
P D OP D O
P O
P D OP O D
P D
Un club de juegos de mesa tiene 120 miembros:
40 juegan al ajedrez;
56 juegan al bridge,
y 26 juegan tanto al ajedrez como al bridge.
Juega ajedrez Juega bridge
Juega ajedrez o bridge
Juega ajedrez y bridge
Juegue al ajedrez, dado que también juega al bridge
Juegue al bridge, dado que también juega al ajedrez
A B
A B
A B
A B
B A
Un club de juegos de mesa tiene 120 miembros: 40 juegan al ajedrez;
56 juegan al bridge, y 26 juegan tanto al ajedrez como al bridge.
Un club de juegos de mesa tiene 120 miembros: 40 juegan al ajedrez;
56 juegan al bridge, y 26 juegan tanto al ajedrez como al bridge.
(a) Juegue al ajedrez, dado que también juega al bridge.
(b) Juegue a
l bridge, dado que también juega al ajedrez.
Juega ajedrez Juega bridge
Juega ajedrez o bridge Juega ajedrez y bridge
Juegue al ajedrez, dado que también juega al bridge
Juegue
A B
A B A B
A B
B A
al bridge, dado que también juega al ajedrez
40 1 56 7 26 13
120 3 120 15 120 60( ) 13 / 60 13
0.467 / 15 28
( ) 13 / 60 130.65
1 / 3 20
P A P B P A B
P A BP A B
P B
P A BP B A
P A
La siguiente tabla detalla los planes de futuro de los
graduados de la Universidad de Harvard en el año 2004.
DISCIPLINA PORCENTAJE
Estudios posteriores 26.2%
Negocios 23.2%
Comunicaciones 8.4%
Administración pública 8.3%
Ciencia o tecnología 8.0%
Enseñanza 7.9%
Otro 18.0%
100.0%
La siguiente gráfica de pastel detalla los planes de futuro de
los graduados de la Universidad de Harvard en el año 2004.
La siguiente gráfica de pastel detalla los planes de futuro de
los graduados de la Universidad de Harvard en el año 2004.
Supongamos que se elige
aleatoriamente a un graduado.
Dado que ese graduado no se
dedicará a los negocios ni a la
enseñanza, calcule la probabilidad que:
(a) Tenga la intención de realizar
estudios posteriores.
Supongamos que se elige aleatoriamente a un graduado.
Dado que ese graduado no se dedicará a los negocios ni
a la enseñanza, calcule la probabilidad que:
(a) Tenga la intención de realizar estudios posteriores.
Estudios posteriores , Negocios , Enseñanza
Negocios o Enseñanza
Ni Negocios y Ni Enseñanza
Lo que queremos es:
c
c
c
c
G N E
N E
N E
P G N EP G N E
P N E
No se dedicará a los negocios ni a la enseñanza, :
(a) Calcule la probabilidad que tenga la intención de realizar estudios posteriores.
Estudios posteriores , Negocios , Enseñanza
Nego
G N E
N E
cios o Enseñanza , Ni Negocios y Ni Enseñanzac
c
c
c
N E
P G N EP G N E
P N E
N E
No se dedicará a los negocios ni a la enseñanza, :
(a) Calcule la probabilidad que tenga la intención de realizar estudios posteriores.
Estudios posteriores , Negocios , Enseñanza
Nego
G N E
N E
cios o Enseñanza , Ni Negocios y Ni Enseñanzac
c
c
c
N E
P G N EP G N E
P N E
cN E
No se dedicará a los negocios ni a la enseñanza, :
(a) Calcule la probabilidad que tenga la intención de realizar estudios posteriores.
Estudios posteriores , Negocios , Enseñanza
Nego
G N E
N E
cios o Enseñanza , Ni Negocios y Ni Enseñanzac
c
c
c
N E
P G N EP G N E
P N E
26.2%
8.4%
8.3%
8.0%
18.0%
68.9%
No se dedicará a los negocios ni a la enseñanza, :
(a) Calcule la probabilidad que tenga la intención de realizar estudios posteriores.
Estudios posteriores , Negocios , Enseñanza
Nego
G N E
N E
cios o Enseñanza , Ni Negocios y Ni Enseñanzac
c
c
c
N E
P G N EP G N
N EE
P
0.689c
P N E
26.2%
8.4%
8.3%
8.0%
18.0%
68.9%
cN E
G
cN E
G
cG N E G
No se dedicará a los negocios ni a la enseñanza, :
(a) Calcule la probabilidad que tenga la intención de realizar estudios posteriores.
Estudios posteriores , Negocios , Enseñanza
Nego
G N E
N E
cios o Enseñanza , Ni Negocios y Ni Enseñanza
; 0.689
c
c
c c
c
N E
P G N EP G N E P N E
P N E
c cG N E G P G N E P G
0.262P G
No se dedicará a los negocios ni a la enseñanza, :
(a) Calcule la probabilidad que tenga la intención de realizar estudios posteriores.
Estudios posteriores , Negocios , Enseñanza
Nego
G N E
N E
cios o Enseñanza , Ni Negocios y Ni Enseñanza
; 0.689
c
c
c c
c c
N E
P G N E P GP G N E P N E
P N E P N E
No se dedicará a los negocios ni a la enseñanza, :
(a) Calcule la probabilidad que tenga la intención de realizar estudios posteriores.
Estudios posteriores , Negocios , Enseñanza
Nego
G N E
N E
cios o Enseñanza , Ni Negocios y Ni Enseñanza
; 0.689 ; 0.262
c
c
c c
c c
N E
P G N E P GP G N E P N E P G
P N E P N E
0.262 262
0.689 689
c
c
c c
P G N E P GP G N E
P N E P N E
Supongamos que se elige aleatoriamente a un graduado.
Dado que ese graduado no se dedicará a los negocios ni
a la enseñanza, calcule la probabilidad que:
(a) Tenga la intención de realizar estudios posteriores.
La probabilidad que el graduado elegido,
completamente al azar,
vaya a realizar
estudios posteriores es
2620.38
689
Supongamos que se elige
aleatoriamente a un graduado.
Dado que ese graduado no se
dedicará a los negocios ni a la
enseñanza, calcule la probabilidad que:
(b) Planee dedicarse a la enseñanza
o bien a los estudios posteriores.
