Problema:Una barra de cobre de sección uniforme esta rígidamente unida por sus extremos a 2 muros como se muestra en la figura. La longitud es de 150 cm y la sección es de 12 cm² . la temperatura es de 18°C. sobre la varilla no se ejerce tensión alguna. Determinar el valor de la tensión que ejerce la varilla cuando la temperatura es de 10°C. si el modulo de elasticidad del cobre es
Ecu= 1.1 x 10 kg/cm² y su coeficiente de dilatación lineal es ∞= 16 x 10 /°C.
6 -6
150 cm
Datos:L = 150 cm ; To = 18°C y T1 = 10°C
∞= 16 x 10 /°C ; Ecu = 1.1 x 10 Kg/cm²-6 6
∆L = ∞ x L x ( T1 – To ) = 16 x 10 /°C x 150 cm x ( 10 – 18 )°C-6
∆L = 0.0192 cm Esto significa que la varilla tiende a reducir su longitud pero los muros no lo permiten, por lo que esta soportando una tensión.
∆L = como P x L
A x Ecu P A
= σ :. σ = ∆L x EcuL
σ =0.0192 cm x 1.1 x 10 kg/cm²
150 cm= 140.8 kg/cm²
Si no fuera x los muros seria un esfuerzo de compresión por eso es de tensión.
Problema: Una barra de acero cuadrado tiene 5 cm por lado y 25 cm de longitud, se cargo con una fuerza de compresión axial de 20,000 kg la relación de poisson es de 0.3. determinar la variación unitaria de volumen.Datos:A = 5 x 5 = 25 cm²; L = 25 cm ; P = 20000 kg ; E = 2.1 x 10 kg /cm² ; µ = 0.3 ∆V V
6
= ?
20,000 kg
25 cm
5 cm
5 cm
∆L =P x L
A x E
∆L =25 cm² x 2.1 x 10 kg/cm²
6 20000 x 25 cm
∆L = 0.0095 cm
∆VV
= ϵ ( 1-2µ ) como ϵ =∆L L
Se tiene∆VV
∆LL
( 1- 2µ )=
∆VV
=0.0095
251- ( 2 x 0.3) = 0.000152
Calculo de la variación de volumen
∆V∆LL
= ( 1- 2µ ) X V
∆V =∆L
L( 1- 2µ ) X A x L
∆V = 0.095 cm³
Problema:Durante un ensayo de tracción de una varilla de acero en frio de 13 mm de diámetro, se obtuvieron los siguientes datos:No. Carga axial
en kgAlargamiento cm
1 0 0
2 570 0.0010
3 830 0.0015
4 1020 0.0020
5 1380 0.0025
6 1650 0.0030
7 1920 0.0035
8 2200 0.0040
9 2460 0.0045
10 2750 0.0050
11 3040 0.0055
12 3300 0.0060
13 3110 0.0100
No. Carga axial en kg
Alargamiento cm
14 3140 0.0200
15 3140 0.0300
16 3140 0.0400
17 3120 0.0500
18 3140 0.0600
19 3160 0.1250
20 3500 0.2500
21 4230 0.5000
22 4460 0.7500
23 4560 1.0000
24 4560 1.2500
25 4460 1.5000
26 4300 1.7500
27 4020 1.8750
A la rotura el diámetro final de la barra en la sección que se produce, este fue de 0.75 cm. La longitud patrón es de 5 cm. Aumento a 6.875 cm.Con los datos Calcular:a)El limite de proporcionalidad del materialb) El modulo de elasticidadc) El porciento de alargamiento y el de reducción de area. d) La resistencia a la rotura
Datos: diámetro = 13 mm ; L = 5 cm ;
A = π x D² = 0.785 ( 1.3 cm )² = 1.327 cm² 4
σ = P = de tabla = 570 kg = 429.54 kg/cm² A 1.327 cm² 1.327 cm²
ϵ = ∆L L
= =0.0010 cm
5 cm0.0002
σ =830 kg
1.327 cm²= 625.47 kg/cm²
ϵ =De tablas
L=
0.0015 cm5 cm = 0.0003
No. σ ϵ1 0.0 0.0
2 429.54 2 x 10
3 625.47 3 x 10
4 768.65 4 x 10
5 1039.94 5 x 10
6 1243.40 6 x 10
7 1446.872
7 x10
8 1657.875
8 x10
9 1853.805
9 x 10
10 2072.34 0.001
11 2290.88 0.0011
12 2486.81
0.0012
13 2343.63 0.002
14 2366.24 0.004
No.
