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Centro Preuniversitario de la UNS S-07 Ingreso Directo
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS Ciclo 2014-III
ÁLGEBRA “COCIENTES NOTABLES”
COCIENTES NOTABLES
Son aquellas divisiones algebraicas en las cuales el cociente y el residuo de la división se obtienen sin mediar algoritmo correspondiente, o sea sin necesidad de efectuar la operación. La división es exacta (esto es, el resto es nulo). Estos casos especiales son de la forma general.
Donde: x, a son las bases
nN n2 Condiciones que deben cumplir a) Deben tener las bases iguales. b) Deben tener los exponentes
iguales.
Así: ax
ax nn
Numéricamente: ax
ax
1010
CASOS DE COCIENTES NOTABLES Existen cuatro casos de cocientes notables, que se determinan combinando convenientemente los signos; las cuales son:
ax
ax nn
;
ax
ax nn
; ax
ax nn
; ax
ax nn
PRIMER CASO: A. Cálculo del Resto: Por el
teorema del resto.
x-a = 0 x=a R=an-an=0
R=0 Esto indica que para cualquier valor entero de “n”, será siempre exacta por lo tanto es un cociente notable.
B. Cálculo del cociente: Donde “n” es par o impar Ejemplo: Calcular el cociente en forma directa de:
322344
axaaxxax
ax
Semana Nº 07
Tablilla
Babilónica
ax
ax nn
ax
ax nn
122321 .....
nnnnnnn
axaaxaxxax
ax
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SEGUNDO CASO: A. Cálculo del resto: Por el teorema
del resto.
x-a=0 x=a R=an+an
R=2an0
Vemos que en éste caso para cualquier valor de “n” el resto es siempre diferente de cero por lo cual el cociente que se obtiene será siempre un cociente completo y nunca un cociente exacto.
B. Cálculo del cociente: Donde “n” es par o impar. Importante: Excluiremos el presente caso debido a que la división no es exacta, en consecuencia no es un cociente notable.
TERCER CASO: A. Cálculo del Resto: Por el teorema
del resto.
x+a=0 x=-a R=(-a)n+an
Si:n=# par R=an+an=2an0
(cociente completo)
Si:n=# impar R= -an+an=0 (cociente exacto):
B. Cálculo del cociente.- Donde “n” es impar. Ejemplo: Calcular el cociente en forma directa de:
43223455
axaaxaxxax
ax
CUARTO CASO: A. Cálculo del resto.- Por el teorema
del resto.
x+a=0 x=-a R=(-a)n-an
Si:n = # par =an-an=0 (cociente exacto)
Si:n = # imparR=-an-an=-
2an0(cociente completo)
B. Cálculo del cociente.-
Donde “n” es par.
Donde “n” es par.
122321 .....
nnnnnnn
axaaxaxxax
ax
ax
aaaxaxx
ax
ax nnnnn
nn
2.... 12321
ax
ax nn
ax
ax nn
122321 ...
nnnnnnn
axaaxaxxax
ax
ax
ax nn
122321 ...
nnnnnnn
axaaxaxxax
ax
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FÓRMULA DEL TÉRMINO GENERAL Es una fórmula que nos permite encontrar un término cualquiera en el desarrollo de los cocientes notables sin necesidad de conocer los demás: Sabemos que:
122321 ...
321
nn
t
n
t
n
t
nnn
axaaxaxxax
ax
Donde:
t1=xn-1=xn-1a° t2=xn-2a=xn-1a1 t3=xn-3a2=xn-3a2 t69=……..=xn-69a68
En General
Donde: K es el lugar pedido
N es el exponente de las bases en el numerador
El signo se colocará de acuerdo al caso que corresponda.
