ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y CÁLCULO TEMAS DE CALCULO VECTORIAL
FORMA PARAMÉTRICA DE LA DERIVADA
Si una curva suave C está dada por las ecuaciones 𝑥 = 𝑓(𝑡) y 𝑦 = 𝑔 𝑡 , entonces lapendiente de C en 𝑥, 𝑦 es
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑑𝑦𝑑𝑡𝑑𝑥𝑑𝑡
,𝑑𝑥
𝑑𝑡≠ 0 1𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2=
𝑑
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑑𝑑𝑡
𝑑𝑦𝑑𝑥
𝑑𝑥𝑑𝑡
,𝑑𝑥
𝑑𝑡≠ 0 2𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎
𝑑3𝑦
𝑑𝑥3=
𝑑
𝑑𝑥
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2=
𝑑𝑑𝑡
𝑑2𝑦𝑑𝑥2
𝑑𝑥𝑑𝑡
,𝑑𝑥
𝑑𝑡≠ 0 3𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎
EJEMPLO:𝑑𝑦
𝑑𝑥=?
Si:
𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑦 𝑦 = cos 𝑡
SOLUCIÓN:𝑑𝑥
𝑑𝑡=
𝑑
𝑑𝑡𝑠𝑒𝑛 𝑡 = cos 𝑡 𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑡=
𝑑
𝑑𝑡cos 𝑡 = −𝑠𝑒𝑛 𝑡
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑑𝑦𝑑𝑡𝑑𝑥𝑑𝑡
= −𝑠𝑒𝑛 𝑡
cos 𝑡= − tan 𝑡
∴𝑑𝑦
𝑑𝑥= − tan 𝑡
EJEMPLO DE UNA DERIVACIÓN O DIFERENCIACIÓN REPRESENTADO EN FORMA PARAMÉTRICA
PENDIENTE Y CONCAVIDAD
EJEMPLO: Hallar la pendiente y concavidad mediante las siguientes ecuaciones paramétricas:
𝑥 = 𝑡 𝑦 𝑦 =1
4𝑡2 − 4 , 𝑡 ≥ 0 𝑦 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 2,3
SOLUCION:
De la ecuación “x”, se despeja t:
𝑥 = 𝑡
𝑡 = 𝑥2
Si 𝑥 = 2:𝑡 = 𝑥2
𝑡 = 22 = 4
De la ecuación “y”, se despeja t:
𝑦 =1
4𝑡2 − 4
4𝑦 = 𝑡4 − 4
𝑡2 − 4 = 4𝑦
𝑡 = 4𝑦 + 4
Si 𝑦 = 3:
𝑡 = 4𝑦 + 4
𝑡 = 4 3 + 4
𝑡 = 12 + 4
𝑡 = 16 = 4
Derivando la función “x” y la función “y” con respecto a al parámetro “t”:
𝑑𝑥
𝑑𝑡=
𝑑
𝑑𝑡
1
4𝑡2 − 4
𝑑𝑥
𝑑𝑡=1
42𝑡
𝑑𝑥
𝑑𝑡=1
2𝑡 =
𝑡
2
Y de la otra derivada:𝑑𝑦
𝑑𝑡=
𝑑
𝑑𝑡𝑡
𝑑𝑦
𝑑𝑡=
1
2 𝑡
Se sustituye en la fórmula para obtener la primera derivada 𝑑𝑦
𝑑𝑥:
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑑𝑦𝑑𝑡𝑑𝑥𝑑𝑡
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑡21
2 𝑡
=𝑡 2 𝑡
2 1
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑡 𝑡 = 𝑡1+
12
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑡
32
Utilizando el valor de “t” obtenido anteriormente, da como resultado la pendiente tangente:
𝑚𝑡𝑔 =𝑑𝑦
𝑑𝑥 𝑡=4= 4
32 −−−→ 𝑚𝑡𝑔 = 8
Derivando nuevamente
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2=
𝑑𝑑𝑡
𝑑𝑦𝑑𝑥
𝑑𝑥𝑑𝑡
=
𝑑𝑑𝑡
𝑡32
𝑑𝑑𝑡
𝑡
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2=
32𝑡12
1
2 𝑡
=3𝑡
12 2 𝑡
2 1
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2=3 𝑡 2 𝑡
2 1= 3 𝑡 𝑡 = 3𝑡
Tomando el valor de “t”, da como resultado la concavidad y se verificará si va hacia arriba o hacia abajo (dependiendo del signo):
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2𝑡=4= 3 4 = 12 > 0 −−−→ 𝐶𝑜𝑛𝑐𝑎𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎
UNA CURVA CON DOS RECTAS TANGENTES EN UN PUNTO
EJEMPLO: Encontrar las rectas tangentes en una curva dada mediante las ecuaciones paramétricas
𝑥 = 2𝑡 − 𝜋𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑦 𝑦 = 2 − 𝜋 cos 𝑡
Para el punto 0,2 .