σ ϵ
15 2366.24 0.006
16 2366.24 0.008
17 2351.16 0.010
18 2366.24 0. 012
19 2381.31 0.025
20 2637.53 0.050
21 3187.64 0.100
22 3360.96 0.150
23 34.32 0.200
24 3436.32 0.250
25 3360.96 0.300
26 3240.39 0.350
27 3029.39 0.375
-4
-4
-4
-4
-4
-4
-4
-4
a) Limite de proporcionalidad del material = P = 2486.812 kg/cm² Es la máxima Tensión b) Calculo del modulo de elasticidad = E =
σϵ =
2290.882 kg/cm²0.0011
E = 2,086,620 kg/cm² Aprox. E = 2.1 x 10 kg/cm² 6
E =σ
ϵ =2290.882 – 1657.875
0.0011 – 8 x 10-4 = 2.11 x 10 kg/cm²
6
c) Calculo del porcentaje de alargamiento , Si L = 5 cm y LF = 6.875 cm Diámetro inic. = 13 mm , diámetro final = 0.75 cm
% Alargamiento
LF – Lo Lo
= = 6.875 cm – 5 cm 5 cm
=X 100 37.5
% Reducción de área
Ao – AF Ao
= =X 1001.327 – 0.4417 1.327
X 100 = 66.7
x
x x
x
xx
Punto de rotura real
Punto de rotura aparente
Tensión de rotura
Tensión
σ = PA
Limite elástico
Limite de proporcionalidad
Punto de Fluencia
Deformación 0
Diagrama – tensión - deformación
ϵ =
₰
L
(∆L)
L=
Esfuerzo ultimo o´ limite de resiliencia
2726
2524
2322212019181716151413
12 P = 2486.811110987654321
0 0.0020.0012 0.004 0.006 0.008
2366.24 Kg/cm²
Zona plástica
Zon
a
elá
sti
caσ = 3436.22 kg/cm²
Resistencia a la rotura del material = B= 3029.39 kg/cm²
2343.632 = Limite elástico
ProblemaSe tiene una placa de acero rectangular de 3 x 1.2 m y 8 mm espesor sobre la que se coloca un cilindro macizo de acero de 10 cm de diámetro mismo que soporta una carga de 1450 kg y tiene una longitud de 30 cm. Calcular la tensión de corte o el esfuerzo cortante que se induce en la placa de acero.
1450 kg10 cm
30 cm
1.2 m
3m
Esta es el área de trabajo de corte A = π x D x e
8 mmDatos .e = 8 mm = 0.8 cmCilindro macizoDiam= 10 cm ; L = 30 cmCarga= P= 1450 kgA = πDe = 3.14 x 10 x 0.8A = 25.1328 cm²
Ƭ = PA
=1450 kg
25.1328 cm²= 57.6935 kg/cm²
Ƭ =Tensión cortante o esfuerzo cortante en kg/cm²
Problema.Calcular la tensión de cortante o el esfuerzo que se ejerce sobre una placa de acero rectangular de 30 x 1.20 cm y de 8 mm de espesor, por un cilindro hueco de 10 cm de diámetro exterior y 8 cm de diámetro interior y 30 cm de longitud.Datos:Cilindro huecoDiam int.= 8 cm; diam ext.= 10 cm ; L = 30 cmP = 1450 kgƬ = ?A Trab. = A ext. + A int
A ext. = π x diam ext. X e = 3.14 x 10 x 0.8 cm²= 25.133 cm²A int = π x diam int x e = 3.14 x 8 x 0.8 cm² = 20.106 cm²A trab. = 25.133 + 20.106 = 45.23904 cm²
Ƭ = PA
= 1450 kg45.239 cm²
= 32.0519 kg/cm²
ProblemaSe desea saber la capacidad adherente de una adhesivo, pegamento o cola, para lo cual se utilizan unos trozos de madera encolados como se muestra en la figura.Calcular cual es la tensión cortante a la que será expuesto el material, si requiere una resistencia de adherencia de 30 kg/cm². ¿ pasara o no la prueba de adherencia la cola?
