2.1 Interpolación
Se puede expresar una función continua en términos de valores equi-
espaciados (shift-invariant space)
�∅��� = � ����∅ �� �� − ����
�����∅�⋅� es la función interpoladora��⋅� es la función base que interpola
Condición para la función base
interpoladora (función cardinal)
Ejemplo: si ���� = ��� ����
Otra posibilidad: interpolación con funciones B-spline
Vecino más cercano: ∅��� = ����� ⁄ ��� = " �� + � $⁄ � − " �� − � $⁄ �
Interpolación lineal: ���� = �%&'(���� = )1 + � −1 < � < 01 − � 0 ≤ � < 10 ~
��'� = /0'1 = 21' = 00' ≠ 0
���� = ∑ ���∈ℤ �����Una formulación general para las series de Fourier es
donde se utiliza otro tipo de función φk diferente a las funciones sinusoidales.
Procesamiento Digital2.
Por ���� = �%&'(���� ℱ↔9 �:� �;< � =
ejemplo:
�>��� = ���'�/�� − '�
�∈ℤ ℱ↔?>�@� = ���'���A� =
�∈ℤ= �?�@ + 2'C�
�∈ℤ
Sin embargo: �∅��� = �>⊛∅���Porque ���'�/�� − '� ⊛ ∅���
�∈ℤ ℱ↔?∅�@� = ?>�@� ⋅ E�@�= E�@�∑ ?�@ + 2'C��∈ℤ
Si ���� = ��� ���� ℱ↔E�@� = ����$��@�
Supongamos que se tiene una función f:ℝ → ℝ y su tranformación de Fourier
F: ℝ → ℂ
Al multiplicar la función f por un tren de pulsos, se genera una función fd, la
transformación de Fourier Fd, es la convolución de F(ω) con un tren de pulsos.
Pues la transformación de un tren de pulsos es un tren de pulsos, y la
transformación de Fourier de una multiplicación de 2 funciones es la
convolución de la transformación de Fourier cada una de esas funciones
2.2 Muestreo o discretización
Sea f(t) es una función de energía finita y σ-BL (F(ω)= 0 para |ω| > σ).Entonces, ocurre que ?>�@� = ?�@� para |@| < CPor lo tanto ?�@� = ?>�@� ⋅ J���K�@�∀@Como ���� = ��� ��
�� ℱ↔
Finalmente
con C = � ⁄ la frecuencia de muestreo
o Nyquist
Fórmula de
reconstrucción���� =M��'� N�' C�� − '�C�� − '�
�∈ℤ
2.3.1 Interpolación de banda limitada
Dada una función f(x) y una constante T, C = � ⁄����� =M��'� N�' C�� − '�C�� − '�
�∈ℤ ℱ↔?��@� = ?>�@� ⋅ J���K�@�
Por lo que ����� se obtiene al aplicar un filtro pasa-bajos ideal a�>�∙�, por lo
que ����� es σ-BL. El error puntual es ���� −����� = 0, para � = 'y se puede demostrar que
2.3.2 Ejemplo gráfico de muestreo / reconstrucción
2.3 Teorema del Muestreo
Para un intervalo de
periodo<N> (cerca del origen)
Tenemos
y la inversa
Recordando que con el tren de pulsos PQ�@� = ∑ /�@ − '@R��∈ℤ , @R = 2S ⁄
Y que, por otro lado, ?>�@� = T ��'���A� =�∈ℤ =?U�V�, Ω = Tω
Tenemos que es periódica en 2π
con Ω=Tω la frecuencia de la señal discreta.
