Analisis de Influencia en el modelo de Regresion Betapor inferencia Bayesiana
Mg. Jim Roland Silvestre [email protected]
PeruStatAnalytics training, consulting and researching
Semana Cientıfica en UNMSM
Silvestre Valer, Jim.R. (UNI-PUCP) Analisis de Influencia en el modelo de Regresion Beta por inferencia Bayesiana 1 / 40
Resumen
1 IntroduccionConsideraciones previas y justificacion
2 Objetivos
3 Modelo de Regresion BetaFuncion de densidad y propiedadesReparametrizacion alternativaModelo de regresion Beta
4 Inferencia Bayesiana en el MRBFuncion de verosimilitudDistribucion a prioriDistribucion a posteriori
5 Analisis de InfluenciaAnalisis de Influencia con la Estadıstica Bayesiana
6 Aplicacion
7 Conclusiones y Recomendaciones
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Resumen
1 IntroduccionConsideraciones previas y justificacion
2 Objetivos
3 Modelo de Regresion BetaFuncion de densidad y propiedadesReparametrizacion alternativaModelo de regresion Beta
4 Inferencia Bayesiana en el MRBFuncion de verosimilitudDistribucion a prioriDistribucion a posteriori
5 Analisis de InfluenciaAnalisis de Influencia con la Estadıstica Bayesiana
6 Aplicacion
7 Conclusiones y Recomendaciones
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Resumen
1 IntroduccionConsideraciones previas y justificacion
2 Objetivos
3 Modelo de Regresion BetaFuncion de densidad y propiedadesReparametrizacion alternativaModelo de regresion Beta
4 Inferencia Bayesiana en el MRBFuncion de verosimilitudDistribucion a prioriDistribucion a posteriori
5 Analisis de InfluenciaAnalisis de Influencia con la Estadıstica Bayesiana
6 Aplicacion
7 Conclusiones y Recomendaciones
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Resumen
1 IntroduccionConsideraciones previas y justificacion
2 Objetivos
3 Modelo de Regresion BetaFuncion de densidad y propiedadesReparametrizacion alternativaModelo de regresion Beta
4 Inferencia Bayesiana en el MRBFuncion de verosimilitudDistribucion a prioriDistribucion a posteriori
5 Analisis de InfluenciaAnalisis de Influencia con la Estadıstica Bayesiana
6 Aplicacion
7 Conclusiones y Recomendaciones
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Resumen
1 IntroduccionConsideraciones previas y justificacion
2 Objetivos
3 Modelo de Regresion BetaFuncion de densidad y propiedadesReparametrizacion alternativaModelo de regresion Beta
4 Inferencia Bayesiana en el MRBFuncion de verosimilitudDistribucion a prioriDistribucion a posteriori
5 Analisis de InfluenciaAnalisis de Influencia con la Estadıstica Bayesiana
6 Aplicacion
7 Conclusiones y Recomendaciones
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Resumen
1 IntroduccionConsideraciones previas y justificacion
2 Objetivos
3 Modelo de Regresion BetaFuncion de densidad y propiedadesReparametrizacion alternativaModelo de regresion Beta
4 Inferencia Bayesiana en el MRBFuncion de verosimilitudDistribucion a prioriDistribucion a posteriori
5 Analisis de InfluenciaAnalisis de Influencia con la Estadıstica Bayesiana
6 Aplicacion
7 Conclusiones y Recomendaciones
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Resumen
1 IntroduccionConsideraciones previas y justificacion
2 Objetivos
3 Modelo de Regresion BetaFuncion de densidad y propiedadesReparametrizacion alternativaModelo de regresion Beta
4 Inferencia Bayesiana en el MRBFuncion de verosimilitudDistribucion a prioriDistribucion a posteriori
5 Analisis de InfluenciaAnalisis de Influencia con la Estadıstica Bayesiana
6 Aplicacion
7 Conclusiones y Recomendaciones
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Introduccion Consideraciones previas y justificacion
Consideraciones Previas
Puede ser interesante analizar:
La tasa de desempleo en Lima en funcion del nivel educativo de loshabitantes,del numero de horas laborables al dıa, de la edad delhabitante,etc.