Supongamos que se elige aleatoriamente a un graduado.
Dado que ese graduado no se dedicará a los negocios ni
a la enseñanza, calcule la probabilidad que:
(b) Planee dedicarse a la enseñanza o bien a los estudios posteriores.
Estudios posteriores , Negocios , Enseñanza
Negocios o Enseñanza
Estudios posteriores o Enseñanza
Ni Negocios y Ni Enseñanza
Lo que queremos es:
c
c
c
c
G N E
N E
G E
N E
P G E N EP G E N E
P N E
0.689c
P N E
cN E
26.2%
8.4%
8.3%
8.0%
18.0%
68.9%
cN E
G E
cN E
G E
cG E N E G
Supongamos que se elige aleatoriamente a un graduado.
Dado que ese graduado no se dedicará a los negocios ni
a la enseñanza, calcule la probabilidad que:
(b) Planee dedicarse a la enseñanza o bien a los estudios posteriores.
La probabilidad que el graduado elegido,
completamente al azar,
planee dedicarse a la enseñanza
o bien a los estudios posteriores es
2620.38
689
Supongamos que se elige
aleatoriamente a un graduado.
Dado que ese graduado no se
dedicará a los negocios ni a la
enseñanza, calcule la probabilidad que:
(c) Pretenda dedicarse a las comunicaciones
o bien a los estudios posteriores.
Supongamos que se elige aleatoriamente a un graduado. Dado que ese
graduado no se dedicará a los negocios ni a la enseñanza, calcule la
probabilidad que: (c) Pretenda dedicarse a las comunicaciones o bien
a los estudios posteriores.
Estudios posteriores , Negocios , Enseñanza
Comunicaciones
Negocios o Enseñanza
Estudios posteriores o Comunicaciones
Ni Negocios y Ni Enseñanza
Lo que queremos es:
c
c
c
G N E
C
N E
G C
N E
P G C N EP G C N E
cP N E
0.689c
P N E
cN E
26.2%
8.4%
8.3%
8.0%
18.0%
68.9%
cN E
G C
cN E
G C
cG C N E G C
0.262 0.084 0.346
c
c
G C N E G C
P G C N E P G C
P G C P G P C
La probabilidad que el graduado elegido,
completamente al azar,
planee dedicarse a las comunicaciones
o bien a los estudios posteriores es
3460.50
689
Supongamos que se elige aleatoriamente a un graduado. Dado que ese
graduado no se dedicará a los negocios ni a la enseñanza, calcule la
probabilidad que: (c) Pretenda dedicarse a las comunicaciones o bien
a los estudios posteriores.
Supongamos que se elige
aleatoriamente a un graduado.
Dado que ese graduado no se
dedicará a los negocios ni a la
enseñanza, calcule la probabilidad que:
(d) No tenga intención de dedicarse a
ciencia/tecnología.
Supongamos que se elige aleatoriamente a un graduado. Dado que ese
graduado no se dedicará a los negocios ni a la enseñanza, calcule la
probabilidad que: (d) No tenga intención de dedicarse a ciencia/tecnología.
Ciencia/Tecnología , Negocios , Enseñanza
Negocios o Enseñanza
Ni Negocios y Ni Enseñanza
No Ciencia/Tecnología
Lo que queremos es:
c
c
cc
cc
c
T N E
N E
N E
T
P T N EP T N E
P N E
0.689c
P N E
cN E
26.2%
8.4%
8.3%
8.0%
18.0%
68.9%
cN E
cT
ccT N E
O G C A
pero
así que
Finalmente
cc
cc
cc
T N E O G C A
P T N E P O G C A
O G C A
P O G C A P O P G P C P A
P T N E P O P G P C P A
ccP T N E P O P G P C P A
26.2%
8.4%
8.3%
18.0%
60.9%
0.609ccP T N E
La probabilidad que el graduado elegido,
completamente al azar,
NO planee dedicarse a la ciencia y a la
tecnología es
6090.88
689
Supongamos que se elige aleatoriamente a un graduado. Dado que ese
graduado no se dedicará a los negocios ni a la enseñanza, calcule la
probabilidad que:
(d) No tenga intención de dedicarse a ciencia/tecnología.
Supongamos que se elige
aleatoriamente a un graduado.
Dado que ese graduado no se
dedicará a los negocios ni a la
enseñanza, calcule la probabilidad que:
(e) No intente dedicarse a las
comunicaciones ni a los negocios.
Supongamos que se elige aleatoriamente a un graduado. Dado que ese
graduado no se dedicará a los negocios ni a la enseñanza, calcule la
probabilidad que:
(e) No intente dedicarse a las comunicaciones ni a los negocios.
Comunicaciones , Negocios , Enseñanza
Negocios o Enseñanza
Ni Negocios y Ni Enseñanza
Comunicaciones o Negocios
Ni Comunicaciones y Ni Negocios
Lo que queremos es:
c
c
c
c c
C N E
N E
N E
C N
C N
P C N NP C N N E
c
c
E
P N E
0.689c
P N E
cN E
26.2%
8.4%
8.3%
8.0%
18.0%
68.9%
cN E
cC N
c cC N N E
A T O G
pero
así que
Finalmente
c c
c c
c c
C N N E A T O G
P C N N E P A T O G
A T O G
P A T O G P A P T P O P G
P C N N E P A P T P O P G
c cP C N N E P A P T P O P G
0.605c c
P C N N E
26.2%
8.3%8.0%
18.0%
60.5%
La probabilidad que el graduado elegido,
completamente al azar,
no intente dedicarse a las
comunicaciones ni a los negocios.
6050.88
689
Supongamos que se elige aleatoriamente a un graduado. Dado que ese
graduado no se dedicará a los negocios ni a la enseñanza, calcule la
probabilidad que:
(e) No intente dedicarse a las comunicaciones ni a los negocios.
Supongamos que se elige
aleatoriamente a un graduado.
Dado que ese graduado no se
dedicará a los negocios ni a la
enseñanza, calcule la probabilidad que:
(f) No tenga planeado dedicarse
a ciencia/tecnología
o a administración/política.
