Algebra LinealExamen Final (Agosto - Diciembre 2007)
Maestro Eduardo Uresti
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:1
1. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia deCalor es determinar la temperatura en estado estable deuna placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTa
sTb
sTb s
Tc
sTd
sTd
sTe
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodosinteriores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-madamente igual al promedio de las temperaturas de loscuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, ya la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 27o, Tb = 16o, Tc = 14o
Td = 39o, Te = 19o, Tf = 11o
Reporte solo el valor de T2.
Respuesta:
2. Determine la dimension para el subespacio de R3 formadopor las soluciones al sistema:
6x+ 2 y + z = 0
18x+ 6 y + 3 z = 0
−12x− 4 y − 2 z = 0
Respuesta:
3. El valor λ = 2 es un valor propio de la matriz
A =
−1 0 019 4 1−17 −4 0
Indique, en orden, su dimension algebraica y su dimensiongeometrica.
Respuesta:
4. Si A es una matriz 3× 3 tal que
M32 = 0, C33 = 21C11 = 50, C23 = 37C13 = −46, C22 = −24C31 = −42, C12 = 6
ya32 = 3, a33 = 8a11 = 4, a23 = 2a13 = 8, a22 = 7a31 = 7, a12 = 7
Determine |A|.Respuesta:
5. Encuentre la ecuacion de la recta y = mx+b.que se ajustamejor, en el sentido de mınimos cuadrados, a los datos dela siguiente tabla:
x y
40 48345 46650 45455 43460 422
Hint: Forme el sistema para m y b sustituyendo los pun-tos en el modelo, por ejemplo al sustituir el primer puntoqueda la ecuacion :
40m+ b = 483
Reporte en orden los valores de m y b.
Respuesta:
6. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
−2x− 2 y + 4 z = 0
−x− y + 4 z = −2
−2x− 2 y + 3 z = 1
−2x− 2 y + 7 z = −3
se puede decir que:
1 Tiene infinitas soluciones y la formula general paraellas es x
y
z
=
2
0
3
+ y
4
10
2
2 Tiene solucion unica y es x = 2, y = 3 yz = 4.
3 El sistema es inconsistente y tiene infinitas solucionesde mınimos cuadrados y la formula general para ellases x
y
z
=
2
0
2
+ y
4
10
4 El sistema es inconsistente y tiene como solucion uni-
ca de mınimos cuadrados a x = 2, y = 3 yz = 4.
5 Tiene infinitas soluciones y la formula general paraellas es x
y
z
=
2
00
+y
3
10
+z
4
01
Indique su seleccion y reporte los numeros que completanla respuesta.
Respuesta:
7. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −6x− 18 y + 11 z
y′ = −8x− 18 y + 12 z
z′ = −16x− 42 y + 27 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = −1, y(0) = 1, z(0) = −2
Como respuesta determine x(t = 1), y(t = 1) y z(t = 1)
Respuesta:
8. Si:
A =[−3 −4
1 1
]B =
[3 1−4 −1
]C =
[−2 1−3 1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:(
(AX)TB)T
= C
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
9. Para que valor de c la matriz siguiente no es diagonaliza-ble:
A =
−1 5 4 c0 4 −3 + c
0 0 c
Respuesta:
10. Indique si el polinomio
p = 3 + 2x− 3x2 + x3
es una combinacion lineal de los polinomios:
p1 = 4− 3x+ x2 + x3
p2 = −4 + 3x− x2 − x3
yp3 = −3 + 2x− x2 − 3x3
A Falso
B Cierto
11. Sean A una matriz m × n y b1 y b2 dos vectores dife-rentes de Rn. Indique validez a cada una de las siguientesafirmaciones:
a) Si Ax = b1 tiene solucion unica y Ax = b2 tienesolucion, entonces Ax = b2 tambien tiene solucionunica.
b) Si m = n y Ax = b1 es inconsistente, entoncesAx = 0 tiene infinitas soluciones.
c) Si m = n y si Ax = b1 tiene solucion unica, entoncesAx = 0 tiene solucion unica.
d) Si m = n, entonces Ax = b1 tiene solucion unica.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) No se sabe
3) Cierto
Respuesta:
12. Una poblacion de conejos en una gran isla se estimo desde1981 hasta 1984 y se obtuvieron los datos:
ano N
1981 30201982 45201983 80201984 16980
Se espera que los datos se ajusten a una funcion exponen-cial
N(t) = No ek (t−1981)
Use el metodo de mınimos cuadrados para hacer este ajus-te. Usando esto determine la poblacion en 1985.Hint: Tome logaritmos para convertir el ajuste al ajustede una lınea recta.
Respuesta:
MA843, Examen Final (Agosto - Diciembre 2007), Tipo: 1 3
13. Indique cuales opciones no contienen un vector en el nucleode la transformacion de R3 en R3 definida como
T
x
y
z
=
−23x− 2 y − 23 zx− y + z
4x+ y + 4 z
dentro de las opciones:
1.
3
−1
1
2.
−1
0
1
3.
2
0
−2
4.
0
0
0
5.
16
−8
−4
6.
−5
3
3
Respuesta:
14. Si:
A =
−1 0 0 1 −1 1 10 −1 0 −1 0 0 10 0 1 0 0 1 10 0 0 1 −1 1 00 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 −1 −10 0 0 0 0 0 1
y
B =
−1 0 0 0 0 0 0−1 −1 0 0 0 0 0
0 0 −1 0 0 0 01 −1 1 1 0 0 01 1 1 −1 1 0 01 1 −1 1 0 1 01 −1 1 −1 −1 0 −1
Calcule los determinantes de:
a) AT
b) ATBA
c) A1, si A1 se obtiene de A mediante la operacionR2 ← R2 + 3R3
d) A2, si A2 se obtiene de A mediante la operacionR2 ↔ R3
e) A3, si A3 se obtiene de A mediante la operacionR2 ← 3R2
Respuesta:
15. En la actualidad hay tres planes de inversion A, B y Cdisponibles para los empleados de una empresa. Un em-pleado solo puede usar un plan a la vez y puede cambiar alfinal de ano si ası lo desea. La probabilidad de que alguienque esta en el plan A quede en el mismo plan es 75 %, deque elija el plan B es de 10 % y de que elija el plan C es de15 %. La probabilidad de que alguien que esta en el planB quede en el mismo plan es 60 %, de que elija el plan Aes de 30 % y de que elija el plan C es de 10 %. La proba-bilidad de que alguien que esta en el plan C quede en elmismo plan es 20 %, de que elija el plan A es de 60 % y deque elija el plan B es de 20 %. Reporte en orden crecien-te los valores propios de la matriz de transicion. Ademas,expresando los porcentajes como un numero entre 0 y 1,indique en orden cual es la distribucion de los empleadosen los planes A y B.
Respuesta:
4
Algebra LinealExamen Final (Agosto - Diciembre 2007)
Maestro Eduardo Uresti
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:2
1. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia deCalor es determinar la temperatura en estado estable deuna placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTb
sTc
sTc
sTcs
Td
sTd
sTd
sTe
sTf
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodosinteriores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-madamente igual al promedio de las temperaturas de loscuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, ya la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + Td + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 13o, Tb = 15o, Tc = 38o
Td = 35o, Te = 40o, Tf = 16o
Reporte solo el valor de T2.
Respuesta:
2. El valor λ = 6 es un valor propio de la matriz
A =
6 0 0−5 0 1−5 −1 2
Indique, en orden, su dimension algebraica y su dimensiongeometrica.
Respuesta:
3. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
2x+ 6 y − 4 z = 6
2x+ 6 y − 5 z = 8
−x− 3 y + 4 z = −7
3x+ 9 y − 4 z = 5
se puede decir que:
1 Tiene solucion unica y es x = 2, y = 3 yz = 4.
2 El sistema es inconsistente y tiene como solucion uni-ca de mınimos cuadrados a x = 2, y = 3 yz = 4.
3 Tiene infinitas soluciones y la formula general paraellas es x
y
z
=
2
00
+y
3
10
+z
4
01
4 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
0
3
+ y
4
10
5 El sistema es inconsistente y tiene infinitas soluciones
de mınimos cuadrados y la formula general para ellases x
y
z
=
2
0
2
+ y
4
10
Indique su seleccion y reporte los numeros que completanla respuesta.
Respuesta:
4. Encuentre la ecuacion de la recta y = mx+b.que se ajustamejor, en el sentido de mınimos cuadrados, a los datos dela siguiente tabla:
x y
40 48045 46650 45255 43560 422
Hint: Forme el sistema para m y b sustituyendo los pun-tos en el modelo, por ejemplo al sustituir el primer puntoqueda la ecuacion :
40m+ b = 480
Reporte en orden los valores de m y b.
Respuesta:
2
5. Indique si la matriz
A =[−1 2−1 2
]es una combinacion lineal de las matrices:
A1 =[−1 −2
0 −2
]
A2 =[
4 1−1 4
]y
A3 =[−10 1
3 −8
]A Cierto
B Falso
6. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −4x− 4 y + 7 z
y′ = −6x− 4 y + 9 z
z′ = −6x− 8 y + 13 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = 2, y(0) = −1, z(0) = −2
Como respuesta determine x(t = 1), y(t = 1) y z(t = 1)
Respuesta:
7. Determine la dimension del subespacio:
Gen
−30−24
2424
,−5−4
44
,−15−12
1212
,
1512−12−12
Respuesta:
8. Si A es una matriz 3× 3 tal que
M12 = −40, C31 = 10M23 = 40, M11 = −44C22 = −2, M13 = −28M21 = −16, C32 = −53
ya12 = 4, a31 = 6a23 = 7, a11 = 8a22 = 6, a13 = 3a21 = 1, a32 = 8
Determine |A|.Respuesta:
9. Sean a1, a2, a3, 0, y b vectores de Rn. Indique validez acada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2|0] tiene solucion unica, entonces {a1,a2,a3}es linealmente dependiente.
b) Si [a1,a2,a3|b] tiene solucion unica, entonces{a1,a2,a3} es linealmente independiente.
c) Si existen c1 y c2 tales que c1a1 + c2a2 + a3 = 0,entonces {a1,a2,a3} es linealmente independiente.
d) Si [a1,a2,a3|0] tiene solucion unica, entonces{a1,a2,a3} es linealmente independiente.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) Falso
3) No se sabe
Respuesta:
10. Si:
A =[−3 −4
1 1
]B =
[4 −3−1 1
]C =
[−2 1
0 0
]D =
[9 −2−4 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (XB)−1 − 3C = D
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
11. Una poblacion de conejos en una gran isla se estimo desde1981 hasta 1984 y se obtuvieron los datos:
ano N
1981 29401982 45201983 80601984 16920
Se espera que los datos se ajusten a una funcion exponen-cial
N(t) = No ek (t−1981)
Use el metodo de mınimos cuadrados para hacer este ajus-te. Usando esto determine la poblacion en 1985.Hint: Tome logaritmos para convertir el ajuste al ajustede una lınea recta.
Respuesta:
MA843, Examen Final (Agosto - Diciembre 2007), Tipo: 2 3
12. En la actualidad hay tres planes de inversion A, B y Cdisponibles para los empleados de una empresa. Un em-pleado solo puede usar un plan a la vez y puede cambiar alfinal de ano si ası lo desea. La probabilidad de que alguienque esta en el plan A quede en el mismo plan es 85 %, deque elija el plan B es de 10 % y de que elija el plan C esde 5 %. La probabilidad de que alguien que esta en el planB quede en el mismo plan es 45 %, de que elija el plan Aes de 45 % y de que elija el plan C es de 10 %. La proba-bilidad de que alguien que esta en el plan C quede en elmismo plan es 25 %, de que elija el plan A es de 60 % y deque elija el plan B es de 15 %. Reporte en orden crecien-te los valores propios de la matriz de transicion. Ademas,expresando los porcentajes como un numero entre 0 y 1,indique en orden cual es la distribucion de los empleadosen los planes A y B.
Respuesta:
13. Indique cuales opciones no contienen un vector en la ima-gen de la transformacion de R3 en R3 definida como
T
x
y
z
=
−x− 3 y − 2 z5x− 5 y − 3 z
−9x+ 13 y + 8 z
dentro de las opciones:
1.
−10
−50
110
2.
−3
−5
13
3.
−2
−2
1
4.
−1
5
−9
5.
0
0
0
Respuesta:
14. Para que valor de c la matriz siguiente no es diagonaliza-ble:
A =
5 4 −8 + 4 c0 4 17− 4 c0 0 c
Respuesta:
15. Si:
A =
−1 1 −1 0 −1 0 10 −1 1 −1 −1 1 −10 0 −1 −1 −1 1 10 0 0 −1 1 1 00 0 0 0 −1 −1 −10 0 0 0 0 1 −10 0 0 0 0 0 −1
y
B =
1 0 0 0 0 0 0−1 1 0 0 0 0 0
1 −1 1 0 0 0 0−1 −1 −1 1 0 0 0
1 1 1 1 −1 0 00 −1 −1 0 −1 −1 01 −1 −1 1 1 −1 −1
Calcule los determinantes de:
a)(A−1
)Tb) BA
c) A1, si A1 se obtiene de A mediante la operacionR5 ↔ R1
d) A2, si A2 se obtiene de A mediante la operacionR5 ← R5 + 2R1
e) A3, si A3 se obtiene de A mediante la operacionR5 ← 2R5
Respuesta:
4
Algebra LinealExamen Final (Agosto - Diciembre 2007)
Maestro Eduardo Uresti
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:3
1. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia deCalor es determinar la temperatura en estado estable deuna placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTb
sTc
sTd
sTe
sTf
sTf
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodosinteriores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-madamente igual al promedio de las temperaturas de loscuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, ya la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 10o, Tb = 24o, Tc = 32o
Td = 29o, Te = 34o, Tf = 24o
Reporte solo el valor de T2.
Respuesta:
2. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
3x− 6 y + 6 z = 27
−2x+ 4 y − 2 z = −12
3x− 6 y + 9 z = 36
−2x+ 4 y − 2 z = −12
se puede decir que:
1 El sistema es inconsistente y tiene como solucion uni-ca de mınimos cuadrados a x = 2, y = 3 yz = 4.
2 El sistema es inconsistente y tiene infinitas solucionesde mınimos cuadrados y la formula general para ellases x
y
z
=
2
0
2
+ y
4
10
3 Tiene infinitas soluciones y la formula general paraellas es x
y
z
=
2
0
3
+ y
4
10
4 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
00
+y
3
10
+z
4
01
5 Tiene solucion unica y es x = 2, y = 3 y
z = 4.
Indique su seleccion y reporte los numeros que completanla respuesta.
Respuesta:
3. Encuentre la ecuacion de la recta y = mx+b.que se ajustamejor, en el sentido de mınimos cuadrados, a los datos dela siguiente tabla:
x y
40 48045 46550 45255 43360 420
Hint: Forme el sistema para m y b sustituyendo los pun-tos en el modelo, por ejemplo al sustituir el primer puntoqueda la ecuacion :
40m+ b = 480
Reporte en orden los valores de m y b.
Respuesta:
4. Indique si el polinomio
p = 9 + 3x+ 12x2 − 8x3
es una combinacion lineal de los polinomios:
p1 = 3 + 3x+ 3x2 − x3
p2 = −9− 9x− 9x2 + 3x3
yp3 = 1− x+ 2x2 − 2x3
2
A Falso
B Cierto
5. Sean a1, a2, a3, 0, y b vectores de Rn. Indique validez acada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2,a3|0] tiene solucion unica, entonces {a1,a2}es linealmente dependiente.
b) Si [a1,a2,a3|b] tiene solucion unica, entonces{a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
c) Si existen c1, c2 y c3 tales que c1a1 +c2a2 +c3a3 = 0,entonces {a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
d) Si [a1,a2,a3|0] tiene infinitas soluciones, entonces{a1,a2,a3} es linealmente independiente.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Falso
3) Cierto
Respuesta:
6. Si A es una matriz 3× 3 tal que
M11 = −41, C33 = −18C22 = −2, C12 = 14C32 = −14, C21 = 18C13 = 35, M31 = 24
ya11 = 8, a33 = 5a22 = 3, a12 = 6a32 = 8, a21 = 7a13 = 6, a31 = 7
Determine |A|.Respuesta:
7. Una poblacion de conejos en una gran isla se estimo desde1981 hasta 1984 y se obtuvieron los datos:
ano N
1981 29601982 45001983 80401984 17040
Se espera que los datos se ajusten a una funcion exponen-cial
N(t) = No ek (t−1981)
Use el metodo de mınimos cuadrados para hacer este ajus-te. Usando esto determine la poblacion en 1985.Hint: Tome logaritmos para convertir el ajuste al ajustede una lınea recta.
Respuesta:
8. Los vectores
1.
−2476−58
2.
−1238−29
3.
1−3
3
4.
−413−9
5.
−39−9
son vectores propios de la matriz
A =
430 104 −40−1332 −322 124
1116 270 −104
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
9. Para que valor de c la matriz siguiente no es diagonaliza-ble:
A =
−2 24 −73− 2 c0 6 −17 + 3 c0 0 c
Respuesta:
10. Determine la dimension del subespacio que generan lasmatrices:{[
2 1−2 1
],
[−1 2
2 0
],
[−1 −1
0 −1
],
[−2 −2
0 −1
]}
Respuesta:
11. En la actualidad hay tres planes de inversion A, B y Cdisponibles para los empleados de una empresa. Un em-pleado solo puede usar un plan a la vez y puede cambiar alfinal de ano si ası lo desea. La probabilidad de que alguienque esta en el plan A quede en el mismo plan es 85 %, deque elija el plan B es de 10 % y de que elija el plan C esde 5 %. La probabilidad de que alguien que esta en el planB quede en el mismo plan es 60 %, de que elija el plan Aes de 35 % y de que elija el plan C es de 5 %. La proba-bilidad de que alguien que esta en el plan C quede en elmismo plan es 20 %, de que elija el plan A es de 40 % y deque elija el plan B es de 40 %. Reporte en orden crecien-te los valores propios de la matriz de transicion. Ademas,expresando los porcentajes como un numero entre 0 y 1,indique en orden cual es la distribucion de los empleadosen los planes A y B.
Respuesta:
MA843, Examen Final (Agosto - Diciembre 2007), Tipo: 3 3
12. Si:
A =
−1 1 1 −1 1 1 10 −1 0 0 1 −1 10 0 −1 1 −1 0 00 0 0 1 0 −1 −10 0 0 0 1 1 10 0 0 0 0 1 10 0 0 0 0 0 1
y
B =
1 0 0 0 0 0 01 −1 0 0 0 0 0−1 0 −1 0 0 0 0
1 −1 −1 −1 0 0 0−1 −1 1 0 −1 0 0
1 0 1 1 0 1 01 −1 −1 1 0 0 1
Calcule los determinantes de:
a)(A−1
)Tb) BTAB
c) A1, si A1 se obtiene de A mediante la operacionR3 ↔ R6
d) A2, si A2 se obtiene de A mediante la operacionR3 ← R3 + 3R6
e) A3, si A3 se obtiene de A mediante la operacionR3 ← 3R3
Respuesta:
13. Indique cuales opciones no contienen un vector en la ima-gen de la transformacion de R3 en R3 definida como
T
x
y
z
=
y − 2 z−5x+ 3 y + 3 z10x− 7 y − 4 z
dentro de las opciones:
1.
5
25
−55
2.
0
−5
10
3.
1
3
−7
4.
3
−4
−3
5.
0
0
0
Respuesta:
14. Si:
A =[
2 −31 −1
]B =
[3 1−4 −1
]C =
[−3 −4
1 1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:(
(AX)TB)T
= C
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
15. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −7x− 4 y + 7 z
y′ = −18x− 8 y + 16 z
z′ = −18x− 12 y + 20 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = −2, y(0) = −1, z(0) = −1
Como respuesta determine x(t = 1), y(t = 1) y z(t = 1)
Respuesta:
4
Algebra LinealExamen Final (Agosto - Diciembre 2007)
Maestro Eduardo Uresti
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:4
1. Determine la dimension del subespacio que generan lospolinomios:
1 + x+ 2x2 + 2x3(−3− 2x+ 2x3
)(−4 + 6x2 + 6x3
)(−3 + 2x2
)Respuesta:
2. Si A es una matriz 3× 3 tal que
C32 = 8, M21 = 0M31 = −6, M12 = 4M13 = −3, M11 = 4M23 = −1, C22 = −2
y
a32 = 2, a21 = 6a31 = 5, a12 = 3a13 = 6, a11 = 7a23 = 4, a22 = 3
Determine |A|.
Respuesta:
3. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −17x+ y + 7 z
y′ = −20x+ 2 y + 8 z
z′ = −40x+ 18 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = −2, y(0) = −1, z(0) = 2
Como respuesta determine x(t = 1), y(t = 1) y z(t = 1)
Respuesta:
4. Indique cuales opciones no contienen un vector en el nucleode la transformacion de R3 en R3 definida como
T
x
y
z
=
4x+ 4 y − 6 z−4 z
2x+ 2 y + 5 z
dentro de las opciones:
1.
4
−4
0
2.
−1
1
0
3.
1
2
1
4.
5
−5
−4
5.
0
0
0
6.
21
−18
−15
Respuesta:
5. Si:
A =[−3 1−4 1
]B =
[2 −31 −1
]C =
[−2 2−3 0
]D =
[1 −32 1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (BX)−1 − 2C = D
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
6. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
2x− 2 y − 2 z = 2
3x− 3 y − 5 z = 7
2x− 2 y − 4 z = 6
2x− 2 y + z = −4
se puede decir que:
1 El sistema es inconsistente y tiene como solucion uni-ca de mınimos cuadrados a x = 2, y = 3 yz = 4.
2 Tiene solucion unica y es x = 2, y = 3 yz = 4.
2
3 Tiene infinitas soluciones y la formula general paraellas es x
y
z
=
2
00
+y
3
10
+z
4
01
4 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
0
3
+ y
4
10
5 El sistema es inconsistente y tiene infinitas soluciones
de mınimos cuadrados y la formula general para ellases x
y
z
=
2
0
2
+ y
4
10
Indique su seleccion y reporte los numeros que completanla respuesta.
Respuesta:
7. Si:
A =
−1 −1 −1 1 −1 −1 10 −1 1 1 1 1 10 0 1 1 1 −1 00 0 0 −1 −1 −1 −10 0 0 0 −1 0 −10 0 0 0 0 1 −10 0 0 0 0 0 −1
y
B =
−1 0 0 0 0 0 01 −1 0 0 0 0 00 1 −1 0 0 0 00 1 1 1 0 0 0−1 0 −1 −1 1 0 0
1 1 −1 0 0 −1 00 −1 1 0 1 0 1
Calcule los determinantes de:
a)(A−1
)Tb) BA
c) A1, si A1 se obtiene de A mediante la operacionR2 ← R2 + 6R3
d) A2, si A2 se obtiene de A mediante la operacionR2 ↔ R3
e) A3, si A3 se obtiene de A mediante la operacionR2 ← 6R2
Respuesta:
8. Indique si el polinomio
p = 1 + 5x+ 12x2
es una combinacion lineal de los polinomios:
p1 = −3− 3x− 2x2 + 4x3
p2 = −3 + 3x2 + 4x3
yp3 = −1 + 4x+ 3x2
A Cierto
B Falso
9. Para que valor de c la matriz siguiente no es diagonaliza-ble:
A =
5 24 −114 + 3 c0 −3 13 + 4 c0 0 c
Respuesta:
10. Sean a1, a2, a3, 0, y b vectores de Rn. Indique validez acada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2|0] tiene solucion unica, entonces {a1,a2,a3}es linealmente dependiente.
b) Si existen c1, c2 y c3 tales que c1a1 +c2a2 +c3a3 = 0,entonces {a1,a2,a3} es linealmente independiente.
c) Si [a1,a2,a3|0] tiene solucion unica, entonces{a1,a2,a3} es linealmente independiente.
d) Si [a1,a2,a3|b] tiene solucion unica, entonces{a1,a2,a3} es linealmente independiente.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Cierto
3) Falso
Respuesta:
11. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia deCalor es determinar la temperatura en estado estable deuna placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTa
sTb
sTc
sTd
sTe
sTf
sTf
MA843, Examen Final (Agosto - Diciembre 2007), Tipo: 4 3
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodosinteriores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-madamente igual al promedio de las temperaturas de loscuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, ya la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + Tb + Td + T2) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 17o, Tb = 15o, Tc = 24o
Td = 28o, Te = 32o, Tf = 25o
Reporte solo el valor de T3.
Respuesta:
12. Los vectores
1.
1−1−2
2.
−129
21
3.
2−2−4
4.
−437
5.
−200
son vectores propios de la matriz
A =
3 44 −200 −37 180 −84 41
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
13. En la actualidad hay tres planes de inversion A, B y Cdisponibles para los empleados de una empresa. Un em-pleado solo puede usar un plan a la vez y puede cambiar alfinal de ano si ası lo desea. La probabilidad de que alguienque esta en el plan A quede en el mismo plan es 75 %, deque elija el plan B es de 5 % y de que elija el plan C es de20 %. La probabilidad de que alguien que esta en el planB quede en el mismo plan es 40 %, de que elija el plan Aes de 40 % y de que elija el plan C es de 20 %. La proba-bilidad de que alguien que esta en el plan C quede en el
mismo plan es 25 %, de que elija el plan A es de 45 % y deque elija el plan B es de 30 %. Reporte en orden crecien-te los valores propios de la matriz de transicion. Ademas,expresando los porcentajes como un numero entre 0 y 1,indique en orden cual es la distribucion de los empleadosen los planes A y B.
Respuesta:
14. Encuentre la ecuacion de la recta y = mx+b.que se ajustamejor, en el sentido de mınimos cuadrados, a los datos dela siguiente tabla:
x y
40 48145 46950 45255 43360 423
Hint: Forme el sistema para m y b sustituyendo los pun-tos en el modelo, por ejemplo al sustituir el primer puntoqueda la ecuacion :
40m+ b = 481
Reporte en orden los valores de m y b.
Respuesta:
15. Una poblacion de conejos en una gran isla se estimo desde1981 hasta 1984 y se obtuvieron los datos:
ano N
1981 30801982 44201983 80001984 17000
Se espera que los datos se ajusten a una funcion exponen-cial
N(t) = No ek (t−1981)
Use el metodo de mınimos cuadrados para hacer este ajus-te. Usando esto determine la poblacion en 1985.Hint: Tome logaritmos para convertir el ajuste al ajustede una lınea recta.
Respuesta:
4
Algebra LinealExamen Final (Agosto - Diciembre 2007)
Maestro Eduardo Uresti
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:5
1. Sean A una matriz m × n y b1 y b2 dos vectores dife-rentes de Rn. Indique validez a cada una de las siguientesafirmaciones:
a) Si m = n, entonces Ax = b1 tiene infinitas solucio-nes.
b) Si m = n y Ax = b1 es inconsistente, entoncesAx = 0 tiene solucion unica.
c) Si Ax = b1 tiene solucion unica y Ax = b2 tienesolucion, entonces Ax = b2 tambien tiene solucionunica.
d) Si m = n y si Ax = b1 tiene infinitas soluciones,entonces Ax = 0 tiene solucion unica.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) No se sabe
3) Cierto
Respuesta:
2. Indique si el polinomio
p = −x
es una combinacion lineal de los polinomios:
p1 = −1 + x− x2 − 2x3
p2 = 1− x+ x2 + 2x3
yp3 = x+ 2x2 + 4x3
A Cierto
B Falso
3. Para que valor de c la matriz siguiente no es diagonaliza-ble:
A =
1 16 −24 + 4 c0 −3 4 + c
0 0 c
Respuesta:
4. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −10x− y + 9 z
y′ = −12x− y + 11 z
z′ = −12x− 4 y + 14 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = −2, y(0) = 2, z(0) = −2
Como respuesta determine x(t = 1), y(t = 1) y z(t = 1)
Respuesta:
5. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia deCalor es determinar la temperatura en estado estable deuna placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTa
sTb
sTb
sTb
sTc
sTd
sTd
sTd
sTe
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodosinteriores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-madamente igual al promedio de las temperaturas de loscuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, ya la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 28o, Tb = 32o, Tc = 36o
Td = 40o, Te = 34o, Tf = 29o
Reporte solo el valor de T3.
Respuesta:
6. Encuentre la ecuacion de la recta y = mx+b.que se ajustamejor, en el sentido de mınimos cuadrados, a los datos dela siguiente tabla:
x y
40 48245 46750 45055 43260 422
2
Hint: Forme el sistema para m y b sustituyendo los pun-tos en el modelo, por ejemplo al sustituir el primer puntoqueda la ecuacion :
40m+ b = 482
Reporte en orden los valores de m y b.
Respuesta:
7. Si:
A =
1 1 −1 1 0 1 00 1 0 0 −1 0 10 0 −1 1 1 0 00 0 0 −1 −1 1 10 0 0 0 1 1 10 0 0 0 0 1 −10 0 0 0 0 0 1
y
B =
1 0 0 0 0 0 0−1 1 0 0 0 0 0
1 1 −1 0 0 0 01 0 1 −1 0 0 01 0 0 −1 1 0 0−1 1 0 0 0 1 0
0 −1 −1 0 1 1 −1
Calcule los determinantes de:
a) A−1
b) BTAB
c) A1, si A1 se obtiene de A mediante la operacionR2 ↔ R6
d) A2, si A2 se obtiene de A mediante la operacionR2 ← 4R2
e) A3, si A3 se obtiene de A mediante la operacionR2 ← R2 + 4R6
Respuesta:
8. Si A es una matriz 3× 3 tal que
C23 = 2, C13 = −24C33 = 8, C11 = 22C31 = −62, C21 = 5C22 = −26, C32 = 60
ya23 = 2, a13 = 8a33 = 3, a11 = 2a31 = 4, a21 = 8a22 = 8, a32 = 1
Determine |A|.