La proporcion de ninos en edad escolar que trabajan en funcion delnumero de hijos por familia, el ingreso familiar, etc.
Kieschnick y McCullough (2003) plantean que la distribucion Beta esadecuada para el analisis de este tipo de datos.
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Introduccion Consideraciones previas y justificacion
Justificacion
Segun Cho et al (2009) la importancia de identificar observacionesinfluyentes en un analisis estadıstico es un problema metodologico bienreconocido y el desarrollo de medidas de diagnostico para detectarobservaciones influyentes es de interes para muchos investigadores. Lasobservaciones influyentes son una parte importante del analisis de datos ypor lo tanto requieren un trato mas exhaustivo dado que pueden tener unfuerte impacto en las conclusiones que se lleguen con la inferenciaestadıstica.
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Objetivos
Objetivo principal
Detectar puntos influyentes empleando inferencia Bayesiana en modelos deregresion para proporciones especıficamente en el modelo de RegresionBeta.
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Objetivos
Objetivos secundarios
Mostrar diferentes propuestas del modelo de regresion Beta.
Dar a conocer algunas propiedades sobre el analisis de influencia.
Realizar aplicaciones a conjuntos de datos reales.
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Objetivos
Objetivos secundarios
Mostrar diferentes propuestas del modelo de regresion Beta.
Dar a conocer algunas propiedades sobre el analisis de influencia.
Realizar aplicaciones a conjuntos de datos reales.
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Objetivos
Objetivos secundarios
Mostrar diferentes propuestas del modelo de regresion Beta.
Dar a conocer algunas propiedades sobre el analisis de influencia.
Realizar aplicaciones a conjuntos de datos reales.
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Modelo de Regresion Beta Funcion de densidad y propiedades
Modelo
EL MODELO DE REGRESION BETA
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Modelo de Regresion Beta Funcion de densidad y propiedades
funcion de densidad
La funcion de densidad de una variable aleatoria y que sigue unadistribucion Beta es la siguiente:
fY (y | α, β) =Γ(α+ β)
Γ(α)Γ(β)yα−1(1− y)β−1, 0 < y < 1
α, β > 0
La media y la variancia de una distribucion Beta son expresadas por:
E(y) =α
α+ βy V ar(y) =
αβ
(α+ β)2(α+ β + 1)(1)
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Modelo de Regresion Beta Reparametrizacion alternativa
Reparametrizacion alternativa
Ferrari y Cribari Neto (2004) reparametrizaron el modelo haciendoµ = α/(α+ β) y φ = α+ β, y se obtiene que:
E(y) = µ y V ar(y) =V (µ)
1 + φ
donde V (µ) = µ(1− µ).
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Modelo de Regresion Beta Reparametrizacion alternativa
Reparametrizacion alternativa
Luego, en la nueva parametrizacion la densidad de la distribucion Betapuede ser escrita como
fY (y | µ, φ) =Γ(φ)
Γ(µφ)Γ((1− µ)φ)yµφ−1(1− y)(1−µ)φ−1, 0 < y < 1 (2)
donde 0 < µ < 1 y φ > 0.
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Modelo de Regresion Beta Modelo de regresion Beta
Antecedentes de la dispersion en el modelo
Ferrari y Cribari Neto(2004) plantean un MRB con dispersion fija(φ=constante)
Smithson y Verkuilen(2006) plantearon un MRB con dispersionvariable (φ=variable)
Espinheira(2008) tambien hizo su aporte en el MRB yconsidero dispersion constante.
Simas et al(2010), Ferrari et al. (2011); Cribari-Neto y Zeileis(2010)analizaron el MRB con dispersion variable.
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Modelo de Regresion Beta Modelo de regresion Beta
Analisis de influencia en el modelo
Ferrari y Cribari Neto(2004) presentan directrices para el analisis deinfluencia desde la perspectiva clasica.
