Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Sucesiones y Series
5
5.1 5.2 5.3
555
5.4 5.5
55
58
SUCESIONES SUMAS Y NOTACIÓN SIGMA SERIES NUMÉRICAS INFINITAS .3.1 LA SERIE GEOMÉTRICA. .3.2 SERIES TELESCÓPICA .3.3 SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS
5.3.3.1 CRITERIO DE LA INTEGRAL SERIES ALTERNANTES SERIES DE POTENCIAS .5.1 SERIE DE TAYLOR .5.2 DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE SERIES DE
POTENCIAS.
Objetivos: Se pretende que el estudiante:
• Determine convergencia o divergencia de sucesiones. • Conozca las propiedades de la notación sigma. • Determine convergencia o divergencia de series
geométricas, Telescópicas, y series de términos positivos aplicando el criterio de la integral.
• Determine series de potencias para funciones, aplicando Taylor.
Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Sucesiones y Series
5.1 SUCESIONES
5.1.1 DEFINICIÓN.
Sucesión es una función, denotada como { }na , cuyo dominio es el conjunto de los números enteros positivos y su rango son números reales. Es decir:
nanfn
IRXIN=
⊆)(a
a.
Es común referirse al rango de la sucesión, por tanto la sucesión se presenta como una secuencia de términos { }L,,, ,321 aaa . Si la sucesión tiene una
cantidad determinada de términos se la llamará SUCESIÓN FINITA. Si la sucesión tiene una cantidad no definida de términos, se la llamará SUCESIÓN INFINITA.
Ejemplo
{ }⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+= LL ,
12,,
73,
52,
31
12 nn
nnan
La manera como se presentó la sucesión en el ejemplo anterior se denomina forma explícita, pero se la puede expresar como una formula de recursión.
Ejemplo
2;3;1 11 ≥+== − naaa nn
Es decir:
431312 =+=+= aa
734323 =+=+= aa
Y así sucesivamente.
59
Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Sucesiones y Series
5.1.2 Convergencia y Límite
Una sucesión { , es convergente si y sólo si }na nnalim
∞→
existe. Caso contrario; es decir, si no existe, se nnalim
∞→
dice que la sucesión es divergente.
Si existe, es decir si nnalim
∞→Lann
=∞→
lim , significa que:
ξξ <−⇒>>∃>∀ LaNntalqueN n0,0
Ejemplo
Determinar si { }⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+=
12nnan es convergente o divergente.
SOLUCIÖN:
Para determinar si es convergente o divergente se halla . nn
alim∞→
21
1212=
+=
+ ∞→∞→
nnn
nn
limnnlim
nn
Por tanto, la sucesión es convergente y además converge a 21
TEOREMA
Si y son sucesiones convergentes, entonces: na nb
1. IRkakka nnnn∈=
∞→∞→;límlím
2. ( ) nnnnnnnbaba
∞→∞→∞→±=± límlímlím
60
Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Sucesiones y Series
3. ( ) nnnnnnnbaba
∞→∞→∞→= límlímlím
4. nn
nn
n
n
n b
a
ba
∞→
∞→
∞→=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛lím
límlím si 0lím ≠
∞→n
nb
Ejercicios propuestos 5.1 1. Determine si las siguientes sucesiones son convergentes o divergentes.
a. ⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
−
+
nnn
2
2
213
b. ⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
−+1312 2
nn
c. ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ π
+ 2sen
1n
nn
d. ⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
n
n31
e. ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−
+
nnn23
12
f. ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
2lnn
n
g. ⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
n
n211
5.1.3 SUCESIONES MONOTONAS
Una sucesión { }na es monótona si sus términos son no decrecientes, es decir:
LL ≤≤≤≤≤≤ +1321 nn aaaaa ;
ó si sus términos son no crecientes; es decir:
. LL ≥≥≥≥≥≥ +1321 nn aaaaa
Lo anterior quiere decir que si se cumple que 1+≤ nn aa o 11 ≥+
n
n
aa
será una
sucesión CRECIENTE. Caso contrario, es decir si da que 1+≥ nn aa o 11 ≤+
n
n
aa
será una sucesión DECRECIENTE.
