CUANDO LA GRADIENTE ES NORMAL TEMA DE CÁLCULO VECTORIAL
INTRODUCCIÓN
El gradiente es normal a las curvas de nivel. Si 𝑓 es diferenciable en 𝑥0, 𝑦0 y𝛻𝑓 𝑥0, 𝑦0 ≠ 0 entonces 𝛻𝑓 𝑥0, 𝑦0 es normal (ortogonal) a la curva de nivel quepasa por 𝑥0, 𝑦0 .
EJEMPLO
Hallar un vector normal a una curva de nivel:
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑦 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥
Con 𝑐 = 0.
Solución:
A partir de la función
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑦 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥0 = 𝑦 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 𝑦𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥
Ahora, derivando la función parcialmente:
𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 =𝜕
𝜕𝑥𝑦 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 =
𝜕
𝜕𝑥𝑦 −
𝜕
𝜕𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 𝑦
𝜕
𝜕𝑥1 −
𝜕
𝜕𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 = −cos𝑥
𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 =𝜕
𝜕𝑦𝑦 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 =
𝜕
𝜕𝑦𝑦 −
𝜕
𝜕𝑦𝑠𝑒𝑛 𝑥 =
𝜕
𝜕𝑦𝑦 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝜕
𝜕𝑦1
𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 = 1
Y de la gradiente:
𝛻𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 𝑖 + 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 𝑦
𝛻𝑓 𝑥, 𝑦 = − cos 𝑥 𝑖 + 𝑗
Para tomar diferentes valores se hace lo siguiente:
𝛻𝑓 −𝜋, 0 = − cos−𝜋 𝑖 + 𝑗 = 𝑖 + 𝑗
𝛻𝑓 −2𝜋
3,−
3
2= − cos −
2𝜋
3 𝑖 + 𝑗 =
1
2 𝑖 + 𝑗
𝛻𝑓 −𝜋
2, −1 = 0 𝑖 + 𝑗
𝛻𝑓 −𝜋
3,−
3
2= − cos −
𝜋
3 𝑖 + 𝑗 =
1
2 𝑖 + 𝑗
𝛻𝑓 0, 0 = − cos 0 𝑖 + 𝑗 = − 𝑖 + 𝑗
𝛻𝑓𝜋
3,
3
2= −cos
𝜋
3 𝑖 + 𝑗 = −
1
2 𝑖 + 𝑗
𝛻𝑓𝜋
2, 1 = − cos
𝜋
2 𝑖 + 𝑗 = 0 𝑖 + 𝑗
BIBLIOGRAFÍAS
Colley, S. J. (2013). Cálculo vectorial. México: PEARSON EDUCACIÓN.
Larson, R., & Edwards, B. (2017). Matemáticas 3. Cálculo ce varias variables. Mexico: CENGAGE Learning.
R. Spiegel, M. (1967). Análisis vectorial. México: McGRAW - HILL.