Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESPACIOS VECTORIALES
En el cálculo elemental se estudia funciones reales de una variable real; es decir,
funciones cuyo dominio y rango son R o subconjuntos de R. Para esto es necesario
conocer las propiedades de números reales. Una situación muy similar se presenta en el
álgebra lineal; los objetos realmente importantes son las transformaciones lineales que
son un tipo particular de funciones cuyo dominio y contradominio son conjuntos
dotados de una estructura muy importante: los espacios vectoriales. Es por lo tanto, la
intención de este capítulo dar los conceptos y propiedades básicas de los espacios
vectoriales.
1. ESPACIOS VECTORIALES
DEFINICIÓN PRELIMINAR.- Dado un conjunto Φ≠V , un campo ),,( ⋅+K (que puede ser los reales R o los complejos C ), se define una ley de composición interna en V
yxyx
VVV⊕
→×⊕a),(
:
llamada adición y se define una ley de composición externa en V con escalares en el campo K
ü : VVK →× aüx a),( xa
denominada multiplicación por escalares. Diremos que el objeto ü) es
un espacio vectorial sobre el campo K si y solo si verifica las siguientes
condiciones:
,,,( KV ⊕
V1) para todo )()( zyxzyx ⊕⊕=⊕⊕ Vzyx ∈,, .
V2) Existe V∈θ tal que xxx =⊕=⊕ θθ , para todo Vx∈ . El elemento θ se
denomina neutro aditivo o cero.
V3) Para todo , existe Vx∈ Vy∈ tal que θ=⊕=⊕ xyyx . El elemento y se
denomina opuesto de x y se denota por xy −= .
V4) xyyx ⊕=⊕ para todo Vyx ∈, .
V5) aü(büx) )( ba ⋅= üx para todo Kba ∈, , para todo Vx∈ .
V6) ü)( ba + =x aü üx para todo bx⊕ Kba ∈, , para todo Vx∈ .
V7) aü aüx aüy para todo =⊕ )( yx ⊕ Ka∈ , para todo Vyx ∈, .
V8) Existe K∈1 llamado elemento idéntico multiplicativo tal que 1ü xx = . Para
todo , Vx∈
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OBSERVACIONES:
a) Un conjunto para que sea espacio vectorial sobre un campo K debe tener
definidas dos operaciones “adición” y “multiplicación por un escalar”; las
cuales deben cumplir las ocho propiedades arriba mencionadas. En caso que no
cumpla con alguna de ellas no es un espacio vectorial.
Φ≠V
b) A los elementos de V se les llaman vectores y el elemento neutro aditivo θ
recibe el nombre de vector nulo.
c) Si RK = , V es llamado espacio vectorial real y si CK = , V se denomina
espacio vectorial complejo.
d) En lo que sigue de las notas si no se dice lo contrario en lugar de denotar la
adición de vectores con el símbolo “⊕ ” simplemente denotaremos con “+”,
haciendo la diferencia según el contexto cuando se trata de la suma de vectores
o la suma de escalares )( yx + )( ba + ; el símbolo “⊕ ” se usará más adelante
para denotar la suma directa.
Omitiremos escribir el símbolo “ü” que denota la ley de composición externa,
simplemente con la yuxtaposición se entenderá la multiplicación de un vector
por un escalar haciendo la diferencia según el contexto cuando se trate de la
multiplicación de un vector por un escalar (ax) o la multiplicación de dos
escalares (ab).
Con las precisiones hechas en d), la definición de espacio vectorial se puede
enunciar formalmente como sigue:
DEFINICIÓN 1.1.- Dados un conjunto Φ≠V , un campo K, una ley de
composición interna “+” en V llamada adición y una ley de composición externa
“·” definida en V y con operadores o escalares en K denominada multiplicación
por escalares. Diremos que V es un K- espacio vectorial o que V es un espacio
vectorial sobre el campo K si y solo si se verifican las siguientes condiciones:
V1) )()( zyxzyx ++=++ para todo Vzyx ∈,, .
V2) Existe V∈θ tal que xxx =+=+ θθ , para todo Vx∈ . El elemento θ se
denomina neutro aditivo o cero.