61
Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Sucesiones y Series
Note que, para la sucesión anterior la mínima cota superior es 21 y la
máxima cota inferior es 31 .
PREGUNTA: ¿POR QUÉ SE DICE MÍNIMA COTA SUPERIOR? ¿POR QUÉ SE DICE MÁXIMA COTA SUPERIOR?
TEOREMA
Una condición necesaria y suficiente para que una sucesión monótona sea convergente, es que sea acotada.
5.2 SUMAS Y NOTACIÓN SIGMA
Sea la secuencia , , . 1a 2a naa L,3
La suma de estos números, puede ser expresada mediante una notación que denota abreviación, el símbolo empleado es el de sigma:
∑=
=+++n
iin aaaaa
1321 L
Entonces, la notación sigma significa una suma de término, desde el primero hasta el n-ésimo. Podemos tener una suma finita de términos como también podemos tener una suma infinita.
Ejemplo 1
{ { { {
4321
4
12 17
4103
52
21
1=====
+++=+∑
iiiiii
i
Ejemplo 2
∑∞
=
=++++++1
4321n
nn LL
62
Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Sucesiones y Series
5.2.1 Propiedades
Sean y { }ia { }ib dos sucesiones y sea C una constante, entonces
1. ∑∑==
=n
ii
n
ii aCCa
11
2. ( ) ∑∑∑===
±=±n
ii
n
ii
n
iii baba
111
Alguna formulas que se necesitarán más adelante son:
1. ( )
214321
1
+=+++++=∑
=
nnnin
iL
2. ( )( )
6121321 2222
1
2 ++=++++=∑
=
nnnnin
iL
3. ( ) 2
3333
1
3
21321 ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +
=++++=∑=
nnnin
iL
4. ( )( )
301961321
234444
1
4 −+++=++++=∑
=
nnnnnnin
iL
63
Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Sucesiones y Series
5.3 SERIES NUMÉRICAS INFINITAS
Definición
Sea { una sucesión infinita. Y sea }na
nn aaaaS ++++= L321 .
La sucesión de suma de parciales
{ } { } { }LL ,321211321 ,,,,, aaaaaaSSSSn +++== ,
denotada como , se llama Serie Infinita. ∑∞
=1nna
Ejemplo
Sea la sucesión { }⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=nna
21
Algunos términos de la sucesión serían ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
L,81,
41,
21
La sucesión de sumas parciales sería
{ }⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ +++= LLL ,
87,
43,
21,
81
41
21,
41
21,
21,,, 321 SSS
Convergencia de Series
Una serie ∑= nn aS , es convergente si y sólo si nnSlim
∞→
existe. Caso contrario; es decir, si no existe, se nnSlim
∞→
dice que la sucesión es divergente.
64
Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Sucesiones y Series
En caso de que la serie sea convergente se dice que tiene suma S , es decir ocurrirá que . SSnn
=∞→
lim
Si tuviésemos o pudiéramos calcularlo, determinar la convergencia sería muy sencillo. Estudiaremos en primer lugar las series geométricas y las series telescópica que si se les puede determinar , y luego mencionaremos criterios para determinar convergencia y divergencia de series cuando ya no tenemos
nS
nSnS
5.3.1 LA SERIE GEOMÉTRICA.
Una serie geométrica es de la forma
132 −+++++ narararara L
La suma parcial de los n términos está dada por
( )
rraS
n
n −−
=11
. ¡Demuéstrela!
Para determinar su convergencia, deberíamos obtener
( )
rralímSlím
n
nnn −−
=∞→∞→ 1
1.