Supongamos que se elige aleatoriamente a un graduado. Dado que ese
graduado no se dedicará a los negocios ni a la enseñanza, calcule la
probabilidad que: (f) No tenga planeado dedicarse a ciencia/tecnología
o a administración/política.
Ciencia Tecnologia , Administración
Negocios , Enseñanza
Negocios o Enseñanza
Ni Negocios y Ni Enseñanza
No Ciencia Tecnología o Administración
Lo que queremos es:
c
c
c c
c c
T A
N E
N E
N E
T A
P T A N EP T A N E
cP N E
0.689c
P N E
cN E
26.2%
8.4%
8.3%
8.0%
18.0%
68.9%
cN E
cT A
c cT A N E
O G C
pero
así que
Finalmente
c c
c c
c c
T A N E O G C
P T A N E P O G C
O G C
P O G C P O P G P C
P T A N E P O P G P C
c cP T A N E P O P G P C
0.526c c
P T A N E
26.2%
8.4%
18.0%
52.6%
La probabilidad que el graduado elegido,
completamente al azar,
no tenga planeado dedicarse a
ciencia/tecnología o a administración/política es
5260.76
689
Supongamos que se elige aleatoriamente a un graduado. Dado que ese
graduado no se dedicará a los negocios ni a la enseñanza, calcule la
probabilidad que:
(f) No tenga planeado dedicarse a ciencia/tecnología
o a administración/política.
Esta definición de la probabilidad condicionada es coherente con la interpretación de la probabilidad como la frecuencia relativa a largo plazo.
P A BP B A
P A
1. Supongamos que se llevan a cabo un gran número, digamos n, de repeticiones del experimento.
Esta definición de la probabilidad condicionada es coherente
con la interpretación de la probabilidad como la frecuencia relativa a largo plazo.
P A BP B A
P A
1. Supongamos que se llevan a cabo un gran número, digamos n, de repeticiones del experimento.
2. Si consideramos solamente aquellos experimentos en los que ocurre el evento A, P(B|A) será igual a la proporción de ellos en los que también ocurre B, puesto que P(A) es la proporción, a largo plazo, de experimentos en los que ocurre A, se tendrá que en n repeticiones del experimento, A ocurrirá aproximadamente nP(A) veces.
Esta definición de la probabilidad condicionada es coherente
con la interpretación de la probabilidad como la frecuencia relativa a largo plazo.
P A BP B A
P A
1. Supongamos que se llevan a cabo un gran número, digamos n, de repeticiones del experimento.
2. Si consideramos solamente aquellos experimentos en los que ocurre el evento A, P(B|A) será igual a la proporción de ellos en los que también ocurre B, puesto que P(A) es la proporción, a largo plazo, de experimentos en los que ocurre A, se tendrá que en n repeticiones del experimento, A ocurrirá aproximadamente nP(A) veces.
3. De igual forma, en aproximadamente nP(A B) de estos experimentos ocurrirán simultáneamente A y B.
Esta definición de la probabilidad condicionada es coherente
con la interpretación de la probabilidad como la frecuencia relativa a largo plazo.
P A BP B A
P A
De aquí se deduce que, entre los aproximadamente nP(A) experimentos cuyos resultados están contenidos en A, aproximadamente nP(A B) de ellos tendrán resultados contenidos también en B.
Por consiguiente, de todos aquellos experimentos cuyos resultados están contenidos en A, la proporción de ellos cuyos resultados están también en B es aproximadamente igual a
nP A B P A B
nP A P A
Puesto que esta aproximación se hace más exacta a medida que n crece se ve que la definición anterior de probabilidad condicionada de B, dado que A ha ocurrido, es apropiada.
Dados dos eventos arbitrarios y , se tiene
Es decir, la probabilidad de que ocurran
simultáneamente y es igual a la
probabilidad que ocurra multiplicada
por la probabilidad condicionada
A B
P A B P A P B A
A B
A
de ,
dado que haya ocurrido .
B
A
Dados dos eventos arbitrarios y , se tieneA B
P A B P A P B A
Para demostrar la regla de la multiplicación,
simplemente se toma la definición de probabilidad
condicional, y
se despeja .
P A BP B A
P A
P A B
Por lo general, la probabilidad condicionada
de que ocurra dado que haya ocurrido
no tiene porque coincidir con la probabilidad
(incondicional) de .
Es decir, saber que ha ocurrido
generalmente hac
B A
B
A
e cambiar la probabilidad
de ocurrencia de .B
Cuando es igual a ( ),
se dice que es independiente de .
P B A P B
B A
Puesto que
( )
se deduce que
es independiente de si
( ) ( )
P A B P A P B A
B A
P A B P A P B
Dos eventos arbitrarios, y ,
son independientes si y sólo si
( ) ( )
A B
P A B P A P B
Dos eventos arbitrarios, y , son independientes
si y sólo si ( ) ( )
A B
P A B P A P B
Ya que esta ecuación es
simétrica se tiene que,
si es independiente de ,
también es independieme de .
B A
A B
Dos eventos arbitrarios, y , son independientes
si y sólo si ( ) ( )
A B
P A B P A P B
También se puede demostrar que si
y son independientes,
la probabilidad de dado que
no ocurra es igual a la probabilidad
(incondicional) de .
A B
B
A
B
Dos eventos arbitrarios, y , son independientes
si y sólo si ( ) ( )
A B
P A B P A P B
Esto es,
si y son independientes,
se cumple quec
A B
P B A P B
Dos eventos arbitrarios, y , son independientes
si y sólo si ( ) ( )
A B
P A B P A P B
Así pues, cuando y son independientes,
cualquier información acerca de la ocurrencia
o no ocurrencia de uno de estos eventos no
afecta a la probabilidad del otro.
A B
Aunque hasta ahora sólo se ha
considerado la independencia
de un par de eventos, este
concepto se puede extender a
cualquier número de eventos.
La probabilidad de la intersección
de cualquier número de eventos
independientes será igual al
producto de sus probabilidades.
1 2
1 2 1 2
Si
, ,...,
son eventos independientes,
se cumple que
( ... ) ...
n
n n
A A A
P A A A P A P A P A
Una urna contiene 2 bolas rojas, 3 bolas verdes,
y 5 bolas azules. Una bola se selecciona al
azar y se anota su color. Se regresa la bola y se
selecciona otra bola, y se anota su color.