Espinheira et al (2008b) propone diversas medidas de influencia ymuestra que tan influyente puede ser una observacion atıpica en elMRB.
Bayes y Bazan(2012) estudian la influencia de una observacion atıpicaen el MRB desde la perspectiva Bayesiana.
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Modelo de Regresion Beta Modelo de regresion Beta
El modelo y sus caracterısticas
Estamos analizando el MRB con dispersion variable propuesto porSmithson y Verkuilen(2006).
Sean y1, ..., yn variables aleatorias tales que:
yi ∼ Beta(µi, φi)
g(µi) =
k∑j=1
xijβj
h(φi) =
p∑l=1
zilγl
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Modelo de Regresion Beta Modelo de regresion Beta
Tamano de muestra en el modelo
Ferrari y Cribari Neto (2004) consideran que el metodo de maximaverosimilitud es adecuado cuando el tamano de muestra essuficientemente grande.
Por otro lado si tenemos situaciones en las cuales el tamano demuestra sea pequeno y se conozca cierta informacion a priori sobre losparametros del modelo, entonces Congdon (2003) sugiere realizar elanalisis desde la perspectiva Bayesiana.
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Inferencia Bayesiana en el MRB Funcion de verosimilitud
Inferencia Bayesiana
INFERENCIA BAYESIANA EN EL MODELO DE REGRESIONBETA
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Inferencia Bayesiana en el MRB Funcion de verosimilitud
Funcion de verosimilitud
La funcion de verosimilitud es dada por:
L(θ | y) =
n∏i=1
Γ(φi)
Γ(µiφi)Γ(φi(1− µi))yµiφi−1i (1− yi)φi(1−µi)−1
donde θ = (β, γ)
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Inferencia Bayesiana en el MRB Distribucion a priori
Distribucion a priori
Consideraremos las siguientes prioris:
p(βj) ∼ Normal(0, σ2β)
p(γl) ∼ Normal(0, σ2γ)
con j = 1, 2, ..., k y l = 1, 2, ..., p y ademas se puede asignar inclusovalores grandes para los hiperparametros σ2β y σ2γ , como una distribucion apriori no informativa. Asumimos que los parametros β y γ sonindependientes y por lo tanto:
p(θ) = p(β)× p(γ)
con θ = (β, γ)
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Inferencia Bayesiana en el MRB Distribucion a posteriori
Distribucion a posteriori
La distribucion a posteriori es proporcional a la multiplicacion de la prioripor la respectiva funcion de verosimilitud, es decir:
p(θ | y) ∝ L(θ | y)× p(θ)
Entonces la distribucion a posteriori es:
p(θ | y) ∝n∏i=1
Γ(φi)
Γ(µiφi)Γ(φi(1− µi))yµiφi−1i (1− yi)φi(1−µi)−1×
e− 1
2
(k∑j=1
β2j /σ
2β+
p∑l=1
γ2l /σ2γ
)
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Analisis de Influencia Analisis de Influencia con la Estadıstica Bayesiana
Medidas de influencia
MEDIDAS DE INFLUENCIA
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Analisis de Influencia Analisis de Influencia con la Estadıstica Bayesiana
CPO: Conditional Predictive Ordinate
Segun Congdon(2003) el CPO, para la observacion i- esima, se definecomo:
CPOi = f(yi | y(i)) =
∫f(yi | θ, y(i))p(θ | y(i))dθ
donde yi ∈ y siendo y = {y1, y2, ..., yn} y y(i) = {y1, ..., yi−1, yi+1, ..., yn}Pero en este trabajo asumimos que los yi son independientes de y(i) dadoun θ desconocido entonces el CPOi queda dado por:
CPOi = f(yi | y(i)) =
∫f(yi | θ)p(θ | y(i))dθ
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Analisis de Influencia Analisis de Influencia con la Estadıstica Bayesiana
Estimacion del CPO por MCMC
Una aproximacion por el metodo Monte Carlo es la siguiente:
CPOi = f(yi | y(i)) =1
1B
B∑s=1
1f(yi|y(i),θs)
θs representa un conjunto de valores extraıdos de la funcion a posteriori deθ, p(θ | y) asumiendo que el modelo fue ajustado por un metodo basadoen algun tipo de muestreo.