REGLA PARA EL SIGNO a) Cuando el divisor es de la forma
(x-a):
b) Cuando el divisor es de la forma (x+a) y si:
Ejemplo: En el cociente notable de:
yx
yx
6060
Hallar el término de lugar 15. Resolución: Recordando en
yx
yx nn
tk=xn-kyk-1
En el problema n=60 k=15
t15 = x60-15 . y15-1
t15=x45y14
LEYES DE UN COCIENTE NOTABLE
I. Si la división tiene la forma que origina un
cociente notable, el exponente que se repite en el dividendo indica el número de términos del cociente.
a) 100min#100100
ostérde
yx
yx
b) 64
506504
64
300200 )()(
yx
yx
yx
yx
# de términos = 50
II. El cociente se caracteriza por ser completo y ordenado respecto a sus bases; además de ser homogéneo respecto a las mismas.
III. El primer término del desarrollo se obtiene
dividiendo el primer término del dividendo entre el primero del divisor.
IV. A partir del segundo término los exponentes de
la primera base disminuyen de uno en uno, mientras que los de la segunda van aumentando de uno en uno.
tk= xn-k
ak-1
signo
; 1 k n
Todos son positivos (+)
K=# impar (positivo +)
K=# par (negativo -)
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V. Si el divisor es un binomio diferencia (x-a) todos los términos del cociente serán positivos; pero si es un binomio suma (x+a) los términos del cociente serán alternados (los de lugar impar positivos y los de lugar par negativos).
VI. Solo cuando “n” es impar, las bases del
término central tendrán igual exponente.
Ejemplo:
654233245677
axaaxaxaxaxxax
ax
VII. Para calcular un término cualquiera contando
de derecha a izquierda, sólo basta con intercambiar las bases tanto en el numerador como en el denominador, para luego aplicar la fórmula del término general. Ejemplo: Calcular el término 35 contando a partir de derecha a izquierda del desarrollo de:
ax
ax
121121
Resolución: Intercambiando las bases:
xa
xa
121121
Luego: t35=a121-35x35-1=x34a86
VIII. Si: qp
nm
ax
ax
origina un cociente notable
Entonces se cumple: q
n
p
m
Además: q
n
p
m número de términos
Ejemplo: si 42
2001
yx
yxn
origina un
cociente notable, calcular el valor de “n”.
Resolución
Como origina un cociente notable:
4
200
2
1
n n+1=(50)(2)
n=100-1
n=99
1) Halla el término 5, luego de
desarrollar:
ax
ax 77
=
Solución:
t5 = x7-5 a5-1
t5 = x2a4
2) Calcula el número de términos en:
200100
20001000
yx
yx
Solución:
N° términos = 200
2000
100
1000 = 10
3) Halla “m” para que sea un cociente
notable:
33
51m3
2x
2x
Solución:
3
51
3
m3 17
m= 17
4) ¿Cuántos términos tiene el C.N?
54
m5m4
yx
yx
; si T5 es de grado 32.
PROBLEMAS RESUELTOS
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Solución:
54
54
yx
yxmm
T5 = (x 4 ) m - 5 (y 5) 4
Luego : 4(m – 5) + 5(4) = 32
4m - 20 + 20 = 32
m = 8
Luego el C.N. tiene: 8 términos
5) Halla “n” y el número de términos del
C.N.
n2
4530
yx
yx
Solución:n
45
2
30 n = 3
Luego : 2
30 = 15 términos
6) Halla el 7° término del cociente:
yx
yx
1515
Solución:
t7 = x15-7 y7-1
t7 = x8 y6
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Hallar el número de términos que
tendrá el siguiente producto:
1...
1.........
323334
323334
nnnn
nnn
xxxx
xxxP
a) 25 b) 40 c) 35 d) 30 e) 45
2. Hallar el valor numérico del término
central en el desarrollo de:
43
12737
mm
mm
yx
yx Siendo: 11 yx
a) 4096 b) 2048 c) 1024 d) 256 e) 1
3. Hallar el número de términos del
siguiente cociente notable:
......... 872678 yxyx
a) 15 b) 13 c) 30 d) 17 e) 34
4. Calcular el valor numérico del
término de lugar 25 del cociente
notable originado al dividir:
26
3233131
x
xx Para:
3
1x
a) 64 b) -1 c) 1 d) 729 e) 4096
5. Si la división:
x
xx1111
11
genera un cociente notable que tiene
un término de la forma: bxa 12 .