De esta forma, la transformada de Fourier de una señal discreta será
?U�V� = ���'���A�[
�∈ℤ
2.5 De la Transformada de Fourier de señales discretas
a la Transformada Discreta de Fourier
Una señal discreta f se puede periodizar mediante�0̅'1 = ∑ �0' + ]�1�����
2.4. Transformada de Fourier en tiempo discreto
Finalmente
Discretización de la Transf. de Fourier (periodización de la señal)
Tenemos que la transformación de Fourier de una señal discreta será
Pero
definiendo
Por lo
tanto
Teorema del muestreo La transformada de Fourier es
2.6 Ejemplo de Muestreo y Aliasing
Por Teorema del muestreo
Condiciones para que ocurra Aliasing
superposición
"aliasing": una superposición
en frecuencia
Sin Aliasing Con Aliasing
Filtro Recons-trucción
El esquema completo para el caso ideal, utiliza un filtro pasa-bajos
ideal donde la reconstrucción sería
FiltroAnálisis
ωs: frecuencia de Nyquist
2.7 Diferentes Reconstrucciones
ReconstrucciónFiltro pasa-bajos
vecino más cercano (polinomio orden 0)
FiltroRecons-trucción
FiltroAnálisis
El esquema completo para el caso discretización continua a trazos,
utiliza un filtro sinc donde la reconstrucción sería
Recordando el caso del filtro pasabajos ideal, la reconstrucción sería
Al tener valores discretos y[k], se puede interpolar estos valores
mediante la relación
Sea
Si queremos encontrar el kernel (función base) que interpola los
valores y[k], podemos expresarlo en términos del espacio generado
por la traslación de la función Ø
Para que sea una función interpoladora
Por lo tanto
y la func. cardinal
2.8.1 Espacios invariantes a la traslación entera
Tenemos un espacio generado por la traslación y el escalamiento de una
función �
2.8 Representación de señales análogas mediante imágenes digitales
0
0.2
0.4
0.6
0.8
-6 -4 -2 0 2 4 6
0
0.5
1
-1 -0.5 0 0.5 1
)(1 xβ
0
0.5
1
-1 -0.5 0 0.5 1
)(2xβ
0000
0.250.250.250.25
0.50.50.50.5
0.750.750.750.75
1111
-2-2-2-2 -1-1-1-1 0000 1111 2222
)(4 xβ
)( )()( 11114 xx βββββ ∗∗∗=
0
0.5
1
-1 -0.5 0 0.5 1
)(1 xβ
*0
0.5
1
-1 -0.5 0 0.5 1
)(1 xβ
0
0.5
1
-1 -0.5 0 0.5 1
)(1 xβ
* *
)(2xβ
0
0.5
1
-1 -0.5 0 0.5 1
*
4
3b
( ) ][][ 4
1
1111143 kbbbbbkb mmmmmm ∗∗∗∗=
33
1⋅
* * *
*
Propiedades generales Propiedades de aproximación
Partición de la unidad
)(
)(
)(
1)(
211
211
2
−−
+=∂∂
∈
=−
−
−
−
∈∫
x
xx
C
x
n
nn
nn
x
n
β
ββ
β
β
R
Rl
R∈∀=−∑=
x ,1)(Zl
lxβ
0Tcon
, )~
,(
→
⋅∝ LTffError ϕκ
T: intervalo de muestreo, L:
potencia de aprox
multiresolución
2.8.2 Cálculo de B-splines
][ ky
][1 kw][2 kw][3 kw][3 ky
0000
0.20.20.20.2
0.40.40.40.4
0.60.60.60.6
0.80.80.80.8
1111
0.10.10.10.1 0.20.20.20.2 0.30.30.30.3 0.40.40.40.4 0.50.50.50.5f
W1(f)W2(f)W3(f)Y3(f)
Ejemplo Haar Wavelet
media móvil(ancho m=2)][ky
Filtropasa-bajos
Filtropasa-altos
↓↓↓↓2↓↓↓↓2
Filtropasa-bajos
Filtropasa-altos
↓↓↓↓2↓↓↓↓2
Filtropasa-altos
Filtropasa-bajos
↓↓↓↓2 ↓↓↓↓2][1 ky
][1 kw
][2 kw
][2 ky
][3 ky ][3 kw
H
H
HL
L
L
0000
4444
8888
12121212
16161616
1111 2222 3333 4444 5555 6666 7777
Ejemplo 1D
0000
4444
8888
12121212
16161616
1111 2222 3333 4444 5555 6666 7777
----8888
----4444
0000
4444
8888
1111 2222 3333 4444 5555 6666 7777
La descomposición por wavelets se basa en filtros pasa-bajos y filtros pasa-
altos que se aplican en forma progresiva y que se basan en funciones de
soporte local
2.8.3 Ejemplo de wavelets con B-spline
� Decomposición en diferentes canales de frecuencia
][ky
Filtropasa-altos
Filtropasa-bajos
][1 ky][1 kw
0000
4444
8888
12121212
16161616
1111 2222 3333 4444 5555 6666 7777
-3
-2
-1
0
1
2
3
1 2 3 4 5 6 7
B-splinewavelets
0000
4444
8888
12121212
16161616
1111 2222 3333 4444 5555 6666 7777
Ejemplo 2D Haar Wavelet:
2.8.4 Ejemplo Wavelet con B-spline de orden mayor