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Analisis de Influencia Analisis de Influencia con la Estadıstica Bayesiana
Divergencia de Kullback- Leibler (Divergencia KL)
La divergencia KL se define como:
DKL(f, g) =
∫f(x) log
(f(x)
g(x)
)dx
donde f(.) y g(.) son dos funciones de densidad.Un valor grande de la divergencia KL implica mayor diferencia entre lasfunciones de densidad.
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Analisis de Influencia Analisis de Influencia con la Estadıstica Bayesiana
Divergencia de Kullback- Leibler (Divergencia KL)
DKL(i) mide la distancia entre las distribuciones a posterioris con todoslos datos y eliminando el i- esimo dato y lo definimos como:
DKL(i) =
∫f(θ | y) log
(f(θ | y)
(f(θ | y(i))
)dθ
f(θ | y) es la distribucion a posteriori de θ dado y y f(θ | y(i)) es ladistribucion a posteriori de θ dado y(i) siendoy(i) = (y1, ..., yi−1, yi+1, ..., yn).Un valor grande de DKL(i) implica mayor influencia de la observacioni-esima en la estimacion.
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Analisis de Influencia Analisis de Influencia con la Estadıstica Bayesiana
Estimacion de la Divergencia KL por MCMC
La estimacion de la divergencia KL por MCMC es dada por:
DKL(i) =1
B
B∑s=1
log(f(yi | θs, x, y(i)))− log
1
1B
B∑s=1
1f(yi|θs,x,y(i))
Como la expresion en el segundo termino es la estimacion del CPOi ,entonces:
DKL(i) =1
B
B∑s=1
log(f(yi | θs, x, y(i)))− log(CPOi)
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Aplicacion
Aplicacion
APLICACION A UN CASO REAL
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Aplicacion
APLICACION
Se consideraron 37 atletas de remo de un total de 202 deportistas delInstituto Australiano del Deporte (AIS). Se eligieron 2 variables (Bfat ylbm) para realizar la deteccion de puntos influyentes, donde:
lbm: (lean body mass) significa masa corporal magra, medida enkilogramos.
Bfat: (body fat percentage) es un indicador de grasa corporal yesta expresado en unidades porcentuales.
En el grafico se puede observar que hay dos valores atıpicos, los cualesdeberıan ser detectados por el CPO y la divergencia KL
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Aplicacion
Grafico de dispersion
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40 50 60 70 80
0.10
0.15
0.20
0.25
masa corporal magra
% d
e gr
asa
corp
oral
Dispersión considerando solo remadores (Row)
Figura: Dispersion entre la masa corporal (lbm) y el % de grasa corporal
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Aplicacion
Estimacion de los parametros
El modelo es:
Bfati ∼ Beta(µi, φ)
logit(µi) = β0 + β1 × lbmi
las distribuciones a priori no informativas son: β0 ∼ N(0; 1000000),β1 ∼ N(0; 1000000) y φ ∼ Gama(0,01; 0,01)
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Aplicacion
Estimacion de los parametros
Realizando la estimacion de los parametros por MCMC utilizandoOpenBugs considerando 100000 iteraciones, perıodo burnin de 50000 ythin de 10, se obtuvo:
media sd 2.5 % 25 % 50 % 75 % 97.5 %
β0 0.086 0.22 -0.34 -0.07 0.09 0.24 0.52β1 -0.027 0.001 -0.03 -0.03 -0.03 -0.02 -0.02φ 88.012 20.78 52.37 73.16 86.34 101.43 133.36
Dbar -139.60 2.35 -142.33 -141.34 -140.18 -138.50 -133.76
Cuadro: Estimacion de los parametros del modelo
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Aplicacion
Deteccion con el CPO
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0 5 10 15 20 25 30 35
02
46
810
12
Observación
CP
O
1630
Figura: menor valor del CPO refleja observaciones influyentes
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Aplicacion
Deteccion con la divergencia KL
