MÓDULO II: Fundamentos de la Lógica Difusa
Tema 2: Introducción a la Lógica Difusa
Tema 2: Introducción a la Lógica Difusa
1. Introducción: de los conjuntos clásicos a los conjuntos difusos
2. Conjuntos difusos
1. Definición2. Tipos de funciones de pertenencia3. Resumen
3. Relaciones difusas1. De las relaciones clásicas a las difusas2. Definición
4. Propiedades de los conjuntos difusos
5. Operaciones con conjuntos difusos
6. De las reglas difusas a las relaciones difusas
Índice
Tema 2: Introducción a la Lógica Difusa
Objetivos:
Comprender el conjunto de conjunto difuso, relación difusa y propiedades básicas asociadas: núcleo, soporte, alfa-corte, normalidad, convexidad y altura.
Comprender el significado de las funciones de pertenencia y cómo determinar el tipo de función de pertenencia en base al tipo de descripción difusa asociada.
Conocer y saber utilizar las operaciones teóricas sobre conjuntos difusos: complemento, intersección y unión, y propiedades básicas de las mismas.
Índice
1. Introducción: de los conjuntos clásicos a los conjuntos difusos
¿Por qué es útil la Lógica Difusa en control?
Muchos aspectos del diseño de un sistema de control presentan incertidumbre
Control de aparcado de un cocheControl de un ascensor que minimice el tiempo de esperaControl de un metroControl del frenado de un cocheControl de temperatura y grado de humedadCompensación de vibraciones en una cámara
Características comunes:Procesos complejos y dinámicosAlgunos se caracterizan fácilmente de forma lingüística
1. Introducción: de los conjuntos clásicos a los conjuntos difusos
1. Introducción: de los conjuntos clásicos a los conjuntos difusosSistemas verdadero / falso frente a sistemas graduales
Incertidumbre:- Con información completa- Por falta de incertidumbre- Por ambigüedad
Lógica Difusa (Zadeh, 1965)Fue diseñada para representar y razonar sobre
conocimiento expresado de forma lingüística o verbal
Conocimientos “vagos”, “borrosos”
1. Introducción: de los conjuntos clásicos a los conjuntos difusos
1. Introducción: de los conjuntos clásicos a los conjuntos difusosConjuntos clásicosX: Universo de discursoA: Un conjunto definido en ese universo de discurso
Formas de definir el conjunto A:
Enumerando elementosEspecificando una propiedadDefiniendo la función característica
1. Introducción: de los conjuntos clásicos a los conjuntos difusos
{ }1,0: →XSµ
1. Introducción: de los conjuntos clásicosa los conjuntos difusos
Ejemplo: Conjunto de números reales en el intervalo [0,10] comprendidos entre 5 y 8
A = [5,8], X = [0,10]
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤<≤≤<≤
=108,0
85,1
50,0
)(1
x
x
x
xA
1. Introducción: de los conjuntos clásicos a los conjuntos difusos
2. Conjuntos difusos2.1. Definición
Función característica Conjunto nítido
Función de pertenencia Conjunto difuso
Para cada elemento x, es el grado de pertenencia al conjunto difuso A
2. Conjuntos difusos2.1. Definición
{ }1,0: →XSµ
[ ]1,0: →XAµ
)(xAµ
2.1. DefiniciónEjemplo: Conjunto de gente joven
B = {gente joven} B = [0,20]
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤≤
≤≤−
≤≤
=
10030,0
3020,10
30200,1
)(
x
xx
x
xBµ
⇒
2.1. Definición
Ejemplos:
Conjunto de coches de fabricación española
Conjunto de números naturales cercanos a 6
Conjunto de personas mayores
Conjunto de números cercanos a cero
2. Conjuntos difusos2.1. Definición
2.2. Tipos de funciones de pertenencia
Funciones triangulares
2. Conjuntos difusos2.2. Tipos de funciones de pertenencia
a b c
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
>
≤≤−−
≤≤−−
<
=
cx
cxbbc
xc
bxaab
axax
cbaxf
,1
,
,
,0
),,;(
2.2. Tipos de funciones de pertenencia
Funciones trapezoidales
2. Conjuntos difusos2.2. Tipos de funciones de pertenencia
a b c
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
>≤≤
−−
≤≤
≤≤−−
<
=
dx
dxccd
xdcxb
bxaab
axax
cbaxf
,0
,
,1
,
,0
),,;(
d
2.2. Tipos de funciones de pertenenciaFunciones gaussianas
Otras: campana, S, Z, etc.
