Programa de Doctorado en Ingeniería Aeronáutica – Capítulo IV. Comportamiento elástico de los
materiales
Comportamiento Mecánico de Materiales – Dr. Alberto Monsalve González 4 - 1
Comportamiento elástico de los materiales
Bases Atómicas del Comportamiento Elástico
Energía y Fuerza de Enlace
La Energía Potencial V de un par de átomos puede expresarse como una función de la
distancia de separación entre ellos, r:
mn r
B
r
AV
A, B son constantes de proporcionalidad para atracción y repulsión.
m, n son exponentes que determinan la variación apropiada de V con r.
La fuerza de atracción y repulsión que existe entre dos átomos se obtiene de
r
VF
Por tanto: 11
mn r
mB
r
nAF
Redefiniendo constantes:
MN r
b
r
aF
MmNn
bmBanA
11
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Fuerza
Repulsión
Atracción
Mínimo
r0
distancia
interatómica
MN r
b
r
aF
Energía Potencial
Repulsión
Atracción
r0
distancia
interatómica
Mr
bF
M
MN
r
AV
r
B
r
AV
Mr
BV
La separación de equilibrio entre dos átomos r0, está dada por el valor de r que
corresponde al mínimo de energía potencial.
La fuerza neta es cero para r = r0 y un desplazamiento en cualquier dirección provocará
la acción de fuerzas que restauran el equilibrio.
Por lo tanto los átomos en una red cristalina tienden a estar arreglados en un patrón
definido, con respecto a sus vecinos.
Las deformaciones macroscópicas elásticas son el resultado de un cambio en el
espaciado interatómico.
Por lo tanto, las deformaciones se pueden expresar como:
0
0
r
rr
Nr
aF
Figura 1. Diagramas de energía potencial y fuerza de interacción frente a la distancia interatómica.
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00
2
2
rrrr r
VE
r
F
Figura 2. Diagrama de fuerza frente a distancia interatómica.
Ind. Recordar que EykrF
Fuerza
rr
0
MN r
b
r
aF
dr
dF
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Figura 3. Diagramas de energía potencial y fuerza de interacción frente a la distancia interatómica.
Observaciones.
a) F es cero a la distancia de separación r0
b) Si los átomos son alejados o acercados una distancia 0rr , aparece una fuerza que
se opone a este cambio en la distancia.
c) La fuerza es aproximadamente proporcional a r - r0 si r - r0 es pequeño, tanto en
tensión como en compresión.
d) La rigidez (stiffness) del enlace es
V
r
F
r
Repulsión
Atracción
r0
0
r
V
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2
2
r
V
r
FS
e) Cuando la perturbación es pequeña, S es constante e igual a
0
2
2
0
rrr
VS
De esto se deduce que el enlace se comporta de manera elástica – lineal.
Esto significa que la fuerza entre pares de átomos, separados una distancia r es
00 rrSF
F F
r0
r
Figura 4. Esquema de las fuerzas de interacción entre dos átomos.
Dado un sólido con un número muy grande de pares de átomos por plano la fuerza por
unidad de área será:
00 rrNS
N: Nº de enlaces/área = 2
0
1
r
2
0r : área promedio por átomo
Si r-r0 se divide por r0
0
0
r
rrn
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0
0
0
0
r
SE
r
Sn
S0 se calcula a partir de 2
2
r
V
La curva de esfuerzo versus deformación en compresión es la extensión de la curva a
tracción.
Zona
Elástica
Zona
Elástica
Figura 5. Diagrama - para un material en general.
Propiedades que dependen del enlace
a) La fuerza del enlace (temperatura de fusión) es proporcional a la profundidad del
pozo de potencial.
b) El coeficiente de expansión térmica está relacionado con la asimetría de la curva de
energía potencial versus distancia interactiva.
c) El módulo de Young, es proporcional al radio de curvatura del mínimo de la curva
de energía potencial versus distancia interatómica.
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Ejercicio: En los siguiente ejemplos ordenar los materiales por punto de fusión,
coeficiente de dilatación lineal y módulo de Young.
V V
r r
r
V V
r
Figura 6. Diversos casos de curva de energía potencial versus difracción interatómica.
Tabla 1. Propiedades de diversos materiales.
