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100411- Clculo in!egalTrabajo Colaborativo Fase 2
"U#A DE ACTIVIDADES
$ASE %& TRABA'O COLABORATIVO %
())*(( + CALCULO INTE"RAL
RESENTADO OR
NATALY CARDONA VALDES
C.DI"O9022!10"#0
"RUO200!11$119
RESENTADO AL IN"ENIERO
L%&S FERNANDO AR&AS RA'&RE( )T*tor+
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
ESCUELA DE CIENCIAS B/SICAS, TECNOLO"#A E IN"ENIER#A
0AR1O DE %)(2
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100411- Clculo in!egalTrabajo Colaborativo Fase 2
E3ecicio *
2
5
4+x
x24dx
Sol*,i./
Cal,*lar la i.teral i.ei.ia/
2
5
4+x
x24dx=21+4 ln( 5+212 )
4+xx24
dx=4 ln(1 4x2x2
+x
2)+x24+C
4+xx24
dx
A3li,ar la rela e la s*a/ f(x )g (x )dx= f(x )dx g (x )dx
4 1x24
dx+ xx24
dx
4+xx
24dx=4 ln(1 4x2x
2 +
x
2)
4+xx24
dx
Toar la salia e *.a ,o.ta.te/ af(x )dx=a f(x )dx
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4 1x
24dx
5ara b x2a s*stit*6e.o x=
a
b sec (u )
A3li,ar la s*stit*,i. e *.a i.teral/ f(g (x ))g'(x )dx= f(u)du 7 u=g (x )
x=2 sec (u )
dx=
2
cos (u )tan
(u ) du
4 1(2sec (u))
2
4
2
cos (u )tan (u )du
4
2
cos (u)tan (u)
4 sec2 (u )4
du
Toar la salia e *.a ,o.ta.te/ af(x )dx=a f(x )dx
42
1
cos (u )tan (u )
4 sec2 (u )4
du
Reei.ir
42tan (u)cos (u )
4 sec2 (u )4
du
4 sec2 (u )4=4 (4 sec
2 (u )4
1)
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42
tan (u)cos (u)
4
(4sec
2 (u
)4 1)
du
Reei.ir
42
tan (u )cos (u )
2sec2 (u )1
du
%tili8ar la si*ie.te ie.tia/sec
2 (x )=1 ta n
2 (x )
tan (u )cos (u )
21+1tan2 (u)
du
Toar la salia e *.a ,o.ta.te/ af(x )dx=a f(x )dx
42( 12 )tan (u )cos (u )
1+1tan2 (u )
du
42( 12 )tan (u)cos (u)
tan2 (u )
du
tan2 (u )=( tan (u )) 7 as*ie.o tan (u )0
42( 12 )tan (u )cos (u )tan (u )
du
Reei.ir
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42(1
2) 1
cos (u)du
%tili8ar la si*ie.te ie.tia/1
cos (x)=sec (x )
42(1
2) sec (u )du
%sar la i.teral ,o./ sec (u )du=ln ( tan (u )+sec (u ))
42(12 ) ln ( tan (u )+sec (u))
S*stit*ir/u=sec1( 12x)
42(1
2) ln( tan(sec1( 12x))+sec(sec1( 12x)))
Si3lii,a.o/
4 ln(1 4x2x2
+x
2)
xx24
dx=x24
xx24
dx
A3li,ar la s*stit*,i. e *.a i.teral/ f(g (x ))g'(x )dx= f(u)du 7 u=g (x )
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u=x24
du=2
xdu
dx= 1
2xdu
xu
1
2xdu
12
u
du
Sa,ar la ,o.ta.te/ af(x )dx=a f(x )dx
1
2 1
udu
1
u=u
12
1
2u
1
2 du
A3li,ar la rela e la 3ote.,ia/ xadx=
xa1
a+1 7 o.ea1
1
2
u12+1
12 +1
S*stit*6e.o u=x24
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1
2
(x24 )12+1
1
2
+1
Si3lii,a.o/
x24
4 ln(1 4x2x2
+x
2)+x24+C
Area.o la ,o.sta.te
4 ln(1 4x2x2
+x
2)+x24+C
A3li,ar los l:ites/ 2
5
4+x
