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MATEMÁTICA “I”
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SEGÚN LAS INSTRUCCIONES QUE SE IMPARTEN PARA CADA GRUPO DE
ÍTEMS DE CARÁCTER OBJETIVO, ESCRIBA LO QUE CORRESPONDA.
A.- En los siguientes enunciados, escriba en el espacio interlineado ubicado a la
izquierda de cada uno, la letra (V) si la contestación es verdadera y la letra (F)
si es falsa. En las falsas escribir el porque en el espacio indicado, bajo cada
ítem.
1. …… 5x132x
………………………………………………………………………………...
2. …… La conectiva predominante de la siguiente proposición compuesta
[ p ( p q ) ] ( p q ) es la condicional.
………………………………………………………………………………...
3. …… Una proposición es un enunciado que puede ser verdadero y falso.
………………………………………………………………………………...
4. …… Sea A = {x, y}, el conjunto Card(A) = 2
………………………………………………………………………………...
5. …… Si p: “2 + 3 = 8”; V(p) = V
………………………………………………………………………………...
6. …… El valor absoluto de un número es un número negativo.
………………………………………………………………………………...
7. …… Una proposición se dice que es una tautología si su valor de verdad es
siempre V independientemente de los valores de las proposiciones que lo
componen.…………………………………………………………………
8. …… La inecuación ax , para a > 0 es igual a la doble inecuación – a < x < a.
………………………………………………………………………………...
9. …… La disyunción es aquella proposición que es verdadera cuando al menos una
de las dos p o q es verdadera, y falsa en caso contrario. ……….…..........
10. …… La inecuación ax , para a > 0 es igual a x < a v x > – a.
………………………………………………………………………………...
11. …… La disyunción de dos proposiciones p, q, se escribe: p v q, y se lee "no p o
q".……………………………………………………..........
12. …… El valor absoluto de un número negativo, es igual al valor absoluto del
mismo con signo contrario xx ……………………………..........
13. …… El cardinal del conjunto A. Se denota por Card(B).
………………………………………………………………………………...
14. …… Dadas las funciones f y g, la función compuesta denotada por f g, se
define como xfgxgf
………………………………………………………………………………...
15. …… Un conjunto es finito si consta de un cierto número de elementos distintos,
es decir si al contar los diferentes elementos del conjunto el proceso de
contar no se puede acabar.……………………………………………………
16. …… Simplificación o también denominado reducción, consiste en aplicar las
leyes del álgebra de las proposiciones en enunciados extensos, hasta llegar a
una proposición muy simple.…………………………………………..........
17. …… Si f y g son dos funciones tales que f (g(x)) = g( f (x)) = x, entonces f y g son
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funciones inversas.………………………………………...
18. …… La intersección de A y B se puede definir: A B = { x / x A x B }
………………………………………………………………………………...
19. …… Los conjuntos se describen por extensión, que es la enumeración de cada
uno de los elementos que conforman el conjunto. …….…………………......
20. …… Si dos conjuntos A y B no tienen ningún elemento común entonces A y B
son intersecantes……………………………………………………………..
21. …… La conjunción es verdadera cuando las dos proposiciones son falsas.
………………………………………………………………………………...
B.- EN LOS SIGUIENTES ENUNCIADOS, COMPLETE DE MANERA
CORRECTA LOS ESPACIOS INTERLINEADOS INDICADOS EN CADA
UNO DE ELLOS.
1. F ~ ( r ~ s ) F, corresponde a la ley de proposiciones
denominada..........................
2. Si tenemos dos proposiciones (variables), cuantas posibilidades existen para formar
la tabla de verdad……………………….
3. Proposiciones compuestas son aquellas que están formadas por una o más
proposiciones simples, ligadas por uno o más……………………………………
4. Conjunción es aquella proposición que es verdadera cuando p y q son……………….
5. Sea A = { }, se denomina conjunto.......................................
6. La bicondicional es aquella proposición que es verdadera cuando p y q
tienen………...................................................
7. Sea B = {p, q}, el conjunto potencia de B es………………………………………….
8. Una proposición se dice que es una contradicción si su valor de verdad es
siempre…………………...
9. La conjunción de dos proposiciones p, q, se escribe…..…….... y se lee……..………
10. Proposiciones simples son aquellas que……………………………………………..
11. Si tenemos tres proposiciones (variables), cuantas posibilidades existen para formar
la tabla de verdad……………………….
12. Una proposición o enunciado es una oración que puede ser…………………………
13. La bicondicional de dos proposiciones p, q, se escribe……….…y se
lee…………...................................................