Encuentre la probabilidad de cada uno de estos
eventos:
a. Que las dos bolas sean azules.
b. Que la primera bola sea azul y la segunda sea roja.
c. Que la primera bola sea verde y la segunda sea azul.
Dado que la primera bola es sustituida antes que la segunda
bola sea seleccionada, los eventos son independientes.
Hay 5 bolas azules y un total de 10 bolas, por lo tanto,
la probabilidad de selección de
dos bolas de color azul
con la sustitución es:
(azul y azul) azul Azul
5 5 25 1
10 10 100 4
P P P
Una urna contiene 2 bolas rojas, 3 bolas verdes, y 5 bolas azules. Una bola se selecciona al
azar y se anota su color. Se regresa la bola y se selecciona otra bola, y se anota su color.
Encuentre la probabilidad que: a. Que las dos bolas sean azules.
Dado que la primera bola es sustituida antes que la segunda
bola sea seleccionada, los eventos son independientes.
Hay 5 bolas azules, 2 rojas y un total de 10 bolas, por lo
tanto:
(azul y roja) azul rP P P oja
5 2 10 1
10 10 100 10
Una urna contiene 2 bolas rojas, 3 bolas verdes, y 5 bolas azules. Una bola se selecciona al
azar y se anota su color. Se regresa la bola y se selecciona otra bola, y se anota su color.
Encuentre la probabilidad que: b. Que la primera bola sea azul y la segunda sea roja.
Dado que la primera bola es sustituida antes que la segunda
bola sea seleccionada, los eventos son independientes.
Hay 5 bolas azules, 3 bolas verde y un total de 10 bolas,
por lo tanto, la probabilidad
es:
(verde y azul) verde azul
3 5 15 3
10 10 100 20
P P P
Una urna contiene 2 bolas rojas, 3 bolas verdes, y 5 bolas azules. Una bola se selecciona al
azar y se anota su color. Se regresa la bola y se selecciona otra bola, y se anota su color.
Encuentre la probabilidad que: c. Que la primera bola sea verde y la segunda sea azul.
Si el 12% de la población de la población
adulta es zurda, ¿cuál es la probabilidad
que al seleccionar 3 adultos todos sean
zurdos?
Si el 12% de la población de la población adulta es zurda, ¿cuál
es la probabilidad que al seleccionar 3 adultos todos sean zurdos?
Cuando los sujetos son seleccionados de una población
grande, a pesar de que no se sustituyen, los cambios de
la probabilidad son muy pequeños, de modo que el
cambio puede ser ignorado.
Por lo tanto,
tresP zurdos zurdo zurdo zurdo
12 12 12 17280.001728
100 100 100 1000000
P P P
José y Gil van juntos a cazar patos. Supongamos que
José tiene una probabilidad 0.3 de dar en el blanco y que
Gil, independientemente, tiene una probabilidad 0.1.
Los dos han disparado al mismo pato.
(a) Dado que solamente uno de ellos ha acertado.
¿cuál es la probabilidad condicionada que haya
acertado José. ¿Y la que haya acertado Gil?
(b) Dado que el pato ha sido alcanzado.
¿cuál es la probabilidad condicionada que José haya
acertado? ¿Y la que haya acertado Gil?
José tiene una probabilidad 0.3 de dar en el blanco y que Gil,
independientemente, tiene una probabilidad 0.1. Los dos han
disparado al mismo pato. (a) Dado que solamente uno de ellos
ha acertado. ¿cuál es la probabilidad condicionada que haya
acertado José. ¿Y la que haya acertado Gil?
Definimos los eventos
Acierta José Acierta Gil
El evento "solamente uno de ellos ha acertado"
es:
= c c c
J G
J G J G J G J G
= c c cJ G J G J G J G
J G
= c c cJ G J G J G J G
J G
= c c cJ G J G J G J G
cJ G
= c c cJ G J G J G J G
cJ G
J G
= c c cJ G J G J G J G
José tiene una probabilidad 0.3 de dar en el blanco y que Gil,
independientemente, tiene una probabilidad 0.1. Los dos han
disparado al mismo pato. (a) Dado que solamente uno de ellos
ha acertado. ¿cuál es la probabilidad condicionada que haya
acertado José. ¿Y la que haya acertado Gil?
Lo que queremos calcular es
es decir, dado que solamente uno de ellos
ha acertado. ¿cuál es la probabilidad
condicionada que haya acertado José.
c cP J J G J G
( )P A B
P B AP A
c c
c c
c c
P J J G J G
P J J G J G
P J G J G
( )P A B
P B AP A
c c
c c
c c
P J J G J G
P J J G
P J G J
J G
G
c cP J G J G
Como los eventos y son disjuntos;
es decir,
tenemos que
c c
c c
c c c c
J G J G
J G J G
P J G J G P J G P J G
c cP J G J G
Pero ademas, los eventos y son independientes,
por tanto,
y
así que
c c c c
c c
c c
c c c c
P J G J G P J G P J G
J G
P J G P J P G
P J G P J P G
P J G J G P J P G P J P G
c cP J G J G
Usamos ahora que
1 y 1
para obtener
1 1
2
c c c c
c c
c c
P J G J G P J P G P J P G
P J P J P G P G
P J G J G
P J
P J P G P
P G P J P G
J P G
2c cP J G J G P J P G P J P G
José tiene una probabilidad 0.3 de dar en el blanco y que Gil,
independientemente, tiene una probabilidad 0.1. Los dos han
disparado al mismo pato. (a) Dado que solamente uno de ellos
ha acertado. ¿cuál es la probabilidad condicionada que haya
acertado José. ¿Y la que haya acertado Gil?