Elemento Coeficiente de
dilatación lineal
(1/° C)
Temperatura de
fusión(°C)
Módulo de Young
(GPa)
Pb 29,3X10-6 327,4 14
Zn 39,7X10-6 419,5 43
Mg 26,1X10-6 650 41
Al 23,6X10-6 660 69
Ag 19,6X10-6 960,8 76
Cu 16,4X10-6 1083 124
Fe 12,2X10-6 1536,5 196
Cr 6,2X10-6 1875 289
W 4,6X10-6 3410 406
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Introducción a la teoría de la elasticidad
En la teoría elástica existen dos requerimientos:
i) La teoría debe predecir la conducta de los materiales bajo la acción de las fuerzas
aplicadas.
ii) La teoría debe ser simple de tal manera que la matemática pueda ser aplicada en un
amplio rango de problemas para permitir la solución de las ecuaciones planteadas.
Para cada tipo de esfuerzo existe una deformación correspondiente.
La propiedad que le permite a un cuerpo recuperar su forma inicial, al dejar de actuar la
carga, se denomina ELASTICIDAD.
Un cuerpo es perfectamente elástico si recupera completamente su forma inicial.
Supuestos de la teoría de la elasticidad
En la teoría de la elasticidad se asume que el material es:
i) Perfectamente elástico
ii) Continuo
iii) Homogéneo (las propiedades son las mismas en todos los puntos)
iv) Isotrópico (todas las propiedades son iguales en todas las direcciones alrededor
de un punto dado).
El material, desde el punto de vista atómico dista mucho de cumplir estas condiciones
Ej. Materiales Anisótropos Laminados Texturas
Formulación tensorial de la ley de Hooke
La ley de Hooke se puede generalizar como:
C
“La extensión es proporcional a la fuerza”
klijklij C
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ijklC : Es un tensor de cuarto orden y representa una constante elástica (34 = 81
componentes)
Dado que
i) El tensor esfuerzo es simétrico.
jiklijkljiij CC
6·3·3 = 54 componentes.
ii) El tensor deformación es simétrico.
lkkl 36 componentes
iii) Aplicando el teorema de reciprocidad.
klijijkl
ij
kl
kl
ijCC
21 componentes.
Indicación: Un tensor de orden 2 y dimensión n posee n2 elementos. Al ser simétrico
el número de componentes es 2
)1( nn
iv) Planos de simetría.
xy
xz
yz
z
y
x
xy
xz
yz
z
y
x
CC
CC
CCC
6616
2212
161211
....
.
.
.
...
Al existir un plano de simetría xy
C14 = C15 = C24 = C25 = C16 = C56 = 0
Al existir un plano de simetría yz
C46 = C26 = C34 = C35 = C36 = C45 = 0
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Un tercer plano de simetría no agrega nada nuevo por tanto, con dos o tres simetrías, se
tiene
66
55
44
332313
232212
131211
00000
00000
00000
000
000
000
C
C
C
CCC
CCC
CCC
9 Ctes.
Esto quiere decir que para materiales ortótropos (3 planos de simetría), Cijkl se reduce a
nueve constantes.
v) Isotropía: Mismo comportamiento en todas las direcciones
Al rotar el sólido deben preservarse las propiedades
CASO I: Giro respecto del eje x
Matriz de Transformación
010
100
001
a
Nota: Cada elemento de a corresponde a
jiij xxa ,'cos
I II
III
x xx
yyy
zzz
z'
y'
x'
y' x'
y'
Figura 7. Giros para un material isótropo.
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por ejemplo 1,'cos11 xxa
0,'cos13 zxa
1,'cos32 yza
zyzxz
yzyxy
xzxyx
ij
yyzxy
yzzxz
xyxzx
T
ijij aa
'
yyzxy
yzzxz
xyxzx
T
ijij aa
'
xy
xz
yz
z
y
x
xy
xz
yz
z
y
x
C
C
C
CCC
CCC
CCC
66
55
44
332313
232212
131211
00000
00000
00000
000
000
000
(1)
xz
xy
yz
y
z
x
xz
xy
yz
y
z
x
C
C
C
CCC
CCC
CCC
66
55
44
332313
232212
131211
00000
00000
00000
000
000
000
(2)
de (1) de (2)
zyxx CCC 131211 (*) yzxx CCC 131211 (**)
de (*) y (**) se tiene C12 = C13
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zyxy CCC 232212 (***) yzxz CCC 232212 (****)
zyxz CCC 332313 yzxy CCC 332313
(***) con 3322 CC
yzyz C 44 yzyz C 44
xzxz C 55 xyxy C 55
xyxy C 66 xzxz C 66
6655 CC
CASO II: Giro respecto del eje z