SOLUCIÓN: De la función “y” se despeja el parámetro “t”:
𝑦 = 2 − 𝜋 cos 𝑡
𝑦 − 2 = −𝜋 cos 𝑡
𝑦 − 2
−𝜋= cos 𝑡
−𝑦 − 2
𝜋= cos 𝑡
cos 𝑡 = −𝑦 − 2
𝜋
𝑡 = 𝑎𝑟𝑐 cos −𝑦 − 2
𝜋
Si 𝑦 = 2:
𝑡 = 𝑎𝑟𝑐 cos −2 − 2
𝜋
𝑡 = 𝑎𝑟𝑐 cos0
𝜋
𝑡 = 𝑎𝑟𝑐 cos 0 = 90°
∴ 𝑡 = ±𝜋
2
Entonces, el valor de t es 2. Ahora se derivan las funciones paramétricas “x” y “y”:𝑑𝑥
𝑑𝑡=
𝑑
𝑑𝑡2 − 𝜋 cos 𝑡
𝑑𝑥
𝑑𝑡= −𝜋 −𝑠𝑒𝑛 𝑡
𝑑𝑥
𝑑𝑡= 𝜋 𝑠𝑒𝑛 𝑡
Y también:𝑑𝑦
𝑑𝑡=
𝑑
𝑑𝑡2𝑡 − 𝜋 𝑠𝑒𝑛 𝑡
𝑑𝑦
𝑑𝑡= 2 − 𝜋 cos 𝑡
Sustituyendo, se obtiene la primera derivada:
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑑𝑦𝑑𝑡𝑑𝑥𝑑𝑡
=𝜋 𝑠𝑒𝑛 𝑡
2 − 𝜋 cos 𝑡
Ahora, utilizando el valor positivo de “t”, da como resultado el valor de la primera pendiente:
𝑚1 =𝑑𝑦
𝑑𝑥𝑡=𝜋2
𝑚1 =𝜋 𝑠𝑒𝑛
𝜋2
2 − 𝜋 cos𝜋2
∴ 𝑚1 =𝜋
2
Y utilizando el valor negativo de “t”, da como resultado el valor de la segunda pendiente:
𝑚2 =𝑑𝑦
𝑑𝑥𝑡=−𝜋2
𝑚2 =𝜋 𝑠𝑒𝑛 −
𝜋2
2 − 𝜋 cos −𝜋2
∴ 𝑚2 = −𝜋
2
Entonces:
𝑚1 =𝜋
2𝑦 𝑚2 = −
𝜋
2
De los valores de las pendientes, se obtienen las ecuaciones de la recta:
Para 𝑡 =𝜋
2y el punto 0,2
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚1 𝑥 − 𝑥1
𝑦 − 2 =𝜋
2𝑥 − 0
𝑦 − 2 =𝜋
2𝑥
Para 𝑡 = −𝜋
2y el punto 0,2
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚2 𝑥 − 𝑥1
𝑦 − 2 = −𝜋
2𝑥 − 0
𝑦 − 2 = −𝜋
2𝑥
RESULTADO GRÁFICO DE LAS ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y DE LAS RECTAS TANGENTES
𝑦 − 2 =𝜋
2𝑥 𝑦 − 2 = −
𝜋
2𝑥
𝑚1 =𝜋
2𝑚2 = −𝜋
2
𝑥 = 2𝑡 − 𝜋𝑠𝑒𝑛 𝑡
𝑦 = 2 − 𝜋 cos 𝑡
BIBLIOGRAFÍAS
Colley, S. J. (2013). Cálculo vectorial. México: PEARSON EDUCACIÓN.
Larson, R., & Edwards, B. (2017). Matemáticas 3. Cálculo ce varias variables. Mexico: CENGAGE Learning.
R. Spiegel, M. (1967). Análisis vectorial. México: McGRAW - HILL.