TRANSFORMADA DE LAPLACE
Definiciรณn: Sea ๐ una funciรณn definida para ๐ก โฅ 0 a la integral
โ{๐(๐ก)} = โซ ๐โ๐ ๐กโ
0
๐(๐ก)๐๐ก = lim๐โถโ
โซ ๐โ๐ ๐ก๐(๐ก)๐๐ก๐
0
Se llama transformada de Laplace de ๐, siempre y cuando la integral converja.
โ es una transformaciรณn lineal, siempre que las integrales converjan se tendrรก
โ{๐ผ๐(๐ก) + ๐ฝ๐(๐ก)} = ๐ผโ{๐(๐ก)} + ๐ฝโ{๐(๐ก)} = ๐ผ๐น(๐ ) + ๐ฝ๐บ(๐ )
EJ 59
Calcular, si existe, la transformada de Laplace para ๐(๐ก) = ๐, ๐ constante real.
Segรบn la definiciรณn se tiene
โ{๐} = โซ ๐โ๐ ๐กโ
0
๐๐๐ก = lim๐โถโ
๐ โซ ๐โ๐ ๐ก๐๐ก๐
0
= lim๐โถโ
โ๐๐โ๐ ๐ก
๐ |๐0
=๐
๐
Entonces,
โ{๐} =๐
๐
Observe que si 0 > ๐ , la integral no existe, por lo que diremos que โ{๐(๐ก)} =๐
๐ , ๐ ๐, ๐ > 0.
EJ 60
Calcular, si existe, la transformada de Laplace para ๐(๐ก) = ๐ก.
De acuerdo a la definiciรณn
โ{๐ก} = โซ ๐โ๐ ๐ก๐ก๐๐กโ
0
Integrando por partes, haciendo ๐ข = ๐ก , ๐๐ฃ = ๐โ๐ ๐ก๐๐ก, obtenemos:
โ{๐ก} =โ๐ก๐โ๐ ๐ก
๐ |โ0
+1
๐ โซ ๐โ๐ ๐ก๐๐ก
โ
0
=1
๐ โ{1} =
1
๐ (
1
๐ ) =
1
๐ 2
Que al igual que en el ejemplo anterior, la integral existe, si y sรณlo si ๐ > 0.
EJ 61
Calcular, si existe, la transformada de Laplace para ๐(๐ก) = ๐๐๐ก, donde ๐ โ โ.
Como ๐(๐ก) = ๐๐๐ก, entonces calculamos
โ{๐๐๐ก} = โซ ๐โ๐ ๐ก๐๐๐กโ
0
๐๐ก = โซ ๐(โ๐ +๐)๐กโ
0
๐๐ก =โ๐โ(๐ โ๐)๐ก
๐ โ ๐|โ0
=1
๐ โ ๐
Esta integral existe, siempre y cuando ๐ โ ๐ > 0, es decir cuando ๐ > ๐.
EJ 62
Evalรบe โ{๐ ๐๐ 2๐ก}.
De acuerdo con la definiciรณn e integrando por partes.
โ{๐ ๐๐ 2๐ก} = โซ ๐โ๐ ๐ก๐ ๐๐ 2๐ก๐๐ก =โ๐โ๐ ๐ก๐ ๐๐ 2๐ก
๐ |โ0
+2
๐ โซ ๐โ๐ ๐ก cos 2๐ก๐๐ก
โ
0
โ
0
=2
๐ โซ ๐โ๐ ๐ก cos 2๐ก๐๐ก, ๐ > 0
โ
0
=2
๐ [โ๐โ๐ ๐ก cos 2๐ก
๐ |โ0
โ2
๐ โซ ๐โ๐ ๐ก๐ ๐๐ 2๐ก๐๐ก
โ
0
]
Lim๐กโโ
๐โ๐ ๐ก cos 2๐ก = 0, ๐ > 0 Transformada de Laplace de ๐ ๐๐ 2๐ก
=2
๐ [โ๐โ๐ ๐ก cos 2๐ก
๐ |โ0
โ2
๐ โซ ๐โ๐ ๐ก๐ ๐๐2๐ก๐๐ก
โ
0
] =2
๐ 2โ
4
๐ 2โ{๐ ๐๐ 2๐ก}
โ{๐ ๐๐ 2๐ก} =2
๐ 2 + 4, ๐ > 0
CCCI
Ya familiarizados con la definiciรณn de transformada de Laplace, es muy รบtil contar con una
tabla donde estรกn las transformadas de algunas funciones bรกsicas.
Funciรณn Transformada de Laplace
Condiciรณn
๐(๐ก) = 1 โ{1} =
1
๐
๐ > 0
๐(๐ก) = ๐ โ{๐} =
๐
๐
๐ > 0
๐(๐ก) = ๐ก๐ โ{๐ก๐} =
๐!