14. Si tenemos una proposición (variable), cuantas posibilidades existen para formar la
tabla de verdad……………………….
15. El conjunto A se llama Dominio de la función y el conjunto B……………………….
16. La representación gráfica de un conjunto mediante figuras geométricas cerradas, se
denominan………………………………………………………….
17. La unión de conjuntos se define como: A B = {x / x….…………………}
18. Se define la diferencia de dos conjuntos también como: A – B = {x / x A y……....}
19. Si aA, el elemento de B que le corresponde a a se llama imagen de a, se denota por
f(a) y se lee…………………….
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20. Complete la tabla de verdad escribiendo los operadores lógicos correspondientes.
P …. ( P …. Q )
V
V
F
F
V
F
V
V
V
V
F
F
V
F
F
V
V
F
V
F
21. Los elementos de un conjunto se designan por letras……..…………………..
22. Complete la tabla de verdad escribiendo los operadores lógicos correspondientes.
( P …. Q ) …. ( P …. Q )
V
V
F
F
V
F
F
F
V
F
V
F
V
V
V
F
V
V
F
F
V
V
V
F
V
F
V
F
23. El conjunto que no contiene elementos o carece de elementos se
denomina……………..
24. En una función, x e y se les llama variables, a la x: variable independiente y a la
y:…………………………………………………..
25. Sea , el símbolo utilizado en la Teoría de Conjuntos, éste, se denomina
conjunto…………………....
26. Complete la tabla de verdad escribiendo los operadores lógicos correspondientes.
P …. ( Q …. P )
V
V
F
F
F
F
F
V
V
F
V
F
V
V
V
F
V
V
F
F
C.- EN LOS SIGUIENTES ENUNCIADOS, SUBRAYE EL LITERAL
CORRESPONDIENTE A LA SOLUCION CORRECTA.
Sean los conjuntos M = { 1, 2, 3 } y N = { 2 , 4, 6 }; la operación M N =
a) 2 b) { 2 } c) { 2, 3 }
Si dos conjuntos A, B no tiene elementos comunes, entonces estos conjuntos se
denominan:
a) Disjuntos b) Intersecantes c) Subconjuntos
Sea 6y , este enunciado es equivalente a:
a) 6 < y < – 6 b) y < 6 y > – 6 c) – 6 < y < 6
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Si dos conjuntos A, B tienen elementos comunes, entonces estos conjuntos se
denominan:
a) Disjuntos b) Intersecantes c) Subconjuntos
D.- EN LOS SIGUIENTES EJERCICIOS, SUBRAYE EL LITERAL
CORRESPONDIENTE A LA SOLUCION CORRECTA.
1. Determinar el conjunto solución del siguiente sistema de inecuaciones.
04x5x
11x
1x2
2
2. Determinar el conjunto solución de la siguiente inecuación.
42x
1x
3. Determinar el conjunto solución de la siguiente inecuación.
32
1
3x
5x
4. Determinar el conjunto solución de la siguiente inecuación.
21x
3x2
F.- DESARROLLAR LOS SIGUIENTES ENUNCIADOS MEDIANTE TABLAS
DE VERDAD.
1. P [ Q ( ~Q P )]
2. ( P ~ Q ) ~ R
3. [ ( P Q ) ~ P ] Q
4. P ( Q P )
5. ( P ~ Q ) P Indicar si es una tautología o contradicción.
6. ( P Q ) ( Q P ) Indicar si es una tautología o contradicción.
7. ~ ( P Q ) ( P Q ) Indicar si es una tautología o contradicción.
a) ST = [ 2 , ½ ]
b) ST = (– , 3] [4, )
c) ST = [– 2, 0]
d) Ninguna
a) (– ∞, –3 ] [ –7/5 , +∞ )
b) (– ∞, –5/7 ) ( 2 , +∞ )
c) (–3, – 1 )
d) Ninguna
a) (– ∞, ½ ] [ 3/4 , +∞ )
b) (11/9 , 25/3 ) – { 3 }
c) [ 1/3 , +∞ )
d) Ninguna
a) (– ∞, – 2 ] [14/11, +∞ )
b) ( 3 , 6 ) ( 8 , 9 )
c) [ – 2 , 5 ]
d) Ninguna
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G.- MEDIANTE TABLAS DE VERDAD DEMOSTRAR SI ES UNA
EQUIVALENCIA LÓGICA O IMPLICACIÓN LÓGICA; SEGÚN EL CASO
1. { [ ( P Q) (Q P )] ~ ( P Q) } ( Q ~ P)
2. Q~PQPPQQP
3. Q~P~~QPQP~QP~QP
4. ( P Q ) Q P Q
5. ~ ( P Q ) ~ P ~ Q
6. P ( Q P ) ~ ( P Q )
7. ( P Q ) ~ Q ~ P
8. ( P Q ) ~ P ~ Q
9. P ( P Q ) ( P Q )
H.- EN LOS SIGUIENTES ÍTEMS REALIZAR CORRECTAMENTE LO QUE
SE INDICA, APLICANDO LAS LEYES DE LAS PROPOSICIONES.
