ÁREA DE UNA SUPERFICIE EN REVOLUCIÓN TEMAS DE CÁLCULO VECTORIAL
TEOREMA
Sea 𝑓 una función cuya derivada es continua en un intervalo 𝛼 ≤ 𝜃 ≤ 𝛽. El área de lasuperficie generada por revolución de la gráfica de 𝑟 = 𝑓 𝜃 , desde 𝜃 = 𝛼 hasta 𝜃 = 𝛽,alrededor de la recta indicada es la siguiente:
Alrededor del eje polar
𝑆 = 2𝜋 𝛼
𝛽
𝑓 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑓 𝜃 2 + 𝑓′(𝜃) 2 𝑑𝜃
Alrededor de la recta 𝜃 =𝜋
2
𝑆 = 2𝜋 𝛼
𝛽
𝑓 𝜃 cos 𝜃 𝑓 𝜃 2 + 𝑓′(𝜃) 2 𝑑𝜃
ÁREA DE UNA SUPERFICIE EN REVOLUCIÓN
EJEMPLO: Hallar el área de una superficie en revolución 𝑟 = 𝑓 𝜃 = cos 𝜃 alrededor de la recta
𝜃 =𝜋
2
SOLUCIÓN:
𝑓 𝜃 = cos 𝜃 ; 𝑓′ 𝜃 = −𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝑆 = 2𝜋 𝛼
𝛽
𝑓 𝜃 cos 𝜃 𝑓 𝜃 2 + 𝑓′ 𝜃 2 𝑑𝜃 = 2𝜋 0
𝜋
cos 𝜃 cos 𝜃 cos 𝜃 2 + −𝑠𝑒𝑛 𝜃 2 𝑑𝜃
= 2𝜋 0
𝜋
cos2 𝜃 cos2 𝜃 + 𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝑑𝜃
𝑆 = 2𝜋 0
𝜋
cos2 𝜃 𝑑𝜃
Recordando que:
cos2 𝜃 =1
2+1
2cos 2𝜃
Entonces:
𝑆 = 2𝜋 0
𝜋
cos2 𝜃 𝑑𝜃
= 2𝜋 0
𝜋 1
2+1
2cos 2𝜃 𝑑𝜃
= 2𝜋 0
𝜋 1
2𝑑𝜃 +
0
𝜋
cos 2𝜃 𝑑𝜃
𝑆 = 2𝜋 0
𝜋 1
2𝑑𝜃 +
0
𝜋
cos 2𝜃 𝑑𝜃 = 2𝜋1
2 0
𝜋
𝑑𝜃 + 0
𝜋
cos 2𝜃 𝑑𝜃
Aplicando el método de sustitución para la segunda integral:
𝑧 = 2𝜃
𝑑𝑧
𝑑𝜃= 2
𝑑𝑧 = 2 𝑑𝜃
𝑑𝑧
2= 𝑑𝜃
𝑑𝜃 =𝑑𝑧
2
Entonces:
𝑆 = 2𝜋1
2 0
𝜋
𝑑𝜃 + 0
𝜋
cos 2𝜃 𝑑𝜃
= 2𝜋1
2 0
𝜋
𝑑𝜃 + 0
𝜋
cos 𝑧𝑑𝑧
2
= 2𝜋1
2 0
𝜋
𝑑𝜃 +1
2 0
𝜋
cos 𝑧 𝑑𝑧
= 2𝜋1
2 0
𝜋
𝑑𝜃 + 0
𝜋
cos 𝑧 𝑑𝑧 =2𝜋
2 0
𝜋
𝑑𝜃 + 0
𝜋
cos 𝑧 𝑑𝑧
= 𝜋 0
𝜋
𝑑𝜃 + 0
𝜋
cos 𝑧 𝑑𝑧
𝑆 = 𝜋 0
𝜋
𝑑𝜃 + 0
𝜋
cos 𝑧 𝑑𝑧
= 𝜋 𝜃 0𝜋 + 𝑠𝑒𝑛 𝑧 0
𝜋
= 𝜋 𝜃 0𝜋 + 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 0
𝜋
= 𝜋 𝜋 − 0 + 𝑠𝑒𝑛 2𝜋 − 𝑠𝑒𝑛 0
= 2𝜋1
2𝜋
=2𝜋2
2= 𝜋2
∴ 𝑆 = 𝜋2 𝑢2
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL ÁREA DE UNA SUPERFICIE EN REVOLUCIÓN
𝑟 = cos 𝜃
BIBLIOGRAFÍAS
Colley, S. J. (2013). Cálculo vectorial. México: PEARSON EDUCACIÓN.
Larson, R., & Edwards, B. (2017). Matemáticas 3. Cálculo ce varias variables. Mexico: CENGAGE Learning.
R. Spiegel, M. (1967). Análisis vectorial. México: McGRAW - HILL.