Sustituyendo los valores del problema,
0.3 0.1 2 0.3 0.1 0.34
c cP J G J G
( )P A B
P B AP A
0.34
c c
c cP J J G
P
J
G J G
G
J J
c c
c c
c c
c
c c
J J G J G
J J G J J G
J J G J J G
G J G
J G J G
c cP J J G J G
c cJ J G J G
J
c cJ G J G
c cJ J G J G
J
c cJ G J G
c c cJ J G J G J G
Como y son eventos independientes,
pero ademas 1 , así que
c c c
c
c c
c
c
cP J J G J G
P J P J P
P J J G J G P J G
J G
P J G P J P G
P G P G
G
c cP J J G J G
c cP J J G J G P J P J P G
José tiene una probabilidad 0.3 de dar en el blanco y que Gil,
independientemente, tiene una probabilidad 0.1. Los dos han
disparado al mismo pato. (a) Dado que solamente uno de ellos
ha acertado. ¿cuál es la probabilidad condicionada que haya
acertado José. ¿Y la que haya acertado Gil?
Sustituyendo los valores del problema,
0.3 0.3 0.1 0.27
c cP J J G J G
0.27
0.39
40.7c cP J J G J G
José tiene una probabilidad 0.3 de dar en el blanco y que Gil,
independientemente, tiene una probabilidad 0.1. Los dos han
disparado al mismo pato. (a) Dado que solamente uno de ellos
ha acertado. ¿cuál es la probabilidad condicionada que haya
acertado José. ¿Y la que haya acertado Gil?
Habiendo acertado sólo uno de ellos,
la probabilidad que haya sido José
es 0.79.
José tiene una probabilidad 0.3 de dar en el blanco y que Gil,
independientemente, tiene una probabilidad 0.1. Los dos han
disparado al mismo pato. (a) Dado que solamente uno de ellos
ha acertado. ¿cuál es la probabilidad condicionada que haya
acertado José. ¿Y la que haya acertado Gil?
José tiene una probabilidad 0.3 de dar en el blanco y que Gil,
independientemente, tiene una probabilidad 0.1. Los dos han
disparado al mismo pato. (a) Dado que solamente uno de ellos
ha acertado. ¿cuál es la probabilidad condicionada que haya
acertado José. ¿Y la que haya acertado Gil?
Lo que queremos calcular es
es decir, dado que solamente uno de ellos
ha acertado. ¿cuál es la probabilidad
condicionada que haya acertado Gil.
c cP J JG G G
( )P A B
P B AP A
c c
c c
c c
P J G J G
P J G J G
P J G
G
G
J G
( )P A B
P B AP A
0.34
c c
c c
P G J G J G
P G J G J G
c c
c c
c c
c
c c
G J G J G
G J G G J G
G G J G G J
G J J
G J G J
c cP G J G J G
Como y son eventos independientes,
pero ademas 1 , así que
c c c
c
c c
c
c
cP G J G J G
P G P G P
P G J G J G P G J
G J
P G J P G P J
P J P J
J
c cP G J G J G
c cP G J G J G P G P G P J
José tiene una probabilidad 0.3 de dar en el blanco y que Gil,
independientemente, tiene una probabilidad 0.1. Los dos han
disparado al mismo pato. (a) Dado que solamente uno de ellos
ha acertado. ¿cuál es la probabilidad condicionada que haya
acertado José. ¿Y la que haya acertado Gil?
Sustituyendo los valores del problema,
0.1 0.1 0.3 0.07
c cP G J G J G
0.07
0.31
40.2c cP J J G J G
José tiene una probabilidad 0.3 de dar en el blanco y que Gil,
independientemente, tiene una probabilidad 0.1. Los dos han
disparado al mismo pato. (a) Dado que solamente uno de ellos
ha acertado. ¿cuál es la probabilidad condicionada que haya
acertado José. ¿Y la que haya acertado Gil?
Habiendo acertado sólo uno de ellos,
la probabilidad que haya sido Gil
es 0.21.
José tiene una probabilidad 0.3 de dar en el blanco y que Gil,
independientemente, tiene una probabilidad 0.1. Los dos han
disparado al mismo pato. (a) Dado que solamente uno de ellos
ha acertado. ¿cuál es la probabilidad condicionada que haya
acertado José. ¿Y la que haya acertado Gil?
Habiendo acertado sólo uno de ellos,
la probabilidad que haya sido José es
0.79 y la probabilidad que haya sido
Gil es 0.21.
José tiene una probabilidad 0.3 de dar en el blanco y que Gil,
independientemente, tiene una probabilidad 0.1. Los dos han
disparado al mismo pato. (a) Dado que solamente uno de ellos
ha acertado. ¿cuál es la probabilidad condicionada que haya
acertado José. ¿Y la que haya acertado Gil?
José y Gil van juntos a cazar patos. Supongamos que
José tiene una probabilidad 0.3 de dar en el blanco y que
Gil, independientemente, tiene una probabilidad 0.1.
Los dos han disparado al mismo pato.
(a) Dado que solamente uno de ellos ha acertado.
¿cuál es la probabilidad condicionada que haya
acertado Jo
(b) Dado que el pato ha sido alcanza
sé. ¿Y la que h
do.
¿cuál es la
aya
pro
ace
babi
rtado Gil?
lidad condicionada que José haya
acertado? ¿Y la que haya acertado Gil?
José tiene una probabilidad 0.3 de dar en el blanco y que Gil,
independientemente, tiene una probabil
(b) Dado
idad 0.1
que el
. Los dos han
dis pato ha sido alcparado anzado.al mismo p
¿cuál es l
ato.
a probabilidad condicionada que José haya
acertado? ¿Y la que haya acertado Gil?
Definimos los eventos
Acierta José Acierta Gil
El evento "el pato ha sido alcanzado"
es:
J G
J G
José tiene una probabilidad 0.3 de dar en el blanco y que Gil,
independientemente, tiene una probabil
(b) Dado
idad 0.1
que el
. Los dos han
dis pato ha sido alcparado anzado.al mismo p
¿cuál es l
ato.
a probabilidad condicionada que José haya
acertado? ¿Y la que haya acertado Gil?
Lo que queremos calcular es
es decir, dado que el pato ha sido
alcanzado, ¿cuál es la probabilidad
condicionada que haya acertado José?