JUSTIFICANDO SU PROCEDIMIENTO.
H.1. Demostrar:
P Q Q P
P ( Q P ) P Q
( P Q ) ( Q ~ P )
( P Q ) Q ~ Q
P → P V
P ↔ [ ( Q P ) ( P Q ) ] ( ~ P Q )
( P Q ) (~ P ↓ ~ Q ) es una tautología
( P Q ) ( P ↔ Q ) es una tautología
P Q ( P ↔ Q ) es una tautología
[ ( P Q ) ( Q P ) ] ( P Q ) P ( Q P )
H.2. Simplificar:
( P Q) ( Q P )
(P ↔ Q ) ~ ( Q P )
( P Q ) Q
[~ ( P ↔ Q ) → ~ Q ] P
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[ P ( P Q )] ( P Q )
P ( ~ Q P )
( P Q ) ( ~ Q P )
Q ( P Q )
~ ( Q P ) ~ ( P Q )
I. EN LOS SIGUIENTES EJERCICIOS DETERMINAR ANALÍTICAMENTE
LO QUE SE INDICA Y SU RESULTADO REPRESENTARLO EN
DIAGRAMAS DE VENN.
1. Dados A = {4, 6, 8, 10, 12}, B = {3, 5, 7, 9} y C = {4, 7, 5, 10, 11} y
U = {x IN : 2 < x < 13 }. Halle:
a) A B b) (A B) C c) ( A – B) ( B – C)
d) (A – B)’ – B’ e) C – (A B) f) ( A B)’ ( C – B)’
2. Si U = { xZ: –5 < x < 5 }, A = { xZ: x 1 } y B = { xZ : x < 2} Determine:
a) A’ B’ b) A’ – B c) ( A B)’ d) (B’ – A’)’
3. Sean U = { xZ: –6 ≤ x < 9 }, A = { xZ: x ≤ 0 x > 2 } y
B = { x IR : x > 3 x < 5} Determine:
a) A B b) A’ – B’ c) ( A B)’ d) ( A’ B) – A
4. Dados los siguientes conjuntos U = { xZ: –2 ≤ x < 6 },A = { xZ: –1 ≤ x < 2 },
B = { xZ: 1 ≤ x < 3 x = 4 } y C = { xZ : x ≤ –1 x > 2}. Determine:
a) ( A’ – B) (CA) b) A (B – C’)
c) (C’ B) (B – A) d) (B C)(A’ – C)
J. DIBUJE DIAGRAMAS DE VENN EN LOS SIGUIENTES ENUNCIADOS
CON CONJUNTOS.
a) (A B) C
b) (A B C’ ) (A C)
c) (B – C) A
d) [ (A B) C]’ A
e) (A B’) (C B)
f) (A B) – C
g) [ ( A – B)’ – B ]’
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h) [ ( A B’ ) (C’ A) ]’
K.- EN LOS SIGUIENTES ÍTEMS REALIZAR CORRECTAMENTE LO QUE
SE INDICA, APLICANDO LAS LEYES DE LOS CONJUNTOS.
1. Demostrar:
A’ B = (A – B)’
(A B) (A B’) = A.
(A B)’ (A B’) = B’
[(A B)c B] [B
c (A B)] = (A – B)
c.
A (D – B) = [Ac (D
c B)]
c.
[(A B) (A C) Bc = (A – B) – C
c
2. Simplificar:
[(A B) Bc] [B
c (A B)]
c
Ac [B (B
c A)]
Cc [D
c (D – C
c)c]
L. RESOLVER CORRECTAMENTE LOS SIGUIENTES PROBLEMAS DE
APLICACIÓN SOBRE DE CONJUNTOS
1. 20 estudiantes de la ESPOCH conversan a dónde irán el fin de semana: 5 irán sólo
al cine; 3 al cine y al parque; 8 al zoológico; 3 sólo a cine y al zoológico; 5 al
parque; 1 a los tres lugares; ninguno desea ir sólo al parque y al zoológico. Se
pregunta:
a) ¿Cuántos irán sólo al zoológico?
b) ¿Cuántos irán al cine y al zoológico?
c) ¿Cuantos no irán a ningún lugar?
2. De 40 estudiantes entrevistados, 15 leen las revistas A y B; 27 leen la revista B; 3
leen únicamente la revista A. Con esta información determinar:
a) ¿Cuántos estudiantes no leen ninguna de las dos revistas?
b) ¿Cuántos estudiantes leen la revista A?
c) ¿Cuántos estudiantes leen únicamente la revista B?
d) ¿Cuántos estudiantes leen una sola de estas revistas?
3. En un colegio de 100 alumnos al realizar una encuesta se obtuvo los siguientes
datos: 24 alumnos seguían el idioma inglés: 31 francés; 29 alemán; 11 inglés y
francés; 4 inglés y alemán; 5 francés y alemán; 3 inglés, francés y alemán. Se
pregunta:
a) ¿Cuántos alumnos no recibían ningún idioma?
b) ¿Cuántos alumnos recibían inglés como único idioma?
4. En un curso de ajuste básico de la ESPOCH, estudian 100 alumnos de los cuales:
28 alumnos dominan Química; 35 alumnos dominan Trigonometría; 33 alumnos
dominan Álgebra; 15 alumnos dominan Química y Trigonometría; 8 alumnos
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dominan Química y Álgebra; 9 alumnos dominan Trigonometría y Álgebra; 7
alumnos dominan Química, Trigonometría y Álgebra. Se pregunta:
a) ¿Cuántos alumnos no sabían nada?
b) ¿Cuántos alumnos dominan sólo Trigonometría?
c) ¿Cuántos alumnos dominan sólo Química?
d) ¿Cuántos alumnos dominan sólo Álgebra?
5. En un colegio de 500 alumnos se tiene que: 329 juegan fútbol; 186 juegan
básquet; 295 juegan ping – pong; 83 fútbol y ping – pong; 217 fútbol y básquet;
63 básquet y ping – pong; 45 no practican ningún deporte. Pregunta ¿Cuántos
alumnos practican los tres deportes?
6. Una fábrica produce 100 art/hora, de los cuales pasan el control de calidad 60.
las fallas en el resto, fueron fallas del tipo A, tipo B y tipo C, y se repartieron del
modo siguiente: 8 artículos con fallas del tipo A y del tipo B, 12 artículos con sólo
fallas del tipo A, 3 artículos con fallas de los tres tipos, 5 artículos con fallas del
tipo A y C, y 2 artículos con sólo fallas del tipo C y tipo B. El número de
artículos que tuvieron una sola falla de tipo C o de tipo B fue el mismo. ¿Cuántos
artículos tuvieron fallas del tipo B y cuántos artículos tuvieron una sola falla?
7. En una encuesta cultural entre 40 personas, 27 eran hombres y 20 músicos, de
éstos últimos 8 eran cantantes, 6 de las mujeres no eran músicos y 22 de los
hombres no eran cantantes. Determine cuántas mujeres eran músicos pero no
cantantes.
8. Un curso de 40 alumnos tiene que aprobar Ed. Física, y para ello deben escoger
entre tres deportes: Fútbol, básquet y volley, 6 alumnos prefieren sólo volley, 4
alumnos eligen volley y básquet. El número de alumnos que eligen sólo básquet
es la mitad de los que eligen fútbol y es el doble de los que eligen fútbol y volley.
No hay ningún alumno que elija fútbol y básquet. Se pregunta:
a) ¿Cuántos alumnos eligen volley?
b) ¿Cuántos alumnos eligen fútbol?
c) ¿Cuántos alumnos eligen sólo básquet?
9. Se hace una encuesta en un supermercado a 33 clientes que se encuentran
haciendo compras, 3 de ellos no usan jabones del tipo A, ni B, peor C, 15 usan
jabones sólo del tipo A o sólo del tipo C, las personas que usan jabones A y B son
la mitad de los que usan jabones B y C y estos últimos exceden en 5 a las
personas que usan jabones sólo de tipo B, el número de personas que utilizan
jabones B es 3 veces mayor que el que usan sólo A, no hay personas que usen A,
B y C. determine:
a) ¿Cuál de los jabones es el más usado?
b) ¿Cuántas personas usan los jabones A, B o C?
c) ¿Cuántas usan los tres jabones?
d) ¿Cuántas utilizan A o B pero no C?
e) ¿Cuántas no usan jabones B?
f) ¿Cuántas utilizan jabones A y B pero no C?
g) ¿Cuántas no consumen A o B?
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10. Entre un grupo de personas conversan sobre tres películas (A, B y C) y
determinan que 4 personas no han visto ninguna de las tres, la mitad del número
de personas que han visto sólo B es igual al que han visto C, las que han visto sólo
A y B es una tercera parte de los que han visto sólo B, 7 personas han visto la
película A y 5 han visto sólo A. las personas que ven C no ven ninguna otra
película. Determine:
a) ¿Cuántas personas han visto A y B?
b) ¿Cuántas ha visto B o C?
c) ¿Cuántas han visto sólo A o sólo B o sólo C?
d) ¿Cuántas personas no han visto B?
11. Se realizó una encuesta entre consumidores de colas que dio los siguientes
resultados: 14 personas toman coca-cola y sprite, 11 personas beben sólo sprite, a
9 personas les gusta fanta, a 5 personas les gusta las tres colas; el número de
personas que beben sólo “coca-cola y fanta” es igual al de personas que toman
sólo “fanta y sprite”, se conoce además que el número de personas que toman
sprite es 3 más de los que toman fanta y 3 más de los que toman coca-cola; 40
personas toman otro tipo de colas. Se pregunta:
a) ¿Cuántas personas toman coca-cola y fanta?
b) ¿Cuántas personas toman sólo coca-cola?
c) ¿Cuántas toman cualquiera de estas colas?
d) ¿Cuántas colas hay que dar a las personas del literal c?
12. Para conceder el “Oscar” al mejor actor de 1978, se efectúa una elección entre
John Voight, Robert De Niro y Lawrence Oliver; 44 personas participan en la
elección, las mismas que pueden consignar su voto por uno de ellos, por dos de
ellos o por los tres. Luego de la votación se encontró que: 6 personas votaron por
Voight y De Niro, 10 personas votaron por Oliver y Voight, el número de
personas que votaron sólo por Voight es igual al de personas que votaron por
sólo por Oliver es igual al de personas que votaron por De Niro y es igual al de
personas que vitaron por Oliver y Voight o por Oliver y De Niro, 2 personas
votaron por los tres actores. Se pregunta:
a) ¿Cuántos votos tuvo Voight?
b) ¿Cuántas personas votaron por Voight?
c) ¿Cuál fue el número total de votos?
d) ¿Cuántas personas votaron sólo por “De Niro y por Oliver”
e) ¿Quién ganó el “Oscar”
f) ¿Cuántas personas votaron sólo por De Niro o sólo por Oliver”?
13. 190 estudiantes van a una biblioteca en la que hay 115 libros de Baldor, 80 libros
de Mancill, 80 libros de Ardura, 20 estudiantes solicitan los libros de Baldor y
Mancill, 30 estudiantes piden los libros de Baldor y Ardura, 40 estudiantes
solicitan los libros de Mancill y Ardura, cada estudiante lleva por lo menos un
libro.
a) ¿Cuántos estudiantes piden los tres libros?
b) ¿Cuántos estudiantes piden Mancill pero no Ardura?
c) ¿Cuántos estudiantes piden Baldor o Ardura?
d) ¿Cuántos estudiantes piden Baldor y Ardura o Mancill y Baldor?
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- 10 -
15. 30 alumnos están inscritos en una, al menos, de dos asignaturas: Matemáticas
y Física. El número de inscritos en las dos asignaturas es 7 y Física tiene 12
alumnos. Determinar:
a) ¿Cuántos alumnos están inscritos en Matemáticas?
b) ¿Cuántos alumnos están inscritos solamente en Matemáticas?
c) ¿Cuántos alumnos están inscritos sólo en Física?
16. En un grupo de 41 estudiantes, 15 no estudian ni trabajan, 28 no estudian y 23
no trabajan. Se pide:
a) ¿Cuántos sólo estudian?
b) ¿Cuántos trabajan y estudian?