Respuesta:
9. Cuales opciones contienen vectores propios a la matriz
A =
105 −12 −18222 −21 −42464 −56 −77
de la lista de vectores:
1.
106
2.
0−1
1
3.
0−9
6
4.
134
5.
277
6.
115
Respuesta:
10. Una poblacion de conejos en una gran isla se estimo desde1981 hasta 1984 y se obtuvieron los datos:
ano N
1981 30201982 44801983 79201984 16940
Se espera que los datos se ajusten a una funcion exponen-cial
N(t) = No ek (t−1981)
Use el metodo de mınimos cuadrados para hacer este ajus-te. Usando esto determine la poblacion en 1985.Hint: Tome logaritmos para convertir el ajuste al ajustede una lınea recta.
Respuesta:
11. Si:
A =[−4 −1−3 −1
]B =
[4 −1−3 1
]C =
[0 03 2
]D =
[−3 −4−8 −5
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (X B)T − 3C = D
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
MA843, Examen Final (Agosto - Diciembre 2007), Tipo: 5 3
12. En la actualidad hay tres planes de inversion A, B y Cdisponibles para los empleados de una empresa. Un em-pleado solo puede usar un plan a la vez y puede cambiar alfinal de ano si ası lo desea. La probabilidad de que alguienque esta en el plan A quede en el mismo plan es 80 %, deque elija el plan B es de 15 % y de que elija el plan C esde 5 %. La probabilidad de que alguien que esta en el planB quede en el mismo plan es 50 %, de que elija el plan Aes de 40 % y de que elija el plan C es de 10 %. La proba-bilidad de que alguien que esta en el plan C quede en elmismo plan es 20 %, de que elija el plan A es de 70 % y deque elija el plan B es de 10 %. Reporte en orden crecien-te los valores propios de la matriz de transicion. Ademas,expresando los porcentajes como un numero entre 0 y 1,indique en orden cual es la distribucion de los empleadosen los planes A y B.
Respuesta:
13. Determine la dimension del subespacio que generan lospolinomios:
x+ x2 − x3(−2 + 2x2
)(2− 3x− 2x2 + 3x3
)(1− x+ 2x2
)Respuesta:
14. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
3x− 6 y − 9 z = −9
−2x+ 4 y + 6 z = 6
2x− 4 y − 6 z = −6
2x− 4 y − 6 z = −6
se puede decir que:
1 Tiene solucion unica y es x = 2, y = 3 yz = 4.
2 El sistema es inconsistente y tiene infinitas solucionesde mınimos cuadrados y la formula general para ellases x
y
z
=
2
0
3
+ y
4
10
3 El sistema es inconsistente y tiene como solucion uni-ca de mınimos cuadrados a x = 2, y = 3 yz = 4.
4 Tiene infinitas soluciones y la formula general paraellas es x
y
z
=
2
00
+y
3
10
+z
4
01
5 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
3
0
+ y
4
5
1
Indique su seleccion y reporte los numeros que completanla respuesta.
Respuesta:
15. Indique cuales opciones no contienen un vector en el nucleode la transformacion de R3 en R3 definida como
T
x
y
z
=
6x− 8 y2x+ 2 y − 3 z5x− 2 y − 3 z
dentro de las opciones:
1.
17
−7
25
2.
−1
−1
−2
3.
−4
4
−5
4.
12
9
14
5.
−36
−27
−42
6.
0
0
0
Respuesta:
4
Algebra LinealExamen Final (Agosto - Diciembre 2007)
Maestro Eduardo Uresti
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:6
1. Indique si la matriz
A =[
4 −22 3
]es una combinacion lineal de las matrices:
A1 =[
4 2−2 0
]
A2 =[−3 1
3 3
]y
A3 =[−5 −5
1 −3
]A Falso
B Cierto
2. Determine la dimension para el subespacio de R3 formadopor las soluciones al sistema:
3x+ y + 3 z = 0
6x+ 3 y + 4 z = 0
−6x− 5 y = 0
Respuesta:
3. Si:
A =[−3 −4
1 1
]B =
[3 −41 −1
]C =
[3 1−4 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:(
(AX)TB)C −B = 0
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
4. Indique cuales opciones contienen un vector en el nucleode la transformacion de R3 en R3 definida como
T
x
y
z
=
10x+ 14 y + 16 z−3x− 2 y − 5 z
2x+ 5 y + 3 z
dentro de las opciones:
1.
57
−3
−33
2.
−19
1
11
3.
2
−3
3
4.
−2
−2
0
5.
−4
21
−15
6.
0
0
0
Respuesta:
5. Si A es una matriz 3× 3 tal que
C13 = −13, C12 = 1C32 = 13, C23 = −33C33 = 29, C11 = 3C31 = −27, C21 = 33
ya13 = 7, a12 = 1a32 = 5, a23 = 1a33 = 2, a11 = 8a31 = 7, a21 = 3
Determine |A|.Respuesta:
6. Encuentre la ecuacion de la recta y = mx+b.que se ajustamejor, en el sentido de mınimos cuadrados, a los datos dela siguiente tabla:
x y
40 48445 46950 45355 43460 420
Hint: Forme el sistema para m y b sustituyendo los pun-tos en el modelo, por ejemplo al sustituir el primer puntoqueda la ecuacion :
40m+ b = 484
Reporte en orden los valores de m y b.
Respuesta:
2
7. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia deCalor es determinar la temperatura en estado estable deuna placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTb
sTb s
Tc
sTc
sTd
sTe
sTf
sTf s
Tf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodosinteriores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-madamente igual al promedio de las temperaturas de loscuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, ya la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + Tc + T2 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 31o, Tb = 23o, Tc = 16o
Td = 10o, Te = 12o, Tf = 34o
Reporte solo el valor de T5.
Respuesta:
8. Cuales opciones contienen vectores propios a la matriz
A =
29 65 −57−112 −244 213−112 −250 219
de la lista de vectores:
1.
−133
2.
−41414
3.
3−11−11
4.
1−4−4
5.
27−99−102
6.
10−37−38
Respuesta:
9. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −3x− 3 y + 7 z
y′ = −8x− 6 y + 16 z
z′ = −2x− 6 y + 12 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = 1, y(0) = 1, z(0) = 2
Como respuesta determine x(t = 1), y(t = 1) y z(t = 1)
Respuesta:
10. Para que valor de c la matriz siguiente no es diagonaliza-ble:
A =
−3 2 3− c0 −2 −3− 2 c0 0 c
Respuesta:
11. Sean A una matriz m × n y b1 y b2 dos vectores dife-rentes de Rn. Indique validez a cada una de las siguientesafirmaciones:
a) Si m = n y si Ax = b1 tiene solucion unica, entoncesAx = 0 tiene solucion unica.
b) Si Ax = b1 tiene solucion unica y Ax = b2 tienesolucion, entonces Ax = b2 tambien tiene solucionunica.
c) Si m < n, entonces Ax = b1 tiene infinitas solucio-nes.
d) Si m = n y Ax = b1 es inconsistente, entoncesAx = 0 tiene solucion unica.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) Cierto
3) No se sabe
Respuesta:
12. Una poblacion de conejos en una gran isla se estimo desde1981 hasta 1984 y se obtuvieron los datos:
ano N
1981 29801982 45401983 80001984 17060
MA843, Examen Final (Agosto - Diciembre 2007), Tipo: 6 3
Se espera que los datos se ajusten a una funcion exponen-cial
N(t) = No ek (t−1981)
Use el metodo de mınimos cuadrados para hacer este ajus-te. Usando esto determine la poblacion en 1985.Hint: Tome logaritmos para convertir el ajuste al ajustede una lınea recta.
Respuesta:
13. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
3x+ 4 y + 2 z = 1
4x+ 2 y + 2 z = 1
4x+ 5 y + 4 z = 3
5x+ 4 y + z = 1
se puede decir que:
1 Tiene solucion unica y es x = 2, y = 3 yz = 4.
2 Tiene infinitas soluciones y la formula general paraellas es x
y
z
=
2
00
+y
3
10
+z
4
01
3 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
3
0
+ y
4
5
1
4 El sistema es inconsistente y tiene como solucion uni-
ca de mınimos cuadrados a x = 2, y = 3 yz = 4.
5 El sistema es inconsistente y tiene infinitas solucionesde mınimos cuadrados y la formula general para ellases x
y
z
=
2
0
3
+ y
4
10
Indique su seleccion y reporte los numeros que completanla respuesta.
Respuesta:
14. En la actualidad hay tres planes de inversion A, B y Cdisponibles para los empleados de una empresa. Un em-pleado solo puede usar un plan a la vez y puede cambiar alfinal de ano si ası lo desea. La probabilidad de que alguienque esta en el plan A quede en el mismo plan es 85 %, deque elija el plan B es de 5 % y de que elija el plan C es de10 %. La probabilidad de que alguien que esta en el planB quede en el mismo plan es 45 %, de que elija el plan Aes de 40 % y de que elija el plan C es de 15 %. La proba-bilidad de que alguien que esta en el plan C quede en elmismo plan es 30 %, de que elija el plan A es de 50 % y deque elija el plan B es de 20 %. Reporte en orden crecien-te los valores propios de la matriz de transicion. Ademas,expresando los porcentajes como un numero entre 0 y 1,indique en orden cual es la distribucion de los empleadosen los planes A y B.
Respuesta:
15. Si:
A =
1 0 −1 −1 1 −1 00 −1 −1 1 1 0 10 0 −1 −1 −1 −1 00 0 0 −1 1 0 00 0 0 0 −1 −1 10 0 0 0 0 −1 00 0 0 0 0 0 1
y
B =
1 0 0 0 0 0 01 1 0 0 0 0 01 −1 −1 0 0 0 01 0 1 1 0 0 00 −1 −1 −1 1 0 00 −1 −1 1 0 −1 01 −1 0 −1 0 −1 −1
Calcule los determinantes de:
a) A−1
b) AB
c) A1, si A1 se obtiene de A mediante la operacionR4 ↔ R2
d) A2, si A2 se obtiene de A mediante la operacionR4 ← 2R4
e) A3, si A3 se obtiene de A mediante la operacionR4 ← R4 + 2R2
Respuesta:
4
Algebra LinealExamen Final (Agosto - Diciembre 2007)
Maestro Eduardo Uresti
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:7
1. Indique cuales opciones no contienen un vector en el nucleode la transformacion de R3 en R3 definida como
T
x
y
z
=
−3x+ 3 y + 3 z−10x− 2 z
2x+ 3 y + 4 z
dentro de las opciones:
1.
−1
−6
5
2.
−4
−24
20
3.
−14
−8
18
4.
3
−2
1
5.
0
0
0
6.
2
3
−5
Respuesta:
2. Si:
A =
−1 1 1 −1 1 −1 −10 −1 −1 0 −1 −1 10 0 1 0 1 1 00 0 0 −1 1 −1 10 0 0 0 −1 1 10 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 1
y
B =
−1 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 01 1 1 0 0 0 00 0 1 1 0 0 01 1 0 0 1 0 01 1 1 0 0 −1 01 1 1 1 0 −1 −1
Calcule los determinantes de:
a) A−1
b) BTAB−1
c) A1, si A1 se obtiene de A mediante la operacionR2 ← 2R2
d) A2, si A2 se obtiene de A mediante la operacionR2 ← R2 + 2R6
e) A3, si A3 se obtiene de A mediante la operacionR2 ↔ R6
Respuesta:
3. Encuentre la ecuacion de la recta y = mx+b.que se ajustamejor, en el sentido de mınimos cuadrados, a los datos dela siguiente tabla:
x y
40 48045 46550 45255 43460 423
Hint: Forme el sistema para m y b sustituyendo los pun-tos en el modelo, por ejemplo al sustituir el primer puntoqueda la ecuacion :
40m+ b = 480
Reporte en orden los valores de m y b.
Respuesta:
4. Cuales opciones contienen vectores propios a la matriz
A =
−410 −155 −49984 372 118384 145 45
de la lista de vectores:
1.
10−24−9
2.
−4102
3.
−13−1
4.
7−17−6
5.
1−2−2
6.
3−7−3
Respuesta:
2
5. Si:
A =[
2 1−3 −1
]B =
[−4 −3−1 −1
]C =
[−3 1−4 1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:(
(AX)TB)T
= C
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
6. Para que valor de c la matriz siguiente no es diagonaliza-ble:
A =
5 −18 −36− 3 c0 −1 −2− 3 c0 0 c
Respuesta:
7. Determine la dimension del subespacio que generan lasmatrices:{[
1 −21 1
],
[−1 2
1 2
],
[−1 2−3 −4
],
[3 −6−1 −3
]}Respuesta:
8. Si A es una matriz 3× 3 tal que
M21 = 38, M32 = 10C11 = 4, C33 = −23C23 = 37, M31 = 31C12 = 5, M22 = 11
ya21 = 5, a32 = 4a11 = 3, a33 = 6a23 = 5, a31 = 7a12 = 7, a22 = 4
Determine |A|.Respuesta:
9. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia deCalor es determinar la temperatura en estado estable deuna placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTb
sTb s
Tc
sTc
sTd
sTe
sTf
sTf s
Tf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodosinteriores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-madamente igual al promedio de las temperaturas de loscuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, ya la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + Tc + T2 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 39o, Tb = 32o, Tc = 31o
Td = 39o, Te = 27o, Tf = 37o
Reporte solo el valor de T4.
Respuesta:
10. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
2x+ 2 y + 4 z = −12
−2x− 2 y − z = 6
2x+ 2 y + 7 z = −18
2x+ 2 y + 2 z = −8
se puede decir que:
1 El sistema es inconsistente y tiene como solucion uni-ca de mınimos cuadrados a x = 2, y = 3 yz = 4.
2 Tiene infinitas soluciones y la formula general paraellas es x
y
z
=
2
00
+y
3
10
+z
4
01
3 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
0
3
+ y
4
10
4 El sistema es inconsistente y tiene infinitas soluciones
de mınimos cuadrados y la formula general para ellases x
y
z
=
2
0
2
+ y
4
10
5 Tiene solucion unica y es x = 2, y = 3 y
z = 4.
MA843, Examen Final (Agosto - Diciembre 2007), Tipo: 7 3
Indique su seleccion y reporte los numeros que completanla respuesta.
Respuesta:
11. En la actualidad hay tres planes de inversion A, B y Cdisponibles para los empleados de una empresa. Un em-pleado solo puede usar un plan a la vez y puede cambiar alfinal de ano si ası lo desea. La probabilidad de que alguienque esta en el plan A quede en el mismo plan es 80 %, deque elija el plan B es de 5 % y de que elija el plan C es de15 %. La probabilidad de que alguien que esta en el planB quede en el mismo plan es 55 %, de que elija el plan Aes de 35 % y de que elija el plan C es de 10 %. La proba-bilidad de que alguien que esta en el plan C quede en elmismo plan es 30 %, de que elija el plan A es de 65 % yde que elija el plan B es de 5 %. Reporte en orden crecien-te los valores propios de la matriz de transicion. Ademas,expresando los porcentajes como un numero entre 0 y 1,indique en orden cual es la distribucion de los empleadosen los planes A y B.
Respuesta:
12. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −4x− 2 y + 5 z
y′ = −6x− y + 6 z
z′ = −6x− 4 y + 9 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = −2, y(0) = 2, z(0) = 1
Como respuesta determine x(t = 1), y(t = 1) y z(t = 1)
Respuesta:
13. Una poblacion de conejos en una gran isla se estimo desde1981 hasta 1984 y se obtuvieron los datos:
ano N
1981 30801982 44801983 80201984 16980
Se espera que los datos se ajusten a una funcion exponen-cial
N(t) = No ek (t−1981)
Use el metodo de mınimos cuadrados para hacer este ajus-te. Usando esto determine la poblacion en 1985.Hint: Tome logaritmos para convertir el ajuste al ajustede una lınea recta.
Respuesta:
14. Sean a1, a2, a3, 0, y b vectores de Rn. Indique validez acada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2,a3|b] tiene solucion unica, entonces{a1,a2,a3} es linealmente independiente.
b) Si [a1,a2,a3|0] tiene infinitas soluciones, entonces{a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
c) Si existen c1 y c2 tales que c1a1 + c2a2 + a3 = 0,entonces {a1,a2,a3} es linealmente independiente.
d) Si [a1,a2,a3|0] tiene solucion unica, entonces {a1,a2}es linealmente independiente.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) Falso
3) No se sabe
Respuesta:
15. Indique si la matriz
A =[−6 5
2 −5
]es una combinacion lineal de las matrices:
A1 =[
1 −2−1 −2
]
A2 =[−1 1
1 3
]y
A3 =[−3 3
1 −3
]
A Cierto
B Falso
4
Algebra LinealExamen Final (Agosto - Diciembre 2007)
Maestro Eduardo Uresti
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:8
1. Para que valor de c la matriz siguiente no es diagonaliza-ble:
A =
5 −8 17− c0 3 −2 + c
0 0 c
Respuesta:
2. Indique si la matriz
A =[
3 −2−8 −9
]es una combinacion lineal de las matrices:
A1 =[−2 1
2 4
]
A2 =[−1 1−1 −1
]y
A3 =[−3 3
4 3
]A Falso
B Cierto
3. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
2x− 4 y + 4 z = −10
3x− 6 y + 4 z = −9
2x− 4 y + 2 z = −4
−x+ 2 y + z = −4
se puede decir que:
1 El sistema es inconsistente y tiene como solucion uni-ca de mınimos cuadrados a x = 2, y = 3 yz = 4.
2 Tiene solucion unica y es x = 2, y = 3 yz = 4.
3 Tiene infinitas soluciones y la formula general paraellas es x
y
z
=
2
00
+y
3
10
+z
4
01
4 El sistema es inconsistente y tiene infinitas solucionesde mınimos cuadrados y la formula general para ellases x
y
z
=
2
0
2
+ y
4
10
5 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
0
3
+ y
4
10
Indique su seleccion y reporte los numeros que completanla respuesta.
Respuesta:
4. Indique cuales opciones contienen un vector en la imagende la transformacion de R3 en R3 definida como
T
x
y
z
=
x− 2 z−4x− 4 y − z
−22x− 20 y − z
dentro de las opciones:
1.
1
−8
−42
2.
0
0
0
3.
0
−4
−20
4.
−4
−2
4
5.
1
−4
−22
Respuesta:
5. Si:
A =[−3 −4
1 1
]B =
[2 −31 −1
]C =
[3 −41 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:((
AX−1)TB)T
= C
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
2
6. Sean a1, a2, a3, 0, y b vectores de Rn. Indique validez acada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2,a3|0] tiene solucion unica, entonces{a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
b) Si [a1,a2,a3|b] tiene dos soluciones diferentes, enton-ces {a1,a2,a3} es linealmente independiente.
c) Si existen c1, c2 y c3 tales que c1a1 +c2a2 +c3a3 = 0,entonces {a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
d) Si [a1,a2|0] tiene solucion unica, entonces {a1,a2,a3}es linealmente dependiente.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) Cierto
3) No se sabe
Respuesta:
7. Determine la dimension para el subespacio de R3 formadopor las soluciones al sistema:
x+ y + z = 0
3x+ 6 y + 5 z = 0
−27x− 48 y − 41 z = 0
Respuesta:
8. Si A es una matriz 3× 3 tal que
M21 = 32, M13 = −16C11 = 1, M23 = −29C33 = −11, C31 = 51M32 = 13, M12 = −25
ya21 = 3, a13 = 1a11 = 2, a23 = 8a33 = 5, a31 = 5a32 = 3, a12 = 7
Determine |A|.
Respuesta:
9. Encuentre la ecuacion de la recta y = mx+b.que se ajustamejor, en el sentido de mınimos cuadrados, a los datos dela siguiente tabla:
x y
40 48445 46950 45155 43160 421
Hint: Forme el sistema para m y b sustituyendo los pun-tos en el modelo, por ejemplo al sustituir el primer puntoqueda la ecuacion :
40m+ b = 484
Reporte en orden los valores de m y b.
Respuesta:
10. En la actualidad hay tres planes de inversion A, B y Cdisponibles para los empleados de una empresa. Un em-pleado solo puede usar un plan a la vez y puede cambiar alfinal de ano si ası lo desea. La probabilidad de que alguienque esta en el plan A quede en el mismo plan es 85 %, deque elija el plan B es de 5 % y de que elija el plan C es de10 %. La probabilidad de que alguien que esta en el planB quede en el mismo plan es 55 %, de que elija el plan Aes de 40 % y de que elija el plan C es de 5 %. La proba-bilidad de que alguien que esta en el plan C quede en elmismo plan es 30 %, de que elija el plan A es de 50 % y deque elija el plan B es de 20 %. Reporte en orden crecien-te los valores propios de la matriz de transicion. Ademas,expresando los porcentajes como un numero entre 0 y 1,indique en orden cual es la distribucion de los empleadosen los planes A y B.
Respuesta:
11. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia deCalor es determinar la temperatura en estado estable deuna placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTb
sTc
sTd
sTe
sTf
sTf
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodosinteriores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-madamente igual al promedio de las temperaturas de loscuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, ya la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 22o, Tb = 19o, Tc = 40o
Td = 21o, Te = 35o, Tf = 26o
Reporte solo el valor de T1.
Respuesta:
MA843, Examen Final (Agosto - Diciembre 2007), Tipo: 8 3
12. Una poblacion de conejos en una gran isla se estimo desde1981 hasta 1984 y se obtuvieron los datos:
ano N
1981 30201982 44401983 79601984 16980
Se espera que los datos se ajusten a una funcion exponen-cial
N(t) = No ek (t−1981)
Use el metodo de mınimos cuadrados para hacer este ajus-te. Usando esto determine la poblacion en 1985.Hint: Tome logaritmos para convertir el ajuste al ajustede una lınea recta.
Respuesta:
13. Si:
A =
1 1 0 −1 −1 0 10 1 −1 −1 −1 1 −10 0 −1 −1 0 0 −10 0 0 1 1 −1 00 0 0 0 −1 0 00 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 1
y
B =
−1 0 0 0 0 0 01 −1 0 0 0 0 0−1 −1 −1 0 0 0 0
0 1 0 −1 0 0 00 −1 0 −1 1 0 00 −1 1 1 0 1 01 1 1 1 1 −1 −1
Calcule los determinantes de:
a) A−1
b) AB
c) A1, si A1 se obtiene de A mediante la operacionR2 ← R2 + 6R4
d) A2, si A2 se obtiene de A mediante la operacionR2 ↔ R4
e) A3, si A3 se obtiene de A mediante la operacionR2 ← 6R2
Respuesta:
14. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −21x− 12 y + 16 z
y′ = −25x− 14 y + 19 z
z′ = −50x− 30 y + 39 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = 2, y(0) = −1, z(0) = 1
Como respuesta determine x(t = 1), y(t = 1) y z(t = 1)
Respuesta:
15. Cuales opciones contienen vectores propios a la matriz
A =
−84 26 32−112 34 44−161 51 59
de la lista de vectores:
1.
−2−3−3
2.
−11−17−17
3.
475
4.
6108
5.
−24−36−39
6.
−7−10−12
Respuesta:
4
Algebra LinealExamen Final (Agosto - Diciembre 2007)
Maestro Eduardo Uresti
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:9
1. Para que valor de c la matriz siguiente no es diagonaliza-ble:
A =
2 16 50− 3 c0 −2 −5− 3 c0 0 c
Respuesta:
2. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia deCalor es determinar la temperatura en estado estable deuna placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTb
sTc
sTd
sTe
sTf
sTf
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodosinteriores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-madamente igual al promedio de las temperaturas de loscuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, ya la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 10o, Tb = 29o, Tc = 23o
Td = 29o, Te = 27o, Tf = 22o
Reporte solo el valor de T5.
Respuesta:
3. Indique si la matriz
A =[−6 12−15 −2
]es una combinacion lineal de las matrices:
A1 =[
3 3−3 2
]
A2 =[
4 −34 2
]y
A3 =[
0 −11 0
]
A Falso
B Cierto
4. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −19x− 11 y + 14 z
y′ = −24x− 14 y + 18 z
z′ = −46x− 28 y + 35 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = 2, y(0) = 1, z(0) = 2
Como respuesta determine x(t = 1), y(t = 1) y z(t = 1)
Respuesta:
5. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
−x− 2 y − 3 z = 11
2x+ 4 y + 5 z = −19
3x+ 6 y + 8 z = −30
3x+ 6 y + 8 z = −30
se puede decir que:
1 El sistema es inconsistente y tiene infinitas solucionesde mınimos cuadrados y la formula general para ellases x
y
z
=
2
0
2
+ y
4
10
2 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
00
+y
3
10
+z
4
01
3 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
0
3
+ y
4
10
2
4 El sistema es inconsistente y tiene como solucion uni-ca de mınimos cuadrados a x = 2, y = 3 yz = 4.
5 Tiene solucion unica y es x = 2, y = 3 yz = 4.
Indique su seleccion y reporte los numeros que completanla respuesta.
Respuesta:
6. Determine la dimension del subespacio que generan lasmatrices:{[
0 24 0
],
[2 0−2 2
],
[1 −1−2 2
],
[0 02 2
]}
Respuesta:
7. Sean a1, a2, a3, 0, y b vectores de Rn. Indique validez acada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2,a3|b] tiene dos soluciones diferentes, enton-ces {a1,a2,a3} es linealmente independiente.
b) Si [a1,a2|0] tiene infinitas soluciones, entonces{a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
c) Si existen c1 y c2 tales que c1a1 + c2a2 + a3 = 0,entonces {a1,a2,a3} es linealmente independiente.
d) Si [a1,a2,a3|0] tiene solucion unica, entonces{a1,a2,a3} es linealmente independiente.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) No se sabe
3) Falso
Respuesta:
8. Si:
A =
1 1 −1 −1 −1 1 −10 1 1 0 −1 −1 −10 0 1 −1 −1 −1 00 0 0 1 −1 0 −10 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 1 −10 0 0 0 0 0 1
y
B =
−1 0 0 0 0 0 0−1 −1 0 0 0 0 0−1 0 −1 0 0 0 0
0 1 −1 1 0 0 01 0 −1 0 −1 0 00 1 −1 0 1 1 0−1 0 0 −1 −1 0 1
Calcule los determinantes de:
a) A−1
b) BA
c) A1, si A1 se obtiene de A mediante la operacionR5 ↔ R4
d) A2, si A2 se obtiene de A mediante la operacionR5 ← R5 + 3R4
e) A3, si A3 se obtiene de A mediante la operacionR5 ← 3R5
Respuesta:
9. Si:
A =[−3 −4
1 1
]B =
[−2 −3
1 1
]C =
[4 −3−1 1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:(
(AX)TB)C −B = 0
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
10. En la actualidad hay tres planes de inversion A, B y Cdisponibles para los empleados de una empresa. Un em-pleado solo puede usar un plan a la vez y puede cambiar alfinal de ano si ası lo desea. La probabilidad de que alguienque esta en el plan A quede en el mismo plan es 85 %, deque elija el plan B es de 10 % y de que elija el plan C esde 5 %. La probabilidad de que alguien que esta en el planB quede en el mismo plan es 55 %, de que elija el plan Aes de 35 % y de que elija el plan C es de 10 %. La proba-bilidad de que alguien que esta en el plan C quede en elmismo plan es 30 %, de que elija el plan A es de 35 % y deque elija el plan B es de 35 %. Reporte en orden crecien-te los valores propios de la matriz de transicion. Ademas,expresando los porcentajes como un numero entre 0 y 1,indique en orden cual es la distribucion de los empleadosen los planes A y B.
Respuesta:
11. Si A es una matriz 3× 3 tal que
M13 = 7, C33 = 29M31 = −41, C21 = 42C23 = −30, C11 = −7M12 = 2, M32 = −2
ya13 = 7, a33 = 7a31 = 5, a21 = 6a23 = 8, a11 = 5a12 = 1, a32 = 7
Determine |A|.Respuesta:
MA843, Examen Final (Agosto - Diciembre 2007), Tipo: 9 3
12. Una poblacion de conejos en una gran isla se estimo desde1981 hasta 1984 y se obtuvieron los datos:
ano N
1981 29401982 45401983 80201984 16960
Se espera que los datos se ajusten a una funcion exponen-cial
N(t) = No ek (t−1981)
Use el metodo de mınimos cuadrados para hacer este ajus-te. Usando esto determine la poblacion en 1985.Hint: Tome logaritmos para convertir el ajuste al ajustede una lınea recta.
Respuesta:
13. Los vectores
1.
−1−2
4
2.
−12−32
26
3.
−3−612
4.
13−1
5.
−2−6
2
son vectores propios de la matriz
A =
−428 127 −44−1210 359 −124
710 −211 74
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
14. Encuentre la ecuacion de la recta y = mx+b.que se ajustamejor, en el sentido de mınimos cuadrados, a los datos dela siguiente tabla:
x y
40 48145 46950 45355 43460 420
Hint: Forme el sistema para m y b sustituyendo los pun-tos en el modelo, por ejemplo al sustituir el primer puntoqueda la ecuacion :
40m+ b = 481
Reporte en orden los valores de m y b.
Respuesta:
15. Indique cuales opciones contienen un vector en el nucleode la transformacion de R3 en R3 definida como
T
x
y
z
=
14x+ 12 y + 6 z4x+ 4 y + 3 z−x− 2 y − 3 z
dentro de las opciones:
1.
18
−27
12
2.
0
0
0
3.
−3
3
0
4.
2
−4
−2
5.
6
−9
4
6.
