Algebra LinealTercer Examen Parcial
Maestro Eduardo Uresti, Enero-Mayo 2011
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:11
1. Indique en cuales opciones el conjunto dado sı es lineal-
mente independiente:
1. {6 + x− x2,−3− x}2. {6− x− x2,−30 + 29x + 5x2,−6x}3. {3− 3x− 2x2, 1− x− x2,−4− 4x + 5x2}4. {−5− 27x + 42x2,−4− 24x + 36x2, 1 + 3x− 6x2, 6x− 6x2}
Respuesta:
2. Indique la dimension del subespacio . . .
(1) generado por{[−2 0
−2 1
],
[2 0
2 −1
],
[−4 0
−4 2
],
[−4 0
−4 2
]}
(2) generado por{1 + 2x+ x2 − x3, −3− 3x,
13 + 2x+ 5x2 + 5x3, 3− 3x+ 2x2 + 3x3
}
(3) formado por los vectores x que cumplen: 5 10 10
1 2 2
1 2 2
x =
0
0
0
Respuesta:
3. Liste todos los valores de a para los cuales el conjunto
formado por las matrices[2 5
5 2
],
[4 4
2 2
][
3 5
3 2
],
[2 2
a 2
]sea linealmente dependiente.
Respuesta:
4. Suponga que la transformacion lineal T : R2 → R2 cum-
ple:
T
[−5
5
]=
[−4
−2
]y
T
[−3
−3
]=
[2
−4
]Determine
T
[3
−1
]Respuesta:
5. Indique cuales opciones sı contienen una transformacion
lineal de R2 en R2 :
1. T
[x
y
]=
[−2 + x
−3 + x
]
2. T
[x
y
]=
[3x+ y
x− 2 y
]
3. T
[x
y
]=
[x y
−3 y
]
4. T
[x
y
]=
[x+ 4 y
−3 y
]
Respuesta:
6. Si
p1 = 9 + 13x, p2 = 6 + 4x, p3 = 1 + 3x, p4 = 18 + 26x
Indique cuales opciones contienen declaraciones ciertas:
1. p1 ∈ Gen {p2, p3} 2. p2 ∈ Gen {p1, p4}3. p3 ∈ Gen {p1, p2} 4. p2 ∈ Gen {p1, p3}5. p4 ∈ Gen {p3} 6. p4 ∈ Gen {p1}
Respuesta:
7. Determine el polinomio caracterıstico de la matriz
A =
23 −15 −9
17 −11 −7
21 −15 −7
De, en orden creciente a las potencias, sus coeficientes. De
ser necesario reporte ceros en los terminos faltantes.
Respuesta:
8. Para que valores del escalar c el espacio generado por 1
−1
2
,
−1
3
−6
,
−1
1− 2 c
−2 + 2 c+ c2
,
2
0
6− 5 c+ c2
tiene dimension 2.
Indique su respuesta, completando los espacios de ser ne-
cesario, en las posibles:
1) Solo para c =
2) Hay una infinidad de valores para c.
MA1010, Tercer Examen Parcial, Tipo: 11 2
3) Solo para c1 = y c2 =
(Con c1 ≤ c2)
4) No existe valor de c.
5) Solo para c1 = , c2 = y c3 =
(Con c1 ≤ c2 ≤ c3)
Respuesta:
9. Los vectores
1.
3
−13
−11
2.
−11
47
42
3.
1
−4
−4
4.
−3
13
11
5.
3
−12
−12
son vectores propios de la matriz
A =
−349 −48 −39
1476 203 165
1356 186 152
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
10. ¿Cual es el valor del parametro a para que la matriz 3 a 0
3 6 4
2 4 2
no sea invertible?
Respuesta:
11. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo A, tipo B y tipo C. En una primera
etapa de ensamble usando As, Bs y Cs se producen los
tipos de armados M, N y P. En una segunda etapa de en-
samble usando los tipos M, N y P se producen los tipos
de armados X, Y y Z. Se sabe que para armar 4 Xs, 5 Ys
y 2 Zs se requirieron en total 435 As, 411 Bs y 454 Cs;
para armar 3 Xs, 3 Ys y 4 Zs se requirieron en total 413
As, 393 Bs y 439 Cs; y que para armar 5 Xs, 5 Ys y 4 Zs
se requirieron en total 563 As, 535 Bs y 593 Cs. Ademas,
se sabe que para obtener un X se requieren 4 Ms, 3 Ns y
2 Ps; para un Y se requieren 3 Ms, 5 Ns y 3 Ps y para
un Z se requieren 3 Ms, 5 Ns y 5 Ps. Indique, en orden,
cuantas piezas A y cuantas B se requieren para armar un
X y cuantas piezas A y cuantas B para armar un M.
Respuesta:
12. Que valor debe tener a para que el polinomio:
p = 3 + a x + 11x3
sea una combinacion lineal de los polinomios:
p1 = 1− 4x2 + x3
p2 = −1 + x + 4x2 + x3
p3 = −1 + x + 3x2 + x3
Respuesta:
Algebra LinealTercer Examen Parcial
Maestro Eduardo Uresti, Enero-Mayo 2011
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:12
1. Suponga que la transformacion lineal T : R2 → R2 cum-
ple:
T
[1
0
]=
[1
−1
]y
T
[0
1
]=
[−2
−4
]Determine
T
[−3
−5
]Respuesta:
2. Para que valores del escalar c el espacio generado por 1
2
2
,
−2
−2
−2
,
−2
−4− 2 c
−4− 5 c+ c2
,
−1
−4
8− 7 c+ c2
tiene dimension 2.
Indique su respuesta, completando los espacios de ser ne-
cesario, en las posibles:
1) No existe valor de c.
2) Solo para c1 = , c2 = y c3 =
(Con c1 ≤ c2 ≤ c3)
3) Solo para c =
4) Solo para c1 = y c2 =
(Con c1 ≤ c2)
5) Hay una infinidad de valores para c.
Respuesta:
3. Indique en cuales opciones el conjunto dado sı es lineal-
mente independiente:
1. {−6− x + 5x2, 6 + 2x + 6x2, 3− 3x− 3x2}2. {4− 4x− 4x2,−22 + 20x + 17x2, 12− 24x− 42x2,−2− 3x2}3. {5− x− 2x2,−6 + x + 3x2}4. {3 + 2x− 19x2,−1 + 6x− 2x2, 4x− 5x2}
Respuesta:
4. Liste todos los valores de a para los cuales el conjunto
formado por las matrices[3 2
1 2
],
[5 3
1 4
][
4 2
4 4
],
[5 a
3 3
]sea linealmente dependiente.
Respuesta:
5. Indique la dimension del subespacio . . .
(1) generado por{[−2 2
1 3
],
[−4 4
2 −4
],
[0 0
0 2
],
[−2 2
1 −1
]}(2) generado por{
3 + 8x+ 7x2 + 13x3, 3 + x+ 2x2 + 2x3,
7x+ 5x2 + 11x3, 1− 2x− x2 − 3x3
}(3) formado por los vectores x que cumplen: 5 5 5
3 4 3
4 4 7
x =
0
0
0
Respuesta:
6. Si
A1 =
[5 3
3 5
]A2 =
[6 −3
−3 −2
]
A3 =
[23 −6
−6 −1
]A4 =
[15 9
9 15
]Indique cuales opciones contienen declaraciones ciertas:
1. A4 ∈ Gen{A2, A3} 2. A1 ∈ Gen{A2, A3}3. A4 ∈ Gen{A3} 4. A4 ∈ Gen{A1}5. A3 ∈ Gen{A1, A2} 6. A1 ∈ Gen{A4}
Respuesta:
7. Los vectores
1.
−2
9
7
2.
−3
15
16
3.
4
−18
−14
4.
−9
45
48
5.
−1
4
2
son vectores propios de la matriz
A =
−102 −28 6
330 88 −15
−90 −34 21
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
MA1010, Tercer Examen Parcial, Tipo: 12 2
8. Suponga que la transformacion lineal T : R2 → R2 cum-
ple:
T
[−3
−1
]=
[−4
−1
]y
T
[−2
2
]=
[−2
3
]Determine
T
[2
4
]Respuesta:
9. Determine el polinomio caracterıstico de la matriz
A =
49 −11 −14
110 −24 −32
70 −16 −20
De, en orden creciente a las potencias, sus coeficientes. De
ser necesario reporte ceros en los terminos faltantes.
Respuesta:
10. Indique en cuales opciones el conjunto dado sı genera a
M2×2 :
1.
{[−6 0
−1 0
],
[−1 −1
−2 6
],
[0 3
−3 −1
],
[28 −11
27 −19
]}
2.
{[−4 1
−5 3
],
[−7 −13
13 3
],
[6 6
−5 −3
],
[40 41
−18 −24
],
[5 6
−3 −3
]}
3.
{[0 −5
4 −3
],
[−4 0
3 0
],
[−2 −5
−5 −1
],
[−3 4
1 −4
],
[−4 3
5 1
]}
4.
{[0 3
30 15
],
[−1 −1
2 2
],
[−2 −3
−6 −1
],
[0 −2
−20 −10
]}
Respuesta:
11. Si:
A =
[−4 −1
−3 −1
]
B =
[−10 −5
−5 −1
]
C =
[3 1
−4 −1
]
D =
[−4 −1
−3 −1
]Resuelva para Y el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:A X + B Y = C
X + 2Y = D
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
12. Si:
A =
[−1 −1
0 0
]
B =
[−4 −3
−1 −1
]
C =
[−3 1
−4 1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A X = B X + C
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
Algebra LinealTercer Examen Parcial
Maestro Eduardo Uresti, Enero-Mayo 2011
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:13
1. Si
A1 =
[−1 −1
0 −3
]A2 =
[3 −3
1 0
]
A3 =
[5 −7
2 −3
]A4 =
[−4 −4
0 −12
]Indique cuales opciones contienen declaraciones ciertas:
1. A1 ∈ Gen{A2, A3} 2. A2 ∈ Gen{A1, A4}3. A4 ∈ Gen{A2, A3} 4. A4 ∈ Gen{A1}5. A4 ∈ Gen{A3} 6. A1 ∈ Gen{A4}
Respuesta:
2. Indique cuales opciones sı contienen una transformacion
lineal de R2 en R2 :
1. T
[x
y
]=
[x+ 2 y
−4 y
]
2. T
[x
y
]=
[x y
−6 y
]
3. T
[x
y
]=
[4x+ y
x− 5 y
]
4. T
[x
y
]=
[−2 + x
−4 + x
]
Respuesta:
3. Indique en cuales opciones el conjunto dado sı es lineal-
mente independiente:
1.
{[−1 −3
0 −3
],
[6 5
4 4
],
[−6 −4
6 3
],
[1 4
6 5
]}
2.
{[−5 5
−9 −10
],
[5 4
−6 4
],
[0 −3
5 2
]}
3.
{[5 0
0 −3
],
[6 2
4 4
],
[−5 −3
−5 −6
]}
4.
{[29 −13
28 20
],
[−6 6
−3 −3
],
[1 5
4 6
],
[−2 −3
−6 −1
]}
Respuesta:
4. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo A, tipo B y tipo C. En una primera
etapa de ensamble usando As, Bs y Cs se producen los
tipos de armados M, N y P. En una segunda etapa de en-
samble usando los tipos M, N y P se producen los tipos
de armados X, Y y Z. Se sabe que para armar 3 Xs, 3 Ys
y 3 Zs se requirieron en total 306 As, 330 Bs y 357 Cs;
para armar 3 Xs, 4 Ys y 3 Zs se requirieron en total 344
As, 372 Bs y 402 Cs; y que para armar 5 Xs, 4 Ys y 4 Zs
se requirieron en total 447 As, 481 Bs y 521 Cs. Ademas,
se sabe que para obtener un X se requieren 2 Ms, 5 Ns y
4 Ps; para un Y se requieren 4 Ms, 4 Ns y 3 Ps y para
un Z se requieren 2 Ms, 3 Ns y 2 Ps. Indique, en orden,
cuantas piezas A y cuantas B se requieren para armar un
X y cuantas piezas A y cuantas B para armar un M.
Respuesta:
5. Indique la dimension del subespacio . . .
(1) generado por{[−2 0
4 −1
],
[2 1
−2 2
],
[0 −1
−2 −1
],
[2 2
0 3
]}
(2) generado por{2− 3x− 3x2 − 2x3, 3 + 2x+ 3x3,
−1− 2x− x2 − x3, 2− 3x− 2x3
}
(3) formado por los vectores x que cumplen: 4 4 4
4 7 4
2 2 5
x =
0
0
0
Respuesta:
6. Determine el polinomio caracterıstico de la matriz
A =
−67 −21 −12
102 32 18
228 72 41
De, en orden creciente a las potencias, sus coeficientes. De
ser necesario reporte ceros en los terminos faltantes.
Respuesta:
7. Suponga que la transformacion lineal T : R2 → R2 cum-
ple:
T
[1
0
]=
[2
2
]y
T
[0
1
]=
[2
−3
]
MA1010, Tercer Examen Parcial, Tipo: 13 2
Determine
T
[5
−4
]Respuesta:
8. Para que valores del escalar c el espacio generado por 1
2
−2
,
−1
−1
3
,
2
4− 2 c
−4− 4 c+ c2
,
−1
−3
7− 5 c+ c2
tiene dimension 2.
Indique su respuesta, completando los espacios de ser ne-
cesario, en las posibles:
1) Solo para c1 = , c2 = y c3 =
(Con c1 ≤ c2 ≤ c3)
2) Hay una infinidad de valores para c.
3) Solo para c =
4) No existe valor de c.
5) Solo para c1 = y c2 =
(Con c1 ≤ c2)
Respuesta:
9. Liste todos los valores de a para los cuales el conjunto
formado por las matrices[2 5
3 2
],
[5 4
5 3
][
5 1
4 2
],
[3 5
2 a
]sea linealmente dependiente.
Respuesta:
10. Indique en cuales opciones el conjunto dado sı genera a
M2×2 :
1.
{[2 −1
−2 −6
],
[−5 5
6 −4
],
[1 −6
−1 6
],
[−1 −6
4 6
]}
2.
{[6 0
2 5
],
[0 36
−26 7
],
[−6 3
−3 −4
],
[2 6
−6 2
],
[−14 36
−40 −8
]}
3.
{[−6 0
−3 2
],
[−14 12
−7 26
],
[1 0
5 −6
],
[1 −3
−4 0
]}
4.
{[5 −9
22 14
],
[3 −1
6 2
],
[−16 −13
−2 16
],
[5 2
4 −2
]}
Respuesta:
11. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si la matriz A no es invertible, entonces A x = 0 tie-
ne solucion unica.
b) Si el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A es invertible.
c) Si la matriz A no es invertible, entonces A ·A x = 0
tiene infinitas soluciones.
d) Si para un vector b el sistema A x = b tiene infinitas
soluciones, entonces A no es invertible.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) No se sabe
3) Cierto
Respuesta:
12. Los vectores
1.
3
−12
9
2.
3
−11
10
3.
18
−69
60
4.
6
−23
20
5.
1
−4
3
son vectores propios de la matriz
A =
−102 −12 18
402 48 −70
−340 −40 60
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
Algebra LinealTercer Examen Parcial
Maestro Eduardo Uresti, Enero-Mayo 2011
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:14
1. Liste todos los valores de a para los cuales el conjunto
formado por las matrices[1 1
2 3
],
[2 4
1 1
][
2 4
3 2
],
[4 2
4 a
]sea linealmente dependiente.
Respuesta:
2. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es
una base para V , G es un conjunto generador para V , I es
un conjunto linealmente independiente de V , D es un con-
junto linealmente dependiente de V , C es un conjunto de
elementos de V y 14 es la dimension de V . Indique como
son cada una de las afirmaciones
a) Si G tiene 14 elementos, entonces I es linealmente
independiente.
b) I tiene menos de 15 elementos.
c) B tiene mas de 14 elementos.
d) D tiene al menos 14 elementos.
e) Si D tiene mas de 14 elementos, entonces D genera a
V .
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente informacion
Respuesta:
3. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si el sistema A x = 0 tiene solucion unica, entonces
A es invertible.
b) Si la matriz A ·A no es invertible, entonces A x = 0
tiene solucion unica.
c) Si para un vector b el sistema A x = b no tiene so-
lucion, entonces A es invertible.
d) Si la matriz A es invertible, entonces A x = 0 tiene
infinitas soluciones.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) No se sabe
3) Cierto
Respuesta:
4. Si:
A =
[0 −3
3 2
]
B =
[−3 −4
1 1
]
C =
[4 −3
−1 1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A X = B X + C
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
5. Los vectores
1.
12
−9
45
2.
1
−1
4
3.
−30
24
−112
4.
4
−3
15
5.
−15
12
−56
son vectores propios de la matriz
A =
197 −40 −60
−168 33 51
744 −148 −226
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
6. Liste todos los valores de a para los cuales el conjunto
formado por las matrices[2 0
2 0
],
[0 2
2 2
]
MA1010, Tercer Examen Parcial, Tipo: 14 2
[0 0
0 1
],
[a 4
8 6
]no genere M2×2.
Respuesta:
7. Indique en cuales opciones el conjunto dado sı es lineal-
mente independiente:
1. {−5− 4x− 2x2, 5x + x2,−6 + 2x− 6x2}2. {4− 3x + 6x2,−4− x− 6x2,−4 + 7x− 6x2}3. {4 + 2x− 4x2, 3 + 4x + 5x2}4. {−5− 6x + 6x2, 12x + 48x2,−3− 6x− 6x2, 38 + 60x + 12x2}
Respuesta:
8. Indique en cuales opciones el conjunto dado no genera a
M2×2 :
1.
{[−19 −2
5 −6
],
[−2 0
0 −1
],
[−6 0
1 −5
],
[5 2
−3 −5
]}
2.
{[1 5
3 −6
],
[4 1
6 1
],
[−4 3
2 −4
],
[6 −2
−4 −5
],
[1 −5
4 −5
]}
3.
{[−5 −2
5 −6
],
[1 −2
0 6
],
[−2 5
5 2
],
[2 6
−1 −6
]}
4.
{[−12 20
−20 −24
],
[−2 −5
2 −2
],
[1 −3
2 4
],
[−16 0
−20 8
],
[−5 −4
−2 −2
]}
Respuesta:
9. Para que valores del escalar c el espacio generado por 1
1
−2
,
1
2
−1
,
−1
−1 + 2 c
2− 3 c+ c2
,
−1
1
34− 11 c+ c2
tiene dimension 2.
Indique su respuesta, completando los espacios de ser ne-
cesario, en las posibles:
1) Hay una infinidad de valores para c.
2) No existe valor de c.
3) Solo para c =
4) Solo para c1 = , c2 = y c3 =
(Con c1 ≤ c2 ≤ c3)
5) Solo para c1 = y c2 =
(Con c1 ≤ c2)
Respuesta:
10. Cuales opciones no contienen vectores propios a la matriz
A =
−22 50 15
−22 44 12
40 −70 −17
de la lista de vectores:
1.
1
1
−2
2.
2
3
−7
3.
0
−1
3
4.
2
4
−10
5.
1
5
−15
6.
0
9
−30
Respuesta:
11. Indique cuales opciones no contienen una transformacion
lineal de R2 en R2 :
1. T
[x
y
]=
[x+ 6 y
y
]
2. T
[x
y
]=
[x y
−8 y
]
3. T
[x
y
]=
[−4 + x
−5 + x
]
4. T
[x
y
]=
[4x+ y
x− 3 y
]
Respuesta:
12. Suponga que la transformacion lineal T : R2 → R2 cum-
ple:
T
[−3
1
]=
[−2
2
]y
T
[1
4
]=
[3
3
]Determine
T
[3
1
]
Respuesta:
Algebra LinealTercer Examen Parcial
Maestro Eduardo Uresti, Enero-Mayo 2011
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:15
1. Suponga que la transformacion lineal T : R2 → R2 cum-
ple:
T
[1
0
]=
[−2
4
]y
T
[0
1
]=
[−3
3
]Determine
T
[−3
−5
]Respuesta:
2. Indique en cuales opciones el conjunto dado sı genera a
M2×2 :
1.
{[5 2
−6 −6
],
[−4 6
−2 −4
],
[3 −2
5 4
],
[6 −4
4 −1
]}
2.
{[−6 −1
3 −3
],
[4 −6
4 2
],
[−4 3
6 6
],
[24 −11
38 52
]}
3.
{[8 −37
−18 3
],
[3 −10
−30 −26
],
[−1 5
0 −3
],
[−1 4
6 4
]}
4.
{[−5 −3
−4 4
],
[28 22
32 −4
],
[−1 1
−1 −5
],
[2 −3
−3 −5
],
[−21 18
5 −1
]}
Respuesta:
3. Los vectores
1.
1
4
−1
2.
0
12
−33
3.
0
4
−11
4.
1
3
2
5.
−2
−8
2
son vectores propios de la matriz
A =
−163 44 16
−832 225 80
648 −176 −59
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
4. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es
una base para V , G es un conjunto generador para V , I es
un conjunto linealmente independiente de V , D es un con-
junto linealmente dependiente de V , C es un conjunto de
elementos de V y 20 es la dimension de V . Indique como
son cada una de las afirmaciones
a) Si D tiene 20 elementos, entonces D es base.
b) B tiene menos de 20 elementos.
c) D tiene al menos 20 elementos.
d) G tiene menos de 20 elementos.
e) Si G tiene 21 elementos, entonces G es linealmente
dependiente.
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente informacion
Respuesta:
5. Si:
A =
[−3 −4
1 1
]
B =
[−16 −17
1 3
]
C =
[−3 −4
1 1
]
D =
[3 −4
1 −1
]Resuelva para Y el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:A X + B Y = C
X + 4Y = D
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
6. Liste todos los valores de a para los cuales el conjunto
formado por las matrices[2 0
0 1
],
[1 0
2 2
][
2 2
0 2
],
[a 2
2 6
]
MA1010, Tercer Examen Parcial, Tipo: 15 2
no genere M2×2.
Respuesta:
7. Para que valores del escalar x el espacio generado por 1
−1
−2
,
0
1
−1
,
−1
1 + x
2− 4x+ x2
,
−2
0
18− 7x+ x2
tiene dimension 2.
Indique su respuesta, completando los espacios de ser ne-
cesario, en las posibles:
1) No existe valor de x.
2) Hay una infinidad de valores para x.
3) Solo para x =
4) Solo para x1 = , x2 = y x3 =
(Con x1 ≤ x2 ≤ x3)
5) Solo para x1 = y x2 =
(Con x1 ≤ x2)
Respuesta:
8. ¿Cual es el valor del parametro a para que la matriz 8 −4 a
4 −1 0
4 −2 −2
no sea invertible?
Respuesta:
9. Suponga que la transformacion lineal T : R2 → R2 cum-
ple:
T
[2
−5
]=
[2
−4
]y
T
[−3
4
]=
[−3
−1
]Determine
T
[4
−2
]Respuesta:
10. Cuales opciones no contienen vectores propios a la matriz
A =
−349 84 −24
−960 231 −66
1824 −440 125
de la lista de vectores:
1.
1
3
−4
2.
4
11
−20
3.
−2
−5
12
4.
7
19
−37
5.
−20
−54
106
6.
−9
−24
48
Respuesta:
11. Indique en cuales opciones el conjunto dado sı es lineal-
mente independiente:
1.
{[2 −6
1 2
],
[4 0
1 −2
],
[−3 5
−5 −3
]}
2.
{[−5 15
−30 −30
],
[2 0
−3 −3
],
[1 −2
3 3
],
[3 −3
6 6
]}
3.
{[3 2
2 4
],
[−33 18
18 −12
],
[6 −6
−6 0
]}
4.
{[−5 2
−5 −1
],
[−4 3
−2 −1
],
[3 0
1 −1
],
[6 −4
−3 4
]}
Respuesta:
12. Liste todos los valores de a para los cuales el conjunto
{4 + 2x + 2x2, 3 + x + 5x2, 14 + 6x + a x2}
sea linealmente dependiente.
Respuesta:
Algebra LinealTercer Examen Parcial
Maestro Eduardo Uresti, Enero-Mayo 2011
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:16
1. Suponga que la transformacion lineal T : R2 → R2 cum-
ple:
T
[1
0
]=
[−4
−4
]y
T
[0
1
]=
[2
4
]Determine
T
[−3
−5
]Respuesta:
2. Indique en cuales opciones el conjunto dado no es lineal-
mente independiente:
1.
{[−1 −6
−6 5
],
[5 5
−6 −5
],
[3 −4
−5 1
]}
2.
{[−3 0
3 −4
],
[4 6
−2 −3
],
[−4 −6
−1 3
],
[3 6
−5 4
]}
3.
{[−4 −2
2 −6
],
[−16 −30
2 24
],
[−3 2
−3 −3
],
[−5 −5
0 1
]}
4.
{[−22 8
−30 10
],
[1 −5
−6 5
],
[4 −3
3 0
]}
Respuesta:
3. Indique la dimension del subespacio . . .
(1) generado por{[0 −1
−1 1
],
[0 0
−1 −1
],
[1 −1
0 −2
],
[1 −2
1 1
]}
(2) generado por{1 + x− 3x2 − 3x3, 2 + 2x− 6x2 − 6x3,
−2− 2x+ 6x2 + 6x3, −2− 2x+ 6x2 + 6x3
}
(3) formado por los vectores x que cumplen: 1 1 4
2 4 8
3 3 12
x =
0
0
0
Respuesta:
4. Que valor debe tener a para que la matriz:
A =
[0 a
4 4
]
sea una combinacion lineal de las matrices:
A1 =
[3 −3
2 1
]A2 =
[−3 3
−1 0
]A3 =
[3 2
0 −1
]Respuesta:
5. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo A, tipo B y tipo C. En una primera
etapa de ensamble usando As, Bs y Cs se producen los
tipos de armados M, N y P. En una segunda etapa de en-
samble usando los tipos M, N y P se producen los tipos
de armados X, Y y Z. Se sabe que para armar 3 Xs, 4 Ys
y 5 Zs se requirieron en total 378 As, 378 Bs y 397 Cs;
para armar 5 Xs, 4 Ys y 2 Zs se requirieron en total 332
As, 342 Bs y 352 Cs; y que para armar 5 Xs, 2 Ys y 5 Zs
se requirieron en total 372 As, 374 Bs y 391 Cs. Ademas,
se sabe que para obtener un X se requieren 2 Ms, 5 Ns y
4 Ps; para un Y se requieren 3 Ms, 3 Ns y 5 Ps y para
un Z se requieren 4 Ms, 2 Ns y 5 Ps. Indique, en orden,
cuantas piezas A y cuantas B se requieren para armar un
X y cuantas piezas A y cuantas B para armar un M.
Respuesta:
6. Liste todos los valores de a para los cuales el conjunto
formado por las matrices[1 1
4 1
],
[3 1
5 2
][
1 4
5 3
],
[4 a
4 3
]sea linealmente dependiente.
Respuesta:
7. Liste todos los valores de a para los cuales el conjunto
formado por las matrices[2 1
1 2
],
[2 2
2 1
][
2 0
0 1
],
[10 a
5 6
]no genere M2×2.
Respuesta:
8. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
MA1010, Tercer Examen Parcial, Tipo: 16 2
a) Si el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A es invertible.
b) Si el sistema (A A) x = 0 tiene solucion unica, enton-
ces A es invertible.
c) Si para un vector b el sistema A x = b tiene solucion
unica, entonces A no es invertible.
d) Si la matriz A no es invertible, entonces A x = 0 tie-
ne infinitas soluciones.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) Cierto
3) No se sabe
Respuesta:
9. Suponga que la transformacion lineal T : R2 → R2 cum-
ple:
T
[5
1
]=
[−3
−1
]y
T
[−3
−5
]=
[3
−1
]Determine
T
[4
4
]Respuesta:
10. Los vectores
1.
2
−9
−5
2.
1
−4
−3
3.
−2
8
6
4.
15
−69
−33
5.