K. A N Á L I S I S D E F U N C I O N E S
I) En el ejercicio 1, se definen las funciones f y g. En cada ejercicio defina las
siguientes funciones y determine el dominio de la función resultante:
1. Dada la función f (x) = 1x22 , encuentre:
a) f(– 2) b) f( 1x22 ) c) 0h;
h
)x(f)hx(f
II) En los ejercicios 2,3 se definen las funciones f y g. en cada ejercicio defina las
siguientes funciones y determine el dominio de la función compuesta
2. 2x)x(g;2x)x(f2
3. x)x(g;x
1)x(f
4. Se tiene f(x) = 2x – 3; defina las siguientes funciones y determine el dominio de la
función resultante. (a) f (x2); (b) [f(x)]
2; (c) (f o f)(x)
5. Sea x
x1)x(gy
1x
1)x(f
Muestre que f y g son funciones inversas.
6. Si f(x) = x2 + 2x + 2, encuentre dos funciones g para las cuales
(f o g)(x) = x2 – 4x + 5
III) EN CADA EJERCICIO, DETERMINE EL DOMINIO Y EL DOMINIO DE
IMÁGENES (CODOMINIO, RECORRIDO) DE LA FUNCIÓN Y TRACE
LA GRÁFICA O UNA GRÁFICA APROXIMADA.
1. f(x) = x2 – 2x – 1
2.
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3. f(x) = – 2x2 + 3x
4. 1x
4x)x(f
2
5. f(x) = – x4 + x
3 – x
2 + x – 1 6. f(x) = x24
7. f(x) = 2x9 8. f(x) = 4x3x
2
9. f(x) = 6xx
12x4x3x2
23
10. f(x) =
1x
1x3x
4
32
11. 25xy2
12.
2
5x
2x7y
13. x
1xy
IV) HALLAR LOS VALORES DE LAS SIGUIENTES EXPRESIONES CON
LÍMITES.
1. 3x2x
6x5xlim
2
2
1x
2.
2
2
0x x
x11lim
3. 4x
8xlim
2
3
2x
4.
2
1
x2
1
x
1lim
0x
5. x
x1x1lim
0x
6.
21x x1
2
x1
1lim
7. yx
yxlim
nn
yx
8.
2
32
0x x5x2
x8x3x4lim
9. 5x
3x2xlim
2
3
2x
10.
6x3
x3lim
2
2
3x
11. 2xx4
2xx4lim
2
2
0x
12.
x
4
1x5
6x17
10x5
8lim
23x
13. 5 23
3x16xxx2lim
14. 2
33 2
1x 1x
1x2xlim
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- 12 -
15. 1xx2
1xlim
2
2
0x
16.
1xx2
1xlim
2
2
1x
17. 1xx2
1xlim
2
2
x
18.
x
1x31x21x1lim
0x
19.
52
5
0x xx
x51x1lim
20.
15x8x
6x5xlim
2
2
3x
21.
5x 1x5
5x4x3x2x1xlim
22.
50
3020
x 1x2
2x33x2lim
23. 3x4x
2x3xlim
4
2
1x
24.
3x4x
2x3xlim
5
4
1x
25. 16x8x
8x4x2xlim
24
22
2x
26. 1x2x
1x2xlim
5
3
1x
27.
103
202
2x 16x12x
2xxlim
28.
2x
3x21lim
4x
29. 4x
2xlim
4
16x
30.
2x
5x29lim
38x
31.
x
x1xx21lim
2
0x
32.
2
3 2
0x xx
2xx38lim
33. xx4
xx2xlim
3
23
x
34.
2x
1xlim
3
3
x
35.
xxx
xlimx
36. 1x
4x3x2lim
4
2
x
37. xaxlimx
38. x1xxlim2
x
39. 3 3
xx1xlim
40.
41. x
x2Senlim
0x 42.
)2x(Cos
)2x(Senlim
0x
43. x
x5Senx3Senlim
0x
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- 13 -
CÁLCULO DIFERENCIAL
DERIVADAS
En los ejercicios siguientes, diferencie o derive la función dada mediante la aplicación
de los teoremas de esta sección.
1. f(x) = 7x – 5 2. g(x) = 8 – 3x
3. g(x) = 1 – 2x – x2 4. f(x) = 4x
2 + x + 1
5. f(x) = x3 – 3x
2 + 5x – 2 6. f(x) = 3x
4 – 5x
2 + 1
7. 48xx
8
1)x(f 8. g(x) = x
7 – 2x
5 + 5x
3 – 7x
9. 24t
2
1t
4
1)t(F 10. 2xx
3
1)x(H
3
11. 3r
3
4)r(v 12. G(y) = y
10 + 7y
5 – y
3 + 1
13. 2
2
x
1x3x)x(F 14.
3
3
x
3
3
x)x(f
15. 4
4
x4
1x4)x(g 16. 424
x4x5x)x(f
17. 42
x
5
x
3)x(g 18.
5x6
5)x(H
19. 23ss3)s(f 20. 1x45x2)x(g
2
21. x6x51x2)x(f34 22. 22
3x4)x(f
23. 23y37)y(G 24. t3t21t2t)t(F
23
25. 1x22x3xy32 26.
3x
x2)x(f
27. 1x
x)x(g
28.
4x3
1x2y
29.
1x2x
1x2x
dx
d2
2
30.
2x
xx34
dx
d2
31.
2t21
t5
dt
d 32.
4
34
x
1x5x2x
dx
d
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MATEMÁTICA “I”
- 14 -
En los ejercicios siguientes, determine la derivada de la función que se indica.
33. xSen3)x(f 34. xCosxSen)x(g
35. xCtgxTg)x(g 36. xCsc2xSec4)x(f
37. tCost2)t(f 38. xCosx4)x(f2
39. xCosxSenx)x(g 40. yCosyySen3)y(g
41. xCosxSen4)x(h 42. xCosx2xSenx)x(f2
43. xCos2xSenx2xCosx)x(f2 44. xTgxSec3)x(f
45. xCos2xSenx2xCosxx)x(h23 46. tTgtSen)t(f
En los ejercicios siguientes, obtenga la derivada de la función que se indica.
47. 31x2)x(f 48. 4
x510)x(f
49. 425x4x)x(F 50. 524
1r8r2)r(g
51. 2341t2t7t2)t(f 52. 323
1z3z)z(H
53. 224x)x(f
54. 2
xSen)x(g
55. x4Sen3x3Cos4)x(f 56. xSec)x(G2
57. t2Sect2Sec3
1)t(h
3 58. 1x3Cos)x(f2
En los siguientes ejercicios, calcule la derivada que se indica.
59. xTgxSecdx
d 22 60. tCostSen2dt
d 23
En los ejercicios siguientes, obtenga la derivada de la función que se indica
61. 2
1
2
1
x5x4)x(f
62. 2x41)x(g
63. 3 21x4)x(g 64.
2x25
1)x(h
65. xSec4)x(f 66. xSen3)x(g
67. xCsc1)x(f2 68. )5x3(log)x(f
2
a
69. 2)3xln()x(f 70. x2
3x)x(f
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MATEMÁTICA “I”
- 15 -
71. )xln(e)x(fx
1.- ¿Cuál de los siguientes enunciados es una proposición?
a) El sabor del color azul es dulce
b) Disparen al ladrón
c) 314159 es un número primo
d) Buenos días
e) Ninguno de los anteriores
2.- ¿Cuál de las siguientes proposiciones es lógicamente equivalente a
qpqp ?
anteriores las de Ninguna )
qp d)
qp )
)
qpp )
e
p
c
qpb
a
3.- Si dc,q,p, Ry ,,, dcbaS el número de elementos de RS es:
a) 8
b) 6
c) 2
d) 4
e) Ninguna de las anteriores
4.- Si 82,3,4,5,6, Ry 5,4,3,2,1 S el número de elementos de RS es:
f) 8
g) 7
h) 2
i) 4
j) Ninguna de las anteriores
5.- Si 3,2A entonces )(AP que significa el conjunto de las partes de un conjunto
es:
3,2,,3,2)
3,2,3,2)
3,2,,3,2)
3,2,,3,2)
d
c
b
a
e) Ninguna de las anteriores
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- 16 -
6.- La siguiente información se refiere a un grupo de 200 estudiantes. Todos los hombres
tienen más de 15 años de edad. Hay 100 mujeres en el grupo. Hay 150 estudiantes de más
de 15 años de edad. Hay 50 mujeres rubias, hay 40 estudiantes rubios de más de 15 años de
edad, hay 30 mujeres rubias con más de 15 años de edad.
Realice un diagrama de Venn adecuado, tan completo como sea posible, y conteste las
siguientes preguntas:
i) ¿Cuántos estudiantes rubios hay?
a) 60
b) 10
c) 15
d) 7
e) Ninguna de las Anteriores
ii) ¿Cuántas mujeres no rubias tienen más de 15 años de edad?
a) 21
b) 20
c) 16
d) 5
e) Ninguna de las Anteriores
iii) ¿Cuántos estudiantes no rubios tienen menos de 15 años de edad?
a) 25
b) 32
c) 30
d) 18
e) Ninguna de las Anteriores
iv) ¿Cuántos hombres rubios hay?
a) 4
b) 6
c) 10
d) 9
e) Ninguna de las Anteriores
7.- En un curso de 50 alumnos de la ESPOCH tienen que aprobarse Educación Física, y
para ello deben escoger entre 3 deportes: Tenis, Volley y Basket.
8 alumnos prefieren sólo Volley, 6 alumnos prefieren Volley y Basket, el número de
alumnos que eligen sólo Basket es la mitad de los que eligen Tenis y es el doble de los que
eligen Tenis y Volley. No hay alumnos que eligen Tenis y Basket. Se pregunta:
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- 17 -
i) ¿Cuántos alumnos eligen Tenis?
a) 20
b) 25
c) 24
d) 12
e) Ninguna de las Anteriores
ii) ¿Cuántos alumnos eligen Volley?
a) 14
b) 10
c) 8
d) 20
e) Ninguna de las Anteriores
iii) ¿Cuántos alumnos eligen sólo Basket?
a) 5
b) 12
c) 24
d) 15
e) Ninguna de las Anteriores
9.- Demostrar que BBA es igual a:
anterioreslasdeNingunae
ABd
BAc
BAb
BAa
C
)
)
)
)
)
10.- Demostrar que )( CBA es igual a:
anterioreslasdeNingunae
ACBd
CBAc
BAb
BAa
c
)
)()
)()
)
)
RELACIONES Y FUNCIONES
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- 18 -
anteriores las de Ninguna)
(4,6) , (3,8), (2,4))
(4,6) , (3,6), (2,6))
(4,8) , (3,6), (2,4))
(4,6) , (3,6), (2,4)a)
:es "y de mitad la esx " :Rrelación La . 8,6,46,4,3,2 .1
e
d
c
b
BA
anteriores las de Ninguna)
w)(d, z),(d,y),(b,x),(a,)
w)(c, z),(c,y),(a,x),(a,)
w)(d, z),(c,y),(b,x),(a,)
w)(c, z),(c,y),(b,x),(a,a)
:es Ben A defunción Una. ,,,,,,, .2
e
d
c
b
vwzyxBdcbaA
3.- El dominio de definición de la función xx
xg
3
2)( es:
anteriores las de Ninguna)
03,)()
03,)()
3,)()
03,)()
e
gDomd
gDomc
gDomb
gDoma
.anteriores las de Ninguna)e
ah2)d
a4)c
ah2)b
ah4)a
:es)ha(f)ha(f,x1)x(f .42
anteriores las de Ninguna)e
2x)d
1x)c
1x)b
1x)a
1x3x3xxfg y xg(x) si , )x(fHallar.5
2
3
233
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- 19 -
anteriores las de Ninguna)e
7x)d
7x)c
3x)b
3x)a
26x10xxgf que tal g(x)hallar , 54x-x)x(fSea.622
7.- Si f(x) = 3x-2 , g(x) = 2x+2 , fHallarRx -1g .
anteriores las de Ninguna)
2
43)
2
43)
3
42)
3
42)
e
xd
xc
xb
xa
FUNCIONES ELEMENTALES
1.- Hallar el valor de x si se tiene que
1y x 0x1,a0,a log4log
log
1log3
conxa
ax
a
x
x
a
anteriores las de Ninguna)
1)
)
)
)
2
3
e
d
ac
ab
aa
2.- Resolver la siguiente ecuación logarítmica
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- 20 -
anteriores las de Ninguna)
8)
4)
8)
5)
32log6log9loglog 2242
e
d
c
b
a
x
3.- Resolver la siguiente ecuación logarítmica
anteriores las de Ninguna)
1)
100
1)
1000)
1000)
6loglog log
e
d
c
b
a
xx x
4.- Resolver la siguiente ecuación logarítmica
anteriores las de Ninguna)
2)
2)
1)
1)
612log2log46log32log3 3
e
d
c
b
a
xxxx
5.- Resolver la siguiente ecuación exponencial
32042 13 xx
anteriores las de Ninguna)
3)
0)
2)
2)
e
d
c
b
a
6.- Resolver la siguiente ecuación exponencial
81093 12 xx
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- 21 -
anteriores las de Ninguna)
3)
1)
2)
1)
e
d
c
b
a
7.- Resolver la siguiente ecuación exponencial
8042 1 xx
anteriores las de Ninguna)
3)
0)
2)
2)
e
d
c
b
a
8.- Resolver la siguiente ecuación exponencial
7299 22
xx
anteriores las de Ninguna)
3)
0)
1)
2)
e
d
c
b
a
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