Funciones descritas mediante polígonosGeneralizan cualquier otro tipo de representaciónNivel de aproximación ajustable
2. Conjuntos difusos2.2. Tipos de funciones de pertenencia
2.3. Conjuntos Difusos: ResumenAspectos importantes de los conjuntos difusos:
Representan propiedades difusas pero una vez definida la función de pertenencia, nada es difuso.
La representación de un conjunto difuso depende del concepto a representar y del contexto en el que se va a utilizar.
¿Cómo determinar las funciones de pertenencia?A través de conocimiento expertoA través de conjuntos de datos y procesos de aprendizaje
Se pueden utilizar distintas funciones de pertenencia para caracterizar la misma descripción.
2. Conjuntos difusos2.3. Conjuntos difusos: Resumen
3. Relaciones Difusas3.1. De las Relaciones Clásicas a las Difusas
Las relaciones determinan interacciones entre conjuntos y se especifican de igual forma que los conjuntos nítidos
Una relación (clásica) se puede considerar como un conjunto de tuplas que cumplen una determinada condición. Por ejemplo: La relación binaria “menor o igual”
Se pueden describir mediante funciones características
3. Relaciones Difusas3.1. De las Relaciones Clásicas a las Relaciones Difusas
{ }nmyBnAmquetalnmR ≤∈∈=≤ ,),(
⎩⎨⎧ ≤
=≤ casootroen
nmsinmf
,0
,1),(}1,0{:),( →×≤ NNnmf
3.2. DefiniciónUna relación difusa que relaciona dos conjuntos difusos A y B
(cada uno de ellos incluido en su universo de discurso U y V respectivamente) es un subconjunto difuso del producto cartesiano U*V, caracterizado:
Por una enumeración
O por su función de pertenencia
Caso contínuo
Caso discreto
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ×∈∈
=α
ααgradoenPcondiciónlacumpleyx
quetalVUyxyxR
),(
),(],1,0[),,/(
3. Relaciones Difusas3.2. Definición
∫= VU R vuvuR*
),/(),(µ
∑= VU R yxyxR*
),/(),(µ
3.3. Ejemplo de relación difusa
igualmenteaproximadaR =
}3,2,1{=U
)1,3/(3.0)3,1/(3.0
)2,3/(8.0)1,2/(8.0)3,2/(8.0)2,1/(8.0
)3,3/(1)2,2/(1)1,1/(1
++++
+++=R
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−=−
==
2||3,0
1||8,0
1
),(
yx
yx
yx
yxRµ
10,80,33
0,810,82
0,30,811
X
321R
y
]1,0[: →×UUR
3. Relaciones Difusas3.3. Ejemplo de relación difusa
4. Propiedades de los Conjuntos DifusosSoporte: Es el conjunto de elementos cuyo grado de pertenencia es distinto de cero
Altura: Es el grado de pertenencia más grande de los elementos del conjunto
Núcleo: Es el conjunto de elementos cuyo grado de pertenencia es igual a 1
4. Propiedades de los Conjuntos Difusos
{ }XxxxASop A ∈>= ,0)()( µ
{ }XxxhhAAltura A ∈== ),(max)( µ
{ }1)(/)( =∈= xXxANúcleo Aµ
4. Propiedades de los Conjuntos DifusosConjunto Difuso Normal: Es un conjunto difuso cuya altura es igual a 1.
Conjunto Difuso Convexo: Intuitivamente es un conjunto difuso creciente, decreciente o con forma de campana