Halle: 22 ba
a) 13 b) 25 c) 37 d) 29 e) 41
6. Halle “n”, tal que:
;0300352 nn si la división:
2
11
1
1
yxxy
yxyxnnn
genera un
cociente notable. Donde: .Zn
a) 20 b) 15 c) -15 d) 10 e) -20
7. En el desarrollo del siguiente cociente
notable: 23
3451
xx
xx el número de
términos fraccionarios es:
a) 9 b) 6 c) 5 d) 8 e) 7
8. Si el desarrollo del cociente notable:
b
a
yx
yx
9
posee un término de la forma
rxy con ,Nb entonces el máximo
valor que puede admitir “ a ” es:
a) 45 b) 18 c) 63 d) 27 e) 36
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9. Calcular el término de lugar 32 en el
siguiente cociente notable:
31
2
41
158
x
xx
a) x-4 b) x-3 c) x-2 d) x+4 e) x-8
10. Si la división:
22
4444
8 yxxy
yxyx
genera un cociente notable, calcular el
valor numérico del término central.
Para 12 yx
a) 620
b) 340
c) 320
d) 420
e) 820
11. Si el término “k” contando a partir del
extremo final del desarrollo del
cociente notable: 25
60150
yx
yx
tiene
como grado absoluto 91. Calcular el
grado absoluto del 2kT contando a
partir del primero.
a) 114 b) 118 c) 116 d) 106 e) 126
12. Sabiendo que e siguiente cociente
notable: 72 yx
yx pm
admite ser
desarrollado como término central a 70yxa
. Evaluar 203 mpJ
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
13. Calcular el mínimo valor de “k” de
manera que en el cociente notable:
;
1
ba
bam
mm mm
para (m = impar) el
grado absoluto del término que ocupa
el lugar “k” exceda en (4m-4) al grado
absoluto del término que ocupa el
lugar “k” contando desde la derecha.
a) 9 b) 10 c) 12 d) 11 e) 13
14. ¿Qué relación debe cumplir nk
para que la expresión sea un cociente
notable?
22
33
nkkn
knnkknnk
yxy
yyx
a) k/n =1 b) k/n = 2 c) kn=1 d) kn=2 e) 0
15. Si un término del cociente notable que
resulta de dividir: 23
mm
nmm
yyx
yx es
x12
. Hallar el valor de (m+n)
a) 51 b) 52 c) 53 d) 54 e) 55
16. Si: 20 18 2 11
10 9 8
... 1 1( )
... 1 1
x x x xE x
x x x x x
Hallar: E (-1/3).
a) -1/9 b) -1/3 c) 1 d) 3 e) 9
17. Simplificar:
78 76 74 240
38 36 34 2
... 1
... 1
x x x xE x
x x x x
a) 0 b) 1 c) 36x c)
41x e) 42x
18. Calcular el residuo de la división:
1997
11998 1997
a) 1 b) 0 c) 1996 d) - 1 e) N.A.
19. Hallar + en el cociente notable:
43 yx
yx
Si: 2812
7
96yx
t
t.t
a) 20 b) 84 c) 48 d) 36 e) N.A.
20. El cociente de:
x
1x
xx 168
Al ser expresado en forma de un cociente
notable tiene en su desarrollo un término
que no contiene a x. ¿Cuál es su posición?
a) to6 b) to5 c) avo16 d) ero3 e) N.A.