−2
9
5
son vectores propios de la matriz
A =
−7 −5 5
−2 17 −26
86 23 −4
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
11. Para que valores del escalar a el espacio generado por 1
−2
−2
,
1
−3
0
,
0
−a
−3 a+ a2
,
1
−4
32− 11 a+ a2
tiene dimension 2.
Indique su respuesta, completando los espacios de ser ne-
cesario, en las posibles:
1) Solo para a =
2) No existe valor de a.
3) Solo para a1 = y a2 =
(Con a1 ≤ a2)
4) Hay una infinidad de valores para a.
5) Solo para a1 = , a2 = y a3 =
(Con a1 ≤ a2 ≤ a3)
Respuesta:
12. Cuales opciones no contienen vectores propios a la matriz
A =
301 −89 −26
1252 −370 −108
−850 250 72
de la lista de vectores:
1.
−16
−68
50
2.
9
38
−27
3.
−2
−9
8
4.
6
26
−20
5.
1
4
−2
6.
4
17
−12
Respuesta:
Algebra LinealTercer Examen Parcial
Maestro Eduardo Uresti, Enero-Mayo 2011
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:17
1. Indique la dimension del subespacio . . .
(1) generado por{[−2 1
2 1
],
[−2 1
2 −1
],
[−2 0
1 0
],
[−1 2
1 −2
]}
(2) generado por{−2 + 3x− 3x2 − 3x3, −2 + 3x− 3x2 − 3x3,
6− 9x+ 9x2 + 9x3, 6− 9x+ 9x2 + 9x3
}
(3) formado por los vectores x que cumplen: 5 15 15
3 9 9
3 9 9
x =
0
0
0
Respuesta:
2. Si:
A =
[0 3
−3 2
]
B =
[−3 1
−4 1
]
C =
[−4 −3
−1 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A X = B X + C
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
3. Que valor debe tener a para que la matriz:
A =
[6 a
0 −3
]sea una combinacion lineal de las matrices:
A1 =
[3 −2
0 1
]A2 =
[1 1
2 3
]A3 =
[1 2
2 −2
]
Respuesta:
4. Si
p1 = 8 + 6x, p2 = 4 + 2x, p3 = 4 + 4x, p4 = 32 + 24x
Indique cuales opciones contienen declaraciones ciertas:
1. p2 ∈ Gen {p1, p3} 2. p4 ∈ Gen {p1}3. p4 ∈ Gen {p3} 4. p1 ∈ Gen {p2, p3}5. p3 ∈ Gen {p1, p2} 6. p1 ∈ Gen {p4}
Respuesta:
5. Cuales opciones no contienen vectores propios a la matriz
A =
0 2 −1
−5 −1 3
−10 −4 7
de la lista de vectores:
1.
1
0
0
2.
2
3
5
3.
0
−1
−1
4.
0
2
4
5.
−1
−2
−3
6.
1
1
2
Respuesta:
6. Liste todos los valores de a para los cuales el conjunto
{1 + 3x + x2, 4 + 5x + 3x2, 19 + 29x + a x2}
sea linealmente dependiente.
Respuesta:
7. Suponga que la transformacion lineal T : R2 → R2 cum-
ple:
T
[1
0
]=
[3
−3
]y
T
[0
1
]=
[−2
3
]Determine
T
[−5
4
]Respuesta:
MA1010, Tercer Examen Parcial, Tipo: 17 2
8. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo A, tipo B y tipo C. En una primera
etapa de ensamble usando As, Bs y Cs se producen los
tipos de armados M, N y P. En una segunda etapa de en-
samble usando los tipos M, N y P se producen los tipos
de armados X, Y y Z. Se sabe que para armar 4 Xs, 2 Ys
y 4 Zs se requirieron en total 392 As, 476 Bs y 476 Cs;
para armar 3 Xs, 3 Ys y 3 Zs se requirieron en total 345
As, 423 Bs y 420 Cs; y que para armar 4 Xs, 5 Ys y 5 Zs
se requirieron en total 534 As, 658 Bs y 653 Cs. Ademas,
se sabe que para obtener un X se requieren 3 Ms, 5 Ns y
5 Ps; para un Y se requieren 5 Ms, 2 Ns y 4 Ps y para
un Z se requieren 5 Ms, 5 Ns y 4 Ps. Indique, en orden,
cuantas piezas A y cuantas B se requieren para armar un
X y cuantas piezas A y cuantas B para armar un M.
Respuesta:
9. Determine el polinomio caracterıstico de la matriz
A =
−17 −3 −9
12 −1 10
54 15 22
De, en orden creciente a las potencias, sus coeficientes. De
ser necesario reporte ceros en los terminos faltantes.
Respuesta:
10. Indique cuales opciones no contienen una transformacion
lineal de R2 en R2 :
1. T
[x
y
]=
[6x+ y
x− 2 y
]
2. T
[x
y
]=
[x y
−6 y
]
3. T
[x
y
]=
[x+ 8 y
5 y
]
4. T
[x
y
]=
[−4 + x
−6 + x
]
Respuesta:
11. Indique en cuales opciones el conjunto dado no es lineal-
mente independiente:
1.
{[−3 2
−6 −5
],
[−2 1
6 −5
],
[−4 4
−5 −4
],
[−4 11
−43 15
]}
2.
{[−1 −3
1 4
],
[5 3
−6 −3
],
[4 5
6 −1
],
[1 5
−4 −5
]}
3.
{[−5 −1
−3 −4
],
[−13 −29
−33 10
],
[−3 −5
−6 1
]}
4.
{[4 6
−1 −2
],
[−5 2
3 3
],
[−6 −3
5 5
]}
Respuesta:
12. Para que valores del escalar k el espacio generado por
1
−2
1
,
0
1
1
,
−1
2 + 2 k
−1− 2 k + k2
,
0
−1
19− 9 k + k2
tiene dimension 2.
Indique su respuesta, completando los espacios de ser ne-
cesario, en las posibles:
1) No existe valor de k.
2) Hay una infinidad de valores para k.
3) Solo para k =
4) Solo para k1 = , k2 = y k3 =
(Con k1 ≤ k2 ≤ k3)
5) Solo para k1 = y k2 =
(Con k1 ≤ k2)
Respuesta:
Algebra LinealTercer Examen Parcial
Maestro Eduardo Uresti, Enero-Mayo 2011
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:18
1. Si:
A =
[0 0
0 0
]
B =
[−4 −3
−1 −1
]
C =
[2 −3
1 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A X = B X + C
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
2. Indique la dimension del subespacio . . .
(1) generado por{[0 −1
0 0
],
[−1 −1
0 0
],
[−2 0
0 0
],
[−2 −1
0 0
]}
(2) generado por{−1− 3x− 3x2 + 3x3, −3− x3,
1− x+ 2x3, −x− 3x2
}
(3) formado por los vectores x que cumplen: 4 4 4
1 3 1
2 2 5
x =
0
0
0
Respuesta:
3. Suponga que la transformacion lineal T : R2 → R2 cum-
ple:
T
[1
0
]=
[−1
−2
]y
T
[0
1
]=
[−3
−1
]Determine
T
[5
−5
]Respuesta:
4. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es
una base para V , G es un conjunto generador para V , Ies un conjunto linealmente independiente de V , D es un
conjunto linealmente dependiente de V , C es un conjunto
de elementos de V y 9 es la dimension de V . Indique como
son cada una de las afirmaciones
a) Si D tiene 9 elementos, entonces D genera a V .
b) I tiene al menos 9 elementos.
c) G tiene al menos 9 elementos.
d) Si I tiene menos de 9 elementos, entonces I genera
a V .
e) B tiene 9 elementos.
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente informacion
Respuesta:
5. Liste todos los valores de a para los cuales el conjunto
{6 + 5x + 6x2, 6 + 5x + x2, 24 + a x + 14x2}
sea linealmente dependiente.
Respuesta:
6. Indique en cuales opciones el conjunto dado sı es lineal-
mente independiente:
1. {2 + 5x− 6x2,−5x + 2x2}2. {21 + 12x− 24x2,−21− 27x− 2x2, 2− x− 6x2, 3 + 6x + 4x2}3. {−18− 35x + 22x2, 3 + 5x− 3x2,−5x + 4x2}4. {−1 + x + 6x2, 2− 2x + 5x2, 5− 2x2}
Respuesta:
7. Los vectores
1.
−3
3
−3
2.
−12
10
−19
3.
1
−1
1
4.
4
−3
8
5.
−8
6
−16
MA1010, Tercer Examen Parcial, Tipo: 18 2
son vectores propios de la matriz
A =
324 260 −64
−273 −219 54
498 400 −98
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
8. Que valor debe tener a para que el polinomio:
p = −2 + a x + 6x3
sea una combinacion lineal de los polinomios:
p1 = 1− 2x2 + x3
p2 = −1 + x + 2x2 + x3
p3 = −1 + x− x2 + x3
Respuesta:
9. Indique cuales opciones no contienen una transformacion
lineal de R2 en R2 :
1. T
[x
y
]=
[x y
−6 y
]
2. T
[x
y
]=
[2x+ y
x− 8 y
]
3. T
[x
y
]=
[−4 + x
−4 + x
]
4. T
[x
y
]=
[x+ 8 y
5 y
]
Respuesta:
10. ¿Cual es el valor del parametro a para que la matriz −8 −4 −3
−8 −4 −4
a −4 0
sea singular?
Respuesta:
11. Determine el polinomio caracterıstico de la matriz
A =
−45 −30 16
80 53 −28
10 6 −3
De, en orden creciente a las potencias, sus coeficientes. De
ser necesario reporte ceros en los terminos faltantes.
Respuesta:
12. Que valor debe tener a para que la matriz:
A =
[−13 a
12 6
]sea una combinacion lineal de las matrices:
A1 =
[4 −3
−3 −1
]A2 =
[−1 0
2 0
]A3 =
[2 0
−2 −2
]
Respuesta:
Algebra LinealTercer Examen Parcial
Maestro Eduardo Uresti, Enero-Mayo 2011
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:19
1. Los vectores
1.
−2
−8
8
2.
3
13
−15
3.
15
64
−71
4.
−30
−128
142
5.
1
4
−4
son vectores propios de la matriz
A =
−422 150 45
−1764 627 188
1876 −666 −199
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
2. Determine el polinomio caracterıstico de la matriz
A =
2 16 −10
0 22 −12
0 36 −20
De, en orden creciente a las potencias, sus coeficientes. De
ser necesario reporte ceros en los terminos faltantes.
Respuesta:
3. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es
una base para V , G es un conjunto generador para V , I es
un conjunto linealmente independiente de V , D es un con-
junto linealmente dependiente de V , C es un conjunto de
elementos de V y 13 es la dimension de V . Indique como
son cada una de las afirmaciones
a) Si D tiene 13 elementos, entonces D genera a V .
b) G tiene a lo mas 13 elementos.
c) B tiene mas de 13 elementos.
d) Si I tiene menos de 13 elementos, entonces I genera
a V .
e) D tiene mas de 13 elementos.
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente informacion
Respuesta:
4. Que valor debe tener a para que el polinomio:
p = a− 2x− x3
sea una combinacion lineal de los polinomios:
p1 = 1− 5x2 + x3
p2 = −1 + x + 5x2 + x3
p3 = −1 + x + 2x2 + x3
Respuesta:
5. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si para un vector b el sistema A x = b tiene infinitas
soluciones, entonces A no es invertible.
b) Si el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A ·A es invertible.
c) Si el sistema A x = 0 tiene solucion unica, entonces
A es invertible.
d) Si la matriz A es invertible, entonces A x = 0 tiene
infinitas soluciones.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) No se sabe
3) Falso
Respuesta:
6. Liste todos los valores de a para los cuales el conjunto
formado por las matrices[2 2
3 2
],
[4 3
1 4
][
5 3
2 5
],
[2 3
4 a
]sea linealmente dependiente.
Respuesta:
MA1010, Tercer Examen Parcial, Tipo: 19 2
7. Que valor debe tener a para que la matriz:
A =
[12 0
a −1
]sea una combinacion lineal de las matrices:
A1 =
[−3 1
−1 1
]A2 =
[0 −2
4 2
]A3 =
[−2 0
1 −1
]
Respuesta:
8. Indique la dimension del subespacio . . .
(1) generado por{[2 −2
−1 0
],
[2 0
−6 −4
],
[−6 8
−2 −4
],
[1 −2
2 2
]}
(2) generado por{−3− x+ 2x2 − 3x3, 9 + 3x− 6x2 + 9x3,
−9− 3x+ 6x2 − 9x3, 3 + x− 2x2 + 3x3
}
(3) formado por los vectores x que cumplen: 4 4 16
5 8 20
5 5 20
x =
0
0
0
Respuesta:
9. Suponga que la transformacion lineal T : R2 → R2 cum-
ple:
T
[−4
1
]=
[3
4
]y
T
[−5
1
]=
[2
2
]
Determine
T
[−2
2
]Respuesta:
10. Indique cuales opciones no contienen una transformacion
lineal de R2 en R2 :
1. T
[x
y
]=
[2x+ y
x− 6 y
]
2. T
[x
y
]=
[x+ 4 y
y
]
3. T
[x
y
]=
[x y
−4 y
]
4. T
[x
y
]=
[−7 + x
−4 + x
]
Respuesta:
11. Indique en cuales opciones el conjunto dado no es lineal-
mente independiente:
1. {−6− 3x− x2, 6− 4x + 6x2,−24 + 2x− 14x2}2. {5− 2x + 6x2, 4 + 3x− 6x2}3. {−4 + 2x− 2x2,−3− 4x, 3− 4x + 6x2}4. {12− 4x + 4x2,−24 + 7x− 19x2, 4− x + 5x2,−4 + 2x + 6x2}
Respuesta:
12. ¿Cual es el valor del parametro a para que la matriz −4 −8 −4
−1 −2 0
−1 a 0
sea singular?
Respuesta:
Algebra LinealTercer Examen Parcial
Maestro Eduardo Uresti, Enero-Mayo 2011
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:20
1. Determine el polinomio caracterıstico de la matriz
A =
6 1 2
−34 −7 −10
26 7 6
De, en orden creciente a las potencias, sus coeficientes. De
ser necesario reporte ceros en los terminos faltantes.
Respuesta:
2. Indique cuales opciones sı contienen una transformacion
lineal de R2 en R2 :
1. T
[x
y
]=
[6x+ y
x− 4 y
]
2. T
[x
y
]=
[−3 + x
−5 + x
]
3. T
[x
y
]=
[x+ 8 y
y
]
4. T
[x
y
]=
[x y
−3 y
]
Respuesta:
3. Que valor debe tener a para que la matriz:
A =
[−4 7
12 a
]sea una combinacion lineal de las matrices:
A1 =
[−2 −1
3 −3
]A2 =
[0 0
4 0
]A3 =
[2 −2
−1 0
]Respuesta:
4. Si:
A =
[−3 −4
1 1
]
B =
[−3 −4
1 1
]
C =
[−4 −3
−1 −1
]
Resuelva para X la siguiente ecuacion:
(A X B)T
CT −B = 0
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
5. Liste todos los valores de a para los cuales el conjunto
formado por las matrices[0 2
2 1
],
[1 2
1 2
][
0 1
0 2
],
[2 8
4 a
]no genere M2×2.
Respuesta:
6. Suponga que la transformacion lineal T : R2 → R2 cum-
ple:
T
[1
0
]=
[1
3
]y
T
[0
1
]=
[−1
1
]Determine
T
[−4
4
]
Respuesta:
7. Liste todos los valores de a para los cuales el conjunto
{2 + 2x + 5x2, 2 + 6x + 4x2, a + 28x + 26x2}
sea linealmente dependiente.
Respuesta:
8. Cuales opciones no contienen vectores propios a la matriz
A =
3 156 −53
2 109 −37
6 312 −106
MA1010, Tercer Examen Parcial, Tipo: 20 2
de la lista de vectores:
1.
14
10
29
2.
9
6
18
3.
13
9
26
4.
10
7
20
5.
−2
−1
−3
6.
4
3
9
Respuesta:
9. Indique la dimension del subespacio . . .
(1) generado por{[1 −1
−2 2
],
[2 0
−6 7
],
[−2 −2
−2 1
],
[1 2
0 1
]}(2) generado por{
−1 + x+ 2x2, −1 + x+ x2 − 3x3,
2− 2x− x2 + 9x3, 2− 2x− x2 + 9x3
}(3) formado por los vectores x que cumplen: 1 2 2
5 10 10
1 2 2
x =
0
0
0
Respuesta:
10. Si:
A =
[−2 −3
1 1
]
B =
[−6 −16
2 6
]
C =
[−2 1
−3 1
]
D =
[−4 −3
−1 −1
]
Resuelva para Y el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:
A X + B Y = C
X + 5Y = D
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
11. Indique en cuales opciones el conjunto dado sı es lineal-
mente independiente:
1.
{[−2 −3
−6 0
],
[0 −4
0 −3
],
[−2 2
2 3
],
[−1 −5
−5 6
]}
2.
{[6 −4
1 3
],
[4 2
5 0
],
[1 3
6 −3
]}
3.
{[39 −6
7 20
],
[−1 1
−2 −2
],
[5 −2
0 2
],
[−4 −2
−1 −2
]}
4.
{[0 3
−5 −1
],
[6 5
2 4
],
[−30 −34
5 −17
]}
Respuesta:
12. Para que valores del escalar b el espacio generado por 1
1
−1
,
−1
−3
5
,
−2
−2− b
2− b+ b2
,
−1
−2
15− 7 b+ b2
tiene dimension 2.
Indique su respuesta, completando los espacios de ser ne-
cesario, en las posibles:
1) Solo para b1 = y b2 =
(Con b1 ≤ b2)
2) Solo para b1 = , b2 = y b3 =
(Con b1 ≤ b2 ≤ b3)
3) Solo para b =
4) No existe valor de b.
5) Hay una infinidad de valores para b.
Respuesta:
Algebra LinealTercer Examen Parcial
Maestro Eduardo Uresti, Enero-Mayo 2011
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:21
1. Indique cuales opciones no contienen una transformacion
lineal de R2 en R2 :
1. T
[x
y
]=
[x y
−5 y
]
2. T
[x
y
]=
[x+ 8 y
4 y
]
3. T
[x
y
]=
[5x+ y
x− 7 y
]
4. T
[x
y
]=
[−6 + x
−8 + x
]
Respuesta:
2. Suponga que la transformacion lineal T : R2 → R2 cum-
ple:
T
[−1
4
]=
[3
1
]y
T
[4
0
]=
[−2
−4
]Determine
T
[−4
1
]Respuesta:
3. Si:
A =
[−4 −1
−3 −1
]
B =
[−2 1
−3 1
]
C =
[−2 1
−3 1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
(A X B)T
CT −B = 0
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
4. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es
una base para V , G es un conjunto generador para V , I es
un conjunto linealmente independiente de V , D es un con-
junto linealmente dependiente de V , C es un conjunto de
elementos de V y 14 es la dimension de V . Indique como
son cada una de las afirmaciones
a) Si I tiene 14 elementos, entonces I genera a V .
b) B tiene menos de 14 elementos.
c) Si D tiene mas de 14 elementos, entonces D genera a
V .
d) D tiene al menos 14 elementos.
e) I tiene al menos 14 elementos.
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente informacion
Respuesta:
5. Liste todos los valores de a para los cuales el conjunto
formado por las matrices[1 4
5 3
],
[1 4
2 5
][
1 3
1 2
],
[3 a
3 3
]sea linealmente dependiente.
Respuesta:
6. Si
A1 =
[4 5
1 −3
]A2 =
[6 2
6 2
]
A3 =
[16 9
13 1
]A4 =
[16 20
4 −12
]Indique cuales opciones contienen declaraciones ciertas:
1. A2 ∈ Gen{A1, A4} 2. A1 ∈ Gen{A2, A3}3. A4 ∈ Gen{A2, A3} 4. A1 ∈ Gen{A4}5. A4 ∈ Gen{A3} 6. A3 ∈ Gen{A1, A2}
Respuesta:
MA1010, Tercer Examen Parcial, Tipo: 21 2
7. Los vectores
1.
1
−3
3
2.
−42
117
−132
3.
8
−22
26
4.
−14
39
−44
5.
3
−9
9
son vectores propios de la matriz
A =
384 68 −60
−1074 −190 168
1194 212 −186
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
8. Indique en cuales opciones el conjunto dado no es lineal-
mente independiente:
1. {2− 6x− 5x2, 4 + 4x− 6x2, 14− 10x− 27x2}2. {3x− 2x2,−5− 4x− 2x2}3. {4− x− 6x2,−5x + 3x2,−12− 22x + 33x2, 8 + 23x− 27x2}4. {2x + 5x2, 4− 3x + x2,−3− 3x− 2x2}
Respuesta:
9. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo A, tipo B y tipo C. En una primera
etapa de ensamble usando As, Bs y Cs se producen los
tipos de armados M, N y P. En una segunda etapa de en-
samble usando los tipos M, N y P se producen los tipos
de armados X, Y y Z. Se sabe que para armar 4 Xs, 2 Ys
y 2 Zs se requirieron en total 342 As, 304 Bs y 372 Cs;
para armar 4 Xs, 5 Ys y 2 Zs se requirieron en total 477
As, 442 Bs y 531 Cs; y que para armar 2 Xs, 2 Ys y 4 Zs
se requirieron en total 318 As, 282 Bs y 344 Cs. Ademas,
se sabe que para obtener un X se requieren 3 Ms, 5 Ns y
3 Ps; para un Y se requieren 2 Ms, 5 Ns y 5 Ps y para
un Z se requieren 3 Ms, 3 Ns y 2 Ps. Indique, en orden,
cuantas piezas A y cuantas B se requieren para armar un
X y cuantas piezas A y cuantas B para armar un M.
Respuesta:
10. Indique en cuales opciones el conjunto dado sı genera a
M2×2 :
1.
{[−4 2
−5 1
],
[4 −6
−2 0
],
[6 4
0 −3
],
[−3 2
−1 −1
]}
2.
{[0 −4
0 −6
],
[6 5
1 3
],
[−4 6
−2 1
],
[3 −2
−3 1
],
[−2 −1
−3 −3
]}
3.
{[2 −3
0 −5
],
[2 4
−2 −1
],
[−4 19
−2 −7
],
[2 2
−2 6
]}
4.
{[−6 1
3 −2
],
[47 −15
−6 16
],
[−5 3
−6 −3
],
[−6 6
−6 −1
],
[8 −25
57 5
]}
Respuesta:
11. Cuales opciones no contienen vectores propios a la matriz
A =
−41 −136 48
32 103 −36
48 152 −53
de la lista de vectores:
1.
−1
0
−1
2.
−8
5
6
3.
−7
5
7
4.
3
−2
−3
5.
1
−1
−2
6.
−27
18
24
Respuesta:
12. Indique la dimension del subespacio . . .
(1) generado por{[−1 1
−1 0
],
[2 −2
2 0
],
[2 −2
2 0
],
[−1 1
−1 0
]}
(2) generado por{−3− x, −1 + 3x− 3x2,
−5 + 5x− 6x2, 7− x+ 3x2
}
(3) formado por los vectores x que cumplen: 2 6 6
4 12 12
1 3 3
x =
0
0
0
Respuesta:
Algebra LinealTercer Examen Parcial
Maestro Eduardo Uresti, Enero-Mayo 2011
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:22
1. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es
una base para V , G es un conjunto generador para V , I es
un conjunto linealmente independiente de V , D es un con-
junto linealmente dependiente de V , C es un conjunto de
elementos de V y 16 es la dimension de V . Indique como
son cada una de las afirmaciones
a) B tiene 16 elementos.
b) D tiene al menos 16 elementos.
c) Si D tiene mas de 16 elementos, entonces D genera a
V .
d) I tiene al menos 16 elementos.
e) G tiene al menos 16 elementos.
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente informacion
Respuesta:
2. Indique en cuales opciones el conjunto dado no es lineal-
mente independiente:
1.
{[4 3
0 −4
],
[0 1
0 −6
],
[−6 5
−3 −2
],
[−2 −6
−4 −4
]}
2.
{[−5 1
−2 5
],
[−3 −1
−2 5
],
[−4 2
−3 −4
]}
3.
{[−6 6
0 2
],
[24 −24
−30 −40
],
[−1 1
−5 −5
]}
4.
{[−6 −3
5 3
],
[−6 −4
−3 −3
],
[12 −30
−36 −36
],
[−2 4
−2 0
]}
Respuesta:
3. Si
A1 =
[2 5
5 3
]A2 =
[5 5
−1 −1
]
A3 =
[7 10
4 2
]A4 =
[4 10
10 6
]Indique cuales opciones contienen declaraciones falsas:
1. A4 ∈ Gen{A2, A3} 2. A4 ∈ Gen{A1}3. A1 ∈ Gen{A4} 4. A3 ∈ Gen{A1, A2}5. A2 ∈ Gen{A1, A4} 6. A1 ∈ Gen{A2, A3}
Respuesta:
4. Indique cuales opciones no contienen una transformacion
lineal de R2 en R2 :
1. T
[x
y
]=
[−5 + x
−8 + x
]
2. T
[x
y
]=
[5x+ y
x− 7 y
]
3. T
[x
y
]=
[x y
−7 y
]
4. T
[x
y
]=
[x+ 3 y
y
]
Respuesta:
5. Liste todos los valores de a para los cuales el conjunto
formado por las matrices[5 5
5 5
],
[1 4
5 1
][
3 3
5 2
],
[4 a
3 5
]sea linealmente dependiente.
Respuesta:
6. Determine el polinomio caracterıstico de la matriz
A =
−45 12 10
−108 29 24
−92 24 21
De, en orden creciente a las potencias, sus coeficientes. De
ser necesario reporte ceros en los terminos faltantes.
Respuesta:
7. Indique en cuales opciones el conjunto dado sı genera a
M2×2 :
1.
{[0 2
6 3
],
[6 −1
−5 −4
],
[−44 20
44 51
],
[−4 −2
26 −4
],
[−2 3
2 6
]}
2.
{[5 −6
6 1
],
[3 −2
−1 4
],
[0 −4
−2 0
],
[3 −5
5 0
],
[6 −6
3 −1
]}
3.
{[5 0
−2 1
],
[−3 3
6 4
],
[−5 −4
−6 −3
],
[6 5
−6 −2
]}
4.
{[−4 4
0 5
],
[3 6
−4 5
],
[−6 −68
34 −66
],
[6 4
−5 3
]}
Respuesta:
MA1010, Tercer Examen Parcial, Tipo: 22 2
8. Cuales opciones contienen vectores propios a la matriz
A =
17 17 −2
−2 −8 −4
20 20 −2
de la lista de vectores:
1.
7
−4
9
2.
4
−3
5
3.
9
−6
12
4.
1
−1
1
5.
−2
1
−3
6.
5
−3
6
Respuesta:
9. Para que valores del escalar a el espacio generado por 1
−2
−1
,
1
−3
1
,
1
−2− a
−1 + a2
,
0
−1
8− 5 a+ a2
tiene dimension 2.
Indique su respuesta, completando los espacios de ser ne-
cesario, en las posibles:
1) Solo para a1 = , a2 = y a3 =
(Con a1 ≤ a2 ≤ a3)
2) Hay una infinidad de valores para a.
3) Solo para a1 = y a2 =
(Con a1 ≤ a2)
4) Solo para a =
5) No existe valor de a.