4
−2
2
Respuesta:
4
Algebra LinealExamen Final (Agosto - Diciembre 2007)
Maestro Eduardo Uresti
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:10
1. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −13x− 6 y + 9 z
y′ = −19x− 8 y + 13 z
z′ = −36x− 18 y + 26 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = 2, y(0) = 1, z(0) = 1
Como respuesta determine x(t = 1), y(t = 1) y z(t = 1)
Respuesta:
2. Sean A una matriz m × n y b1 y b2 dos vectores dife-rentes de Rn. Indique validez a cada una de las siguientesafirmaciones:
a) Si m = n y si Ax = b1 tiene solucion unica, entoncesAx = 0 tiene infinitas soluciones.
b) Si m > n, entonces Ax = b1 tiene solucion unica sitiene solucion.
c) Si Ax = b1 tiene infinitas soluciones, entoncesAx = b2 tiene infinitas soluciones.
d) Si m = n, entonces Ax = b1 tiene infinitas solucio-nes si tiene solucion.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) Cierto
3) No se sabe
Respuesta:
3. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
2x+ 6 y + 4 z = −2
2x+ 6 y + 4 z = −2
−x− 3 y − 2 z = 1
3x+ 9 y + 6 z = −3
se puede decir que:
1 El sistema es inconsistente y tiene como solucion uni-ca de mınimos cuadrados a x = 2, y = 3 yz = 4.
2 El sistema es inconsistente y tiene infinitas solucionesde mınimos cuadrados y la formula general para ellases x
y
z
=
2
0
3
+ y
4
10
3 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
3
0
+ y
4
5
1
4 Tiene solucion unica y es x = 2, y = 3 y
z = 4.
5 Tiene infinitas soluciones y la formula general paraellas es x
y
z
=
2
00
+y
3
10
+z
4
01
Indique su seleccion y reporte los numeros que completanla respuesta.
Respuesta:
4. Indique si el polinomio
p = −1− x+ 4x2 − 3x3
es una combinacion lineal de los polinomios:
p1 = 1− x− 2x2 + 4x3
p2 = −1− 3x+ 3x2 + 4x3
yp3 = −2x− 3x2 + 4x3
A Falso
B Cierto
5. Determine la dimension del subespacio:
Gen
−6
0−5−1
,
3416
,
45203035
,
308
2216
Respuesta:
2
6. Indique cuales opciones contienen un vector en la imagende la transformacion de R3 en R3 definida como
T
x
y
z
=
−4x− 5 y − 2 z2x− 2 y − 4 z
−4x− 14 y − 12 z
dentro de las opciones:
1.
−4
2
−4
2.
−5
−2
−14
3.
4
0
−4
4.
0
0
0
5.
19
4
46
Respuesta:
7. Los vectores
1.
−3−9−3
2.
−3−8−7
3.
−9−24−21
4.
131
5.
−24−60−75
son vectores propios de la matriz
A =
−70 20 8−60 14 12−735 224 61
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
8. Si:
A =[
4 −1−3 1
]B =
[4 −3−1 1
]C =
[−3 −4
1 1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:(
(AX)TB)C −B = 0
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
9. Encuentre la ecuacion de la recta y = mx+b.que se ajustamejor, en el sentido de mınimos cuadrados, a los datos dela siguiente tabla:
x y
40 48045 46850 45355 43560 422
Hint: Forme el sistema para m y b sustituyendo los pun-tos en el modelo, por ejemplo al sustituir el primer puntoqueda la ecuacion :
40m+ b = 480
Reporte en orden los valores de m y b.
Respuesta:
10. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia deCalor es determinar la temperatura en estado estable deuna placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTa
sTb
sTb s
Tc
sTc
sTd
sTd
sTe
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodosinteriores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-madamente igual al promedio de las temperaturas de loscuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, ya la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 26o, Tb = 22o, Tc = 23o
Td = 19o, Te = 23o, Tf = 28o
Reporte solo el valor de T4.
Respuesta:
11. Para que valor de c la matriz siguiente no es diagonaliza-ble:
A =
−2 −16 −30 + 2 c0 6 13− 2 c0 0 c
Respuesta:
MA843, Examen Final (Agosto - Diciembre 2007), Tipo: 10 3
12. En la actualidad hay tres planes de inversion A, B y Cdisponibles para los empleados de una empresa. Un em-pleado solo puede usar un plan a la vez y puede cambiar alfinal de ano si ası lo desea. La probabilidad de que alguienque esta en el plan A quede en el mismo plan es 75 %, deque elija el plan B es de 5 % y de que elija el plan C es de20 %. La probabilidad de que alguien que esta en el planB quede en el mismo plan es 60 %, de que elija el plan Aes de 25 % y de que elija el plan C es de 15 %. La proba-bilidad de que alguien que esta en el plan C quede en elmismo plan es 30 %, de que elija el plan A es de 65 % yde que elija el plan B es de 5 %. Reporte en orden crecien-te los valores propios de la matriz de transicion. Ademas,expresando los porcentajes como un numero entre 0 y 1,indique en orden cual es la distribucion de los empleadosen los planes A y B.
Respuesta:
13. Una poblacion de conejos en una gran isla se estimo desde1981 hasta 1984 y se obtuvieron los datos:
ano N
1981 30201982 45001983 79201984 17000
Se espera que los datos se ajusten a una funcion exponen-cial
N(t) = No ek (t−1981)
Use el metodo de mınimos cuadrados para hacer este ajus-te. Usando esto determine la poblacion en 1985.Hint: Tome logaritmos para convertir el ajuste al ajustede una lınea recta.
Respuesta:
14. Si:
A =
1 0 1 −1 −1 1 10 1 −1 −1 0 1 00 0 1 −1 0 1 00 0 0 −1 −1 0 00 0 0 0 1 −1 10 0 0 0 0 −1 00 0 0 0 0 0 −1
y
B =
−1 0 0 0 0 0 00 −1 0 0 0 0 00 1 −1 0 0 0 00 0 0 −1 0 0 00 −1 0 1 −1 0 00 0 0 1 −1 −1 0−1 0 0 0 1 1 1
Calcule los determinantes de:
a) A−1
b) BTAB
c) A1, si A1 se obtiene de A mediante la operacionR7 ↔ R5
d) A2, si A2 se obtiene de A mediante la operacionR7 ← 5R7
e) A3, si A3 se obtiene de A mediante la operacionR7 ← R7 + 5R5
Respuesta:
15. Si A es una matriz 3× 3 tal que
C22 = −18, M32 = 42M13 = −48, M23 = −1C21 = 20, C12 = 52C31 = 8, C33 = 41
ya22 = 8, a32 = 8a13 = 6, a23 = 8a21 = 1, a12 = 7a31 = 7, a33 = 4
Determine |A|.
Respuesta:
4
Algebra LinealExamen Final (Agosto - Diciembre 2007)
Maestro Eduardo Uresti
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:11
1. Indique si el polinomio
p = −3− 4x3
es una combinacion lineal de los polinomios:
p1 = 3x+ 3x2 − 3x3
p2 = 3 + 3x+ 3x2 + x3
yp3 = −3 + 6x+ 6x2 − 10x3
A Cierto
B Falso
2. Indique cuales opciones contienen un vector en el nucleode la transformacion de R3 en R3 definida como
T
x
y
z
=
−3x+ 15 y + 9 zx+ 5 y + z
2x− 5 y − 4 z
dentro de las opciones:
1.
4
−1
3
2.
10
0
6
3.
−2
3
−3
4.
−20
8
−20
5.
5
−2
5
6.
0
0
0
Respuesta:
3. Los vectores
1.
−2−5
1
2.
481
3.
26−2
4.
−8−16−2
5.
410−2
son vectores propios de la matriz
A =
−12 8 12−2 6 16−36 17 15
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
4. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = 5x− 6 y + 6 z
y′ = 9x− 12 y + 13 z
z′ = 12x− 12 y + 11 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = 2, y(0) = −1, z(0) = 2
Como respuesta determine x(t = 1), y(t = 1) y z(t = 1)
Respuesta:
5. Si:
A =[−4 −3−1 −1
]B =
[4 −3−1 1
]C =
[−3 0
3 −3
]D =
[2 −3−7 5
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (XB)−1 − 2C = D
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
6. Si A es una matriz 3× 3 tal que
C21 = −13, M31 = 24C12 = −18, M13 = 16C33 = −20, C22 = 10C23 = −1, C32 = −13
ya21 = 8, a31 = 2a12 = 4, a13 = 1a33 = 4, a22 = 4a23 = 7, a32 = 3
Determine |A|.Respuesta:
2
7. Encuentre la ecuacion de la recta y = mx+b.que se ajustamejor, en el sentido de mınimos cuadrados, a los datos dela siguiente tabla:
x y
40 48345 46650 45255 43160 421
Hint: Forme el sistema para m y b sustituyendo los pun-tos en el modelo, por ejemplo al sustituir el primer puntoqueda la ecuacion :
40m+ b = 483
Reporte en orden los valores de m y b.
Respuesta:
8. Si:
A =
−1 1 −1 −1 0 0 10 −1 −1 1 0 0 −10 0 1 −1 −1 0 10 0 0 −1 −1 1 00 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 1 −10 0 0 0 0 0 −1
y
B =
1 0 0 0 0 0 0−1 −1 0 0 0 0 0
0 0 −1 0 0 0 0−1 1 −1 1 0 0 0
0 1 0 1 −1 0 01 1 −1 1 1 −1 01 −1 −1 −1 1 0 1
Calcule los determinantes de:
a)(AT)−1
b) AB
c) A1, si A1 se obtiene de A mediante la operacionR5 ← R5 + 4R2
d) A2, si A2 se obtiene de A mediante la operacionR5 ← 4R5
e) A3, si A3 se obtiene de A mediante la operacionR5 ↔ R2
Respuesta:
9. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
x+ 4 y + 2 z = 5
x+ 4 y + z = 2
2x+ y + 4 z = 3
4x+ 2 y + z = 3
se puede decir que:
1 El sistema es inconsistente y tiene infinitas solucionesde mınimos cuadrados y la formula general para ellases x
y
z
=
2
0
3
+ y
4
10
2 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
00
+y
3
10
+z
4
01
3 Tiene solucion unica y es x = 2, y = 3 y
z = 4.
4 El sistema es inconsistente y tiene como solucion uni-ca de mınimos cuadrados a x = 2, y = 3 yz = 4.
5 Tiene infinitas soluciones y la formula general paraellas es x
y
z
=
2
3
0
+ y
4
5
1
Indique su seleccion y reporte los numeros que completanla respuesta.
Respuesta:
10. Determine la dimension para el subespacio de R3 formadopor las soluciones al sistema:
2x+ y + 2 z = 0
6x+ 6 y + 4 z = 0
26x+ 22 y + 20 z = 0
Respuesta:
11. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia deCalor es determinar la temperatura en estado estable deuna placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTa
sTb
sTb
sTb
sTc
sTd
sTd
sTd
sTe
sTf
MA843, Examen Final (Agosto - Diciembre 2007), Tipo: 11 3
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodosinteriores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-madamente igual al promedio de las temperaturas de loscuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, ya la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 27o, Tb = 28o, Tc = 40o
Td = 10o, Te = 20o, Tf = 33o
Reporte solo el valor de T4.
Respuesta:
12. Una poblacion de conejos en una gran isla se estimo desde1981 hasta 1984 y se obtuvieron los datos:
ano N
1981 30201982 45601983 80401984 16980
Se espera que los datos se ajusten a una funcion exponen-cial
N(t) = No ek (t−1981)
Use el metodo de mınimos cuadrados para hacer este ajus-te. Usando esto determine la poblacion en 1985.Hint: Tome logaritmos para convertir el ajuste al ajustede una lınea recta.
Respuesta:
13. Sean A una matriz m × n y b1 y b2 dos vectores dife-rentes de Rn. Indique validez a cada una de las siguientesafirmaciones:
a) Si m = n y si Ax = b1 tiene infinitas soluciones,entonces Ax = 0 tiene infinitas soluciones.
b) Si m = n y Ax = b1 es inconsistente, entoncesAx = 0 tiene solucion unica.
c) Si m < n, entonces Ax = b1 tiene infinitas solucio-nes.
d) Si Ax = b1 tiene solucion unica, entonces Ax = b2
tiene solucion unica.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) No se sabe
3) Cierto
Respuesta:
14. En la actualidad hay tres planes de inversion A, B y Cdisponibles para los empleados de una empresa. Un em-pleado solo puede usar un plan a la vez y puede cambiar alfinal de ano si ası lo desea. La probabilidad de que alguienque esta en el plan A quede en el mismo plan es 75 %, deque elija el plan B es de 10 % y de que elija el plan C es de15 %. La probabilidad de que alguien que esta en el planB quede en el mismo plan es 55 %, de que elija el plan Aes de 25 % y de que elija el plan C es de 20 %. La proba-bilidad de que alguien que esta en el plan C quede en elmismo plan es 20 %, de que elija el plan A es de 60 % y deque elija el plan B es de 20 %. Reporte en orden crecien-te los valores propios de la matriz de transicion. Ademas,expresando los porcentajes como un numero entre 0 y 1,indique en orden cual es la distribucion de los empleadosen los planes A y B.
Respuesta:
15. Para que valor de c la matriz siguiente no es diagonaliza-ble:
A =
4 12 −44− 2 c0 1 −3 + 4 c0 0 c
Respuesta:
4
Algebra LinealExamen Final (Agosto - Diciembre 2007)
Maestro Eduardo Uresti
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:12
1. Los vectores
1.
112
2.
347
3.
−2−2−4
4.
68
14
5.
010
son vectores propios de la matriz
A =
−18 0 9−18 6 6−42 0 21
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
2. Indique cuales opciones no contienen un vector en la ima-gen de la transformacion de R3 en R3 definida como
T
x
y
z
=
−13x− 11 y − 35 zx+ 3 y − 5 z
4x+ 5 y + 5 z
dentro de las opciones:
1.
−11
3
5
2.
−13
1
4
3.
0
0
0
4.
3
−11
−9
5.
2
1
2
Respuesta:
3. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −6x− 8 y + 6 z
y′ = −8x− 8 y + 7 z
z′ = −16x− 22 y + 17 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = 2, y(0) = 2, z(0) = −2
Como respuesta determine x(t = 1), y(t = 1) y z(t = 1)
Respuesta:
4. Determine la dimension para el subespacio de R3 formadopor las soluciones al sistema:
5x+ 5 y + 6 z = 0
6x+ 2 y + 5 z = 0
29x+ 13 y + 26 z = 0
Respuesta:
5. Una poblacion de conejos en una gran isla se estimo desde1981 hasta 1984 y se obtuvieron los datos:
ano N
1981 30601982 44401983 79601984 16960
Se espera que los datos se ajusten a una funcion exponen-cial
N(t) = No ek (t−1981)
Use el metodo de mınimos cuadrados para hacer este ajus-te. Usando esto determine la poblacion en 1985.Hint: Tome logaritmos para convertir el ajuste al ajustede una lınea recta.
Respuesta:
6. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
−x− 2 y + 3 z = −2
−x− 2 y + 3 z = −2
−2x− 4 y + 6 z = −4
−2x− 4 y + 6 z = −4
se puede decir que:
1 Tiene solucion unica y es x = 2, y = 3 yz = 4.
2
2 El sistema es inconsistente y tiene como solucion uni-ca de mınimos cuadrados a x = 2, y = 3 yz = 4.
3 Tiene infinitas soluciones y la formula general paraellas es x
y
z
=
2
3
0
+ y
4
5
1
4 El sistema es inconsistente y tiene infinitas soluciones
de mınimos cuadrados y la formula general para ellases x
y
z
=
2
0
3
+ y
4
10
5 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
00
+y
3
10
+z
4
01
Indique su seleccion y reporte los numeros que completanla respuesta.
Respuesta:
7. Encuentre la ecuacion de la recta y = mx+b.que se ajustamejor, en el sentido de mınimos cuadrados, a los datos dela siguiente tabla:
x y
40 48345 46650 45155 43560 420
Hint: Forme el sistema para m y b sustituyendo los pun-tos en el modelo, por ejemplo al sustituir el primer puntoqueda la ecuacion :
40m+ b = 483
Reporte en orden los valores de m y b.
Respuesta:
8. Indique si el polinomio
p = −1 + 2x+ 2x2 − x3
es una combinacion lineal de los polinomios:
p1 = 4 + 2x+ 4x2 + 4x3
p2 = −3− 3x+ x2
yp3 = 1 + 3x− x3
A Cierto
B Falso
9. Sean A una matriz m × n y b1 y b2 dos vectores dife-rentes de Rn. Indique validez a cada una de las siguientesafirmaciones:
a) Si Ax = b1 tiene infinitas soluciones y Ax = b2 tie-ne solucion, entonces Ax = b2 tambien tiene infini-tas soluciones.
b) Si m = n y si Ax = b1 tiene infinitas soluciones,entonces Ax = 0 tiene solucion unica.
c) Si m < n, entonces Ax = b1 tiene infinitas solucio-nes si tiene solucion.
d) Si m = n, entonces Ax = b1 tiene infinitas solucio-nes si tiene solucion.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) No se sabe
3) Cierto
Respuesta:
10. Si:
A =[
4 −3−1 1
]B =
[2 1−3 −1
]C =
[−4 −3−1 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:(
(AX)TB)C −B = 0
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
11. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia deCalor es determinar la temperatura en estado estable deuna placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTb
sTc
sTd
sTe
sTf
sTf
sTf
MA843, Examen Final (Agosto - Diciembre 2007), Tipo: 12 3
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodosinteriores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-madamente igual al promedio de las temperaturas de loscuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, ya la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 37o, Tb = 18o, Tc = 21o
Td = 18o, Te = 33o, Tf = 14o
Reporte solo el valor de T3.
Respuesta:
12. En la actualidad hay tres planes de inversion A, B y Cdisponibles para los empleados de una empresa. Un em-pleado solo puede usar un plan a la vez y puede cambiar alfinal de ano si ası lo desea. La probabilidad de que alguienque esta en el plan A quede en el mismo plan es 85 %, deque elija el plan B es de 10 % y de que elija el plan C esde 5 %. La probabilidad de que alguien que esta en el planB quede en el mismo plan es 50 %, de que elija el plan Aes de 35 % y de que elija el plan C es de 15 %. La proba-bilidad de que alguien que esta en el plan C quede en elmismo plan es 20 %, de que elija el plan A es de 55 % y deque elija el plan B es de 25 %. Reporte en orden crecien-te los valores propios de la matriz de transicion. Ademas,expresando los porcentajes como un numero entre 0 y 1,indique en orden cual es la distribucion de los empleadosen los planes A y B.
Respuesta:
13. Si:
A =
−1 1 0 1 −1 −1 −10 1 0 1 1 0 10 0 1 −1 1 0 10 0 0 −1 −1 1 −10 0 0 0 1 1 00 0 0 0 0 1 −10 0 0 0 0 0 −1
y
B =
1 0 0 0 0 0 0−1 −1 0 0 0 0 0
0 0 −1 0 0 0 01 1 −1 −1 0 0 0−1 1 0 −1 1 0 0
1 −1 0 −1 1 −1 00 −1 −1 0 −1 0 1
Calcule los determinantes de:
a) AT
b) BA
c) A1, si A1 se obtiene de A mediante la operacionR6 ← 4R6
d) A2, si A2 se obtiene de A mediante la operacionR6 ↔ R2
e) A3, si A3 se obtiene de A mediante la operacionR6 ← R6 + 4R2
Respuesta:
14. Si A es una matriz 3× 3 tal que
C33 = −40, M31 = −16C12 = −11, M13 = 8M23 = −22, C11 = 10M32 = −21, C22 = −9
ya33 = 2, a31 = 5a12 = 8, a13 = 3a23 = 1, a11 = 3a32 = 6, a22 = 8
Determine |A|.
Respuesta:
15. Para que valor de c la matriz siguiente no es diagonaliza-ble:
A =
3 −6 3 c0 1 c
0 0 c
Respuesta:
4
Algebra LinealExamen Final (Agosto - Diciembre 2007)
Maestro Eduardo Uresti
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:13
1. Cuales opciones no contienen vectores propios a la matriz
A =
51 18 420 1 4
−500 −162 −45
de la lista de vectores:
1.
4−7−19
2.
−109
3.
1−2−4
4.
−23
11
5.
6−10−30
6.
6−6−39
Respuesta:
2. Si:
A =
−1 1 1 1 −1 1 −10 1 −1 0 0 −1 00 0 1 1 1 0 −10 0 0 1 −1 −1 00 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 1 −10 0 0 0 0 0 −1
y
B =
1 0 0 0 0 0 0−1 −1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0−1 0 0 −1 0 0 0
1 0 1 0 1 0 0−1 0 1 0 1 1 0−1 1 0 1 0 −1 1
Calcule los determinantes de:
a) AT
b) AB
c) A1, si A1 se obtiene de A mediante la operacionR2 ↔ R3
d) A2, si A2 se obtiene de A mediante la operacionR2 ← R2 + 6R3
e) A3, si A3 se obtiene de A mediante la operacionR2 ← 6R2
Respuesta:
3. Si:
A =[−4 −3−1 −1
]B =
[4 −1−3 1
]C =
[3 1−4 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:((
AXT)TB)T
= C
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
4. Si A es una matriz 3× 3 tal que
C32 = 2, C13 = 8C33 = −10, C21 = 33C23 = 8, C31 = 6C22 = −34, C12 = 20
ya32 = 8, a13 = 5a33 = 1, a21 = 4a23 = 3, a31 = 8a22 = 3, a12 = 7
Determine |A|.Respuesta:
5. Para que valor de c la matriz siguiente no es diagonaliza-ble:
A =
1 4 −6 + c
0 −3 4 + c
0 0 c
Respuesta:
6. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = 18x− 16 y + 12 z
y′ = 35x− 32 y + 25 z
z′ = 25x− 22 y + 17 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = −1, y(0) = −2, z(0) = 2
Como respuesta determine x(t = 1), y(t = 1) y z(t = 1)
Respuesta:
2
7. Indique si el polinomio
p = −3 + 7x+ 3x2 + 3x3
es una combinacion lineal de los polinomios:
p1 = 4x+ 2x2 − x3
p2 = −3 + 3x+ x2 + 4x3
yp3 = −6 + 2x+ 9x3
A Cierto
B Falso
8. Sean A una matriz m × n y b1 y b2 dos vectores dife-rentes de Rn. Indique validez a cada una de las siguientesafirmaciones:
a) Si m = n y Ax = b1 es inconsistente, entoncesAx = 0 tiene solucion unica.
b) Si m = n y si Ax = b1 tiene solucion unica, entoncesAx = 0 tiene solucion unica.
c) Si m = n, entonces Ax = b1 tiene solucion unica.
d) Si Ax = b1 tiene solucion unica y Ax = b2 tienesolucion, entonces Ax = b2 tambien tiene solucionunica.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Cierto
3) Falso
Respuesta:
9. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
−2x+ 6 y − 4 z = 2
2x− 6 y + 4 z = −2
2x− 6 y + 4 z = −2
−2x+ 6 y − 4 z = 2
se puede decir que:
1 El sistema es inconsistente y tiene infinitas solucionesde mınimos cuadrados y la formula general para ellases x
y
z
=
2
0
3
+ y
4
10
2 Tiene infinitas soluciones y la formula general paraellas es x
y
z
=
2
00
+y
3
10
+z
4
01
3 El sistema es inconsistente y tiene como solucion uni-
ca de mınimos cuadrados a x = 2, y = 3 yz = 4.
4 Tiene solucion unica y es x = 2, y = 3 yz = 4.
5 Tiene infinitas soluciones y la formula general paraellas es x
y
z
=
2
3
0
+ y
4
5
1
Indique su seleccion y reporte los numeros que completanla respuesta.
Respuesta:
10. Indique cuales opciones contienen un vector en el nucleode la transformacion de R3 en R3 definida como
T
x
y
z
=
−4 y + 3 z−3x+ 5 z
3x− 16 y + 7 z
dentro de las opciones:
1.
−4
18
−4
2.
−80
−36
−48
3.
0
2
0
4.
20
9
12
5.
0
0
0
6.
−1
2
−1
Respuesta:
11. Una poblacion de conejos en una gran isla se estimo desde1981 hasta 1984 y se obtuvieron los datos:
ano N
1981 30801982 45401983 79401984 17040
MA843, Examen Final (Agosto - Diciembre 2007), Tipo: 13 3
Se espera que los datos se ajusten a una funcion exponen-cial
N(t) = No ek (t−1981)
Use el metodo de mınimos cuadrados para hacer este ajus-te. Usando esto determine la poblacion en 1985.Hint: Tome logaritmos para convertir el ajuste al ajustede una lınea recta.
Respuesta:
12. Determine la dimension del subespacio que generan lasmatrices:{[−3 −1−4 −4
],
[0 −2−2 −1
],
[−1 2
0 −1
],
[−2 1
0 −1
]}Respuesta:
13. En la actualidad hay tres planes de inversion A, B y Cdisponibles para los empleados de una empresa. Un em-pleado solo puede usar un plan a la vez y puede cambiar alfinal de ano si ası lo desea. La probabilidad de que alguienque esta en el plan A quede en el mismo plan es 75 %, deque elija el plan B es de 15 % y de que elija el plan C es de10 %. La probabilidad de que alguien que esta en el planB quede en el mismo plan es 40 %, de que elija el plan Aes de 45 % y de que elija el plan C es de 15 %. La proba-bilidad de que alguien que esta en el plan C quede en elmismo plan es 20 %, de que elija el plan A es de 40 % y deque elija el plan B es de 40 %. Reporte en orden crecien-te los valores propios de la matriz de transicion. Ademas,expresando los porcentajes como un numero entre 0 y 1,indique en orden cual es la distribucion de los empleadosen los planes A y B.
Respuesta:
14. Encuentre la ecuacion de la recta y = mx+b.que se ajustamejor, en el sentido de mınimos cuadrados, a los datos dela siguiente tabla:
x y
40 48245 46650 45355 43360 420
Hint: Forme el sistema para m y b sustituyendo los pun-tos en el modelo, por ejemplo al sustituir el primer puntoqueda la ecuacion :
40m+ b = 482
Reporte en orden los valores de m y b.
Respuesta:
15. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia deCalor es determinar la temperatura en estado estable deuna placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTb
sTc
sTc
sTcs
Td
sTd
sTd
sTe
sTf
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodosinteriores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-madamente igual al promedio de las temperaturas de loscuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, ya la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + Td + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 19o, Tb = 30o, Tc = 32o
Td = 38o, Te = 11o, Tf = 18o
Reporte solo el valor de T1.
Respuesta:
4
Algebra LinealExamen Final (Agosto - Diciembre 2007)
Maestro Eduardo Uresti
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:14
1. Si:
A =
−1 −1 −1 −1 1 −1 −10 1 0 −1 1 0 00 0 1 1 0 0 10 0 0 1 −1 −1 −10 0 0 0 1 −1 00 0 0 0 0 −1 00 0 0 0 0 0 1
y
B =
−1 0 0 0 0 0 0−1 1 0 0 0 0 0
1 0 1 0 0 0 0−1 0 −1 1 0 0 0−1 0 −1 0 −1 0 0
1 0 1 0 0 1 00 −1 −1 −1 −1 −1 −1
Calcule los determinantes de:
a)(A−1
)Tb) AB
c) A1, si A1 se obtiene de A mediante la operacionR3 ← 5R3
d) A2, si A2 se obtiene de A mediante la operacionR3 ← R3 + 5R1
e) A3, si A3 se obtiene de A mediante la operacionR3 ↔ R1
Respuesta:
2. Encuentre la ecuacion de la recta y = mx+b.que se ajustamejor, en el sentido de mınimos cuadrados, a los datos dela siguiente tabla:
x y
40 48145 46650 45155 43460 422
Hint: Forme el sistema para m y b sustituyendo los pun-tos en el modelo, por ejemplo al sustituir el primer puntoqueda la ecuacion :
40m+ b = 481
Reporte en orden los valores de m y b.
Respuesta:
3. Indique si el polinomio
p = 3 + 4x− 2x2 + 4x3
es una combinacion lineal de los polinomios:
p1 = 1 + 2x+ 4x2 + 4x3
p2 = 3 + x2
yp3 = 1 + 3x+ x2 − 2x3
A Cierto
B Falso
4. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
3x+ y + 5 z = 5
x+ 5 y + 11 z = 2
4x+ 2 y + 8 z = 1
2x+ 5 y + 12 z = 1
se puede decir que:
1 El sistema es inconsistente y tiene como solucion uni-ca de mınimos cuadrados a x = 2, y = 3 yz = 4.
2 Tiene solucion unica y es x = 2, y = 3 yz = 4.
3 Tiene infinitas soluciones y la formula general paraellas es x
y
z
=
2
00
+y
3
10
+z
4
01
4 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
3
0
+ y
4
5
1
5 El sistema es inconsistente y tiene infinitas soluciones
de mınimos cuadrados y la formula general para ellases x
y
z
=
2
3
0
+ z
4
5
1
2
Indique su seleccion y reporte los numeros que completanla respuesta.
Respuesta:
5. Una poblacion de conejos en una gran isla se estimo desde1981 hasta 1984 y se obtuvieron los datos:
ano N
1981 29201982 45201983 79801984 17080
Se espera que los datos se ajusten a una funcion exponen-cial
N(t) = No ek (t−1981)
Use el metodo de mınimos cuadrados para hacer este ajus-te. Usando esto determine la poblacion en 1985.Hint: Tome logaritmos para convertir el ajuste al ajustede una lınea recta.
Respuesta:
6. Cuales opciones contienen vectores propios a la matriz
A =
7 −16 2−4 25 −8−17 92 −28
de la lista de vectores:
1.
−101
2.
325
3.
113
4.
−4−1−1
5.
−201
6.