Datos:P = 120 kg ; A = 10 x 8 = 80 cm²P = 120 cos 30° = 103.923 kg
Ƭ =10 cm
8 cm
30°
P= 120 kg
PA
==103.923 kg
80 cm²1.299 kg/cm²
P = Ƭx A = 30 kg/cm² x 80 cm² = 2400 kg Esta fuerza es cuando se aplica al eje de la x.
2 cm
2 cm
P = 2400 kgCos 30°
= 2771.281 kg
Esta fuerza es cuando se tiene un > 30°
30°
P = 120 kg
Esta carga como se puede observar es muy pequeña comparada con la carga máxima que puede resistir el adhesivo que puede ser hasta 2771 kg. Por lo que la prueba si pasa.
ProblemaDeterminar el esfuerzo en cortante que una polea con una carga de 5000 kg cm, ejerce sobre la cuña de sección rectangular de 3 x 12 cm, que esta insertada en una flecha de 5 cm de diámetro.
Datos:M = 5000 kg cmD = 2.5 cmA = 3 x 12 cm = 36 cm²
M = F x d = P x d :. P =Md
P =5000 kg cm 2.5 cm
= 2000 kg
Ƭ =PA
=2000 kg cm 36 cm²
= 55.556 k/cm²
cuña
polea
flecha15 cm5 cm
5000
kg
cm
= M
polea
cuña
flecha
3 cm 12 cm
3 cm
ProblemaDiseñar una flecha maciza de acero para transmitir 40 kw de potencia con una rapidez de 25 hz. El esfuerzo cortante permisible de la flecha es de 60 MPa.
Datos:1 j = N x m = ( kg m/s² ) x m = kg m² / s² ; 1 Pa= 1 N/m² = 1 kg m sPotencia = 40 Kw = 40 x 10³ w = 40 x 10³ J/s Flechaƒ = frecuencia = 25 Hz = 25 1/sƬ = 60 MPa = 60 x 10 Pa
Ƭ =
6
PA
; A = π(d/2)² :. Ƭ= P
π ( d/2 )²:. P = Ƭ x π (d/2 )²
M =Pƒ
=40 x 10³ j/s25 1/s = 1600 j
Trabajo = T = P x d; si T = M ; M = P x r como r = d/2 , entonces M = P x d/2:. P = M
d/2Igualando M
d/2= Ƭ x π (d/2)² ; M
Ƭx π=
d2
d²4 =
d³ 8
d = 1600 kg m²/ s² x 8
60 x 10 kg /m s² x π
-1 -2
6
1/3
= 0.04079 m = 4.08 cm diámetro de la flecha
ProblemaEn el sistema mostrado en la figura con los datos que se adjuntanCalculara)La deformación de cada barrab) El alargamiento total del sistemac)La deformación unitaria de cada barra y el esfuerzo unitario de cada barra
Datos:E latón = 1.1 x 10 kg/cm²E acero = 2.1 x 10 kg/cm²A latón = 6 cm² ; L latón = 80 cmA acero = 2 cm² ; L acero = 50 cmP = 18 KN = 18000 /9.80665 kgf = 1835.489 Kgf∆L latón = ?∆L acero = ?
6
680 cm
50 cm
A latón = 6 cm²
A acero = 2 cm²
P = 18 KNSolución
a) ∆L latón = P LAE
=1835.489 x 806 x 1.1 x 10 6 = 0.022 cm
∆L acero =
== P LAE
1835.489 x 502 x 2.1 x 10 6
0.022 cm
b) Calculo del alargamiento total del sistema = ∆L T = ∆L lat. + ∆L Ac = 0.022 + 0.022 ∆L T = 0.044 cm
c) ϵ = ∆L latón
L latón ==
=
0.022 80
0.000275
ϵ ==∆L acero
L acero 0.000440.022
50
Calculo de la tensión unitaria de cada barra:
σlatón =
σ =PA
1835.489 kg 6 cm²
aceroσ = 1835.489 kg 2 cm²
=
=
305.91 kg cm²
917.7445 kg cm²
ProblemaUn cilindro hueco de acero rodea a otro macizo de cobre y el conjunto esta sometido a una carga axial de 25,000 kg. La sección de acero es de 18 cm², mientras que la del cobre es de 60 cm², ambos cilindros tienen la misma longitud antes de aplicar la carga.Determinar el aumento de temperatura del sistema necesario para colocar toda la carga en el cilindro de cobre y la placa de la cubierta de la parte superior del conjunto. Considerar para el cobre E = 1.1 x 10 kg/cm² y ∞ = 17 x 10 1/ °C y para el acero E = 2.1 x 10 kg/cm² y ∞ = 11 x 10 1/ °C.