Observe que si 1≥r entonces ( )
∞=−−
∞→ rralím
n
n 11
(¿POR QUÉ?) y por tanto la
serie geométrica es divergente
Si 1<r , entonces ( )
ra
rralím
n
n −=
−−
∞→ 111
la serie es convergente.
Ejemplo
Determinemos si la serie +++81
41
21 es convergente o no.
SOLUCIÓN:
65
Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Sucesiones y Series
Observe que la secuencia dada es una serie geométrica con 21
=a y 21
=r es decir una
serie tal que ∑∞
=121
n
n y por tanto converge a 11 2
121
=−
=S
5.3.2 SERIES TELESCÓPICA
Para este tipo se serie también es posible obtener , se lo hace empleando fracciones parciales.
nS
Ejemplo
Sea la serie ( )( )∑∞
=++
121
1
nnn . Obtener . nS
SOLUCIÓN: Empleando fracciones parciales, tenemos:
( )( )( ) ( 121
21211
+++=+
++
=++
nBnAn
Bn
Ann
) Si entonces: 1−=n
( ) ( )
ABA
=+−++−=
111211
Si entonces: 2−=n
( ) ( )
11
12221
−=−=
+−++−=
BB
BA
Por tanto:
( )( ) ∑∑∞
=
∞
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
+=
++11
21
11
211
nnnnnn
Obteniendo algunos términos de su desarrollo
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
+++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
+∑∞
=2
11
151
41
41
31
31
21
21
11
1nnnn
n
L
Note que al realizar la suma, los términos centrales se suprimen quedando el primer y el último término.
Entonces 2
11+
−=n
Sn , por tanto 12
11 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−=
∞→∞→ nlímSlímn
nn
La serie convergente
66
Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Sucesiones y Series
Ejercicios Propuestos 5.2
1. Encuentre y determine si las series son convergentes o divergentes. Si es convergente nSdetermine su suma:
a) ( )∑+∞
=+
11
1
nnn
b)
n
n∑+∞
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
125
c) ( )( )∑+∞
=+−
12313
1
nnn
d) ∑+∞
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
134
21
n
nn
e) ( )( )∑+∞
=++
132
1
nnn
CRITERIO GENERAL PARA LA DIVERGENCIA
TEOREMA
Si la serie converge entonces ∑ na 0lim =∞→ nn
a
Es decir si entonces la serie 0lim ≠∞→ nn
a ∑ na diverge
Ejemplo
La serie ∑∞
=+
11
nn
n es divergente debido a que 11=
+∞→ nnlím
n
Verifique que los ejemplos anteriores de series convergentes se cumple el teorema. No olvide que 0lim =
∞→ nna es una condición necesaria pero no
suficiente.
67
Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Sucesiones y Series
Ejemplo.
La serie ∑∞
=1
1
nn
, llamada Serie Armónica, es divergente (lo demostraremos más adelante),
sin embargo 01=
∞→ nlímn
PROPIEDADES DE LAS SERIES CONVERGENTES.
Si y ∑ convergen y si ∑ na nb C es una constante,
entonces también convergen ∑ nCa y ( )∑ ± nn ba y
además
1. ∑∑ = nn aCCa
2. ( ) ∑∑∑ ±=± nnnn baba
TEOREMA DE LA SERIE DIVERGENTE
Si diverge y ∑ na C es una constate diferente de cero,
entonces la serie ∑ naC también diverge.
68
Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Sucesiones y Series
5.3.3 SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS
TEOREMA
Una serie ∑ de términos no negativos converge si y na
sólo si, sus sumas parciales están acotadas por arriba.
CRITERIOS PARA ESTABLECER LA CONVERGENCIA DE SERIES POSITIVAS.
5.3.3.1 CRITERIO DE LA INTEGRAL
Sea f una función continua positiva, no creciente, definida en el intervalo [ )∞,1 y suponga que ( )nfan =
para todo entero positivo . Entonces la seria ∑ n∞
=1n
na
converge si y sólo si la integral impropia ∫∞
1
)( dxxf
converge.