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0 5 10 15 20 25 30 35
0.0
0.5
1.0
1.5
Observación
D
iver
genc
ia K
L
16
30
Figura: mayor valor de la divergencia KL refleja observaciones influyentes
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Aplicacion
Estimacion de los parametros sin la observacion {16}
media sd 2.5 % 25 % 50 % 75 % 97.5 %
β0 0.412 0.26 -0.10 0.23 0.41 0.58 0.93β1 -0.032 0.0007 -0.04 -0.03 -0.03 -0.03 -0.02φ 102.85 24.67 59.22 85.35 101.02 117.83 156.33
Dbar -141.623 2.61 -144.67 -143.59 -142.26 -140.33 -134.81
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Aplicacion
analisis de la variacion de los parametros
parametros inicio -{16} variacion IC95 % IC-{16} variacion
β0 0.086 0.412 379.07 % 0.86 1.03 19.77 %β1 -0.027 -0.032 18.52 % 0.01 0.02 100 %
Cuadro: Analisis de la variacion porcentual en la estimacion puntual (media aposteriori) de los parametros y el ancho del IC eliminando la observacion {16}
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Aplicacion
Estimacion de los parametros sin la observacion {30}
media sd 2.5 % 25 % 50 % 75 % 97.5 %
β0 0.41 0.26 -0.10 0.25 0.40 0.57 0.97β1 -0.03 0.003 -0.04 -0.03 -0.03 -0.03 -0.02φ 123.58 29.80 72.49 102.38 120.73 142.69 188.41
Dbar -148.50 2.91 -151.89 -150.72 -149.24 -147.05 -141.11
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Aplicacion
analisis de la variacion de los parametros
parametros inicio -{30} variacion IC95 % IC-{30} variacion
β0 0.086 0.41 376.74 % 0.86 1.07 24.42 %β1 -0.027 -0.03 18.52 % 0.01 0.02 100 %
Cuadro: Analisis de la variacion porcentual en la estimacion puntual (media aposteriori) de los parametros y el ancho del IC eliminando la observacion {30}
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Aplicacion
Estimacion de los parametros sin las observaciones {16,30}
media sd 2.5 % 25 % 50 % 75 % 97.5 %
β0 0.825 0.18 0.45 0.71 0.84 0.95 1.14β1 -0.038 0.0003 -0.04 -0.04 -0.04 -0.04 -0.03φ 206.41 51.21 119.42 169.93 202.10 237.22 319.25
Dbar -163.83 2.66 -166.95 -165.80 -164.44 -162.54 -157.03
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Aplicacion
analisis de la variacion de los parametros
parametros inicio -{16,30} variacion IC95 % IC-{16,30} variacion
β0 0.086 0.825 859.3 % 0.86 0.69 19.77 %β1 -0.027 -0.038 40.74 % 0.01 0.01 0.0 %
Cuadro: Analisis de la variacion porcentual en la estimacion puntual (media aposteriori) de los parametros y el ancho del IC eliminando las observaciones{16,30}
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Conclusiones y Recomendaciones
Finalmente
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
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Conclusiones y Recomendaciones
Conclusiones
Las observaciones influyentes detectadas por los metodos de laestadıstica clasica, coinciden con los de la estadıstica Bayesiana, perono necesariamente en todos los casos.
El metodo de diagnostico de la divergencia de Kullback - Leiber (KL)detecta observaciones influyentes con mejor precision que el metodode la ordenada predictiva condicional (CPO), como se observo en laaplicacion.
Las observaciones influyentes detectadas por el metodo CPO y ladivergencia KL no necesariamente coinciden en todos los casos.
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Conclusiones y Recomendaciones
Recomendacion
Al querer detectar puntos influyentes empleando estadısticaBayesiana, se recomienda detectarlas con la divergencia KL y el CPO.Posteriormente analizar, en lo posible, las observaciones influyentescomunes.
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