V3) Para todo , existe Vx∈ Vy∈ tal que θ=+=+ xyyx . El elemento y se
denomina opuesto de x y se denota por xy −= .
V4) xyyx +=+ para todo Vyx ∈, .
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V5) para todo xbaxba )()( = Kba ∈, , para todo Vx∈ .
V6) para todo bxaxxba +=+ )( Kba ∈, , para todo Vx∈ .
V7) para todo ayaxyxa +=+ )( Ka∈ , para todo Vyx ∈, .
V8) Existe K∈1 llamado elemento idéntico multiplicativo tal que . Para
todo ,
xx =1
Vx∈
EJEMPLO 1.1.1.- Sea y },,2,1,/),,({ 1 niRxxxRV inn KK =∀∈== RK = .
Dados y nnn Ryyyxxx ∈== ),,(,),,( 11 KK Ra∈ , definimos:
),,( 11 nn yxyxyx ++=+ K
),,( 1 nxaxaxa K=
·),,,( RR n + cumple las condiciones de espacio vectorial. En efecto:
V1) Sean nRzyx ∈,,
),,(]),,(),,([)( 111 nnn zzyyxxzyx KKK ++=++
),,(),,( 111 nnn zzyxyx KK +++=
])(,,)([ 111 nnn zyxzyx ++++= K
])(,),([ 111 nnn zyxzyx ++++= K
),,(),,( 111 nnn zyzyxx +++= KK
)( zyx ++=
V2) Existe , para todo . xxxR n =+=+∈= θθθ /)0,,0( K nRx∈
V3) Para todo , existe nRx∈ ),,( 1 nxxxy −−=−= K tal que θ=+=+ xyyx .
V4) Sean nRyx ∈,
),,(),,( 11 nn yyxxyx KK +=+
),,( 11 nn yxyx ++= K
),,( 11 nn xyxy ++= K
xy +=
V5), V6), V7) y V8) se verifican análogamente.
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EJEMPLO 1.1.2.- Consideremos { }RRf →= :F el conjunto de funciones
definida en los reales y con valores reales, y RK = . Sean F∈gf , y
definimos:
Ra∈
)()()()( xgxfxgf +=+ para todo Rx∈
)())(( xfaxfa = para todo Rx∈
La cuaterna ·),,,( R+F es un espacio vectorial. Verificaremos sólo las
condiciones V2) y V3), las demás quedan como ejercicio para el lector.
V2) Existe F∈θ definida como 0)( =xθ para todo Rx∈ (función cero) y
cumple fff =+=+ θθ para todo F∈f .
V3) Para todo F∈f , existe un opuesto que definimos como:
)())(( xfxf −=− tal que θ=+−=−+ ffff )( .
EJEMPLO 1.1.3.- R no es un espacio vectorial sobre CK = . Pues si y
, no siempre se cumple que
Ca∈
Rx∈ Raxa∈ ; es decir, no es una ley de composición
externa.
EJEMPLO 1.1.4.- Sea K un campo, construyamos el conjunto:
{ }niKkkkK inn ,,2,1,/),,( 1 KK =∀∈=
para y nnn Kkkykkx ∈== )',,'(),,,( 11 KK Kc∈ , definimos:
)',,'( 11 nn kkkkyx ++=+ K
),,( 1 nckckcx K=
·),,,( KK n + es un espacio vectorial.
EJEMPLO 1.1.5.- Denotemos por:
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ∈=
=∞
)(,),,,,(/ 10
númeroselementosdefinitonúmerounexceptoceros,todossonKalosdondeaaaxx
K in KK
Sean y Kbyax ii ∈== )(),( Kc∈ . Definimos:
),,,,( 1100 KK nn bababayx +++=+
),,,,( 10 KK ncacacacx =
se deja al lector verificar que es un espacio vectorial. ·),,,( KK +∞
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EJEMPLO 1.1.6.- Consideremos el conjunto de las funciones polinomiales en la indeterminada x de grado menor o igual que
][xP)( +∈Znn sobre el campo de
los números reales. Sean: n
n xaxaaxp +++= K10)( , y ][)( 10 xPxbxbbxq nn ∈+++= K R∈α
Definimos:
nnn xbaxbabaxqxp )()()()()( 1100 ++++++=+ K
nn xaxaaxp αααα +++= L10)(
( ·,,],[ RxP + ) es un espacio vectorial. La verificación es análoga en el ejemplo
1.1.2.