4. Propiedades de los Conjuntos Difusos
1)( =AAltura
))(),(min())1(( yxyx AAA µµλλµ ≥⋅−+⋅
[ ]1,0,, ∈∀∈∀ λXyx
4. Propiedades de los Conjuntos DifusosConjunto Difuso Normal: Es un conjunto difuso cuya altura es igual a 1.
Conjunto Difuso Convexo: Intuitivamente es un conjunto difuso creciente, decreciente o con forma de campanaConvexo No convexo
4. Propiedades de los Conjuntos Difusos
1)( =AAltura
))(),(min())1(( yxyx AAA µµλλµ ≥⋅−+⋅
[ ]1,0,, ∈∀∈∀ λXyx
5. Operaciones con Conjuntos DifusosExtienden las operaciones con conjuntos clásicos
Igualdad
Inclusión
Unión
Intersección
5. Operaciones con Conjuntos Difusos
XxxxBA BA ∈∀=⇔= )()( µµ
XxxxBA BA ∈∀≤⇔⊆ )()( µµ
)}(),(max{)( xxx BABA µµµ =U
)}(),(min{)( xxx BABA µµµ =I
5. Operaciones con Conjuntos Difusos
Complemento
Alfa-corte
Existen generalizaciones de estas operaciones, ya que tanto las funciones de pertenencia de los conjuntos difusos como sus operaciones dependen del contexto.
T-normas
T-conormas
5. Operaciones con Conjuntos Difusos
)(1)( xx AAµµ −=
},)({ XxxxA A ∈>= αµα
5. Operaciones con Conjuntos DifusosT-norma: Generaliza el concepto de intersección
Conmutativa T(a,b) = T(b,a)
Asociativa T(a,T(b,c)) = T(T(a,b),c)
Monotonía T(a,b)>=T(c,d), si a>=c y b>=d
Condiciones frontera T(a,1) = a
5. Operaciones con Conjuntos Difusos
]1,0[]1,0[]1,0[: →×T
)](),([)( xxTx BABA µµµ =I
5. Operaciones con Conjuntos Difusos
Ejemplos de t-normas:
Intersección estándar: T(a,b) = min (a,b)
Producto algebraico: T(a,b) = a · b
Diferencia acotada: T(a,b) = max (0, a+b-1)
Intersección drástica: T(a,b) = a, si b=1
= b, si a=1= 0, e.o.c.
5. Operaciones con Conjuntos Difusos
5. Operaciones con Conjuntos DifusosT-conorma: Generaliza el concepto de unión
Conmutativa: S(a,b) = S(b,a)
Asociativa: S(a,S(b,c)) = S(S(a,b),c)
Monotonía: S(a,b)>=S(c,d), si a>=c y b>=d
Condiciones frontera: S(a,0) = a
5. Operaciones con Conjuntos Difusos
]1,0[]1,0[]1,0[: →×S
)](),([)( xxSx BABA µµµ =U
5. Operaciones con Conjuntos Difusos
Ejemplos de t-conormas:
Unión estándar S(a,b) = max(a,b)
Suma algebraica S(a,b) = a+b-a·b
Suma acotada S(a,b) = min (1, a+b)
Unión drástica S(a,b) = a, si b=0
= b, si a=0= 1, e.o.c.
5. Operaciones con Conjuntos Difusos
5. Operaciones con Conjuntos DifusosComplemento difuso:
C(0) = 1, C(1)=0Si a<=b, C(a)>=C(b)C(C(a))=a
Sugeno
5. Operaciones con Conjuntos Difusos
]1,0[]1,0[: →C
)]([)( xCx AAµµ =
),1(,1
1)( ∞−∈
⋅+−
= λλλ a
aaC
6. De las reglas difusas a las relaciones difusas
La regla difusa de la forma
SI X es A y Y es B ENTONCES Z es C
nos indica una dependencia del conjunto difuso de salida C respecto a los conjuntos difusos A y B
Por tanto, esta dependencia la podemos representar mediante una relación difusa
(se ha considerado la t-norma mínimo como operador de conjunción e implicación)
∫ ××=
WVU CBA zyxzyxR ),,/())(),(),(min( µµµ
6. De las reglas difusas a las relaciones difusas
Bibliografía
Básica:[kli95] G. Klir y B. Yuan. Fuzzy Sets and Fuzzy Logic. Theoryand Applications. Prentice Hall PTR, 1995.[wan97] L.X. Wang. A Course in Fuzzy Systems and Control. Prentice-Hall, 1997.
Complementaria:[zad65] L.A. Zadeh. Fuzzy Sets. Information Control 8 (1965), págs. 338-353.
Bibliografía