Respuesta:
10. Si:
A =
[−3 1
−4 1
]
B =
[−8 1
−17 5
]
C =
[−4 −1
−3 −1
]
D =
[−2 −3
1 1
]
Resuelva para Y el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:
A X + B Y = C
X + 4Y = D
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
11. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si para un vector b el sistema A x = b tiene infinitas
soluciones, entonces A no es invertible.
b) Si el sistema A x = 0 tiene solucion unica, entonces
A es invertible.
c) Si el sistema (A A) x = 0 tiene solucion unica, enton-
ces A es invertible.
d) Si la matriz A no es invertible, entonces A x = 0 tie-
ne solucion unica.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) Cierto
3) No se sabe
Respuesta:
12. Suponga que la transformacion lineal T : R2 → R2 cum-
ple:
T
[1
0
]=
[−3
4
]y
T
[0
1
]=
[3
−2
]Determine
T
[−5
3
]
Respuesta:
Algebra LinealTercer Examen Parcial
Maestro Eduardo Uresti, Enero-Mayo 2011
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:23
1. Indique la dimension del subespacio . . .
(1) generado por{[2 −2
1 −1
],
[2 −2
1 2
],
[2 4
−4 −1
],
[−1 −2
2 2
]}
(2) generado por{3− 2x+ 2x2 − 3x3, 3− x2 − x3,
18− 6x+ 3x2 − 12x3, −9 + 4x− 3x2 + 7x3
}
(3) formado por los vectores x que cumplen: 4 8 12
1 2 3
4 8 12
x =
0
0
0
Respuesta:
2. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si para un vector b el sistema A x = b tiene solucion
unica, entonces A no es invertible.
b) Si la matriz A no es invertible, entonces A x = 0 tie-
ne solucion unica.
c) Si la matriz A ·A no es invertible, entonces A x = 0
tiene solucion unica.
d) Si el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A es invertible.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Cierto
3) Falso
Respuesta:
3. Suponga que la transformacion lineal T : R2 → R2 cum-
ple:
T
[1
0
]=
[−4
3
]y
T
[0
1
]=
[−3
3
]Determine
T
[−5
−4
]Respuesta:
4. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es
una base para V , G es un conjunto generador para V , I es
un conjunto linealmente independiente de V , D es un con-
junto linealmente dependiente de V , C es un conjunto de
elementos de V y 11 es la dimension de V . Indique como
son cada una de las afirmaciones
a) G tiene al menos 11 elementos.
b) Si G tiene 11 elementos, entonces I es linealmente
independiente.
c) Si D tiene mas de 11 elementos, entonces D es base.
d) D tiene a lo mas 11 elementos.
e) I tiene menos de 12 elementos.
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente informacion
Respuesta:
5. Cuales opciones contienen vectores propios a la matriz
A =
186 72 44
−468 −182 −108
41 18 3
de la lista de vectores:
1.
−16
37
5
2.
4
−9
−2
3.
36
−84
−9
4.
−3
7
1
5.
1
−2
−1
6.
−11
26
2
Respuesta:
6. Indique en cuales opciones el conjunto dado no es lineal-
mente independiente:
1. {−3 + 2x− 6x2,−2− 2x− 2x2, 4 + 6x− 5x2}2. {−1 + 4x,−5− x2}3. {6− 6x + 6x2,−2 + 6x + 5x2, 20 + 55x2}4. {−7 + 32x− 14x2, 5− 21x + 23x2,−1 + 4x− 6x2, 1− 5x− x2}
Respuesta:
MA1010, Tercer Examen Parcial, Tipo: 23 2
7. Los vectores
1.
22
−28
−58
2.
3
−4
−8
3.
11
−14
−29
4.
1
−1
−3
5.
−3
4
8
son vectores propios de la matriz
A =
154 28 43
−188 −35 −52
−408 −72 −115
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
8. Indique en cuales opciones el conjunto dado no genera a
M2×2 :
1.
{[3 −6
−4 2
],
[−5 2
−1 −4
],
[1 1
6 4
],
[0 −1
−3 4
]}
2.
{[−5 −4
−5 −5
],
[2 4
−4 −4
],
[−4 5
1 6
],
[6 4
−2 −5
],
[−5 −6
4 4
]}
3.
{[−3 −1
−4 −3
],
[4 −4
4 6
],
[−35 −14
4 19
],
[−5 0
4 5
]}
4.
{[6 4
4 2
],
[−3 5
−4 5
],
[3 −2
−3 −1
],
[−3 2
4 3
]}
Respuesta:
9. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo A, tipo B y tipo C. En una primera
etapa de ensamble usando As, Bs y Cs se producen los
tipos de armados M, N y P. En una segunda etapa de en-
samble usando los tipos M, N y P se producen los tipos
de armados X, Y y Z. Se sabe que para armar 2 Xs, 3 Ys
y 4 Zs se requirieron en total 448 As, 334 Bs y 394 Cs;
para armar 5 Xs, 4 Ys y 2 Zs se requirieron en total 574
As, 432 Bs y 506 Cs; y que para armar 4 Xs, 4 Ys y 2 Zs
se requirieron en total 524 As, 392 Bs y 460 Cs. Ademas,
se sabe que para obtener un X se requieren 5 Ms, 2 Ns y
4 Ps; para un Y se requieren 5 Ms, 5 Ns y 3 Ps y para
un Z se requieren 3 Ms, 2 Ns y 4 Ps. Indique, en orden,
cuantas piezas A y cuantas B se requieren para armar un
X y cuantas piezas A y cuantas B para armar un M.
Respuesta:
10. Suponga que la transformacion lineal T : R2 → R2 cum-
ple:
T
[−2
5
]=
[3
2
]y
T
[−4
−4
]=
[3
−3
]Determine
T
[2
1
]Respuesta:
11. Liste todos los valores de a para los cuales el conjunto
formado por las matrices[1 4
5 2
],
[1 2
1 1
][
5 4
4 4
],
[1 4
5 a
]sea linealmente dependiente.
Respuesta:
12. Si
A1 =
[−1 0
−2 −3
]A2 =
[−3 5
5 3
]
A3 =
[−4 5
3 0
]A4 =
[−4 0
−8 −12
]Indique cuales opciones contienen declaraciones falsas:
1. A3 ∈ Gen{A1, A2} 2. A4 ∈ Gen{A1}3. A1 ∈ Gen{A4} 4. A4 ∈ Gen{A3}5. A4 ∈ Gen{A2, A3} 6. A2 ∈ Gen{A1, A4}
Respuesta:
Algebra LinealTercer Examen Parcial
Maestro Eduardo Uresti, Enero-Mayo 2011
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:24
1. Que valor debe tener a para que el polinomio:
p = −4 + 5x + a x3
sea una combinacion lineal de los polinomios:
p1 = 1− x2 + x3
p2 = −1 + x + x2 + x3
p3 = −1 + x + 4x2 + x3
Respuesta:
2. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es
una base para V , G es un conjunto generador para V , I es
un conjunto linealmente independiente de V , D es un con-
junto linealmente dependiente de V , C es un conjunto de
elementos de V y 16 es la dimension de V . Indique como
son cada una de las afirmaciones
a) G tiene a lo mas 16 elementos.
b) B tiene mas de 16 elementos.
c) D tiene al menos 16 elementos.
d) I tiene menos de 17 elementos.
e) Si D tiene mas de 16 elementos, entonces D genera a
V .
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente informacion
Respuesta:
3. Si
A1 =
[−3 −3
3 3
]A2 =
[6 −3
−1 3
]
A3 =
[15 −12
0 12
]A4 =
[−9 −9
9 9
]Indique cuales opciones contienen declaraciones falsas:
1. A4 ∈ Gen{A2, A3} 2. A4 ∈ Gen{A3}3. A1 ∈ Gen{A4} 4. A4 ∈ Gen{A1}5. A3 ∈ Gen{A1, A2} 6. A2 ∈ Gen{A1, A4}
Respuesta:
4. Si:
A =
[−1 −2
1 0
]
B =
[−4 −3
−1 −1
]
C =
[−4 −3
−1 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A X = B X + C
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
5. Indique en cuales opciones el conjunto dado sı es lineal-
mente independiente:
1. {−3− x + 6x2, 3 + 2x2}2. {6 + x + 2x2, 24− 8x + 4x2,−6 + 5x, 60− 14x + 12x2}3. {−16− 46x− 45x2, 4 + 4x + 5x2, 6x + 5x2}4. {−4− 5x + 3x2,−2 + x− 2x2, 5− 5x + 6x2}
Respuesta:
6. Liste todos los valores de a para los cuales el conjunto
{6 + 2x + 3x2, 3 + x + 2x2, 15 + 5x + a x2}
sea linealmente dependiente.
Respuesta:
7. Suponga que la transformacion lineal T : R2 → R2 cum-
ple:
T
[1
0
]=
[3
−3
]y
T
[0
1
]=
[3
3
]Determine
T
[2
−5
]
Respuesta:
MA1010, Tercer Examen Parcial, Tipo: 24 2
8. Los vectores
1.
2
5
−1
2.
6
15
−3
3.
−7
−18
4
4.
1
2
1
5.
7
18
−4
son vectores propios de la matriz
A =
−87 38 10
−236 103 28
64 −28 −9
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
9. Cuales opciones no contienen vectores propios a la matriz
A =
341 96 −42
−1314 −370 162
−276 −78 35
de la lista de vectores:
1.
1
−4
−1
2.
−12
45
6
3.
33
−126
−24
4.
15
−57
−10
5.
12
−46
−9
6.
−3
11
1
Respuesta:
10. Para que valores del escalar c el espacio generado por 1
1
2
,
1
2
0
,
−1
−1− 2 c
−2 + 2 c+ c2
,
2
2
10− 5 c+ c2
tiene dimension 2.
Indique su respuesta, completando los espacios de ser ne-
cesario, en las posibles:
1) Solo para c1 = , c2 = y c3 =
(Con c1 ≤ c2 ≤ c3)
2) Hay una infinidad de valores para c.
3) Solo para c =
4) No existe valor de c.
5) Solo para c1 = y c2 =
(Con c1 ≤ c2)
Respuesta:
11. Suponga que la transformacion lineal T : R2 → R2 cum-
ple:
T
[2
−2
]=
[−2
3
]y
T
[2
0
]=
[−3
4
]Determine
T
[−3
−4
]Respuesta:
12. ¿Cual es el valor del parametro a para que la matriz 4 3 2
a 0 2
−2 −1 −1
sea singular?
Respuesta:
Algebra LinealTercer Examen Parcial
Maestro Eduardo Uresti, Enero-Mayo 2011
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:25
1. Suponga que la transformacion lineal T : R2 → R2 cum-
ple:
T
[3
4
]=
[−4
−2
]y
T
[3
−2
]=
[−3
4
]Determine
T
[3
−2
]Respuesta:
2. Indique en cuales opciones el conjunto dado sı es lineal-
mente independiente:
1.
{[2 −3
3 4
],
[6 −6
2 5
],
[4 −14
12 29
],
[5 −2
1 −4
]}
2.
{[4 1
5 −6
],
[−5 0
0 −4
],
[−1 6
−4 −2
],
[4 −1
0 2
]}
3.
{[2 −2
−2 −5
],
[5 −3
−6 2
],
[1 −5
3 2
]}
4.
{[5 −34
−2 −25
],
[1 −2
2 1
],
[1 −6
0 −4
]}
Respuesta:
3. Liste todos los valores de a para los cuales el conjunto
formado por las matrices[5 2
5 4
],
[5 3
4 4
][
2 4
2 4
],
[5 3
a 1
]sea linealmente dependiente.
Respuesta:
4. Indique cuales opciones no contienen una transformacion
lineal de R2 en R2 :
1. T
[x
y
]=
[−3 + x
−4 + x
]
2. T
[x
y
]=
[x y
−5 y
]
3. T
[x
y
]=
[4x+ y
x− 2 y
]
4. T
[x
y
]=
[x+ 7 y
3 y
]
Respuesta:
5. Cuales opciones contienen vectores propios a la matriz
A =
108 −32 26
87 −26 21
−321 96 −77
de la lista de vectores:
1.
−3
−2
9
2.
12
9
−36
3.
2
1
−7
4.
−1
0
4
5.
1
1
−3
6.
−6
−4
19
Respuesta:
6. ¿Cual es el valor del parametro a para que la matriz 6 10 a
3 6 0
3 5 5
sea singular?
Respuesta:
7. Si:
A =
[2 −3
1 −1
]
B =
[4 −1
−3 1
]
C =
[3 1
−4 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
(A X B)T
CT −B = 0
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
MA1010, Tercer Examen Parcial, Tipo: 25 2
8. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es
una base para V , G es un conjunto generador para V , Ies un conjunto linealmente independiente de V , D es un
conjunto linealmente dependiente de V , C es un conjunto
de elementos de V y 8 es la dimension de V . Indique como
son cada una de las afirmaciones
a) G tiene al menos 8 elementos.
b) Si D tiene 8 elementos, entonces D es base.
c) B tiene 8 elementos.
d) D tiene a lo mas 8 elementos.
e) I tiene al menos 8 elementos.
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente informacion
Respuesta:
9. Los vectores
1.
1
1
−3
2.
12
20
−54
3.
2
4
−10
4.
1
2
−5
5.
−6
−10
27
son vectores propios de la matriz
A =
−27 −51 −26
−44 −82 −42
120 225 115
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
10. Para que valores del escalar a el espacio generado por 1
2
−2
,
−1
−1
4
,
2
4 + 2 a
−4 + a+ a2
,
2
4
8− 7 a+ a2
tiene dimension 2.
Indique su respuesta, completando los espacios de ser ne-
cesario, en las posibles:
1) No existe valor de a.
2) Solo para a =
3) Solo para a1 = y a2 =
(Con a1 ≤ a2)
4) Hay una infinidad de valores para a.
5) Solo para a1 = , a2 = y a3 =
(Con a1 ≤ a2 ≤ a3)
Respuesta:
11. Si
p1 = 29+30x, p2 = 5+6x, p3 = 6+6x, p4 = 145+150x
Indique cuales opciones contienen declaraciones ciertas:
1. p1 ∈ Gen {p4} 2. p4 ∈ Gen {p3}3. p3 ∈ Gen {p1, p2} 4. p1 ∈ Gen {p2, p3}5. p2 ∈ Gen {p1, p4} 6. p4 ∈ Gen {p1}
Respuesta:
12. Si
A1 =
[1 1
−3 1
]A2 =
[−2 0
4 0
]
A3 =
[−5 1
9 1
]A4 =
[2 2
−6 2
]Indique cuales opciones contienen declaraciones falsas:
1. A4 ∈ Gen{A3} 2. A4 ∈ Gen{A1}3. A4 ∈ Gen{A2, A3} 4. A3 ∈ Gen{A1, A2}5. A2 ∈ Gen{A1, A4} 6. A1 ∈ Gen{A2, A3}
Respuesta:
Algebra LinealTercer Examen Parcial
Maestro Eduardo Uresti, Enero-Mayo 2011
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:26
1. Indique cuales opciones sı contienen una transformacion
lineal de R2 en R2 :
1. T
[x
y
]=
[−4 + x
−6 + x
]
2. T
[x
y
]=
[x+ 7 y
−3 y
]
3. T
[x
y
]=
[3x+ y
x− 2 y
]
4. T
[x
y
]=
[x y
−4 y
]
Respuesta:
2. Indique en cuales opciones el conjunto dado sı genera a
M2×2 :
1.
{[0 −2
−6 6
],
[−6 −5
0 0
],
[18 27
36 −36
],
[−36 −22
24 −24
]}
2.
{[6 −5
4 3
],
[−1 −2
−3 2
],
[2 5
−2 3
],
[−6 6
5 2
]}
3.
{[5 6
1 0
],
[−4 −5
−3 −5
],
[6 3
2 −5
],
[6 0
5 0
],
[3 5
1 −2
]}
4.
{[2 −6
6 −4
],
[1 −2
2 −6
],
[−6 −9
−36 −15
],
[1 3
6 1
]}
Respuesta:
3. Determine el polinomio caracterıstico de la matriz
A =
−160 −54 26
370 125 −60
−250 −84 41
De, en orden creciente a las potencias, sus coeficientes. De
ser necesario reporte ceros en los terminos faltantes.
Respuesta:
4. Para que valores del escalar k el espacio generado por 1
−1
−2
,
−1
3
−2
,
−2
2 + 2 k
4− 8 k + k2
,
1
−3
22− 9 k + k2
tiene dimension 2.
Indique su respuesta, completando los espacios de ser ne-
cesario, en las posibles:
1) Hay una infinidad de valores para k.
2) No existe valor de k.
3) Solo para k =
4) Solo para k1 = y k2 =
(Con k1 ≤ k2)
5) Solo para k1 = , k2 = y k3 =
(Con k1 ≤ k2 ≤ k3)
Respuesta:
5. ¿Cual es el valor del parametro a para que la matriz 2 2 a
1 2 0
1 1 1
no sea invertible?
Respuesta:
6. Liste todos los valores de a para los cuales el conjunto
{5 + 2x + 3x2, 2 + 4x + 4x2, 9 + 10x + a x2}
sea linealmente dependiente.
Respuesta:
7. Que valor debe tener a para que la matriz:
A =
[0 18
a −5
]sea una combinacion lineal de las matrices:
A1 =
[3 −3
4 4
]A2 =
[1 −3
−1 1
]A3 =
[0 4
1 −2
]Respuesta:
8. Suponga que la transformacion lineal T : R2 → R2 cum-
ple:
T
[1
0
]=
[2
−4
]y
T
[0
1
]=
[−1
−3
]Determine
T
[−2
2
]Respuesta:
MA1010, Tercer Examen Parcial, Tipo: 26 2
9. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es
una base para V , G es un conjunto generador para V , Ies un conjunto linealmente independiente de V , D es un
conjunto linealmente dependiente de V , C es un conjunto
de elementos de V y 8 es la dimension de V . Indique como
son cada una de las afirmaciones
a) D tiene menos de 8 elementos.
b) G tiene mas de 8 elementos.
c) Si I tiene 8 elementos, entonces I es base.
d) Si D tiene mas de 8 elementos, entonces D es base.
e) B tiene menos de 8 elementos.
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente informacion
Respuesta:
10. Indique en cuales opciones el conjunto dado no es lineal-
mente independiente:
1. {48 + 18x− 36x2,−6− 5x + x2,−26− 7x + 23x2,−2 + 2x + 5x2}2. {2 + 3x2, 5 + 3x + x2}3. {4− 6x + 6x2, 13 + 9x− 3x2, 3 + 5x− 3x2}4. {−4− 6x− 3x2, 2x + x2,−x + 3x2}
Respuesta:
11. Cuales opciones no contienen vectores propios a la matriz
A =
585 −222 −78
1912 −725 −254
−1104 417 144
de la lista de vectores:
1.
15
49
−28
2.
4
13
−7
3.
−42
−138
81
4.
1
3
−1
5.
9
30
−18
6.
−2
−7
5
Respuesta:
12. Si:
A =
[−4 −3
−1 −1
]
B =
[−14 −12
−2 −2
]
C =
[−4 −1
−3 −1
]
D =
[3 −4
1 −1
]Resuelva para Y el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:A X + B Y = C
X + 3Y = D
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
Algebra LinealTercer Examen Parcial
Maestro Eduardo Uresti, Enero-Mayo 2011
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:27
1. Si:
A =
[−3 −4
1 1
]
B =
[−15 −15
0 5
]
C =
[−3 1
−4 1
]
D =
[2 1
−3 −1
]Resuelva para Y el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:A X + B Y = C
X + 4Y = D
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
2. Indique la dimension del subespacio . . .
(1) generado por{[2 2
2 1
],
[0 1
2 2
],
[−1 1
−2 0
],
[2 0
−2 0
]}
(2) generado por{−x+ x2 + 3x3, −1 + x+ x2 + 2x3,
2 + x+ x2 − 3x3, −2 + 3x+ x2 − 2x3
}
(3) formado por los vectores x que cumplen: 5 5 5
1 2 1
5 5 8
x =
0
0
0
Respuesta:
3. Indique en cuales opciones el conjunto dado no es lineal-
mente independiente:
1. {−6− 6x− x2,−1 + 3x + 5x2, 6 + 2x− 4x2}2. {5 + 3x + x2, 1− 2x− 3x2}3. {x− 2x2, 3x,−13x− 4x2}4. {18 + 35x + 5x2,−3 + 5x, 6 + 3x + x2, 3 + 34x + 3x2}
Respuesta:
4. Liste todos los valores de a para los cuales el conjunto
{2 + 2x + 6x2, 5 + 2x + 4x2, a + 14x + 36x2}
sea linealmente dependiente.
Respuesta:
5. Indique cuales opciones no contienen una transformacion
lineal de R2 en R2 :
1. T
[x
y
]=
[−8 + x
−3 + x
]
2. T
[x
y
]=
[x+ 5 y
−4 y
]
3. T
[x
y
]=
[3x+ y
x− 2 y
]
4. T
[x
y
]=
[x y
−4 y
]
Respuesta:
6. Suponga que la transformacion lineal T : R2 → R2 cum-
ple:
T
[4
4
]=
[4
−4
]y
T
[−4
−1
]=
[3
1
]Determine
T
[−3
−3
]Respuesta:
7. Que valor debe tener a para que el polinomio:
p = a + 3x + x3
sea una combinacion lineal de los polinomios:
p1 = 1− 3x2 + x3
p2 = −1 + x + 3x2 + x3
p3 = −1 + x + 2x2 + x3
Respuesta:
MA1010, Tercer Examen Parcial, Tipo: 27 2
8. ¿Cual es el valor del parametro a para que la matriz 4 8 4
5 a 0
5 10 6
no sea invertible?
Respuesta:
9. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es
una base para V , G es un conjunto generador para V , I es
un conjunto linealmente independiente de V , D es un con-
junto linealmente dependiente de V , C es un conjunto de
elementos de V y 18 es la dimension de V . Indique como
son cada una de las afirmaciones
a) Si D tiene mas de 18 elementos, entonces D genera a
V .
b) Si G tiene 18 elementos, entonces I es linealmente
independiente.
c) G tiene a lo mas 18 elementos.
d) B tiene mas de 18 elementos.
e) D tiene al menos 18 elementos.
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente informacion
Respuesta:
10. Cuales opciones contienen vectores propios a la matriz
A =
−299 −144 −34
924 445 105
−1272 −612 −144
de la lista de vectores:
1.
2
−7
12
2.
−1
4
−8
3.
7
−22
31
4.
−12
38
−54
5.
4
−12
15
6.
3
−10
16
Respuesta:
11. Determine el polinomio caracterıstico de la matriz
A =
−39 −15 11
32 14 −8
−100 −36 30
De, en orden creciente a las potencias, sus coeficientes. De
ser necesario reporte ceros en los terminos faltantes.
Respuesta:
12. Si
A1 =
[2 2
0 −1
]A2 =
[0 5
−1 1
]
A3 =
[2 17
−3 2
]A4 =
[8 8
0 −4
]Indique cuales opciones contienen declaraciones falsas:
1. A1 ∈ Gen{A2, A3} 2. A2 ∈ Gen{A1, A4}3. A4 ∈ Gen{A2, A3} 4. A4 ∈ Gen{A1}5. A1 ∈ Gen{A4} 6. A3 ∈ Gen{A1, A2}
Respuesta:
Algebra LinealTercer Examen Parcial
Maestro Eduardo Uresti, Enero-Mayo 2011
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:28
1. Indique en cuales opciones el conjunto dado no es lineal-
mente independiente:
1. {−3− 4x + x2, 8− 8x + 4x2,−1− 6x + 2x2, 16 + 26x− 7x2}2. {−6x + 3x2, 6− 2x, 6 + 16x− 9x2}3. {−2 + 2x− 3x2,−1− x + 5x2, 5x + 4x2}4. {5− 3x− 5x2, 3− x}
Respuesta:
2. Indique cuales opciones sı contienen una transformacion
lineal de R2 en R2 :
1. T
[x
y
]=
[x+ 7 y
2 y
]
2. T
[x
y
]=
[6x+ y
x− 4 y
]
3. T
[x
y
]=
[−4 + x
−6 + x
]
4. T
[x
y
]=
[x y
−3 y
]
Respuesta:
3. Liste todos los valores de a para los cuales el conjunto
formado por las matrices[1 0
1 1
],
[0 1
2 2
][
0 1
0 1
],
[a 3
6 7
]no genere M2×2.
Respuesta:
4. Si:
A =
[2 0
2 2
]
B =
[−2 −3
1 1
]
C =
[2 −3
1 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A X = B X + C
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
5. Cuales opciones contienen vectores propios a la matriz
A =
17 −71 −31
30 −124 −54
−60 260 114
de la lista de vectores:
1.
8
14
−29
2.
4
7
−15
3.
3
5
−10
4.
−21
−36
75
5.
−2
−3
6
6.
1
2
−4
Respuesta:
6. Si:
A =
[−2 −3
1 1
]
B =
[−13 −19
6 6
]
C =
[3 1
−4 −1
]
D =
[4 −1
−3 1
]Resuelva para Y el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:A X + B Y = C
X + 5Y = D
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
7. Si
p1 = 10 + 14x, p2 = 6 + 6x, p3 = 1 + 2x, p4 = 40 + 56x
Indique cuales opciones contienen declaraciones falsas:
1. p1 ∈ Gen {p4} 2. p4 ∈ Gen {p3}3. p2 ∈ Gen {p1, p3} 4. p1 ∈ Gen {p2, p3}5. p3 ∈ Gen {p1, p2} 6. p2 ∈ Gen {p1, p4}
MA1010, Tercer Examen Parcial, Tipo: 28 2
Respuesta:
8. Determine el polinomio caracterıstico de la matriz
A =
−1 3 −1
−2 −2 2
−4 −12 8
De, en orden creciente a las potencias, sus coeficientes. De
ser necesario reporte ceros en los terminos faltantes.
Respuesta:
9. Para que valores del escalar c el espacio generado por 1
−1
−1
,
0
1
1
,
1
−1− c
−1− 3 c+ c2
,
0
−1
5− 5 c+ c2
tiene dimension 2.
Indique su respuesta, completando los espacios de ser ne-
cesario, en las posibles:
1) Solo para c1 = , c2 = y c3 =
(Con c1 ≤ c2 ≤ c3)
2) Solo para c =
3) Hay una infinidad de valores para c.
4) Solo para c1 = y c2 =
(Con c1 ≤ c2)
5) No existe valor de c.
Respuesta:
10. Suponga que la transformacion lineal T : R2 → R2 cum-
ple:
T
[−4
3
]=
[3
−1
]y
T
[−5
3
]=
[2
−4
]
Determine
T
[1
−3
]Respuesta:
11. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es
una base para V , G es un conjunto generador para V , I es
un conjunto linealmente independiente de V , D es un con-
junto linealmente dependiente de V , C es un conjunto de
elementos de V y 14 es la dimension de V . Indique como
son cada una de las afirmaciones
a) I tiene mas de 14 elementos.
b) D tiene al menos 14 elementos.
c) Si G tiene 14 elementos, entonces I es linealmente
independiente.
d) G tiene al menos 14 elementos.
e) Si D tiene 14 elementos, entonces D genera a V .
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente informacion
Respuesta:
12. Liste todos los valores de a para los cuales el conjunto
formado por las matrices[1 2
2 4
],
[1 3
5 1
][
5 3
1 5
],
[1 4
a 2
]sea linealmente dependiente.
Respuesta:
Algebra LinealTercer Examen Parcial
Maestro Eduardo Uresti, Enero-Mayo 2011
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:29
1. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo A, tipo B y tipo C. En una primera
etapa de ensamble usando As, Bs y Cs se producen los
tipos de armados M, N y P. En una segunda etapa de en-
samble usando los tipos M, N y P se producen los tipos
de armados X, Y y Z. Se sabe que para armar 3 Xs, 3 Ys
y 2 Zs se requirieron en total 288 As, 286 Bs y 319 Cs;
para armar 5 Xs, 2 Ys y 4 Zs se requirieron en total 400
As, 391 Bs y 443 Cs; y que para armar 4 Xs, 5 Ys y 3 Zs
se requirieron en total 439 As, 436 Bs y 486 Cs. Ademas,
se sabe que para obtener un X se requieren 2 Ms, 3 Ns y
2 Ps; para un Y se requieren 2 Ms, 4 Ns y 5 Ps y para
un Z se requieren 5 Ms, 5 Ns y 4 Ps. Indique, en orden,
cuantas piezas A y cuantas B se requieren para armar un
X y cuantas piezas A y cuantas B para armar un M.
Respuesta:
2. Liste todos los valores de a para los cuales el conjunto
{6 + 5x + 2x2, 2 + 5x + 3x2, a + 35x + 18x2}
sea linealmente dependiente.