NOTA.- Si se considera el conjunto de todos los polinomios de grado igual a
con las mismas operaciones, no constituye un espacio vectorial sobre R,
pues la adición para este conjunto no es una ley de composición interna.
)( +∈Znn
EJEMPLO 1.1.7.- Sea K un campo, consideremos:
},,1{},,,1{ nImI nm KK ==
}11/),({},,1{},,1{ njmijinmP ≤≤∧≤≤=×= KK
es decir nm IIP ×= (producto cartesiano de por ). Definimos: mI nI
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=∈=→=×
mnm
n
jinm
aa
aaAKajiAKPAK
K
MMM
K
1
111
,),(/:
KPA →:
11)1,1( aa
12)2,1( aa
MM
nan 1),1( a
MM
jiaji a),(
MM
mnanm a),(
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nmK × recibe el nombre de conjunto de matrices de orden nm× sobre el campo K.
Sean y nmKBA ×∈, K∈α . Definimos la:
Adición : jijiji bajiBjiAjiBAc +=+=+= ),(),(),()(
Multiplicación : jiji ajiAjiAc ααα === ),(),()(
Fácilmente se verifica que nmK × con las operaciones definidas arriba es un espacio
vectorial sobre K.
EJEMPLO 1.1.8.- Dado el sistema lineal homogéneo:
01212111 =+++ nn xaxaxa K
MMKMM
02211 =+++ nnmmm xaxaxa K
con coeficientes en R.
Sea }),,/(),,({ 11 sistemadelsoluciónesxxxxS nn KK=
S con las operaciones usuales de adición y multiplicación por escalares es un
espacio vectorial sobre R.
EJEMPLO 1.1.9.- Sean espacios vectoriales sobre el campo K y
consideremos el conjunto:
21 , VV
}/),({ 221121 VvVvvvV ∈∧∈=
para y Vvvvv ∈)''(),,( 2121 Ka∈ . Definimos:
)','()''(),( 22112121 vvvvvvvv ++=+
),(),( 2121 vavavva =
V con las operaciones arriba definidas es un espacio vectorial sobre K.
EJEMPLO 1.1.10.- Sea Rf →− )1,1(: (R un espacio vectorial sobre R con las operaciones usuales) tal que:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<+
≥−=
01
01)(
xsix
x
xsix
x
xf
Es fácil mostrar que f así definida es una biyección.
Para y definimos: )1,1(, −∈yx Ra∈
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( ))()(1 yfxffyx +=+ −
( ))(1 xaffxa −=
demostrar que con las operaciones arriba definidas es un espacio vectorial
sobre R.
)1,1(−
SOLUCIÓN
Sólo verificaremos las condiciones V1) y V7) las restantes se dejan al lector para
que las verifique.
V1) ))()(()( 1 zfyxffzyx ++=++ −
))()))()(((( 11 zfyfxffff ++= −−
))())()(((1 zfyfxff ++= −
)))()(()((1 zfyfxff ++= −
))))()(((()(( 11 zfyfffxff ++= −−
))()((1 zyfxff ++= −
)( zyx ++=
V7) para todo bxaxxba +=+ )( Rba ∈, y para todo )1,1(−∈x .
))()((1 bxfaxffbxax +=+ −
))))((())))(((( 111 xbfffxaffff −−− +=
))()((1 xbfxaff += −
))()((1 xfbaf += −
xba )( +=
PROPOSICIÓN 1.2.- Sea ·),,,( KV + un espacio vectorial. Entonces se tiene:
i) El elemento θ es único.
ii) θ=x0 para todo . Vx∈
iii) θθ =a para todo . Ka∈
iv) Si θ=ax , entonces ó 0=a θ=x .
v) para todo )()( axxa −=− Ka∈ y para todo Vx∈ .
PRUEBA.- Solamente, a modo de ilustración, probaremos i) y v).
Prueba de i)
Supongamos que exista V∈'θ tal que xxx =+=+ '' θθ para todo . Vx∈
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Haciendo θ=x tenemos que:
θθθθθ =+=+ '' (1)
Por otro lado en virtud de la condición V2) de espacios vectoriales existe V∈θ tal
que xxx =+=+ θθ para todo Vx∈ , haciendo θ ′=x tenemos que:
''' θθθθθ =+=+ (2)
de (1), (2) y V4) finalmente se tiene: 'θθ = .
Prueba de v):
θ=+− axax)( por V3)
x0= por ii)
xaa )( +−= por suma de opuestos en K
axaxaxax +−=+− )( por V6)
∴ axax −=− )( por la ley de cancelación.
EJERCICIOS
1. Sean y 2RV = RK = . Averiguar si 2R con las operaciones definidas a
continuación es un espacio vectorial sobre R.
a) )0,(),(),( 212211 xxyxyx +=+ y )0,(),( axyxa =
b) ),(),(),( 21212211 yyxxyxyx ++=+ y )0,(),( axyxa =
(las operaciones que aparecen en el segundo miembro de las igualdades,
tanto en a) como en b) son la adición y multiplicación usuales).
2. En 3R con la operación usual de adición y la multiplicación definida como:
)2,,(),,(:),,(; 3 azayaxzyxaRzyxRa =∈∀∈∀
averiguar si 3R es un espacio vectorial sobre R.
3. Sean (el conjunto de los números reales positivos) y += RV RK = . Se definen
las operaciones de adición y multiplicación por escalar como sigue:
xyyxRyx =⊕∈∀ + :, axxaRxRa =∈∀∈∀ + o:;
Averiguar si +R con las operaciones definidas anteriormente es un espacio
vectorial sobre R.
4. Sean V=R y K=R; se define la operación de adición como sigue:
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},{:, yxmáxyxRyx =⊕∈∀
Si la multiplicación por escalar es la usual de números reales, averiguar si R con
las operaciones antes definidas es un espacio vectorial.
5. Sea Z el conjunto de los números enteros con la adición usual y la multiplicación
por escalar definida por
[ ]xaxaZxRa =∈∀∈∀ o:,
donde [ a ] denota el máximo entero; esto es
[ ] Zkkakka ∈∀+<≤⇔= ;1
Por ejemplo
[ ] 8)4)(2(475,2475,2 ===o , [ ] 9)3)(3(315,2315,2 −=−=−=− o
¿Cuáles de las condiciones de espacio vectorial no se verifican?.
6. Sea el conjunto },/2{)2( QbabaQ ∈+= . Se define:
2)()()2()2( dbcadcba +++=+++
2)2( baba ααα +=+
¿Es ·),,),2(( KQ + un espacio vectorial?, Si:
(a) )2(QK = , (b) QK = y (c) RK = .
7. Demostrar ii), iii) y iv) de la proposición 1.2.
8. En el conjunto 2R se definen la adición y la multiplicación como sigue:
( )31
31 )(,)(:),(,),( 3
232
31
31
22121 yxyxyxRyyyxxx ++=⊕∈==∀
),(:),(; 212
21 axaxxaRxxxRa =∈=∀∈∀ o
Averiguar si 2R con las operaciones arriba definidas es un espacio vectorial.
9. En un grupo aditivo V se da la siguiente definición. Para y para
cualquier entero positivo n, se define el producto nx inductivamente por
Vx∈
y xx =1 xxnnx +−= )1(
Para un entero negativo n, se define
))(( xnnx −−= ,
donde n− es un entero y por consiguiente xn)(− está bien definido. Denotando
por Z el conjunto de todos los enteros, demostrar que la aplicación
verifica las siguientes propiedades: nxxnVVZ
a)→
,(×
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Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- a) nynxyxn +=+ )( b) nxmxxnm +=+ ))(
c) d) )()( nxmxmn = xx =1
¿Es V un espacio vectorial?. La respuesta es obvia.
2. SUBESPACIOS
DEFINICIÓN 2.1.- Sea ·),,,( KV + un espacio vectorial cualesquiera. Diremos
que W, un subconjunto de V diferente del vacío es un subespacio si y solo si
con las operaciones definidas para V es por sí mismo un espacio
vectorial.
·),,,( KW +
NOTA.- El conjunto }{θ y V son subespacios vectoriales de V, denominados
subespacios triviales; cualquier otro subespacio es llamado subespacio propio.
Nótese además que el elemento neutro aditivo de W es el mismo que el de V.
TEOREMA 2.2.- Sea V un K-espacio vectorial un espacio vectorial y W un
subconjunto de V diferente del vacío. W es un subespacio vectorial de V si y solo si:
i) Para todo WyxWyx ∈+∈ ,, .
ii) Para todo Ka∈ , para todo WaxWx ∈∈ , .
PRUEBA
)⇒ Es obvio
)⇐ Por hipótesis tenemos que se cumple i) y ii), probaremos que W es un K-espacio
vectorial.
V1) )()( zyxzyx ++=++ para que Wzyx ∈,, . Se verifica: y
en V se cumple V
VWzyx ⊂∈,,
1).
V2) Existe xxxW =+=+∈ θθθ / para todo Wx∈ . En efecto, sea:
WyyWy ∈−=−⇒∈ )1( (por ii)) Wyy ∈=−+⇒ θ)( por i)).
V3) Para todo Wx∈ , existe Wx∈− tal que θ=+−=−+ xxxx )( en virtud de i) y
ii).
Análogamente se puede verificar que ·),,,( KW + cumple las condiciones restantes
del espacio vectorial.
EJEMPLO 2.2.1.- Sea y consideremos: 2RV =
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=≠==∈= constantey0,ó)0,0(),/(),( 11
221
221 axa
xxxxRxxW
W es un subespacio vectorial de V.
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EJEMPLO 2.2.2.- Sea F el R-espacio vectorial de todas las funciones reales de
variable real, consideremos:
}continua es/:{ fRRf →=C
es un subespacio vectorial de F. En efecto, tenemos que Φ≠C ya que C∈θ ,
pues RR →:θ tal que 0)( =xθ para que Rx∈ es una función continua. Las otras
condiciones se cumplen en virtud de las propiedades de funciones continuas.
EJEMPLO 2.2.3.- Sea y dados ·),,,( 3 RR + )0,3,1(=u y
elementos de
)1,0,2(−=v3R . Construimos:
}),(/{ 3 RauvauwRwW ∈−+=∈=
W no es un subespacio de 3R , pues es fácil verificar que cero no pertenece a W.
EJEMPLO 2.2.4.- Sea F=V el R-espacio vectorial de todos las funciones reales
de variable real. Averiguar si el conjunto definido como:
)}()()()()(/{ afafbfafbaffW λλ =∧+=+∈= F
es un subespacio vectorial.
SOLUCIÓN
Haciendo uso del teorema 2.2. tenemos que por definición y además
pues la función cero pertenece a W. Veamos si cumplen las condiciones i) y
ii) del teorema.
VW ⊂
Φ≠W
i) entonces: Wgf ∈,
)()()()()( afafbfafbaf λλ =∧+=+ (1)
)()()()()( agagbgagbag λλ =∧+=+ (2)
Sumando las igualdades de (1) y (2) miembro a miembro
))()(())()(()()( bgagbfafbagbaf +++=+++
)()()()( agafagaf λλλλ +=+∧
agrupando convenientemente y usando la definición de suma de funciones,
tenemos:
))(())(())(())(())(( agfagfbgfagfbagf +=+∧+++=++ λλ
luego . Wgf ∈+
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ii) WfR ∈∈ ,α entonces:
)()()()()(, afafbfafbafR λλα =∧+=+∈ (3)
multiplicando las igualdades de (3) por α y de la definición de producto de una
función por un escalar tenemos:
))(())(())(())(())(( afafbfafbaf αλλαααα =∧+=+
luego Wf ∈α .
De i) y ii) W es un subespacio vectorial.