P J J G
( )P A B
P B AP A
P J J GP J J G
P J G
( )P A B
P B AP A
P J
P J J GP J J G
G
P J G
Tenemos
Además como y son eventos
independientes,
así que
P J G P J P G P J G
J G
P J G P J
P J G P J P G P J P
G
G
P
P J G
Sustiuyendo valores,
0.3 0.1 0.3 0.1 0.37P
P J G P J P G P J P G
J G
( )P A B
P B AP A
0.37
P J J GP J J G
P J J G
Por tanto,
0.3
J J G J J J G
J J G J
P J J G P J
0.300.81
0.37P J J G
José tiene una probabilidad 0.3 de dar en el blanco y que Gil,
independientemente, tiene una probabil
(b) Dado
idad 0.1
que el
. Los dos han
dis pato ha sido alcparado anzado.al mismo p
¿cuál es l
ato.
a probabilidad condicionada que José haya
acertado? ¿Y la que haya acertado Gil?
Habiendo sido alcanzado el pato,
la probabilidad que haya sido José
es 0.81.
José tiene una probabilidad 0.3 de dar en el blanco y que Gil,
independientemente, tiene una probabil
(b) Dado
idad 0.1
que el
. Los dos han
dis pato ha sido alcparado anzado.al mismo p
¿cuál es l
ato.
a probabilidad condicionada que José haya
acertado? ¿Y la que haya acertado Gil?
José tiene una probabilidad 0.3 de dar en el blanco y que Gil,
independientemente, tiene una probabilidad 0.1. Los dos han
disparado al mismo pato. (b) Dado que el pato ha sido alcanzado.
¿cuál es la probabilidad condicionada que José haya
a ¿Y la que haya acertcerta ado do? Gil?
Lo que queremos calcular es
es decir, dado que el pato ha sido
alcanzado, ¿cuál es la probabilidad
condicionada que haya acertado Gil?
P G J G
( )P A B
P B AP A
P G J GP G J G
P J G
( )P A B
P B AP A
0.37
P G J GP G J G
P G J G
Por tanto,
0.1
G J G G J G G
G J G G
P G J G P G
0.100.27
0.37P G J G
José tiene una probabilidad 0.3 de dar en el blanco y que Gil,
independientemente, tiene una probabilidad 0.1. Los dos han
disparado al mismo pato. (b) Dado que el pato ha sido alcanzado.
¿cuál es la probabilidad condicionada que José haya
a ¿Y la que haya acertcerta ado do? Gil?
Habiendo sido alcanzado el pato,
la probabilidad que haya sido Gil
es 0.27.
José tiene una probabilidad 0.3 de dar en el blanco y que Gil,
independientemente, tiene una probabilidad 0.1. Los dos han
disparado al mismo pato. (b) Dado que el pato ha sido alcanzado.
¿cuál es la probabilidad condicionada que José haya
a ¿Y la que haya acertacerta do do? Gil?
Habiendo sido alcanzado el pato,
la probabilidad que haya sido José
es 0.81 y la probabilidad que haya
sido Gil es 0.27.
José tiene una probabilidad 0.3 de dar en el blanco y que Gil,
independientemente, tiene una probabilidad 0.1. Los dos han
disparado al mismo pato. (b) Dado que el pato ha sido alcanzado.
¿cuál es la probabilidad condicionada que José haya
acertado? ¿Y la que haya acertado Gil?
Se eligen aleatoriamente dos cartas
de una baraja de 52 naipes.
Encuentre la probabilidad que:
(a) Ninguna sea de espadas.
(b) Al menos una sea de espadas.
(c) Las dos sean de espadas.
Se eligen aleatoriamente dos cartas de una baraja de 52 naipes.
Encuentre la probabilidad que: (a) Ninguna sea de espadas.
se saca una espada
se saca una espada
ninguna es espada
Queremos
c
c
A
B
A B
P A B
Se eligen aleatoriamente dos cartas de una baraja de 52 naipes.
Encuentre la probabilidad que: (a) Ninguna sea de espadas.
Sabemos que
1
Ahora hay que determinar
cP A B P A B
P A B
Se eligen aleatoriamente dos cartas de una baraja de 52 naipes.
Encuentre la probabilidad que: (a) Ninguna sea de espadas.
1
( ) ( )
13 1
52 4
cP A B P A B
P A B P A P B P A B
P A P B
Se eligen aleatoriamente dos cartas de una baraja de 52 naipes.
Encuentre la probabilidad que: (a) Ninguna sea de espadas.
1
( ) ( )
( )
Así que
1 ( )
c
c
P A B P A B
P A B P A P B P A B
P A B P B A P A
P A B P A P B P B A P A
Se eligen aleatoriamente dos cartas de una baraja de 52 naipes.
Encuentre la probabilidad que: (a) Ninguna sea de espadas.
¿Cuánto vale ?
Si la primera carta fue una espada,
quedan 12 espadas de un total de
51 cartas, así que
12 4
51 17
P B A
P B A
Se eligen aleatoriamente dos cartas de una baraja de 52 naipes.
Encuentre la probabilidad que: (a) Ninguna sea de espadas.
1 ( )
1 4( )
4 17Entonces
1 1 4 1 1 11
4 4 17 4 2 1717 2 19
34 34
c
c
P A B P A P B P B A P A
P A P B P B A
P A B
Se eligen aleatoriamente dos cartas de una baraja de 52 naipes.
Encuentre la probabilidad que: (a) Ninguna sea de espadas.
La probabilidad que ninguna de las
dos cartas extraidas sea de espadas
19es de 0.56
34
Se eligen aleatoriamente dos cartas de una baraja de 52 naipes.
Encuentre la probabilidad que: (b) Al menos una sea de espadas.
se saca una espada
se saca una espada
al menos una es espada
Queremos
A
B
A B
P A B
Se eligen aleatoriamente dos cartas de una baraja de 52 naipes.
Encuentre la probabilidad que: (b) Al menos una sea de espadas.
Pero
1
así que
19 34 19 151
34 34 34
cP A B P A B
P A B
Se eligen aleatoriamente dos cartas de una baraja de 52 naipes.
Encuentre la probabilidad que: (b) Al menos una sea de espadas.
La probabilidad que al menos
una de dos cartas extraidas
sea de espadas
15es 0.44
34
Se eligen aleatoriamente dos cartas de una baraja de 52 naipes.