Respuesta:
3. Indique en cuales opciones el conjunto dado sı es lineal-
mente independiente:
1. {1− 6x− 2x2,−5− 4x + 4x2,−24 + 8x + 24x2, 24 + 60x− 12x2}2. {−3− x + 5x2,−5− 4x + 4x2, 5 + 3x− 5x2}3. {1 + 2x, 5− 5x− 3x2}4. {7− 3x + 9x2,−3− 3x− 6x2, 4− 6x + 3x2}
Respuesta:
4. Indique en cuales opciones el conjunto dado no genera a
M2×2 :
1.
{[−30 6
−26 42
],
[3 −1
1 −5
],
[3 0
5 −3
],
[−12 2
−12 16
]}
2.
{[1 1
3 −5
],
[2 1
−6 2
],
[6 −4
0 5
],
[−3 −3
−6 3
]}
3.
{[−6 3
6 4
],
[−5 0
4 6
],
[−1 −3
−1 −2
],
[−4 6
4 −5
],
[−3 −2
6 2
]}
4.
{[6 0
0 −5
],
[4 5
3 −2
],
[2 0
−2 −3
],
[5 −2
2 3
]}
Respuesta:
5. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es
una base para V , G es un conjunto generador para V , I es
un conjunto linealmente independiente de V , D es un con-
junto linealmente dependiente de V , C es un conjunto de
elementos de V y 14 es la dimension de V . Indique como
son cada una de las afirmaciones
a) Si D tiene mas de 14 elementos, entonces D genera a
V .
b) I tiene a lo mas 14 elementos.
c) D tiene al menos 14 elementos.
d) B tiene 14 elementos.
e) G tiene al menos 14 elementos.
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente informacion
Respuesta:
6. Indique cuales opciones sı contienen una transformacion
lineal de R2 en R2 :
1. T
[x
y
]=
[8x+ y
x− 7 y
]
2. T
[x
y
]=
[−6 + x
−3 + x
]
3. T
[x
y
]=
[x+ 2 y
y
]
4. T
[x
y
]=
[x y
−5 y
]
Respuesta:
7. Si:
A =
[4 −3
−1 1
]
B =
[−2 1
−3 1
]
C =
[−4 −1
−3 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
(A X B)T
CT −B = 0
MA1010, Tercer Examen Parcial, Tipo: 29 2
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
8. Los vectores
1.
−1
2
−3
2.
1
−1
3
3.
3
−3
9
4.
−3
2
−10
5.
3
−2
10
son vectores propios de la matriz
A =
−67 −7 19
80 11 −22
−204 −21 58
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
9. Cuales opciones contienen vectores propios a la matriz
A =
41 −75 −36
70 −132 −64
−105 201 98
de la lista de vectores:
1.
−3
−3
3
2.
7
12
−18
3.
6
10
−15
4.
2
3
−4
5.
0
1
−2
6.
1
2
−3
Respuesta:
10. Si
A1 =
[−2 3
2 6
]A2 =
[−1 6
−2 1
]
A3 =
[−3 9
0 7
]A4 =
[−4 6
4 12
]Indique cuales opciones contienen declaraciones falsas:
1. A1 ∈ Gen{A2, A3} 2. A4 ∈ Gen{A3}3. A3 ∈ Gen{A1, A2} 4. A2 ∈ Gen{A1, A4}5. A4 ∈ Gen{A1} 6. A4 ∈ Gen{A2, A3}
Respuesta:
11. Suponga que la transformacion lineal T : R2 → R2 cum-
ple:
T
[2
2
]=
[3
1
]y
T
[5
−5
]=
[4
−3
]Determine
T
[−3
1
]Respuesta:
12. Indique la dimension del subespacio . . .
(1) generado por{[0 2
5 0
],
[0 −2
−2 0
],
[1 0
−2 −1
],
[1 0
1 −1
]}
(2) generado por{14 + 6x+ 14x3, 2− x− 3x2 + 2x3,
2 + x+ 2x3, −2− 2x− 2x2 − 2x3
}
(3) formado por los vectores x que cumplen: 2 2 2
4 6 4
4 4 7
x =
0
0
0
Respuesta:
Algebra LinealTercer Examen Parcial
Maestro Eduardo Uresti, Enero-Mayo 2011
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:30
1. Indique en cuales opciones el conjunto dado sı es lineal-
mente independiente:
1. {−1 + 6x + 2x2,−5 + 4x− 2x2,−2− 5x− 2x2}2. {−4 + 5x + 6x2, 33− 33x− 21x2, 30− 21x + 12x2,−3 + x− 5x2}3. {5 + x− x2,−1− 3x− 4x2, 11− 9x− 19x2}4. {4 + 4x− 3x2,−6 + 6x + x2}
Respuesta:
2. Cuales opciones contienen vectores propios a la matriz
A =
−138 62 −16
−348 156 −40
−114 50 −12
de la lista de vectores:
1.
5
12
2
2.
1
3
3
3.
3
6
−3
4.
0
1
4
5.
18
42
3
6.
2
5
2
Respuesta:
3. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es
una base para V , G es un conjunto generador para V , I es
un conjunto linealmente independiente de V , D es un con-
junto linealmente dependiente de V , C es un conjunto de
elementos de V y 17 es la dimension de V . Indique como
son cada una de las afirmaciones
a) B tiene 17 elementos.
b) G tiene a lo mas 17 elementos.
c) D tiene mas de 17 elementos.
d) Si G tiene 17 elementos, entonces I es linealmente
independiente.
e) Si D tiene 17 elementos, entonces D es base.
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente informacion
Respuesta:
4. Si
A1 =
[4 0
−3 4
]A2 =
[1 3
−3 6
]
A3 =
[7 9
−12 22
]A4 =
[8 0
−6 8
]Indique cuales opciones contienen declaraciones falsas:
1. A1 ∈ Gen{A4} 2. A4 ∈ Gen{A2, A3}3. A4 ∈ Gen{A3} 4. A2 ∈ Gen{A1, A4}5. A4 ∈ Gen{A1} 6. A1 ∈ Gen{A2, A3}
Respuesta:
5. Que valor debe tener a para que la matriz:
A =
[a 15
20 −4
]sea una combinacion lineal de las matrices:
A1 =
[−2 3
0 −1
]A2 =
[4 4
4 1
]A3 =
[2 −3
4 −2
]Respuesta:
6. Si:
A =
[−4 −3
−1 −1
]
B =
[3 1
−4 −1
]
C =
[−2 1
−3 1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
(A X B)T
CT −B = 0
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
MA1010, Tercer Examen Parcial, Tipo: 30 2
7. Si:
A =
[4 −1
−3 1
]
B =
[18 −7
−11 3
]
C =
[−2 1
−3 1
]
D =
[3 −4
1 −1
]Resuelva para Y el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:
A X + B Y = C
X + 4Y = D
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
8. Liste todos los valores de a para los cuales el conjunto
{5 + 2x + 6x2, 3 + 3x + 6x2, 16 + 10x + a x2}
sea linealmente dependiente.
Respuesta:
9. Suponga que la transformacion lineal T : R2 → R2 cum-
ple:
T
[1
1
]=
[−4
−3
]y
T
[5
0
]=
[3
2
]Determine
T
[−2
−3
]
Respuesta:
10. Determine el polinomio caracterıstico de la matriz
A =
21 −16 10
64 −47 28
80 −56 31
De, en orden creciente a las potencias, sus coeficientes. De
ser necesario reporte ceros en los terminos faltantes.
Respuesta:
11. Para que valores del escalar b el espacio generado por 1
1
−1
,
0
1
−1
,
1
1− 2 b
−1− 2 b+ b2
,
−2
−1
21− 9 b+ b2
tiene dimension 2.
Indique su respuesta, completando los espacios de ser ne-
cesario, en las posibles:
1) Solo para b1 = , b2 = y b3 =
(Con b1 ≤ b2 ≤ b3)
2) Solo para b1 = y b2 =
(Con b1 ≤ b2)
3) Hay una infinidad de valores para b.
4) Solo para b =
5) No existe valor de b.
Respuesta:
12. Suponga que la transformacion lineal T : R2 → R2 cum-
ple:
T
[1
0
]=
[−2
−3
]y
T
[0
1
]=
[−1
3
]Determine
T
[5
−3
]Respuesta:
Algebra LinealTercer Examen Parcial
Maestro Eduardo Uresti, Enero-Mayo 2011
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:31
1. Suponga que la transformacion lineal T : R2 → R2 cum-
ple:
T
[1
0
]=
[3
4
]y
T
[0
1
]=
[2
−4
]Determine
T
[3
5
]Respuesta:
2. Liste todos los valores de a para los cuales el conjunto
formado por las matrices[2 2
1 2
],
[2 0
0 1
][
1 0
1 2
],
[7 a
2 6
]no genere M2×2.
Respuesta:
3. Cuales opciones contienen vectores propios a la matriz
A =
7 −19 −15
8 −41 −36
−8 47 42
de la lista de vectores:
1.
−2
−8
10
2.
2
6
−7
3.
2
3
−3
4.
0
3
−4
5.
3
3
−3
6.
0
1
−1
Respuesta:
4. Liste todos los valores de a para los cuales el conjunto
{5 + 4x + 2x2, 5 + 6x + 4x2, 25 + 28x + a x2}
sea linealmente dependiente.
Respuesta:
5. Indique en cuales opciones el conjunto dado no es lineal-
mente independiente:
1. {6− 4x + 2x2,−33 + 23x− 19x2,−1 + x− 3x2}2. {−4 + 5x + x2,−2− x + 4x2}3. {−2− 5x + 6x2,−2− 2x− 4x2, 5 + 6x + 4x2}4. {2 + 2x, 1− 17x + 3x2,−9− 3x− x2,−1 + 5x− x2}
Respuesta:
6. Para que valores del escalar c el espacio generado por 1
−2
2
,
2
−2
0
,
2
−4 + c
4− 6 c+ c2
,
−1
1
20− 9 c+ c2
tiene dimension 2.
Indique su respuesta, completando los espacios de ser ne-
cesario, en las posibles:
1) No existe valor de c.
2) Hay una infinidad de valores para c.
3) Solo para c1 = , c2 = y c3 =
(Con c1 ≤ c2 ≤ c3)
4) Solo para c1 = y c2 =
(Con c1 ≤ c2)
5) Solo para c =
Respuesta:
7. Que valor debe tener a para que la matriz:
A =
[−2 −9
a −2
]sea una combinacion lineal de las matrices:
A1 =
[4 −3
2 0
]A2 =
[0 −1
−2 2
]A3 =
[−3 −2
3 −3
]
Respuesta:
MA1010, Tercer Examen Parcial, Tipo: 31 2
8. Si:
A =
[0 2
−2 2
]
B =
[−3 1
−4 1
]
C =
[4 −1
−3 1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A X = B X + C
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
9. Suponga que la transformacion lineal T : R2 → R2 cum-
ple:
T
[−1
−3
]=
[1
1
]y
T
[4
5
]=
[−3
−2
]Determine
T
[−2
1
]Respuesta:
10. Determine el polinomio caracterıstico de la matriz
A =
16 −10 −4
46 −30 −14
−59 40 21
De, en orden creciente a las potencias, sus coeficientes. De
ser necesario reporte ceros en los terminos faltantes.
Respuesta:
11. Si:
A =
[−4 −3
−1 −1
]
B =
[−14 −12
−2 −2
]
C =
[−4 −1
−3 −1
]
D =
[2 1
−3 −1
]Resuelva para Y el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:A X + B Y = C
X + 3Y = D
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
12. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es
una base para V , G es un conjunto generador para V , I es
un conjunto linealmente independiente de V , D es un con-
junto linealmente dependiente de V , C es un conjunto de
elementos de V y 19 es la dimension de V . Indique como
son cada una de las afirmaciones
a) B tiene 19 elementos.
b) Si D tiene 19 elementos, entonces D genera a V .
c) Si I tiene 18 elementos, entonces I es base.
d) D tiene al menos 19 elementos.
e) I tiene mas de 19 elementos.
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente informacion
Respuesta:
Algebra LinealTercer Examen Parcial
Maestro Eduardo Uresti, Enero-Mayo 2011
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:32
1. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es
una base para V , G es un conjunto generador para V , I es
un conjunto linealmente independiente de V , D es un con-
junto linealmente dependiente de V , C es un conjunto de
elementos de V y 20 es la dimension de V . Indique como
son cada una de las afirmaciones
a) Si I tiene 20 elementos, entonces I es base.
b) D tiene al menos 20 elementos.
c) B tiene menos de 20 elementos.
d) I tiene al menos 20 elementos.
e) Si D tiene menos de 20 elementos, entonces D es base.
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente informacion
Respuesta:
2. ¿Cual es el valor del parametro a para que la matriz 5 5 10
−1 0 a
−1 0 −2
sea singular?
Respuesta:
3. Que valor debe tener a para que el polinomio:
p = 2 + 5x + a x3
sea una combinacion lineal de los polinomios:
p1 = 1− 3x2 + x3
p2 = −1 + x + 3x2 + x3
p3 = −1 + x + 4x2 + x3
Respuesta:
4. Si:
A =
[−3 −4
1 1
]
B =
[3 −4
1 −1
]
C =
[4 −3
−1 1
]
Resuelva para X la siguiente ecuacion:
(A X B)T
CT −B = 0
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
5. Liste todos los valores de a para los cuales el conjunto
formado por las matrices[5 4
1 3
],
[4 3
1 2
][
1 3
1 2
],
[5 a
4 4
]sea linealmente dependiente.
Respuesta:
6. Suponga que la transformacion lineal T : R2 → R2 cum-
ple:
T
[1
0
]=
[1
−2
]y
T
[0
1
]=
[1
−2
]Determine
T
[3
−2
]Respuesta:
7. Cuales opciones contienen vectores propios a la matriz
A =
71 108 60
61 94 52
−187 −284 −158
de la lista de vectores:
1.
5
4
−13
2.
−11
−9
28
3.
−36
−30
93
4.
1
1
−3
5.
4
3
−10
6.
−16
−13
41
Respuesta:
MA1010, Tercer Examen Parcial, Tipo: 32 2
8. Determine el polinomio caracterıstico de la matriz
A =
−8 18 10
−8 16 8
4 −6 −2
De, en orden creciente a las potencias, sus coeficientes. De
ser necesario reporte ceros en los terminos faltantes.
Respuesta:
9. Suponga que la transformacion lineal T : R2 → R2 cum-
ple:
T
[−2
−3
]=
[3
4
]y
T
[4
−2
]=
[4
−2
]Determine
T
[1
3
]Respuesta:
10. Indique en cuales opciones el conjunto dado no es lineal-
mente independiente:
1. {−4 + x2, 5 + x− 6x2}2. {−2− 4x− x2,−19− 20x + 4x2, 3− 3x2}3. {−5− 6x− 3x2, 6 + 2x + 6x2,−5 + 4x− 4x2}4. {9 + 4x + 4x2, 3 + 2x + x2, 6 + 10x− x2,−3− 4x}
Respuesta:
11. Indique la dimension del subespacio . . .
(1) generado por{−3− 3x+ x2 + 2x3, −3 + 3x+ 2x2 + 3x3,
−1− 2x− x2 − 2x3, 2− x− x2 + 3x3
}
(2) generado por{[−2 2
2 −2
],
[−2 2
2 −2
],
[4 −4
−4 4
],
[−2 2
2 −2
]}
(3) formado por los vectores x que cumplen: 4 8 8
1 2 2
1 2 2
x =
0
0
0
Respuesta:
12. Que valor debe tener a para que la matriz:
A =
[−24 −14
0 a
]sea una combinacion lineal de las matrices:
A1 =
[−3 −3
−3 3
]A2 =
[3 1
−3 3
]A3 =
[4 2
0 2
]
Respuesta:
Algebra LinealTercer Examen Parcial
Maestro Eduardo Uresti, Enero-Mayo 2011
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:33
1. Suponga que la transformacion lineal T : R2 → R2 cum-
ple:
T
[1
0
]=
[−2
1
]y
T
[0
1
]=
[−2
4
]Determine
T
[−4
−2
]Respuesta:
2. Indique en cuales opciones el conjunto dado no es lineal-
mente independiente:
1. {30− 17x + 3x2, 6− 5x− x2, 6− 3x + x2}2. {−6 + 4x− 22x2,−3− x2, 3− x + 6x2,−3 + 3x− 16x2}3. {−4− 3x,−1 + 4x− 5x2}4. {2− 3x + 4x2, 4 + 5x + x2,−5− x− 5x2}
Respuesta:
3. Que valor debe tener a para que la matriz:
A =
[a 0
−1 1
]sea una combinacion lineal de las matrices:
A1 =
[−2 −1
1 0
]A2 =
[−1 −3
−1 −1
]A3 =
[−1 2
3 0
]Respuesta:
4. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es
una base para V , G es un conjunto generador para V , I es
un conjunto linealmente independiente de V , D es un con-
junto linealmente dependiente de V , C es un conjunto de
elementos de V y 14 es la dimension de V . Indique como
son cada una de las afirmaciones
a) Si D tiene menos de 14 elementos, entonces D genera
a V .
b) Si I tiene 14 elementos, entonces I genera a V .
c) B tiene mas de 14 elementos.
d) I tiene a lo mas 14 elementos.
e) D tiene al menos 14 elementos.
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente informacion
Respuesta:
5. Si
A1 =
[−3 3
5 −1
]A2 =
[2 1
4 −2
]
A3 =
[−1 4
9 −3
]A4 =
[−9 9
15 −3
]
Indique cuales opciones contienen declaraciones falsas:
1. A3 ∈ Gen{A1, A2} 2. A1 ∈ Gen{A4}3. A2 ∈ Gen{A1, A4} 4. A4 ∈ Gen{A2, A3}5. A4 ∈ Gen{A3} 6. A4 ∈ Gen{A1}
Respuesta:
6. Indique cuales opciones sı contienen una transformacion
lineal de R2 en R2 :
1. T
[x
y
]=
[x y
−2 y
]
2. T
[x
y
]=
[−3 + x
−6 + x
]
3. T
[x
y
]=
[x+ 2 y
2 y
]
4. T
[x
y
]=
[2x+ y
x− 6 y
]
Respuesta:
MA1010, Tercer Examen Parcial, Tipo: 33 2
7. Si:
A =
[2 −3
1 −1
]
B =
[6 −16
2 −6
]
C =
[2 1
−3 −1
]
D =
[4 −1
−3 1
]Resuelva para Y el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:A X + B Y = C
X + 5Y = D
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
8. Los vectores
1.
4
−9
11
2.
−1
3
−4
3.
−2
6
−8
4.
−4
9
−11
5.
−2
4
−4
son vectores propios de la matriz
A =
−20 −13 −3
66 45 12
−90 −62 −17
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
9. Determine el polinomio caracterıstico de la matriz
A =
5 20 −14
−3 −16 12
−3 −20 16
De, en orden creciente a las potencias, sus coeficientes. De
ser necesario reporte ceros en los terminos faltantes.
Respuesta:
10. Para que valores del escalar a el espacio generado por 1
−1
−2
,
2
−4
0
,
−2
2− 2 a
4 + 2 a+ a2
,
−1
0
10− 5 a+ a2
tiene dimension 2.
Indique su respuesta, completando los espacios de ser ne-
cesario, en las posibles:
1) No existe valor de a.
2) Solo para a =
3) Solo para a1 = , a2 = y a3 =
(Con a1 ≤ a2 ≤ a3)
4) Solo para a1 = y a2 =
(Con a1 ≤ a2)
5) Hay una infinidad de valores para a.
Respuesta:
11. Liste todos los valores de a para los cuales el conjunto
formado por las matrices[1 5
4 4
],
[2 4
5 2
][
1 3
1 3
],
[4 1
4 a
]sea linealmente dependiente.
Respuesta:
12. Si:
A =
[4 −1
−3 1
]
B =
[2 1
−3 −1
]
C =
[−4 −1
−3 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
(A X B)T
CT −B = 0
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
Algebra LinealTercer Examen Parcial
Maestro Eduardo Uresti, Enero-Mayo 2011
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:34
1. Suponga que la transformacion lineal T : R2 → R2 cum-
ple:
T
[−2
−4
]=
[1
−2
]y
T
[4
−2
]=
[1
−1
]Determine
T
[1
−3
]
Respuesta:
2. Determine el polinomio caracterıstico de la matriz
A =
−13 −5 7
20 9 −10
−14 −5 8
De, en orden creciente a las potencias, sus coeficientes. De
ser necesario reporte ceros en los terminos faltantes.
Respuesta:
3. Los vectores
1.
−2
6
−4
2.
1
−3
2
3.
−6
15
−17
4.
−9
24
−24
5.
3
−8
8
son vectores propios de la matriz
A =
129 33 −15
−312 −80 36
376 96 −44
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
4. Si:
A =
[3 −4
1 −1
]
B =
[−2 1
−3 1
]
C =
[2 −3
1 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
(A X B)T
CT −B = 0
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
5. Indique en cuales opciones el conjunto dado no es lineal-
mente independiente:
1.
{[−2 −1
2 −2
],
[3 1
4 0
],
[4 −5
−6 −6
],
[2 −5
6 4
]}
2.
{[6 −4
1 −4
],
[−27 8
−11 26
],
[1 −4
−2 2
]}
3.
{[−4 3
3 −4
],
[0 2
5 −6
],
[−17 20
−1 25
],
[1 5
3 5
]}
4.
{[−6 1
4 −6
],
[3 −5
2 0
],
[0 6
−6 −6
]}
Respuesta:
6. Que valor debe tener a para que la matriz:
A =
[6 0
0 a
]sea una combinacion lineal de las matrices:
A1 =
[−1 0
1 1
]A2 =
[−2 −2
0 3
]A3 =
[−1 4
−1 −1
]Respuesta:
7. Liste todos los valores de a para los cuales el conjunto
{3 + 4x + 6x2, 1 + 5x + 4x2, 13 + a x + 28x2}
sea linealmente dependiente.
Respuesta:
MA1010, Tercer Examen Parcial, Tipo: 34 2
8. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es
una base para V , G es un conjunto generador para V , I es
un conjunto linealmente independiente de V , D es un con-
junto linealmente dependiente de V , C es un conjunto de
elementos de V y 15 es la dimension de V . Indique como
son cada una de las afirmaciones
a) Si D tiene mas de 15 elementos, entonces D es base.
b) D tiene menos de 15 elementos.
c) Si G tiene 16 elementos, entonces G es linealmente
dependiente.
d) B tiene menos de 15 elementos.
e) G tiene al menos 15 elementos.
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente informacion
Respuesta:
9. Suponga que la transformacion lineal T : R2 → R2 cum-
ple:
T
[1
0
]=
[−3
−3
]y
T
[0
1
]=
[1
1
]Determine
T
[−4
3
]Respuesta:
10. Para que valores del escalar b el espacio generado por 1
−2
1
,
0
2
−2
,
1
−2 + b
1− 5 b+ b2
,
0
2
18− 9 b+ b2
tiene dimension 2.
Indique su respuesta, completando los espacios de ser ne-
cesario, en las posibles:
1) Solo para b =
2) Solo para b1 = , b2 = y b3 =
(Con b1 ≤ b2 ≤ b3)
3) Solo para b1 = y b2 =
(Con b1 ≤ b2)
4) No existe valor de b.
5) Hay una infinidad de valores para b.
Respuesta:
11. ¿Cual es el valor del parametro a para que la matriz −1 5 5
−1 6 0
−2 10 a
sea singular?
Respuesta:
12. Si
A1 =
[3 0
1 1
]A2 =
[2 4
2 −2
]
A3 =
[9 12
7 −5
]A4 =
[6 0
2 2
]Indique cuales opciones contienen declaraciones ciertas:
1. A1 ∈ Gen{A4} 2. A1 ∈ Gen{A2, A3}3. A4 ∈ Gen{A3} 4. A4 ∈ Gen{A2, A3}5. A2 ∈ Gen{A1, A4} 6. A3 ∈ Gen{A1, A2}
Respuesta:
Algebra LinealTercer Examen Parcial
Maestro Eduardo Uresti, Enero-Mayo 2011
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:35
1. Liste todos los valores de a para los cuales el conjunto
formado por las matrices[2 1
2 0
],
[1 2
0 2
][
2 0
2 0
],
[a 6
6 4
]no genere M2×2.
Respuesta:
2. Si:
A =
[4 −1
−3 1
]
B =
[3 1
−4 −1
]
C =
[−3 −4
1 1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
(A X B)T
CT −B = 0
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
3. Liste todos los valores de a para los cuales el conjunto
formado por las matrices[4 4
4 3
],
[1 3
4 1
][
5 5
2 2
],
[a 3
1 1
]sea linealmente dependiente.
Respuesta:
4. Para que valores del escalar k el espacio generado por 1
−2
1
,
0
1
−2
,
−2
4 + 2 k
−2− 9 k + k2
,
−1
4
25− 11 k + k2
tiene dimension 2.
Indique su respuesta, completando los espacios de ser ne-
cesario, en las posibles:
1) Solo para k1 = y k2 =
(Con k1 ≤ k2)
2) Solo para k1 = , k2 = y k3 =
(Con k1 ≤ k2 ≤ k3)
3) Hay una infinidad de valores para k.
4) No existe valor de k.
5) Solo para k =
Respuesta:
5. Suponga que la transformacion lineal T : R2 → R2 cum-
ple:
T
[5
0
]=
[1
−4
]y
T
[2
−1
]=
[−2
−2
]Determine
T
[−2
−3
]Respuesta:
6. Los vectores
1.
−4
−10
17
2.
1
3
−2
3.
2
6
−4
4.
8
20
−34
5.
−12
−33
36
son vectores propios de la matriz
A =
−32 8 −4
−18 2 −6
446 −124 37
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
7. Que valor debe tener a para que la matriz:
A =
[a −13
−15 −5
]
MA1010, Tercer Examen Parcial, Tipo: 35 2
sea una combinacion lineal de las matrices:
A1 =
[1 1
1 3
]A2 =
[0 2
3 0
]A3 =
[2 −3
−3 2
]
Respuesta:
8. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si la matriz A ·A no es invertible, entonces A x = 0
tiene solucion unica.
b) Si la matriz A es invertible, entonces A x = 0 tiene
infinitas soluciones.
c) Si el sistema A x = 0 tiene solucion unica, entonces
A es invertible.
d) Si para un vector b el sistema A x = b tiene infinitas
soluciones, entonces A no es invertible.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) Cierto
3) No se sabe
Respuesta:
9. Cuales opciones contienen vectores propios a la matriz
A =
−504 −144 37
1884 538 −138
382 108 −27
de la lista de vectores:
1.
−2
6
−4
2.
15
−54
−3
3.
2
−7
0
4.
0
−1
−4
5.
1
−4
−2
6.
−4
14
−1
Respuesta:
10. Indique cuales opciones no contienen una transformacion
lineal de R2 en R2 :
1. T
[x
y
]=
[x y
−6 y
]
2. T
[x
y
]=
[x+ 2 y
2 y
]
3. T
[x
y
]=
[8x+ y
x− 7 y
]
4. T
[x
y
]=
[−6 + x
−7 + x
]
Respuesta:
11. Indique en cuales opciones el conjunto dado no es lineal-
mente independiente:
1.
{[−4 −4
5 5
],
[−6 −3
−6 0
],
[−1 −2
4 0
]}
2.
{[14 −24
10 −14
],
[−6 −4
−2 −2
],
[5 −5
3 −3
]}
3.
{[−5 2
2 −3
],
[−3 1
−2 −5
],
[6 5
2 −6
],
[1 1
−6 4
]}
4.
{[−2 1
−2 1
],
[3 −1
−4 −2
],
[−6 6
5 3
],
[4 −16
−12 0
]}
Respuesta:
12. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es
una base para V , G es un conjunto generador para V , Ies un conjunto linealmente independiente de V , D es un
conjunto linealmente dependiente de V , C es un conjunto
de elementos de V y 8 es la dimension de V . Indique como
son cada una de las afirmaciones
a) Si D tiene mas de 8 elementos, entonces D es base.
b) D tiene a lo mas 8 elementos.
c) G tiene a lo mas 8 elementos.
d) Si I tiene menos de 8 elementos, entonces I genera
a V .
e) I tiene mas de 8 elementos.