Ejemplo 1
Determine si la SERIE ARMÓNICA ∑∞
=1
1
nn
converge o diverge
SOLUCIÓN: Aplicando el criterio de la integral, debido a que es una serie de términos positivos decrecientes.
[ ] ∞====∞→∞→∞→
∞
∫∫ Nlímxlímx
límx n
N
n
N
nlnln11
1
11
Por tanto la serie diverge.
69
Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Sucesiones y Series
Ejemplo 2.
Sea la serie “p” ∑∞
=1
1
nPn
, determine para qué valores de “ ” converge y para que p
valores diverge. SOLUCIÓN:
Analizando la integral ∫∫ ∞→
∞
=N
PnP xlím
x 11
11
Si 1=P , tenemos la serie armónica, que es divergente Si , la integración es diferente 1≠p
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−+
−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+−−
+−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+−=
−
∞→
+−+−
∞→
+−
∞→∞→ ∫1
11
11
111
1
11
1
1
1
PPNlím
ppNlím
pxlím
xlím
P
n
PP
n
NP
n
N
Pn
Ahora, si 1>P , 1
11
11
0
1
−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−+
−∞ −
pPP
P
321, la integral converge
Si 1<P , ∞=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−+
−∞
∞
−
11
1
1
PP
P
321 la integral diverge
En conclusión, la serie ⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤−
>=∑
∞
= divergePSip
aconvergePSi
nn
P1
1111
1
Ejemplo 3
Determine si la serie ∑∞
=2ln1
nnn
converge o diverge.
SOLUCIÖN: Aplicando el criterio de la integral
( ) ( )[ ] ∞=−=∫∞
∞→2lnlnlnln
ln1
2Nlím
xx x
Por tanto diverge Ejercicios propuestos 5.3 Usando el criterio de la Integral, determine la convergencia o divergencia de la siguiente serie numérica
1) ( )∑
+∞
=22ln
1
nnn
2) ∑ 3) +∞
=
−
1n
nne( ) ( )∑
+∞
=++
11ln1
1
nnn
70
Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Sucesiones y Series
5.4 SERIES ALTERNANTES
Ahora se estudiará series que presenten sus términos con signos
alternados, es decir series de la forma o también ( )∑∞
=
+−1
11n
nn a ( )∑
∞
=
−1
1n
nn a
TEOREMA DE CONVERGENCIA PARA LAS SERIES ALTERNANTES
Una serie alternante con . Si 01 >≥ +nn aa 0=∞→ nnalím
entonces la serie converge.
Ejemplo 1
Sea la serie ( ) L+−+−=−∑∞
=
+
41
31
21111
1
1
n
n
n Determine si es convergente o
divergente. SOLUCIÓN. Primero, veamos si los términos, en valor absoluto, son no crecientes.
Comparamos n
an1
= con 1
11 +=+ n
an . Se observa que:
nn1
11
<+
los términos son decrecientes. Segundo, veamos si 0=
∞→n
nalím
Se observa que: 01=
∞→ nlímn
Por tanto la serie armónica alternante es convergente. Ejemplo 2
Sea la serie ( )∑∞
=
+−1
1
211
nn
n Determine si es convergente o divergente.
SOLUCIÓN.
Primero. En este caso nna21
= y 11 21++ = nna
Se observa que ( ) nn 21
221
< los términos son decrecientes.
Segundo. 021
=∞→ nn
lím
Por tanto la serie es convergente.
71
Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Sucesiones y Series
A continuación analicemos el teorema
TEOREMA
Si ∑ na converge, entonces ∑ na también converge.
Esto quiere decir que si la serie de términos positivos converge entonces la serie alternante también converge, mientras que si la serie alternante converge no necesariamente la serie de términos positivos converge.
5.4.1 CONVERGENCIA ABSOLUTA.
DEFINICIÓN.
