ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
SECCIONES CÓNICAS, SUMATORIAS Y PRODUCTORIAS
POR:
DEWIS DUAR MORENO COTTA (1047425765)
ADALUZ VILLAMIZAR (1065996185)
Número de grupo 301301_912
PRESENTADO A:
CARLOS EMEL RUIZ
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA. UNAD
14/11/2015 Cartagena, Bolívar
INTRODUCCION
Con el actual trabajo profundizamos en la unidad 3 “GEOMETRIA ANALITICA,
SUMATORIAS Y PRODUCTORIAS”, por medio de ejercicios prácticos y utilizando los
medios proporcionados por la plataforma virtual, como soporte y ayuda para la solución de
estos, se logra interiorizar todos los conocimientos.
Con la realización de los ejercicios propuestos se evidencia el nivel conocimiento adquirido y
la forma adecuada como los estudiantes a interiorizado los temas de la unidad, y se logra
una adecuada comunicación con los miembros del grupo en el foro, fortaleciendo así el grupo
colaborativo y preparándose para la terminación satisfactoria del semestre, y más aun
obteniendo herramientas para encarar la vida profesional.
OBJETIVOS.
Realizar un aprendizaje significativo de todos los temas que abracan la unidad 3 del módulo de algebra trigonometría y geometría analítica-Utilizar de manera adecuada los
recursos que ofrece la plataforma con el estudio individual y el trabajo en el grupo colaborativo aprovechando al máximo la plataforma virtual.
Realizar el aprendizaje a través de la estrategia de resolución de problemas planteando soluciones con las respectivas sustentaciones.
Identificar como los temas de la unidad 3 son de aplicación en la vida diaria.
Desarrollo del trabajo.
1. De la siguiente elipse: 𝑋2 + 4𝑌2 − 4𝑋 − 8𝑌 − 92 = 0. Determine:
a) Centro
b) Focos
c) Vértices
Solución:
𝑋2 + 4𝑌2 − 4𝑋 − 8𝑌 − 92 = 0.
Agrupamos los términos en 𝑋2 con los términos en 𝑋. Lo mismo hacemos para los
términos en 𝑌2 con los términos en 𝑌.
(𝑋2 − 4𝑋) + (4𝑌2 − 8𝑌) − 92 = 0
Sacamos factor común, en cada paréntesis, el coeficiente del término del segundo
grado.
(𝑋2 − 4𝑋) + 4(𝑌2 − 2𝑌) − 92 = 0
Operamos en cada paréntesis hasta obtener un cuadrado perfecto.
(𝑋2 − 4𝑋) = 𝑋2 − 2 ∗ 2𝑋 + 22 − 22 = (𝑋 − 2)2 − 4
(𝑌2 − 2𝑌) = 𝑌2 − 2 ∗ 1𝑌 + 12 − 12 = (𝑌 − 1)2 − 1
Sustituyendo, tenemos:
[(𝑋 − 2)2 − 4] + 4[(𝑌 − 1)2 − 1] − 92 = 0
(𝑋 − 2)2 − 4 + 4(𝑌 − 1)2 − 4 − 92 = 0
Agrupando términos, operando y despejando, obtenemos:
(𝑋 − 2)2 + 4(𝑌 − 1)2 = 92 + 4 + 4
(𝑋 − 2)2 + 4(𝑌 − 1)2 = 100
Ahora dividimos la ecuación entre 100
(𝑋 − 2)2
100+
4(𝑌 − 1)2
100=
100
100
(𝑋 − 2)2
100+
(𝑌 − 1)2
25= 1
Como ya tenemos la ecuación canónica, procedemos a identificar los parámetros.
𝑎2 = 100 → 𝑎 = √100 = 10 → 𝑎 = 10
𝑏2 = 25 → 𝑏 = √25 = 5 → 𝑏 = 5
El centro de la elipse es:
𝐶(2,1)
Para hallar los focos debemos sumar y restar c a la abscisa del centro; esto lo hacemos
por medio de la expresión:
𝑐2 = 𝑎2 − 𝑏2 . Reemplazando valores tenemos:
𝑐2 = 100 − 25 = 75 → 𝐶 = ±√75.