EJEMPLO 2.2.5.- Sea }continua es/:{ fRRfV →==C y consideremos:
}0)(/{ 101 =∫∈= dttffW C
}1)(/{ 102 =∫∈= dttffW C
1W es un subespacio vectorial, no es un subespacio pues no se cumplen las
condiciones del teorema 2.2. En efecto, tomemos tal que
2W
RRf →: 1)( =tf ,
entonces ya que , pero 2Wf ∈ 110 =∫ dt 2Wff ∉+ pues . 12))()((1
0 ≠=+∫ dttftf
EJEMPLO 2.2.6.- Sea el espacio vectorial de las matrices cuadradas de
orden sobre el campo R. Definimos:
nnRV ×=
nn×
},;/{ jijjinn iaaRAS ∀∀=∈= ×
},;/{ jijjinn iaaRAT ∀∀−=∈= ×
Los elementos del conjunto S se denominan matrices simétricas, y a los elementos
de T se les llaman matrices antisimétricas. Los conjuntos S y T con las operaciones
heredadas de son subespacios vectoriales. ·),,,( RR nn +×
EJEMPLOS 2.2.7.- Sea el espacio vectorial de las
matrices de componentes complejas sobre el campo R. Definimos:
}/){( CaaC jijinn ∈=×
},1;/){( njiaaCaH ijjinn
ji ≤≤−=∈= ×
H es un subespacio de . nnC ×
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EJERCICIOS
1. Sea el espacio vectorial . Averiguar cuáles de los siguientes sub-
conjuntos son subespacios vectoriales:
·),,,( 2 RR +
a) }0/),({ 2 =+∈= yxRyxU
b) }0/),({ 2 =∈= xyRyxW
c) }2/),({ 2 yxRyxS =∈=
d) }12/),({ 2 +=∈= yxRyxT
2. Sea el espacio vectorial . Averiguar cuáles de los siguientes sub-
conjuntos son subespacios vectoriales:
·),,,( 3 RR +
a) }/),,({ 31 zxRzyxU =∈=
b) }1/),,({ 22232 ≤++∈= zyxRzyxU
c) }/),,({ 33 yxRzyxU =∈=
d) }02/),,({ 34 =−+∈= zyxRzyxU
e) }/),,({ 35 zyxRzyxU <<∈=
3. Sea el espacio vectorial ·),,,( R+F , donde }:{ RRf →=F (ver el
ejemplo 1.1.2.). Averiguar cuáles de los siguientes subconjuntos de F son
subespacios vectoriales.
a) }0)1(/{1 =∈= ffW F
b) })1()0(/{2 fffW =∈= F
c) }0)1()0(/{3 =+∈= fffW F
d) }0)(/{4 ≥∈= xffW F
e) }0)1(/{5 =−∈= ffW F
f) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ +
=∈=2
)1()0()2/1(/6
ffffW F
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g) }))(()(/{ 227 xfxffW =∈= F
h) })5(1)3(/{8 −+=∈= fffW F
i) }0)1(0)1(/{9 =−∧=∈= fffW F
j) }0)1(0)1(/{10 =−∨=∈= fffW F
4. Sea el espacio vectorial . Determinar cuáles de los siguientes sub-
conjuntos son subespacios vectoriales:
·),,,( 2 RC +
a) }0/),({ 2221 =+∈= uzCuzS
b) })Re()Re(/),({ 22 uzCuzS =∈=
c) })Im()Re(0)Im(/),({ 23 zuzzCuzS =−∧=∈=
d) }0)Im()Im(/),({ 24 =−∈= uzCuzS
5. Analizar si es un subespacio de . ·),,,( 2 RR + ·),,,( 3 RR +
6. Sea el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden
de entradas reales sobre R y
·),,,( 22 RR +×
22× 22×∈ RA una matriz particular. Determinar
cuáles de los siguientes subconjuntos son subespacios vectoriales:
a) }/{ 221 BAABRBT =∈= ×
b) }/{ 222 BAABRBT ≠∈= ×
c) }0/{ 223 =∈= × BARBT
3. OPERACIONES CON SUBESPACIOS
PROPOSICIÓN 3.1.- Sea { } una familia de subespacios de . Si IiiW ∈ ·),,,( RV +
IIi
iWW∈
=
entonces, W es un subespacio de V.
PRUEBA
VW ⊂ por definición y además es no vacío ya que IiWi ∈∀∈θ , entonces W∈θ .
i) Sean iWyxiWyxWyx ii ∀∈+⇒∀∈⇒∈ ,,
Wyx ∈+⇒ .
ii) Sean iWaxiWxKaWxKa ii ∀∈⇒∀∈∧∈⇒∈∈ ,
Wax∈⇒ .