Una serie converge absolutamente si ∑ na ∑ na
converge
Ejemplo
La serie ( )∑∞
=
+−1
1
211
nn
n es absolutamente convergente, debido a que ∑∞
=121
nn es
convergente
DEFINICIÓN.
Una serie es condicionalmente convergente si ∑ na
∑ na converge y ∑ na diverge.
Ejemplo
La serie ( )∑∞
=
+−1
1 11n
n
n es condicionalmente convergente, debido a que ∑
∞
=1
1
nn
es
divergente, mientras que ella es convergente.
72
Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Sucesiones y Series
Las series de términos positivos convergentes son absolutamente convergentes
Los criterios que mencionaremos a continuación ayudan a concluir rápidamente en situaciones cuando el término general de la serie presenta formas especiales.
5.5 SERIES DE POTENCIAS.
Ahora estudiaremos series cuyos términos ya no son numéricos.
DEFINICIÓN.
Una serie de potencia en “ x” tiene la forma:
L++++=∑
∞
=
33
2210
0
xaxaxaaxan
nn
Una serie de potencia en “ 0xx − ” tiene la forma:
( ) ( ) ( ) ( ) L+−+−+−+=−∑∞
=
303
202010
00 xxaxxaxxaaxxa
n
nn
Algo importante aquí es determinar los valores de “ x ”, para los cuales la serie numérica correspondiente sea convergente.
5.5.1 SERIE DE TAYLOR
Una serie de potencia particular es la serie de Taylor.
Suponga que:
( ) ( ) ( ) ( ) L+−+−+−+=−=∑∞
=
303
202010
00)( xxaxxaxxaaxxaxf
n
nn
Los coeficientes pueden ser determinados en términos de la función f
Evaluando en 0xx =
[ ] [ ] [ ] [ nn xxaxxaxxaxxaaxf 00
3003
200200100 )( −++−+−+−+= L ]
73
Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Sucesiones y Series
Obtenemos: )( 00 xfa =
Para encontrar el segundo coeficiente, derivamos y evaluamos en 0xx =
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] 1
002
00300210
10
203021
32)´(
32)´(−
−
−++−+−+=
−++−+−+=n
n
nn
xxnaxxaxxaaxf
xxnaxxaxxaaxf
L
L
Entonces: )´( 01 xfa =
Obteniendo la segunda derivada y evaluando en 0xx =
( )( ) [ ] ( )( ) [ ]( )( ) [ ] ( )( ) [ ]
20
20000320
20032
2)´´(1232)´´(
1232)´´(
axfxxannxxaaxf
xxannxxaaxfn
n
nn
=−−++−+=
−−++−+=−
−
L
L
De la última expresión, se tiene 2
)´´( 02
xfa =
Ahora, obteniendo la tercera derivada y evaluando en 0xx =
( )( ) ( )( )( ) [ ]( )( ) ( )( )( ) [ ]( )( ) 30
30030
303
23)´´´(2123)´´´(
2123)´´´(
axfxxannnaxf
xxannnaxfn
n
nn
=−−−++=
−−−++=−
−
L
L
De la última expresión, se tiene !3
)´´´( 03
xfa =
Por lo tanto:
[ ] [ ] [ ]
[ ]∑∞
=
−=
+−+−+−′+=
00
0
30
0´´´
20
0´´
000
!)()(
!3)(
!2)()()()(
n
nn
xxnxfxf
xxxfxxxfxxxfxfxf L
Si 00 =x se llama Serie de Maclaurin, es decir:
74
Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Sucesiones y Series
[ ] L+′′′
+′′
+′+==∑∞
=
32
0 6)0(
2)0()0()0(
!)0()( xfxfxffx
nfxf
n
nn
Ejemplo 1
Hallar la serie de Taylor para xexf =)( , alrededor de 00 =x SOLUCIÓN:
Obtenemos primero
x
x
x
x
exf
exf
exf
exf
=′′′
=′′
=′
=
)(
)(
)(
)(
⇒
1)0(1)0(1)0(
1)0(
=′′′=′′=′=
ffff
Luego, reemplazando en: L+′′′
+′′
+′+= 32
6)0(
2)0()0()0()( xfxfxffxf
Resulta ∑∞
=
=+++++=0
432
!!41
!31
211
n
nx
nxxxxxe L
Observe que podemos tener una buena aproximación de utilizando la serie: 1.0e
10517.1
)1.0(61)1.0(
211.01
1.0
321.0
≈
+++≈
e
e
Ejemplo 2
Hallar la serie de Taylor para xexf −=)( alrededor de 00 =x SOLUCIÓN: Empleando la serie anteriormente encontrada:
∑∞
=
=0
!n
nx
nxe
Sería cuestión de reemplazar x− por x , es decir:
( ) ( )
L
L
++−+−=
+−+−+−+−+=−=−
=
−
∞
=
∞
=
− ∑∑432
432
00
!41
!31
211
)(!4
1)(!3
1)(21)(1
!1
!