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente informacion
Respuesta:
Algebra LinealTercer Examen Parcial
Maestro Eduardo Uresti, Enero-Mayo 2011
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:36
1. Indique la dimension del subespacio . . .
(1) generado por{[−6 −5
7 1
],
[0 −2
2 0
],
[2 1
−2 0
],
[−2 −1
1 1
]}
(2) generado por{1− 2x+ 3x2 + 2x3, 3− 6x+ 9x2 + 6x3,
1− 2x+ 3x2 + 2x3, −1 + 2x− 3x2 − 2x3
}
(3) formado por los vectores x que cumplen: 1 1 1
5 8 5
4 4 7
x =
0
0
0
Respuesta:
2. Si
A1 =
[3 −3
−3 5
]A2 =
[−2 0
5 −1
]
A3 =
[1 −3
2 4
]A4 =
[6 −6
−6 10
]Indique cuales opciones contienen declaraciones ciertas:
1. A2 ∈ Gen{A1, A4} 2. A4 ∈ Gen{A3}3. A1 ∈ Gen{A4} 4. A1 ∈ Gen{A2, A3}5. A4 ∈ Gen{A1} 6. A4 ∈ Gen{A2, A3}
Respuesta:
3. Indique en cuales opciones el conjunto dado sı es lineal-
mente independiente:
1.
{[−3 −3
−4 5
],
[3 43
29 −20
],
[−3 5
1 2
]}
2.
{[−1 −3
−1 −1
],
[1 2
0 4
],
[2 4
−2 −6
]}
3.
{[−1 4
3 −4
],
[1 1
−6 6
],
[−4 3
4 −3
],
[−7 1
−26 34
]}
4.
{[5 −4
−4 6
],
[0 −2
−6 3
],
[3 5
0 6
],
[2 −4
−1 −2
]}
Respuesta:
4. Para que valores del escalar c el espacio generado por 1
2
−2
,
−1
−4
−2
,
−1
−2− 2 c
2− 6 c+ c2
,
1
2
4− 5 c+ c2
tiene dimension 2.
Indique su respuesta, completando los espacios de ser ne-
cesario, en las posibles:
1) Solo para c =
2) No existe valor de c.
3) Solo para c1 = , c2 = y c3 =
(Con c1 ≤ c2 ≤ c3)
4) Hay una infinidad de valores para c.
5) Solo para c1 = y c2 =
(Con c1 ≤ c2)
Respuesta:
5. Suponga que la transformacion lineal T : R2 → R2 cum-
ple:
T
[1
0
]=
[−1
−1
]y
T
[0
1
]=
[1
−1
]Determine
T
[−5
−5
]Respuesta:
6. Liste todos los valores de a para los cuales el conjunto
{3 + 4x + 2x2, 6 + 4x + 5x2, a + 32x + 28x2}
sea linealmente dependiente.
Respuesta:
7. Suponga que la transformacion lineal T : R2 → R2 cum-
ple:
T
[4
−3
]=
[3
−3
]y
T
[−2
−5
]=
[3
4
]Determine
T
[−4
−3
]Respuesta:
8. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
MA1010, Tercer Examen Parcial, Tipo: 36 2
a) Si el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A ·A es invertible.
b) Si el sistema A x = 0 tiene solucion unica, entonces
A es invertible.
c) Si la matriz A es invertible, entonces A x = 0 tiene
solucion unica.
d) Si para un vector b el sistema A x = b tiene infinitas
soluciones, entonces A no es invertible.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Cierto
3) Falso
Respuesta:
9. Determine el polinomio caracterıstico de la matriz
A =
6 4 2
−14 −11 −8
13 12 11
De, en orden creciente a las potencias, sus coeficientes. De
ser necesario reporte ceros en los terminos faltantes.
Respuesta:
10. Cuales opciones no contienen vectores propios a la matriz
A =
270 66 24
−984 −241 −87
−204 −48 −20
de la lista de vectores:
1.
−12
42
16
2.
−2
7
3
3.
−9
31
14
4.
1
−3
−3
5.
4
−13
−9
6.
−6
20
12
Respuesta:
11. ¿Cual es el valor del parametro a para que la matriz 1 2 1
5 8 4
0 a 4
no sea invertible?
Respuesta:
12. Liste todos los valores de a para los cuales el conjunto
formado por las matrices[0 0
2 0
],
[1 2
2 1
][
1 1
1 0
],
[3 a
9 2
]no genere M2×2.
Respuesta:
Algebra LinealTercer Examen Parcial
Maestro Eduardo Uresti, Enero-Mayo 2011
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:37
1. Si
p1 = 18 + 16x, p2 = 3 + x, p3 = 5 + 5x, p4 = 54 + 48x
Indique cuales opciones contienen declaraciones ciertas:
1. p1 ∈ Gen {p4} 2. p4 ∈ Gen {p3}3. p4 ∈ Gen {p1} 4. p1 ∈ Gen {p2, p3}5. p3 ∈ Gen {p1, p2} 6. p2 ∈ Gen {p1, p3}
Respuesta:
2. ¿Cual es el valor del parametro a para que la matriz −3 0 a
−3 −2 −6
4 4 8
no sea invertible?
Respuesta:
3. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es
una base para V , G es un conjunto generador para V , I es
un conjunto linealmente independiente de V , D es un con-
junto linealmente dependiente de V , C es un conjunto de
elementos de V y 14 es la dimension de V . Indique como
son cada una de las afirmaciones
a) D tiene mas de 14 elementos.
b) B tiene mas de 14 elementos.
c) I tiene a lo mas 14 elementos.
d) G tiene al menos 14 elementos.
e) Si I tiene 14 elementos, entonces I es base.
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente informacion
Respuesta:
4. Liste todos los valores de a para los cuales el conjunto
{1 + 4x + 3x2, 3 + 3x + 5x2, 6 + 15x + a x2}
sea linealmente dependiente.
Respuesta:
5. Determine el polinomio caracterıstico de la matriz
A =
4 −24 −30
−3 17 22
3 −12 −17
De, en orden creciente a las potencias, sus coeficientes. De
ser necesario reporte ceros en los terminos faltantes.
Respuesta:
6. Los vectores
1.
−1
3
−1
2.
−3
9
−3
3.
−6
14
−8
4.
1
−2
1
5.
−1
2
−1
son vectores propios de la matriz
A =
−13 −4 5
33 12 −9
−16 −4 8
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
7. Si:
A =
[−2 1
−3 1
]
B =
[−3 1
−4 1
]
C =
[2 −3
1 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
(A X B)T
CT −B = 0
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
MA1010, Tercer Examen Parcial, Tipo: 37 2
8. Indique cuales opciones sı contienen una transformacion
lineal de R2 en R2 :
1. T
[x
y
]=
[7x+ y
x− 2 y
]
2. T
[x
y
]=
[−6 + x
−5 + x
]
3. T
[x
y
]=
[x+ 3 y
5 y
]
4. T
[x
y
]=
[x y
−6 y
]
Respuesta:
9. Indique en cuales opciones el conjunto dado sı es lineal-
mente independiente:
1.
{[−6 −1
−1 1
],
[3 6
−4 2
],
[4 3
−4 −6
]}
2.
{[8 2
−26 −18
],
[2 2
−5 −3
],
[0 3
3 3
]}
3.
{[3 −5
6 4
],
[4 5
−3 6
],
[−3 −3
−3 −4
],
[6 6
−1 0
]}
4.
{[−5 2
−6 −6
],
[−6 6
−1 1
],
[3 5
−6 6
],
[−13 47
−45 21
]}
Respuesta:
10. Indique la dimension del subespacio . . .
(1) generado por{−3− 3x+ x2 − 2x3, −3x3,
−2 + 2x2 − x3, −1− 3x+ 3x2 + x3
}(2) generado por{[
−2 −2
0 2
],
[0 −1
−2 1
],
[−2 −1
−2 2
],
[1 −2
0 −2
]}
(3) formado por los vectores x que cumplen: 3 3 9
2 4 6
5 5 15
x =
0
0
0
Respuesta:
11. Que valor debe tener a para que la matriz:
A =
[3 a
12 12
]sea una combinacion lineal de las matrices:
A1 =
[2 −2
3 −3
]A2 =
[−3 0
−3 4
]A3 =
[2 0
4 3
]
Respuesta:
12. Suponga que la transformacion lineal T : R2 → R2 cum-
ple:
T
[−4
2
]=
[4
1
]y
T
[−3
−5
]=
[2
−4
]Determine
T
[1
−1
]
Respuesta:
Algebra LinealTercer Examen Parcial
Maestro Eduardo Uresti, Enero-Mayo 2011
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:38
1. Cuales opciones no contienen vectores propios a la matriz
A =
−126 −45 9
222 81 −15
−696 −240 54
de la lista de vectores:
1.
0
−2
−10
2.
1
−2
4
3.
−2
5
−4
4.
4
−9
12
5.
−6
14
−16
6.
−3
6
−13
Respuesta:
2. Suponga que la transformacion lineal T : R2 → R2 cum-
ple:
T
[1
0
]=
[3
3
]y
T
[0
1
]=
[−4
4
]Determine
T
[3
3
]Respuesta:
3. ¿Cual es el valor del parametro a para que la matriz 2 −1 0
2 −2 −2
4 −4 a
no sea invertible?
Respuesta:
4. Indique en cuales opciones el conjunto dado no es lineal-
mente independiente:
1. {−6 + 3x− 3x2, 6− x}2. {−15− 25x + 32x2, 2 + 4x− 5x2,−3− x + 2x2,−21− 17x + 25x2}3. {−4x− 5x2, 6− 6x + 6x2, 6 + 3x− 2x2}4. {5 + x + 5x2,−20 + 4x + 15x2, 3− x− 4x2}
Respuesta:
5. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo A, tipo B y tipo C. En una primera
etapa de ensamble usando As, Bs y Cs se producen los
tipos de armados M, N y P. En una segunda etapa de en-
samble usando los tipos M, N y P se producen los tipos
de armados X, Y y Z. Se sabe que para armar 3 Xs, 3 Ys
y 3 Zs se requirieron en total 357 As, 360 Bs y 405 Cs;
para armar 3 Xs, 4 Ys y 2 Zs se requirieron en total 354
As, 352 Bs y 406 Cs; y que para armar 5 Xs, 4 Ys y 5 Zs
se requirieron en total 550 As, 559 Bs y 624 Cs. Ademas,
se sabe que para obtener un X se requieren 2 Ms, 2 Ns y
4 Ps; para un Y se requieren 3 Ms, 5 Ns y 4 Ps y para
un Z se requieren 5 Ms, 4 Ns y 4 Ps. Indique, en orden,
cuantas piezas A y cuantas B se requieren para armar un
X y cuantas piezas A y cuantas B para armar un M.
Respuesta:
6. Suponga que la transformacion lineal T : R2 → R2 cum-
ple:
T
[−5
−5
]=
[−4
2
]y
T
[4
1
]=
[−3
1
]Determine
T
[−3
−1
]
Respuesta:
7. Que valor debe tener a para que el polinomio:
p = 4 + 5x + a x3
sea una combinacion lineal de los polinomios:
p1 = 1 + x2 + x3
p2 = −1 + x− x2 + x3
p3 = −1 + x + 3x2 + x3
Respuesta:
MA1010, Tercer Examen Parcial, Tipo: 38 2
8. Los vectores
1.
1
3
3
2.
−1
−3
−3
3.
6
15
9
4.
−6
−14
−5
5.
−12
−28
−10
son vectores propios de la matriz
A =
−55 30 −12
−99 56 −24
63 −27 5
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
9. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es
una base para V , G es un conjunto generador para V , I es
un conjunto linealmente independiente de V , D es un con-
junto linealmente dependiente de V , C es un conjunto de
elementos de V y 16 es la dimension de V . Indique como
son cada una de las afirmaciones
a) B tiene mas de 16 elementos.
b) Si D tiene 16 elementos, entonces D es base.
c) G tiene al menos 16 elementos.
d) D tiene a lo mas 16 elementos.
e) Si G tiene 17 elementos, entonces G es linealmente
dependiente.
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente informacion
Respuesta:
10. Que valor debe tener a para que la matriz:
A =
[−4 14
a −3
]sea una combinacion lineal de las matrices:
A1 =
[3 2
−1 0
]A2 =
[−2 3
−2 3
]A3 =
[−1 2
0 −3
]
Respuesta:
11. Para que valores del escalar c el espacio generado por 1
−1
1
,
−2
0
−4
,
0
2 c
−3 c+ c2
,
1
−3
29− 11 c+ c2
tiene dimension 2.
Indique su respuesta, completando los espacios de ser ne-
cesario, en las posibles:
1) Solo para c =
2) Hay una infinidad de valores para c.
3) Solo para c1 = , c2 = y c3 =
(Con c1 ≤ c2 ≤ c3)
4) No existe valor de c.
5) Solo para c1 = y c2 =
(Con c1 ≤ c2)
Respuesta:
12. Liste todos los valores de a para los cuales el conjunto
{6 + 6x + x2, 1 + 4x + 6x2, a + 18x + 19x2}
sea linealmente dependiente.
Respuesta:
Algebra LinealTercer Examen Parcial
Maestro Eduardo Uresti, Enero-Mayo 2011
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:39
1. Determine el polinomio caracterıstico de la matriz
A =
−26 −16 4
12 10 0
−96 −52 20
De, en orden creciente a las potencias, sus coeficientes. De
ser necesario reporte ceros en los terminos faltantes.
Respuesta:
2. Si
p1 = 7 + 6x, p2 = 5 + x, p3 = 2 + 5x, p4 = 21 + 18x
Indique cuales opciones contienen declaraciones ciertas:
1. p4 ∈ Gen {p3} 2. p1 ∈ Gen {p4}3. p1 ∈ Gen {p2, p3} 4. p2 ∈ Gen {p1, p4}5. p4 ∈ Gen {p1} 6. p2 ∈ Gen {p1, p3}
Respuesta:
3. Si:
A =
[2 −2
4 2
]
B =
[−2 −3
1 1
]
C =
[−3 1
−4 1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A X = B X + C
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
4. Indique en cuales opciones el conjunto dado sı es lineal-
mente independiente:
1.
{[−42 4
−6 −15
],
[−2 −2
0 6
],
[6 −2
1 3
],
[4 6
0 3
]}
2.
{[−4 6
5 2
],
[3 4
−4 5
],
[3 2
2 5
]}
3.
{[−5 4
5 0
],
[2 −2
5 1
],
[5 1
−4 4
],
[−6 4
−3 −6
]}
4.
{[−2 6
0 −1
],
[−2 0
−1 −2
],
[4 −24
−2 0
]}
Respuesta:
5. Para que valores del escalar x el espacio generado por 1
−1
1
,
0
2
4
,
−1
1 + x
−1− 2x+ x2
,
−2
2
18− 9x+ x2
tiene dimension 2.
Indique su respuesta, completando los espacios de ser ne-
cesario, en las posibles:
1) Hay una infinidad de valores para x.
2) No existe valor de x.
3) Solo para x =
4) Solo para x1 = , x2 = y x3 =
(Con x1 ≤ x2 ≤ x3)
5) Solo para x1 = y x2 =
(Con x1 ≤ x2)
Respuesta:
6. Suponga que la transformacion lineal T : R2 → R2 cum-
ple:
T
[−5
1
]=
[−2
2
]y
T
[5
−3
]=
[−3
1
]Determine
T
[1
1
]Respuesta:
7. Si
A1 =
[5 5
5 4
]A2 =
[5 4
−1 6
]
A3 =
[20 17
2 22
]A4 =
[10 10
10 8
]Indique cuales opciones contienen declaraciones ciertas:
1. A4 ∈ Gen{A1} 2. A1 ∈ Gen{A2, A3}3. A1 ∈ Gen{A4} 4. A4 ∈ Gen{A3}5. A4 ∈ Gen{A2, A3} 6. A3 ∈ Gen{A1, A2}
Respuesta:
MA1010, Tercer Examen Parcial, Tipo: 39 2
8. Liste todos los valores de a para los cuales el conjunto
formado por las matrices[5 2
2 5
],
[3 3
4 5
][
1 3
5 3
],
[4 3
a 5
]sea linealmente dependiente.
Respuesta:
9. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es
una base para V , G es un conjunto generador para V , I es
un conjunto linealmente independiente de V , D es un con-
junto linealmente dependiente de V , C es un conjunto de
elementos de V y 12 es la dimension de V . Indique como
son cada una de las afirmaciones
a) I tiene menos de 13 elementos.
b) B tiene mas de 12 elementos.
c) Si D tiene mas de 12 elementos, entonces D es base.
d) G tiene a lo mas 12 elementos.
e) Si G tiene 13 elementos, entonces G es linealmente
dependiente.
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente informacion
Respuesta:
10. Cuales opciones no contienen vectores propios a la matriz
A =
3 −4 2
−12 −1 6
12 −12 5
de la lista de vectores:
1.
2
2
6
2.
−6
−9
−18
3.
−1
−2
−3
4.
−1
−1
−4
5.
3
5
8
6.
1
2
2
Respuesta:
11. Indique cuales opciones no contienen una transformacion
lineal de R2 en R2 :
1. T
[x
y
]=
[x+ 8 y
2 y
]
2. T
[x
y
]=
[x y
−7 y
]
3. T
[x
y
]=
[−3 + x
−6 + x
]
4. T
[x
y
]=
[8x+ y
x− 7 y
]
Respuesta:
12. Si:
A =
[4 −3
−1 1
]
B =
[4 −3
−1 1
]
C =
[−2 −3
1 1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
(A X B)T
CT −B = 0
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
Algebra LinealTercer Examen Parcial
Maestro Eduardo Uresti, Enero-Mayo 2011
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:40
1. Indique la dimension del subespacio . . .
(1) generado por{[2 0
2 1
],
[2 0
0 0
],
[1 0
−2 −2
],
[1 −1
−2 1
]}
(2) generado por{9 + 3x− 6x2 + 6x3, −9− 3x+ 6x2 − 6x3,
3 + x− 2x2 + 2x3, 3 + x− 2x2 + 2x3
}
(3) formado por los vectores x que cumplen: 2 2 2
1 4 1
3 3 6
x =
0
0
0
Respuesta:
2. Liste todos los valores de a para los cuales el conjunto
formado por las matrices[4 1
4 3
],
[4 3
5 3
][
5 4
1 5
],
[1 1
4 a
]sea linealmente dependiente.
Respuesta:
3. Liste todos los valores de a para los cuales el conjunto
formado por las matrices[2 2
2 0
],
[1 2
1 1
][
1 0
0 1
],
[5 4
3 a
]no genere M2×2.
Respuesta:
4. Suponga que la transformacion lineal T : R2 → R2 cum-
ple:
T
[−3
4
]=
[4
−3
]y
T
[−1
5
]=
[3
2
]Determine
T
[−3
−4
]Respuesta:
5. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es
una base para V , G es un conjunto generador para V , I es
un conjunto linealmente independiente de V , D es un con-
junto linealmente dependiente de V , C es un conjunto de
elementos de V y 13 es la dimension de V . Indique como
son cada una de las afirmaciones
a) G tiene mas de 13 elementos.
b) I tiene a lo mas 13 elementos.
c) B tiene menos de 13 elementos.
d) D tiene a lo mas 13 elementos.
e) Si D tiene 13 elementos, entonces D genera a V .
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente informacion
Respuesta:
6. Los vectores
1.
1
−1
−4
2.
1
−2
−1
3.
−6
15
−6
4.
2
−5
2
5.
−1
1
4
son vectores propios de la matriz
A =
123 54 17
−272 −119 −38
−10 −6 0
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
MA1010, Tercer Examen Parcial, Tipo: 40 2
7. ¿Cual es el valor del parametro a para que la matriz −4 2 a
−2 1 1
−2 2 0
no sea invertible?
Respuesta:
8. Que valor debe tener a para que el polinomio:
p = 2 + a x + 6x3
sea una combinacion lineal de los polinomios:
p1 = 1 + 4x2 + x3
p2 = −1 + x− 4x2 + x3
p3 = −1 + x− 3x2 + x3
Respuesta:
9. Indique en cuales opciones el conjunto dado no es lineal-
mente independiente:
1.
{[2 2
3 0
],
[0 4
2 −4
],
[2 −1
−1 −3
],
[1 5
−4 0
]}
2.
{[5 −5
−1 0
],
[5 −3
−6 1
],
[0 2
−5 1
]}
3.
{[0 22
15 −15
],
[1 −2
−2 3
],
[−3 3
1 −4
],
[4 0
1 3
]}
4.
{[3 4
−4 4
],
[1 4
−1 4
],
[6 4
4 −3
]}
Respuesta:
10. Si:
A =
[−1 −2
1 0
]
B =
[−4 −3
−1 −1
]
C =
[−3 −4
1 1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A X = B X + C
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
11. Indique cuales opciones sı contienen una transformacion
lineal de R2 en R2 :
1. T
[x
y
]=
[x y
−7 y
]
2. T
[x
y
]=
[4x+ y
x− 4 y
]
3. T
[x
y
]=
[x+ 7 y
−3 y
]
4. T
[x
y
]=
[−4 + x
−2 + x
]
Respuesta:
12. Cuales opciones contienen vectores propios a la matriz
A =
−36 46 −14
−84 108 −33
−168 214 −65
de la lista de vectores:
1.
−9
−21
−42
2.
5
11
23
3.
−12
−27
−57
4.
1
2
4
5.
−3
−7
−15
6.
4
9
18
Respuesta:
Algebra LinealTercer Examen Parcial
Maestro Eduardo Uresti, Enero-Mayo 2011
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:41
1. Suponga que la transformacion lineal T : R2 → R2 cum-
ple:
T
[1
0
]=
[−3
1
]y
T
[0
1
]=
[−3
−4
]Determine
T
[−5
−5
]Respuesta:
2. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo A, tipo B y tipo C. En una primera
etapa de ensamble usando As, Bs y Cs se producen los
tipos de armados M, N y P. En una segunda etapa de en-
samble usando los tipos M, N y P se producen los tipos
de armados X, Y y Z. Se sabe que para armar 2 Xs, 4 Ys
y 4 Zs se requirieron en total 216 As, 288 Bs y 324 Cs;
para armar 4 Xs, 3 Ys y 4 Zs se requirieron en total 238
As, 312 Bs y 352 Cs; y que para armar 2 Xs, 4 Ys y 5 Zs
se requirieron en total 242 As, 324 Bs y 363 Cs. Ademas,
se sabe que para obtener un X se requieren 4 Ms, 4 Ns y
2 Ps; para un Y se requieren 4 Ms, 2 Ns y 3 Ps y para
un Z se requieren 3 Ms, 5 Ns y 5 Ps. Indique, en orden,
cuantas piezas A y cuantas B se requieren para armar un
X y cuantas piezas A y cuantas B para armar un M.
Respuesta:
3. Indique cuales opciones sı contienen una transformacion
lineal de R2 en R2 :
1. T
[x
y
]=
[x y
−8 y
]
2. T
[x
y
]=
[x+ 7 y
−y
]
3. T
[x
y
]=
[−3 + x
−4 + x
]
4. T
[x
y
]=
[3x+ y
x− 7 y
]
Respuesta:
4. Indique en cuales opciones el conjunto dado no es lineal-
mente independiente:
1.
{[−5 −6
−4 6
],
[0 0
6 −1
],
[2 33
−5 −27
],
[−6 3
−1 −2
]}
2.
{[2 −1
−2 2
],
[−15 9
11 −7
],
[−3 3
−1 5
]}
3.
{[3 −3
2 0
],
[4 −5
6 3
],
[0 2
1 −2
],
[−2 −1
6 5
]}
4.
{[2 0
0 −3
],
[−3 −4
−4 3
],
[2 6
2 3
]}
Respuesta:
5. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es
una base para V , G es un conjunto generador para V , Ies un conjunto linealmente independiente de V , D es un
conjunto linealmente dependiente de V , C es un conjunto
de elementos de V y 9 es la dimension de V . Indique como
son cada una de las afirmaciones
a) Si I tiene 9 elementos, entonces I es base.
b) Si D tiene menos de 9 elementos, entonces D genera
a V .
c) G tiene menos de 9 elementos.
d) B tiene menos de 9 elementos.
e) D tiene a lo mas 9 elementos.
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente informacion
Respuesta:
6. Para que valores del escalar a el espacio generado por 1
−1
2
,
−1
2
0
,
1
−1− a
2− 5 a+ a2
,
−2
4
12− 7 a+ a2
tiene dimension 2.
Indique su respuesta, completando los espacios de ser ne-
cesario, en las posibles:
1) Solo para a1 = y a2 =
(Con a1 ≤ a2)
2) Solo para a =
3) Hay una infinidad de valores para a.
4) No existe valor de a.
5) Solo para a1 = , a2 = y a3 =
(Con a1 ≤ a2 ≤ a3)
MA1010, Tercer Examen Parcial, Tipo: 41 2
Respuesta:
7. Cuales opciones contienen vectores propios a la matriz
A =
27 −70 50
−33 80 −58
−54 144 −102
de la lista de vectores:
1.
−3
4
7
2.
8
−10
−18
3.
−14
17
30
4.
−9
11
19
5.
20
−24
−42
6.
1
−1
−2
Respuesta:
8. Determine el polinomio caracterıstico de la matriz
A =
−30 −25 11
70 59 −26
70 58 −25
De, en orden creciente a las potencias, sus coeficientes. De
ser necesario reporte ceros en los terminos faltantes.
Respuesta:
9. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si para un vector b el sistema A x = b tiene solucion
unica, entonces A no es invertible.
b) Si la matriz A no es invertible, entonces A x = 0 tie-
ne infinitas soluciones.
c) Si la matriz A no es invertible, entonces A ·A x = 0
tiene infinitas soluciones.
d) Si el sistema A x = 0 tiene solucion unica, entonces
A es invertible.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Falso
3) Cierto
Respuesta:
10. Si
A1 =
[4 6
−2 6
]A2 =
[−1 6
−1 −2
]
A3 =
[3 12
−3 4
]A4 =
[8 12
−4 12
]Indique cuales opciones contienen declaraciones ciertas:
1. A4 ∈ Gen{A2, A3} 2. A1 ∈ Gen{A2, A3}3. A4 ∈ Gen{A1} 4. A3 ∈ Gen{A1, A2}5. A1 ∈ Gen{A4} 6. A2 ∈ Gen{A1, A4}
Respuesta:
11. Que valor debe tener a para que la matriz:
A =
[−4 3
a 5
]sea una combinacion lineal de las matrices:
A1 =
[1 1
1 2
]A2 =
[−2 2
0 1
]A3 =
[−2 −3
0 −1
]
Respuesta:
12. Liste todos los valores de a para los cuales el conjunto
{1 + 6x + 6x2, 3 + 4x + 3x2, 6 + a x + 21x2}
sea linealmente dependiente.
Respuesta:
Algebra LinealTercer Examen Parcial
Maestro Eduardo Uresti, Enero-Mayo 2011
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:42
1. Suponga que la transformacion lineal T : R2 → R2 cum-
ple:
T
[1
0
]=
[1
1
]y
T
[0
1
]=
[−1
−3
]Determine
T
[3
−2
]Respuesta:
2. Indique en cuales opciones el conjunto dado no es lineal-
mente independiente:
1.
{[6 −5
−3 −4
],
[−2 −1
−6 −2
],
[9 −29
−10 −11
],
[1 4
2 1
]}
2.
{[4 −5
−4 3
],
[−4 5
2 1
],
[−32 40
28 −16
]}
3.
{[6 0
−3 5
],
[−4 −1
−3 5
],
[5 4
4 −6
]}
4.