−114
Respuesta:
7. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −6x− 3 y + 7 z
y′ = −8x− 3 y + 9 z
z′ = −8x− 6 y + 12 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = −2, y(0) = −1, z(0) = 1
Como respuesta determine x(t = 1), y(t = 1) y z(t = 1)
Respuesta:
8. Determine la dimension para el subespacio de R3 formadopor las soluciones al sistema:
6x+ 5 y + 2 z = 0
6x+ 4 y + 4 z = 0
12x+ 9 y + 6 z = 0
Respuesta:
9. En la actualidad hay tres planes de inversion A, B y Cdisponibles para los empleados de una empresa. Un em-pleado solo puede usar un plan a la vez y puede cambiar alfinal de ano si ası lo desea. La probabilidad de que alguienque esta en el plan A quede en el mismo plan es 80 %, deque elija el plan B es de 15 % y de que elija el plan C esde 5 %. La probabilidad de que alguien que esta en el planB quede en el mismo plan es 60 %, de que elija el plan Aes de 20 % y de que elija el plan C es de 20 %. La proba-bilidad de que alguien que esta en el plan C quede en elmismo plan es 35 %, de que elija el plan A es de 45 % y deque elija el plan B es de 20 %. Reporte en orden crecien-te los valores propios de la matriz de transicion. Ademas,expresando los porcentajes como un numero entre 0 y 1,indique en orden cual es la distribucion de los empleadosen los planes A y B.
Respuesta:
10. Para que valor de c la matriz siguiente no es diagonaliza-ble:
A =
−2 −2 −8 + c
0 −1 −3− 4 c0 0 c
Respuesta:
11. Sean A una matriz m × n y b1 y b2 dos vectores dife-rentes de Rn. Indique validez a cada una de las siguientesafirmaciones:
a) Si m = n, entonces Ax = b1 tiene infinitas solucio-nes.
b) Si m < n, entonces Ax = b1 tiene infinitas solucio-nes.
c) Si Ax = b1 tiene solucion unica y Ax = b2 tienesolucion, entonces Ax = b2 tambien tiene solucionunica.
d) Si m = n y si Ax = b1 tiene solucion unica, entoncesAx = 0 tiene infinitas soluciones.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) Cierto
3) No se sabe
Respuesta:
MA843, Examen Final (Agosto - Diciembre 2007), Tipo: 14 3
12. Indique cuales opciones no contienen un vector en la ima-gen de la transformacion de R3 en R3 definida como
T
x
y
z
=
25x− 15 y + 25 z5 z
5x− 3 y + 2 z
dentro de las opciones:
1.
25
5
2
2.
0
1
−3
3.
25
0
5
4.
−150
−15
−21
5.
0
0
0
Respuesta:
13. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia deCalor es determinar la temperatura en estado estable deuna placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTb
sTc
sTd
sTd
sTd
sTe
sTe
sTe
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodosinteriores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-madamente igual al promedio de las temperaturas de los
cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, ya la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + Td + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 17o, Tb = 22o, Tc = 28o
Td = 10o, Te = 34o, Tf = 14o
Reporte solo el valor de T5.
Respuesta:
14. Si A es una matriz 3× 3 tal que
M23 = 16, M11 = 29C12 = −2, C22 = 16M31 = −38, M32 = 4M33 = 52, M13 = −22
ya23 = 2, a11 = 8a12 = 2, a22 = 7a31 = 4, a32 = 3a33 = 5, a13 = 6
Determine |A|.
Respuesta:
15. Si:
A =[−2 −3
1 1
]B =
[−4 −3−1 −1
]C =
[4 −1−3 1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:(
(AX)TB)C −B = 0
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
4
Algebra LinealExamen Final (Agosto - Diciembre 2007)
Maestro Eduardo Uresti
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:15
1. Si:
A =[
2 −31 −1
]B =
[4 −1−3 1
]C =
[2 −31 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:((
AXT)TB)T
= C
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
2. En la actualidad hay tres planes de inversion A, B y Cdisponibles para los empleados de una empresa. Un em-pleado solo puede usar un plan a la vez y puede cambiar alfinal de ano si ası lo desea. La probabilidad de que alguienque esta en el plan A quede en el mismo plan es 85 %, deque elija el plan B es de 10 % y de que elija el plan C esde 5 %. La probabilidad de que alguien que esta en el planB quede en el mismo plan es 55 %, de que elija el plan Aes de 40 % y de que elija el plan C es de 5 %. La proba-bilidad de que alguien que esta en el plan C quede en elmismo plan es 20 %, de que elija el plan A es de 60 % y deque elija el plan B es de 20 %. Reporte en orden crecien-te los valores propios de la matriz de transicion. Ademas,expresando los porcentajes como un numero entre 0 y 1,indique en orden cual es la distribucion de los empleadosen los planes A y B.
Respuesta:
3. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = 5x− 18 y + 11 z
y′ = 4x− 18 y + 12 z
z′ = 6x− 24 y + 16 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = 1, y(0) = 1, z(0) = 1
Como respuesta determine x(t = 1), y(t = 1) y z(t = 1)
Respuesta:
4. Una poblacion de conejos en una gran isla se estimo desde1981 hasta 1984 y se obtuvieron los datos:
ano N
1981 30801982 45001983 79601984 17040
Se espera que los datos se ajusten a una funcion exponen-cial
N(t) = No ek (t−1981)
Use el metodo de mınimos cuadrados para hacer este ajus-te. Usando esto determine la poblacion en 1985.Hint: Tome logaritmos para convertir el ajuste al ajustede una lınea recta.
Respuesta:
5. Determine la dimension del subespacio:
Gen
4−5
2−3
,
3−6
6−3
,
541−1
,−5
030
Respuesta:
6. Indique si la matriz
A =[
0 30 2
]es una combinacion lineal de las matrices:
A1 =[−2 4
2 4
]
A2 =[
1 31 0
]y
A3 =[
1 −1−1 −2
]A Cierto
B Falso
7. Encuentre la ecuacion de la recta y = mx+b.que se ajustamejor, en el sentido de mınimos cuadrados, a los datos dela siguiente tabla:
2
x y
40 48045 46550 45155 43360 422
Hint: Forme el sistema para m y b sustituyendo los pun-tos en el modelo, por ejemplo al sustituir el primer puntoqueda la ecuacion :
40m+ b = 480
Reporte en orden los valores de m y b.
Respuesta:
8. Cuales opciones no contienen vectores propios a la matriz
A =
−117 −66 −74442 250 281−196 −112 −127
de la lista de vectores:
1.
18−68
31
2.
28−106
48
3.
−311−5
4.
15−57
26
5.
5−19
9
6.
1−4
2
Respuesta:
9. Si A es una matriz 3× 3 tal que
C23 = −10, M32 = 3M11 = −35, M33 = −1M22 = −27, C31 = 4M12 = −25, M13 = 9
ya23 = 5, a32 = 8a11 = 3, a33 = 5a22 = 1, a31 = 7a12 = 2, a13 = 6
Determine |A|.Respuesta:
10. Indique cuales opciones contienen un vector en el nucleode la transformacion de R3 en R3 definida como
T
x
y
z
=
x− 4 y − z−3x− 5 y − 2 z−9x− 32 y − 11 z
dentro de las opciones:
1.
0
0
0
2.
−3
−5
17
3.
−4
−3
−4
4.
5
−5
2
5.
6
10
−34
6.
21
−28
6
Respuesta:
11. Si:
A =
−1 0 0 0 1 1 10 1 0 −1 0 0 10 0 −1 0 0 0 −10 0 0 1 1 1 −10 0 0 0 −1 1 10 0 0 0 0 −1 10 0 0 0 0 0 −1
y
B =
1 0 0 0 0 0 00 −1 0 0 0 0 0−1 −1 1 0 0 0 0
0 1 0 −1 0 0 0−1 1 0 −1 1 0 0
0 1 −1 1 0 1 01 1 1 0 −1 1 −1
Calcule los determinantes de:
a)(AT)−1
b) BA
c) A1, si A1 se obtiene de A mediante la operacionR7 ← 3R7
d) A2, si A2 se obtiene de A mediante la operacionR7 ↔ R5
e) A3, si A3 se obtiene de A mediante la operacionR7 ← R7 + 3R5
Respuesta:
12. Para que valor de c la matriz siguiente no es diagonaliza-ble:
A =
−1 4 4 + 4 c0 −2 −1− c0 0 c
Respuesta:
MA843, Examen Final (Agosto - Diciembre 2007), Tipo: 15 3
13. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
3x− 6 y + 6 z = −9
2x− 4 y + 4 z = −6
−2x+ 4 y − 4 z = 6
2x− 4 y + 4 z = −6
se puede decir que:
1 El sistema es inconsistente y tiene como solucion uni-ca de mınimos cuadrados a x = 2, y = 3 yz = 4.
2 Tiene infinitas soluciones y la formula general paraellas es x
y
z
=
2
00
+y
3
10
+z
4
01
3 El sistema es inconsistente y tiene infinitas soluciones
de mınimos cuadrados y la formula general para ellases x
y
z
=
2
0
3
+ y
4
10
4 Tiene solucion unica y es x = 2, y = 3 y
z = 4.
5 Tiene infinitas soluciones y la formula general paraellas es x
y
z
=
2
3
0
+ y
4
5
1
Indique su seleccion y reporte los numeros que completanla respuesta.
Respuesta:
14. Sean a1, a2, a3, 0, y b vectores de Rn. Indique validez acada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2,a3|0] tiene infinitas soluciones, entonces{a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
b) Si [a1,a2|0] tiene infinitas soluciones, entonces{a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
c) Si [a1,a2,a3|b] tiene solucion unica, entonces{a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
d) Si existen c1 y c2 tales que c1a1 + c2a2 + a3 = 0,entonces {a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Cierto
3) Falso
Respuesta:
15. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia deCalor es determinar la temperatura en estado estable deuna placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTa
sTb
sTb s
Tc
sTc
sTd
sTd
sTe
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodosinteriores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-madamente igual al promedio de las temperaturas de loscuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, ya la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 25o, Tb = 32o, Tc = 30o
Td = 12o, Te = 28o, Tf = 38o
Reporte solo el valor de T5.
Respuesta:
4
Algebra LinealExamen Final (Agosto - Diciembre 2007)
Maestro Eduardo Uresti
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:16
1. Si:
A =[
4 −1−3 1
]B =
[−2 1−3 1
]C =
[3 3−1 1
]D =
[−6 −13
4 −4
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (XB)−1 − 3C = D
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
2. Indique cuales opciones contienen un vector en el nucleode la transformacion de R3 en R3 definida como
T
x
y
z
=
5x+ 5 y + 2 z2x− 2 y + 3 z
21x+ 9 y + 15 z
dentro de las opciones:
1.
−4
−2
−4
2.
0
−2
−4
3.
−19
11
20
4.
0
0
0
5.
19
−11
−20
6.
−8
−2
−4
Respuesta:
3. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
2x− 4 y + 6 z = −4
2x− 4 y + 6 z = −4
2x− 4 y + 6 z = −4
−x+ 2 y − 3 z = 2
se puede decir que:
1 Tiene solucion unica y es x = 2, y = 3 yz = 4.
2 El sistema es inconsistente y tiene infinitas solucionesde mınimos cuadrados y la formula general para ellases x
y
z
=
2
0
3
+ y
4
10
3 El sistema es inconsistente y tiene como solucion uni-
ca de mınimos cuadrados a x = 2, y = 3 yz = 4.
4 Tiene infinitas soluciones y la formula general paraellas es x
y
z
=
2
00
+y
3
10
+z
4
01
5 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
3
0
+ y
4
5
1
Indique su seleccion y reporte los numeros que completanla respuesta.
Respuesta:
4. Sean a1, a2, a3, 0, y b vectores de Rn. Indique validez acada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2,a3|b] tiene solucion unica, entonces{a1,a2,a3} es linealmente independiente.
b) Si [a1,a2,a3|0] tiene infinitas soluciones, entonces{a1,a2,a3} es linealmente independiente.
c) Si [a1,a2|0] tiene infinitas soluciones, entonces{a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
d) Si existen c1 y c2 tales que c1a1 + c2a2 + a3 = 0,entonces {a1,a2,a3} es linealmente independiente.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) No se sabe
3) Falso
Respuesta:
2
5. Para que valor de c la matriz siguiente no es diagonaliza-ble:
A =
2 9 16− 2 c0 5 6− c0 0 c
Respuesta:
6. Si:
A =
−1 −1 1 −1 1 −1 00 −1 0 −1 −1 −1 −10 0 −1 1 −1 −1 10 0 0 −1 1 1 00 0 0 0 −1 0 10 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 1
y
B =
1 0 0 0 0 0 01 1 0 0 0 0 0−1 1 1 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0−1 1 1 −1 1 0 0−1 0 1 −1 0 1 0−1 −1 1 0 −1 1 −1
Calcule los determinantes de:
a)(AT)−1
b) ATBA
c) A1, si A1 se obtiene de A mediante la operacionR2 ← R2 + 3R6
d) A2, si A2 se obtiene de A mediante la operacionR2 ↔ R6
e) A3, si A3 se obtiene de A mediante la operacionR2 ← 3R2
Respuesta:
7. El valor λ = 1 es un valor propio de la matriz
A =
1 0 0−2 1 1
0 −16 −7
Indique, en orden, su dimension algebraica y su dimensiongeometrica.
Respuesta:
8. En la actualidad hay tres planes de inversion A, B y Cdisponibles para los empleados de una empresa. Un em-pleado solo puede usar un plan a la vez y puede cambiar alfinal de ano si ası lo desea. La probabilidad de que alguienque esta en el plan A quede en el mismo plan es 85 %, deque elija el plan B es de 5 % y de que elija el plan C es de10 %. La probabilidad de que alguien que esta en el plan
B quede en el mismo plan es 55 %, de que elija el plan Aes de 30 % y de que elija el plan C es de 15 %. La proba-bilidad de que alguien que esta en el plan C quede en elmismo plan es 20 %, de que elija el plan A es de 75 % yde que elija el plan B es de 5 %. Reporte en orden crecien-te los valores propios de la matriz de transicion. Ademas,expresando los porcentajes como un numero entre 0 y 1,indique en orden cual es la distribucion de los empleadosen los planes A y B.
Respuesta:
9. Indique si el polinomio
p = −13− 14x+ 9x3
es una combinacion lineal de los polinomios:
p1 = 3 + 4x− 3x3
p2 = 6 + 8x− 6x3
yp3 = 2 + x
A Cierto
B Falso
10. Encuentre la ecuacion de la recta y = mx+b.que se ajustamejor, en el sentido de mınimos cuadrados, a los datos dela siguiente tabla:
x y
40 48145 46850 45355 43560 423
Hint: Forme el sistema para m y b sustituyendo los pun-tos en el modelo, por ejemplo al sustituir el primer puntoqueda la ecuacion :
40m+ b = 481
Reporte en orden los valores de m y b.
Respuesta:
11. Determine la dimension para el subespacio de R3 formadopor las soluciones al sistema:
6x+ 4 y + 4 z = 0
24x+ 16 y + 16 z = 0
12x+ 8 y + 8 z = 0
Respuesta:
12. Una poblacion de conejos en una gran isla se estimo desde1981 hasta 1984 y se obtuvieron los datos:
MA843, Examen Final (Agosto - Diciembre 2007), Tipo: 16 3
ano N
1981 30801982 44201983 80801984 17040
Se espera que los datos se ajusten a una funcion exponen-cial
N(t) = No ek (t−1981)
Use el metodo de mınimos cuadrados para hacer este ajus-te. Usando esto determine la poblacion en 1985.Hint: Tome logaritmos para convertir el ajuste al ajustede una lınea recta.
Respuesta:
13. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia deCalor es determinar la temperatura en estado estable deuna placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTb
sTc
sTd
sTd
sTd
sTe
sTe
sTe
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodosinteriores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-madamente igual al promedio de las temperaturas de loscuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, ya la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + Td + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 23o, Tb = 24o, Tc = 18o
Td = 25o, Te = 30o, Tf = 11o
Reporte solo el valor de T4.
Respuesta:
14. Si A es una matriz 3× 3 tal que
C21 = 6, M23 = −24M31 = 3, M12 = −4M11 = −8, C22 = −14C32 = 15, M33 = −32
ya21 = 7, a23 = 3a31 = 6, a12 = 6a11 = 2, a22 = 5a32 = 6, a33 = 2
Determine |A|.
Respuesta:
15. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = 8x− 20 y + 11 z
y′ = 13x− 31 y + 17 z
z′ = 22x− 50 y + 27 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = −1, y(0) = 2, z(0) = 2
Como respuesta determine x(t = 1), y(t = 1) y z(t = 1)
Respuesta:
4
Algebra LinealExamen Final (Agosto - Diciembre 2007)
Maestro Eduardo Uresti
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:17
1. Para que valor de c la matriz siguiente no es diagonaliza-ble:
A =
3 −2 −2 + 2 c0 4 −11 + 3 c0 0 c
Respuesta:
2. Si:
A =
−1 1 1 −1 0 0 10 1 −1 1 −1 1 −10 0 1 1 −1 −1 10 0 0 1 1 −1 −10 0 0 0 1 1 −10 0 0 0 0 −1 00 0 0 0 0 0 1
y
B =
1 0 0 0 0 0 00 −1 0 0 0 0 01 0 −1 0 0 0 00 −1 −1 1 0 0 01 1 −1 1 −1 0 0−1 −1 0 0 1 1 0−1 0 1 0 −1 −1 −1
Calcule los determinantes de:
a) AT
b) AB
c) A1, si A1 se obtiene de A mediante la operacionR5 ← R5 + 4R6
d) A2, si A2 se obtiene de A mediante la operacionR5 ↔ R6
e) A3, si A3 se obtiene de A mediante la operacionR5 ← 4R5
Respuesta:
3. En la actualidad hay tres planes de inversion A, B y Cdisponibles para los empleados de una empresa. Un em-pleado solo puede usar un plan a la vez y puede cambiar alfinal de ano si ası lo desea. La probabilidad de que alguienque esta en el plan A quede en el mismo plan es 85 %, deque elija el plan B es de 5 % y de que elija el plan C es de10 %. La probabilidad de que alguien que esta en el planB quede en el mismo plan es 40 %, de que elija el plan Aes de 35 % y de que elija el plan C es de 25 %. La proba-bilidad de que alguien que esta en el plan C quede en elmismo plan es 25 %, de que elija el plan A es de 55 % y de
que elija el plan B es de 20 %. Reporte en orden crecien-te los valores propios de la matriz de transicion. Ademas,expresando los porcentajes como un numero entre 0 y 1,indique en orden cual es la distribucion de los empleadosen los planes A y B.
Respuesta:
4. Si:
A =[−2 1−3 1
]B =
[−4 −3−1 −1
]C =
[0 −22 1
]D =
[−4 1−5 −3
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (BX)−1 − 2C = D
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
5. Determine la dimension del subespacio que generan lospolinomios:
−2 + 4x2 − 2x3(−3 + 6x2 − 3x3
)(1− 2x2 + x3
)(−2 + 4x2 − 2x3
)Respuesta:
6. Encuentre la ecuacion de la recta y = mx+b.que se ajustamejor, en el sentido de mınimos cuadrados, a los datos dela siguiente tabla:
x y
40 48445 46750 45155 43160 422
Hint: Forme el sistema para m y b sustituyendo los pun-tos en el modelo, por ejemplo al sustituir el primer puntoqueda la ecuacion :
40m+ b = 484
Reporte en orden los valores de m y b.
Respuesta:
2
7. Una poblacion de conejos en una gran isla se estimo desde1981 hasta 1984 y se obtuvieron los datos:
ano N
1981 29401982 45201983 79801984 16940
Se espera que los datos se ajusten a una funcion exponen-cial
N(t) = No ek (t−1981)
Use el metodo de mınimos cuadrados para hacer este ajus-te. Usando esto determine la poblacion en 1985.Hint: Tome logaritmos para convertir el ajuste al ajustede una lınea recta.
Respuesta:
8. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia deCalor es determinar la temperatura en estado estable deuna placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTb
sTc
sTd
sTd
sTd
sTe
sTe
sTe
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodosinteriores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-madamente igual al promedio de las temperaturas de loscuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, ya la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + Td + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 12o, Tb = 10o, Tc = 24o
Td = 21o, Te = 26o, Tf = 19o
Reporte solo el valor de T3.
Respuesta:
9. Si A es una matriz 3× 3 tal que
M33 = 52, C13 = −25C21 = 29, C12 = 3C31 = −48, M32 = 7M23 = 33, M11 = 26
ya33 = 5, a13 = 7a21 = 1, a12 = 4a31 = 4, a32 = 7a23 = 2, a11 = 7
Determine |A|.
Respuesta:
10. Indique cuales opciones contienen un vector en el nucleode la transformacion de R3 en R3 definida como
T
x
y
z
=
−5x− 3 y + 3 z45x− 13 y − 22 z
5x− 5 y − 2 z
dentro de las opciones:
1.
18
−8
−2
2.
−105
−25
−200
3.
−5
1
−1
4.
0
0
0
5.
4
−3
−2
6.
21
5
40
Respuesta:
11. Indique si el polinomio
p = 10 + 4x+ 6x2 + 4x3
es una combinacion lineal de los polinomios:
p1 = 4− 2x+ x2 − x3
p2 = 3− 3x+ 4x2 + 4x3
yp3 = 4x− x2 − x3
A Falso
B Cierto
12. Sean a1, a2, a3, 0, y b vectores de Rn. Indique validez acada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2,a3|0] tiene solucion unica, entonces {a1,a2}es linealmente dependiente.
b) Si existen c1, c2 y c3 tales que c1a1 +c2a2 +c3a3 = 0,entonces {a1,a2,a3} es linealmente independiente.
c) Si [a1,a2,a3|b] tiene dos soluciones diferentes, enton-ces {a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
MA843, Examen Final (Agosto - Diciembre 2007), Tipo: 17 3
d) Si [a1,a2,a3|0] es consistente, entonces {a1,a2,a3}es linealmente dependiente.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Falso
3) Cierto
Respuesta:
13. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −20x− 12 y + 15 z
y′ = −24x− 14 y + 18 z
z′ = −48x− 30 y + 37 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = −1, y(0) = 2, z(0) = −1
Como respuesta determine x(t = 1), y(t = 1) y z(t = 1)
Respuesta:
14. Cuales opciones no contienen vectores propios a la matriz
A =
12 −15 106 9 −2−6 33 −16
de la lista de vectores:
1.
0−6−9
2.
1−3−6
3.
−101
4.
011
5.
2−3−7
6.
1−2−4
Respuesta:
15. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
2x+ 2 y + 2 z = 4
x+ y + 2 z = 3
4x+ 5 y + 4 z = 5
2x+ 2 y + z = 5
se puede decir que:
1 El sistema es inconsistente y tiene infinitas solucionesde mınimos cuadrados y la formula general para ellases x
y
z
=
2
0
3
+ y
4
10
2 Tiene solucion unica y es x = 2, y = 3 y
z = 4.
3 Tiene infinitas soluciones y la formula general paraellas es x
y
z
=
2
3
0
+ y
4
5
1
4 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
00
+y
3
10
+z
4
01
5 El sistema es inconsistente y tiene como solucion uni-
ca de mınimos cuadrados a x = 2, y = 3 yz = 4.
Indique su seleccion y reporte los numeros que completanla respuesta.
Respuesta:
4
Algebra LinealExamen Final (Agosto - Diciembre 2007)
Maestro Eduardo Uresti
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:18
1. Si A es una matriz 3× 3 tal que
C13 = −10, M22 = −46M31 = −30, M32 = −19C23 = −16, C33 = 14M11 = 2, M21 = −44
ya13 = 8, a22 = 4a31 = 7, a32 = 6a23 = 1, a33 = 2a11 = 5, a21 = 3
Determine |A|.
Respuesta:
2. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −3x− 14 y + 8 z
y′ = −4x− 19 y + 11 z
z′ = −8x− 46 y + 26 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = 1, y(0) = 1, z(0) = −1
Como respuesta determine x(t = 1), y(t = 1) y z(t = 1)
Respuesta:
3. Sean a1, a2, a3, 0, y b vectores de Rn. Indique validez acada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si existen c1 y c2 tales que c1a1 + c2a2 + a3 = 0,entonces {a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
b) Si [a1,a2|0] tiene infinitas soluciones, entonces{a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
c) Si [a1,a2,a3|0] tiene solucion unica, entonces{a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
d) Si [a1,a2,a3|b] tiene solucion unica, entonces{a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) Cierto
3) No se sabe
Respuesta:
4. Encuentre la ecuacion de la recta y = mx+b.que se ajustamejor, en el sentido de mınimos cuadrados, a los datos dela siguiente tabla:
x y
40 48045 46950 45455 43360 423
Hint: Forme el sistema para m y b sustituyendo los pun-tos en el modelo, por ejemplo al sustituir el primer puntoqueda la ecuacion :
40m+ b = 480
Reporte en orden los valores de m y b.
Respuesta:
5. Para que valor de c la matriz siguiente no es diagonaliza-ble:
A =
4 3 −6 + 2 c0 1 2− c0 0 c
Respuesta:
6. Una poblacion de conejos en una gran isla se estimo desde1981 hasta 1984 y se obtuvieron los datos:
ano N
1981 30201982 44601983 80601984 16980
Se espera que los datos se ajusten a una funcion exponen-cial
N(t) = No ek (t−1981)
Use el metodo de mınimos cuadrados para hacer este ajus-te. Usando esto determine la poblacion en 1985.Hint: Tome logaritmos para convertir el ajuste al ajustede una lınea recta.
Respuesta:
2
7. Cuales opciones contienen vectores propios a la matriz
A =
−134 −29 −26186 41 36519 111 101
de la lista de vectores:
1.
4−6−15
2.
01−1
3.
5−7−19
4.
3−6−9
5.
1−1−4
6.
2−3−7
Respuesta:
8. Si:
A =[
3 1−4 −1
]B =
[4 −1−3 1
]C =
[3 −2−1 1
]D =
[−5 3
2 −2
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (X B)T − 3C = D
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
9. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
4x+ 2 y + 4 z = 3
5x+ 2 y + 4 z = 1
3x+ 3 y + 3 z = 1
2x+ 2 y + 2 z = 1
se puede decir que:
1 Tiene solucion unica y es x = 2, y = 3 yz = 4.
2 El sistema es inconsistente y tiene como solucion uni-ca de mınimos cuadrados a x = 2, y = 3 yz = 4.
3 El sistema es inconsistente y tiene infinitas solucionesde mınimos cuadrados y la formula general para ellases x
y
z
=
2
0
3
+ y
4
10
4 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
00
+y
3
10
+z
4
01
5 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
3
0
+ y
4
5
1
Indique su seleccion y reporte los numeros que completanla respuesta.
Respuesta:
10. Indique cuales opciones contienen un vector en la imagende la transformacion de R3 en R3 definida como
T
x
y
z
=
37x− 21 y − 16 z−4x+ 2 y + 2 z−5x+ 3 y + 2 z
dentro de las opciones:
1.
−21
2
3
2.
227
−24
−31
3.
37
−4
−5
4.
0
0
0
5.
4
2
−5
Respuesta:
11. Indique si la matriz
A =[
6 −33 −5
]es una combinacion lineal de las matrices:
A1 =[−2 3
1 −1
]
A2 =[−6 9
3 −3
]y
A3 =[
4 −31 −2
]
MA843, Examen Final (Agosto - Diciembre 2007), Tipo: 18 3
A Falso
B Cierto
12. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia deCalor es determinar la temperatura en estado estable deuna placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTa
sTb
sTb s
Tc
sTd
sTd
sTe
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodosinteriores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-madamente igual al promedio de las temperaturas de loscuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, ya la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 24o, Tb = 27o, Tc = 20o
Td = 36o, Te = 13o, Tf = 14o
Reporte solo el valor de T6.
Respuesta:
13. Determine la dimension del subespacio:
Gen
3−2
06
,
5−5
4−6
,−11
9−4−6
,
20−15
424
Respuesta:
14. Si:
A =
1 1 −1 −1 0 −1 10 −1 −1 −1 −1 0 −10 0 −1 0 0 0 −10 0 0 1 −1 0 00 0 0 0 1 −1 10 0 0 0 0 1 −10 0 0 0 0 0 −1
y
B =
1 0 0 0 0 0 0−1 1 0 0 0 0 0
1 −1 −1 0 0 0 00 1 0 −1 0 0 01 0 0 1 −1 0 01 −1 1 0 1 1 00 −1 1 −1 1 −1 −1
Calcule los determinantes de:
a)(A−1
)Tb) AB
c) A1, si A1 se obtiene de A mediante la operacionR1 ↔ R5
d) A2, si A2 se obtiene de A mediante la operacionR1 ← 3R1
e) A3, si A3 se obtiene de A mediante la operacionR1 ← R1 + 3R5
Respuesta:
15. En la actualidad hay tres planes de inversion A, B y Cdisponibles para los empleados de una empresa. Un em-pleado solo puede usar un plan a la vez y puede cambiar alfinal de ano si ası lo desea. La probabilidad de que alguienque esta en el plan A quede en el mismo plan es 80 %, deque elija el plan B es de 10 % y de que elija el plan C es de10 %. La probabilidad de que alguien que esta en el planB quede en el mismo plan es 55 %, de que elija el plan Aes de 35 % y de que elija el plan C es de 10 %. La proba-bilidad de que alguien que esta en el plan C quede en elmismo plan es 20 %, de que elija el plan A es de 65 % y deque elija el plan B es de 15 %. Reporte en orden crecien-te los valores propios de la matriz de transicion. Ademas,expresando los porcentajes como un numero entre 0 y 1,indique en orden cual es la distribucion de los empleadosen los planes A y B.
Respuesta:
4
Algebra LinealExamen Final (Agosto - Diciembre 2007)
Maestro Eduardo Uresti
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:19
1. Si:
A =
−1 1 1 0 1 −1 −10 −1 1 0 0 1 00 0 −1 −1 1 1 −10 0 0 1 0 0 00 0 0 0 −1 0 −10 0 0 0 0 1 10 0 0 0 0 0 1
y
B =
1 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 00 1 1 0 0 0 0−1 −1 0 −1 0 0 0
0 −1 −1 1 −1 0 01 −1 1 0 −1 −1 01 0 0 1 −1 0 1
Calcule los determinantes de:
a) A−1
b) BTAB
c) A1, si A1 se obtiene de A mediante la operacionR1 ↔ R7
d) A2, si A2 se obtiene de A mediante la operacionR1 ← 6R1
e) A3, si A3 se obtiene de A mediante la operacionR1 ← R1 + 6R7
Respuesta:
2. Una poblacion de conejos en una gran isla se estimo desde1981 hasta 1984 y se obtuvieron los datos:
ano N
1981 30201982 45001983 80401984 16960
Se espera que los datos se ajusten a una funcion exponen-cial
N(t) = No ek (t−1981)
Use el metodo de mınimos cuadrados para hacer este ajus-te. Usando esto determine la poblacion en 1985.Hint: Tome logaritmos para convertir el ajuste al ajustede una lınea recta.
Respuesta:
3. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = 13x− 10 y + 6 z
y′ = 30x− 23 y + 14 z
z′ = 30x− 22 y + 13 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = −1, y(0) = −2, z(0) = 2
Como respuesta determine x(t = 1), y(t = 1) y z(t = 1)
Respuesta:
4. Indique si la matriz
A =[
2 −2−2 4
]es una combinacion lineal de las matrices:
A1 =[
1 0−1 1
]
A2 =[
4 −24 0
]y
A3 =[
11 −45 3
]A Falso
B Cierto
5. Cuales opciones contienen vectores propios a la matriz
A =
−64 16 8−183 47 21−162 38 24
de la lista de vectores:
1.
140
2.
5169
3.
4145
4.
82614
5.
0−3
6
6.
132
Respuesta:
2
6. Determine la dimension del subespacio:
Gen
−2−2
42
,
225−4
,−6−6390
,−14−14
1916
Respuesta:
7. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
−2x+ 6 y − 6 z = 2
2x− 6 y + 6 z = −2
−2x+ 6 y − 6 z = 2
2x− 6 y + 6 z = −2
se puede decir que:
1 El sistema es inconsistente y tiene como solucion uni-ca de mınimos cuadrados a x = 2, y = 3 yz = 4.
2 Tiene infinitas soluciones y la formula general paraellas es x
y
z
=
2
3
0
+ y
4
5
1
3 El sistema es inconsistente y tiene infinitas soluciones
de mınimos cuadrados y la formula general para ellases x
y
z
=
2
0
3
+ y
4
10
4 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
00
+y
3
10
+z
4
01
5 Tiene solucion unica y es x = 2, y = 3 y
z = 4.
Indique su seleccion y reporte los numeros que completanla respuesta.
Respuesta:
8. Si A es una matriz 3× 3 tal que
C13 = 18, M12 = 2M11 = −4, C23 = −17C33 = 4, C31 = −6C22 = −16, C21 = 14
ya13 = 4, a12 = 1a11 = 6, a23 = 2a33 = 2, a31 = 7a22 = 2, a21 = 8
Determine |A|.
Respuesta:
9. Para que valor de c la matriz siguiente no es diagonaliza-ble:
A =
−2 6 15 + 4 c0 4 5− c0 0 c
Respuesta:
10. Si:
A =[
2 1−3 −1
]B =
[4 −1−3 1
]C =
[0 −31 −3
]D =
[−2 10−6 10
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (BX)−1 − 3C = D
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
11. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia deCalor es determinar la temperatura en estado estable deuna placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTb
sTc
sTd
sTd
sTd
sTe
sTe
sTe
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodosinteriores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-madamente igual al promedio de las temperaturas de loscuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, ya la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + Td + Tb) /4.
MA843, Examen Final (Agosto - Diciembre 2007), Tipo: 19 3
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 24o, Tb = 30o, Tc = 15o
Td = 27o, Te = 37o, Tf = 36o
Reporte solo el valor de T5.
Respuesta:
12. Sean a1, a2, a3, 0, y b vectores de Rn. Indique validez acada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si existen c1 y c2 tales que c1a1 + c2a2 + a3 = 0,entonces {a1,a2,a3} es linealmente independiente.
b) Si [a1,a2,a3|0] tiene infinitas soluciones, entonces{a1,a2,a3} es linealmente independiente.
c) Si [a1,a2,a3|0] tiene solucion unica, entonces {a1,a2}es linealmente dependiente.
d) Si [a1,a2,a3|b] tiene dos soluciones diferentes, enton-ces {a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) No se sabe
3) Falso
Respuesta:
13. Indique cuales opciones no contienen un vector en el nucleode la transformacion de R3 en R3 definida como
T
x
y
z
=
16x+ 24 y + 17 z4 y + z
−4x− y − 3 z
dentro de las opciones:
1.
−11
−4
16
2.
1
−2
4
3.
0
0
0
4.
0
1
4
5.
33
12
−48
6.
−3
1
−32
Respuesta:
14. En la actualidad hay tres planes de inversion A, B y Cdisponibles para los empleados de una empresa. Un em-pleado solo puede usar un plan a la vez y puede cambiar alfinal de ano si ası lo desea. La probabilidad de que alguienque esta en el plan A quede en el mismo plan es 75 %, deque elija el plan B es de 20 % y de que elija el plan C esde 5 %. La probabilidad de que alguien que esta en el planB quede en el mismo plan es 60 %, de que elija el plan Aes de 30 % y de que elija el plan C es de 10 %. La proba-bilidad de que alguien que esta en el plan C quede en elmismo plan es 20 %, de que elija el plan A es de 40 % y deque elija el plan B es de 40 %. Reporte en orden crecien-te los valores propios de la matriz de transicion. Ademas,expresando los porcentajes como un numero entre 0 y 1,indique en orden cual es la distribucion de los empleadosen los planes A y B.
Respuesta:
15. Encuentre la ecuacion de la recta y = mx+b.que se ajustamejor, en el sentido de mınimos cuadrados, a los datos dela siguiente tabla:
x y
40 48045 46650 45355 43260 423
Hint: Forme el sistema para m y b sustituyendo los pun-tos en el modelo, por ejemplo al sustituir el primer puntoqueda la ecuacion :
40m+ b = 480
Reporte en orden los valores de m y b.
Respuesta:
4
Algebra LinealExamen Final (Agosto - Diciembre 2007)
Maestro Eduardo Uresti
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:20
1. Encuentre la ecuacion de la recta y = mx+b.que se ajustamejor, en el sentido de mınimos cuadrados, a los datos dela siguiente tabla:
x y
40 48445 46950 45355 43460 423
Hint: Forme el sistema para m y b sustituyendo los pun-tos en el modelo, por ejemplo al sustituir el primer puntoqueda la ecuacion :
40m+ b = 484
Reporte en orden los valores de m y b.
Respuesta:
2. Si:
A =[
4 −3−1 1
]B =
[−3 −4
1 1
]C =
[2 −31 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:(
(AX)TB)T
= C
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
3. Si:
A =
1 1 0 1 −1 −1 −10 1 −1 1 0 −1 −10 0 1 0 −1 1 10 0 0 −1 0 0 10 0 0 0 1 −1 −10 0 0 0 0 −1 00 0 0 0 0 0 1
y
B =
−1 0 0 0 0 0 01 −1 0 0 0 0 00 1 1 0 0 0 01 1 0 −1 0 0 00 1 0 0 −1 0 0−1 0 0 1 0 −1 0
1 −1 −1 0 −1 1 1
Calcule los determinantes de:
a) A−1
b) AB
c) A1, si A1 se obtiene de A mediante la operacionR2 ↔ R5
d) A2, si A2 se obtiene de A mediante la operacionR2 ← R2 + 2R5
e) A3, si A3 se obtiene de A mediante la operacionR2 ← 2R2
Respuesta:
4. En la actualidad hay tres planes de inversion A, B y Cdisponibles para los empleados de una empresa. Un em-pleado solo puede usar un plan a la vez y puede cambiar alfinal de ano si ası lo desea. La probabilidad de que alguienque esta en el plan A quede en el mismo plan es 80 %, deque elija el plan B es de 5 % y de que elija el plan C es de15 %. La probabilidad de que alguien que esta en el planB quede en el mismo plan es 40 %, de que elija el plan Aes de 30 % y de que elija el plan C es de 30 %. La proba-bilidad de que alguien que esta en el plan C quede en elmismo plan es 25 %, de que elija el plan A es de 40 % y deque elija el plan B es de 35 %. Reporte en orden crecien-te los valores propios de la matriz de transicion. Ademas,expresando los porcentajes como un numero entre 0 y 1,indique en orden cual es la distribucion de los empleadosen los planes A y B.
Respuesta:
5. Cuales opciones no contienen vectores propios a la matriz
A =
91 38 5−288 −123 −18
456 204 36
de la lista de vectores:
1.
8−21
19
2.
−25−4
3.
1−3
4
4.
−1436−30
5.
10−26
23
6.
4−11
12
2
Respuesta:
6. Sean a1, a2, a3, 0, y b vectores de Rn. Indique validez acada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2,a3|0] tiene solucion unica, entonces{a1,a2,a3} es linealmente independiente.
b) Si existen c1, c2 y c3 tales que c1a1 +c2a2 +c3a3 = 0,entonces {a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
c) Si [a1,a2,a3|b] tiene solucion unica, entonces{a1,a2,a3} es linealmente independiente.
d) Si [a1,a2|0] tiene solucion unica, entonces {a1,a2,a3}es linealmente dependiente.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) Falso
3) No se sabe
Respuesta:
7. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = 35x− 40 y + 22 z
y′ = 80x− 91 y + 50 z
z′ = 98x− 110 y + 60 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = 1, y(0) = −1, z(0) = −2
Como respuesta determine x(t = 1), y(t = 1) y z(t = 1)
Respuesta:
8. Si A es una matriz 3× 3 tal que
C23 = −1, M12 = −10C22 = −10, M32 = 0C13 = 16, C11 = −28C21 = 13, C31 = 24
ya23 = 8, a12 = 7a22 = 4, a32 = 6a13 = 8, a11 = 6a21 = 6, a31 = 5
Determine |A|.Respuesta:
9. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
−2x+ 4 y + 4 z = −6
−x+ 2 y + z = −1
−2x+ 4 y + 6 z = −10
3x− 6 y − 3 z = 3
se puede decir que:
1 Tiene solucion unica y es x = 2, y = 3 yz = 4.
2 El sistema es inconsistente y tiene como solucion uni-ca de mınimos cuadrados a x = 2, y = 3 yz = 4.
3 Tiene infinitas soluciones y la formula general paraellas es x
y
z
=
2
0
3
+ y
4
10
4 El sistema es inconsistente y tiene infinitas soluciones
de mınimos cuadrados y la formula general para ellases x
y
z
=
2
0
2
+ y
4
10
5 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
00
+y
3
10
+z
4
01
Indique su seleccion y reporte los numeros que completanla respuesta.
Respuesta:
10. Para que valor de c la matriz siguiente no es diagonaliza-ble:
A =
2 −5 −27 + 4 c0 −3 −11− 4 c0 0 c
Respuesta:
11. Indique cuales opciones no contienen un vector en la ima-gen de la transformacion de R3 en R3 definida como
T
x
y
z
=
−x+ z
−x+ 5 y − 3 z2x− 5 y + 2 z
dentro de las opciones:
1.
0
5
−5
2.
0
−3
−2
3.
0
0
0
4.
−3
−18
21
5.
−1
−1
2
Respuesta:
MA843, Examen Final (Agosto - Diciembre 2007), Tipo: 20 3
12. Determine la dimension del subespacio que generan lospolinomios:
2− x+ 3x2 − x3(−10 + 5x− 15x2 + 7x3
)(−2 + x− 3x2 + 2x3
)−
x3
Respuesta:
13. Indique si la matriz
A =[
2 −3−1 2
]es una combinacion lineal de las matrices:
A1 =[
2 43 2
]
A2 =[
0 2−3 2
]y
A3 =[−1 1
1 1
]A Cierto
B Falso
14. Una poblacion de conejos en una gran isla se estimo desde1981 hasta 1984 y se obtuvieron los datos:
ano N
1981 30401982 44801983 80801984 17000
Se espera que los datos se ajusten a una funcion exponen-cial
N(t) = No ek (t−1981)
Use el metodo de mınimos cuadrados para hacer este ajus-te. Usando esto determine la poblacion en 1985.Hint: Tome logaritmos para convertir el ajuste al ajustede una lınea recta.
Respuesta:
15. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia deCalor es determinar la temperatura en estado estable deuna placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTb
sTc
sTd
sTe
sTf
sTf
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodosinteriores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-madamente igual al promedio de las temperaturas de loscuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, ya la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 21o, Tb = 32o, Tc = 30o
Td = 17o, Te = 33o, Tf = 11o
Reporte solo el valor de T1.
Respuesta:
4
Algebra LinealExamen Final (Agosto - Diciembre 2007)
Maestro Eduardo Uresti
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:21
1. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia deCalor es determinar la temperatura en estado estable deuna placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTb
sTc
sTd
sTe
sTf
sTf
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodosinteriores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-madamente igual al promedio de las temperaturas de loscuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, ya la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 16o, Tb = 11o, Tc = 25o
Td = 40o, Te = 13o, Tf = 31o
Reporte solo el valor de T1.
Respuesta:
2. Para que valor de c la matriz siguiente no es diagonaliza-ble:
A =
−3 15 54 + 2 c0 2 7− 3 c0 0 c
Respuesta:
3. Sean a1, a2, a3, 0, y b vectores de Rn. Indique validez acada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2,a3|0] tiene solucion unica, entonces {a1,a2}es linealmente dependiente.
b) Si [a1,a2,a3|0] tiene solucion unica, entonces{a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
c) Si [a1,a2,a3|b] tiene solucion unica, entonces{a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
d) Si existen c1 y c2 tales que c1a1 + c2a2 + a3 = 0,entonces {a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) Falso
3) No se sabe
Respuesta:
4. Encuentre la ecuacion de la recta y = mx+b.que se ajustamejor, en el sentido de mınimos cuadrados, a los datos dela siguiente tabla:
x y
40 48445 46650 45255 43360 421
Hint: Forme el sistema para m y b sustituyendo los pun-tos en el modelo, por ejemplo al sustituir el primer puntoqueda la ecuacion :
40m+ b = 484
Reporte en orden los valores de m y b.
Respuesta:
5. Indique cuales opciones contienen un vector en la imagende la transformacion de R3 en R3 definida como
T
x
y
z
=
−3x+ 4 y + z
−2x+ 2 y + 3 z3x− 2 y − 8 z
dentro de las opciones:
1.
3
−3
−1
2.
−5
0
−5
3.
4
2
−2
4.
−3
−2
3
5.
0
0
0
Respuesta:
2
6. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
5x+ y + 7 z = 5
5x+ 5 y + 15 z = 1
4x+ 2 y + 8 z = 4
2x+ 3 y + 8 z = 4
se puede decir que:
1 El sistema es inconsistente y tiene como solucion uni-ca de mınimos cuadrados a x = 2, y = 3 yz = 4.
2 El sistema es inconsistente y tiene infinitas solucionesde mınimos cuadrados y la formula general para ellases x
y
z
=
2
3
0
+ z
4
5
1
3 Tiene solucion unica y es x = 2, y = 3 y
z = 4.
4 Tiene infinitas soluciones y la formula general paraellas es x
y
z
=
2
3
0
+ y
4
5
1
5 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
00
+y
3
10
+z
4
01
Indique su seleccion y reporte los numeros que completanla respuesta.
Respuesta:
7. Cuales opciones contienen vectores propios a la matriz
A =
6 −78 363 −67 326 −148 71
de la lista de vectores:
1.
−5−4−9
2.
181533
3.
324
4.
−100
5.
−8−6−13
6.
112
Respuesta:
8. Si:
A =
−1 1 −1 1 1 0 −10 −1 1 0 −1 1 00 0 −1 1 0 −1 00 0 0 −1 0 0 10 0 0 0 −1 1 00 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 1
y
B =
−1 0 0 0 0 0 0−1 −1 0 0 0 0 0−1 −1 −1 0 0 0 0
1 0 1 −1 0 0 0−1 −1 0 0 −1 0 0
0 −1 1 1 0 −1 00 0 0 1 −1 0 −1
Calcule los determinantes de:
a) AT
b) BTAB
c) A1, si A1 se obtiene de A mediante la operacionR2 ← R2 + 5R4
d) A2, si A2 se obtiene de A mediante la operacionR2 ← 5R2
e) A3, si A3 se obtiene de A mediante la operacionR2 ↔ R4
Respuesta:
9. Si:
A =[
2 −31 −1
]B =
[−4 −1−3 −1
]C =
[2 1−3 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:(
(AX)TB)T
= C
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
10. Una poblacion de conejos en una gran isla se estimo desde1981 hasta 1984 y se obtuvieron los datos:
ano N
1981 29601982 44801983 79401984 17060
MA843, Examen Final (Agosto - Diciembre 2007), Tipo: 21 3
Se espera que los datos se ajusten a una funcion exponen-cial
N(t) = No ek (t−1981)
Use el metodo de mınimos cuadrados para hacer este ajus-te. Usando esto determine la poblacion en 1985.Hint: Tome logaritmos para convertir el ajuste al ajustede una lınea recta.
Respuesta:
11. Si A es una matriz 3× 3 tal que
M22 = 24, M13 = 0C31 = −2, M32 = 8C21 = −2, C23 = −16M11 = 24, C12 = −32
ya22 = 6, a13 = 1a31 = 8, a32 = 6a21 = 8, a23 = 4a11 = 4, a12 = 1
Determine |A|.Respuesta:
12. Determine la dimension del subespacio que generan lasmatrices:{[
2 20 0
],
[−1 1
1 0
],
[−4 0
2 0
],
[3 1−1 0
]}Respuesta:
13. En la actualidad hay tres planes de inversion A, B y Cdisponibles para los empleados de una empresa. Un em-pleado solo puede usar un plan a la vez y puede cambiar alfinal de ano si ası lo desea. La probabilidad de que alguienque esta en el plan A quede en el mismo plan es 80 %, deque elija el plan B es de 5 % y de que elija el plan C es de15 %. La probabilidad de que alguien que esta en el planB quede en el mismo plan es 45 %, de que elija el plan Aes de 40 % y de que elija el plan C es de 15 %. La proba-bilidad de que alguien que esta en el plan C quede en el
mismo plan es 30 %, de que elija el plan A es de 50 % y deque elija el plan B es de 20 %. Reporte en orden crecien-te los valores propios de la matriz de transicion. Ademas,expresando los porcentajes como un numero entre 0 y 1,indique en orden cual es la distribucion de los empleadosen los planes A y B.
Respuesta:
14. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = 5x− 14 y + 8 z
y′ = 7x− 19 y + 11 z
z′ = 13x− 32 y + 18 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = −2, y(0) = 2, z(0) = −2
Como respuesta determine x(t = 1), y(t = 1) y z(t = 1)
Respuesta:
15. Indique si la matriz
A =[
1 30 1
]es una combinacion lineal de las matrices:
A1 =[
2 44 −3
]
A2 =[−4 −8−8 6
]y
A3 =[
1 23 1
]A Falso
B Cierto
4
Algebra LinealExamen Final (Agosto - Diciembre 2007)
Maestro Eduardo Uresti
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:22
1. Sean A una matriz m × n y b1 y b2 dos vectores dife-rentes de Rn. Indique validez a cada una de las siguientesafirmaciones:
a) Si m = n, entonces Ax = b1 tiene infinitas solucio-nes si tiene solucion.
b) Si m = n y si Ax = b1 tiene solucion unica, entoncesAx = 0 tiene solucion unica.
c) Si m = n y Ax = b1 es inconsistente, entoncesAx = 0 tiene solucion unica.
d) Si Ax = b1 tiene solucion unica y Ax = b2 tienesolucion, entonces Ax = b2 tambien tiene solucionunica.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Falso
3) Cierto
Respuesta:
2. Si:
A =[−2 1−3 1
]B =
[−3 −4
1 1
]C =
[3 0−1 0
]D =
[−4 1−1 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (XB)−1 − 2C = D
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
3. En la actualidad hay tres planes de inversion A, B y Cdisponibles para los empleados de una empresa. Un em-pleado solo puede usar un plan a la vez y puede cambiar alfinal de ano si ası lo desea. La probabilidad de que alguienque esta en el plan A quede en el mismo plan es 85 %, deque elija el plan B es de 5 % y de que elija el plan C es de10 %. La probabilidad de que alguien que esta en el planB quede en el mismo plan es 55 %, de que elija el plan Aes de 35 % y de que elija el plan C es de 10 %. La proba-bilidad de que alguien que esta en el plan C quede en el
mismo plan es 30 %, de que elija el plan A es de 60 % y deque elija el plan B es de 10 %. Reporte en orden crecien-te los valores propios de la matriz de transicion. Ademas,expresando los porcentajes como un numero entre 0 y 1,indique en orden cual es la distribucion de los empleadosen los planes A y B.
Respuesta:
4. Si A es una matriz 3× 3 tal que
C31 = −26, M12 = 0C33 = 11, M32 = −9M13 = 6, M11 = −6C23 = −19, M21 = −40
ya31 = 3, a12 = 3a33 = 3, a32 = 7a13 = 7, a11 = 4a23 = 3, a21 = 3
Determine |A|.
Respuesta:
5. Determine la dimension del subespacio que generan lasmatrices:{[
5 62 −3
],
[4 61 0
],
[1 20 1
],
[2 21 −2
]}
Respuesta:
6. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
−x+ 2 y − 3 z = 8
−2x+ 4 y − 3 z = 7
2x− 4 y + 8 z = −22
−2x+ 4 y − 3 z = 7
se puede decir que:
1 Tiene infinitas soluciones y la formula general paraellas es x
y
z
=
2
00
+y
3
10
+z
4
01
2
2 El sistema es inconsistente y tiene infinitas solucionesde mınimos cuadrados y la formula general para ellases x
y
z
=
2
0
2
+ y
4
10
3 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
0
3
+ y
4
10
4 Tiene solucion unica y es x = 2, y = 3 y
z = 4.
5 El sistema es inconsistente y tiene como solucion uni-ca de mınimos cuadrados a x = 2, y = 3 yz = 4.
Indique su seleccion y reporte los numeros que completanla respuesta.
Respuesta:
7. Una poblacion de conejos en una gran isla se estimo desde1981 hasta 1984 y se obtuvieron los datos:
ano N
1981 30001982 45201983 80401984 16940
Se espera que los datos se ajusten a una funcion exponen-cial
N(t) = No ek (t−1981)
Use el metodo de mınimos cuadrados para hacer este ajus-te. Usando esto determine la poblacion en 1985.Hint: Tome logaritmos para convertir el ajuste al ajustede una lınea recta.
Respuesta:
8. Indique si el polinomio
p = −8− 4x+ 6x2 − x3
es una combinacion lineal de los polinomios:
p1 = 4 + 2x− 3x2 + 2x3
p2 = 8 + 4x− 6x2 + 4x3
yp3 = −3x3
A Falso
B Cierto
9. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia deCalor es determinar la temperatura en estado estable deuna placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTa
sTb
sTb s
Tc
sTd
sTd
sTe
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodosinteriores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-madamente igual al promedio de las temperaturas de loscuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, ya la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 16o, Tb = 29o, Tc = 22o
Td = 14o, Te = 12o, Tf = 33o
Reporte solo el valor de T4.
Respuesta:
10. Los vectores
1.
023
2.
3−12−12
3.
1−3−2
4.
−264
5.
1−4−4
son vectores propios de la matriz
A =
−22 −15 10132 79 −48148 84 −49
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
MA843, Examen Final (Agosto - Diciembre 2007), Tipo: 22 3
11. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −5x− 11 y + 7 z
y′ = −6x− 14 y + 9 z
z′ = −12x− 34 y + 21 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = 2, y(0) = 1, z(0) = 2
Como respuesta determine x(t = 1), y(t = 1) y z(t = 1)
Respuesta:
12. Encuentre la ecuacion de la recta y = mx+b.que se ajustamejor, en el sentido de mınimos cuadrados, a los datos dela siguiente tabla:
x y
40 48145 46750 45055 43160 421
Hint: Forme el sistema para m y b sustituyendo los pun-tos en el modelo, por ejemplo al sustituir el primer puntoqueda la ecuacion :
40m+ b = 481
Reporte en orden los valores de m y b.
Respuesta:
13. Si:
A =
1 0 0 1 −1 1 10 −1 1 1 −1 −1 10 0 −1 0 1 1 −10 0 0 −1 0 0 00 0 0 0 1 1 00 0 0 0 0 −1 10 0 0 0 0 0 −1
y
B =
1 0 0 0 0 0 0−1 1 0 0 0 0 0−1 −1 1 0 0 0 0
0 1 −1 1 0 0 0−1 0 −1 1 −1 0 0
0 0 1 0 0 1 01 −1 −1 1 0 1 −1
Calcule los determinantes de:
a)(A−1
)Tb) BA
c) A1, si A1 se obtiene de A mediante la operacionR5 ← 6R5
d) A2, si A2 se obtiene de A mediante la operacionR5 ← R5 + 6R7
e) A3, si A3 se obtiene de A mediante la operacionR5 ↔ R7
Respuesta:
14. Para que valor de c la matriz siguiente no es diagonaliza-ble:
A =
4 −6 13 + 3 c0 −2 9 + 4 c0 0 c
Respuesta:
15. Indique cuales opciones contienen un vector en el nucleode la transformacion de R3 en R3 definida como
T
x
y
z
=
−5x+ 2 y + 2 z9x− 3 y − 6 z
x− y + 2 z
dentro de las opciones:
1.
1
2
3
2.
10
20
5
3.
−9
2
−7
4.
2
4
1
5.
0
0
0
6.
−3
−1
−4
Respuesta:
4
Algebra LinealExamen Final (Agosto - Diciembre 2007)
Maestro Eduardo Uresti
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:23
1. Si:
A =[
2 1−3 −1
]B =
[3 1−4 −1
]C =
[1 −21 3
]D =
[−5 5−6 −5
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (XB)−1 − 2C = D
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
2. Si A es una matriz 3× 3 tal que
M32 = −8, C23 = −2M22 = −6, C33 = −16C21 = 13, M13 = 22M31 = 20, C12 = 10
ya32 = 4, a23 = 8a22 = 1, a33 = 1a21 = 6, a13 = 4a31 = 2, a12 = 3
Determine |A|.
Respuesta:
3. Indique si la matriz
A =[−9 −4
3 7
]es una combinacion lineal de las matrices:
A1 =[
0 30 2
]
A2 =[
3 −13 −3
]y
A3 =[
1 1−3 −1
]A Cierto
B Falso
4. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
2x+ 4 y + 6 z = 24
−x− 2 y − 4 z = −15
2x+ 4 y + 4 z = 18
3x+ 6 y + 11 z = 42
se puede decir que:
1 Tiene infinitas soluciones y la formula general paraellas es x
y
z
=
2
00
+y
3
10
+z
4
01
2 El sistema es inconsistente y tiene como solucion uni-
ca de mınimos cuadrados a x = 2, y = 3 yz = 4.
3 Tiene solucion unica y es x = 2, y = 3 yz = 4.
4 El sistema es inconsistente y tiene infinitas solucionesde mınimos cuadrados y la formula general para ellases x
y
z
=
2
0
2
+ y
4
10
5 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
0
3
+ y
4
10
Indique su seleccion y reporte los numeros que completanla respuesta.
Respuesta:
5. Una poblacion de conejos en una gran isla se estimo desde1981 hasta 1984 y se obtuvieron los datos:
ano N
1981 30801982 44401983 80201984 16920
2
Se espera que los datos se ajusten a una funcion exponen-cial
N(t) = No ek (t−1981)
Use el metodo de mınimos cuadrados para hacer este ajus-te. Usando esto determine la poblacion en 1985.Hint: Tome logaritmos para convertir el ajuste al ajustede una lınea recta.
Respuesta:
6. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = 3x− 7 y + 5 z
y′ = 4x− 14 y + 11 z
z′ = 8x− 20 y + 15 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = −1, y(0) = −2, z(0) = −2
Como respuesta determine x(t = 1), y(t = 1) y z(t = 1)
Respuesta:
7. Determine la dimension del subespacio que generan lasmatrices:{[
0 −10 −1
],
[2 −12 2
],
[1 10 −2
],
[0 22 1
]}
Respuesta:
8. Para que valor de c la matriz siguiente no es diagonaliza-ble:
A =
−1 −8 31 + c
0 3 −11 + 4 c0 0 c
Respuesta:
9. En la actualidad hay tres planes de inversion A, B y Cdisponibles para los empleados de una empresa. Un em-pleado solo puede usar un plan a la vez y puede cambiar alfinal de ano si ası lo desea. La probabilidad de que alguienque esta en el plan A quede en el mismo plan es 85 %, deque elija el plan B es de 5 % y de que elija el plan C es de10 %. La probabilidad de que alguien que esta en el planB quede en el mismo plan es 50 %, de que elija el plan Aes de 35 % y de que elija el plan C es de 15 %. La proba-bilidad de que alguien que esta en el plan C quede en elmismo plan es 25 %, de que elija el plan A es de 55 % y deque elija el plan B es de 20 %. Reporte en orden crecien-te los valores propios de la matriz de transicion. Ademas,expresando los porcentajes como un numero entre 0 y 1,indique en orden cual es la distribucion de los empleadosen los planes A y B.
Respuesta:
10. Indique cuales opciones no contienen un vector en la ima-gen de la transformacion de R3 en R3 definida como
T
x
y
z
=
3x+ 8 y − 6 z−3x+ 4 z
−3x− 4 y + 5 z
dentro de las opciones:
1.