Entonces:
Los focos son:
𝑓(2 + √75 , 1) → 𝑓(10.66 , 1) Y 𝑓′(2 − √75 , 1) → 𝑓(−6.66 , 1)
Los vértices son:
𝑉(2 + 10 ,1 ) → 𝑉(12 ,1) Y 𝑉′(2 − 10 ,1 ) → 𝑉′(−8 ,1)
𝑢(2 ,1 + 5) → 𝑢 (2 ,6) Y 𝑢′(2 ,1 − 5) → 𝑢′ (2 ,4)
Para comprobarlo en Geogebra, se usa en vista algebraica y vista gráfica.
Ejercicio 2.
De la siguiente ecuación canónica de la elipse, transformar la ecuación:
√(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 + √(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2 = 2𝑎
En la ecuación: 𝑥2
𝑎2 +𝑦2
𝑏2 = 1
Desarrollo:
√(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 + √(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2 = 2𝑎
Primero, pasamos el radical que está sumando al otro en el lado izquierdo de la igualdad y lo
pasamos al lado derecho a restar.
√(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 = 2𝑎 − √(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2
Ahora, elevamos ambos lados de la igualdad al cuadrado para eliminar las raíces:
[√(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2]2
= [2𝑎 − √(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2]2
(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 = 4𝑎2 − 4𝑎√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2 + (𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2
Desarrollamos los cuadrados.
𝑥 2 − 2𝑥𝑐 + 𝑐2 + 𝑦2 = 4𝑎2 − 4𝑎√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2 + 𝑥 2 + 2𝑥𝑐 + 𝑐2 + 𝑦2
Organizamos términos semejantes y operamos:
(𝑥 2 − 2𝑥𝑐 + 𝑐2 + 𝑦2) − (𝑥 2 + 2𝑥𝑐 + 𝑐2 + 𝑦2) = 4𝑎2 − 4𝑎√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2
−4𝑥𝑐 = 4𝑎2 − 4𝑎√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2
Reorganizamos términos:
4𝑎√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2 = 4𝑎2 + 4𝑥𝑐
Ahora dividimos la igualdad por 4.
𝑎√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2 = 𝑎2 + 𝑥𝑐
La elevamos al cuadrado.
[𝑎√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2]2
= (𝑎2 + 𝑥𝑐)2
𝑎2 ((𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2) = (𝑎2 + 𝑥𝑐)2
Operamos los cuadrados:
𝑎2 (𝑥2 + 2𝑥𝑐 + 𝑐2 + 𝑦2) = 𝑎4 + 2𝑎2 𝑥𝑐 + 𝑥 2𝑐2
Multiplicamos el primer término y simplificando:
𝑎2 𝑥 2 + 2𝑎2 𝑥𝑐 + 𝑎2 𝑐2 + 𝑎2 𝑦2 = 𝑎4 + 2𝑎2𝑥𝑐 + 𝑥 2𝑐2
𝑎2 𝑥 2 + 2𝑎2 𝑥𝑐 − 2𝑎2𝑥𝑐 + 𝑎2𝑐2 + 𝑎2𝑦2 = 𝑎4 + 𝑥 2𝑐2
𝑎2 𝑥 2 + 𝑎2 𝑐2 + 𝑎2 𝑦2 = 𝑎4 + 𝑥 2𝑐2
Reorganizamos para obtener trinomios cuadrados perfectos.
𝑎2 𝑥 2 − 𝑥2𝑐2 + 𝑎2 𝑦2 = 𝑎4 − 𝑎2 𝑐2
𝑥 2(𝑎2 − 𝑐2) + 𝑎2𝑦2 = 𝑎2 (𝑎2 − 𝑐2)
Ahora vamos a dividir toda la ecuación anterior por 𝑎2 (𝑎2 − 𝑐2 ).
𝑥 2(𝑎2 − 𝑐2)
𝑎2 (𝑎2 − 𝑐2)+
𝑎2𝑦2
𝑎2(𝑎2 − 𝑐2)=
𝑎2(𝑎2 − 𝑐2 )
𝑎2(𝑎2 − 𝑐2 )
Operando, queda:
𝑥 2
𝑎2+
𝑦2
(𝑎2 − 𝑐2)= 1
Por la definición se sabe que 𝑎 > 𝑐, ya que la distancia el eje mayor es mayor que la
distancia focal, entonces 𝑎2 > 𝑐2 así, 𝑎2 > 𝑐2 > 0. Esto nos lleva a que: 𝑎2 − 𝑐2 = 𝑏2.
Reemplazando en la ecuación anterior se obtiene:
𝑥 2
𝑎2+
𝑦2
𝑏2= 1
Ejercicio 3.
De la siguiente hipérbola: −𝑥 2 + 4𝑦2 − 2𝑥 − 16𝑦 + 11 = 0 Determine.
a) Centro
b) Focos
c) Vértices
Solución:
−𝑥 2 + 4𝑦2 − 2𝑥 − 16𝑦 + 11 = 0
Agrupamos los términos en 𝑥 2 con los términos en 𝑥. Lo mismo hacemos para los términos
en 𝑦2 con los términos en 𝑦.
(−𝑥 2 − 2𝑥) + (4𝑦2 − 16𝑦) + 11 = 0
Sacamos factor común, en cada paréntesis, el coeficiente del término del segundo grado.
−(𝑥 2 + 2𝑥) + 4(𝑦2 − 4𝑦) + 11 = 0
Operamos en cada paréntesis hasta obtener un cuadrado perfecto.
(𝑥 2 + 2𝑥) = 𝑥 2 + 2 ∗ 1𝑥 + 12 − 12 = (𝑥 + 1)2 − 1
(𝑦2 − 4𝑦) = 𝑦2 − 4 ∗ 1𝑦 + 22 − 22 = (𝑦 − 2)2 − 4
Sustituyendo, tenemos:
−[(𝑥 + 1)2 − 1] + 4[(𝑦 − 2)2 − 4] + 11 = 0
−(𝑥 + 1)2 + 1 + 4(𝑦 − 2)2 − 16 + 11 = 0
Agrupando términos, operando y despejando, obtenemos:
−(𝑥 + 1)2 + 4(𝑦 − 2)2 = −11 + 16 − 1
−(𝑥 + 1)2 + 4(𝑌 − 2)2 = 4
Ahora dividimos la ecuación entre 4
−(𝑥 + 1)2
4+
4(𝑦 − 2)2
4=
4
4
−(𝑥 + 1)2
4+ 4(𝑦 − 2)2 = 1
Como ya tenemos la ecuación canónica, procedemos a identificar los parámetros.
𝑎2 = 1 → 𝑎 = √1 = 1 → 𝑎 = 1
𝑏2 = 4 → 𝑏 = √4 = 2 → 𝑏 = 2
El centro de la hipérbola es:
𝐶(−1,2)
Para hallar los focos debemos sumar y restar c a la abscisa del centro; esto lo hacemos por
medio de la expresión:
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 . Reemplazando valores tenemos:
𝑐2 = 1 + 4 = 5 → 𝑐 = ±√5
Entonces:
Los focos son:
𝑓(−1 , 2 + √5) → 𝑓(−1 , 4,24) Y 𝑓′(−1, 2 − √5) → 𝑓´(−1,−0,24)
Los vértices son:
𝑉( −1,2 + 1 ) → 𝑉(−1 ,3) Y 𝑉′(−1 ,2 − 1 ) → 𝑉′(−1 ,1)
Comprobación con Geogebra:
Ejercicio 5.
Demostrar que la ecuación 𝑥2 + 𝑦2 + 6𝑥 − 2𝑦 + 6 = 0 es una circunferencia.