xxxxe
xxxxnx
nxe
x
n
nn
n
nx
Ejemplo 3
Hallar la serie de Taylor para 2
)( xexf = alrededor de 00 =x SOLUCIÓN: Ahora, es cuestión de reemplazar por 2x x , es decir:
75
Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Sucesiones y Series
( )
L
L
+++++=
+++++=== ∑∑∞
=
∞
=
8642
4232222
0
2
0
2
!41
!31
211
)(!4
1)(!3
1)(211
!!
2
2
xxxxe
xxxxn
xn
xe
x
n
n
n
nx
Ejemplo 4
Hallar la serie de Taylor para xxf sen)( = alrededor de 00 =x SOLUCIÓN:
Obtenemos primero
xxf
xxf
xxfxxf
xxfxxf
V
IV
cos)(
sen)(
cos)(sen)(
cos)(sen)(
=
=
−=′′′/
−=′′=′=
⇒
1)0(
0)0(
1)0(0)0(1)0(0)0(
=
=
−=′′′=′′=′=
V
IV
f
f
ffff
Luego, reemplazando en: L+′′′
+′′
+′+= 32
6)0(
2)0()0()0()( xfxfxffxf
Se obtiene:
( )( )∑
∞
=
+
+−
=+−+−=
+++−++=
0
12753
53
!121
!71
!51
!31
!510
!3100
n
nn
nxxxxxsenx
xxxsenx
L
L
Ejemplo 5
Hallar la serie de Taylor para xxf cos)( = alrededor de 00 =x SOLUCIÓN:
Obtenemos primero
xxf
xxfxxfxxf
xxf
IV cos)(
sen)(cos)(sen)(
cos)(
=
=′′′/
−=′′−=′
=
⇒
1)0(
0)0(1)0(
0)0(1)0(
=
=′′′−=′′
=′=
IVf
ffff
Luego, reemplazando en: L+′′′
+′′
+′+= 32
6)0(
2)0()0()0()( xfxfxffxf
Se obtiene:
( )( )∑
∞
=
−=+−+−=
+++−
++=
0
2642
432
!21
!61
!41
211cos
!41
!30
!2)1(
01cos
n
nn
nxxxxx
xxxxx
L
L
76
Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Sucesiones y Series
Ejemplo 6
Hallar la serie de de Taylor para ixexf =)( alrededor de 00 =x SOLUCIÓN: Sería cuestión de reemplazar por ix x , en la serie de es decir: xexf =)(
( ) ( )
4444 34444 21
L
4444 34444 21
L
L
L
L
senxx
n
nn
n
nix
xxxixx
ixxixxix
xixixixiix
ixixixixixn
xin
ixe
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++−=
+++−−+=
++++++=
++++++=== ∑∑∞
=
∞
=
53
cos
42
5432
55443322
5432
00
!51
!31
!41
211
!51
!41
!31
211
!51
!41
!31
211
)(!5
1)(!4
1)(!3
1)(21)(1
!!