๐ ๐+1
๐ โ โค+
๐(๐ก) = ๐๐๐ก โ{๐๐๐ก} =
1
๐ โ ๐
๐ < ๐
๐(๐ก) = cos(๐๐ก) โ{cos(๐๐ก)} =๐
๐ 2 + ๐2 ๐ > 0
๐(๐ก) = s ๐๐(๐๐ก) โ{sen(๐๐ก)} = ๐
๐ 2 + ๐2 ๐ > 0
๐(๐ก) = cos โ(๐๐ก) โ{cosh(๐๐ก)} =๐
๐ 2 โ ๐2 ๐ > 0
๐(๐ก) = s ๐๐โ(๐๐ก) โ{senh(๐๐ก)} = ๐
๐ 2 โ ๐2 ๐ > 0
Como observamos en los ejemplos y en la tabla, no podemos garantizar siempre, la
existencia de la transformada de Laplace, debemos colocar en casi todos los casos ciertas
restricciones, que garanticen que bajo esas condiciones, la transformada de Laplace existe.
Existencia de la Transformada de Laplace: Sea ๐(๐ก) definida y continua a trozos para ๐ก โฅ
0, si
|๐(๐ก)| โค ๐๐๐๐ก , ๐ก > ๐
Para constantes ๐, ๐ > 0, entonces โ(๐(๐ก)) existe para todo ๐ > ๐.
En el desarrollo de esta guรญa consideraremos, en adelante, รบnicamente funciones cuya
transformada de Laplace exista.
Al observar โ(๐(๐ก)), notamos que la transformada de Laplace depende de ๐ , entonces
llamemos
โ(๐(๐ก)) = ๐น(๐ )
Supongamos entonces que conocemos la transformada de dos funciones ๐ y ๐, que serรญan
respectivamente ๐น y ๐บ, veamos quien es โ(๐๐(๐ก) + ๐๐(๐ก)), donde ๐, ๐ โ โ.
โ(๐๐(๐ก) + ๐๐(๐ก)) = lim๐โถโ
โซ (๐๐(๐ก) + ๐๐(๐ก))๐โ๐ ๐ก๐๐ก ๐
0
= lim๐โถโ
๐ โซ ๐โ๐ ๐ก๐(๐ก)๐๐ก ๐
0
+ lim๐โถโ
๐ โซ ๐โ๐ ๐ก๐(๐ก)๐๐ก ๐
0
Como ๐, ๐ โ โ
๐ lim๐โถโ
โซ ๐โ๐ ๐ก๐(๐ก)๐๐ก ๐
0
+ ๐ lim๐โถโ
โซ ๐โ๐ ๐ก๐(๐ก)๐๐ก ๐
0
= ๐๐น(๐ ) + ๐๐บ(๐ )
Ejemplo: Calcular, la transformada de Laplace para ๐๐๐ (3๐ก +๐
4).
Primero, observemos que cos (๐
4) = sin (
๐
4) =
โ2
2 entonces ๐๐๐ (3๐ก +
๐
4) =
โ2
2cos(3๐ก) โ
โ2
2sin(3๐ก) consideremos
๐ =โ2
2 , ๐ = โ
โ2
2 , ๐(๐ก) = cos(3๐ก) ๐(๐ก) = sin(3๐ก), por tanto aplicamos la transformada
hacemos uso de la tabla anterior,
โ (๐๐๐ (3๐ก +๐
4)) =
โ2
2[โ(๐๐๐ (3๐ก)) โ โ(sin(3๐ก))] =
โ2
2[
๐
๐ 2 + 9โ
3
๐ 2 + 9] =
โ2
2
๐ โ 3
๐ 2 + 9
L
Ejercicios:
1. Encontrar la transformada de Laplace de las siguientes funciones:
a. ๐(๐ก) = ๐ ๐๐2(๐ก) i. ๐(๐ก) = (๐ก + 2)3
b. ๐(๐ก) = ๐๐๐ 2(๐ก) j. ๐(๐ก) = (๐๐ก + ๐โ๐ก)2
c. ๐(๐ก) = ๐ก3 k. ๐(๐ก) = ๐โ๐กsin (3๐ก)
d. ๐(๐ก) = ๐3๐ก l. ๐(๐ก) = ๐ก4 โ 5๐ก3 +1
2๐ก + 7
e. ๐(๐ก) = cos(3๐ก) cos (5๐ก) m. ๐(๐ก) = ๐ก3/2
f. ๐(๐ก) = ๐ก2๐3๐ก n. ๐(๐ก) = ๐๐ก+5
g. ๐(๐ก) = ๐ก2cos (3๐ก) o. ๐(๐ก) = ๐๐ก+5