Determinar:
a. Centro
b. Radio
Solución:
𝑥2 + 𝑦2 + 6𝑥 − 2𝑦 + 6 = 0
Agrupamos los términos en 𝑥 2 con los términos en 𝑥. Lo mismo hacemos para los términos
en 𝑦2 con los términos en 𝑦.
(𝑥 2 + 6𝑥) + (𝑦2 − 2𝑦) + 6 = 0
Operamos en cada paréntesis hasta obtener un cuadrado perfecto.
(𝑥 2 + 6𝑥) = 𝑥 2 + 2 ∗ 3𝑥 + 32 − 32 = (𝑥 + 3)2 − 9
(𝑦2 − 2𝑦) = 𝑦2 − 2 ∗ 1𝑦 + 12 − 12 = (𝑦 − 1)2 − 1
Sustituyendo, tenemos:
[(𝑥 + 3)2 − 9] + [(𝑦 − 1)2 − 1] + 6 = 0
(𝑥 + 3)2 − 9 + (𝑦 − 1)2 − 1 + 6 = 0
Agrupando términos, operando y despejando, obtenemos:
(𝑥 + 3)2 + (𝑦 − 1)2 = 9 + 1 − 6
(𝑥 + 3)2 + (𝑦 − 1)2 = 4
Así, se demuestra que la ecuación 𝑥2 + 𝑦2 + 6𝑥 − 2𝑦 + 6 = 0 es una circunferencia,
pues al resultar (𝑥 + 3)2 + (𝑦 − 1)2 = 4 que es de la forma 𝑥 2 + 𝑦2 = 𝑅2, la cual
es la ecuación canónica de la circunferencia.
El centro de la circunferencia es.
𝐶(−3,1).
Para hallar el radio usamos la siguiente ecuación: 𝑥 2 + 𝑦2 = 𝑅2
Reemplazamos:
(𝑥 + 3)2 + (𝑦 − 1)2 = 4 → (𝑥 + 3)2 + (𝑦 − 1)2 = 22
Entonces 𝑅 = 2. Radio de la circunferencia es 2.
Comprobación en Geogebra.
Ejercicio 6.
De la siguiente parábola 𝑦 = 2𝑥2 + 4𝑥 − 6. Determine:
a. Vértice
b. Foco
c. Directriz
Solución:
𝑦 = 2𝑥 2 + 4𝑥 − 6
Reorganizamos
2𝑥 2 + 4𝑥 = 𝑦 + 6
Dividimos la ecuación por el coeficiente de la variable cuadrática, que es2, nos queda:
𝑥 2 + 2𝑥 =1
2𝑦 + 3
Factorizamos y simplificamos
𝑥 2 + 2𝑥 + 1 =1
2𝑦 + 3 + 1
(𝑥 + 1)2 =1
2𝑦 + 4
(𝑥 + 1)2 =1
2 (𝑦 + 8)
Ya tenemos la ecuación en su forma canónica. Entonces:
4𝑝 =1
2 𝑜 0,5
𝑘 = −8
ℎ = −1
𝑝 =1
8 𝑜 0,13
𝑉 (−1,−8)
𝑓 (−1,−8 + 0,13) → 𝑓(−1, −7,87)
𝐷𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧: 𝑦 = −8 − 0,13 = −8,13 → 𝑦 = −8,13
Comprobación con Geogebra y vista gráfica.
Ejercicio 7.
Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, −3) y es paralela a la recta que une
los puntos (4,1) y (−2,2). Escribir la ecuación de la recta de la forma general.
Solución:
Primero identificamos las variables.
Llamaremos (𝑎) a la recta que pasa por el punto 𝑃 y a la cual le vamos a hallar la ecuación
general.
𝑃(2, −3) Donde P es el punto que intercepta la recta (𝑎)
Llamaremos (𝑏) a la recta que pasa por los puntos 𝐴 𝑦𝐵 y que es paralela a la recta (𝑎)
𝐴(4,1) Y 𝐵(−2,2).