x24dx=4 ln( 5+212 )+21=0
(f(x )) limx a+( f(x ))
xb
f(x )dx=F(b )F(a )=lim
a
b
(4 ln(1
4
x2x
2 +
x
2 )+x24 )=0x 2
lim
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x2
(4 ln
(1
4
x2x
2
+x
2
)+x24
)lim
limx a
[ f(x )g (x )]=limxa
f(x ) limx a
g (x )
x 2+ (x24 )
x 2+
(4ln
(1
4
x2x
2 +x
2
))+ lim
lim
x2+(4ln(1 4x2x
2 +
x
2))=0
lim
x2+(4ln(1 4x2x
2 +
x
2))
lim
limx a
[ cf(x )]=c limx a
f(x )
x2+( ln(1 4x2x2 +x2 ))
4lim
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100411- Clculo in!egalTrabajo Colaborativo Fase 2
%sar la ,o.ti.*ia e ln (x ) e. x=2
%sar la 3ro3iea e los l:ites/
(f(x )) limta+( f(x ))
tb
f(x )dx=F(b )F(a )=lim
a
b
Cal,*lar
x2+ 1
4
x2x
2 +
x
2
lim
ln
x2+(1 4x2x
2 +
x
2)=1
lim
x2+(1 4x2x
2 +
x
2)
lim
Ree3la8a.o el valor/
1 4
(2)2(2 )
2 +
(2 )2
Si3lii,a.o
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1
4 ln (1)
Si3lii,a.o
40
0
x 2+ (x24 )=0lim
x2+ (x24 )lim
Ree3la8a.o el valor/
(2)24
Si3lii,a.o
0
x5(4 ln(1 4x2x
2 +
x
2))=4 ln( 5+212 )+21
lim
x5(4 ln(1 4x2x
2 +
x
2)+x24)
lim
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100411- Clculo in!egalTrabajo Colaborativo Fase 2
limx a
[ cf(x ) g (x )]=limx a
f(x ) limx a
g (x )
(4 ln( 14
x2x
2 +
x
2))+ lim
x5(x24 )
x5
lim
x 5
(4 ln
(1
4
x2x
2 +
x
2
))=4 ln
(5+21
2
)lim
x5(4 ln(1 4x2x
2 +
x
2))
lim
limx a
[ cf(x )]=climx a
f(x )
x5( ln(1 4x2x
2 +
x
2))
4 lim
%sar la 3ro3iea e los l:ites/
(f(x )) limta+( f(x ))
tb
f(x )dx=F(b )F(a )=lim
a
b
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Cal,*lar
x5
(1
4
x2x
2 +
x
2
)lim
ln
x5(1 4x2x
2 +
x
2)=5+21
2
lim
x5(1 4x2x
2 +
x
2)
lim
Ree3la8a.o ;/
1
4
(5)2
2 + (
5 )2
Si3lii,a.o
5+21
2
4 ln
(5+21
2
)
x5 (x24 )=21
lim
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100411- Clculo in!egalTrabajo Colaborativo Fase 2
x 5 (x24 )lim
Ree3la8a.o ;/
(5 )24
Si3lii,a.o
21
4 ln(5
+21
2 )+21
4 ln( 5+212 )+210
Si3lii,a.o
21+4 ln(5+212 )
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100411- Clculo in!egalTrabajo Colaborativo Fase 2
5ara resolver iere.tes ti3os e i.terales es i.is3e.sable te.er e. ,*e.ta las 3ro3ieaes
b
Eval*ar las si*ie.tes i.terales/
E'ERCICIO 2
sec2 (x )x
dx
Sol*,i./
sec2
(x )xdx=2tan (x )+C
sec2 (x )x
dx
A3li,ar i.teral 3or s*stit*,i./ f(g (x ))g'(x )dx= f(u)du 7 u=g (x )
u=x
du= 1
2xdx
dx=2udu
sec2 (u)u
2udu
2 sec2 (u ) du
Sa,ar la ,o.ta.te/ af(x )dx=a f(x )dx
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100411- Clculo in!egalTrabajo Colaborativo Fase 2
2 sec2 (u ) du
A3li,ar la rela e i.tera,i./ sec2
(u )du=tan (u )
2 tan (u )
S*stit*ir e. la e,*a,i. u=x
2 tan (u )
Arear *.a ,o.sta.te a la sol*,i.
2 tan (u )+C
7/21/2019 3 Aporte 199 Trabajo Fase 2
16/23
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100411- Clculo in!egalTrabajo Colaborativo Fase 2
E'ERCICIO 4
1
4
1
(1+x )dx
Sol*,i./
1
4
1
(1+x )dx=2+ln (4 )ln (9)
1
4
1
(1+x )dx
Cal,*lar la i.teral i.ei.ia/ 1
1+xdx=2x2ln (x+1 )+C
11+x
dx
A3li,ar i.teral 3or s*stit*,i./ f(g (x ))g'(x )dx= f(u)du 7 u=g (x )
u=x
d u= 1
2x
du= 1
2udx
d x=2udu
11+x
2udx
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2 2u+1
dx
A3li,ar la rela e la s*a/ f(x )g (x )dx= f(x )dx g (x )dx
2du 2u+1
dx
2du=2u
2du
&.teral e *.a ,o.sta.te/ f( a ) dx=xf( a)
2u
2u+1
dx=2ln (u+1 )
2u+1 dx
Sa,ar la ,o.ta.te/ af(x )dx=a f(x )dx
2 1u+1
du
A3li,ar i.teral 3or s*stit*,i./
f(g (x ))g'(x )dx= f(u )du
7
u=g (x )
v=u+1
dv=1du
7/21/2019 3 Aporte 199 Trabajo Fase 2
18/23
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100411- Clculo in!egalTrabajo Colaborativo Fase 2
du=1dv
21
v 1du
2 1v
du
A3li,ar la rela e i.tera,i./ 1
vdv=ln (v )
2 ln (v )
S*stit*ir e. la e,*a,i.v=u+1
2 ln (u+1 )
2u2 ln (u+1 )
S*stit*ir e. la e,*a,i. u=x
2x2ln (x+1)
Arear *.a ,o.sta.te a la sol*,i.
2x2 ln (x+1 )+C
A3li,ar los l:ites/ 1
4
1
1+xdx
1
4
1
1+xdx=4ln (9 )(2ln (4 ) )
7/21/2019 3 Aporte 199 Trabajo Fase 2
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100411- Clculo in!egalTrabajo Colaborativo Fase 2
(f(x )) limta+( f(x ))
tb
f(x )dx=F(b )F(a )=lim
a
b
x1 (2x2 ln (x+1 ) )=2ln (4 )
lim
x1 (2x2 ln (x+1 ) )
lim
A3li,ar la rela e la s*a/ f(x )g (x )dx= f(x )dxg (x )dx
x 1 (2 ln (x+1) )
x 1 (2x )lim
lim
x 1 (2x )=2lim
x 1 (2x )
lim
Ree3la8ar la variable
2(1 )
Si3lii,a.o
2
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20/23
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limx 1
(2ln (x+1 ) )=ln (4 )
limx 1
(2ln (x+1 ) )
limx a
[ cf(x )]=climx a
f(x )
2 limx 1
( ln (x+1 ) )
%sar la ,o.ti.*ia e ln (x ) e. x=1
5ro3iea e l:ites ,o.ti.*os/ Si f(x) es ,o.ti.*o alreeor e x=g(a) 6 g(x)
es ,o.ti.*o alreeor ex=a
7 e.to.,eslimx a
f(g (x ))=f (limx a g (x ))
Cal,*larln( limx 1 (x+1 ))
limx 1 (x+1 )=2
limx 1
(x+1 )
S*stit*ir variable
(1 )+1
Si3lii,a.o/
2
2 ln (2 )
Si3lii,a.o/
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ln (4 )
2
ln
(4
)
limx 4
(2x2ln (x+1 ) )=4ln (9 )
limx4
(2x2ln (x+1 ) )
A3li,ar la rela e la s*a/ f(x )g (x )dx= f(x )dxg (x )dx
limx 4
(2x )limx 4
(2ln (x+1 ) )
limx 4
(2x )=4
S*stit*ir variable
2(4)
Si3lii,a.o
4
limx4
(2ln (x+1) )=ln (9 )
limx 4
(2ln (x+1 ) )
limx a
[ cf(x )]=climx a
f(x )
2 limx 4
( ln (x+1 ) )
7/21/2019 3 Aporte 199 Trabajo Fase 2
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100411- Clculo in!egalTrabajo Colaborativo Fase 2
%sar la ,o.ti.*ia e ln (x ) e. x=4
5ro3iea e l:ites ,o.ti.*os/ Si f(x) es ,o.ti.*o alreeor e x=g(a) 6 g(x)
es ,o.ti.*o alreeor e x=a 7 e.to.,es
limx a
f(g (x ))=f (limx a g (x ))
Cal,*larln( limx 4 (x+1 ))
limx 4
(x+1 )=3
limx 4
(x+1 )
S*stit*ir la variable
(4 )+1
Si3lii,a.o
3
2 ln (3 )
2 ln (3 )
Si3lii,a.o
ln (9 )
4 ln (9 )
4 ln (9 )(2ln (4 ))
4 ln (9 )(2ln (4 ))
7/21/2019 3 Aporte 199 Trabajo Fase 2
23/23
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Si3lii,a.o
2+ln (4 )ln (9 )