8
0
−4
2.
−2
−5
4
3.
3
−3
−3
4.
0
0
0
5.
−38
6
22
Respuesta:
11. Si:
A =
−1 −1 0 −1 0 1 10 −1 1 0 1 −1 10 0 −1 −1 1 1 10 0 0 −1 −1 −1 00 0 0 0 −1 −1 −10 0 0 0 0 1 −10 0 0 0 0 0 −1
y
B =
1 0 0 0 0 0 01 −1 0 0 0 0 00 0 −1 0 0 0 0−1 0 −1 1 0 0 0
0 −1 1 1 1 0 00 1 1 1 0 −1 0−1 1 0 1 0 1 1
Calcule los determinantes de:
a) A−1
b) BTAB
c) A1, si A1 se obtiene de A mediante la operacionR6 ↔ R3
d) A2, si A2 se obtiene de A mediante la operacionR6 ← 4R6
e) A3, si A3 se obtiene de A mediante la operacionR6 ← R6 + 4R3
Respuesta:
12. Encuentre la ecuacion de la recta y = mx+b.que se ajustamejor, en el sentido de mınimos cuadrados, a los datos dela siguiente tabla:
MA843, Examen Final (Agosto - Diciembre 2007), Tipo: 23 3
x y
40 48245 46550 45155 43560 419
Hint: Forme el sistema para m y b sustituyendo los pun-tos en el modelo, por ejemplo al sustituir el primer puntoqueda la ecuacion :
40m+ b = 482
Reporte en orden los valores de m y b.
Respuesta:
13. Sean A una matriz m × n y b1 y b2 dos vectores dife-rentes de Rn. Indique validez a cada una de las siguientesafirmaciones:
a) Si m = n, entonces Ax = b1 tiene infinitas solucio-nes.
b) Si m < n, entonces Ax = b1 tiene infinitas solucio-nes si tiene solucion.
c) Si m = n y Ax = b1 es inconsistente, entoncesAx = 0 tiene solucion unica.
d) Si m = n y si Ax = b1 tiene infinitas soluciones,entonces Ax = 0 tiene solucion unica.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) Cierto
3) No se sabe
Respuesta:
14. Cuales opciones contienen vectores propios a la matriz
A =
−8 −18 −129 29 22−9 −23 −16
de la lista de vectores:
1.
9−15
12
2.
−12−2
3.
3−4
4
4.
1−1
1
5.
4−6
5
6.
6−9
9
Respuesta:
15. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia deCalor es determinar la temperatura en estado estable deuna placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTa
sTb
sTc
sTd
sTe
sTf
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodosinteriores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-madamente igual al promedio de las temperaturas de loscuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, ya la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + Tb + Td + T2) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 21o, Tb = 35o, Tc = 27o
Td = 38o, Te = 20o, Tf = 32o
Reporte solo el valor de T4.
Respuesta:
4
Algebra LinealExamen Final (Agosto - Diciembre 2007)
Maestro Eduardo Uresti
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:24
1. En la actualidad hay tres planes de inversion A, B y Cdisponibles para los empleados de una empresa. Un em-pleado solo puede usar un plan a la vez y puede cambiar alfinal de ano si ası lo desea. La probabilidad de que alguienque esta en el plan A quede en el mismo plan es 85 %, deque elija el plan B es de 10 % y de que elija el plan C esde 5 %. La probabilidad de que alguien que esta en el planB quede en el mismo plan es 55 %, de que elija el plan Aes de 40 % y de que elija el plan C es de 5 %. La proba-bilidad de que alguien que esta en el plan C quede en elmismo plan es 30 %, de que elija el plan A es de 60 % y deque elija el plan B es de 10 %. Reporte en orden crecien-te los valores propios de la matriz de transicion. Ademas,expresando los porcentajes como un numero entre 0 y 1,indique en orden cual es la distribucion de los empleadosen los planes A y B.
Respuesta:
2. Si A es una matriz 3× 3 tal que
M11 = −16, M21 = −13C33 = 8, M12 = −60M13 = −26, M22 = −48C23 = 20, M31 = 4
ya11 = 4, a21 = 2a33 = 2, a12 = 4a13 = 7, a22 = 4a23 = 8, a31 = 8
Determine |A|.Respuesta:
3. Determine la dimension del subespacio que generan lasmatrices:{[
2 −2−2 0
],
[−4 4
4 0
],
[2 −2−2 0
],
[−2 2
2 0
]}Respuesta:
4. Indique si el polinomio
p = −8− 11x− 3x2 + 15x3
es una combinacion lineal de los polinomios:
p1 = −2− x− 3x2 + 3x3
p2 = x− 3x2 − 3x3
yp3 = −2− 3x− 3x2
A Cierto
B Falso
5. Si:
A =
−1 1 0 1 −1 0 10 −1 1 1 0 1 00 0 1 −1 0 0 10 0 0 −1 −1 −1 −10 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 1 10 0 0 0 0 0 1
y
B =
−1 0 0 0 0 0 0−1 −1 0 0 0 0 0
0 1 1 0 0 0 0−1 −1 0 −1 0 0 0−1 −1 1 −1 −1 0 0
1 0 −1 0 −1 1 01 1 1 1 −1 −1 −1
Calcule los determinantes de:
a) AT
b) BTAB
c) A1, si A1 se obtiene de A mediante la operacionR6 ↔ R1
d) A2, si A2 se obtiene de A mediante la operacionR6 ← 2R6
e) A3, si A3 se obtiene de A mediante la operacionR6 ← R6 + 2R1
Respuesta:
6. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = 8x− 13 y + 17 z
y′ = 20x− 31 y + 40 z
z′ = 16x− 22 y + 27 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = −2, y(0) = −1, z(0) = 2
Como respuesta determine x(t = 1), y(t = 1) y z(t = 1)
Respuesta:
2
7. Encuentre la ecuacion de la recta y = mx+b.que se ajustamejor, en el sentido de mınimos cuadrados, a los datos dela siguiente tabla:
x y
40 48145 46750 45155 43460 421
Hint: Forme el sistema para m y b sustituyendo los pun-tos en el modelo, por ejemplo al sustituir el primer puntoqueda la ecuacion :
40m+ b = 481
Reporte en orden los valores de m y b.
Respuesta:
8. Cuales opciones no contienen vectores propios a la matriz
A =
−1 2 −1−39 18 1
90 −30 −10
de la lista de vectores:
1.
−3−7−5
2.
0−1
3
3.
123
4.
−2−5−2
5.
245
6.
−1−3
0
Respuesta:
9. Sean A una matriz m × n y b1 y b2 dos vectores dife-rentes de Rn. Indique validez a cada una de las siguientesafirmaciones:
a) Si m = n, entonces Ax = b1 tiene infinitas solucio-nes si tiene solucion.
b) Si m = n y Ax = b1 es inconsistente, entoncesAx = 0 tiene solucion unica.
c) Si Ax = b1 tiene infinitas soluciones y Ax = b2 tie-ne solucion, entonces Ax = b2 tambien tiene infini-tas soluciones.
d) Si m = n y si Ax = b1 tiene solucion unica, entoncesAx = 0 tiene infinitas soluciones.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Cierto
3) Falso
Respuesta:
10. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia deCalor es determinar la temperatura en estado estable deuna placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTb
sTc
sTc
sTcs
Td
sTd
sTd
sTe
sTf
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodosinteriores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-madamente igual al promedio de las temperaturas de loscuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, ya la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + Td + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 28o, Tb = 33o, Tc = 26o
Td = 24o, Te = 29o, Tf = 22o
Reporte solo el valor de T5.
Respuesta:
11. Para que valor de c la matriz siguiente no es diagonaliza-ble:
A =
1 5 −13 + 4 c0 6 −11 + 2 c0 0 c
Respuesta:
12. Indique cuales opciones contienen un vector en el nucleode la transformacion de R3 en R3 definida como
T
x
y
z
=
−x+ 3 y + 2 zx+ y
4x− 2 z
MA843, Examen Final (Agosto - Diciembre 2007), Tipo: 24 3
dentro de las opciones:
1.
−14
−13
0
2.
1
−1
2
3.
−4
−4
0
4.
2
−2
4
5.
0
0
0
6.
−2
−3
0
Respuesta:
13. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
2x+ 4 y − 2 z = −2
−2x− 4 y + 2 z = 2
−2x− 4 y + 2 z = 2
−x− 2 y + z = 1
se puede decir que:
1 Tiene infinitas soluciones y la formula general paraellas es x
y
z
=
2
3
0
+ y
4
5
1
2 El sistema es inconsistente y tiene como solucion uni-
ca de mınimos cuadrados a x = 2, y = 3 yz = 4.
3 El sistema es inconsistente y tiene infinitas solucionesde mınimos cuadrados y la formula general para ellases x
y
z
=
2
0
3
+ y
4
10
4 Tiene solucion unica y es x = 2, y = 3 y
z = 4.
5 Tiene infinitas soluciones y la formula general paraellas es x
y
z
=
2
00
+y
3
10
+z
4
01
Indique su seleccion y reporte los numeros que completanla respuesta.
Respuesta:
14. Una poblacion de conejos en una gran isla se estimo desde1981 hasta 1984 y se obtuvieron los datos:
ano N
1981 30601982 45201983 79801984 17060
Se espera que los datos se ajusten a una funcion exponen-cial
N(t) = No ek (t−1981)
Use el metodo de mınimos cuadrados para hacer este ajus-te. Usando esto determine la poblacion en 1985.Hint: Tome logaritmos para convertir el ajuste al ajustede una lınea recta.
Respuesta:
15. Si:
A =[
3 −41 −1
]B =
[4 −3−1 1
]C =
[3 −41 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:((
AXT)TB)T
= C
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
4
Algebra LinealExamen Final (Agosto - Diciembre 2007)
Maestro Eduardo Uresti
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:25
1. Para que valor de c la matriz siguiente no es diagonaliza-ble:
A =
−3 −4 7− c0 −1 4 + 3 c0 0 c
Respuesta:
2. El valor λ = −2 es un valor propio de la matriz
A =
−2 0 0−15 1 1
19 −4 −3
Indique, en orden, su dimension algebraica y su dimensiongeometrica.
Respuesta:
3. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
4x+ y + 4 z = 2
5x+ 5 y + 2 z = 2
4x+ 2 y + 2 z = 1
2x+ 5 y + 4 z = 4
se puede decir que:
1 El sistema es inconsistente y tiene infinitas solucionesde mınimos cuadrados y la formula general para ellases x
y
z
=
2
0
3
+ y
4
10
2 Tiene solucion unica y es x = 2, y = 3 y
z = 4.
3 El sistema es inconsistente y tiene como solucion uni-ca de mınimos cuadrados a x = 2, y = 3 yz = 4.
4 Tiene infinitas soluciones y la formula general paraellas es x
y
z
=
2
00
+y
3
10
+z
4
01
5 Tiene infinitas soluciones y la formula general paraellas es x
y
z
=
2
3
0
+ y
4
5
1
Indique su seleccion y reporte los numeros que completanla respuesta.
Respuesta:
4. Sean a1, a2, a3, 0, y b vectores de Rn. Indique validez acada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2,a3|b] tiene solucion unica, entonces{a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
b) Si [a1,a2,a3|0] tiene infinitas soluciones, entonces{a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
c) Si existen c1 y c2 tales que c1a1 + c2a2 + a3 = 0,entonces {a1,a2,a3} es linealmente independiente.
d) Si [a1,a2|0] tiene infinitas soluciones, entonces{a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) Falso
3) No se sabe
Respuesta:
5. Una poblacion de conejos en una gran isla se estimo desde1981 hasta 1984 y se obtuvieron los datos:
ano N
1981 30401982 44801983 79401984 17080
Se espera que los datos se ajusten a una funcion exponen-cial
N(t) = No ek (t−1981)
Use el metodo de mınimos cuadrados para hacer este ajus-te. Usando esto determine la poblacion en 1985.Hint: Tome logaritmos para convertir el ajuste al ajustede una lınea recta.
Respuesta:
2
6. Si:
A =
−1 −1 0 1 0 −1 10 −1 0 0 1 −1 10 0 1 −1 −1 0 00 0 0 1 1 1 00 0 0 0 1 −1 10 0 0 0 0 −1 −10 0 0 0 0 0 −1
y
B =
−1 0 0 0 0 0 01 1 0 0 0 0 01 0 −1 0 0 0 01 −1 −1 −1 0 0 01 −1 0 1 −1 0 01 −1 −1 1 1 −1 0−1 0 1 0 0 1 1
Calcule los determinantes de:
a)(A−1
)Tb) BA
c) A1, si A1 se obtiene de A mediante la operacionR2 ↔ R5
d) A2, si A2 se obtiene de A mediante la operacionR2 ← 2R2
e) A3, si A3 se obtiene de A mediante la operacionR2 ← R2 + 2R5
Respuesta:
7. Determine la dimension para el subespacio de R3 formadopor las soluciones al sistema:
3x+ y + 4 z = 0
x+ 5 y + 5 z = 0
−11x+ y − 11 z = 0
Respuesta:
8. Indique si el polinomio
p = 6− 6x+ 4x2 − 4x3
es una combinacion lineal de los polinomios:
p1 = x3
p2 = −3 + 2x− 3x2 − x3
yp3 = 2x+ 2x2 + 4x3
A Falso
B Cierto
9. Si A es una matriz 3× 3 tal que
C13 = 2, M23 = −2M21 = −10, M33 = −4M11 = 0, C31 = −10C12 = −2, C22 = −22
ya13 = 7, a23 = 2a21 = 5, a33 = 2a11 = 3, a31 = 4a12 = 2, a22 = 2
Determine |A|.Respuesta:
10. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = 5x− 14 y + 8 z
y′ = 8x− 21 y + 12 z
z′ = 14x− 34 y + 19 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = −1, y(0) = −2, z(0) = 1
Como respuesta determine x(t = 1), y(t = 1) y z(t = 1)
Respuesta:
11. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia deCalor es determinar la temperatura en estado estable deuna placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTa
sTb
sTb s
Tc
sTd
sTd
sTe
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodosinteriores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-madamente igual al promedio de las temperaturas de loscuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, ya la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 11o, Tb = 22o, Tc = 10o
Td = 22o, Te = 32o, Tf = 39o
Reporte solo el valor de T5.
Respuesta:
12. Encuentre la ecuacion de la recta y = mx+b.que se ajustamejor, en el sentido de mınimos cuadrados, a los datos dela siguiente tabla:
MA843, Examen Final (Agosto - Diciembre 2007), Tipo: 25 3
x y
40 48445 46850 45255 43360 423
Hint: Forme el sistema para m y b sustituyendo los pun-tos en el modelo, por ejemplo al sustituir el primer puntoqueda la ecuacion :
40m+ b = 484
Reporte en orden los valores de m y b.
Respuesta:
13. En la actualidad hay tres planes de inversion A, B y Cdisponibles para los empleados de una empresa. Un em-pleado solo puede usar un plan a la vez y puede cambiar alfinal de ano si ası lo desea. La probabilidad de que alguienque esta en el plan A quede en el mismo plan es 80 %, deque elija el plan B es de 10 % y de que elija el plan C es de10 %. La probabilidad de que alguien que esta en el planB quede en el mismo plan es 60 %, de que elija el plan Aes de 20 % y de que elija el plan C es de 20 %. La proba-bilidad de que alguien que esta en el plan C quede en elmismo plan es 20 %, de que elija el plan A es de 65 % y deque elija el plan B es de 15 %. Reporte en orden crecien-te los valores propios de la matriz de transicion. Ademas,expresando los porcentajes como un numero entre 0 y 1,indique en orden cual es la distribucion de los empleadosen los planes A y B.
Respuesta:
14. Si:
A =[−2 −3
1 1
]B =
[4 −3−1 1
]C =
[3 1−4 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:(
(AX)TB)C −B = 0
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
15. Indique cuales opciones no contienen un vector en la ima-gen de la transformacion de R3 en R3 definida como
T
x
y
z
=
5x− y − 3 z3x− 4 y − z
13x− 6 y − 7 z
dentro de las opciones:
1.
−16
−13
−45
2.
−1
−4
−6
3.
0
0
0
4.
5
3
13
5.
−5
−3
−1
Respuesta:
4
Algebra LinealExamen Final (Agosto - Diciembre 2007)
Maestro Eduardo Uresti
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:26
1. Si:
A =
1 0 −1 0 0 0 10 −1 −1 −1 1 0 −10 0 1 1 1 −1 00 0 0 −1 −1 −1 10 0 0 0 1 1 −10 0 0 0 0 −1 10 0 0 0 0 0 1
y
B =
1 0 0 0 0 0 0−1 1 0 0 0 0 0−1 0 −1 0 0 0 0
0 −1 1 −1 0 0 00 1 1 1 −1 0 0−1 1 1 1 −1 1 0
1 −1 0 0 −1 0 1
Calcule los determinantes de:
a)(A−1
)Tb) AB
c) A1, si A1 se obtiene de A mediante la operacionR4 ↔ R5
d) A2, si A2 se obtiene de A mediante la operacionR4 ← R4 + 4R5
e) A3, si A3 se obtiene de A mediante la operacionR4 ← 4R4
Respuesta:
2. Encuentre la ecuacion de la recta y = mx+b.que se ajustamejor, en el sentido de mınimos cuadrados, a los datos dela siguiente tabla:
x y
40 48145 46850 45455 43160 422
Hint: Forme el sistema para m y b sustituyendo los pun-tos en el modelo, por ejemplo al sustituir el primer puntoqueda la ecuacion :
40m+ b = 481
Reporte en orden los valores de m y b.
Respuesta:
3. Indique cuales opciones no contienen un vector en el nucleode la transformacion de R3 en R3 definida como
T
x
y
z
=
−2x− 4 y − 4 z−3x+ y
4x+ 22 y + 20 z
dentro de las opciones:
1.
−2
−6
7
2.
5
−10
15
3.
0
0
0
4.
4
12
−14
5.
3
0
3
6.
2
5
−3
Respuesta:
4. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia deCalor es determinar la temperatura en estado estable deuna placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTb
sTc
sTd
sTe
sTf
sTf
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodosinteriores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-madamente igual al promedio de las temperaturas de loscuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, ya la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 28o, Tb = 19o, Tc = 12o
Td = 12o, Te = 39o, Tf = 19o
Reporte solo el valor de T4.
Respuesta:
2
5. En la actualidad hay tres planes de inversion A, B y Cdisponibles para los empleados de una empresa. Un em-pleado solo puede usar un plan a la vez y puede cambiar alfinal de ano si ası lo desea. La probabilidad de que alguienque esta en el plan A quede en el mismo plan es 75 %, deque elija el plan B es de 5 % y de que elija el plan C es de20 %. La probabilidad de que alguien que esta en el planB quede en el mismo plan es 55 %, de que elija el plan Aes de 25 % y de que elija el plan C es de 20 %. La proba-bilidad de que alguien que esta en el plan C quede en elmismo plan es 20 %, de que elija el plan A es de 45 % y deque elija el plan B es de 35 %. Reporte en orden crecien-te los valores propios de la matriz de transicion. Ademas,expresando los porcentajes como un numero entre 0 y 1,indique en orden cual es la distribucion de los empleadosen los planes A y B.
Respuesta:
6. Si A es una matriz 3× 3 tal que
C33 = 2, M31 = −29C13 = −40, C21 = −37M32 = −19, M22 = −13M12 = 20, C11 = 40
ya33 = 7, a31 = 8a13 = 6, a21 = 4a32 = 2, a22 = 6a12 = 7, a11 = 5
Determine |A|.Respuesta:
7. Determine la dimension del subespacio:
Gen
5−4−4
4
,−5
44−4
,
20−16−16
16
,
15−12−12
12
Respuesta:
8. Sean A una matriz m × n y b1 y b2 dos vectores dife-rentes de Rn. Indique validez a cada una de las siguientesafirmaciones:
a) Si m = n y si Ax = b1 tiene solucion unica, entoncesAx = 0 tiene infinitas soluciones.
b) Si m > n, entonces Ax = b1 tiene solucion unica sitiene solucion.
c) Si Ax = b1 tiene infinitas soluciones, entoncesAx = b2 tiene infinitas soluciones.
d) Si m = n y Ax = b1 es inconsistente, entoncesAx = 0 tiene solucion unica.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) No se sabe
3) Falso
Respuesta:
9. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
5x+ 5 y + 15 z = 1
3x+ 5 y + 13 z = 1
x+ y + 3 z = 3
2x+ 2 y + 6 z = 5
se puede decir que:
1 El sistema es inconsistente y tiene infinitas solucionesde mınimos cuadrados y la formula general para ellases x
y
z
=
2
3
0
+ z
4
5
1
2 Tiene solucion unica y es x = 2, y = 3 y
z = 4.
3 Tiene infinitas soluciones y la formula general paraellas es x
y
z
=
2
00
+y
3
10
+z
4
01
4 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
3
0
+ y
4
5
1
5 El sistema es inconsistente y tiene como solucion uni-
ca de mınimos cuadrados a x = 2, y = 3 yz = 4.
Indique su seleccion y reporte los numeros que completanla respuesta.
Respuesta:
10. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = 8x− 21 y + 12 z
y′ = 8x− 23 y + 14 z
z′ = 12x− 33 y + 20 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = 2, y(0) = 2, z(0) = −1
Como respuesta determine x(t = 1), y(t = 1) y z(t = 1)
Respuesta:
MA843, Examen Final (Agosto - Diciembre 2007), Tipo: 26 3
11. Indique si el polinomio
p = −14− 4x− 11x2 − 2x3
es una combinacion lineal de los polinomios:
p1 = −3− 3x− x2
p2 = −1 + 4x− 2x2 − x3
yp3 = 3 + 3x+ 4x2
A Falso
B Cierto
12. Para que valor de c la matriz siguiente no es diagonaliza-ble:
A =
−2 −15 65 + 4 c0 3 −11 + 4 c0 0 c
Respuesta:
13. Si:
A =[
2 1−3 −1
]B =
[4 −3−1 1
]C =
[1 −2−1 2
]D =
[2 3−1 −3
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (X B)T − 2C = D
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
14. El valor λ = −1 es un valor propio de la matriz
A =
−3 0 0−6 1 1
4 −4 −3
Indique, en orden, su dimension algebraica y su dimensiongeometrica.
Respuesta:
15. Una poblacion de conejos en una gran isla se estimo desde1981 hasta 1984 y se obtuvieron los datos:
ano N
1981 30001982 45201983 79201984 17040
Se espera que los datos se ajusten a una funcion exponen-cial
N(t) = No ek (t−1981)
Use el metodo de mınimos cuadrados para hacer este ajus-te. Usando esto determine la poblacion en 1985.Hint: Tome logaritmos para convertir el ajuste al ajustede una lınea recta.
Respuesta:
4
Algebra LinealExamen Final (Agosto - Diciembre 2007)
Maestro Eduardo Uresti
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:27
1. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
−2x+ 6 y − 4 z = −6
3x− 9 y + 6 z = 9
−x+ 3 y − 2 z = −3
3x− 9 y + 6 z = 9
se puede decir que:
1 Tiene solucion unica y es x = 2, y = 3 yz = 4.
2 El sistema es inconsistente y tiene infinitas solucionesde mınimos cuadrados y la formula general para ellases x
y
z
=
2
0
3
+ y
4
10
3 El sistema es inconsistente y tiene como solucion uni-
ca de mınimos cuadrados a x = 2, y = 3 yz = 4.
4 Tiene infinitas soluciones y la formula general paraellas es x
y
z
=
2
00
+y
3
10
+z
4
01
5 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
3
0
+ y
4
5
1
Indique su seleccion y reporte los numeros que completanla respuesta.
Respuesta:
2. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −8x− 11 y + 14 z
y′ = −18x− 25 y + 32 z
z′ = −18x− 28 y + 35 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = −1, y(0) = 2, z(0) = 2
Como respuesta determine x(t = 1), y(t = 1) y z(t = 1)
Respuesta:
3. Encuentre la ecuacion de la recta y = mx+b.que se ajustamejor, en el sentido de mınimos cuadrados, a los datos dela siguiente tabla:
x y
40 48145 46950 45355 43560 420
Hint: Forme el sistema para m y b sustituyendo los pun-tos en el modelo, por ejemplo al sustituir el primer puntoqueda la ecuacion :
40m+ b = 481
Reporte en orden los valores de m y b.
Respuesta:
4. Indique cuales opciones no contienen un vector en el nucleode la transformacion de R3 en R3 definida como
T
x
y
z
=
−3 y − 4 z2x− 13 y − 22 z
2x+ 2 y − 2 z
dentro de las opciones:
1.
0
0
0
2.
−3
−4
4
3.
−17
−21
6
4.
7
−4
3
5.
14
−8
6
6.
4
5
−2
Respuesta:
5. Una poblacion de conejos en una gran isla se estimo desde1981 hasta 1984 y se obtuvieron los datos:
2
ano N
1981 30401982 45801983 79601984 16980
Se espera que los datos se ajusten a una funcion exponen-cial
N(t) = No ek (t−1981)
Use el metodo de mınimos cuadrados para hacer este ajus-te. Usando esto determine la poblacion en 1985.Hint: Tome logaritmos para convertir el ajuste al ajustede una lınea recta.
Respuesta:
6. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia deCalor es determinar la temperatura en estado estable deuna placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTa
sTb
sTb s
Tc
sTd
sTd
sTe
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodosinteriores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-madamente igual al promedio de las temperaturas de loscuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, ya la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 30o, Tb = 16o, Tc = 34o
Td = 36o, Te = 35o, Tf = 17o
Reporte solo el valor de T1.
Respuesta:
7. Determine la dimension del subespacio que generan lasmatrices:{[
2 1−1 2
],
[2 01 −1
],
[−1 −2
1 −2
],
[1 12 1
]}
Respuesta:
8. Si:
A =
1 1 −1 0 1 0 10 1 0 1 1 −1 10 0 −1 1 0 −1 00 0 0 1 −1 0 −10 0 0 0 1 1 −10 0 0 0 0 −1 10 0 0 0 0 0 −1
y
B =
1 0 0 0 0 0 0−1 1 0 0 0 0 0
0 0 −1 0 0 0 0−1 −1 1 −1 0 0 0
0 −1 −1 0 −1 0 0−1 1 0 0 1 1 0
1 0 1 −1 1 −1 1
Calcule los determinantes de:
a)(AT)−1
b) AB
c) A1, si A1 se obtiene de A mediante la operacionR1 ← R1 + 2R3
d) A2, si A2 se obtiene de A mediante la operacionR1 ↔ R3
e) A3, si A3 se obtiene de A mediante la operacionR1 ← 2R1
Respuesta:
9. Si:
A =[
4 −3−1 1
]B =
[2 −31 −1
]C =
[−3 −4
1 1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:(
(AX)TB)T
= C
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
10. Sean A una matriz m × n y b1 y b2 dos vectores dife-rentes de Rn. Indique validez a cada una de las siguientesafirmaciones:
a) Si m > n, entonces Ax = b1 tiene infinitas solucio-nes si tiene solucion.
b) Si m = n y Ax = b1 es inconsistente, entoncesAx = 0 tiene solucion unica.
c) Si Ax = b1 tiene infinitas soluciones, entoncesAx = b2 tiene infinitas soluciones.
MA843, Examen Final (Agosto - Diciembre 2007), Tipo: 27 3
d) Si m = n, entonces Ax = b1 tiene infinitas solucio-nes si tiene solucion.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Cierto
3) Falso
Respuesta:
11. En la actualidad hay tres planes de inversion A, B y Cdisponibles para los empleados de una empresa. Un em-pleado solo puede usar un plan a la vez y puede cambiar alfinal de ano si ası lo desea. La probabilidad de que alguienque esta en el plan A quede en el mismo plan es 85 %, deque elija el plan B es de 5 % y de que elija el plan C es de10 %. La probabilidad de que alguien que esta en el planB quede en el mismo plan es 40 %, de que elija el plan Aes de 45 % y de que elija el plan C es de 15 %. La proba-bilidad de que alguien que esta en el plan C quede en elmismo plan es 35 %, de que elija el plan A es de 40 % y deque elija el plan B es de 25 %. Reporte en orden crecien-te los valores propios de la matriz de transicion. Ademas,expresando los porcentajes como un numero entre 0 y 1,indique en orden cual es la distribucion de los empleadosen los planes A y B.
Respuesta:
12. Si A es una matriz 3× 3 tal que
C21 = −8, M23 = −32M31 = 11, M11 = −4M22 = −48, M32 = −34M33 = −24, M12 = −8
ya21 = 6, a23 = 7a31 = 8, a11 = 2a22 = 3, a32 = 4a33 = 8, a12 = 5
Determine |A|.
Respuesta:
13. Indique si el polinomio
p = 4− x+ 3x2 + 4x3
es una combinacion lineal de los polinomios:
p1 = 3 + 3x− x3
p2 = 3 + 2x+ x2 − 2x3
y
p3 = −3− 5x+ 2x2 − x3
A Falso
B Cierto
14. El valor λ = 3 es un valor propio de la matriz
A =
2 0 011 −1 159 −16 7
Indique, en orden, su dimension algebraica y su dimensiongeometrica.
Respuesta:
15. Para que valor de c la matriz siguiente no es diagonaliza-ble:
A =
1 −10 −21− c0 6 13− 2 c0 0 c
Respuesta:
4
Algebra LinealExamen Final (Agosto - Diciembre 2007)
Maestro Eduardo Uresti
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:28
1. Una poblacion de conejos en una gran isla se estimo desde1981 hasta 1984 y se obtuvieron los datos:
ano N
1981 30601982 45401983 79801984 16940
Se espera que los datos se ajusten a una funcion exponen-cial
N(t) = No ek (t−1981)
Use el metodo de mınimos cuadrados para hacer este ajus-te. Usando esto determine la poblacion en 1985.Hint: Tome logaritmos para convertir el ajuste al ajustede una lınea recta.
Respuesta:
2. Si:
A =
−1 1 0 1 0 0 −10 −1 −1 0 −1 −1 00 0 1 0 −1 −1 10 0 0 −1 0 1 −10 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 1
y
B =
−1 0 0 0 0 0 00 −1 0 0 0 0 0−1 1 1 0 0 0 0
1 0 1 −1 0 0 01 1 1 1 1 0 01 0 1 −1 0 −1 01 −1 0 1 −1 −1 1
Calcule los determinantes de:
a) A−1
b) BTAB−1
c) A1, si A1 se obtiene de A mediante la operacionR4 ↔ R3
d) A2, si A2 se obtiene de A mediante la operacionR4 ← R4 + 5R3
e) A3, si A3 se obtiene de A mediante la operacionR4 ← 5R4
Respuesta:
3. En la actualidad hay tres planes de inversion A, B y Cdisponibles para los empleados de una empresa. Un em-pleado solo puede usar un plan a la vez y puede cambiar alfinal de ano si ası lo desea. La probabilidad de que alguienque esta en el plan A quede en el mismo plan es 85 %, deque elija el plan B es de 10 % y de que elija el plan C esde 5 %. La probabilidad de que alguien que esta en el planB quede en el mismo plan es 60 %, de que elija el plan Aes de 35 % y de que elija el plan C es de 5 %. La proba-bilidad de que alguien que esta en el plan C quede en elmismo plan es 25 %, de que elija el plan A es de 45 % y deque elija el plan B es de 30 %. Reporte en orden crecien-te los valores propios de la matriz de transicion. Ademas,expresando los porcentajes como un numero entre 0 y 1,indique en orden cual es la distribucion de los empleadosen los planes A y B.
Respuesta:
4. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia deCalor es determinar la temperatura en estado estable deuna placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTa
sTb
sTb s
Tc
sTd
sTd
sTe
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodosinteriores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-madamente igual al promedio de las temperaturas de loscuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, ya la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 25o, Tb = 34o, Tc = 17o
Td = 23o, Te = 38o, Tf = 12o
Reporte solo el valor de T4.
Respuesta:
2
5. Indique si la matriz
A =[
10 −12−10 −6
]es una combinacion lineal de las matrices:
A1 =[−3 3
2 1
]
A2 =[
6 −6−4 −2
]y
A3 =[−1 3
4 3
]A Falso
B Cierto
6. Encuentre la ecuacion de la recta y = mx+b.que se ajustamejor, en el sentido de mınimos cuadrados, a los datos dela siguiente tabla:
x y
40 48045 46950 45355 43160 419
Hint: Forme el sistema para m y b sustituyendo los pun-tos en el modelo, por ejemplo al sustituir el primer puntoqueda la ecuacion :
40m+ b = 480
Reporte en orden los valores de m y b.
Respuesta:
7. Determine la dimension del subespacio que generan lasmatrices:{[
2 1−2 −2
],
[2 −50 −2
],
[4 −1−3 −4
],
[2 −2−1 −2
]}Respuesta:
8. Si:
A =[
4 −1−3 1
]B =
[2 −31 −1
]C =
[−1 0
3 3
]D =
[6 1
−13 −10
]
Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (BX)−1 − 3C = D
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
9. Si A es una matriz 3× 3 tal que
M22 = −20, M11 = 44M31 = −32, C12 = −25M21 = 32, C13 = −27C32 = 40, M33 = −24
ya22 = 8, a11 = 4a31 = 6, a12 = 8a21 = 7, a13 = 8a32 = 3, a33 = 7
Determine |A|.Respuesta:
10. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
−x− 2 y − 3 z = 3
3x+ 6 y + 9 z = −9
−x− 2 y − 3 z = 3
−x− 2 y − 3 z = 3
se puede decir que:
1 El sistema es inconsistente y tiene infinitas solucionesde mınimos cuadrados y la formula general para ellases x
y
z
=
2
0
3
+ y
4
10
2 El sistema es inconsistente y tiene como solucion uni-
ca de mınimos cuadrados a x = 2, y = 3 yz = 4.
3 Tiene infinitas soluciones y la formula general paraellas es x
y
z
=
2
00
+y
3
10
+z
4
01
4 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
3
0
+ y
4
5
1
5 Tiene solucion unica y es x = 2, y = 3 y
z = 4.
MA843, Examen Final (Agosto - Diciembre 2007), Tipo: 28 3
Indique su seleccion y reporte los numeros que completanla respuesta.
Respuesta:
11. Para que valor de c la matriz siguiente no es diagonaliza-ble:
A =
−3 −5 8− 2 c0 2 −5 + 3 c0 0 c
Respuesta:
12. Cuales opciones no contienen vectores propios a la matriz
A =
−51 −48 36−92 −85 64−208 −188 143
de la lista de vectores:
1.
237
2.
−18−30−69
3.
−8−13−30
4.
35
11
5.
124
6.
−1−1−3
Respuesta:
13. Sean A una matriz m × n y b1 y b2 dos vectores dife-rentes de Rn. Indique validez a cada una de las siguientesafirmaciones:
a) Si m = n, entonces Ax = b1 tiene solucion unica sitiene solucion.
b) Si m < n, entonces Ax = b1 tiene infinitas solucio-nes.
c) Si m = n y si Ax = b1 tiene infinitas soluciones,entonces Ax = 0 tiene infinitas soluciones.
d) Si Ax = b1 tiene solucion unica y Ax = b2 tienesolucion, entonces Ax = b2 tambien tiene solucionunica.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) Falso
3) No se sabe
Respuesta:
14. Indique cuales opciones contienen un vector en el nucleode la transformacion de R3 en R3 definida como
T
x
y
z
=
−3x− 4 y − 5 z9x+ 24 y + 35 z
3 y + 5 z
dentro de las opciones:
1.
5
−15
9
2.
10
−30
18
3.
0
0
0
4.
4
5
−4
5.
10
18
−18
6.
1
4
−5
Respuesta:
15. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −6x− 16 y + 10 z
y′ = −8x− 22 y + 14 z
z′ = −16x− 52 y + 32 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = −1, y(0) = −1, z(0) = −1
Como respuesta determine x(t = 1), y(t = 1) y z(t = 1)
Respuesta:
4
Algebra LinealExamen Final (Agosto - Diciembre 2007)
Maestro Eduardo Uresti
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:29
1. Sean A una matriz m × n y b1 y b2 dos vectores dife-rentes de Rn. Indique validez a cada una de las siguientesafirmaciones:
a) Si Ax = b1 tiene infinitas soluciones y Ax = b2 tie-ne solucion, entonces Ax = b2 tambien tiene infini-tas soluciones.
b) Si m = n, entonces Ax = b1 tiene infinitas solucio-nes si tiene solucion.
c) Si m = n y si Ax = b1 tiene solucion unica, entoncesAx = 0 tiene solucion unica.
d) Si m < n, entonces Ax = b1 tiene infinitas solucio-nes.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) No se sabe
3) Falso
Respuesta:
2. Si A es una matriz 3× 3 tal que
C33 = 6, C11 = −18C32 = −6, C13 = 12M23 = 15, M12 = −6M31 = 0, M22 = −3
ya33 = 2, a11 = 6a32 = 5, a13 = 5a23 = 6, a12 = 5a31 = 3, a22 = 6
Determine |A|.
Respuesta:
3. El valor λ = −2 es un valor propio de la matriz
A =
−1 0 0−5 −3 1−4 −1 −1
Indique, en orden, su dimension algebraica y su dimensiongeometrica.
Respuesta:
4. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
3x+ 6 y − 3 z = 12
2x+ 4 y + z = 5
−x− 2 y = −3
3x+ 6 y − z = 10
se puede decir que:
1 El sistema es inconsistente y tiene como solucion uni-ca de mınimos cuadrados a x = 2, y = 3 yz = 4.
2 Tiene infinitas soluciones y la formula general paraellas es x
y
z
=
2
00
+y
3
10
+z
4
01
3 Tiene solucion unica y es x = 2, y = 3 y
z = 4.
4 Tiene infinitas soluciones y la formula general paraellas es x
y
z
=
2
0
3
+ y
4
10
5 El sistema es inconsistente y tiene infinitas soluciones
de mınimos cuadrados y la formula general para ellases x
y
z
=
2
0
2
+ y
4
10
Indique su seleccion y reporte los numeros que completanla respuesta.
Respuesta:
5. Encuentre la ecuacion de la recta y = mx+b.que se ajustamejor, en el sentido de mınimos cuadrados, a los datos dela siguiente tabla:
x y
40 48345 46950 45355 43360 422
2
Hint: Forme el sistema para m y b sustituyendo los pun-tos en el modelo, por ejemplo al sustituir el primer puntoqueda la ecuacion :
40m+ b = 483
Reporte en orden los valores de m y b.
Respuesta:
6. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia deCalor es determinar la temperatura en estado estable deuna placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTb
sTc
sTd
sTe
sTf
sTf
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodosinteriores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-madamente igual al promedio de las temperaturas de loscuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, ya la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 15o, Tb = 11o, Tc = 26o
Td = 28o, Te = 26o, Tf = 37o
Reporte solo el valor de T2.
Respuesta:
7. Si:
A =[−2 1−3 1
]B =
[3 1−4 −1
]C =
[−2 1−3 1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:(
(AX)TB)C −B = 0
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
8. Si:
A =
−1 1 0 0 1 1 −10 1 0 −1 1 1 00 0 1 0 −1 0 10 0 0 1 0 −1 −10 0 0 0 1 0 −10 0 0 0 0 −1 00 0 0 0 0 0 1
y
B =
−1 0 0 0 0 0 0−1 1 0 0 0 0 0
1 0 −1 0 0 0 0−1 1 −1 1 0 0 0
1 1 −1 1 1 0 0−1 −1 −1 1 0 1 0−1 0 1 0 1 1 −1
Calcule los determinantes de:
a)(AT)−1
b) BTAB
c) A1, si A1 se obtiene de A mediante la operacionR6 ↔ R3
d) A2, si A2 se obtiene de A mediante la operacionR6 ← 6R6
e) A3, si A3 se obtiene de A mediante la operacionR6 ← R6 + 6R3
Respuesta:
9. En la actualidad hay tres planes de inversion A, B y Cdisponibles para los empleados de una empresa. Un em-pleado solo puede usar un plan a la vez y puede cambiar alfinal de ano si ası lo desea. La probabilidad de que alguienque esta en el plan A quede en el mismo plan es 80 %, deque elija el plan B es de 5 % y de que elija el plan C es de15 %. La probabilidad de que alguien que esta en el planB quede en el mismo plan es 60 %, de que elija el plan Aes de 30 % y de que elija el plan C es de 10 %. La proba-bilidad de que alguien que esta en el plan C quede en elmismo plan es 20 %, de que elija el plan A es de 70 % y deque elija el plan B es de 10 %. Reporte en orden crecien-te los valores propios de la matriz de transicion. Ademas,expresando los porcentajes como un numero entre 0 y 1,indique en orden cual es la distribucion de los empleadosen los planes A y B.
Respuesta:
10. Indique cuales opciones no contienen un vector en la ima-gen de la transformacion de R3 en R3 definida como
T
x
y
z
=
3x− y + 3 z−9x+ 7 y − 6 z
3x− 5 y
MA843, Examen Final (Agosto - Diciembre 2007), Tipo: 29 3
dentro de las opciones:
1.
1
−2
1
2.
0
0
0
3.
−14
38
−10
4.
−1
7
−5
5.
3
−9
3
Respuesta:
11. Para que valor de c la matriz siguiente no es diagonaliza-ble:
A =
1 1 3 + 2 c0 2 9− 4 c0 0 c
Respuesta:
12. Determine la dimension del subespacio que generan lospolinomios:
−3 + 9x2 − 9x3(−1 + 3x2 − 3x3
)(3− 9x2 + 9x3
)(3− 9x2 + 9x3
)Respuesta:
13. Indique si la matriz
A =[
3 03 −1
]es una combinacion lineal de las matrices:
A1 =[
1 −33 0
]
A2 =[
2 30 −1
]
y
A3 =[−5 6−9 1
]A Falso
B Cierto
14. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = 11x− 30 y + 18 z
y′ = 13x− 36 y + 22 z
z′ = 19x− 50 y + 30 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = −1, y(0) = −2, z(0) = 1
Como respuesta determine x(t = 1), y(t = 1) y z(t = 1)
Respuesta:
15. Una poblacion de conejos en una gran isla se estimo desde1981 hasta 1984 y se obtuvieron los datos:
ano N
1981 29801982 45801983 80801984 17060
Se espera que los datos se ajusten a una funcion exponen-cial
N(t) = No ek (t−1981)
Use el metodo de mınimos cuadrados para hacer este ajus-te. Usando esto determine la poblacion en 1985.Hint: Tome logaritmos para convertir el ajuste al ajustede una lınea recta.
Respuesta:
4
Algebra LinealExamen Final (Agosto - Diciembre 2007)
Maestro Eduardo Uresti
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:30
1. Indique si el polinomio
p = −3− x− 5x2 + 4x3
es una combinacion lineal de los polinomios:
p1 = 2 + x− 3x2 + 3x3
p2 = −2− x− x2 + 4x3
yp3 = 3 + x+ x2 + 3x3
A Falso
B Cierto
2. Sean a1, a2, a3, 0, y b vectores de Rn. Indique validez acada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2,a3|b] tiene solucion unica, entonces{a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
b) Si existen c1, c2 y c3 tales que c1a1 +c2a2 +c3a3 = 0,entonces {a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
c) Si [a1,a2,a3|0] tiene infinitas soluciones, entonces{a1,a2,a3} es linealmente independiente.
d) Si [a1,a2,a3|0] tiene solucion unica, entonces {a1,a2}es linealmente independiente.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Falso
3) Cierto
Respuesta:
3. Si:
A =
1 −1 1 −1 −1 −1 10 −1 0 −1 −1 −1 10 0 1 −1 0 −1 −10 0 0 1 −1 0 −10 0 0 0 1 1 10 0 0 0 0 1 10 0 0 0 0 0 −1
y
B =
1 0 0 0 0 0 0−1 −1 0 0 0 0 0−1 1 1 0 0 0 0
1 0 0 −1 0 0 00 −1 1 0 −1 0 01 1 1 −1 0 −1 00 1 −1 1 0 1 −1
Calcule los determinantes de:
a) AT
b) BTAB
c) A1, si A1 se obtiene de A mediante la operacionR7 ← 6R7
d) A2, si A2 se obtiene de A mediante la operacionR7 ← R7 + 6R3
e) A3, si A3 se obtiene de A mediante la operacionR7 ↔ R3
Respuesta:
4. Los vectores
1.
12−3
2.
−1−1
1
3.
−2−4
6
4.
46−7
5.
11−1
son vectores propios de la matriz
A =
−19 44 24−32 73 40
40 −92 −51
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
5. Una poblacion de conejos en una gran isla se estimo desde1981 hasta 1984 y se obtuvieron los datos:
ano N
1981 30201982 44601983 79401984 16960
2
Se espera que los datos se ajusten a una funcion exponen-cial
N(t) = No ek (t−1981)
Use el metodo de mınimos cuadrados para hacer este ajus-te. Usando esto determine la poblacion en 1985.Hint: Tome logaritmos para convertir el ajuste al ajustede una lınea recta.
Respuesta:
6. Encuentre la ecuacion de la recta y = mx+b.que se ajustamejor, en el sentido de mınimos cuadrados, a los datos dela siguiente tabla:
x y
40 48245 46650 45355 43160 420
Hint: Forme el sistema para m y b sustituyendo los pun-tos en el modelo, por ejemplo al sustituir el primer puntoqueda la ecuacion :
40m+ b = 482
Reporte en orden los valores de m y b.
Respuesta:
7. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = 7x− 20 y + 12 z
y′ = 10x− 27 y + 16 z
z′ = 16x− 40 y + 23 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = 2, y(0) = 2, z(0) = −1
Como respuesta determine x(t = 1), y(t = 1) y z(t = 1)
Respuesta:
8. Si:
A =[
3 −41 −1
]B =
[−3 −4
1 1
]C =
[0 1−2 1
]D =
[4 −65 −2
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A (BX)−1 − 3C = D
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
9. Para que valor de c la matriz siguiente no es diagonaliza-ble:
A =
4 12 −50 + 3 c0 −2 7 + 3 c0 0 c
Respuesta:
10. En la actualidad hay tres planes de inversion A, B y Cdisponibles para los empleados de una empresa. Un em-pleado solo puede usar un plan a la vez y puede cambiar alfinal de ano si ası lo desea. La probabilidad de que alguienque esta en el plan A quede en el mismo plan es 80 %, deque elija el plan B es de 10 % y de que elija el plan C es de10 %. La probabilidad de que alguien que esta en el planB quede en el mismo plan es 50 %, de que elija el plan Aes de 35 % y de que elija el plan C es de 15 %. La proba-bilidad de que alguien que esta en el plan C quede en elmismo plan es 25 %, de que elija el plan A es de 70 % yde que elija el plan B es de 5 %. Reporte en orden crecien-te los valores propios de la matriz de transicion. Ademas,expresando los porcentajes como un numero entre 0 y 1,indique en orden cual es la distribucion de los empleadosen los planes A y B.
Respuesta:
11. Si A es una matriz 3× 3 tal que
M33 = −41, C23 = 1M12 = 35, C31 = 32C21 = −32, C11 = 0C13 = 15, M22 = 19
y
a33 = 7, a23 = 7a12 = 8, a31 = 2a21 = 7, a11 = 5a13 = 8, a22 = 3
Determine |A|.
Respuesta:
12. Determine la dimension para el subespacio de R3 formadopor las soluciones al sistema:
4x+ 4 y + 2 z = 0
x+ 4 y + 2 z = 0
−3x = 0
Respuesta:
MA843, Examen Final (Agosto - Diciembre 2007), Tipo: 30 3
13. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
5x+ 4 y + 13 z = 1
x+ y + 3 z = 4
3x+ y + 5 z = 5
2x+ 4 y + 10 z = 2
se puede decir que:
1 Tiene solucion unica y es x = 2, y = 3 yz = 4.
2 El sistema es inconsistente y tiene como solucion uni-ca de mınimos cuadrados a x = 2, y = 3 yz = 4.
3 Tiene infinitas soluciones y la formula general paraellas es x
y
z
=
2
00
+y
3
10
+z
4
01
4 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
3
0
+ y
4
5
1
5 El sistema es inconsistente y tiene infinitas soluciones
de mınimos cuadrados y la formula general para ellases x
y
z
=
2
3
0
+ z
4
5
1
Indique su seleccion y reporte los numeros que completanla respuesta.
Respuesta:
14. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia deCalor es determinar la temperatura en estado estable deuna placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTa
sTb
sTb s
Tc
sTd
sTd
sTe
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodosinteriores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-madamente igual al promedio de las temperaturas de loscuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, ya la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 16o, Tb = 23o, Tc = 17o
Td = 16o, Te = 40o, Tf = 39o
Reporte solo el valor de T6.
Respuesta:
15. Indique cuales opciones no contienen un vector en la ima-gen de la transformacion de R3 en R3 definida como
T
x
y
z
=
2x+ 2 y − z2x− 14 y + 7 z
4 y − 2 z
dentro de las opciones:
1.
2
−14
4
2.
18
−46
16
3.
2
2
0
4.
0
0
0
5.
−2
−1
0
Respuesta:
4
Algebra LinealExamen Final (Agosto - Diciembre 2007)
Maestro Eduardo Uresti
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:31
1. Si:
A =[−2 1−3 1
]B =
[−3 −4
1 1
]C =
[4 −3−1 1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:((
AX−1)TB)T
= C
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
2. Determine la dimension del subespacio que generan lasmatrices:{[
0 −2−1 0
],
[1 01 1
],
[0 0−2 −2
],
[2 −25 6
]}
Respuesta:
3. Indique si la matriz
A =[
3 −21 2
]es una combinacion lineal de las matrices:
A1 =[
1 2−1 1
]
A2 =[
2 4−2 2
]y
A3 =[
2 4−3 1
]A Cierto
B Falso
4. En la actualidad hay tres planes de inversion A, B y Cdisponibles para los empleados de una empresa. Un em-pleado solo puede usar un plan a la vez y puede cambiar alfinal de ano si ası lo desea. La probabilidad de que alguienque esta en el plan A quede en el mismo plan es 75 %, deque elija el plan B es de 15 % y de que elija el plan C es de10 %. La probabilidad de que alguien que esta en el planB quede en el mismo plan es 50 %, de que elija el plan A
es de 30 % y de que elija el plan C es de 20 %. La proba-bilidad de que alguien que esta en el plan C quede en elmismo plan es 30 %, de que elija el plan A es de 40 % y deque elija el plan B es de 30 %. Reporte en orden crecien-te los valores propios de la matriz de transicion. Ademas,expresando los porcentajes como un numero entre 0 y 1,indique en orden cual es la distribucion de los empleadosen los planes A y B.
Respuesta:
5. Sean a1, a2, a3, 0, y b vectores de Rn. Indique validez acada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2|0] tiene infinitas soluciones, entonces{a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
b) Si existen c1, c2 y c3 tales que c1a1 +c2a2 +c3a3 = 0,entonces {a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
c) Si [a1,a2,a3|b] tiene dos soluciones diferentes, enton-ces {a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
d) Si [a1,a2,a3|0] tiene infinitas soluciones, entonces{a1,a2,a3} es linealmente independiente.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) No se sabe
3) Cierto
Respuesta:
6. Una poblacion de conejos en una gran isla se estimo desde1981 hasta 1984 y se obtuvieron los datos:
ano N
1981 29801982 44601983 80601984 17080
Se espera que los datos se ajusten a una funcion exponen-cial
N(t) = No ek (t−1981)
Use el metodo de mınimos cuadrados para hacer este ajus-te. Usando esto determine la poblacion en 1985.Hint: Tome logaritmos para convertir el ajuste al ajustede una lınea recta.
Respuesta:
2
7. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −25x− 12 y + 18 z
y′ = −31x− 14 y + 22 z
z′ = −60x− 30 y + 44 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = 1, y(0) = 2, z(0) = 2
Como respuesta determine x(t = 1), y(t = 1) y z(t = 1)
Respuesta:
8. Para que valor de c la matriz siguiente no es diagonaliza-ble:
A =
3 8 −29 + 3 c0 1 −1 + 2 c0 0 c
Respuesta:
9. Si A es una matriz 3× 3 tal que
C13 = −12, C31 = −24M32 = 0, M21 = −12M22 = −24, C23 = 0M33 = 12, M11 = −6
ya13 = 8, a31 = 4a32 = 2, a21 = 4a22 = 5, a23 = 8a33 = 2, a11 = 4
Determine |A|.
Respuesta:
10. Indique cuales opciones contienen un vector en la imagende la transformacion de R3 en R3 definida como
T
x
y
z
=
5x+ 4 y + 3 z−4x− 3 y + 4 z−2x− 2 y − 14 z
dentro de las opciones:
1.
−37
29
16
2.
−3
−2
2
3.
0
0
0
4.
5
−4
−2
5.
4
−3
−2
Respuesta:
11. Los vectores
1.
0−1
3
2.
2−4
8
3.
3−918
4.
0−3
9
5.
−13−6
son vectores propios de la matriz
A =
−10 −12 −424 20 5−48 −30 −5
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
12. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
−2x− 4 y + 4 z = −4
3x+ 6 y − 7 z = 8
2x+ 4 y − z = −2
−x− 2 y = 2
se puede decir que:
1 Tiene solucion unica y es x = 2, y = 3 yz = 4.
2 Tiene infinitas soluciones y la formula general paraellas es x
y
z
=
2
0
3
+ y
4
10
3 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
00
+y
3
10
+z
4
01
4 El sistema es inconsistente y tiene infinitas soluciones
de mınimos cuadrados y la formula general para ellases x
y
z
=
2
0
2
+ y
4
10
MA843, Examen Final (Agosto - Diciembre 2007), Tipo: 31 3
5 El sistema es inconsistente y tiene como solucion uni-ca de mınimos cuadrados a x = 2, y = 3 yz = 4.
Indique su seleccion y reporte los numeros que completanla respuesta.
Respuesta:
13. Si:
A =
−1 −1 1 −1 −1 1 10 −1 1 −1 −1 −1 10 0 −1 −1 1 1 00 0 0 −1 −1 0 −10 0 0 0 1 0 10 0 0 0 0 −1 10 0 0 0 0 0 −1
y
B =
−1 0 0 0 0 0 01 −1 0 0 0 0 01 −1 1 0 0 0 00 −1 1 −1 0 0 00 0 1 0 −1 0 0−1 0 1 −1 −1 −1 0
0 0 1 1 −1 1 1
Calcule los determinantes de:
a) A−1
b) BA
c) A1, si A1 se obtiene de A mediante la operacionR5 ← R5 + 6R6
d) A2, si A2 se obtiene de A mediante la operacionR5 ↔ R6
e) A3, si A3 se obtiene de A mediante la operacionR5 ← 6R5
Respuesta:
14. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia deCalor es determinar la temperatura en estado estable deuna placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTb
sTc
sTc
sTcs
Td
sTd
sTd
sTe
sTf
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodosinteriores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-madamente igual al promedio de las temperaturas de loscuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, ya la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + Td + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 29o, Tb = 32o, Tc = 28o
Td = 29o, Te = 22o, Tf = 13o
Reporte solo el valor de T3.
Respuesta:
15. Encuentre la ecuacion de la recta y = mx+b.que se ajustamejor, en el sentido de mınimos cuadrados, a los datos dela siguiente tabla:
x y
40 48345 46850 45255 43460 422
Hint: Forme el sistema para m y b sustituyendo los pun-tos en el modelo, por ejemplo al sustituir el primer puntoqueda la ecuacion :
40m+ b = 483
Reporte en orden los valores de m y b.
Respuesta:
4
Algebra LinealExamen Final (Agosto - Diciembre 2007)
Maestro Eduardo Uresti
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:32
1. Sean A una matriz m × n y b1 y b2 dos vectores dife-rentes de Rn. Indique validez a cada una de las siguientesafirmaciones:
a) Si m = n y Ax = b1 es inconsistente, entoncesAx = 0 tiene solucion unica.
b) Si m > n, entonces Ax = b1 tiene infinitas solucio-nes si tiene solucion.
c) Si Ax = b1 tiene infinitas soluciones, entoncesAx = b2 tiene infinitas soluciones.
d) Si m = n, entonces Ax = b1 tiene solucion unica.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) No se sabe
3) Cierto
Respuesta:
2. Indique cuales opciones no contienen un vector en el nucleode la transformacion de R3 en R3 definida como
T
x
y
z
=
−4 y + 5 z−16x+ 32 y − 36 z
4x− 4 y + 4 z
dentro de las opciones:
1.
1
4
−4
2.
1
5
4
3.
0
0
0
4.
1
−4
−3
5.
5
25
20
6.
−3
20
8
Respuesta:
3. El valor λ = 1 es un valor propio de la matriz
A =
1 0 04 1 1
10 −1 3
Indique, en orden, su dimension algebraica y su dimensiongeometrica.
Respuesta:
4. Encuentre la ecuacion de la recta y = mx+b.que se ajustamejor, en el sentido de mınimos cuadrados, a los datos dela siguiente tabla:
x y
40 48045 46550 45055 43260 420
Hint: Forme el sistema para m y b sustituyendo los pun-tos en el modelo, por ejemplo al sustituir el primer puntoqueda la ecuacion :
40m+ b = 480
Reporte en orden los valores de m y b.
Respuesta:
5. Para que valor de c la matriz siguiente no es diagonaliza-ble:
A =
3 20 10 + 2 c0 −2 −1− c0 0 c
Respuesta:
6. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia deCalor es determinar la temperatura en estado estable deuna placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTa
sTb
sTc
sTd
sTe
sTf
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodosinteriores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-madamente igual al promedio de las temperaturas de loscuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, ya la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + Tb + Td + T2) /4.
2
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 38o, Tb = 30o, Tc = 40o
Td = 15o, Te = 32o, Tf = 17o
Reporte solo el valor de T3.
Respuesta:
7. Si A es una matriz 3× 3 tal que
M21 = −4, M32 = −5C33 = 8, M23 = 5C12 = −4, M13 = −1M11 = 17, M22 = 7
ya21 = 1, a32 = 3a33 = 5, a23 = 1a12 = 4, a13 = 8a11 = 3, a22 = 4
Determine |A|.
Respuesta:
8. Si:
A =[−2 1−3 1
]B =
[4 −3−1 1
]C =
[−3 1−4 1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:(
(AX)TB)C −B = 0
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
9. En la actualidad hay tres planes de inversion A, B y Cdisponibles para los empleados de una empresa. Un em-pleado solo puede usar un plan a la vez y puede cambiar alfinal de ano si ası lo desea. La probabilidad de que alguienque esta en el plan A quede en el mismo plan es 85 %, deque elija el plan B es de 10 % y de que elija el plan C esde 5 %. La probabilidad de que alguien que esta en el planB quede en el mismo plan es 40 %, de que elija el plan Aes de 55 % y de que elija el plan C es de 5 %. La proba-bilidad de que alguien que esta en el plan C quede en elmismo plan es 25 %, de que elija el plan A es de 55 % y deque elija el plan B es de 20 %. Reporte en orden crecien-te los valores propios de la matriz de transicion. Ademas,expresando los porcentajes como un numero entre 0 y 1,indique en orden cual es la distribucion de los empleadosen los planes A y B.