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SUMATIVO 2011 III
21. En el cociente notable que se obtiene
de: 32
44
xx
xx bm
, el décimo término
contando a partir del final es
independiente de “x”. El número de
términos racionales enteros que
contiene dicho cociente notable, es:
a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10
SUMATIVO 2012 I
22. Simplificar:
)xx1.(x...xxx1
x...xxx1 np2np
p)1n(p3p2p
p)1n2(p3p2p
a) np3x - 1 b) np3
x + 1 c) 1xp2
d) 1xp e) 1
SUMATIVO 2013 I
23. ¿ Qué lugar ocupa en el desarrollo del
cociente notable: 74
280160
yx
yx
el
término que tiene 252 como grado
absoluto.
a) 31 b) 32 c) 33 d) 34 e) 35
SUMATIVO 2013 III
24. El término 21t en el siguiente
cociente notable: esa
aa,
11
220
2
a) a-2 b) a-1 c) a2-1 d) a
2+3 e) a
2-5
SUMATIVO 2014 I
25. El grado absoluto del décimo primer
término en el cociente que se obtiene
al dividir: esyx
yxn
nn
52
1523
a) 25 b) 28 c) 30 d) 32 e) 34
SUMATIVO 2014 II
26. Los términos 22252615 xaxa
pertenecen a un cociente notable; el
segundo está a dos lugares del
primero. El término central en dicho
cociente notable, es:
a) 1640xa b) 2420xa c) 2820xa
d) 2050xa e) 3050xa
SUMATIVO
27. Si la división:
21
6535
nn
nn
yx
yx es un
cociente notable, entonces el valor de
“n” es:
a) 3 b) 5 c) 6 d) 9 e) 10
SUMATIVO
28. Dado el siguiente cociente notable:
32
1523
yx
yx nn
, entonces el grado
absoluto del décimo primer término
en el cociente notable, es:
a) 28 b) 31 c) 34 d) 37 e) 39
29. Si el desarrollo de la fracción
irracional: 43 43
170
adopta la forma
de un CN muestre el noveno término
del mismo.
a) 413 b) 316 c) 414 d) 442 e) 480
30. Hallar el coeficiente del tercer término
del desarrollo de 42
163
12
x
x
a) 6 b) 4 c) 2 d) 1 e) -1
31. Hallar el número de términos
fraccionarios del desarrollo:
23
3045
xx
xx
a) 15 b) 9 c) 8 d) 7 e) 6
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32. Hallar el número de términos que
tiene el siguiente cociente notable:
22
2122
ax
axaxnn
a) 3 b) 7 c) 11 d) 17 e) 21
33. Determinar el término central en el
cociente notable:
axax
aax
22 22
1414
a) 66 axa b) 66 axa c) 1
d) 77 axa e) 77 axa
34. Luego de expresar:
n n
2
a b a b
ab b
Como una
división notable y siendo uno de los
términos de su cociente notable
5
2 22 a b . Calcular el valor de
“n”.
a) 12 b) 16 c) 17 d) 18 e) 20
35. Si: 66 7 5rx y
es el séptimo término
del desarrollo del C.N.:
11
p q
r
x y
x y
Indicar el término de lugar 5
contado a partir del extremo final.
a) 55 49x y b)
66 42x y c) 55 35x y
d) 44 56x y e)
5 66x y
36. Si 28px y ; 16 2( 6)px y son términos
equidistantes de los extremos en el
cociente notable de 4 7
m nx y
x y
, calcular
“m + n + p”
a) 225 b) 235 c) 245
d) 257 e) 322
37. Reducir:
22 20 18 218
2 2
... 1
( 1)( 1)
x x x xE x
x x x x
a) 6 3 1x x b)
12 6 1x x
c) 6 3 1x x d)
10 5 1x x
e) 12 6 1x x
38. Si:
112 10 8 6
24 20 16
... 1)( )
... 1
x x x xF x
x x x
Hallar: 2F
a) 257 b) 511 c) 25
d) 127 e) 510
39. Calcular m para que el término
independiente del cociente notable
13
5515
mxx
xmx
sea 64.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 8
40. Hallar el término independiente
respecto a “x” en el C.N.
x
y)yx( nn si : n9
n10 yT
a) 4y b) 4y2 c) 4y3
d) 4y4 e) 4y5
41. En el cociente notable de:
22
5050
b2a2
baba
)()(
¿Qué valor adquiere el término central para:
a = 2
2x48
; b =
2
2x48
a) 2 b) 1/2 c) 2
d) 242 e) 48
2