{[−1 −2
0 −3
],
[−5 4
−4 −6
],
[−4 2
−5 −6
],
[−2 −3
−2 −2
]}
Respuesta:
3. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo A, tipo B y tipo C. En una primera
etapa de ensamble usando As, Bs y Cs se producen los
tipos de armados M, N y P. En una segunda etapa de en-
samble usando los tipos M, N y P se producen los tipos
de armados X, Y y Z. Se sabe que para armar 5 Xs, 2 Ys
y 2 Zs se requirieron en total 395 As, 331 Bs y 333 Cs;
para armar 2 Xs, 4 Ys y 2 Zs se requirieron en total 342
As, 274 Bs y 282 Cs; y que para armar 5 Xs, 5 Ys y 4 Zs
se requirieron en total 606 As, 497 Bs y 504 Cs. Ademas,
se sabe que para obtener un X se requieren 5 Ms, 3 Ns y
5 Ps; para un Y se requieren 2 Ms, 4 Ns y 5 Ps y para
un Z se requieren 5 Ms, 4 Ns y 3 Ps. Indique, en orden,
cuantas piezas A y cuantas B se requieren para armar un
X y cuantas piezas A y cuantas B para armar un M.
Respuesta:
4. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es
una base para V , G es un conjunto generador para V , Ies un conjunto linealmente independiente de V , D es un
conjunto linealmente dependiente de V , C es un conjunto
de elementos de V y 9 es la dimension de V . Indique como
son cada una de las afirmaciones
a) Si D tiene 9 elementos, entonces D genera a V .
b) I tiene mas de 9 elementos.
c) B tiene menos de 9 elementos.
d) Si I tiene 9 elementos, entonces I genera a V .
e) G tiene al menos 9 elementos.
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente informacion
Respuesta:
5. Suponga que la transformacion lineal T : R2 → R2 cum-
ple:
T
[1
2
]=
[3
−2
]y
T
[5
−1
]=
[−4
4
]Determine
T
[−4
1
]Respuesta:
6. Liste todos los valores de a para los cuales el conjunto
formado por las matrices[1 4
5 1
],
[5 5
3 3
][
4 1
5 4
],
[5 a
5 3
]sea linealmente dependiente.
Respuesta:
7. Para que valores del escalar k el espacio generado por 1
2
−1
,
0
1
−1
,
0
k
−5 k + k2
,
−1
−3
22− 9 k + k2
tiene dimension 2.
Indique su respuesta, completando los espacios de ser ne-
cesario, en las posibles:
1) Solo para k =
MA1010, Tercer Examen Parcial, Tipo: 42 2
2) Solo para k1 = , k2 = y k3 =
(Con k1 ≤ k2 ≤ k3)
3) Solo para k1 = y k2 =
(Con k1 ≤ k2)
4) Hay una infinidad de valores para k.
5) No existe valor de k.
Respuesta:
8. Que valor debe tener a para que la matriz:
A =
[a 6
−12 −3
]sea una combinacion lineal de las matrices:
A1 =
[2 −3
3 −2
]A2 =
[−1 2
0 −1
]A3 =
[2 3
1 2
]Respuesta:
9. Cuales opciones contienen vectores propios a la matriz
A =
−9 6 1
−97 74 17
308 −238 −56
de la lista de vectores:
1.
0
−2
7
2.
1
2
−3
3.
−1
−5
14
4.
2
5
−10
5.
−2
−6
14
6.
0
−3
11
Respuesta:
10. Determine el polinomio caracterıstico de la matriz
A =
8 0 −4
12 −2 −4
12 −6 0
De, en orden creciente a las potencias, sus coeficientes. De
ser necesario reporte ceros en los terminos faltantes.
Respuesta:
11. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si para un vector b el sistema A x = b no tiene so-
lucion, entonces A es invertible.
b) Si el sistema (A A) x = 0 tiene solucion unica, enton-
ces A es invertible.
c) Si la matriz A es invertible, entonces A x = 0 tiene
solucion unica.
d) Si el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A es invertible.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) No se sabe
3) Cierto
Respuesta:
12. Indique en cuales opciones el conjunto dado sı genera a
M2×2 :
1.
{[−1 6
−2 −2
],
[25 65
−12 5
],
[25 −5
4 14
],
[5 −5
0 1
],
[6 4
0 3
]}
2.
{[6 3
0 −3
],
[2 4
5 −4
],
[4 5
−4 5
],
[−3 4
2 −1
],
[1 3
5 1
]}
3.
{[−2 6
−3 −2
],
[0 1
4 4
],
[5 3
2 −6
],
[5 2
−5 −5
]}
4.
{[−4 −4
5 1
],
[6 4
5 5
],
[−4 5
−6 −3
],
[64 7
50 43
]}
Respuesta:
Algebra LinealTercer Examen Parcial
Maestro Eduardo Uresti, Enero-Mayo 2011
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:43
1. Los vectores
1.
−2
3
−4
2.
−1
1
−1
3.
0
−6
9
4.
0
2
−3
5.
−4
6
−8
son vectores propios de la matriz
A =
7 30 20
5 −8 −10
−10 0 7
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
2. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo A, tipo B y tipo C. En una primera
etapa de ensamble usando As, Bs y Cs se producen los
tipos de armados M, N y P. En una segunda etapa de en-
samble usando los tipos M, N y P se producen los tipos
de armados X, Y y Z. Se sabe que para armar 3 Xs, 4 Ys
y 4 Zs se requirieron en total 399 As, 448 Bs y 253 Cs;
para armar 4 Xs, 2 Ys y 4 Zs se requirieron en total 358
As, 400 Bs y 226 Cs; y que para armar 4 Xs, 3 Ys y 3 Zs
se requirieron en total 350 As, 392 Bs y 223 Cs. Ademas,
se sabe que para obtener un X se requieren 2 Ms, 3 Ns y
3 Ps; para un Y se requieren 2 Ms, 5 Ns y 3 Ps y para
un Z se requieren 5 Ms, 5 Ns y 2 Ps. Indique, en orden,
cuantas piezas A y cuantas B se requieren para armar un
X y cuantas piezas A y cuantas B para armar un M.
Respuesta:
3. Indique cuales opciones sı contienen una transformacion
lineal de R2 en R2 :
1. T
[x
y
]=
[x+ 6 y
4 y
]
2. T
[x
y
]=
[x y
−2 y
]
3. T
[x
y
]=
[−2 + x
−4 + x
]
4. T
[x
y
]=
[8x+ y
x− 7 y
]
Respuesta:
4. Indique en cuales opciones el conjunto dado no es lineal-
mente independiente:
1.
{[9 −12
24 −12
],
[−2 2
−4 3
],
[−1 2
−4 1
]}
2.
{[−2 −4
4 0
],
[2 −1
6 −1
],
[−6 1
1 −1
],
[3 1
5 3
]}
3.
{[−6 −5
12 −6
],
[−3 −2
3 6
],
[−2 0
0 −1
],
[2 3
−6 −3
]}
4.
{[1 1
6 −4
],
[4 3
−1 0
],
[6 −3
−5 −5
]}
Respuesta:
5. Que valor debe tener a para que la matriz:
A =
[−5 −4
2 a
]sea una combinacion lineal de las matrices:
A1 =
[−2 −3
0 4
]A2 =
[1 3
2 −1
]A3 =
[2 2
0 −1
]Respuesta:
6. Liste todos los valores de a para los cuales el conjunto
{5 + x + 6x2, 4 + 2x + x2, 14 + a x + 13x2}
sea linealmente dependiente.
Respuesta:
MA1010, Tercer Examen Parcial, Tipo: 43 2
7. Para que valores del escalar c el espacio generado por 1
2
2
,
−1
−3
−3
,
−1
−2 + c
−2− c+ c2
,
−1
0
6− 5 c+ c2
tiene dimension 2.
Indique su respuesta, completando los espacios de ser ne-
cesario, en las posibles:
1) Solo para c1 = , c2 = y c3 =
(Con c1 ≤ c2 ≤ c3)
2) Solo para c =
3) Solo para c1 = y c2 =
(Con c1 ≤ c2)
4) Hay una infinidad de valores para c.
5) No existe valor de c.
Respuesta:
8. Suponga que la transformacion lineal T : R2 → R2 cum-
ple:
T
[−3
−4
]=
[−4
−3
]y
T
[−2
3
]=
[−2
−1
]Determine
T
[−1
−1
]Respuesta:
9. Si:
A =
[2 1
−3 −1
]
B =
[4 −1
−3 1
]
C =
[3 1
−4 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
(A X B)T
CT −B = 0
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
10. Liste todos los valores de a para los cuales el conjunto
formado por las matrices[1 0
2 0
],
[2 1
1 1
][
1 1
1 0
],
[6 3
7 a
]no genere M2×2.
Respuesta:
11. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es
una base para V , G es un conjunto generador para V , I es
un conjunto linealmente independiente de V , D es un con-
junto linealmente dependiente de V , C es un conjunto de
elementos de V y 10 es la dimension de V . Indique como
son cada una de las afirmaciones
a) Si I tiene 10 elementos, entonces I es base.
b) D tiene mas de 10 elementos.
c) G tiene al menos 10 elementos.
d) B tiene 10 elementos.
e) Si D tiene menos de 10 elementos, entonces D genera
a V .
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente informacion
Respuesta:
12. Determine el polinomio caracterıstico de la matriz
A =
7 3 −2
12 4 −4
21 9 −6
De, en orden creciente a las potencias, sus coeficientes. De
ser necesario reporte ceros en los terminos faltantes.
Respuesta:
Algebra LinealTercer Examen Parcial
Maestro Eduardo Uresti, Enero-Mayo 2011
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:44
1. Liste todos los valores de a para los cuales el conjunto
formado por las matrices[2 3
1 4
],
[1 4
2 3
][
5 2
5 3
],
[2 4
a 5
]sea linealmente dependiente.
Respuesta:
2. ¿Cual es el valor del parametro a para que la matriz −2 −6 −3
0 a −3
−3 −6 −3
sea singular?
Respuesta:
3. Si
p1 = 7 + 11x, p2 = 4 + 2x, p3 = 1 + 3x, p4 = 14 + 22x
Indique cuales opciones contienen declaraciones falsas:
1. p4 ∈ Gen {p3} 2. p1 ∈ Gen {p2, p3}3. p2 ∈ Gen {p1, p4} 4. p2 ∈ Gen {p1, p3}5. p3 ∈ Gen {p1, p2} 6. p4 ∈ Gen {p1}
Respuesta:
4. Indique cuales opciones sı contienen una transformacion
lineal de R2 en R2 :
1. T
[x
y
]=
[8x+ y
x− 8 y
]
2. T
[x
y
]=
[−7 + x
−3 + x
]
3. T
[x
y
]=
[x+ 7 y
−y
]
4. T
[x
y
]=
[x y
−6 y
]
Respuesta:
5. Indique la dimension del subespacio . . .
(1) generado por{[0 −2
−1 −1
],
[2 −1
2 1
],
[3 −6
1 1
],
[1 2
2 0
]}
(2) generado por{−4 + 2x− 6x2 + 2x3, 4− 2x+ 6x2 − 2x3,
−2 + x− 3x2 + x3, −6 + 3x− 9x2 + 3x3
}
(3) formado por los vectores x que cumplen: 1 1 1
3 5 3
1 1 3
x =
0
0
0
Respuesta:
6. Suponga que la transformacion lineal T : R2 → R2 cum-
ple:
T
[−3
4
]=
[4
4
]y
T
[−5
1
]=
[−3
−2
]Determine
T
[−1
−1
]Respuesta:
7. Determine el polinomio caracterıstico de la matriz
A =
59 21 −9
−132 −46 21
60 24 −7
De, en orden creciente a las potencias, sus coeficientes. De
ser necesario reporte ceros en los terminos faltantes.
Respuesta:
8. Los vectores
1.
−1
2
3
2.
18
−32
−40
3.
1
−2
−3
4.
3
−5
−6
5.
9
−16
−20
MA1010, Tercer Examen Parcial, Tipo: 44 2
son vectores propios de la matriz
A =
−146 −153 54
264 277 −98
336 354 −126
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
9. Que valor debe tener a para que la matriz:
A =
[8 11
6 a
]sea una combinacion lineal de las matrices:
A1 =
[1 −2
−2 4
]A2 =
[4 4
2 −3
]A3 =
[2 1
0 −1
]Respuesta:
10. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A es invertible.
b) Si para un vector b el sistema A x = b tiene solucion
unica, entonces A no es invertible.
c) Si la matriz A es invertible, entonces A x = 0 tiene
infinitas soluciones.
d) Si la matriz A ·A no es invertible, entonces A x = 0
tiene solucion unica.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) Falso
3) No se sabe
Respuesta:
11. Indique en cuales opciones el conjunto dado sı es lineal-
mente independiente:
1.
{[4 −5
−6 1
],
[18 −15
−24 5
],
[1 −5
−3 0
]}
2.
{[6 −1
1 −1
],
[−6 6
−5 5
],
[−5 1
−5 4
]}
3.
{[20 −9
−19 18
],
[−6 5
6 −2
],
[0 4
1 0
],
[5 −2
−4 −4
]}
4.
{[2 0
6 −5
],
[2 4
1 −4
],
[1 4
1 2
],
[−1 −5
0 4
]}
Respuesta:
12. Para que valores del escalar b el espacio generado por 1
−2
−1
,
−2
3
0
,
−2
4− 2 b
2− 7 b+ b2
,
2
−4
10− 7 b+ b2
tiene dimension 2.
Indique su respuesta, completando los espacios de ser ne-
cesario, en las posibles:
1) No existe valor de b.
2) Solo para b =
3) Solo para b1 = , b2 = y b3 =
(Con b1 ≤ b2 ≤ b3)
4) Hay una infinidad de valores para b.
5) Solo para b1 = y b2 =
(Con b1 ≤ b2)
Respuesta:
Algebra LinealTercer Examen Parcial
Maestro Eduardo Uresti, Enero-Mayo 2011
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:45
1. Indique la dimension del subespacio . . .
(1) generado por{[2 0
−1 2
],
[3 −1
−4 5
],
[−2 −2
−2 0
],
[1 1
0 1
]}
(2) generado por{8 + 4x2, 8x+ 8x2,
−2 + 3x+ 2x2, −2− x− 2x2
}
(3) formado por los vectores x que cumplen: 1 1 1
1 2 1
3 3 6
x =
0
0
0
Respuesta:
2. Liste todos los valores de a para los cuales el conjunto
formado por las matrices[1 4
5 3
],
[3 4
4 5
][
3 5
2 4
],
[a 1
4 2
]sea linealmente dependiente.
Respuesta:
3. Cuales opciones no contienen vectores propios a la matriz
A =
143 33 −12
−824 −190 68
−704 −162 55
de la lista de vectores:
1.
−9
48
30
2.
0
1
3
3.
1
−4
1
4.
2
−11
−8
5.
−2
10
4
6.
2
−9
−1
Respuesta:
4. Los vectores
1.
−4
17
−8
2.
7
−29
12
3.
1
−4
1
4.
−14
58
−24
5.
−2
8
−2
son vectores propios de la matriz
A =
562 152 43
−2300 −622 −176
860 232 65
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
5. Para que valores del escalar k el espacio generado por 1
−1
1
,
2
0
0
,
0
k
−4 k + k2
,
0
2
10− 7 k + k2
tiene dimension 2.
Indique su respuesta, completando los espacios de ser ne-
cesario, en las posibles:
1) Hay una infinidad de valores para k.
2) No existe valor de k.
3) Solo para k1 = y k2 =
(Con k1 ≤ k2)
4) Solo para k1 = , k2 = y k3 =
(Con k1 ≤ k2 ≤ k3)
5) Solo para k =
Respuesta:
6. Indique en cuales opciones el conjunto dado sı es lineal-
mente independiente:
1.
{[0 −6
−4 1
],
[−3 4
−6 −4
],
[2 6
−2 2
],
[5 4
−30 8
]}
2.
{[1 2
6 2
],
[0 −32
−28 −12
],
[−1 6
1 1
]}
3.
{[2 5
−2 −4
],
[2 3
3 6
],
[2 −4
5 3
],
[2 −6
−4 −5
]}
4.
{[6 1
4 −6
],
[−5 −5
4 −5
],
[4 −1
−2 −5
]}
MA1010, Tercer Examen Parcial, Tipo: 45 2
Respuesta:
7. ¿Cual es el valor del parametro a para que la matriz −3 −4 −8
4 4 8
0 −4 a
sea singular?
Respuesta:
8. Suponga que la transformacion lineal T : R2 → R2 cum-
ple:
T
[1
0
]=
[3
−4
]y
T
[0
1
]=
[−4
−2
]Determine
T
[−5
−2
]Respuesta:
9. Suponga que la transformacion lineal T : R2 → R2 cum-
ple:
T
[5
1
]=
[−1
−2
]y
T
[−4
−2
]=
[−3
3
]Determine
T
[−3
4
]Respuesta:
10. Liste todos los valores de a para los cuales el conjunto
formado por las matrices[1 2
1 1
],
[1 0
0 0
]
[2 1
1 2
],
[6 5
3 a
]no genere M2×2.
Respuesta:
11. Indique en cuales opciones el conjunto dado sı genera a
M2×2 :
1.
{[−5 −2
−2 0
],
[−2 −3
−5 −6
],
[2 0
6 −4
],
[2 5
4 4
]}
2.
{[6 21
18 33
],
[3 4
1 5
],
[50 26
−30 52
],
[6 1
−6 5
],
[−1 0
1 −3
]}
3.
{[3 −42
27 25
],
[−4 −20
40 −8
],
[0 6
−6 −2
],
[−1 4
1 −5
]}
4.
{[6 −3
3 5
],
[−6 0
5 4
],
[1 3
0 5
],
[3 −3
−6 −6
]}
Respuesta:
12. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si para un vector b el sistema A x = b no tiene so-
lucion, entonces A es invertible.
b) Si el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A es invertible.
c) Si el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A ·A es invertible.
d) Si la matriz A no es invertible, entonces A x = 0 tie-
ne solucion unica.
dentro de las respuestas posibles:
1) Falso
2) No se sabe
3) Cierto
Respuesta:
Algebra LinealTercer Examen Parcial
Maestro Eduardo Uresti, Enero-Mayo 2011
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:46
1. Para que valores del escalar x el espacio generado por 1
2
−1
,
2
2
0
,
0
2x
−4x+ x2
,
1
4
3− 5x+ x2
tiene dimension 2.
Indique su respuesta, completando los espacios de ser ne-
cesario, en las posibles:
1) Solo para x =
2) Hay una infinidad de valores para x.
3) Solo para x1 = y x2 =
(Con x1 ≤ x2)
4) No existe valor de x.
5) Solo para x1 = , x2 = y x3 =
(Con x1 ≤ x2 ≤ x3)
Respuesta:
2. Que valor debe tener a para que el polinomio:
p = a + 5x + 5x3
sea una combinacion lineal de los polinomios:
p1 = 1 + 6x2 + x3
p2 = −1 + x− 6x2 + x3
p3 = −1 + x + 6x2 + x3
Respuesta:
3. Si:
A =
[−2 1
−3 1
]
B =
[2 −3
1 −1
]
C =
[3 1
−4 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
(A X B)T
CT −B = 0
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
4. Indique en cuales opciones el conjunto dado no es lineal-
mente independiente:
1. {−1 + 3x + 3x2,−6− 5x− x2}2. {−4− 2x− 5x2,−8 + 10x− 5x2, 8 + 18x + 15x2,−6 + 4x− 5x2}3. {4 + 6x,−1− 2x− 3x2, 1 + x− 4x2}4. {46x + 40x2,−2 + 5x + 6x2, 3 + 4x + x2}
Respuesta:
5. Liste todos los valores de a para los cuales el conjunto
formado por las matrices[5 2
3 5
],
[2 2
1 3
][
4 3
4 5
],
[3 4
a 3
]sea linealmente dependiente.
Respuesta:
6. Cuales opciones no contienen vectores propios a la matriz
A =
55 −18 13
84 −23 21
−116 44 −26
de la lista de vectores:
1.
−2
6
16
2.
1
1
−3
3.
2
0
−8
4.
0
1
1
5.
2
1
−7
6.
0
−3
−4
Respuesta:
7. ¿Cual es el valor del parametro a para que la matriz −1 −1 0
−2 −4 a
−1 −2 −2
sea singular?
Respuesta:
MA1010, Tercer Examen Parcial, Tipo: 46 2
8. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es
una base para V , G es un conjunto generador para V , I es
un conjunto linealmente independiente de V , D es un con-
junto linealmente dependiente de V , C es un conjunto de
elementos de V y 16 es la dimension de V . Indique como
son cada una de las afirmaciones
a) I tiene al menos 16 elementos.
b) G tiene menos de 16 elementos.
c) B tiene 16 elementos.
d) D tiene a lo mas 16 elementos.
e) Si I tiene menos de 16 elementos, entonces I genera
a V .
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente informacion
Respuesta:
9. Liste todos los valores de a para los cuales el conjunto
formado por las matrices[1 0
1 2
],
[2 0
2 0
][
1 1
1 1
],
[a 1
5 5
]no genere M2×2.
Respuesta:
10. Suponga que la transformacion lineal T : R2 → R2 cum-
ple:
T
[1
0
]=
[2
−2
]y
T
[0
1
]=
[−2
−2
]Determine
T
[4
5
]Respuesta:
11. Los vectores
1.
−1
−2
0
2.
−7
−18
−17
3.
7
18
17
4.
−3
−6
0
5.
2
6
8
son vectores propios de la matriz
A =
340 −169 41
942 −469 114
1088 −544 133
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
12. Indique cuales opciones no contienen una transformacion
lineal de R2 en R2 :
1. T
[x
y
]=
[7x+ y
x− 4 y
]
2. T
[x
y
]=
[−3 + x
−5 + x
]
3. T
[x
y
]=
[x y
−6 y
]
4. T
[x
y
]=
[x+ 5 y
−y
]
Respuesta:
Algebra LinealTercer Examen Parcial
Maestro Eduardo Uresti, Enero-Mayo 2011
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:47
1. Suponga que la transformacion lineal T : R2 → R2 cum-
ple:
T
[−1
−4
]=
[−4
−1
]y
T
[−1
3
]=
[2
1
]Determine
T
[3
−2
]Respuesta:
2. Suponga que la transformacion lineal T : R2 → R2 cum-
ple:
T
[1
0
]=
[4
−1
]y
T
[0
1
]=
[3
−1
]Determine
T
[2
4
]Respuesta:
3. Indique en cuales opciones el conjunto dado no es lineal-
mente independiente:
1.
{[2 −6
0 −5
],
[−1 1
−2 2
],
[−3 −1
2 −1
],
[0 20
8 11
]}
2.
{[2 −4
5 −3
],
[−2 −5
5 −4
],
[5 5
−4 −5
]}
3.
{[−4 0
2 5
],
[−1 0
0 6
],
[−3 −2
6 −3
],
[−1 −3
2 −4
]}
4.
{[−8 −4
−18 −24
],
[−2 0
−2 −4
],
[1 −2
−4 −2
]}
Respuesta:
4. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es
una base para V , G es un conjunto generador para V , I es
un conjunto linealmente independiente de V , D es un con-
junto linealmente dependiente de V , C es un conjunto de
elementos de V y 14 es la dimension de V . Indique como
son cada una de las afirmaciones
a) B tiene menos de 14 elementos.
b) D tiene mas de 14 elementos.
c) Si D tiene 14 elementos, entonces D genera a V .
d) G tiene mas de 14 elementos.
e) Si G tiene 15 elementos, entonces G es linealmente
dependiente.
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente informacion
Respuesta:
5. Indique en cuales opciones el conjunto dado sı genera a
M2×2 :
1.
{[−4 −3
0 4
],
[−4 −5
6 −5
],
[4 3
−4 −4
],
[−2 5
5 −5
],
[1 −4
4 2
]}
2.
{[2 0
−6 −4
],
[17 22
20 −17
],
[−3 −6
4 3
],
[5 −26
16 −17
],
[3 1
5 −4
]}
3.
{[1 −6
−1 4
],
[2 −3
−3 2
],
[1 5
4 5
],
[3 5
4 1
]}
4.
{[46 −6
−5 16
],
[14 −54
−45 −6
],
[2 6
5 2
],
[6 −6
−5 1
]}
Respuesta:
6. Determine el polinomio caracterıstico de la matriz
A =
−5 2 −2
−11 12 2
13 −14 −2
De, en orden creciente a las potencias, sus coeficientes. De
ser necesario reporte ceros en los terminos faltantes.
Respuesta:
7. Para que valores del escalar x el espacio generado por 1
1
−2
,
0
1
2
,
1
1 + x
−2− 2x+ x2
,
1
−1
14− 9x+ x2
tiene dimension 2.
Indique su respuesta, completando los espacios de ser ne-
cesario, en las posibles:
1) Solo para x1 = y x2 =
(Con x1 ≤ x2)
2) Solo para x =
3) No existe valor de x.
4) Solo para x1 = , x2 = y x3 =
(Con x1 ≤ x2 ≤ x3)
5) Hay una infinidad de valores para x.
MA1010, Tercer Examen Parcial, Tipo: 47 2
Respuesta:
8. Liste todos los valores de a para los cuales el conjunto
{1 + 6x + x2, 2 + 3x + 6x2, 8 + a x + 16x2}
sea linealmente dependiente.
Respuesta:
9. Si:
A =
[−3 1
−4 1
]
B =
[−11 4
−15 4
]
C =
[−4 −3
−1 −1
]
D =
[4 −1
−3 1
]Resuelva para Y el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:A X + B Y = C
X + 3Y = D
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
10. Que valor debe tener a para que la matriz:
A =
[11 −11
a 0
]sea una combinacion lineal de las matrices:
A1 =
[0 3
0 3
]A2 =
[4 −2
2 2
]A3 =
[3 −1
2 2
]Respuesta:
11. Los vectores
1.
2
7
−6
2.
11
37
−35
3.
−22
−74
70
4.
−4
−14
12
5.
−2
−6
8
son vectores propios de la matriz
A =
621 −122 64
2057 −404 212
−2026 398 −209
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
12. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si para un vector b el sistema A x = b tiene infinitas
soluciones, entonces A no es invertible.
b) Si la matriz A es invertible, entonces A x = 0 tiene
infinitas soluciones.
c) Si el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A ·A es invertible.
d) Si el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A es invertible.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) No se sabe
3) Falso
Respuesta:
Algebra LinealTercer Examen Parcial
Maestro Eduardo Uresti, Enero-Mayo 2011
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:48
1. Si:
A =
[−3 −4
1 1
]
B =
[−11 −11
0 4
]
C =
[2 1
−3 −1
]
D =
[3 1
−4 −1
]Resuelva para Y el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:A X + B Y = C
X + 3Y = D
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
2. Indique cuales opciones no contienen una transformacion
lineal de R2 en R2 :
1. T
[x
y
]=
[7x+ y
x− 5 y
]
2. T
[x
y
]=
[−5 + x
−7 + x
]
3. T
[x
y
]=
[x+ 3 y
4 y
]
4. T
[x
y
]=
[x y
−5 y
]
Respuesta:
3. Que valor debe tener a para que la matriz:
A =
[7 a
4 11
]sea una combinacion lineal de las matrices:
A1 =
[0 2
0 −1
]A2 =
[3 −3
1 4
]A3 =
[−1 4
−2 −1
]Respuesta:
4. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si para un vector b el sistema A x = b tiene infinitas
soluciones, entonces A no es invertible.
b) Si la matriz A es invertible, entonces A x = 0 tiene
solucion unica.
c) Si el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A es invertible.
d) Si la matriz A no es invertible, entonces A ·A x = 0
tiene infinitas soluciones.
dentro de las respuestas posibles:
1) Cierto
2) No se sabe
3) Falso
Respuesta:
5. Indique en cuales opciones el conjunto dado sı es lineal-
mente independiente:
1.
{[−17 −6
13 3
],
[−6 −4
5 2
],
[−5 2
3 −1
]}
2.
{[−6 0
4 −3
],
[−6 5
3 3
],
[3 −3
−4 3
],
[−1 4
−1 3
]}
3.
{[2 2
1 2
],
[5 4
2 −2
],
[−3 −1
−3 1
]}
4.
{[2 −4
−4 −6
],
[−2 6
22 26
],
[2 4
0 3
],
[5 −1
3 4
]}
Respuesta:
6. Determine el polinomio caracterıstico de la matriz
A =
17 −19 −18
−24 28 26
36 −42 −39
De, en orden creciente a las potencias, sus coeficientes. De
ser necesario reporte ceros en los terminos faltantes.
Respuesta:
7. Suponga que la transformacion lineal T : R2 → R2 cum-
ple:
T
[1
0
]=
[2
−2
]
MA1010, Tercer Examen Parcial, Tipo: 48 2
y
T
[0
1
]=
[4
2
]Determine
T
[−2
−3
]Respuesta:
8. Para que valores del escalar b el espacio generado por 1
−2
1
,
2
−5
1
,
2
−4− 2 b
2− 5 b+ b2
,
−1
4
13− 7 b+ b2
tiene dimension 2.
Indique su respuesta, completando los espacios de ser ne-
cesario, en las posibles:
1) No existe valor de b.
2) Hay una infinidad de valores para b.
3) Solo para b =
4) Solo para b1 = y b2 =
(Con b1 ≤ b2)
5) Solo para b1 = , b2 = y b3 =
(Con b1 ≤ b2 ≤ b3)
Respuesta:
9. Liste todos los valores de a para los cuales el conjunto
{2 + 4x + x2, 6 + 6x + 5x2, 26 + a x + 21x2}
sea linealmente dependiente.
Respuesta:
10. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es
una base para V , G es un conjunto generador para V , I es
un conjunto linealmente independiente de V , D es un con-
junto linealmente dependiente de V , C es un conjunto de
elementos de V y 20 es la dimension de V . Indique como
son cada una de las afirmaciones
a) D tiene a lo mas 20 elementos.
b) Si D tiene menos de 20 elementos, entonces D genera
a V .
c) Si I tiene 19 elementos, entonces I es base.
d) I tiene a lo mas 20 elementos.
e) B tiene mas de 20 elementos.
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente informacion
Respuesta:
11. Los vectores
1.
−2
6
8
2.
3
−12
0
3.
4
−15
−3
4.
−12
45
9
5.
1
−3
−4
son vectores propios de la matriz
A =
255 63 17
−900 −222 −60
−384 −96 −26
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
12. Liste todos los valores de a para los cuales el conjunto
formado por las matrices[2 0
0 2
],
[0 0
0 1
][
1 2
2 2
],
[5 a
2 7
]no genere M2×2.
Respuesta:
Algebra LinealTercer Examen Parcial
Maestro Eduardo Uresti, Enero-Mayo 2011
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:49
1. Liste todos los valores de a para los cuales el conjunto
formado por las matrices[2 5
2 2
],
[2 2
4 3
][
4 3
4 1
],
[5 4
a 1
]sea linealmente dependiente.
Respuesta:
2. Cuales opciones no contienen vectores propios a la matriz
A =
306 −116 −52
1145 −433 −193
−790 298 132
de la lista de vectores:
1.
12
45
−30
2.
12
45
−31
3.
7
26
−18
4.
1
4
−3
5.
22
82
−56
6.
−3
−11
7
Respuesta:
3. Los vectores
1.
15
−69
6
2.
−5
23
−2
3.
2
−9
2
4.
−2
9
−2
5.
−2
8
−6
son vectores propios de la matriz
A =
−42 −10 0
123 31 3
−382 −82 16
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
4. Si
p1 = 10 + 26x, p2 = 6 + 6x, p3 = 1 + 5x, p4 = 30 + 78x
Indique cuales opciones contienen declaraciones ciertas:
1. p1 ∈ Gen {p4} 2. p4 ∈ Gen {p3}3. p1 ∈ Gen {p2, p3} 4. p2 ∈ Gen {p1, p3}5. p3 ∈ Gen {p1, p2} 6. p4 ∈ Gen {p1}
Respuesta:
5. ¿Cual es el valor del parametro a para que la matriz 2 −2 a
1 −1 −1
1 0 0
no sea invertible?
Respuesta:
6. Si:
A =
[4 −1
−3 1
]
B =
[2 −3
1 −1
]
C =
[−2 1
−3 1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
(A X B)T
CT −B = 0
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
7. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es
una base para V , G es un conjunto generador para V , I es
un conjunto linealmente independiente de V , D es un con-
junto linealmente dependiente de V , C es un conjunto de
elementos de V y 10 es la dimension de V . Indique como
son cada una de las afirmaciones
a) I tiene mas de 10 elementos.
b) G tiene a lo mas 10 elementos.
c) B tiene mas de 10 elementos.
MA1010, Tercer Examen Parcial, Tipo: 49 2
d) D tiene menos de 10 elementos.
e) Si I tiene menos de 10 elementos, entonces I genera
a V .
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente informacion
Respuesta:
8. Indique cuales opciones no contienen una transformacion
lineal de R2 en R2 :
1. T
[x
y
]=
[4x+ y
x− 8 y
]
2. T
[x
y
]=
[x+ 5 y
−y
]
3. T
[x
y
]=
[x y
−6 y
]
4. T
[x
y
]=
[−3 + x
−7 + x
]
Respuesta:
9. Liste todos los valores de a para los cuales el conjunto
formado por las matrices[2 2
1 1
],
[2 2
2 1
][
0 0
0 1
],
[8 a
6 6
]no genere M2×2.
Respuesta:
10. Indique en cuales opciones el conjunto dado no es lineal-
mente independiente:
1.
{[−1 0
−6 5
],
[−1 6
5 −6
],
[−2 6
0 3
]}
2.
{[1 −4
−6 4
],
[2 6
1 −6
],
[18 −38
−37 35
],
[−5 4
2 −3
]}
3.
{[4 −28
−4 0
],
[4 6
−3 −2
],
[5 −1
−4 −2
]}
4.
{[1 −1
4 6
],
[−1 6
−5 −4
],
[6 −2
6 −6
],
[3 4
−5 −2
]}
Respuesta:
11. Para que valores del escalar k el espacio generado por 1
−2
1
,
0
−1
1
,
1
−2− k
1− 3 k + k2
,
0
1
19− 9 k + k2
tiene dimension 2.
Indique su respuesta, completando los espacios de ser ne-
cesario, en las posibles:
1) Solo para k =
2) Hay una infinidad de valores para k.
3) Solo para k1 = , k2 = y k3 =
(Con k1 ≤ k2 ≤ k3)
4) No existe valor de k.
5) Solo para k1 = y k2 =
(Con k1 ≤ k2)
Respuesta:
12. Suponga que la transformacion lineal T : R2 → R2 cum-
ple:
T
[1
3
]=
[4
4
]y
T
[1
−3
]=
[3
−1
]Determine
T
[−4
−1
]Respuesta:
Algebra LinealTercer Examen Parcial
Maestro Eduardo Uresti, Enero-Mayo 2011
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:50
1. Indique la dimension del subespacio . . .
(1) generado por{[−2 −1
1 0
],
[−1 −2
1 −2
],
[−2 −2
0 2
],
[−2 1
1 −2
]}
(2) generado por{−2x− 2x2 + 3x3, −2− 3x− x2 + 3x3,
−6x− 2x2 + x3, −2 + 3x+ 3x2 − 2x3
}
(3) formado por los vectores x que cumplen: 1 2 3
3 6 9
3 6 9
x =
0
0
0
Respuesta:
2. Si
A1 =
[6 −1
−1 −1
]A2 =
[2 −2
3 2
]
A3 =
[12 −7
8 5
]A4 =
[18 −3
−3 −3
]Indique cuales opciones contienen declaraciones falsas:
1. A4 ∈ Gen{A3} 2. A1 ∈ Gen{A4}3. A4 ∈ Gen{A1} 4. A2 ∈ Gen{A1, A4}5. A3 ∈ Gen{A1, A2} 6. A1 ∈ Gen{A2, A3}
Respuesta:
3. Si:
A =
[−2 0
−2 −2
]
B =
[−4 −3
−1 −1
]
C =
[−3 1
−4 1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A X = B X + C
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
4. Indique cuales opciones no contienen una transformacion
lineal de R2 en R2 :
1. T
[x
y
]=
[−2 + x
−6 + x
]
2. T
[x
y
]=
[x+ 7 y
−y
]
3. T
[x
y
]=
[x y
−8 y
]
4. T
[x
y
]=
[3x+ y
x− 3 y
]
Respuesta:
5. Suponga que la transformacion lineal T : R2 → R2 cum-
ple:
T
[1
0
]=
[−2
−1
]y
T
[0
1
]=
[−4
−2
]Determine
T
[2
−5
]Respuesta:
6. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es
una base para V , G es un conjunto generador para V , I es
un conjunto linealmente independiente de V , D es un con-
junto linealmente dependiente de V , C es un conjunto de
elementos de V y 16 es la dimension de V . Indique como
son cada una de las afirmaciones
a) Si D tiene 16 elementos, entonces D es base.
b) I tiene mas de 16 elementos.
c) Si I tiene menos de 16 elementos, entonces I genera
a V .
d) B tiene 16 elementos.
e) G tiene mas de 16 elementos.
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente informacion
Respuesta:
MA1010, Tercer Examen Parcial, Tipo: 50 2
7. Que valor debe tener a para que el polinomio:
p = a− 4x− 12x3
sea una combinacion lineal de los polinomios:
p1 = 1− x2 + x3
p2 = −1 + x + x2 + x3
p3 = −1 + x + 6x2 + x3
Respuesta:
8. Determine el polinomio caracterıstico de la matriz
A =
−7 −3 0
−12 −4 −6
84 33 17
De, en orden creciente a las potencias, sus coeficientes. De
ser necesario reporte ceros en los terminos faltantes.
Respuesta:
9. Si:
A =
[−4 −1
−3 −1
]
B =
[−24 −6
−18 −6
]
C =
[−3 1
−4 1
]
D =
[−2 −3
1 1
]Resuelva para Y el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:A X + B Y = C
X + 5Y = D
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
10. Los vectores
1.
3
−9
−12
2.
−6
27
30
3.
−6
21
27
4.
−2
7
9
5.
2
−9
−10
son vectores propios de la matriz
A =
−13 −4 0
30 25 −12
48 24 −7
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
11. Indique en cuales opciones el conjunto dado sı es lineal-
mente independiente:
1.
{[0 −5
4 2
],
[5 3
−1 6
],
[5 43
7 10
],
[0 −5
−4 −2
]}
2.
{[6 3
−1 −4
],
[−6 −7
−23 −28
],
[−6 −4
−5 −4
]}
3.
{[5 −6
3 6
],
[4 2
−1 3
],
[−2 −5
4 5
],
[−2 1
2 1
]}
4.
{[−2 0
1 3
],
[3 −1
3 5
],
[−1 3
4 −3
]}
Respuesta:
12. Liste todos los valores de a para los cuales el conjunto
{6 + x + 2x2, 2 + 5x + 6x2, a + 17x + 22x2}
sea linealmente dependiente.
Respuesta:
Algebra LinealTercer Examen Parcial
Maestro Eduardo Uresti, Enero-Mayo 2011
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:51
1. Suponga que la transformacion lineal T : R2 → R2 cum-
ple:
T
[1
0
]=
[−1
−2
]y
T
[0
1
]=
[−3
−4
]Determine
T
[2
2
]Respuesta:
2. Los vectores
1.
−16
−10
6
2.
8
5
−3
3.
−3
−3
−3
4.
1
1
1
5.
−9
−6
3
son vectores propios de la matriz
A =
95 −125 29
57 −75 17
−39 51 −13
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
3. Que valor debe tener a para que la matriz:
A =
[a 2
−1 −4
]sea una combinacion lineal de las matrices:
A1 =
[0 −2
−3 0
]A2 =
[0 4
2 4
]A3 =
[2 0
0 4
]Respuesta:
4. Si:
A =
[−1 1
−2 0
]
B =
[−4 −1
−3 −1
]
C =
[2 1
−3 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A X = B X + C
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
5. Liste todos los valores de a para los cuales el conjunto
formado por las matrices[2 2
3 3
],
[2 3
4 5
][
1 4
2 3
],
[a 3
3 1
]sea linealmente dependiente.
Respuesta:
6. Indique en cuales opciones el conjunto dado sı es lineal-
mente independiente:
1. {−3− 6x− 6x2, 1− x− x2,−5 + 4x2}2. {−1 + 3x + 2x2,−6− 3x− 4x2}3. {6− 4x− 5x2,−1 + 3x2,−34 + 20x + 37x2,−18 + 8x + 28x2}4. {−14x + 14x2,−3− 2x + 5x2, 6− 3x− 3x2}
Respuesta:
7. Para que valores del escalar a el espacio generado por 1
1
−1
,
0
−1
2
,
−1
−1 + 2 a
1− 7 a+ a2
,
1
3
7− 7 a+ a2
tiene dimension 2.
Indique su respuesta, completando los espacios de ser ne-
cesario, en las posibles:
1) Solo para a1 = , a2 = y a3 =
(Con a1 ≤ a2 ≤ a3)
2) Hay una infinidad de valores para a.
3) Solo para a =
MA1010, Tercer Examen Parcial, Tipo: 51 2
4) Solo para a1 = y a2 =
(Con a1 ≤ a2)
5) No existe valor de a.
Respuesta:
8. Liste todos los valores de a para los cuales el conjunto
formado por las matrices[0 1
2 1
],
[1 1
1 1
][
1 0
2 2
],
[4 a
8 7
]no genere M2×2.
Respuesta:
9. Determine el polinomio caracterıstico de la matriz
A =
−4 0 2
26 5 −8
−10 0 5
De, en orden creciente a las potencias, sus coeficientes. De
ser necesario reporte ceros en los terminos faltantes.
Respuesta:
10. Suponga que la transformacion lineal T : R2 → R2 cum-
ple:
T
[3
2
]=
[−4
−1
]y
T
[−5
4
]=
[−4
−3
]Determine
T
[1
2
]
Respuesta:
11. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es
una base para V , G es un conjunto generador para V , I es
un conjunto linealmente independiente de V , D es un con-
junto linealmente dependiente de V , C es un conjunto de
elementos de V y 20 es la dimension de V . Indique como
son cada una de las afirmaciones
a) Si G tiene 21 elementos, entonces G es linealmente
dependiente.
b) G tiene a lo mas 20 elementos.
c) I tiene mas de 20 elementos.
d) B tiene mas de 20 elementos.
e) Si D tiene menos de 20 elementos, entonces D es base.
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente informacion
Respuesta:
12. ¿Cual es el valor del parametro a para que la matriz 4 8 4
3 6 4
3 a 0
no sea invertible?
Respuesta:
Algebra LinealTercer Examen Parcial
Maestro Eduardo Uresti, Enero-Mayo 2011
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:52
1. Suponga que la transformacion lineal T : R2 → R2 cum-
ple:
T
[1
0
]=
[4
3
]y
T
[0
1
]=
[4
1
]Determine
T
[2
2
]Respuesta:
2. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo A, tipo B y tipo C. En una primera
etapa de ensamble usando As, Bs y Cs se producen los
tipos de armados M, N y P. En una segunda etapa de en-
samble usando los tipos M, N y P se producen los tipos
de armados X, Y y Z. Se sabe que para armar 5 Xs, 4 Ys
y 2 Zs se requirieron en total 490 As, 412 Bs y 296 Cs;
para armar 3 Xs, 4 Ys y 4 Zs se requirieron en total 472
As, 400 Bs y 284 Cs; y que para armar 2 Xs, 2 Ys y 5 Zs
se requirieron en total 363 As, 308 Bs y 222 Cs. Ademas,
se sabe que para obtener un X se requieren 4 Ms, 4 Ns y
2 Ps; para un Y se requieren 5 Ms, 2 Ns y 5 Ps y para
un Z se requieren 2 Ms, 3 Ns y 3 Ps. Indique, en orden,
cuantas piezas A y cuantas B se requieren para armar un
X y cuantas piezas A y cuantas B para armar un M.
Respuesta:
3. Indique en cuales opciones el conjunto dado sı es lineal-
mente independiente:
1. {3 + 6x + 6x2,−4− 4x− 6x2}2. {13− 14x + 28x2, 3− 4x + 6x2,−1 + 3x− x2}3. {22− 36x2,−29 + 38x− 13x2, 4− 6x + 3x2, 5− 2x− 5x2}4. {2 + 3x− 5x2, 6 + 2x− 3x2,−5 + 6x− x2}
Respuesta:
4. Indique en cuales opciones el conjunto dado no genera a
M2×2 :
1.
{[−6 −5
6 −2
],
[−4 6
4 −2
],
[−5 3
0 5
],
[1 3
5 2
],
[−4 −6
0 4
]}
2.
{[−6 −2
−5 −2
],
[−2 −3
−6 1
],
[28 13
28 9
],
[4 −2
−5 6
],
[62 10
19 42
]}
3.
{[6 −5
1 −2
],
[2 −2
5 −2
],
[5 4
1 5
],
[−2 3
−2 1
]}
4.
{[−3 −6
−2 5
],
[4 −2
3 3
],
[−2 −5
−18 24
],
[1 5
−5 2
]}
Respuesta:
5. Cuales opciones contienen vectores propios a la matriz
A =
−39 −17 −1
70 33 0
168 63 12
de la lista de vectores:
1.
−5
12
10
2.
4
−9
−10
3.
3
−7
−7
4.
6
−15
−9
5.
−1
3
0
6.
−2
5
4
Respuesta:
6. Liste todos los valores de a para los cuales el conjunto
formado por las matrices[1 2
2 2
],
[2 5
1 4
][
4 2
1 3
],
[3 a
3 1
]sea linealmente dependiente.
Respuesta:
7. Que valor debe tener a para que el polinomio:
p = a− 3x− 4x3
sea una combinacion lineal de los polinomios:
p1 = 1 + 6x2 + x3
p2 = −1 + x− 6x2 + x3
p3 = −1 + x + 2x2 + x3
Respuesta:
MA1010, Tercer Examen Parcial, Tipo: 52 2
8. Si:
A =
[−1 0
−1 0
]
B =
[−4 −1
−3 −1
]
C =
[−4 −1
−3 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A X = B X + C
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
9. Para que valores del escalar k el espacio generado por 1
−2
−1
,
0
2
2
,
2
−4 + k
−2− k + k2
,
0
0
6− 5 k + k2
tiene dimension 2.
Indique su respuesta, completando los espacios de ser ne-
cesario, en las posibles:
1) Solo para k1 = y k2 =
(Con k1 ≤ k2)
2) Solo para k1 = , k2 = y k3 =
(Con k1 ≤ k2 ≤ k3)
3) Hay una infinidad de valores para k.
4) No existe valor de k.
5) Solo para k =
Respuesta:
10. Determine el polinomio caracterıstico de la matriz
A =
−1 −1 1
15 11 3
−15 −11 −5
De, en orden creciente a las potencias, sus coeficientes. De
ser necesario reporte ceros en los terminos faltantes.
Respuesta:
11. Suponga que la transformacion lineal T : R2 → R2 cum-
ple:
T
[5
3
]=
[4
1
]y
T
[−3
0
]=
[−4
−1
]Determine
T
[−2
3
]
Respuesta:
12. Indique la dimension del subespacio . . .
(1) generado por{[1 0
0 −1
],
[−2 −1
2 1
],
[1 −3
3 −2
],
[2 −2
1 −2
]}
(2) generado por{−2 + x+ 3x2 + 3x3, 1− x+ 3x2 − 3x3,
−2 + 3x+ 3x3, −3 + x+ 3x2 − 2x3
}
(3) formado por los vectores x que cumplen: 2 4 6
1 2 3
3 6 9
x =
0
0
0
Respuesta:
Algebra LinealTercer Examen Parcial
Maestro Eduardo Uresti, Enero-Mayo 2011
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:53
1. Indique la dimension del subespacio . . .
(1) generado por{[1 1
1 1
],
[2 2
−1 0
],
[0 −2
−2 −1
],
[0 0
2 −2
]}
(2) generado por{−4− 14x+ 2x2 − 2x3, 1− 3x+ x2 − 3x3,
2 + x+ 3x2 − 3x3, −1− 3x+ 3x2 − x3
}
(3) formado por los vectores x que cumplen: 4 4 12
2 5 6
5 5 15
x =
0
0
0
Respuesta:
2. Si
A1 =
[0 −2
3 1
]A2 =
[−1 5
0 0
]
A3 =
[−3 13
3 1
]A4 =
[0 −6
9 3
]Indique cuales opciones contienen declaraciones ciertas:
1. A4 ∈ Gen{A1} 2. A1 ∈ Gen{A4}3. A3 ∈ Gen{A1, A2} 4. A1 ∈ Gen{A2, A3}5. A4 ∈ Gen{A3} 6. A4 ∈ Gen{A2, A3}
Respuesta:
3. Liste todos los valores de a para los cuales el conjunto
formado por las matrices[1 5
1 3
],
[3 4
2 4
][
2 1
4 2
],
[3 5
a 1
]sea linealmente dependiente.
Respuesta:
4. Determine el polinomio caracterıstico de la matriz
A =
−65 −44 −21
90 61 29
30 20 10
De, en orden creciente a las potencias, sus coeficientes. De
ser necesario reporte ceros en los terminos faltantes.
Respuesta:
5. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo A, tipo B y tipo C. En una primera
etapa de ensamble usando As, Bs y Cs se producen los
tipos de armados M, N y P. En una segunda etapa de en-
samble usando los tipos M, N y P se producen los tipos
de armados X, Y y Z. Se sabe que para armar 5 Xs, 5 Ys
y 4 Zs se requirieron en total 348 As, 397 Bs y 424 Cs;
para armar 4 Xs, 3 Ys y 3 Zs se requirieron en total 247
As, 283 Bs y 305 Cs; y que para armar 2 Xs, 2 Ys y 2 Zs
se requirieron en total 150 As, 170 Bs y 182 Cs. Ademas,
se sabe que para obtener un X se requieren 4 Ms, 4 Ns y
2 Ps; para un Y se requieren 2 Ms, 5 Ns y 4 Ps y para
un Z se requieren 3 Ms, 3 Ns y 5 Ps. Indique, en orden,
cuantas piezas A y cuantas B se requieren para armar un
X y cuantas piezas A y cuantas B para armar un M.
Respuesta:
6. Indique en cuales opciones el conjunto dado sı es lineal-
mente independiente:
1. {−2− 4x− 3x2, 5− 5x + 3x2,−2 + 26x + 6x2}2. {−5 + 2x + 3x2,−3− 6x− 2x2,−3− 4x + 5x2}3. {6− 3x + 4x2,−3 + x + 3x2,−x + 10x2, 3x− 30x2}4. {2 + 6x2, 1− 5x− 5x2}
Respuesta:
7. Cuales opciones contienen vectores propios a la matriz
A =
−153 36 −6
−660 155 −28
120 −28 5
de la lista de vectores:
1.
7
30
−4
2.
1
4
−1
3.
−3
−13
1
4.
−6
−26
4
5.
5
21
−3
6.
−4
−17
2
Respuesta:
MA1010, Tercer Examen Parcial, Tipo: 53 2
8. Suponga que la transformacion lineal T : R2 → R2 cum-
ple:
T
[−3
3
]=
[1
−3
]y
T
[2
5
]=
[4
−1
]Determine
T
[1
1
]Respuesta:
9. Si
p1 = 14 + 9x, p2 = 2 + 5x, p3 = 6 + 2x, p4 = 42 + 27x
Indique cuales opciones contienen declaraciones falsas:
1. p2 ∈ Gen {p1, p3} 2. p4 ∈ Gen {p3}3. p4 ∈ Gen {p1} 4. p3 ∈ Gen {p1, p2}5. p1 ∈ Gen {p2, p3} 6. p2 ∈ Gen {p1, p4}
Respuesta:
10. Suponga que la transformacion lineal T : R2 → R2 cum-
ple:
T
[1
0
]=
[−4
3
]y
T
[0
1
]=
[4
−3
]Determine
T
[−3
5
]Respuesta:
11. Para que valores del escalar b el espacio generado por 1
1
2
,
−2
0
−2
,
1
1 + 2 b
2− 3 b+ b2
,
−2
−4
24− 11 b+ b2
tiene dimension 2.
Indique su respuesta, completando los espacios de ser ne-
cesario, en las posibles:
1) Solo para b1 = y b2 =
(Con b1 ≤ b2)
2) Hay una infinidad de valores para b.
3) Solo para b1 = , b2 = y b3 =
(Con b1 ≤ b2 ≤ b3)
4) Solo para b =
5) No existe valor de b.
Respuesta:
12. Si:
A =
[0 2
−2 0
]
B =
[−4 −1
−3 −1
]
C =
[−2 −3
1 1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A X = B X + C
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
Algebra LinealTercer Examen Parcial
Maestro Eduardo Uresti, Enero-Mayo 2011
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:54
1. Indique en cuales opciones el conjunto dado no es lineal-
mente independiente:
1.
{[−3 −2
−4 −3
],
[−2 −5
−5 −4
],
[−4 −5
−6 −5
],
[3 −1
1 1
]}
2.
{[4 −6
−4 2
],
[1 2
6 −6
],
[6 3
−4 6
]}
3.
{[0 −5
4 11
],
[4 3
4 3
],
[1 2
0 −2
]}
4.
{[3 4
−3 4
],
[−4 2
−6 4
],
[−4 0
6 −4
],
[2 4
−3 0
]}
Respuesta:
2. Suponga que la transformacion lineal T : R2 → R2 cum-
ple:
T
[1
0
]=
[1
−1
]y
T
[0
1
]=
[2
3
]Determine
T
[−4
−2
]Respuesta:
3. Indique en cuales opciones el conjunto dado sı genera a
M2×2 :
1.
{[−4 2
−4 2
],
[4 −1
1 5
],
[28 −13
25 −7
],
[−36 12
−18 −24
]}
2.
{[25 9
−15 26
],
[−1 3
1 4
],
[−4 0
−3 4
],
[−5 −3
−25 23
],
[2 0
−5 5
]}
3.
{[4 −5
0 −6
],
[4 −3
−3 0
],
[−3 6
3 −5
],
[−1 1
6 −6
],
[−6 2
−4 −4
]}
4.
{[−6 3
4 −4
],
[1 −2
−6 0
],
[4 −4
−6 3
],
[6 −6
−3 4
]}
Respuesta:
4. Liste todos los valores de a para los cuales el conjunto
{6 + 5x + 2x2, 1 + 5x + x2, 26 + 30x + a x2}
sea linealmente dependiente.
Respuesta:
5. Si
p1 = 6 + 8x, p2 = 3 + 5x, p3 = 3 + 3x, p4 = 18 + 24x
Indique cuales opciones contienen declaraciones ciertas:
1. p2 ∈ Gen {p1, p3} 2. p1 ∈ Gen {p2, p3}3. p4 ∈ Gen {p1} 4. p4 ∈ Gen {p3}5. p1 ∈ Gen {p4} 6. p2 ∈ Gen {p1, p4}
Respuesta:
6. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es
una base para V , G es un conjunto generador para V , Ies un conjunto linealmente independiente de V , D es un
conjunto linealmente dependiente de V , C es un conjunto
de elementos de V y 8 es la dimension de V . Indique como
son cada una de las afirmaciones
a) I tiene menos de 9 elementos.
b) D tiene menos de 8 elementos.
c) Si D tiene menos de 8 elementos, entonces D es base.
d) Si I tiene 8 elementos, entonces I genera a V .
e) G tiene al menos 8 elementos.
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente informacion
Respuesta:
7. Para que valores del escalar x el espacio generado por 1
−2
2
,
2
−2
2
,
1
−2− 2x
2− 3x+ x2
,
−1
2
28− 11x+ x2
tiene dimension 2.
Indique su respuesta, completando los espacios de ser ne-
cesario, en las posibles:
1) Solo para x =
2) Hay una infinidad de valores para x.
3) No existe valor de x.