Respuesta:
10. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
3x+ 4 y + 2 z = 3
3x+ y + 3 z = 4
4x+ 4 y + 2 z = 3
x+ y + 4 z = 3
se puede decir que:
1 El sistema es inconsistente y tiene infinitas solucionesde mınimos cuadrados y la formula general para ellases x
y
z
=
2
0
3
+ y
4
10
2 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
3
0
+ y
4
5
1
3 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
00
+y
3
10
+z
4
01
4 Tiene solucion unica y es x = 2, y = 3 y
z = 4.
5 El sistema es inconsistente y tiene como solucion uni-ca de mınimos cuadrados a x = 2, y = 3 yz = 4.
Indique su seleccion y reporte los numeros que completanla respuesta.
Respuesta:
11. Una poblacion de conejos en una gran isla se estimo desde1981 hasta 1984 y se obtuvieron los datos:
ano N
1981 30401982 45801983 79201984 17040
Se espera que los datos se ajusten a una funcion exponen-cial
N(t) = No ek (t−1981)
Use el metodo de mınimos cuadrados para hacer este ajus-te. Usando esto determine la poblacion en 1985.Hint: Tome logaritmos para convertir el ajuste al ajustede una lınea recta.
Respuesta:
MA843, Examen Final (Agosto - Diciembre 2007), Tipo: 32 3
12. Indique si la matriz
A =[
3 01 −2
]es una combinacion lineal de las matrices:
A1 =[
0 4−1 1
]
A2 =[−2 1
1 3
]y
A3 =[
2 31 −1
]A Falso
B Cierto
13. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = 4x− 9 y + 12 z
y′ = 12x− 23 y + 30 z
z′ = 12x− 18 y + 22 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = −2, y(0) = −2, z(0) = 2
Como respuesta determine x(t = 1), y(t = 1) y z(t = 1)
Respuesta:
14. Si:
A =
1 −1 −1 0 0 1 00 1 1 1 −1 −1 10 0 1 1 0 1 00 0 0 1 0 −1 10 0 0 0 1 −1 −10 0 0 0 0 −1 10 0 0 0 0 0 1
y
B =
−1 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 00 1 1 1 0 0 0−1 1 −1 −1 1 0 0
1 0 −1 0 0 −1 01 1 1 1 −1 1 1
Calcule los determinantes de:
a) A−1
b) ATBA
c) A1, si A1 se obtiene de A mediante la operacionR7 ← R7 + 2R1
d) A2, si A2 se obtiene de A mediante la operacionR7 ↔ R1
e) A3, si A3 se obtiene de A mediante la operacionR7 ← 2R7
Respuesta:
15. Determine la dimension para el subespacio de R3 formadopor las soluciones al sistema:
4x+ y + 4 z = 0
6x+ 6 y + z = 0
−22x− 28 y + 3 z = 0
Respuesta:
4
Algebra LinealExamen Final (Agosto - Diciembre 2007)
Maestro Eduardo Uresti
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:33
1. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia deCalor es determinar la temperatura en estado estable deuna placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTa
sTb
sTb s
Tc
sTd
sTd
sTe
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodosinteriores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-madamente igual al promedio de las temperaturas de loscuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, ya la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 27o, Tb = 15o, Tc = 35o
Td = 20o, Te = 40o, Tf = 18o
Reporte solo el valor de T6.
Respuesta:
2. Los vectores
1.
4−2−4
2.
2−1−2
3.
−102
20
4.
1−1
1
5.
5−1−10
son vectores propios de la matriz
A =
31 40 820 27 8
−152 −200 −49
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
3. Si A es una matriz 3× 3 tal que
M23 = 48, C32 = −28C13 = 16, M12 = −17M21 = −28, C11 = −38C22 = −8, M31 = 12
ya23 = 5, a32 = 8a13 = 4, a12 = 4a21 = 3, a11 = 8a22 = 2, a31 = 4
Determine |A|.
Respuesta:
4. Una poblacion de conejos en una gran isla se estimo desde1981 hasta 1984 y se obtuvieron los datos:
ano N
1981 29401982 45201983 79601984 16960
Se espera que los datos se ajusten a una funcion exponen-cial
N(t) = No ek (t−1981)
Use el metodo de mınimos cuadrados para hacer este ajus-te. Usando esto determine la poblacion en 1985.Hint: Tome logaritmos para convertir el ajuste al ajustede una lınea recta.
Respuesta:
5. Si:
A =[
2 1−3 −1
]B =
[4 −1−3 1
]C =
[2 −31 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:(
(AX)TB)C −B = 0
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
2
6. Sean a1, a2, a3, 0, y b vectores de Rn. Indique validez acada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2,a3|b] tiene solucion unica, entonces{a1,a2,a3} es linealmente independiente.
b) Si [a1,a2,a3|0] tiene solucion unica, entonces {a1,a2}es linealmente dependiente.
c) Si [a1,a2,a3|0] es consistente, entonces {a1,a2,a3}es linealmente dependiente.
d) Si existen c1, c2 y c3 tales que c1a1 +c2a2 +c3a3 = 0,entonces {a1,a2,a3} es linealmente independiente.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Cierto
3) Falso
Respuesta:
7. Indique si el polinomio
p = 1 + x2 − 3x3
es una combinacion lineal de los polinomios:
p1 = −2x− 3x2 − 2x3
p2 = 4 + x− x2 + x3
yp3 = −12 + x+ 9x2 + x3
A Cierto
B Falso
8. Indique cuales opciones no contienen un vector en el nucleode la transformacion de R3 en R3 definida como
T
x
y
z
=
12x+ 3 y + 3 z−y + 3 z3x+ 3 z
dentro de las opciones:
1.
−1
4
1
2.
−1
3
1
3.
0
0
0
4.
−5
5
−4
5.
−5
15
5
6.
−9
21
0
Respuesta:
9. Determine la dimension del subespacio:
Gen
−2−6
34
,
5−4
00
,
511−5
,
1340−8−36
Respuesta:
10. En la actualidad hay tres planes de inversion A, B y Cdisponibles para los empleados de una empresa. Un em-pleado solo puede usar un plan a la vez y puede cambiar alfinal de ano si ası lo desea. La probabilidad de que alguienque esta en el plan A quede en el mismo plan es 80 %, deque elija el plan B es de 10 % y de que elija el plan C es de10 %. La probabilidad de que alguien que esta en el planB quede en el mismo plan es 40 %, de que elija el plan Aes de 40 % y de que elija el plan C es de 20 %. La proba-bilidad de que alguien que esta en el plan C quede en elmismo plan es 20 %, de que elija el plan A es de 50 % y deque elija el plan B es de 30 %. Reporte en orden crecien-te los valores propios de la matriz de transicion. Ademas,expresando los porcentajes como un numero entre 0 y 1,indique en orden cual es la distribucion de los empleadosen los planes A y B.
Respuesta:
11. Para que valor de c la matriz siguiente no es diagonaliza-ble:
A =
3 −8 −26 + 2 c0 5 11− 2 c0 0 c
Respuesta:
12. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −9x− 8 y + 12 z
y′ = −20x− 19 y + 28 z
z′ = −20x− 22 y + 31 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = 1, y(0) = 1, z(0) = 2
Como respuesta determine x(t = 1), y(t = 1) y z(t = 1)
Respuesta:
13. Si:
A =
1 0 0 0 1 −1 00 1 1 0 −1 −1 00 0 1 −1 0 0 00 0 0 −1 −1 1 −10 0 0 0 −1 1 00 0 0 0 0 −1 10 0 0 0 0 0 1
MA843, Examen Final (Agosto - Diciembre 2007), Tipo: 33 3
y
B =
−1 0 0 0 0 0 01 −1 0 0 0 0 0−1 −1 −1 0 0 0 0
1 1 −1 1 0 0 0−1 0 1 0 −1 0 0−1 −1 1 −1 −1 1 0
1 1 0 1 1 −1 1
Calcule los determinantes de:
a)(A−1
)Tb) BTAB
c) A1, si A1 se obtiene de A mediante la operacionR3 ← 4R3
d) A2, si A2 se obtiene de A mediante la operacionR3 ← R3 + 4R1
e) A3, si A3 se obtiene de A mediante la operacionR3 ↔ R1
Respuesta:
14. Encuentre la ecuacion de la recta y = mx+b.que se ajustamejor, en el sentido de mınimos cuadrados, a los datos dela siguiente tabla:
x y
40 48445 46650 45255 43360 422
Hint: Forme el sistema para m y b sustituyendo los pun-tos en el modelo, por ejemplo al sustituir el primer puntoqueda la ecuacion :
40m+ b = 484
Reporte en orden los valores de m y b.
Respuesta:
15. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
−2x− 6 y + 2 z = −12
−2x− 6 y = −6
−x− 3 y − z = 0
2x+ 6 y − 4 z = 18
se puede decir que:
1 Tiene infinitas soluciones y la formula general paraellas es x
y
z
=
2
0
3
+ y
4
10
2 Tiene solucion unica y es x = 2, y = 3 y
z = 4.
3 El sistema es inconsistente y tiene como solucion uni-ca de mınimos cuadrados a x = 2, y = 3 yz = 4.
4 Tiene infinitas soluciones y la formula general paraellas es x
y
z
=
2
00
+y
3
10
+z
4
01
5 El sistema es inconsistente y tiene infinitas soluciones
de mınimos cuadrados y la formula general para ellases x
y
z
=
2
0
2
+ y
4
10
Indique su seleccion y reporte los numeros que completanla respuesta.
Respuesta:
4
Algebra LinealExamen Final (Agosto - Diciembre 2007)
Maestro Eduardo Uresti
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:34
1. Indique si la matriz
A =[
1 −2−1 3
]es una combinacion lineal de las matrices:
A1 =[
3 3−3 −1
]
A2 =[
1 3−3 1
]y
A3 =[−1 −2
1 0
]A Cierto
B Falso
2. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia deCalor es determinar la temperatura en estado estable deuna placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTa
sTb
sTc
sTd
sTe
sTf
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodosinteriores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-madamente igual al promedio de las temperaturas de loscuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, ya la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + Tb + Td + T2) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 40o, Tb = 17o, Tc = 26o
Td = 11o, Te = 25o, Tf = 19o
Reporte solo el valor de T6.
Respuesta:
3. Cuales opciones no contienen vectores propios a la matriz
A =
−26 −111 −123−54 −245 −270
54 252 277
de la lista de vectores:
1.
−12−27
27
2.
2351−52
3.
511−11
4.
12−2
5.
−3−7
7
6.
2044−45
Respuesta:
4. Si:
A =
1 1 0 1 1 −1 00 1 0 1 −1 1 −10 0 1 −1 0 −1 −10 0 0 1 −1 −1 −10 0 0 0 1 0 10 0 0 0 0 −1 00 0 0 0 0 0 −1
y
B =
−1 0 0 0 0 0 00 −1 0 0 0 0 0−1 1 −1 0 0 0 0
0 −1 1 1 0 0 0−1 0 −1 1 −1 0 0
1 0 0 −1 0 −1 0−1 0 0 1 0 −1 −1
Calcule los determinantes de:
a)(A−1
)Tb) AB
c) A1, si A1 se obtiene de A mediante la operacionR4 ← R4 + 4R7
d) A2, si A2 se obtiene de A mediante la operacionR4 ← 4R4
e) A3, si A3 se obtiene de A mediante la operacionR4 ↔ R7
Respuesta:
2
5. Sean a1, a2, a3, 0, y b vectores de Rn. Indique validez acada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si [a1,a2,a3|0] tiene solucion unica, entonces {a1,a2}es linealmente independiente.
b) Si existen c1, c2 y c3 tales que c1a1 +c2a2 +c3a3 = 0,entonces {a1,a2,a3} es linealmente independiente.
c) Si [a1,a2,a3|b] tiene dos soluciones diferentes, enton-ces {a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
d) Si [a1,a2,a3|0] tiene infinitas soluciones, entonces{a1,a2,a3} es linealmente dependiente.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) Cierto
3) No se sabe
Respuesta:
6. Indique cuales opciones no contienen un vector en la ima-gen de la transformacion de R3 en R3 definida como
T
x
y
z
=
−4x− 22 y − 4 z4x+ 5 y
−x+ 3 y + z
dentro de las opciones:
1.
92
−24
−11
2.
3
−1
−1
3.
0
0
0
4.
−4
4
−1
5.
−22
5
3
Respuesta:
7. Si:
A =[−2 −3
1 1
]B =
[−4 −1−3 −1
]C =
[3 −41 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:(
(AX)TB)T
= C
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
8. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −14x− 3 y + 9 z
y′ = −30x− 7 y + 20 z
z′ = −30x− 10 y + 23 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = 2, y(0) = −1, z(0) = 1
Como respuesta determine x(t = 1), y(t = 1) y z(t = 1)
Respuesta:
9. Si A es una matriz 3× 3 tal que
M12 = −22, C13 = 14C31 = 27, C22 = −1M33 = −2, C32 = −37M21 = −5, C11 = −31
ya12 = 5, a13 = 2a31 = 4, a22 = 4a33 = 1, a32 = 5a21 = 6, a11 = 7
Determine |A|.Respuesta:
10. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
5x+ 2 y + 3 z = 4
5x+ y + 3 z = 4
2x+ 5 y + z = 1
3x+ 4 y + z = 4
se puede decir que:
1 El sistema es inconsistente y tiene como solucion uni-ca de mınimos cuadrados a x = 2, y = 3 yz = 4.
2 Tiene infinitas soluciones y la formula general paraellas es x
y
z
=
2
00
+y
3
10
+z
4
01
3 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
3
0
+ y
4
5
1
4 Tiene solucion unica y es x = 2, y = 3 y
z = 4.
MA843, Examen Final (Agosto - Diciembre 2007), Tipo: 34 3
5 El sistema es inconsistente y tiene infinitas solucionesde mınimos cuadrados y la formula general para ellases x
y
z
=
2
0
3
+ y
4
10
Indique su seleccion y reporte los numeros que completanla respuesta.
Respuesta:
11. Determine la dimension del subespacio que generan lasmatrices:{[
2 2−2 2
],
[2 −1−2 1
],
[2 0−1 0
],
[−2 2−2 1
]}Respuesta:
12. En la actualidad hay tres planes de inversion A, B y Cdisponibles para los empleados de una empresa. Un em-pleado solo puede usar un plan a la vez y puede cambiar alfinal de ano si ası lo desea. La probabilidad de que alguienque esta en el plan A quede en el mismo plan es 85 %, deque elija el plan B es de 10 % y de que elija el plan C esde 5 %. La probabilidad de que alguien que esta en el planB quede en el mismo plan es 50 %, de que elija el plan Aes de 35 % y de que elija el plan C es de 15 %. La proba-bilidad de que alguien que esta en el plan C quede en elmismo plan es 20 %, de que elija el plan A es de 40 % y deque elija el plan B es de 40 %. Reporte en orden crecien-te los valores propios de la matriz de transicion. Ademas,expresando los porcentajes como un numero entre 0 y 1,indique en orden cual es la distribucion de los empleadosen los planes A y B.
Respuesta:
13. Para que valor de c la matriz siguiente no es diagonaliza-ble:
A =
−2 6 33 + 4 c0 4 17− 4 c0 0 c
Respuesta:
14. Una poblacion de conejos en una gran isla se estimo desde1981 hasta 1984 y se obtuvieron los datos:
ano N
1981 30201982 45001983 79401984 16960
Se espera que los datos se ajusten a una funcion exponen-cial
N(t) = No ek (t−1981)
Use el metodo de mınimos cuadrados para hacer este ajus-te. Usando esto determine la poblacion en 1985.Hint: Tome logaritmos para convertir el ajuste al ajustede una lınea recta.
Respuesta:
15. Encuentre la ecuacion de la recta y = mx+b.que se ajustamejor, en el sentido de mınimos cuadrados, a los datos dela siguiente tabla:
x y
40 48045 46750 45055 43360 420
Hint: Forme el sistema para m y b sustituyendo los pun-tos en el modelo, por ejemplo al sustituir el primer puntoqueda la ecuacion :
40m+ b = 480
Reporte en orden los valores de m y b.
Respuesta:
4
Algebra LinealExamen Final (Agosto - Diciembre 2007)
Maestro Eduardo Uresti
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:35
1. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −8x− 11 y + 14 z
y′ = −18x− 25 y + 32 z
z′ = −18x− 28 y + 35 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = 2, y(0) = 2, z(0) = −2
Como respuesta determine x(t = 1), y(t = 1) y z(t = 1)
Respuesta:
2. Indique si la matriz
A =[−2 0
2 −1
]es una combinacion lineal de las matrices:
A1 =[
3 12 −3
]
A2 =[
0 −33 4
]y
A3 =[−2 0
3 −3
]A Falso
B Cierto
3. Indique cuales opciones contienen un vector en la imagende la transformacion de R3 en R3 definida como
T
x
y
z
=
−3x+ 2 y − 5 z−8x+ 18 y − 24 z
2x+ 5 y − 2 z
dentro de las opciones:
1.
−3
−8
2
2.
2
18
5
3.
0
38
19
4.
0
4
3
5.
0
0
0
Respuesta:
4. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
2x− 6 y + 4 z = 4
−x+ 3 y − 2 z = −2
3x− 9 y + 6 z = 6
2x− 6 y + 4 z = 4
se puede decir que:
1 Tiene solucion unica y es x = 2, y = 3 yz = 4.
2 Tiene infinitas soluciones y la formula general paraellas es x
y
z
=
2
00
+y
3
10
+z
4
01
3 El sistema es inconsistente y tiene como solucion uni-
ca de mınimos cuadrados a x = 2, y = 3 yz = 4.
4 El sistema es inconsistente y tiene infinitas solucionesde mınimos cuadrados y la formula general para ellases x
y
z
=
2
0
3
+ y
4
10
5 Tiene infinitas soluciones y la formula general para
ellas es x
y
z
=
2
3
0
+ y
4
5
1
Indique su seleccion y reporte los numeros que completanla respuesta.
Respuesta:
5. Si:
A =[−3 −4
1 1
]B =
[−3 −4
1 1
]C =
[−4 −1−3 −1
]
2
Resuelva para X la siguiente ecuacion:((AXT
)TB)T
= C
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
6. Los vectores
1.
1−1
4
2.
14−20
76
3.
7−10
38
4.
−34
−15
5.
3−312
son vectores propios de la matriz
A =
−23 −12 232 −3 −8
−124 12 31
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
7. Sean A una matriz m × n y b1 y b2 dos vectores dife-rentes de Rn. Indique validez a cada una de las siguientesafirmaciones:
a) Si m = n, entonces Ax = b1 tiene infinitas solucio-nes si tiene solucion.
b) Si m > n, entonces Ax = b1 tiene infinitas solucio-nes.
c) Si Ax = b1 tiene infinitas soluciones y Ax = b2 tie-ne solucion, entonces Ax = b2 tambien tiene infini-tas soluciones.
d) Si m = n y Ax = b1 es inconsistente, entoncesAx = 0 tiene infinitas soluciones.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) Falso
3) No se sabe
Respuesta:
8. Encuentre la ecuacion de la recta y = mx+b.que se ajustamejor, en el sentido de mınimos cuadrados, a los datos dela siguiente tabla:
x y
40 48445 46750 45255 43560 421
Hint: Forme el sistema para m y b sustituyendo los pun-tos en el modelo, por ejemplo al sustituir el primer puntoqueda la ecuacion :
40m+ b = 484
Reporte en orden los valores de m y b.
Respuesta:
9. Determine la dimension para el subespacio de R3 formadopor las soluciones al sistema:
2x+ y + z = 0
5x+ y + 5 z = 0
−11x+ 2 y − 18 z = 0
Respuesta:
10. En la actualidad hay tres planes de inversion A, B y Cdisponibles para los empleados de una empresa. Un em-pleado solo puede usar un plan a la vez y puede cambiar alfinal de ano si ası lo desea. La probabilidad de que alguienque esta en el plan A quede en el mismo plan es 80 %, deque elija el plan B es de 15 % y de que elija el plan C esde 5 %. La probabilidad de que alguien que esta en el planB quede en el mismo plan es 60 %, de que elija el plan Aes de 30 % y de que elija el plan C es de 10 %. La proba-bilidad de que alguien que esta en el plan C quede en elmismo plan es 25 %, de que elija el plan A es de 65 % y deque elija el plan B es de 10 %. Reporte en orden crecien-te los valores propios de la matriz de transicion. Ademas,expresando los porcentajes como un numero entre 0 y 1,indique en orden cual es la distribucion de los empleadosen los planes A y B.
Respuesta:
11. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia deCalor es determinar la temperatura en estado estable deuna placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTb
sTc
sTd
sTe
sTf
sTf
sTf
MA843, Examen Final (Agosto - Diciembre 2007), Tipo: 35 3
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodosinteriores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-madamente igual al promedio de las temperaturas de loscuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, ya la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + T5 + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 11o, Tb = 33o, Tc = 12o
Td = 36o, Te = 17o, Tf = 16o
Reporte solo el valor de T3.
Respuesta:
12. Si A es una matriz 3× 3 tal que
M22 = −1, M33 = 25M11 = 33, C32 = −5M31 = −15, C12 = 9C23 = 17, M13 = −48
ya22 = 7, a33 = 5a11 = 4, a32 = 1a31 = 7, a12 = 3a23 = 2, a13 = 3
Determine |A|.Respuesta:
13. Si:
A =
1 0 1 0 −1 0 10 −1 0 1 0 1 00 0 1 −1 1 0 −10 0 0 −1 0 −1 10 0 0 0 −1 −1 10 0 0 0 0 1 10 0 0 0 0 0 1
y
B =
1 0 0 0 0 0 01 1 0 0 0 0 01 0 −1 0 0 0 00 0 −1 −1 0 0 00 −1 −1 1 1 0 00 −1 −1 −1 −1 −1 0−1 −1 −1 0 0 0 −1
Calcule los determinantes de:
a) A−1
b) BTAB
c) A1, si A1 se obtiene de A mediante la operacionR2 ← R2 + 3R7
d) A2, si A2 se obtiene de A mediante la operacionR2 ← 3R2
e) A3, si A3 se obtiene de A mediante la operacionR2 ↔ R7
Respuesta:
14. Una poblacion de conejos en una gran isla se estimo desde1981 hasta 1984 y se obtuvieron los datos:
ano N
1981 29801982 44401983 79201984 16980
Se espera que los datos se ajusten a una funcion exponen-cial
N(t) = No ek (t−1981)
Use el metodo de mınimos cuadrados para hacer este ajus-te. Usando esto determine la poblacion en 1985.Hint: Tome logaritmos para convertir el ajuste al ajustede una lınea recta.
Respuesta:
15. Para que valor de c la matriz siguiente no es diagonaliza-ble:
A =
4 −14 42− 3 c0 −3 7 + 2 c0 0 c
Respuesta:
4
Algebra LinealExamen Final (Agosto - Diciembre 2007)
Maestro Eduardo Uresti
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:36
1. Si A es una matriz 3× 3 tal que
C32 = 14, M22 = −1M21 = −6, M33 = −10C13 = 26, C31 = −8M11 = −2, M12 = 6
ya32 = 4, a22 = 6a21 = 8, a33 = 1a13 = 2, a31 = 1a11 = 1, a12 = 2
Determine |A|.
Respuesta:
2. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia deCalor es determinar la temperatura en estado estable deuna placa delgada cuando se conocen las temperaturas al-rededor de ella. Suponga la placa de la siguiente figura:
sT1
sT2
sT3
sT4
sT5
sT6
sTa
sTa
sTa
sTb
sTc
sTd
sTd
sTd
sTe
sTe
sTe
sTf
Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas de los nodosinteriores de la red. La temperatura en un nodo es aproxi-madamente igual al promedio de las temperaturas de loscuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, a la derecha, ya la izquierda. Ası por ejemplo
T1 = (Ta + T2 + Td + Tb) /4.
Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que
Ta = 17o, Tb = 24o, Tc = 37o
Td = 27o, Te = 32o, Tf = 32o
Reporte solo el valor de T3.
Respuesta:
3. Si:
A =[−4 −3−1 −1
]B =
[4 −1−3 1
]C =
[4 −3−1 1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:((
AXT)TB)T
= C
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
4. En la actualidad hay tres planes de inversion A, B y Cdisponibles para los empleados de una empresa. Un em-pleado solo puede usar un plan a la vez y puede cambiar alfinal de ano si ası lo desea. La probabilidad de que alguienque esta en el plan A quede en el mismo plan es 80 %, deque elija el plan B es de 15 % y de que elija el plan C esde 5 %. La probabilidad de que alguien que esta en el planB quede en el mismo plan es 50 %, de que elija el plan Aes de 35 % y de que elija el plan C es de 15 %. La proba-bilidad de que alguien que esta en el plan C quede en elmismo plan es 30 %, de que elija el plan A es de 45 % y deque elija el plan B es de 25 %. Reporte en orden crecien-te los valores propios de la matriz de transicion. Ademas,expresando los porcentajes como un numero entre 0 y 1,indique en orden cual es la distribucion de los empleadosen los planes A y B.
Respuesta:
5. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −4x− 4 y + 7 z
y′ = −6x− 4 y + 9 z
z′ = −6x− 8 y + 13 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = −2, y(0) = −2, z(0) = −1
Como respuesta determine x(t = 1), y(t = 1) y z(t = 1)
Respuesta:
6. Una poblacion de conejos en una gran isla se estimo desde1981 hasta 1984 y se obtuvieron los datos:
2
ano N
1981 29401982 44801983 80601984 17060
Se espera que los datos se ajusten a una funcion exponen-cial
N(t) = No ek (t−1981)
Use el metodo de mınimos cuadrados para hacer este ajus-te. Usando esto determine la poblacion en 1985.Hint: Tome logaritmos para convertir el ajuste al ajustede una lınea recta.
Respuesta:
7. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
−x+ 2 y + 2 z = 0
3x− 6 y − 4 z = 2
−x+ 2 y + z = −1
3x− 6 y − 7 z = −1
se puede decir que:
1 Tiene infinitas soluciones y la formula general paraellas es x
y
z
=
2
0
3
+ y
4
10
2 El sistema es inconsistente y tiene como solucion uni-
ca de mınimos cuadrados a x = 2, y = 3 yz = 4.
3 El sistema es inconsistente y tiene infinitas solucionesde mınimos cuadrados y la formula general para ellases x
y
z
=
2
0
2
+ y
4
10
4 Tiene solucion unica y es x = 2, y = 3 y
z = 4.
5 Tiene infinitas soluciones y la formula general paraellas es x
y
z
=
2
00
+y
3
10
+z
4
01
Indique su seleccion y reporte los numeros que completanla respuesta.
Respuesta:
8. Indique si el polinomio
p = 3 + 3x− 2x2 + 4x3
es una combinacion lineal de los polinomios:
p1 = −2 + 4x− 2x2 + 4x3
p2 = 2 + 4x− 3x2 − 2x3
yp3 = −3− 3x− 2x2 + x3
A Falso
B Cierto
9. Encuentre la ecuacion de la recta y = mx+b.que se ajustamejor, en el sentido de mınimos cuadrados, a los datos dela siguiente tabla:
x y
40 48345 46650 45455 43360 419
Hint: Forme el sistema para m y b sustituyendo los pun-tos en el modelo, por ejemplo al sustituir el primer puntoqueda la ecuacion :
40m+ b = 483
Reporte en orden los valores de m y b.
Respuesta:
10. Si:
A =
1 1 −1 −1 1 −1 −10 1 0 0 1 −1 00 0 1 0 1 1 10 0 0 1 0 −1 10 0 0 0 −1 −1 10 0 0 0 0 −1 00 0 0 0 0 0 1
y
B =
−1 0 0 0 0 0 00 −1 0 0 0 0 0−1 −1 −1 0 0 0 0
0 −1 1 −1 0 0 01 1 0 1 −1 0 01 1 −1 −1 0 −1 01 0 1 0 1 0 −1
Calcule los determinantes de:
a) A−1
b) ATBA
MA843, Examen Final (Agosto - Diciembre 2007), Tipo: 36 3
c) A1, si A1 se obtiene de A mediante la operacionR7 ← 4R7
d) A2, si A2 se obtiene de A mediante la operacionR7 ↔ R3
e) A3, si A3 se obtiene de A mediante la operacionR7 ← R7 + 4R3
Respuesta:
11. Cuales opciones contienen vectores propios a la matriz
A =
−82 17 −16−146 31 −28
289 −59 57
de la lista de vectores:
1.
48
−13
2.
−9−15
33
3.
47
−14
4.
−3−9
6
5.
25−5
6.
12−3
Respuesta:
12. Para que valor de c la matriz siguiente no es diagonaliza-ble:
A =
−3 −4 −22− 4 c0 −1 −1− 2 c0 0 c
Respuesta:
13. Indique cuales opciones contienen un vector en el nucleode la transformacion de R3 en R3 definida como
T
x
y
z
=
3x+ 3 y − 5 z−2x+ y + 4 z
20x+ 8 y − 36 z
dentro de las opciones:
1.
0
0
0
2.
−3
3
2
3.
5
−5
3
4.
−31
31
−11
5.
17
−2
9
6.
34
−4
18
Respuesta:
14. Sean A una matriz m × n y b1 y b2 dos vectores dife-rentes de Rn. Indique validez a cada una de las siguientesafirmaciones:
a) Si m > n, entonces Ax = b1 tiene infinitas solucio-nes.
b) Si m = n y Ax = b1 es inconsistente, entoncesAx = 0 tiene infinitas soluciones.
c) Si m = n, entonces Ax = b1 tiene infinitas solucio-nes.
d) Si Ax = b1 tiene infinitas soluciones y Ax = b2 tie-ne solucion, entonces Ax = b2 tambien tiene infini-tas soluciones.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Cierto
3) Falso
Respuesta:
15. Determine la dimension para el subespacio de R3 formadopor las soluciones al sistema:
x+ 6 y + z = 0
3x+ 18 y + 3 z = 0
−7x− 42 y − 7 z = 0
Respuesta: