Tratamiento de Señales ITema 1. Señales y sistemas
“A los hombres les encanta maravillarse. Esto es la semilla de la ciencia”.
Ralph Waldo Emerson (1803-1882)Poeta y pensador estadounidense
Referencias bibliográficas
Stremler, Ferrel G (2006). Introducción a los sistemas de comunicación, edición especial.
Imagen tomada de: http://www.amazon.com/Introduction-Communication-Systems-Electrical-Engineering/dp/0201072440/ref=sr_1_1?ie=UTF8&qid=1399913960&sr=8-1&keywords=stremler+ferrel
Tomasi, Wayne (2003). Sistemas de comunicaciones. Editorial Prentice Hall . Imagen tomada de:http://books.google.com.co/books?id=_2HCio8aZiQC&printsec=frontcover&dq=isbn:9702603161&hl=es&sa=X&ei=f-JoU-uuAdTLsAS204GgCw&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false
Referencias bibliográficas
Referencias de software
Communications System Toolbox (2012). Getting Started Guide. The MathWorks Inc.
Sistema básico de comunicaciónSimbólico - Matemático
Simbólico - Esquemático
Artefacto
FuncionalSimulación
e(t) A(1m * c o s (Wm * t) )*c o s (Wc * t)
Sistema de comunicación
Tomado y adaptado de Sink
Referencias de software
Referencias de software
Sistemas y señales
El enfoque sistémicoSistema eléctrico
Señal y sistemaPotencia EnergíaPotencia media disipada
Señal periódica y aperiódicaSeñal aleatoria y determinista
f (t) Ac o s (t q )
p e(t)2
/R w a t t s,
p i(t)2
*R w a t t s.
E f (t)2d t j o u l e s.
t1
t2
P1
t2 t1f (t)
2d t
t1
t2
.
f (t T) f (t) p a r a t o d a t
f (t) s e n t s e n 2t.
Sistema lineal y no lineal
invariable o no en el tiempo
Realizable – No realizable
No lineal, invariable en el tiempo
Lineal, variable en el tiempo
g(t) Á{ f (t) }
g(t) Á2{Á1[ f (t) ] } Á{ f (t) }
g1(t) Á{ f1(t) } , y g2 (t) Á{ f2 (t) } ,
Á{a1 f1(t)a2 f2 (t) } a1g1(t)a2g2 (t)
g(t t0 ) Á{ f (t t0}
Sistemas y señales
Representación vectorial
• Una función puede ser representada en funciones independientes
• Condición de espacio vectorial ortogonal: producto punto
• Representación de un vector en el espacio vectorial
• Condición de ortonormalidad
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1
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3132121111 AAAA
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2
1
2
Teorema de Parceval
• Si la función del tiempo puedeser expresada en términos defunciones ortonormales, elcálculo de su energía equivalea la sumatoria de suscoeficientes del espacio
• Los coeficientes pueden serexpresados en términos de lafunción y los vectores delespacio
• Aplica para la potencia
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tftf nå¥
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n
T
TFdttf
TP
Ejemplo de funciones base
Funciones ortonormalesortogonales elegidas:
f (t) fnn1
¥
å s e n n t
fn f (t)
0
2
s e n n t d t
s e n2 n t0
2
d t f (t)
0
2
s e n n t d t
fn 0
1
s e n n t d t 1
2
s e n n t d t 4 /n p a r a n i m p a r
0 p a r a n p a r
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...7sen
7
15sen
5
13sen
3
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1, 1< t < 2
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N
nn
Nn
dtt
impar1
22
0
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Ejemplo de funciones base
Series de Fourier como funciones base
• Serie exponencial de Fourier
• Cumple condición de conjunto base
• Una función en el tiempo puede ser expresada en términos de la serie exponencial de Fourier
tjnn et 0)(
îíì
mn
mndttt m
t
tn
0
constante)()( *2
1
,...2,1,0)( 0 net tjnn
)()( 210 ttteFtf
n
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¥
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Ft
t
tjnn
2
1
0)()(
1
12
Representación compleja e identidad de Euler
Ejemplo anterior en términos de la serie de Fourier
c o s 0t 1
2(ej0t e j0t )
s e n 0t 1
2 j(ej0t e j0t )
...
3
1...
3
1
2
1)( )4/3()4/()4/3()4/( tjtjtjtj eeeetf
tjtjtj eee
j
53
5
1
3
12
Series de Fourier trigonométrica
Forma compactaf (t) a0 ann1
¥
å c o sn0t bn n1
¥
å s e nn0t
Para f(t) real en (t1, t2)
an f (t)
t1
t2
c o sn0t d t
c o s2 n0t d tt1
t2
2
(t2 t1)f (t)
t1
t2
c o sn0t d t,
bn f (t)
t1
t2
s e nn0t d t
s e n2n0t d tt1
t2
2
(t2 t1)f (t)
t1
t2
s e nn0t d t,
a0 f (t)
t1
t2
d t
d tt1
t2
1
(t2 t1)f (t)
t1
t2
d t.
f (t) cnn0
¥
å c o s (n0t jn)
)/(tan
,
1
22
nnn
nnn
ab
bac
Ejemplo de serie de Fourier
Determinar la serie de Fourier trigonométrica para la función:
2)( ttf
Intervalo (0, 2)
a0 1
2t2
0
2
d t 4
3,
an 2
2t2
0
2
c o sn t d t 4 / (n )2,
bn 2
2t2
0
2
sen n t d t 4 / (n ) .
.sen14
cos14
3
4)(
1122 åå
¥
¥
nn
tnn
tnn
ttf
Serie de Fourier de pulsos rectangulares
îíì
<<
<<
2 1
0 1)(
t
ttg
an = 0
tdtnT
tnT
bn 0
2
0
0
sen 2
sen 2
0
21
T
bnt
n
nt
nn
2
2
2
20
2
cos cos
1
11
1n
nn
n
cos cos
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í
ì
par a.......par.................... 0
impar para ......................... 4
n
nnbn
g(t) bn s e n n0t 4
s e n t
4
3s e n 3t
4
5s e n 5t
n1
¥
å
Resultado analítico
g(t) bn s e n n0t 4
s e n t
4
3s e n 3t
4
5s e n 5t
n1
¥
å