Recuerde que: ( )( )( ) 111
1
1
224
23
2
=−−==
−=−==
−=
iii
iiiii
i
Por lo tanto, se concluye que xixeix sencos += Esta última expresión es la llamada IDENTIDAD DE EULER
5.5.2 DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE SERIES DE POTENCIAS.
Una serie de potencia se puede derivar o integrar término a término de tal manera que se tendrá otra serie de potencia con el mismo radio de convergencia, aunque no necesariamente el mismo intervalo de convergencia.
Ejemplo 1
Obtener la serie de xxf cos)( = a partir de la serie del seno. SOLUCIÓN: La serie del seno es:
( )( )∑
∞
=
+
+−
=
0
12
!121
n
nn
nxsenx
Derivándola se tiene:
77
Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Sucesiones y Series
( ) ( )( )
( ) ( )( )( )
( )( )∑∑∑
∞
=
∞
=
−+∞
=
+ −=
++−
=⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
+−
==0
2
0
112
0
12
!21
!212121
!121cos
n
nn
n
nn
n
nn
xx nx
nnxn
nxDsenxDx
Ejemplo 2.
a) Encuentre una serie de potencia para x
xf+
=1
1)(
La expresión anterior puede ser observada como la suma de un serie geométrica infinita con primer término igual a 1 y razón xr −= entonces:
( ) ( )∑∑∞
=
∞
=
−=−=+
=
11
11
1)(n
nn
n
n xxx
xf
b) Emplee la serie anterior para obtener la serie de ( )1ln)( += xxf
Integrando ( ) ( ) ( )∑∫ ∑∫∞
=
+∞
=+
−=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
+=+=
0
1
11
111
11ln)(n
nn
n
nnnxxdx
xxxf
c) Determine su intervalo de convergencia. Aplicando el criterio
11
1
121lim
112
lim 1
2
<<−
<
<++
<+
+
∞→
+
+
∞→
x
xnnx
xn
nx
n
n
n
n
Si 1−=x , tenemos ( ) ( ) ( )L−−−−−=
+−
=+
−− ∑∑
∞
=
+∞
=
+
41
31
211
11
111
0
12
0
1
n
n
n
nn
nn una serie
divergente. ¿por qué?
Si 1=x tenemos ( ) ( ) ( )∑∑∞
=
∞
=
+
+−=
+−
00
1
111
111
n
n
n
nn
nn una serie alternante convergente.
Por tanto su intervalo de convergencia es ( ]1,1−∈x
Ejercicios Propuestos. 5.4
1. Encuentre los tres primeros términos diferentes de cero de la serie de Taylor para xxf ln)( = alrededor de 10 =x .
2. a) Encuentre los tres primeros términos diferentes de cero de la serie de Taylor para alrededor de )tan()( xxf = 00 =x .
78
Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Sucesiones y Series
b) Emplee el resultado obtenido en a) y la diferenciación término a término con la finalidad de encontrar los primeros tres términos diferentes de cero de la serie de Taylor para
. )(sec)( 2 xxg = c) Utilice el resultado obtenido en a) y la integración término a término para encontrar los
primeros tres términos que no sean cero de la serie de Taylor para . ))ln(cos()( xxh =3. Encuentre el desarrollo en series de potencias de x
a. )1ln()( += xxf
b. ∫ −= dxexf x2)(
c. )1ln()( 2 += xxxf
d. ∫= dxx
senxxf )(
e. 21
)(x
xxf+
=
f. 23 cos)( xxxf =
g. 2
)(xx eexf
−+=
4. Calcular usando series de potencias:
a. dxe x∫ −
1
0
2
b. dxsenxex∫2
0
π
c. dxxsen∫2
1
0
5. Considere la función . Determine una representación para en series de potencia de
2)( xxexf −= f
x .
79