- 66
6 - 6
25,000 kg
cobre
acero
25,000 kg
t1 =?
toCu
acero
∆L = ∞ x L x ∆T Aumento de longitud por temperatura
∆L = PLAE Deformación x carga
L Cu = L Ac ; ∆L Cu = ∆L Ac y ∆T Ac = ∆TCu
∞Cu x L Cu x ∆T Cu - PCu x Lcu
Acu x E Cu= ∞AC x L AC x ∆T AC La dif. De la long. Por
temperatura menos la deformación por carga del Cu es igual al aumento de long. Por temperatura del acero
L Cu ∞Cu x ∆T Cu -
Pcu
Acu ECu= LAC ( ∞ AC x ∆TAC )
∞Cu x ∆T Cu -
Pcu
Acu ECu= ∞ AC x ∆TAC
∞Cu x ∆T Cu -
∞ AC x ∆TAC =
Pcu
Acu ECu
∆T ( ∞Cu - ∞ AC )
= Pcu
Acu ECu
∆T= Pcu
Acu ECu ( ∞Cu - ∞ AC )
1x =
=
x25000 kg
60 cm²x 1.1 x 10 kg/cm²6 17 x 10 -11 x10-61
∆T
- 6
=25000 kg
66 x 10 kg ( 6 x 10 1/°C)-625000
396 x 1/°C= 63.13°C
Problema.-Una columna de concreto reforzado con cuatro varillas de 2.4 cm de diámetro colocadas como se muestra en la figura, es sometida a una carga de 6 ton. Determinar el esfuerzo en el concreto y el acero así como la longitud final del sistema. E acero = 30 x 10 lbs./ plg²6
30 cm
40 cm
Vista de planta
250 cm
6 tonE concreto = 3.8 x 10 lbs/plg²
6
SoluciónDiámetro de la varilla = 2.4 cm2.4 cm = 0.945 pulg.Avarilla = π/4 x D²Avarilla = 0.785 ( 0.945 )² = 0.701 plg²ATOT Ac = 4 ( 0.701 ) = 2.804 plg²
Carga de la columna = P= 6 ton = 6000 kg x 2.2 lb 1 kg
Calculo del esfuerzo acero = σ =
= 13,200 lb
AC
PAAC
= 13,200 lb2.804 plg²
= 4707.56 lb plg²
A TOT concreto = Área de la columna – Área total del acero
= - 2.804 = 183.2 plg² 302.54
402.54
x
Calculo del esfuerzo en el concreto = σ concreto = 13,200 lbs. 183.2 plg²
= 72.05 lb/plg²
El esfuerzo total es : σ TOT = σacero + σ concreto = 4707.56 + 72.05 = 4779.61 lb/plg² L = 250 cm/2.54 = 98.425 plg.
Calculo del alargamiento o contracción en este caso el que origina la carga sobre la columna:
∆LAC = σAC L EAC
=4707.56 lb/plg² x 98.425 plg 30 x 10 lb/plg²6 = 0.01544 plg
∆L conc ===σconc L Econc
72.05 lb/plg² x 98.425 plg 3.8 x 10 lb/plg²6
0.0019 plg
∆L T = ∆LAC + ∆L conc = 0.01544 + 0.0019 = 0.01734 plg
LF = Lo - ∆LT = 98.425 - 0.01734 = 98.408 plg x 2.54 cm= 249.95 cmLa contracción de la columna fue de : 0.050 cm
Problema.-Tres barras cilíndricas con un diámetro de 2 plg. unidas rígidamente como lo muestraLa figura. Determinar la deformación total del sistema de acuerdo a los datos que se indican: P1=1700 lb ; P2 = 1300 lb y P3 = 2300 lb
36 cm14.173 plg
26 cm10.236 plg
16 cm6. 3 plg
P1 = 1700 lb E1 = 30 x 10 lb/plg²
P2 = 1300 lb
P3 = 2300 lb
E2 = 17 x 10 lb/plg²
E3 = 10 x 10 lb/plg²
acero
bronce
aluminio
6
6
6
2 plg.