Matriz de transformación
100
001
010
a
5544
2313
2211
CC
CC
CC
La matriz de coeficientes queda
C
C
C
ABB
BAB
BBA
C
C
C
CCC
CCC
CCC
00000
00000
00000
000
000
000
00000
00000
00000
000
000
000
44
44
44
111212
121112
121211
CASO III. Giro con respecto al eje z en un ángulo cualquiera
cossen
sencosa
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yxy
xyx
yxy
xyx
''
''
cossen
sencos
cossen
sencos
2cos2
2sen' xyxyxy
Además, al aplicar la matriz de coeficientes
zxyy
zyxx
xyxy
BA
BA
C
2cos2
2' xyyxxy C
senBAAB
Además
xyxy C ''
xyxy C ''
pero
2cos2
2' xyxyxy
sen
2cos2
2sen2cos
2
2senxyxyxyyx CCCAB
BAC
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Constantes de Lamé ,
ijijkkij
yzyz
xzxz
xyxy
zyxz
zyxy
zyxx
A
B
C
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Relación entre los coeficientes elásticos y los valores obtenidos experimentalmente
Tracción
xz
xy
xx E
= coeficiente de Poisson
ijkk
ijij
kkkk
kkkkkk
ijkkijij
231222
1
2312
3·22
1
22
1
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Finalmente :
ijkkijij
3222
1
Ensayo de tracción 0 zy
32
1
32
32
2
1
3222
1
E
E
xji
xxx
xxx
Dado que 0 zy (tracción uniaxial)
)(22
322
2
322
322
x
y
xx
xz
xy
Ensayo de cortadura simple
xyxyxy
xyxyxyxy GG
22
0
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ya que ijkkijij
3222
1
entonces xyxyxyxy
xy
xy Gquedadoy
22
2
G
, en función de E y
211
E
12
E
EG
EG
12
ijkkijij
ijijkkij
ijijkkij
EE
EE
1
1211
2
Módulo de compresibilidad
vv
K m
Corresponde al cambio de volumen en un material al aplicársele una carga.
Si 0
0
Kv
Kv
3
32
32
312
m
mmm K
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Finalmente ij en función de E y
GE
GE
GE
xy
xyyxzz
yz
yzzxyy
xzxzzyxx
1
1
1
Energía de deformación
Sea un sólido que en 0t está sin deformar. Consideremos el sólido en dtt
Si u
es el desplazamiento dtt
uu
es el desplazamiento final.
Considerar dW : Incremento de trabajo, dW puede deberse a fuerzas de superficie o
fuerzas de volumen.
dtuudtt
uu ii
ii
Fd
desplaztrabajo
dtudVxdtudAdW iiiiiju
.
0,
ijij
V
ii
A
ijij
iiijij
u
xdVuxdAudt
dW
udVxudAdt
dW
Teorema de Gauss
dV
x
FdVFdSdF
i
ii
S
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V
ijij
V
ijij
V
jiij
ijij
V
jiij
dVdt
dW
dVdVu
dVudVudt
dW
,
,,
Densidad de energía de deformación
ijijijij ddUdt
dU 0
0
mmijij
ijijmijij
ijijmijijij
dd
dd
dddU
92
32
320
22
90
00
0
mijij
t
U
dU
ij
ijijmijij
mijU
2
1
2
9
322
3
2
2
0
ijijU 2
10
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Ejercicios propuestos
1.- Se considera un prisma regular cuyo material tiene un módulo de elasticidad
E=2,8x105 kg/cm2 y coeficiente de Poisson =0,1. La longitud del lado de la sección
recta es a=20 cm. En ambas bases del prisma se colocan dos placas perfectamente lisas y
rígidas de peso despreciable, unidas entre sí mediante cuatro cables de sección 1 cm2 y
módulo de elasticidad E1 = 2x106 kg/cm2 de longitudes iguales a la altura del prisma l=1
m, simétricamente dispuestos como se indica en la figura.
Sobre las caras laterales opuestas del prisma se aplica una fuerza de compresión
uniforme p=750 kg/cm2. Se pide calcular:
a) Tensión en los cables
b) Tensiones principales en el prisma
c) Variación de volumen experimentada por el prisma
2.- Demostrar la siguiente ecuación de compatibilidad
zyxxzy
xyxzyzx2
2
a
a
p
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3.- Un bloque de aluminio es comprimido entre paredes de acero perfectamente rígidas y
lisas (= 0.3; E=6000 Kg/mm2). Determinar:
a) Las dimensiones del agujero si las presiones laterales no deben exceder de 2 Kg/mm2
b) El cambio de volumen del bloque.
c) Las deformaciones normal y cizallante en un plano cuya normal es
kjin 223
1ˆ.
y
z
y
50
mm
P=12
Ton
50
mm 30 mm
x