Facultad de Ciencias ExactasDepartamento de Matemáticas

MATEMÁTICA AVANZADA � FMM 0071er Semestre, 2015

EJERCICIOS TERCERA SOLEMNE II

1. Una población de bacterias se inicia con 400 ejemplares y crece a razón de

drdt= 450:000 � e1;2t

bacterias/hora. ¿Cuántos especímenes habrá después de tres horas?.

Sol: 13.349.738

2. Utilice una sustitución simple para calcularZcos5 xpsen (x)

dx

Sol: 2psen (x)� 4

5(psen (x))5 + 2

9(psen (x))9 + C

3. Utilizando una sustitución simple calcular:Zx

1� x2 +p1� x2

dx

Sol: � ln jp1� x2 + 1j+ C

4. Encuentre el valor de la constante a de modo que:Z a

1

xexdx = 4e5

Sol: a = 5

5. Utilice la integral de Riemann para calcular el siguiente límite:

limn!1

1

n

nXk=1

[ln (n+ k)� ln (n)]

Sol: 2 ln 2� 1

6. Sean f y g funciones continuas en [a; b] , de modo que: f (x) = xZ x

a

eg(t)dt: Muestre que:

g (0) =

�lnf 00 (0)

2

�

7. Calcular el valor deZ 3

�3g (x) dx , donde g (x)

8<:jx� 4j si x 2 [�3; 1[

x2 lnx si x 2 [1; 3]Sol: 9 ln 3 + 154

9

8. Determine el valor de la constante k de modo que se cumpla:Z 5

1

jx� 3jk

dx = 2

Sol: k = 2

9. Veri�que las siguientes integraciones:

(a)Zln (x+ 1)px+ 1

dx = 2 (ln (x+ 1)� 2)px+ 1 + c

(b)Z

xex

(1 + x)2dx =

ex

x+ 1+ c

10. Demuestre que: In =Z

xnp1 + x

dx , satisface la recurrencia:

(1 + 2n) In =�2xn

p1 + x

�� 2nIn�1

11. Calcule el área de la región R acotada por la izquierda por y =px, por la derecha por y = 6� x, y

por abajo por y = 1. Además gra�que el área a calcular.

Sol: 163[u2]

12. La parábola y = x2, la recta tangente a la parábola en el punto (1; 1) y el eje X, determinan unaregión R. Determine el área de la región R:

Sol: 112[u2]