Encuentre la probabilidad que: (c) Las dos sean de espadas.
se saca una espada
se saca una espada
las dos son espadas
Queremos
A
B
A B
P A B
Se eligen aleatoriamente dos cartas de una baraja de 52 naipes.
Encuentre la probabilidad que: (c) Las dos sean de espadas.
Pero
Por tanto,
4 1 1( )
17 4 17
P A B P B A P A
P A B
Se eligen aleatoriamente dos cartas de una baraja de 52 naipes.
Encuentre la probabilidad que: (c) Las dos sean de espadas.
La probabilidad que las dos
cartas extraidas
sean de espadas es
1 0.0617
4.1 Introducción
4.2 Espacio muestral y eventos de un experimento
4.3 Propiedades de la Probabilidad
4.4 Experimentos con resultados igualmente probables
4.5 Probabilidad condicionada e independencia
4.6 Teorema de Bayes
4.7 Principios de recuento
Para dos eventos arbitrarios
cualesquiera, y ,
siempre se verifica quec
A B
A A B A B
Para dos eventos arbitrarios cualesquiera, y ,
siempre se verifica que c
A B
A A B A B
Se puede comprobar que la igualdad
anterior es cierta con sólo observar
que para que un resultado esté en
debe estar en y en o bien debe
estar en pero no en .
A
A B
A B
Para dos eventos arbitrarios cualesquiera, y ,
siempre se verifica que c
A B
A A B A B
Puesto que y son mutuamente
exc1uyentes (¿por qué?), se tiene, por la propiedad 3,
que ( ) ( ) ( )
Puesto que
( ) ( ) y ( ) ( )
se ha demostrado la siguiente igualdad:
c
c
c c c
A B A B
P A P A B P A B
P A B P A B P B P A B P A B P B
P A
( ) ( )c cP A B P B P A B P B
1) = ( ) ( ) ( )
2) ( ) ( )
3) ( ) ( )
( ) ( )
c c
c c c
c c
A B A B P A P A B P A B
P A B P A B P B
P A B P A B P B
P A P A B P B P A B P B
( ) ( )c cP A P A B P B P A B P B
Esta igualdad establece que la probabilidad
de un evento es igual a la media ponderada
de las probabilidades condicionadas que ocurra
dado que haya ocurrido y que ocurra dado
que no haya ocurrid
A
A B A
B o: cada una de estas
probabilidades condicionadas tiene un peso igual
a la probabilidad del evento condicionante.
( ) ( )c cP A P A B P B P A B P B
Esta es una fórmula muy útil porque
nos permite calcular la probabilidad
de cualquier evento "condicionando"
primero por los hechos que otro evento
cualquiera haya ocurrido o no.
A
B
Sean y dos eventos arbitrarios
( ) ( )c c
A B
P A P A B P B P A B P B
Antes de ilustrar la utilidad de la ecuación
( ) ( )
se considerará el problema de cómo
reevaluar una probabilidad inicial a la luz
de una evidencia adicional.
c cP A P A B P B P A B P B
Se está estudiando una cierta hipótesis:
1) Supongamos que denota el evento
que la hipótesis es cierta y que ( )
denota la probabilidad que sea cierta.
H
P H
Se está estudiando una cierta hipótesis:
1) Supongamos que denota el evento
que la hipótesis es cierta y que ( )
denota la probabilidad que sea cierta.
2) Ahora supongamos que se dispone
de una evidenci
H
P H
a adicional, llamémosla ,
concerniente a la hipótesis citada.
E
Se está estudiando una cierta hipótesis:
1) Supongamos que denota el evento que la hipótesis
es cierta y que ( ) denota la probabilidad que sea cierta.
2) Ahora supongamos que se dispone de una eviden
H
P H
En consecuencia, se desearía determinar ,
la probabilidad condicio
cia
adicional, llamémosla , concern
nada de que la hipótesis es cierta
ient
,
dad
e a la h
a la evi
ipótesis citada
dencia adicional E.
.
P H E
E
Se, tiene por la definición de la
probabilidad condicionada,
( ) P E H P HP H EP H E
P E P E
Si se usa la ecuación
( ) ( )
se puede calcular ( ) condicionando por los
hechos que la hipót
Esto conduce a la s
esis
igui
sea cie
ente ide
rta y no sea cie
ntidad, conocida
rta.
como teorema de Bay
c cP E H P H P E H P H
P E
es:
( ) P E H P HP H E
P H EP E P E
Dados dos eventos arbitrarios y ,
siempre se cumple
( ) ( )c c
H E
P E H P HP H E
P E H P H P E H P H
Hay dos monedas sobre una mesa.
Cuando se lanzan, la probabilidad de que salga Sol es
0.5 para una moneda. mientras que para la otra es 0.6.
Se selecciona aleatoriamente una de las monedas
y se lanza.
(a) ¿Cuál es la probabilidad que salga Sol?
(b) Si sale Sol, ¿cuál es la probabilidad que la moneda
lanzada sea la que está bien construida? (Es decir, aquélla
cuyos resultados Sol y Águila son igualmente probables.)
1
2
Utilizamos la fórmula
( ) ( )
con los valores
Sale sol
Se elige la moneda con probabilidad 0.5
Se elige la moneda con probabilidad 0.6
c c
c
P A P A B P B P A B P B
A S
B M
B M
Cuando se lanzan dos monedas, la probabilidad de que salga
Sol es 0.5 para una moneda. mientras que para la otra es 0.6.
Se selecciona aleatoriamente una de las monedas y se lanza.
(a) ¿Cuál es la probabilidad que salga Sol?
1 1 2 2
Así que
( ) ( )
y sustituyendo los valores
0.5 0.
0.55
5 0.6 0.5 0.25 0.30
P S P S M P M P S M P M
P S
P S
Cuando se lanzan dos monedas, la probabilidad de que salga
Sol es 0.5 para una moneda. mientras que para la otra es 0.6.
Se selecciona aleatoriamente una de las monedas y se lanza.
(a) ¿Cuál es la probabilidad que salga Sol?
1
2
Usando el teorema de Bayes
( ) ( )
con los eventos
Sale sol
Se elige la moneda con probabilidad 0.5
Se elige la moneda con probabilidad 0.6
c c
c
P E H P HP H E
P E H P H P E H P H
A S
B M
B M
Cuando se lanzan dos monedas, la probabilidad de que salga
Sol es 0.5 para una moneda. mientras que para la otra es 0.6.