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EJEMPLO 3.1.1.- Sea y consideremos: ·),,,( 3 RR +
}0/),,({ 31 =−∈= yxRzyxW
}02/),,({ 32 =+∈= zxRzyxW
}020/),,({ 321 =+∧=−∈=∩ zxyxRzyxWW es un subespacio de .),,,( 3 RR +
DEFINICIÓN 3.2.- Sean subespacios de 21 , WW ·),,,( RV + . Definimos:
},/{ 221121 WxWxxxxVxW ∈∧∈+=∈=
W se denota por y se le llama suma de subespacios y . 21 WWW += 1W 2W
PROPOSICIÓN 3.3.- La suma de dos subespacios de V es un subespacio vectorial
de V.
PRUEBA
Sea VWWWxWxxxxVxWW ⊂+∈∧∈+=∈=+ 2122112121 },,/{ por definición
y además es diferente del vacío pues 21 WW +∈θ ya que se puede escribir
θθθ += (θ es elemento de y de ). 1W 2W
i) , debemos probar que 21, WWyx +∈ 21 WWyx +∈+ .
221121 , WxWxxxx ∈∧∈+=
221121 , WyWyyyy ∈∧∈+=
212211 )()( WWyxyxyx +∈+++=+
pues 222111 WyxWyx ∈+∧∈+ .
ii) , debemos probar que 21, WWxKa +∈∈ 21 WWax +∈ .
212121 WWaxaxaxxxx +∈+=⇒+= pues 2211 WaxWax ∈∧∈ .
Luego 21 WW + es un subespacio vectorial.
EJEMPLO 3.3.1.- En consideremos los subespacios: ·),,,( 3 RR +
},/),0,({ 31 RzxRzxW ∈∈= y },/),,0({ 3
2 RzyRzyW ∈∈=
Tenemos:
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
∈∈+=∈
=+222111
22113
21 ),,0(),0,();,,0(),0,(),,/(),,(
WzyyWzxzyzxwvuRwvu
WW
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Podemos observar que pues cualquier vector se puede
escribir como
321 RWW =+ 3),,( Rwvu ∈
)21,,0()
21,0,(),,( wvwuwvu += donde 1)
21,0,( Wwu ∈ y
2)21,,0( Wwv ∈ .
DEFINICIÓN 3.4.- Sean V un espacio vectorial sobre y subespacios de
V. Diremos que V es la suma directa de los subespacios y y denotaremos
por:
1, WK 2W
1W 2W
21 WWV ⊕= .
Si y solo si:
i) 21 WWV +=
ii) }{21 θ=∩WW
EJEMPLO 3.4.1.- En consideremos los subespacios: ·),,,( 2 RR +
}/),({ 21 xyRyxW =∈= y }/),({ 2
2 xyRyxW −=∈=
212 WWR ⊕= . En efecto:
i) Cualquier vector se puede expresar como: 2),( Rvu ∈
))(21),(
21())(
21),(
21(),( uvvuvuvuvu −−+++=
es decir que . 212 WWR +=
Obsérvese que 1))(21),(
21( Wvuvu ∈++ y 2))(
21),(
21( Wuvvu ∈−− .
ii) Probaremos ahora que })0,0({21 =∩WW .
21})0,0({ WW ∩⊂ se cumple siempre.
Sea yxyxWyxWyxWWyx −=∧=⇒∈∧∈⇒∩∈ 2121 ),(),(),(
})0,0({),(0 ∈⇒==⇒ yxyx . Luego })0,0({21 ⊂∩WW
∴ })0,0({21 =∩WW .
De i), ii) y la definición 3.4 se tiene:
212 WWR ⊕=
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Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
EJEMPLO 3.4.2.- Sea V el espacio vectorial de todas las funciones de R en R; sea
el conjunto de las funciones pares pV ))()(( xfxf =− y el conjunto de las
funciones impares . Afirmamos que
iV
))()(( xfxf −=− ip VVV ⊕= . En efecto:
i) Debemos probar que ip VVV += . Esta condición se satisface del hecho que
cualquier función de R en R se puede escribir como:
))()((21))()((
21)( xfxfxfxfxf −−+−+=
Nótese que ))()((21 xfxf −+ es una función par, y ))()((
21 xfxf −− es una
función impar.
ii) Probaremos que }{θ=∩ ip VV .
Sea ipip VfVfVVf ∈∧∈⇒∩∈
RxxfxfRxxfxf ∈∀−=−∧∈∀=−⇒ ),()(),()(
θ=⇒∈∀=⇒ fRxxf ,0)(2
De i), ii) y definición 3.4. tenemos que:
ip VVV ⊕=
EJEMPLO 3.4.3.- Sea V el espacio vectorial de las matrices cuadradas sobre el
campo R; y consideremos:
}/{ TAAVAU =∈= conjunto de las matrices simétricas.
}/{ TAAVAW −=∈= conjunto de las matrices antisimétricas.
Demostrar que . WUV ⊕=
i) Demostraremos que WUV += . Sea A una matriz cuadrada arbitraria de orden
n. Siempre es posible expresar A como:
)(21)(
21 TT AAAAA −++=
Sólo nos falta hacer ver que:
a) UAA T ∈+ )(21 y
b) WAA T ∈− )(21
Probando a)
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Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
TTTT AAAA )(21))(
21( +=+
( )( )TTT AA +=21
)(21 AAT +=
)(21 TAA+=
Probando b)
TTTT AAAA )(21))(
21( −=−
( )( )TTT AA −=21
)(21 AAT −=
)(21 TAA−−=
Luego satisface la condición i).
ii) Demostraremos que }{θ=∩WU .
Sea . θ=⇒−=∧=⇒∈∧∈⇒∩∈ AAAAAWAUAWUA TT
Luego }{θ=∩WU .
De i), ii) y de la definición 3.4 se tiene:
WUV ⊕=
OBSERVACIÓN 3.5.- La definición de suma de espacios puede ser generalizada
para una familia finita de subespacios. En efecto la suma de los subespacios
de es el conjunto: nWWW ,,, 21 K ·),,,( KV +
∑ ∑= = ⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧
=∀∈∧=∈==n
i
n
iiiii niWwwvVvWW
1 1
,,2,1;/ K
W es un subespacio de . Además si tales subespacios tienen como único
elemento común al vector cero, es decir si para todo
·),,,( KV +
ji ≠ se tiene que
}{θ=∩ ji WW , entonces diremos que W es la suma directa y escribiremos:
nWWWW ⊕⊕⊕= K21
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Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
EJERCICIOS
1. Sea y 4RV = )2,3,6,2(),1,3,4,1(),3,0,2,1( 321 =−== vvv elementos de
4R . Definimos:
},;/{ 214
1 RbabvavvRvW ∈+=∈=
};/{ 34
2 RaavvRvW ∈=∈=
i) Calcule 21 WW ∩
ii) Hallar un vector de 4R tal que no pertenezca a . 1W
iii) Si consideramos . },,;/{ 3214
3 RcbacvbvavvRvW ∈++=∈=
¿Cuál es la relación que existe entre y ? 1W 3W
2. Dados U y W subespacios de V. Demostrar que es un subespacio de V
si y solo si ó .
WU ∪
WU ⊂ UW ⊂
3. Extendemos la definición de suma a subconjuntos arbitrarios no vacíos (no
necesariamente subespacios) S y T de un espacio vectorial V definiendo
}/{ TtSstsTS ∈∧∈+=+
Demostrar que esta operación satisface:
i) STTS +=+
ii) SSS =+=+ }{}{ θθ
ii) )()( 321321 SSSSSS ++=++
iv) VSVVS =+=+
4. Demostrar que para todo subespacio vectorial W de V se tiene que . WWW =+
5. Dados U, W y T subespacios de un espacio vectorial V. Demostrar:
)()()( WTUWUTU +∩⊂∩+∩
6. Sean U, V y W subespacios de donde: ·),,,( 3 RR +
}0/),,({ =++= zyxzyxU , }/),,({ yxzyxV == y }/),0,0({ RzzW ∈=
a) Calcular WUVU ++ , y WV + .
b) Decir en cual de los tres casos anteriores de la parte a) la suma es directa.
7. Dada la recta . Hallar otra recta tal que
}5/),({ 21 xyRyxL =∈= 2L
212 LLR ⊕=
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