Sabiendo que:
Las rectas 𝑎 𝑦 𝑏 son paralelas, entonces la pendiente de la recta 𝑎 es igual a la pendiente de
la recta 𝑏. 𝑎ǁ𝑏 → 𝑚 = 𝑚1
Primero hallamos la pendiente de la recta (𝑏) ya que conocemos dos de sus puntos. Para
ello, usamos la ecuación “punto pendiente” y despejamos 𝑚. Quedando la ecuación así:
𝑚 =(𝑦2 − 𝑦1)
(𝑥2 − 𝑥1)
Reemplazando valores y operando:
𝑚 =(2 − 1)
(−2 − 4)= −
1
6
𝑚 = −1
6 𝑜 𝑚 = −0,17
Ya tenemos la pendiente y como 𝑚 = 𝑚1 entonces usamos la ecuación canónica para le
recta 𝑎.
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
Reemplazamos valores de 𝑥, 𝑦 y 𝑚. Donde 𝑥 𝑦 𝑦 son los valores del punto 𝑃.
−3 = −1
6(2) + 𝑏 → −3 = −
2
6+ 𝑏 → −3 = −
1
3+ 𝑏
Despejando 𝑏 y desarrollando tenemos:
𝑏 = −3 +1
3= −
8
3
𝑏 = −8
3
Reemplazando el valor de 𝑏 hallado anteriormente y el valor de 𝑚 en la ecuación canónica,
tenemos:
𝑦 = −1
6𝑥 −
8
3
Como lo que nos piden es la ecuación general, lo único debemos hacer es igualar a cero la
ecuación canónica.
𝑦 = −1
6𝑥 −
8
3 →
1
6𝑥 + 𝑦 +
8
3= 0
Entonces la ecuación general de la recta quedaría así:
1
6𝑥 + 𝑦 +
8
3= 0 O 0,17𝑥 + 𝑦 + 2,67 = 0
Comprobación en Geogebra y vista gráfica:
Ejercicio 8
Calcular las siguientes sumatorias.
a.
∑(−1)𝑘+1(2𝑘 − 1)2
5
𝑘=1
b.
∑(−2)𝑘+1
𝑘
4
𝑘=1
Solución:
a.
∑(−1)𝑘+1(2𝑘 − 1)2
5
𝑘=1
Primero, hacemos la expansión:
∑(−1)𝑘+1(2𝑘 − 1)2
5
𝑘=1
=
= [(−𝟏)𝟏+𝟏(𝟐(𝟏) − 𝟏)𝟐] + [(−𝟏)𝟐+𝟏((𝟐(𝟐) − 𝟏))𝟐] + [(−𝟏)𝟑+𝟏(𝟐(𝟑) − 𝟏)𝟐]
+ [(−𝟏)𝟒+𝟏(𝟐(𝟒) − 𝟏)𝟐] + [(−𝟏)𝟓+𝟏(𝟐(𝟓) − 𝟏)𝟐]
Resolvemos los paréntesis:
∑(−1)𝑘+1(2𝑘 − 1)2
5
𝑘=1
= [(1)(1)] + [(−1)(9)] + [(1)(25)] + [(−1)(49)] + [(1)(81)]
Desarrollamos las llaves:
∑(−1)𝑘+1(2𝑘 − 1)2
5
𝑘=1
= [(1)] + [(−9)] + [(25)] + [(−49)] + [(81)]
∑(−1)𝑘+1(2𝑘 − 1)2
5
𝑘=1
= 1 − 9 + 25 − 49 + 81
∑(−1)𝑘+1(2𝑘 − 1)2
5
𝑘=1
= 49
b.
∑(−2)𝑘+1
𝑘
4
𝑘=1
Primero, hacemos la expansión:
∑(−2)𝑘+1
𝑘
4
𝑘=1
= [(−2)1+1
1] + [
(−2)2+1
2] + [
(−2)3+1
3] + [
(−2)4+1
4]
Resolvemos los paréntesis:
∑(−2)𝑘+1
𝑘
4
𝑘=1
= [4
1] + [
−8
2] + [
16
3] + [
−32
4]
Resolvemos las llaves:
∑(−2)𝑘+1
𝑘
4
𝑘=1
= [4] + [−4] + [16
3] + [−8]
∑(−2)𝑘+1
𝑘
4
𝑘=1
= 16
3− 8
∑(−2)𝑘+1
𝑘
4
𝑘=1
= −8
3 𝑂 ∑
(−2)𝑘+1
𝑘
4
𝑘 =1
= −2,66
Comprobación de los ejercicios en Geogebra.