Se selecciona aleatoriamente una de las monedas y se lanza.
(b) Si sale Sol, ¿cuál es la probabilidad que la moneda
lanzada sea la que está bien construida?
1
1 11
1 1 2 2
Así que
( ) ( )
0.5 0.5 0.25 0.25 5
0.5 0.5 0.6 0.5 0.25 0.30 0.55 11
Finalmen1
t5
1e
P S M P MP M S
P
P
S M P M P S
S
P
M
M M
Cuando se lanzan dos monedas, la probabilidad de que salga
Sol es 0.5 para una moneda. mientras que para la otra es 0.6.
Se selecciona aleatoriamente una de las monedas y se lanza.
(b) Si sale Sol, ¿cuál es la probabilidad que la moneda
lanzada sea la que está bien construida?
Una inspectora a cargo de una investigación criminal tiene
una certeza del 60% de la culpabilidad de un sospechoso.
Se acaba de descubrir un hecho que evidencia que el
criminal es zurdo.
Aunque la inspectora sabe que un 18% de las personas
son zurdas, le gustaría saber si el sospechoso es zurdo.
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que el sospechoso sea zurdo?
(b) Si el sospechoso resulta ser zurdo. ¿cuál es la
probabilidad de que el sospechoso sea culpable?
Usamos la fórmula
( ) ( )
con las definiciones
el sospechoso es zurdo
el sospechoso es culpable
el sospechoso NO es culpable
Así que
( ) ( )
1.00 0.60 0.18 0.40 0.60 0.072
c c
c
c c
P A P A B P B P A B P B
Z
C
C
P Z P Z C P C P Z C P C
P Z
0.672
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que el sospechoso sea zurdo?
Utilizando el teorema de Bayes
( ) ( )
con las definiciones de los eventos antes hechas,
( ) ( )
1.0 0.6 0.0.
600 25
1.0 0.6 0.18 0.4 0.67 29
28 3
8
c c
c c
P E H P HP H E
P E H P H P E H P H
P Z C P CP C Z
P Z C P C P Z C P C
(b) Si el sospechoso resulta ser zurdo. ¿cuál es la
probabilidad de que el sospechoso sea culpable?
En una ciudad, el 52% de los residentes con edad de votar
son republicanos, y el otro 48% son demócratas.
Entre los residentes, un 64% de los republicanos y un 42%
de los demócratas se muestran a favor que se suspenda una
política activa de alquileres promovida por el ayuntamiento.
Se selecciona aleatoriamente a un residente con derecho a voto.
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que la persona elegida esté a
favor que se suspenda la política de alquileres?
(b) Si la persona elegida está en contra que se suspenda dicha
política de alquileres, ¿cuál es la probabilidad que sea
republicana?
Republicano , Demócrata
está en contra , está a favo
Ojo:
r
y c cR
R D
D F
C F
C
Republicanos 52% Demócratas 48%
64% de republicanos a favor 42% de demócratas a favor
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que la persona elegida esté a
favor que se suspenda la política de alquileres?
Republicanos 52% Demócratas 48%
64% de republicanos a favor 42% de demócratas a favor
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que la persona elegida esté a
favor que se suspenda la política de alquiler
es?
Republicano , Demócrata
está en contra , está a favor
R D
C F
¿Qué tenemos?:
0.52 0.48
0.64 0.42
P R P D
P F R P F D
Republicanos 52% Demócratas 48%
64% de republicanos a favor 42% de demócratas a favor
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que la persona elegida esté a
favor que se suspenda la política de alquiler
es?
Republicano , Demócrata
está en contra , está a favor
0.52 0.48
0.64 0.42
R D
C F
P R P D
P F R P F D
¿Qué queremos?: P F
Sean y dos eventos arbitrarios
( ) ( )c c
A B
P A P A B P B P A B P B
Republicanos 52% Demócratas 48%
64% de republicanos a favor 42% de demócratas a favor
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que la persona elegida esté a
favor que se suspenda la política de alquiler
es?
Republicano , Demócrata
está en contra , está a favor
0.52 0.48
0.64 0.42
R D
C F
P R P D
P F R P F D
0.64 0.52 0.42 0.48 0.5344
P F P F R P R P F D P D
Republicanos 52% Demócratas 48%
64% de republicanos a favor 42% de demócratas a favor
(b) Si la persona elegida está en contra que se suspenda dicha
política de alquileres, ¿cuál es la probabilidad que sea republicana?
Republicano , Demócrata
está en contra , está a favo
Ojo:
r
y c cR
R D
D F
C F
C
Republicanos 52% Demócratas 48%
64% de republicanos a favor 42% de demócratas a favor
(b) Si la persona elegida está en contra que se suspenda dicha
política de alquileres, ¿c
uál es la probabilidad que sea republicana?
Republicano , Demócrata
está en contra , está a favor
R D
C F
¿Qué tenemos?:
0.52 0.48
0.64
Es claro qu
e
0.36 y
0.4
0.58
2
P
P R P D
P F
C R P C D
R P F D
Republicanos 52% Demócratas 48%
64% de republicanos a favor 42% de demócratas a favor
(b) Si la persona elegida está en contra que se suspenda dicha
política de alquileres, ¿c
uál es la probabilidad que sea republicana?
Republicano , Demócrata
está en contra , está a favor
0.52 0.48
0.64 0.42
R D
C F
P R P D
P F R P F D
¿Qué queremos?: P R C
Dados dos eventos arbitrarios y ,
siempre se cumple
( ) ( )c c
H E
P E H P HP H E
P E H P H P E H P H
Republicanos 52% Demócratas 48%
64% de republicanos a favor 42% de demócratas a favor
(b) Si la persona elegida está en contra que se suspenda dicha
política de alquileres, ¿c
uál es la probabilidad que sea republicana?
Republicano , Demócrata
está en contra , está a favor
0.52 0.48
0.64 0.42
R D
C F
P R P D
P F R P F D
( ) ( )
0.36 0.520.402
0.36 0.52 0.58 0.48
P C R P RP R C
P C R P R P C D P D