Área transversal de las barras = AT = π/4 x D² = 0.785 x (2)² = 3.14 plg²Volumen = A x L :. VAC = 3.14 ( 14.173 ) = 44.5 plg²Vbronce = 3.14 ( 10.236 ) = 32.14 plg²Valuminio = 3.14 ( 6.3 ) = 19.782 plg²
Como no tenemos datos de los pesos específicos de los materiales de las barras, los esfuerzos unitarios se van a calcular con las cargas que soportan.
σAC = PAC
AAC==
= ==
=
1700 lb3.14 plg²
541.4 lb/plg²
σBRONCEPAC + PBronce
ABRONCE
1700 lb + 1300 lb
3.14 plg²
3.14 plg²955.414 lb/plg²
σaluminio = =PAC + Pbronce + Paluminio
A aluminio
1700 lb + 1300 lb + 2300 lb 1687.898 lb/plg²
Cálculos de las deformaciones longitudinales de cada barra:
∆L=
=
=
=
==
∆L Aluminio
∆L Bronce
∆L∆L
σL E
∆LAC541.4 lb/plg² x 14.173 plg
30 x 10 lb/plg²0.0002558 plg
6
6
6
17 x 10 lb/plg²
955.414 lb/plg² x 10.236 plg
=1687.898 lb/plg² x 6.3 plg
10 x 10 lb/plg²
0.0005752 plg
0.00106 plg
La deformación total del sistema es : TOT = AC + ∆Lbronce + ∆L aluminio
∆L TOT = 0.0002558 + 0.0005752 + 0.00106=0.00189 plg=
Problema.-Una varilla de acero de 150 mm² de sección, esta sujeta de sus extremos a dos puntos fijos, estirada por una fuerza total de 8570 kg a 20°C.Calcular el esfuerzo de la varilla a – 20°C e indicar a que temperatura se anulara el esfuerzo. Datos:E = 2.1 x 10 kg/cm²∞ = 11 x 10 1/°CL = 30 cm
6
-630 cm
P = 8570 kg
σ = ?T1 = ?To = 20°C
A = 150 mm² = 1.5 cm²
σinic. PA
= == 8570 kg
1.5 cm²5713.33 kg/cm²
σ = ∆L x E L
; ∆L = ∞ x L x ∆T = 11 x 10 1/°C x 30 cm x ( - 20 – 20 )°C-6
∆L=- 0.0132 cm
σa - 20°C =∆L x E L
=- 0.0132 cm x 2.1 x 10 kg/cm²
6
30 cm= 924 kg/cm²
Calculo de la deformación inicial ∆Linic.
∆L =Inic.a 20°C
σL E
== 5713,33 kg/cm² x 30 cm2.1 x 10 kg/cm²6
0.08162 cm
∆L = L x ∞ x ∆T :. ∆T = ==∆LL x ∞
0.08162 cm30 cm x 11 x 10 1/°C-6 247.33°C
∆T = 247.33°C = ( TF – To ) = ( TF – 20)°C:. TF = 247.33 + 20°C = 267.33 °C A esta temperatura el esfuerzo unitario es igual al inicial, por lo tanto este se anula o neutraliza.
ProblemaSe desea perforar una placa de acero con un esfuerzo cortante ultimo de 300 MpaSi el esfuerzo de compresión admisible de la barra de punción es 400 Mpa, determine el máximo espesor de la placa, para perforar un orificio de 100 mm de diámetro.
σ =400 MPa
e Ƭ =400 MPa10 cm
σ = PA
:. P = σA = 400 x 10 x 0.00785 = 3.14 x 10 N6 6
A = 0.785 (0.1)² = 0.00785 m²
Ƭ =PA
= 300 x 106
:. A = 3.14 x 10300 x 10
66 = 0.01047 m²
A = π x d x e =0.01047 m² = 104.7 cm²
e = 104.7π x 10
= 3.33 cm
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