4) Solo para x1 = , x2 = y x3 =
(Con x1 ≤ x2 ≤ x3)
5) Solo para x1 = y x2 =
(Con x1 ≤ x2)
Respuesta:
MA1010, Tercer Examen Parcial, Tipo: 54 2
8. ¿Cual es el valor del parametro a para que la matriz 2 8 a
1 4 4
1 5 0
sea singular?
Respuesta:
9. Suponga que la transformacion lineal T : R2 → R2 cum-
ple:
T
[−1
5
]=
[1
1
]y
T
[−1
−1
]=
[−2
2
]Determine
T
[−1
1
]Respuesta:
10. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo A, tipo B y tipo C. En una primera
etapa de ensamble usando As, Bs y Cs se producen los
tipos de armados M, N y P. En una segunda etapa de en-
samble usando los tipos M, N y P se producen los tipos
de armados X, Y y Z. Se sabe que para armar 5 Xs, 4 Ys
y 3 Zs se requirieron en total 488 As, 381 Bs y 511 Cs;
para armar 5 Xs, 5 Ys y 2 Zs se requirieron en total 488
As, 380 Bs y 508 Cs; y que para armar 2 Xs, 3 Ys y 3 Zs
se requirieron en total 336 As, 263 Bs y 357 Cs. Ademas,
se sabe que para obtener un X se requieren 3 Ms, 2 Ns y
4 Ps; para un Y se requieren 3 Ms, 4 Ns y 4 Ps y para
un Z se requieren 2 Ms, 5 Ns y 4 Ps. Indique, en orden,
cuantas piezas A y cuantas B se requieren para armar un
X y cuantas piezas A y cuantas B para armar un M.
Respuesta:
11. Determine el polinomio caracterıstico de la matriz
A =
−10 21 13
−12 26 16
12 −21 −11
De, en orden creciente a las potencias, sus coeficientes. De
ser necesario reporte ceros en los terminos faltantes.
Respuesta:
12. Los vectores
1.
−1
−2
−1
2.
−3
−9
3
3.
3
6
3
4.
1
4
−4
5.
−2
−8
8
son vectores propios de la matriz
A =
82 −32 −12
208 −82 −32
−16 8 6
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
Algebra LinealTercer Examen Parcial
Maestro Eduardo Uresti, Enero-Mayo 2011
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:55
1. Indique en cuales opciones el conjunto dado no es lineal-
mente independiente:
1. {6 + 2x− 5x2, 6 + 5x + 4x2}2. {−32− 23x + 8x2,−5− 2x + 2x2,−4− 5x, 39 + 36x− 6x2}3. {4x + 5x2,−x + 4x2, 5 + 2x− 4x2}4. {4x− 2x2,−10 + 21x + 12x2, 2− 5x− 2x2}
Respuesta:
2. Que valor debe tener a para que el polinomio:
p = −2 + 4x + a x3
sea una combinacion lineal de los polinomios:
p1 = 1 + 6x2 + x3
p2 = −1 + x− 6x2 + x3
p3 = −1 + x− 2x2 + x3
Respuesta:
3. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es
una base para V , G es un conjunto generador para V , I es
un conjunto linealmente independiente de V , D es un con-
junto linealmente dependiente de V , C es un conjunto de
elementos de V y 19 es la dimension de V . Indique como
son cada una de las afirmaciones
a) D tiene a lo mas 19 elementos.
b) G tiene al menos 19 elementos.
c) I tiene menos de 20 elementos.
d) B tiene menos de 19 elementos.
e) Si I tiene 19 elementos, entonces I es base.
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente informacion
Respuesta:
4. Liste todos los valores de a para los cuales el conjunto
formado por las matrices[4 4
3 3
],
[2 5
2 4
][
3 1
1 5
],
[3 5
4 a
]sea linealmente dependiente.
Respuesta:
5. Si
p1 = 8 + 16x, p2 = 5 + 4x, p3 = 1 + 4x, p4 = 32 + 64x
Indique cuales opciones contienen declaraciones falsas:
1. p4 ∈ Gen {p1} 2. p3 ∈ Gen {p1, p2}3. p2 ∈ Gen {p1, p3} 4. p1 ∈ Gen {p4}5. p4 ∈ Gen {p3} 6. p1 ∈ Gen {p2, p3}
Respuesta:
6. Si:
A =
[−4 −1
−3 −1
]
B =
[−10 −2
−12 −4
]
C =
[4 −3
−1 1
]
D =
[4 −3
−1 1
]Resuelva para Y el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:
A X + B Y = C
X + 3Y = D
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
7. Suponga que la transformacion lineal T : R2 → R2 cum-
ple:
T
[1
0
]=
[−3
2
]y
T
[0
1
]=
[1
−4
]Determine
T
[3
5
]
Respuesta:
MA1010, Tercer Examen Parcial, Tipo: 55 2
8. Indique cuales opciones sı contienen una transformacion
lineal de R2 en R2 :
1. T
[x
y
]=
[−2 + x
−5 + x
]
2. T
[x
y
]=
[x+ 7 y
4 y
]
3. T
[x
y
]=
[x y
−7 y
]
4. T
[x
y
]=
[4x+ y
x− 4 y
]
Respuesta:
9. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como
materia prima: tipo A, tipo B y tipo C. En una primera
etapa de ensamble usando As, Bs y Cs se producen los
tipos de armados M, N y P. En una segunda etapa de en-
samble usando los tipos M, N y P se producen los tipos
de armados X, Y y Z. Se sabe que para armar 5 Xs, 3 Ys
y 3 Zs se requirieron en total 258 As, 251 Bs y 338 Cs;
para armar 5 Xs, 3 Ys y 4 Zs se requirieron en total 282
As, 274 Bs y 369 Cs; y que para armar 2 Xs, 3 Ys y 2 Zs
se requirieron en total 162 As, 162 Bs y 223 Cs. Ademas,
se sabe que para obtener un X se requieren 2 Ms, 2 Ns y
4 Ps; para un Y se requieren 3 Ms, 4 Ns y 2 Ps y para
un Z se requieren 4 Ms, 2 Ns y 3 Ps. Indique, en orden,
cuantas piezas A y cuantas B se requieren para armar un
X y cuantas piezas A y cuantas B para armar un M.
Respuesta:
10. Para que valores del escalar k el espacio generado por 1
−1
−2
,
1
−2
−1
,
2
−2 + 2 k
−4− 5 k + k2
,
−1
2
13− 7 k + k2
tiene dimension 2.
Indique su respuesta, completando los espacios de ser ne-
cesario, en las posibles:
1) Solo para k1 = y k2 =
(Con k1 ≤ k2)
2) No existe valor de k.
3) Solo para k1 = , k2 = y k3 =
(Con k1 ≤ k2 ≤ k3)
4) Hay una infinidad de valores para k.
5) Solo para k =
Respuesta:
11. Determine el polinomio caracterıstico de la matriz
A =
14 6 −4
4 4 0
48 24 −12
De, en orden creciente a las potencias, sus coeficientes. De
ser necesario reporte ceros en los terminos faltantes.
Respuesta:
12. Cuales opciones contienen vectores propios a la matriz
A =
−27 0 8
44 13 −4
−76 −8 17
de la lista de vectores:
1.
3
−9
11
2.
3
−7
10
3.
−6
15
−21
4.
2
−7
8
5.
−1
3
−4
6.
1
−2
3
Respuesta:
Algebra LinealTercer Examen Parcial
Maestro Eduardo Uresti, Enero-Mayo 2011
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:56
1. Liste todos los valores de a para los cuales el conjunto
formado por las matrices[4 3
5 3
],
[2 2
3 1
][
1 1
4 5
],
[2 a
1 1
]sea linealmente dependiente.
Respuesta:
2. Suponga que la transformacion lineal T : R2 → R2 cum-
ple:
T
[3
−4
]=
[−4
−2
]y
T
[0
−5
]=
[3
1
]Determine
T
[4
1
]Respuesta:
3. Los vectores
1.
−4
9
−10
2.
−3
7
−7
3.
−1
2
−2
4.
6
−14
14
5.
−8
18
−20
son vectores propios de la matriz
A =
−24 −20 −8
56 47 19
−56 −46 −18
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
4. Cuales opciones contienen vectores propios a la matriz
A =
4 81 −42
6 143 −74
12 274 −142
de la lista de vectores:
1.
0
1
2
2.
18
30
57
3.
5
9
17
4.
7
12
23
5.
3
3
6
6.
1
2
4
Respuesta:
5. Suponga que la transformacion lineal T : R2 → R2 cum-
ple:
T
[1
0
]=
[1
−1
]y
T
[0
1
]=
[3
1
]Determine
T
[2
3
]Respuesta:
6. Para que valores del escalar b el espacio generado por 1
−1
1
,
1
−3
−3
,
−2
2− 2 b
−2− 6 b+ b2
,
−2
0
−5 b+ b2
tiene dimension 2.
Indique su respuesta, completando los espacios de ser ne-
cesario, en las posibles:
1) Solo para b =
2) Solo para b1 = , b2 = y b3 =
(Con b1 ≤ b2 ≤ b3)
3) Solo para b1 = y b2 =
(Con b1 ≤ b2)
4) Hay una infinidad de valores para b.
5) No existe valor de b.
Respuesta:
MA1010, Tercer Examen Parcial, Tipo: 56 2
7. Si:
A =
[4 −1
−3 1
]
B =
[2 1
−3 −1
]
C =
[2 −3
1 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
(A X B)T
CT −B = 0
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
8. Si
A1 =
[1 5
2 3
]A2 =
[−2 −1
−1 5
]
A3 =
[−1 4
1 8
]A4 =
[4 20
8 12
]Indique cuales opciones contienen declaraciones falsas:
1. A2 ∈ Gen{A1, A4} 2. A3 ∈ Gen{A1, A2}3. A4 ∈ Gen{A1} 4. A1 ∈ Gen{A4}5. A4 ∈ Gen{A2, A3} 6. A4 ∈ Gen{A3}
Respuesta:
9. ¿Cual es el valor del parametro a para que la matriz −8 −4 −4
6 4 3
a 0 3
no sea invertible?
Respuesta:
10. Liste todos los valores de a para los cuales el conjunto
formado por las matrices[2 2
0 0
],
[2 1
1 1
]
[0 2
2 1
],
[6 a
3 2
]no genere M2×2.
Respuesta:
11. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es
una base para V , G es un conjunto generador para V , I es
un conjunto linealmente independiente de V , D es un con-
junto linealmente dependiente de V , C es un conjunto de
elementos de V y 10 es la dimension de V . Indique como
son cada una de las afirmaciones
a) B tiene menos de 10 elementos.
b) Si G tiene 10 elementos, entonces I es linealmente
independiente.
c) I tiene mas de 10 elementos.
d) D tiene al menos 10 elementos.
e) Si D tiene 10 elementos, entonces D genera a V .
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente informacion
Respuesta:
12. Indique en cuales opciones el conjunto dado no es lineal-
mente independiente:
1.
{[1 4
−1 −2
],
[−4 −6
0 3
],
[−2 4
0 −3
]}
2.
{[4 4
2 0
],
[−15 1
−3 −39
],
[−3 1
3 −3
],
[−3 −4
−6 −6
]}
3.
{[3 −5
−6 −6
],
[−5 −5
−3 −6
],
[6 −4
1 6
],
[−6 −2
0 −4
]}
4.
{[1 2
3 −1
],
[4 5
2 2
],
[9 9
−3 9
]}
Respuesta:
Algebra LinealTercer Examen Parcial
Maestro Eduardo Uresti, Enero-Mayo 2011
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:57
1. Cuales opciones no contienen vectores propios a la matriz
A =
−43 −24 −18
39 22 16
63 36 26
de la lista de vectores:
1.
10
−8
−15
2.
−8
6
12
3.
1
−1
−1
4.
12
−10
−18
5.
7
−6
−10
6.
−3
2
5
Respuesta:
2. Que valor debe tener a para que la matriz:
A =
[−7 a
−3 1
]sea una combinacion lineal de las matrices:
A1 =
[2 −1
−1 −1
]A2 =
[4 −1
1 −1
]A3 =
[−1 −2
−2 0
]Respuesta:
3. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es
una base para V , G es un conjunto generador para V , I es
un conjunto linealmente independiente de V , D es un con-
junto linealmente dependiente de V , C es un conjunto de
elementos de V y 10 es la dimension de V . Indique como
son cada una de las afirmaciones
a) Si D tiene 10 elementos, entonces D genera a V .
b) B tiene 10 elementos.
c) I tiene al menos 10 elementos.
d) G tiene menos de 10 elementos.
e) Si I tiene 10 elementos, entonces I genera a V .
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente informacion
Respuesta:
4. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una
de las siguientes afirmaciones:
a) Si el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones, en-
tonces A es invertible.
b) Si la matriz A ·A no es invertible, entonces A x = 0
tiene solucion unica.
c) Si la matriz A es invertible, entonces A x = 0 tiene
solucion unica.
d) Si para un vector b el sistema A x = b tiene solucion
unica, entonces A no es invertible.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe
2) Falso
3) Cierto
Respuesta:
5. Indique en cuales opciones el conjunto dado sı es lineal-
mente independiente:
1. {−2 + 5x− 6x2,−2 + 6x + 4x2}2. {11 + x− x2,−6− 5x + 6x2, 5− 4x + 5x2}3. {−26 + 18x + 33x2, 5− 3x− 5x2, 4 + 3x2, 34− 18x− 27x2}4. {−5 + 3x, x + x2, 6 + 4x + x2}
Respuesta:
6. Determine el polinomio caracterıstico de la matriz
A =
−3 1 −1
−28 −16 −7
88 38 23
De, en orden creciente a las potencias, sus coeficientes. De
ser necesario reporte ceros en los terminos faltantes.
Respuesta:
MA1010, Tercer Examen Parcial, Tipo: 57 2
7. Para que valores del escalar k el espacio generado por 1
−2
−2
,
−2
5
2
,
1
−2− 2 k
−2 + k2
,
2
−3
14− 9 k + k2
tiene dimension 2.
Indique su respuesta, completando los espacios de ser ne-
cesario, en las posibles:
1) No existe valor de k.
2) Solo para k1 = y k2 =
(Con k1 ≤ k2)
3) Solo para k1 = , k2 = y k3 =
(Con k1 ≤ k2 ≤ k3)
4) Hay una infinidad de valores para k.
5) Solo para k =
Respuesta:
8. ¿Cual es el valor del parametro a para que la matriz 3 6 3
5 a 0
5 10 6
no sea invertible?
Respuesta:
9. Liste todos los valores de a para los cuales el conjunto
formado por las matrices[4 2
2 1
],
[5 2
2 5
][
3 5
3 4
],
[2 a
2 3
]sea linealmente dependiente.
Respuesta:
10. Suponga que la transformacion lineal T : R2 → R2 cum-
ple:
T
[3
−2
]=
[−2
1
]y
T
[5
2
]=
[−1
3
]Determine
T
[1
1
]Respuesta:
11. Indique cuales opciones no contienen una transformacion
lineal de R2 en R2 :
1. T
[x
y
]=
[x y
−3 y
]
2. T
[x
y
]=
[5x+ y
x− 7 y
]
3. T
[x
y
]=
[−7 + x
−6 + x
]
4. T
[x
y
]=
[x+ 5 y
5 y
]
Respuesta:
12. Liste todos los valores de a para los cuales el conjunto
formado por las matrices[2 1
0 0
],
[1 2
1 0
][
0 0
2 1
],
[3 3
a 2
]no genere M2×2.
Respuesta:
Algebra LinealTercer Examen Parcial
Maestro Eduardo Uresti, Enero-Mayo 2011
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:58
1. Cuales opciones contienen vectores propios a la matriz
A =
−396 −120 33
931 281 −79
−1502 −460 119
de la lista de vectores:
1.
−2
5
−6
2.
1
−3
1
3.
−6
15
−19
4.
−9
24
−21
5.
−8
20
−25
6.
−9
23
−26
Respuesta:
2. Suponga que la transformacion lineal T : R2 → R2 cum-
ple:
T
[1
0
]=
[4
3
]y
T
[0
1
]=
[4
3
]Determine
T
[3
5
]Respuesta:
3. Liste todos los valores de a para los cuales el conjunto
formado por las matrices[4 2
4 1
],
[5 5
5 5
][
5 3
2 2
],
[2 3
1 a
]sea linealmente dependiente.
Respuesta:
4. Que valor debe tener a para que la matriz:
A =
[9 21
a −18
]
sea una combinacion lineal de las matrices:
A1 =
[−3 −1
−2 3
]A2 =
[0 3
4 −3
]A3 =
[0 −3
1 0
]Respuesta:
5. Indique en cuales opciones el conjunto dado sı es lineal-
mente independiente:
1. {−4 + 2x− 5x2, 6 + 5x + 6x2,−3x + 5x2}2. {−4x + 6x2, 5− x− x2}3. {3− 3x− x2, 5− 2x + 2x2,−45 + 27x− 7x2,−1− 5x− 7x2}4. {−6− 5x + x2,−1− x, 8 + 7x− x2}
Respuesta:
6. Indique la dimension del subespacio . . .
(1) generado por{11− 12x− 4x2 + 6x3, −2 + 3x− 2x2 + 3x3,
2− 8x2 + 12x3, 3− 3x− 2x2 + 3x3
}
(2) generado por{[−2 2
−1 −2
],
[2 0
0 2
],
[2 −1
1 −1
],
[−6 3
−2 −3
]}
(3) formado por los vectores x que cumplen: 1 2 3
3 6 9
2 4 6
x =
0
0
0
Respuesta:
7. Suponga que la transformacion lineal T : R2 → R2 cum-
ple:
T
[2
−5
]=
[1
2
]y
T
[−2
−4
]=
[1
3
]Determine
T
[4
−1
]Respuesta:
MA1010, Tercer Examen Parcial, Tipo: 58 2
8. Los vectores
1.
−2
0
−4
2.
1
1
−2
3.
−1
−3
11
4.
3
3
−6
5.
−1
0
−2
son vectores propios de la matriz
A =
17 −33 −8
36 −72 −18
−122 246 62
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
9. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es
una base para V , G es un conjunto generador para V , Ies un conjunto linealmente independiente de V , D es un
conjunto linealmente dependiente de V , C es un conjunto
de elementos de V y 8 es la dimension de V . Indique como
son cada una de las afirmaciones
a) I tiene a lo mas 8 elementos.
b) G tiene a lo mas 8 elementos.
c) Si I tiene 8 elementos, entonces I genera a V .
d) B tiene mas de 8 elementos.
e) Si D tiene 8 elementos, entonces D es base.
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente informacion
Respuesta:
10. Si:
A =
[−3 1
−4 1
]
B =
[−2 1
−3 1
]
C =
[−2 −3
1 1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
(A X B)T
CT −B = 0
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
11. ¿Cual es el valor del parametro a para que la matriz −3 −3 −3
−3 −2 0
−6 −6 a
sea singular?
Respuesta:
12. Liste todos los valores de a para los cuales el conjunto
formado por las matrices[0 2
2 1
],
[0 2
1 1
][
1 1
0 2
],
[2 a
6 8
]no genere M2×2.
Respuesta:
Algebra LinealTercer Examen Parcial
Maestro Eduardo Uresti, Enero-Mayo 2011
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:59
1. Suponga que la transformacion lineal T : R2 → R2 cum-
ple:
T
[1
0
]=
[−4
−2
]y
T
[0
1
]=
[−3
4
]Determine
T
[−3
−4
]
Respuesta:
2. Indique en cuales opciones el conjunto dado no es lineal-
mente independiente:
1.
{[−1 −3
−2 5
],
[1 2
1 −2
],
[4 13
9 −23
]}
2.
{[5 −2
−6 −2
],
[−5 −1
6 −3
],
[3 6
−2 6
]}
3.
{[−2 0
−4 6
],
[7 −1
−2 −5
],
[−6 3
−1 6
],
[−3 −2
−1 5
]}
4.
{[−3 −4
6 0
],
[3 6
6 −3
],
[−3 3
−4 −4
],
[−2 −6
−6 6
]}
Respuesta:
3. Indique la dimension del subespacio . . .
(1) generado por{−6− 6x− 2x2 + 2x3, 9 + 9x+ 3x2 − 3x3,
6 + 6x+ 2x2 − 2x3, −3− 3x− x2 + x3
}
(2) generado por{[−2 −1
−2 −1
],
[8 5
10 −3
],
[−1 0
−2 2
],
[−2 −2
−2 0
]}
(3) formado por los vectores x que cumplen: 3 3 3
2 3 2
5 5 8
x =
0
0
0
Respuesta:
4. Si:
A =
[2 −3
1 −1
]
B =
[5 −11
0 −3
]
C =
[−3 1
−4 1
]
D =
[−4 −1
−3 −1
]Resuelva para Y el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:
A X + B Y = C
X + 4Y = D
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
5. Los vectores
1.
8
22
−28
2.
−4
−11
14
3.
1
3
−3
4.
−8
−23
27
5.
−3
−9
9
son vectores propios de la matriz
A =
−435 88 −56
−1278 259 −164
1422 −288 183
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
6. Cuales opciones contienen vectores propios a la matriz
A =
222 42 −19
−940 −178 80
450 84 −41
MA1010, Tercer Examen Parcial, Tipo: 59 2
de la lista de vectores:
1.
8
−34
17
2.
4
−17
8
3.
4
−17
9
4.
−9
39
−18
5.
−2
9
−3
6.
1
−4
3
Respuesta:
7. Para que valores del escalar x el espacio generado por 1
2
1
,
−2
−2
2
,
−2
−4− 2x
−2− 9x+ x2
,
1
2
31− 11x+ x2
tiene dimension 2.
Indique su respuesta, completando los espacios de ser ne-
cesario, en las posibles:
1) Hay una infinidad de valores para x.
2) Solo para x1 = y x2 =
(Con x1 ≤ x2)
3) No existe valor de x.
4) Solo para x =
5) Solo para x1 = , x2 = y x3 =
(Con x1 ≤ x2 ≤ x3)
Respuesta:
8. Suponga que la transformacion lineal T : R2 → R2 cum-
ple:
T
[−1
3
]=
[−3
2
]y
T
[−5
4
]=
[−4
3
]Determine
T
[1
−4
]Respuesta:
9. Si
A1 =
[−1 2
2 6
]A2 =
[−1 0
4 1
]
A3 =
[−3 2
10 8
]A4 =
[−3 6
6 18
]
Indique cuales opciones contienen declaraciones falsas:
1. A1 ∈ Gen{A2, A3} 2. A4 ∈ Gen{A1}3. A3 ∈ Gen{A1, A2} 4. A4 ∈ Gen{A3}5. A4 ∈ Gen{A2, A3} 6. A1 ∈ Gen{A4}
Respuesta:
10. Liste todos los valores de a para los cuales el conjunto
formado por las matrices[2 3
2 1
],
[3 5
5 4
][
2 4
5 5
],
[a 5
5 5
]sea linealmente dependiente.
Respuesta:
11. Indique en cuales opciones el conjunto dado sı genera a
M2×2 :
1.
{[−44 −43
46 −19
],
[5 6
−6 2
],
[−5 −1
5 −6
],
[34 21
−32 23
],
[4 5
0 −5
]}
2.
{[6 −2
−5 −4
],
[5 −3
−2 1
],
[4 −2
−4 1
],
[4 −5
−1 6
]}
3.
{[−5 2
3 −6
],
[5 −5
−4 −5
],
[4 −5
−1 −1
],
[0 −4
−6 5
]}
4.
{[6 6
−1 −4
],
[−33 −33
−2 2
],
[6 6
−10 −28
],
[3 3
1 2
]}
Respuesta:
12. Si:
A =
[2 1
−3 −1
]
B =
[−2 1
−3 1
]
C =
[−4 −3
−1 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
(A X B)T
CT −B = 0
Reporte el renglon 2.
Respuesta:
Algebra LinealTercer Examen Parcial
Maestro Eduardo Uresti, Enero-Mayo 2011
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:60
1. Indique la dimension del subespacio . . .
(1) generado por{[−1 0
2 −2
],
[2 0
−4 4
],
[1 0
−2 2
],
[1 0
−2 2
]}
(2) generado por{2− x2, −3 + 3x− x2 + 3x3,
12− 7x+ 4x2 − 11x3, −1− 2x− 2x2 + 2x3
}
(3) formado por los vectores x que cumplen: 3 3 3
2 4 2
4 4 7
x =
0
0
0
Respuesta:
2. Suponga que la transformacion lineal T : R2 → R2 cum-
ple:
T
[−3
5
]=
[2
3
]y
T
[2
1
]=
[−1
3
]Determine
T
[4
−1
]Respuesta:
3. Que valor debe tener a para que el polinomio:
p = 3− 2x + a x3
sea una combinacion lineal de los polinomios:
p1 = 1 + 4x2 + x3
p2 = −1 + x− 4x2 + x3
p3 = −1 + x− x2 + x3
Respuesta:
4. Liste todos los valores de a para los cuales el conjunto
formado por las matrices[1 3
5 3
],
[2 5
3 1
][
5 5
5 5
],
[3 4
1 a
]sea linealmente dependiente.
Respuesta:
5. Cuales opciones no contienen vectores propios a la matriz
A =
4 26 −36
−9 −81 114
−11 −61 84
de la lista de vectores:
1.
−1
4
3
2.
−14
46
34
3.
5
−16
−12
4.
8
−26
−19
5.
2
−7
−5
6.
3
−10
−7
Respuesta:
6. Si:
A =
[4 −3
−1 1
]
B =
[9 −13
−2 4
]
C =
[−2 −3
1 1
]
D =
[2 1
−3 −1
]Resuelva para Y el siguiente sistema de ecuaciones matri-
ciales:A X + B Y = C
X + 3Y = D
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
7. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es
una base para V , G es un conjunto generador para V , I es
un conjunto linealmente independiente de V , D es un con-
junto linealmente dependiente de V , C es un conjunto de
elementos de V y 13 es la dimension de V . Indique como
son cada una de las afirmaciones
a) B tiene mas de 13 elementos.
MA1010, Tercer Examen Parcial, Tipo: 60 2
b) Si D tiene mas de 13 elementos, entonces D es base.
c) G tiene a lo mas 13 elementos.
d) D tiene mas de 13 elementos.
e) I tiene menos de 14 elementos.
Respecto a la respuesta
1) Cierto
2) Falso
3) No hay suficiente informacion
Respuesta:
8. Indique cuales opciones no contienen una transformacion
lineal de R2 en R2 :
1. T
[x
y
]=
[x+ 4 y
−y
]
2. T
[x
y
]=
[−8 + x
−3 + x
]
3. T
[x
y
]=
[6x+ y
x− 8 y
]
4. T
[x
y
]=
[x y
−6 y
]
Respuesta:
9. Si
p1 = 11 + 11x, p2 = 5 + 2x, p3 = 2 + 3x, p4 = 33 + 33x
Indique cuales opciones contienen declaraciones falsas:
1. p2 ∈ Gen {p1, p4} 2. p4 ∈ Gen {p1}3. p1 ∈ Gen {p2, p3} 4. p1 ∈ Gen {p4}5. p2 ∈ Gen {p1, p3} 6. p3 ∈ Gen {p1, p2}
Respuesta:
10. Determine el polinomio caracterıstico de la matriz
A =
1 0 −3
−12 5 −2
0 0 −2
De, en orden creciente a las potencias, sus coeficientes. De
ser necesario reporte ceros en los terminos faltantes.
Respuesta:
11. Si:
A =
[2 2
0 2
]
B =
[−2 1
−3 1
]
C =
[2 −3
1 −1
]Resuelva para X la siguiente ecuacion:
A X = B X + C
Reporte el renglon 1.
Respuesta:
12. Indique en cuales opciones el conjunto dado sı es lineal-
mente independiente:
1. {−2 + 2x + x2,−2x− 3x2,−3 + 2x + 5x2}2. {−6 + 3x + 12x2, 1− 4x + 2x2, 3− 5x− 2x2,−1− 3x + 6x2}3. {4− 4x− 5x2, 3 + x− 6x2}4. {6− 4x + 4x2, 1 + x− 5x2,−27 + 23x− 35x2}
Respuesta: