7/31/2019 4 Sistemas de Ecuaciones No Lineales SENL
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Sistema de Ecuaciones No Lineales
Mg. Hermes Pantoja Carhuavilca
Universidad Nacional Mayor de San Marcos
Facultad de Ingenieria Industrial
Mtodos Computacionales
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73
Sistema de
Ecuaciones No
Lineales
Mg. Hermes
Pantoja C.
Introduccin
Introduccin
Localizacin de
RacesLocalizacin de Races
Mtodos de
Solucin
Biseccin
Regula Falsi
Mtodo de la secante
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
Mtodo de Muller
Sistema de ENL
Introduccin
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
Universidad Nacional Mayor
de San MarcosFacultad de Ingenieria
Industrial
Agenda
IntroduccinIntroduccin
Localizacin de RacesLocalizacin de Races
Mtodos de SolucinBiseccinRegula FalsiMtodo de la secanteMtodo del Punto Fijo
Mtodo de NewtonMtodo de Muller
Sistema de ENLIntroduccinMtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
7/31/2019 4 Sistemas de Ecuaciones No Lineales SENL
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Sistema de
Ecuaciones No
Lineales
Mg. Hermes
Pantoja C.
Introduccin
3 Introduccin
Localizacin de
RacesLocalizacin de Races
Mtodos de
Solucin
Biseccin
Regula Falsi
Mtodo de la secante
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
Mtodo de Muller
Sistema de ENL
Introduccin
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
Universidad Nacional Mayor
de San MarcosFacultad de Ingenieria
Industrial
Antecedente
La finalidad principal de las matemticas aplicadas esdeterminar valores de x que cumplan con f(x) = 0. A
estos valores les denominamos races o ceros de laecuacin.
Para polinomios de primer a tercer orden existenfrmulas que permiten lograr el objetivo antes dicho, sinembargo para grados superiores la situacin se complica.
En muchos casos no se puede resolver la ecuacin deforma analtica salvo por aproximaciones sucesivas.
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Sistema de
Ecuaciones No
Lineales
Mg. Hermes
Pantoja C.
Introduccin
Introduccin
Localizacin de
Races4 Localizacin de Races
Mtodos de
Solucin
Biseccin
Regula Falsi
Mtodo de la secante
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de NewtonMtodo de Muller
Sistema de ENL
Introduccin
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
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de San MarcosFacultad de Ingenieria
Industrial
Mtodos Grficos
Los mtodos Grficos son utiles porque proporcionan unvalor inicial a ser usado por otros mtodos
Ejemplo
Localice grficamente las races de f(x) = 0, siendo
f(x) =
|x
| ex
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Sistema de
Ecuaciones No
Lineales
Mg. Hermes
Pantoja C.
Introduccin
Introduccin
Localizacin de
Races5 Localizacin de Races
Mtodos de
Solucin
Biseccin
Regula Falsi
Mtodo de la secante
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de NewtonMtodo de Muller
Sistema de ENL
Introduccin
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
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de San MarcosFacultad de Ingenieria
Industrial
Solucin:
En primer lugar, se debe reescribir la ecuacin
f(x) = 0 . . . (1)
a una forma equivalente
f1(x) = f2(x) . . . (2)
Siendo f1 y f2 funciones cuyas grficas sean ms simple quela de f. Asimismio las races de (1) sern soluciones de (2),i.e, los puntos de interseccin de f1 y f2.
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Sistema de
Ecuaciones No
Lineales
Mg. Hermes
Pantoja C.
Introduccin
Introduccin
Localizacin de
Races6 Localizacin de Races
Mtodos de
Solucin
Biseccin
Regula Falsi
Mtodo de la secante
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de NewtonMtodo de Muller
Sistema de ENL
Introduccin
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
Universidad Nacional Mayor
de San MarcosFacultad de Ingenieria
Industrial
Continuacin...
De la ecuacin, entoncesf
(x
) = 0 |x| =
ex
Haciendo: f1(x) = |x|, f2(x) = ex, graficando f1 y f2.Del grfico verificamos que el punto(nico) de interseccin,x, se sita en el intervalo 1, 0.
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Sistema de
Ecuaciones No
Lineales
Mg. Hermes
Pantoja C.
Introduccin
Introduccin
Localizacin de
RacesLocalizacin de Races
7 Mtodos de
Solucin
Biseccin
Regula Falsi
Mtodo de la secante
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de NewtonMtodo de Muller
Sistema de ENL
Introduccin
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
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de San MarcosFacultad de Ingenieria
Industrial
Mtodos de los Intervalos
Estos mtodos empiezan con un intervalo que contiene
a la raz y un procedimiento es usado para reducir elintervalo que contiene a la raz.
Ejemplos de mtodos de intervalos : Mtodo de la Biseccin Mtodo de Falsa posicin
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Sistema de
Ecuaciones No
Lineales
Mg. Hermes
Pantoja C.
Introduccin
Introduccin
Localizacin de
RacesLocalizacin de Races
8 Mtodos de
Solucin
Biseccin
Regula Falsi
Mtodo de la secante
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de NewtonMtodo de Muller
Sistema de ENL
Introduccin
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
Universidad Nacional Mayor
de San MarcosFacultad de Ingenieria
Industrial
Mtodos de Solucin
Muchos mtodos son disponibles para resolver ecuaciones nolineales
Mtodo de Biseccin Mtodo de Newton
Mtodo de la Secante
Mtodo de Falsa Posicin
Mtodo de Muller Iteracin del Punto Fijo
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Sistema de
Ecuaciones No
Lineales
Mg. Hermes
Pantoja C.
Introduccin
Introduccin
Localizacin de
RacesLocalizacin de Races
Mtodos de
Solucin
9 Biseccin
Regula Falsi
Mtodo de la secante
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de NewtonMtodo de Muller
Sistema de ENL
Introduccin
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
Universidad Nacional Mayor
de San MarcosFacultad de Ingenieria
Industrial
Teorema
Teorema (Bolzano)Sea f : [a, b] R una funcin continua en [a, b] tal quef(a) f(b) < 0. Entonces existe c a, b tal que f (c) = 0.
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Sistema de
Ecuaciones No
Lineales
Mg. Hermes
Pantoja C.
Introduccin
Introduccin
Localizacin deRaces
Localizacin de Races
Mtodos de
Solucin
10 Biseccin
Regula Falsi
Mtodo de la secante
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
Mtodo de Muller
Sistema de ENL
Introduccin
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
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de San MarcosFacultad de Ingenieria
Industrial
Mtodo de la Biseccin
Requisitos:f(x) es continua en el intervalo [a, b] , f(a) y f(b) debentener signo opuesto.
Definicin (Mtodo de la Biseccin:)
Dado un intervalo [a, b] que contiene un cero de f (x) , encada iteracin, el mtodo de la Biseccin reduce el intervalo
que contiene al cero a un 50%.
Los requisitos garantizan la existencia de al menos una raz ren [a, b] tal que f (r) = 0 y el mtodo de Biseccin converge
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Sistema de
Ecuaciones No
Lineales
Mg. Hermes
Pantoja C.
Introduccin
Introduccin
Localizacin deRaces
Localizacin de Races
Mtodos de
Solucin
11 Biseccin
Regula Falsi
Mtodo de la secante
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
Mtodo de Muller
Sistema de ENL
Introduccin
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
Universidad Nacional Mayor
de San MarcosFacultad de Ingenieria
Industrial
Continuacin...
Clculo de las races f(x) = 0Primera Iteracin:Punto medio:
x1 =
a+ b
2Evaluacin de la funcinen el punto medio f(x1)Determinacin delnuevo intervalo de
bsqueda.Si (f(x1).f(a) < 0) entonces: b x1Si (f(x1).f(a) > 0) entonces: a x1 (En el dibujo)
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Sistema de
Ecuaciones No
Lineales
Mg. Hermes
Pantoja C.
Introduccin
Introduccin
Localizacin deRaces
Localizacin de Races
Mtodos de
Solucin
12 Biseccin
Regula Falsi
Mtodo de la secante
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
Mtodo de Muller
Sistema de ENL
Introduccin
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
Universidad Nacional Mayor
de San MarcosFacultad de Ingenieria
Industrial
Continuacin...
Segunda Iteracin:Punto medio:
x2 =a+ b
2Evaluacin de la funcinen el punto medio f(x2)Determinacin delnuevo intervalo de
bsqueda.Si (f(x2).f(a) < 0) entonces: b x2Si (f(x2).f(a) > 0) entonces: a x2 (En el dibujo)
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Sistema de
Ecuaciones No
Lineales
Mg. Hermes
Pantoja C.
Introduccin
Introduccin
Localizacin deRaces
Localizacin de Races
Mtodos de
Solucin
13 Biseccin
Regula Falsi
Mtodo de la secante
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
Mtodo de Muller
Sistema de ENL
Introduccin
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
Universidad Nacional Mayor
de San MarcosFacultad de Ingenieria
Industrial
Continuacin...
Tercera Iteracin:Punto medio:
x3 =a+ b
2Evaluacin de la funcinen el punto medio f(x3)Determinacin delnuevo intervalo de
bsqueda.
Si (f(x3).f(a) < 0) entonces: b x3Si (f(x3).f(a) > 0) entonces: a x3 (En el dibujo)
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Sistema de
Ecuaciones No
Lineales
Mg. Hermes
Pantoja C.
Introduccin
Introduccin
Localizacin deRaces
Localizacin de Races
Mtodos de
Solucin
14 Biseccin
Regula Falsi
Mtodo de la secante
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
Mtodo de Muller
Sistema de ENL
Introduccin
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
Universidad Nacional Mayor
de San MarcosFacultad de Ingenieria
Industrial
Ejemplo:
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Sistema de
Ecuaciones No
Lineales
Mg. Hermes
Pantoja C.
Introduccin
Introduccin
Localizacin deRaces
Localizacin de Races
Mtodos de
Solucin
15 Biseccin
Regula Falsi
Mtodo de la secante
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
Mtodo de Muller
Sistema de ENL
Introduccin
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
Universidad Nacional Mayor
de San MarcosFacultad de Ingenieria
Industrial
Ejemplo:
7/31/2019 4 Sistemas de Ecuaciones No Lineales SENL
16/73
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Sistema de
Ecuaciones No
Lineales
Mg. Hermes
Pantoja C.
Introduccin
Introduccin
Localizacin deRaces
Localizacin de Races
Mtodos de
Solucin
16 Biseccin
Regula Falsi
Mtodo de la secante
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
Mtodo de Muller
Sistema de ENL
Introduccin
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
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Industrial
Nmero de Iteraciones
Cuntas iteraciones deben realizarse para asegurar que laraz buscada dista menos de de la solucin exacta?Al comenzar el intervalo de bsqueda mide: L0 = (b a)
Tras la primera iteracin el nuevo intervalo de bsquedamide: L1 =
1
2L0 =
1
2(b a)
Tras la segunda iteracin el nuevo intervalo de bsqueda
mide: L2 =1
2L1 =
1
22(b a)
. . .Tras la n-sima iteracin el nuevo intervalo de bsqueda
mide: Ln =1
2Ln1 =
1
2n(b a)
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Sistema de
Ecuaciones No
Lineales
Mg. Hermes
Pantoja C.
Introduccin
Introduccin
Localizacin deRaces
Localizacin de Races
Mtodos de
Solucin
17 Biseccin
Regula Falsi
Mtodo de la secante
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
Mtodo de Muller
Sistema de ENL
Introduccin
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
Universidad Nacional Mayor
de San MarcosFacultad de Ingenieria
Industrial
Continuacin...
Si se toma como raz aproximada tras n iteraciones el puntomedio del intervalo de bsqueda (punto xn+1) la distancia a
la raz exacta x ser menor que1
2Ln.
Luego:
7/31/2019 4 Sistemas de Ecuaciones No Lineales SENL
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Sistema de
Ecuaciones No
Lineales
Mg. Hermes
Pantoja C.
Introduccin
Introduccin
Localizacin deRaces
Localizacin de Races
Mtodos de
Solucin
18 Biseccin
Regula Falsi
Mtodo de la secante
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
Mtodo de Muller
Sistema de ENL
Introduccin
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
Universidad Nacional Mayor
de San MarcosFacultad de Ingenieria
Industrial
Continuacin...
Una precisin mayor que se asegura realizando un nmerode iteraciones (n) tal que:
|x xn+1| b a2(n+1)
< 2n+1 > b a
(n + 1) ln(2) > lnb
a
n >ln
b a
ln(2) 1
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Sistema de
Ecuaciones No
Lineales
Mg. Hermes
Pantoja C.
Introduccin
Introduccin
Localizacin deRaces
Localizacin de Races
Mtodos de
Solucin
19 Biseccin
Regula Falsi
Mtodo de la secante
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
Mtodo de Muller
Sistema de ENL
Introduccin
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
Universidad Nacional Mayor
de San MarcosFacultad de Ingenieria
Industrial
Ejemplo
Ejemplo
Encontrar la raz de la funcin f (x) = x3 3x + 1 en elintervalo [0, 1]Solucin:
f(x) es continua
f(0) = 1, f(1) = 1 f(a) f(b) < 0 Podemos usar el mtodo de Biseccin para encontrar la
raz.
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Sistema de
Ecuaciones No
LinealesMg. Hermes
Pantoja C.
Introduccin
Introduccin
Localizacin deRaces
Localizacin de Races
Mtodos de
Solucin
20 Biseccin
Regula Falsi
Mtodo de la secante
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
Mtodo de Muller
Sistema de ENL
Introduccin
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
Universidad Nacional Mayor
de San MarcosFacultad de Ingenieria
Industrial
Ejemplo:
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Sistema de
Ecuaciones No
LinealesMg. Hermes
Pantoja C.
Introduccin
Introduccin
Localizacin deRaces
Localizacin de Races
Mtodos de
Solucin
21 Biseccin
Regula Falsi
Mtodo de la secante
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
Mtodo de Muller
Sistema de ENL
Introduccin
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
Universidad Nacional Mayor
de San MarcosFacultad de Ingenieria
Industrial
Algoritmo de la Biseccin
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Sistema de
Ecuaciones No
LinealesMg. Hermes
Pantoja C.
Introduccin
Introduccin
Localizacin deRaces
Localizacin de Races
Mtodos de
Solucin
22 Biseccin
Regula Falsi
Mtodo de la secante
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
Mtodo de Muller
Sistema de ENL
Introduccin
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
Universidad Nacional Mayor
de San Marcos
Facultad de Ingenieria
Industrial
Anlisis del Mtodo de Biseccin
Teorema (Teorema de la Biseccin)
Si f es continua en [a, b], y existe s, una nica raz def(x) = 0. Si f (a) f(b) < 0 entonces:
|s xk+1| b a2k+1
k = 0, 1, 2, . . .
y la sucesin {xk} converge a la raz s.
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Sistema de
Ecuaciones No
LinealesMg. Hermes
Pantoja C.
Introduccin
Introduccin
Localizacin deRaces
Localizacin de Races
Mtodos de
Solucin
23 Biseccin
Regula Falsi
Mtodo de la secante
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
Mtodo de Muller
Sistema de ENL
Introduccin
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
Universidad Nacional Mayor
de San Marcos
Facultad de Ingenieria
Industrial
Ejemplo
Ejemplo
Usar el mtodo de la biseccin para aproximar la raz
f(x) = ex ln x, comenzando en el intervalo [1, 2] con unaprecisin de 3 c.d.e
Solucin: a = 1; b = 2
x1 =a+ b
2= 1.5
f(x1) = 0.1823 < 0; f(1) > 0; f(2) < 0De donde vemos que la raz se encuentra en el intervalo[1,1.5]a=1; b=1.5
La nueva aproximacin es x2 =1 + 1.5
2= 1.25
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Sistema de
Ecuaciones No
LinealesMg. Hermes
Pantoja C.
Introduccin
Introduccin
Localizacin deRaces
Localizacin de Races
Mtodos de
Solucin
24 Biseccin
Regula Falsi
Mtodo de la secante
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
Mtodo de Muller
Sistema de ENL
Introduccin
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
Universidad Nacional Mayor
de San Marcos
Facultad de Ingenieria
Industrial
Con una precisin de 3 cifras decimales exactas:Tol = 0.5 103
n ln
2 1
0.5
103ln 2 1 = 9.9658
Para alcanzar la precisin se requiere como mnimo: 10iteraciones. Tras 10 iteraciones se alcanza la precisindeseada.
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Sistema de
Ecuaciones No
LinealesMg. Hermes
Pantoja C.
Introduccin
Introduccin
Localizacin deRaces
Localizacin de Races
Mtodos de
Solucin
25 Biseccin
Regula Falsi
Mtodo de la secante
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
Mtodo de Muller
Sistema de ENL
Introduccin
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
Universidad Nacional Mayor
de San Marcos
Facultad de Ingenieria
Industrial
Tabla
7/31/2019 4 Sistemas de Ecuaciones No Lineales SENL
26/73
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Sistema de
Ecuaciones No
LinealesMg. Hermes
Pantoja C.
Introduccin
Introduccin
Localizacin deRaces
Localizacin de Races
Mtodos de
Solucin
26 Biseccin
Regula Falsi
Mtodo de la secante
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
Mtodo de Muller
Sistema de ENL
Introduccin
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
Universidad Nacional Mayor
de San Marcos
Facultad de Ingenieria
Industrial
Algoritmo
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27/73
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Sistema de
Ecuaciones No
LinealesMg. Hermes
Pantoja C.
Introduccin
Introduccin
Localizacin deRaces
Localizacin de Races
Mtodos de
Solucin
27 Biseccin
Regula Falsi
Mtodo de la secante
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
Mtodo de Muller
Sistema de ENL
Introduccin
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
Universidad Nacional Mayor
de San Marcos
Facultad de Ingenieria
Industrial
Observaciones
Ventajas Simple y fcil de implementar
Se evalua solo una funcin por iteracin
el tamao del intervalo que contiene el cero es reducido
al 50% despus de cada iteracin. El nmero de iteraciones pueden ser determinado a
priori
No se necesita la derivada.
La funcin no tiene que ser diferenciableDesventajas
Lenta
Aproximaciones intermedias buenas podran ser
descartadas
M d R l F l i (M i i )
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28/73
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Sistema de
Ecuaciones No
LinealesMg. Hermes
Pantoja C.
Introduccin
Introduccin
Localizacin deRaces
Localizacin de Races
Mtodos de
Solucin
Biseccin
28 Regula Falsi
Mtodo de la secante
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
Mtodo de Muller
Sistema de ENL
Introduccin
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
Universidad Nacional Mayor
de San Marcos
Facultad de Ingenieria
Industrial
Mtodo Regula Falsi (Motivacin)
Cal es la recta que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b))?
y =f(b)
f(a)
b a (x a) + f(a)
Cual es la interseccin de la recta con el eje X.
c = a f(a) b af(b) f(a)
M d R l F l i
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73
Sistema de
Ecuaciones No
LinealesMg. Hermes
Pantoja C.
Introduccin
Introduccin
Localizacin deRaces
Localizacin de Races
Mtodos de
Solucin
Biseccin
29 Regula Falsi
Mtodo de la secante
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
Mtodo de Muller
Sistema de ENL
Introduccin
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
Universidad Nacional Mayor
de San Marcos
Facultad de Ingenieria
Industrial
Mtodo Regula Falsi
1. Determinar un intervalo [a,b] tal que f(a) tiene signodistinto de f(b).
2. Hallar el punto c que divide el intervalo [a,b] en partesproporcionales a f(a) y f(b).
c = a f(a) b af(b) f(a) =
af(b) bf(a)f(b) f(a)
3. La interseccin de esta recta con el eje X es unaaproximacin a la raz
4. Elegir, entre [a,c] y [c,b], un intervalo en el que lafuncin cambie de signo.
5. Repetir los pasos 2 y 3 hasta conseguir la precisindeseada.
Mt d R l F l i
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Sistema de
Ecuaciones No
LinealesMg. Hermes
Pantoja C.
Introduccin
Introduccin
Localizacin deRaces
Localizacin de Races
Mtodos de
Solucin
Biseccin
30 Regula Falsi
Mtodo de la secante
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
Mtodo de Muller
Sistema de ENL
Introduccin
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
Universidad Nacional Mayor
de San Marcos
Facultad de Ingenieria
Industrial
Mtodo Regula Falsi
c =af(b) bf(a)
f(b) f(a)
Al it
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31/73
73
Sistema de
Ecuaciones No
LinealesMg. Hermes
Pantoja C.
Introduccin
Introduccin
Localizacin deRaces
Localizacin de Races
Mtodos de
Solucin
Biseccin
31 Regula Falsi
Mtodo de la secante
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
Mtodo de Muller
Sistema de ENL
Introduccin
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
Universidad Nacional Mayor
de San Marcos
Facultad de Ingenieria
Industrial
Algoritmo
Algoritmo del Mtodo de Regula Falsi
1. a0 = a, b0 = b2. Para n = 0, 1, . . . , hacer:
mn =anf(bn) bnf(an)
f(bn) f(an) Si f(an)f(mn) < 0, tomar an+1 = an, bn+1 = mn; en
caso contrario, tomar an+1 = mn, bn+1 = bn
Ejemplo
7/31/2019 4 Sistemas de Ecuaciones No Lineales SENL
32/73
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Sistema de
Ecuaciones No
LinealesMg. Hermes
Pantoja C.
Introduccin
Introduccin
Localizacin deRaces
Localizacin de Races
Mtodos de
Solucin
Biseccin
32 Regula Falsi
Mtodo de la secante
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
Mtodo de Muller
Sistema de ENL
Introduccin
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
Universidad Nacional Mayor
de San Marcos
Facultad de IngenieriaIndustrial
Ejemplo
Ejemplo
Usar el mtodo Posicin Falsa para aproximar la raz
f(x) = ex ln x, comenzando en el intervalo [1, 2].
Solucin: a = 1; b = 2x1 = a f(a) b a
f(b) f(a) = 1 f(1)2 1
f(2) f(1) =1.397410482f(x1) = 0.087384509 < 0; f(1) > 0; f(2) < 0De donde vemos que la raz se encuentra en el intervalo[1,1.397410408]a=1; b=1.397410408La nueva aproximacin es x2 =1.321130513.
Mt d d l t
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33/73
73
Sistema de
Ecuaciones No
LinealesMg. Hermes
Pantoja C.
Introduccin
Introduccin
Localizacin deRaces
Localizacin de Races
Mtodos de
Solucin
Biseccin
Regula Falsi
33 Mtodo de la secante
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
Mtodo de Muller
Sistema de ENL
Introduccin
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
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Facultad de IngenieriaIndustrial
Mtodo de la secante
Dada una funcin f(x) contnua en el intervalo [a, b] dondeexiste una nica raiz, es posible determinar una aproximacinde la raiz a partir de la interseccin de la secante de la curva
en dos puntos x0 y x1 con el eje X.
xn+1 = xn f(xn)
xn xn1f(xn) f(xn1)
; n 1
xn+1 = xn1f(xn) xnf(xn1)f(xn) f(xn1)
Mtodo de la secante
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Sistema de
Ecuaciones No
LinealesMg. Hermes
Pantoja C.
Introduccin
Introduccin
Localizacin deRaces
Localizacin de Races
Mtodos de
Solucin
Biseccin
Regula Falsi
34 Mtodo de la secante
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
Mtodo de Muller
Sistema de ENL
Introduccin
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
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Mtodo de la secante
Algoritmo
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Introduccin
Introduccin
Localizacin deRaces
Localizacin de Races
Mtodos de
Solucin
Biseccin
Regula Falsi
35 Mtodo de la secante
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
Mtodo de Muller
Sistema de ENL
Introduccin
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
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Algoritmo
Algoritmo del Mtodo de la Secante
1. x0 = a, x1 = b2. Para n = 1, 2, . . ., hacer
xn+1 =xn1f(xn) xnf(xn1)
f(xn)
f(xn1)
Ejemplo
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Ecuaciones No
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Introduccin
Introduccin
Localizacin deRaces
Localizacin de Races
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Solucin
Biseccin
Regula Falsi
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Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
Mtodo de Muller
Sistema de ENL
Introduccin
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
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Ejemplo
Ejemplo
Usar el mtodo de la secante para aproximar la raz
f(x) = ex2 x, comenzando con x0 = 0 , x1 = 1.
Solucin:Tenemos que f(x0) = 1 y f(x1) = 0.6321Sustituimos en la frmula de la secante para calcular laaproximacin x2
x2 = x1 f(x1)(x1
x0
f(x1) f(x0) ) == 1 f(1)( 1 0
f(1) f(0) ) = 0.6127
Mtodo del Punto Fijo
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Ecuaciones No
LinealesMg. Hermes
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Introduccin
Introduccin
Localizacin deRaces
Localizacin de Races
Mtodos de
Solucin
Biseccin
Regula Falsi
Mtodo de la secante
37 Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
Mtodo de Muller
Sistema de ENL
Introduccin
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
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Mtodo del Punto Fijo
Definicin (Punto Fijo)Un punto fijo de una funcin g es nmero p tal queg(p) = p.
Ejemplo
Para calcular los puntos fijos de la funcin g(x) = x2
6,consideramos la ecuacin g(x) = x, i.e. x2 x 6 = 0.Puntos fijos: 3 y2.Conexiones entre dos problemas: bsqueda de los puntosfijos y bsqueda de las races
Si g tiene punto fijo p, entonces f(x) = g(x) x tiene uncero en p. Si f tiene una raz p, entonces g(x) = x f(x)tiene punto fijo p (Tambin g(x) = x + 5f(x) tiene puntofijo p). Hay muchas formas de construir g que tiene punto
fijo p.
Mtodo del Punto Fijo
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Ecuaciones No
LinealesMg. Hermes
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Introduccin
Introduccin
Localizacin deRaces
Localizacin de Races
Mtodos de
Solucin
Biseccin
Regula Falsi
Mtodo de la secante
38 Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
Mtodo de Muller
Sistema de ENL
Introduccin
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
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Mtodo del Punto Fijo
1. Transformar la ecuacinf
(x
) = 0 en una ecuacinequivalente de punto fijo: x = g(x).
2. Tomar una estimacin inicial x0 del punto fijo x de g.
(x punto fijo de g si g(x) = x).
3. Para k = 1, 2, 3, . . . hasta que converja, iterar
xn+1 = g(xn).
Teorema (Sobre la existencia y unicidad del punto fijo)
a) Sea g C[a, b] tal que g(x) [a, b] para todox [a, b]. Entonces g tiene un punto fijo en [a, b].
b) Sea g C[a, b] tal que g(x) [a, b] para todox [a, b], g existe en todo punto de a, b y existek 0, 1 tal que |g(x)| k para todo x a, b.Entonces el punto fijo de g en [a, b] es nico.
Convergencia
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Sistema de
Ecuaciones No
LinealesMg. Hermes
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Introduccin
Introduccin
Localizacin deRaces
Localizacin de Races
Mtodos de
Solucin
Biseccin
Regula Falsi
Mtodo de la secante
39 Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
Mtodo de Muller
Sistema de ENL
Introduccin
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
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Convergencia
Convergencia
Divergencia
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Introduccin
Introduccin
Localizacin deRaces
Localizacin de Races
Mtodos de
Solucin
Biseccin
Regula Falsi
Mtodo de la secante
40 Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
Mtodo de Muller
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Introduccin
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
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Divergencia
Divergencia
Ejemplos
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Introduccin
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Biseccin
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41 Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
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Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
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Ejemplos
EjemploVerificar si la funcin g(x) =
x2 13
cumple las condiciones
del teorema en el intervalo [1, 1]; en el intervalo [3, 4].Calcular los puntos fijos de g.
EjemploConsidere la funcin f (x) = x5 + x 1 en el intervalo [0, 1].Construir una funcin g que cumpla con las condiciones del
teorema y que tenga el punto fijo p. Probar las siguientes
funciones g(x) = 1 x5
g(x) =1
x4 + 1 g(x) = 5
1
x
Teorema
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Introduccin
Introduccin
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42 Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
Mtodo de Muller
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Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
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Teorema
Teorema (Iteracin de punto fijo)Sea g C[a, b] tal que g(x) [a, b] para todo x [a, b],existe g en a, b y existe k 0, 1 tal que |g(x)| k paratodo x a, b. Entonces, para cualquier nmerop0 [a, b], la sucesin {pn}
n=1 definida por
pn = g(pn1), n 1
converge al punto fijo de la funcin g en [a, b]. Presentado
como cota de error
|pn p| kn
1 k|p0 p1|, n 1
Ejemplo
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Localizacin deRaces
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Regula Falsi
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43 Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
Mtodo de Muller
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Introduccin
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
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j p
EjemploUsar el mtodo del punto fijo para aproximar las raices de
f(x) = x2 2x 3, comenzando con x0 = 4.Solucin:
Existen muchas formas de cambiar la ecuacin f(x) = 0 a laforma x = F(x) , efectuando manipulaciones algebraicassimples.Para el ejemplo, sea:
x = F(x) = 2x + 3Evaluamos la funcin F en un punto inicial x0x1 = F(x0) = F(4) = 3.31662x2 = F(x1) = F(3.31662) = 3.03439
Mtodo de Newton
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44 Mtodo de Newton
Mtodo de Muller
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Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
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El mtodo de Newton-Raphson, tambin llamadosencillamente mtodo de Newton, es el mtodo ms famosopara hallar los ceros de una funcin. A diferencia del mtodode la biseccin, necesita que se evale la derivada f(x)
adems de la propia funcin. Es lejos uno de los mtodos ms usados para resolver
ecuaciones.
A partir de una estimacin inicial x0 se efecta un
desplazamiento a lo largo de la tangente hacia suinterseccin con el eje x, y se toma sta como lasiguiente aproximacin.
Interpretacin Geomtrica
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Ecuaciones No
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Introduccin
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Mtodo del Punto Fijo
45 Mtodo de Newton
Mtodo de Muller
Sistema de ENL
Introduccin
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
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p
La ecuacin de la rectatangente es:
y
f(xn) = f
(xn)(x
xn)
Cuando y = 0, x = xn+1o sea
0 f(xn) = f(xn)(xn+1 xn)o
xn+1 = xn f(xn)f(xn)
Continuacin...
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Mtodo del Punto Fijo
46 Mtodo de Newton
Mtodo de Muller
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Introduccin
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
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Ms concretamente el mtodo de Newton consiste engenerar las sucesin
xi+1 = xi f(xi)
f(xi)
i=0
a partir de un valor x0 dado.Si denotamos
g(x) = x
f(x)
f
(x)Estamos en presencia de un caso particular del mtodo delPunto Fijo.
Ejemplo
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47 Mtodo de Newton
Mtodo de Muller
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Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
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EjemploAproximar la solucin de la ecuacin x2 4 = 0 utilizando elmtodo de Newton, x0 = 1, x0 = 3
Propiedad
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48 Mtodo de Newton
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Mtodo del Punto Fijo
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Propiedad
Si la funcin g(x) = x f(x)f(x)
definida en [a, b] toma
valores en [a, b], es de clase C1([a, b]) y adems:
|g(x)| = f(x).f(x)(f(x))2
< 1, x [a, b]
entonces la sucesin dada porxi+1 = xif(xi)
f(xi)
i=0obtenida a partir de cualquier punto x0 [a, b] convergehacia la nica solucin de la ecuacin f (x) = 0 en [a, b].
Mtodo de Muller
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49 Mtodo de Muller
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El mtodo de Muller es similar al mtodo de la secante, peroa diferencia de ste; el mtodo de Mller hace uso de unaparbola para aproximar a la raz. El mtodo consiste en
obtener los coeficientes de la parbola que pasan por los trespuntos, Dichos coeficientes se sustituyen en la frmulacuadrtica para obtener el valor donde la parbola intersectaal eje x; es decir, la raz estimada. La aproximacin sefacilita al escribir la ecuacin de la parbola en una formaconveniente.
Mtodo de Muller
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50 Mtodo de Muller
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Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
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Utiliza tres aproximaciones:x
0,x
1,x
2. Determina la siguiente aproximacin x3 encontrando la
interseccin con el eje X de la parbola definida por lospuntos (x0, f(x0)), (x1, f(x1)), (x2, f(x2)).
Mtodo de Muller
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51 Mtodo de Muller
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Se considera el polinomio
P(x) = a(x x2)2 + b(x x2) + c
Se puede encontrar a, b y c resolviendo
f(x0) = a(x0 x2)2 + b(x0 x2) + c
f(x1) = a(x1
x2)
2 + b(x1
x2) + c
f(x2) = a(x2 x2)2 + b(x2 x2) + c
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Continuacin...
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Mtodo de Newton
53 Mtodo de Muller
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Mtodo del Punto Fijo
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Otra Formah0 = (x1 x0), h1 = (x2 x1)
0 =
f(x1)
f(x0)
x1 x0 , 1 =f(x2)
f(x1)
x2 x1Luego:
a =1 0h0 + h1
b = ah1 + 1
c = f(x2)
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54 Mtodo de Muller
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Mtodo del Punto Fijo
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El mtodo de Mller converge bastante rpidamente.
Adems, se puede utilizar en el caso de races complejas.Para evitar overflows cuando a es muy pequeo, esconveniente escribir x x2 como
x
x2 =
2c
bb2
4ac. . . (
)
tomando el signo que haga mximo el mdulo deldenominador. El mtodo de Mller puede tomar comovalores de comienzo nmeros complejos, en cuyo caso sirve
para obtener races complejas.
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55Mtodo de Muller
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Mtodo del Punto Fijo
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Dado los puntos en valor creciente: x0 < x2 < x1; evaluamosen () y obtenemos x3. Los nuevos puntos seran: x1, x2, x3.Observacion: Si se empieza en x2 ,obtenemos x0 y x1 como
x1 = x2 + hx2
x0 = x2 hx2h es el incremento.
Algoritmo
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Dato Inicial: xr, h, MaxIterx2 xrx1 xr + h xrx0 xr h xrPara i=1 hasta MaxIterh0 x1 + x0h1 x2 x1d0 (f(x1) f(x0))/h0d1
(f(x2)
f(x1))/h1
a (d1 d0)/(h1 + h0)b a h1 + d1c f(x2)
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rad sqrt(b b 4a c)Si | b+ rad| > | b rad| entoncesden b+ radCaso Contrarioden b radFin Si
x3 x2 + (2 c)/denx0 x1x1 x2x2 x3Fin Para
EJEMPLO
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Ejemplo
Utilizando el mtodo de Muller, aproximar
f(x) = x3
13x 12; xr = 5Consideremos ahora de la siguiente manera:h = 0.1x0 = xr
h
xr = 5
0.1
5 = 4.5
x2 = xr = 5x1 = xr + h xr = 5 + 0.1 5 = 5.5
EJEMPLO
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Primera Iteracin:Conocido x0 = 4.5, x1 = 5.5, x2 = 5, hallamos x3
f(x0) = f(4.5) = 20.6250; f(x1) = f(5.5) = 82.8750
f(x2) = f(5) = 48
Calculando:h0 = x1 x0 = 1; h1 = x2 x1 = 0.50 = f(x1) f(x0)
x1 x0 = 82.8750 20.62501 = 62.2500
1 =f(x2) f(x1)
x2 x1 =48 82.8750
0.5 = 69.7500
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Hallando los coeficientes:
a = 1 0h0 + h1
= 69.7500 62.25001 + (0.5) = 15
b = ah1 + 1 = 15 + 69.7500 = 62.2500
c = f(x2
) = f(5) = 48
Luego:
x3 = x2+2c
b
b2
4ac
= 5+2 48
62.25
62.252
4
15
48
Dado que:
| 62 25
62 252 4 15 48| > | 62 25 +
62 252 4 15 48 |
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Introduccin
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Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
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Industrial
| 62.25
62.25 4 15 48|
93.7946
> | 62.25 +
62.25 4 15 48
30.7054
|
tenemos:
x3 = 5 +2 48
62.25 62.252 4 15 48 = 3.9765
Ahora, los nuevos x0, x1 , x2 son:
x0 x1x1 x2x2 x3
Segunda Iteracin:
x3 = 4.0011
Sistema de ENL
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Sistema de
Ecuaciones No
Lineales
Mg. Hermes
Pantoja C.
Introduccin
Introduccin
Localizacin deRaces
Localizacin de Races
Mtodos de
Solucin
Biseccin
Regula Falsi
Mtodo de la secante
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
Mtodo de Muller
Sistema de ENL
62 Introduccin
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
Universidad Nacional Mayor
de San Marcos
Facultad de Ingenieria
Industrial
Dada la funcin
F : Rn Rn(x1, . . . , x2) (f1(x1, . . . , xn), . . . , fn(x1, . . . , xn))
El objetivo es determinar una solucin x = (x1 , . . . , xn ) del
sistema de n ecuaciones con n incognitas
f1(x1, . . . , xn) = 0...fn(x1, . . . , xn) = 0
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Ecuaciones No
Lineales
Mg. Hermes
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Introduccin
Introduccin
Localizacin deRaces
Localizacin de Races
Mtodos de
Solucin
Biseccin
Regula Falsi
Mtodo de la secante
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
Mtodo de Muller
Sistema de ENL
63 Introduccin
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
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Facultad de Ingenieria
Industrial
En su forma matricial
F(x) = 0
con
x =
x1x2...xn
, F(x) =
f1(x)f2(x)...fn(x)
, 0 =
00...0
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Ecuaciones No
Lineales
Mg. HermesPantoja C.
Introduccin
Introduccin
Localizacin deRaces
Localizacin de Races
Mtodos de
Solucin
Biseccin
Regula Falsi
Mtodo de la secante
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
Mtodo de Muller
Sistema de ENL
64 Introduccin
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
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Industrial
La resolucin de sistemas de ecuaciones no lineales porprocesos analticos puede ser bastante difcil o imposible. Enese caso tenemos la necesidad de utilizar mtodos numricospara obtener una solucin aproximada. Consideraremos lossiguientes mtodos iterativos:
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
Mtodo del Punto Fijo
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Sistema de
Ecuaciones No
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Introduccin
Introduccin
Localizacin deRaces
Localizacin de Races
Mtodos de
Solucin
Biseccin
Regula Falsi
Mtodo de la secante
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
Mtodo de Muller
Sistema de ENL
Introduccin
65 Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
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Industrial
Frmula de recurrencia
x(k+1) = G(x(k)), k = 0, 1, 2, . . . ,
donde
G(x) =
g1(x)g2(x)...gn(x)
que determina una sucesin de aproximaciones para una razx de la ecuacin F(x) = 0, a partir de una aproximacin
inicial
x =
x(0)1
x(0)2
...
x(0)n
Definiciones
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Sistema de
Ecuaciones No
Lineales
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Introduccin
Introduccin
Localizacin deRaces
Localizacin de Races
Mtodos de
Solucin
Biseccin
Regula Falsi
Mtodo de la secante
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
Mtodo de Muller
Sistema de ENL
Introduccin
66 Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
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Industrial
Definicin
Norma 1:
x
R
n,
||x
||1 =
n
i=1 |xi
| Norma 2 o norma euclidiana: x Rn,||x||2 =
ni=1
x2i
Norma Infinita:x Rn
, ||x|| = max1in|xi|.
Mtodo de Newton
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Ecuaciones No
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Introduccin
Introduccin
Localizacin deRaces
Localizacin de Races
Mtodos de
Solucin
Biseccin
Regula Falsi
Mtodo de la secante
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
Mtodo de Muller
Sistema de ENL
Introduccin
Mtodo del Punto Fijo
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Formula de recurrencia:
x(k+1) = x(k) J1F
(x(k))F(x(k)) k = 0, 1, . . . ,
donde
JF(x) =
f1x1
(x) . . .f1xn
(x)
.... . .
...fnx1 (x) . . .
fnxn (x)
Ejemplo
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Sistema de
Ecuaciones No
Lineales
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Introduccin
Introduccin
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Localizacin de Races
Mtodos de
Solucin
Biseccin
Regula Falsi
Mtodo de la secante
Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
Mtodo de Muller
Sistema de ENL
Introduccin
Mtodo del Punto Fijo
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Industrial
EjemploDado el sistema no lineal
2x1 x2 = ex1
x1 + 2x2 = e
x2
Se pide:
1. Localizar grficamente las raices.
2. Aproximar la solucin utilizando el mtodo de Newton.
Considerar x
(0)
= [0.5 1]T
. Hallar el error cometido.3. Aproximar la solucin utilizando el mtodo del Punto
Fijo. Considerar x(0) = [0.5 1]T. Hallar el errorcometido.
Solucin
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Solucin
Biseccin
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Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
Mtodo de Muller
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Introduccin
Mtodo del Punto Fijo
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Arreglando:
f1(x1, x2) = 2x1 x2 ex1 = 0f2(x1, x2) = x1 + 2x2 ex2 = 0
Continuacin...
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Solucion: (2)
F(x) =
2x1 x2 ex1x1 + 2x2 ex2
=
00
x(k+1) = x(k) J1F (x(k))F(x(k)); JF(x) =2 + ex1 11 2 + ex2
= 3 + 2(ex1 + ex2 ) + ex1x2
J1F
(x) =1
2 + ex2 1
1 2 + ex1
Continuacin...
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Mtodo del Punto Fijo
71 Mtodo de Newton
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Iteracin:1
x(0) =
0.51
F(x(0)) =
0.60651.1321
J1F
(x(x0)) = 0.4578 1.934
0.1934 0.5040
x(1) =
0.51
x(0)
0.05880.4533
x(0)
Error=||x(0)|| = 0.4533
Continuacin...
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Mtodo del Punto Fijo
Mtodo de Newton
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Mtodo del Punto Fijo
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Solucin: 3Algoritmo del Punto Fijo:
x1 =x2 + e
x1
2= g1(x1, x2)
x2 =
x1 + ex2
2 = g2(x1, x2)
G(x1, x2) =
g1(x1, x2)g2(x1, x2)
Prueba de la convergencia:
JG =
g1x1
g1x2
g2x1
g2x2
[0.5,1]
= 0.3033 0.5
0.5 0.1839
Continuacin...
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||JG|| = 0.8033 . Por lo tanto Converge.x(k+1)1 =
x(k)2 + e
x(k)1
2
x(k+1)2 =
x(k)1 + e
x(k)2
2Primera Iteracin:x(0) = [0.5 1]T
x(1)1 =
1 + e0.5
2= 0.8033
x(1)2 =0.5 + e1
2 = 0.4339
x(1) = [0.8033 0.4359]