Ejercicio 9.
Calcular las siguientes productorias.
a)
∏ 2𝑖 + 5
4
𝑖=−2
b)
∏ 𝑖
𝑖 + 1+ 5
3
𝑖=1
Solución.
a)
∏ 2𝑖 + 5
4
𝑖=−2
Haciendo la expansión.
∏ 2𝑖 + 5
4
𝑖=−2
= [2(−2) + 5][2(−1) + 5][2(0) + 5][2(1) + 5][2(2) + 5][2(3) + 5][2(4) + 5]
Resolvemos lo que está dentro de las llaves.
∏ 2𝑖 + 5
4
𝑖=−2
= [−4 + 5][−2 + 5][0 + 5][2 + 5][4 + 5][6 + 5][8 + 5]
∏ 2𝑖 + 5
4
𝑖=−2
= 1 ∗ 3 ∗ 5 ∗ 7 ∗ 9 ∗ 11 ∗ 13 = 135135
∏ 2𝑖 + 5
4
𝑖=−2
= 135135
Solución:
b)
∏ 𝑖
𝑖 + 1+ 2
4
𝑖=−2
Haciendo la expansión.
∏ 𝑖
𝑖 + 1+ 2
4
𝑖=−2
= (1
1 + 1+ 2) (
2
2 + 1+ 2 ) (
3
3 + 1+ 2)
Resolvemos los paréntesis:
∏ 𝑖
𝑖 + 1+ 2
4
𝑖=−2
= (1
2+ 2) (
2
3+ 2 ) (
3
4+ 2)
∏ 𝑖
𝑖 + 1+ 2
4
𝑖=−2
= (5
2) (
8
3 ) (
3
4)
∏ 𝑖
𝑖 + 1+ 2
4
𝑖=−2
=5 ∗ 8 ∗ 11
2 ∗ 3 ∗ 4=
440
24=
55
3
∏ 𝑖
𝑖 + 1+ 2
4
𝑖=−2
= 55
3
Comprobación con Geogebra.
CONCLUSIÓN
Con este trabajo hemos aprendido a realizar ejercicios de secciones cónicas, sumatorias y
productorias y como comprobarlas de una manera sencilla y práctica, también hemos
comprendido que estos temas son muy importante en nuestra vida sobre todo en nuestra
carreara de ingeniería.
Realizando esta unidad, nos permitió reforzar nuestras habilidades para analizar y desarrollar
elementos de la geometría como lo son la recta, la hipérbola, la elipse, la parábola y la
circunferencia, encontrando los parámetros que la definen de forma clara.
Para terminar, desarrollar la actividad de cónicas, sumatorias y productorias, nos permitió
aplicar los conocimientos adquiridos en las anteriores unidades, ya que tuvimos que tomar
una expresión de forma canónica y transformarla en una ecuación general de segundo
grado; y mejorar nuestra capacidad de interacción con la herramienta Geogebra,
comprendiendo la importancia en el desarrollo de las actividades.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
- Mesa, Jesús. (2012). Propiedades de la sumatoria. Recuperado de: http://www.monografias.com/trabajos13/sumato/sumato.shtml
- Hincapie, C. (2014). Verificación en Geogebra momento 3. Recuperado de: https://www.youtube.com/watch?v=jf-DBlnw0NY&feature=youtu.be
- Ditutor (2015). Ecuación de la elipse. Recuperado de:
http://www.ditutor.com/geometria_analitica/ecuacion_elipse.html
- MasTutoriales. (2012). Geogebra Elipse. Recuperado de:
https://www.youtube.com/watch?v=_KufORmC34w
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